2. ZÁKLADY KINEMATIKY - cvut.czmech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/kiad/Predn_2... ·...

2. ZÁKLADY KINEMATIKY Kinematika

se zabývá popisem pohybu částice nebo tělesa, aniž leduje příčinné souvislosti. edním ze základních vlastností pohybu je, že jeho popis záleží na

volbě vztažného tělesa ( souřadnicového systému ). Nelze vyloučit

sJ

případ, kdy se vztažná soustava souřadnic pohybuje.

2.1. Kinematika hmotného bodu Poloha hmotného bodu dána polohovým vektorem.

Popis pohybu hmotného bodu - jsou-li známy hodnoty

olohového vektoru ve všech časových okamžicích.

p

Kartézská souřadnicová soustava

( )( ) ) ( )tett

ktz

⋅

⋅

( ) ( ) ( ) jtyitxtr +⋅+⋅=z

( ) ( 321 ezetyxr ⋅++⋅=kde x rd

r

vektorybázové

vektoryjednotkové

321 eee

kji

,,

,,

Rozepsáno pro jednotlivé souřadnice

( ) ( ) ( ) ]m [ tzztyytxx ===

Po eliminaci času t těchto rovnic dostáváme dráhu ( trajektorie ) - křivku, po které se bod pohybuje.

Jiné vyjádření trajekt rie

z

o ( )( ) 0

0

2

1

==

zyxFzyxF

,,,,

}

z

A

B

y

dráha je dána jako

průsečnice 2 rovin.

x

y rdr +

2e1e

3e k

ji

Def. 2.1.1. Rychlost je časová změna (derivace dle času) polohového vektoru r

Stejný výsledek dostaneme

, derivujeme-li dráhu dle času.

kzjyixrdt

rdtrv

t⋅+⋅+⋅===

∆∆

=→∆

&&&&0

lim

nebo ve složkách ] sm [ , , 1-⋅===dtdzv

dtdyv

dtdxv zyx

222222zyx vvvzyxv ++=++= &&& velikost vektoru rychlosti

Důkaz o velikosti vektoru rychlosti:

222222

222 zyxdtdz

dtdy

dtdxdzdydx

dtd

dtdsv &&& ++=

+

+

=++==

Věta 2.1.1. Rychlost je vektor a má směr dráhy a velikost rovnou první derivaci podle času. Důkaz o směru

, ,

00

∫ ⋅=

⋅=⋅=⋅

===

tt

rdrdds

vdsdx

dtds

dsds

dtdxdx

dsdz

dsdy

dsdx

α

γβα

cos

coscoscos

==x dtv

( ) ∫==tt

tss

s se nazývá délkou oblouku od bodu Oblouk s je přípustným parametrem křivky a její rovnici lze zapsat

0t do bodu t

( ) srr = ( ) ( ) ( ) , , szzsyysxx === a ve složkách

222 dzdy ++ dxrdds ==Obdobně , γβ coscos ⋅=⋅= vvvv zy

dráze at .

Def. 2.1.2. Zrychlení je časová změna vektoru rychlosti v

kzjyixrvdtvda ⋅+⋅+⋅==== &&&&&&&&&

Složky vektoru zrychlení jsou

Velikost zrychlení ] sm [ , 2-⋅= z&& , , ===== vayvaxva zzyyxx &&&&&&&

x222zy aaaa ++=

Důležité složky vektoru zrychlení Složka do směru normály k dráze je an ,složka do směru tečny k

Z diferenciální geometrie plyne:

každém bodě prostorové křivky lze určit trojhran, který je popsán vektorem tečny, vektorem normály a vektorem binormály .

ou velikost a platí, že s

polu s uvažovaným bodem určují

V

Všechny vektory mají

jednotkov

z( )tr

B

tene(

( )BB

x

y

be

- nor( )

bn eeB ,, málovou rovinu - rektifikační rovinu - oskulační rovinu

)

nt

bt

eeee

,,,,

0

s∆

ϕ∆R

v∆nv∆

tv∆

v∆

okamžiku a

tečny

Tečné zrychlení ( )

tvvvav

ttt ∆∆⋅−∆+

==∆→∆

ϕcoslim0

a protože platí v limitě

v

vv ∆+

a) vektory rychlosti na dráze bodu po časovém

b) složky tn vv ∆∆ , přírůstku rychlosti v∆ do směru normály

v

v +

ϕ∆

1→∆ϕos potom

Věta 2.1.2.

cdv

tva

tt ∆

∆=

→∆ 0lim v

dt&==

Tečné zrychlení má velikost rovnou derivaci velikost rychlosti podle času. Normálové zrychlení

tvav

tnn ∆∆⋅

==∆→∆

ϕsinlim0

ϕϕ ∆→∆sin a ze vztahu V limitě platí

Rs∆

=∆ϕ Rs ⇒∆⋅=∆ ϕ

kde R je poloměr křivosti dráhy

Rv

ts

Rva

tn

2

0=

∆∆

⋅=→∆

lim

Věta 2.1.3. Normál ní má velikost rovnou čtverci rychlosti ové zrychle

dělenému křivostí dráhy a směr do středu křivosti. Normálová složka zrychlení se proto nazývá zrychlení dostředivé nebo centripetální.

2.1.1. Přímočarý pohyb V tomto případě je dráha hmotného bodu přímka. Směr rychlosti je

stálý. Zrychlení je pouze tečné a má směr shodný se směrem rychlosti

Časté jsou případy, kdy ve směru některé osy je konstantní zrychlení nebo nulové. Budeme předpokládat, že je to směr osy x. 1. Případ 0=xa nazveme pohyb přímočarý rovnoměrný ve směru osy x .

dtdxv x = integrací získáme 0xtvx x +⋅=

kde x0 je integrační konstanta - počáteční dráha. pohyb rovnoměrně zrychlený 2. Případ .konsta x = pohyb rovnoměrně zpomalený

kde x0 ( počáteční dráha ) a vkonstanty.

x0 (počáteční rychlost ) jsou integrační

+dt

dva x

x = a integrací 0xxx vtav ⋅=

a d r2

x⋅⋅2

2

dtxd

x = a vojí integ ací 0021 tvtax xx ++=

Obdobné vztahy platí pro osy y,z Ve z případvláštním ě, když pohyb začne současně s počátkem

a v s

t t t

.konsta =

21 tas

měření času z nulové polohy nulovou rychlostí 000 == xv x platí

tav ⋅= 2⋅=

atvats == 21 2

C rakha teristickým příkladem pohybu rovnoměrně zrychleného je volný pád, j. gravitační zrychlení (nebo tíhové zrychlení g=9.81 ms-2 , mění se se zeměpisnou šířkou ). Ve směru vodorovném je nulové zr

kde a=g , t

ychlení.

2.1.2. Kruhový pohyb φ

x

osa y

y( )rr t

rr x i y j k= + + 0Pohyb v rovině xy

rx r

y r

=

= r. cos

.sin

φ

φ

Pro popis volíme polární souřadnice r, φ e-li pohyb kruhový rovnoměrný, potom platí φ = ω . t

Okamžitý polohový vektor tedy je

osa x

r r r

J

( ) ( )r r rr r t i r t j= +.cos . .sin .ω ω

í o úhel ωt = 2π je rovna délce obvodu Délka trajektorie pro otočenkružnice a platí pro ni

s dx dy= +∫2 2

0

2π

( )∫ +=π

ωω2

0

222 ttrs cosin. dts

s r dt r= =∫ . 20

2

ππ

Pro délku dráhy platí s = φ . r Obvodová rychlost rv je definována: r

rv dr=

dt

(r

a tudíž pro ni platí: (rv = −ω ) )r

r t i r t j+ω ω ωsin . cos .

Absolutní hodnota (velikost) vektoru rychlosti rv v v= +2 2

x y ,

( )ttrv ωωω 2222 cossin +=r , což po dosazení dá rv r= . .ω neboli r

rr

ω φ φ= =ddt

& Odtud je vidět, že

Obvodová rychlost rv je vektor, který má směr tečny k trajektorii. Leží v rovině trajekto kolmý na

olohovým vektoremrie a je rovinu určenou osou rotace a .

p Proto pro něj můžeme psát

rv ×=ω vektor rrr obvodové rychlosti

rdvdt

, Zrychlení kruhového pohybu ra =

což po dosazení dá (ra r k= − . c ) ( )[ ]r r

t i r t+os . . sin .ω ω ω ω2 2

Ze srovnání s definičními rovnicemi kruhového pohybu ,sin.,cos. trytrx ωω ==

rplyne

r = dostředivé zrychlenía r−ω 2. Toto zrychlení má stejný směr jako polohový vektor rr , avšak opačnou orientaci. Míří proto trvale do počátkou souřadnic = do středu rotace a proto se nazývá dostředivé zrychlení. eho velikost je rovna velikosti normálového zrychlení J

n

ra r= .ω 2 Spojením se vztahem pro ω dostaneme velikost normálového

rychle í n v=2

rarnz

ě rovno nule, Tečné zrychlení je v tomto případ

rr

ad vdtt = = 0 ,

neboť absolutní hodnota (velikost) rychlosti zůstáv konstantní.

Perioda T

á

= dob = 2π a 1 oběhu. Pro t = T je φ2π

takže (protože platí φ = ωt) T =ω

.

Převrácená hodnota periody T je frekvence f 1

f = . T

Spojením těchto rovnic: , Takže obv l

ω π= 2 f

rvobv má velikost r rv r fobv = 2π . odová rych ost

2.1.3. Šikmý vrh ve vakuu

Počáteční podmínky ( ) ( ) 0 pro 000 0 === tyx

y

d

x

ov

ϕ

- počáteční rychlost v0 - elevační úhel α - tíhové zrychlení ay = - g- zrychlení ax = 0

oyv

oxv

Pohybové rovnice rovnoměrný přímočarý pohyb

y

x

2

( )tr

tvo ⋅ 21 tg ⋅

( 0xtx x +⋅= )v→

( ) tvtvtx x ⋅⋅=⋅= αcos00

+⋅+⋅ 00

2

21 ytvtay yy

↓= rovnoměrně zrychlený pohyb

( ) αsin⋅⋅+⋅−=+⋅+⋅−= tvtgytvtgty y 02

002

21

21

Vyloučíme-li čas t z obou rovnic dostaneme

( ) ( ) ( ) ( )αα

αα 22

0

2

20

00 2

121

coscossin

cos ⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅=

⋅=

vtxg

vtxvty

vtxt

Potom rovnice dráhy v souřadnicích x,y ( x = x(t) , y = y(t) ) 2

2202

1 xv

gtgxy ⋅⋅−⋅=

αα

cos

Určení času dopadu td částice

v αsin2 ⋅g

td0= netriviáln

triviální řešení

( )

02

010

2

=⋅⋅+⋅−=

d

ddd

t

tvtgty αsin2

010 =⇒=

⋅−⋅ dd ttgv αsin

í řešení

Dostřel (dolet)

polohový vektor 02

tgtvr ⋅+⋅= 21

( ) αα

cossin

cos ⋅⋅=⋅⋅==g

vvttvtxd ddd

000

2

Maximální dostřel je ro elevač

p ní úhel

045=α α220 sin⋅=g

vd

2.2. Kinematika tuhého tělesa Na tělese zvolíme 2 body A,B.

Pohyb tělesa popíšeme tak, že popíšeme polohu bodu A v čase a úhel spojnice AB v čase

ry

A B ( ) ( )ttr ϕϕ == ,

kalárně ve složkách

x

s( ) ( ) ( )tzztyytxx AAA ===

- vyjadřuje posunutí "translaci" tělesa ( ) ( ) ( )ttt zzyyxx ϕϕϕϕϕϕ ===

z

- úhly vyjadřují pootočení podél souřadných os, tj. rotaci tělesa

a) Translační pohyb - dráhy alespoň 3 bodů všech bodů tělesa je stejný,proto je rychlost

jsou shodné. Pohyb v a zrychlení a

Jeho )t

od translačního pohybu konstantní a rovné rychlosti zrychlení bodu A. Probléřešíme jako pohyb bodu o h celého tělesa.

poloha je určena vektorem

a m motě rovné hmotě

2

2

dtrd

dtvda

dtrdv = ==

(r

R pohyb b) otační - dva body tělesa zůstávají stále na svých místech, potom se nepohybují všechny body ležící na spojnici těchto dvou bodů. Těleso se otáčí kolem této spojnice, nastává rotace

tělesa kolem osy. Každý bod tělesa vykonává kruhovou dráhu o

táčení. středu na ose oω

r

v

ρO ′

o

ω - vektor úhlové ti otáčení vázaný rychlosna osu rotace o , směr je stálý

P iotom rychlost bodu C při rotac je rv ×= ω

zrychl ní ( ) rdrdrdtdvda ×+×=×==

ωω

ektor úhlového zrychlení ε =

Vektor r×ε má směr rychlosti v a znamená složku zrychlení do

dtdtdtωa e

dtdω má směr osy otáčení V

směru tečny ke dráze Vyjádříme-li v ×= ω v absolutních hodnotách, dostaneme r

ρω ⋅=v resp. ρ

ω v=

Vektor vdt

rd×=× ωω

zrychlení dostředivého

má směr do středu a představuje složku

2ωρωρω ⋅=⋅⋅=na

a tečné zrychlení ⇒=×=ω rdat 1

⋅⋅ ρρ dt

dvdt

dtdvat =

2.3. Kinematika desky je zvláštním případem

kinematiky tělesa, které vykonává pohyb v rovině x,y, tzn. že

yxAz ϕϕ ,, se nemění ( ) ( )

( )

ttyytxx

z

AAAA

ϕϕϕ =≡

==

x,y - nepohyblivý souřadný systém v rovině pohybu x´,y´ - pohyblivý souř. systém v rovině desky s

očátkem v bodě A. Souřadnice obecného bodu B při pohybu desky

y

x

A

Bϕ

ϕϕ

AxAy

y′

x′

0p

ϕϕϕϕ

cossinsincos

⋅′+⋅′+=⋅′−⋅′+=

yxyyyxxx

A

A

ϕϕϕϕ

cossinsincos

⋅′+⋅′=−⋅′−⋅′=−

yxyyyxxx

A

A

derivací drah získáme složky rychlosti

( )

( ) ϕϕϕ

ϕϕ

&&

&

⋅⋅′−⋅′−==

⋅⋅′+⋅′−==

sincos

cossin

yxydtdyv

yxxdtdxv

Ay

Ax

ϕ&

dosadíme ϕϕω &≈=dtd

a potom

(

( )

AAxx

xxv

yyvv

−⋅−

−⋅−=

ω

ω, )

v =

AAyy ,

Def. 1 Okamžitý střed otáčení (pól otáčení) je bod, který má v čase T nulovou rychlost. Souřadnice okamžitého středu otáčení pp yx , určíme z podmínky 0== yx vv :

( )ω

ω AxApApAx

vyyyyv ,

, +=⇒=−⋅− 0

ωAy

Apv

xx ,−= obdobně

Def.2 Spojnici středů otáčení kreslenou v pevném souřadném systému x , y nazveme pevná poloida. Spojnici středů otáčení kreslenou v pohyblivém souřadném systému x´, y´ v rovině desky nazveme pohyblivá poloida

Poloidy

se používají pro určování vhodného tvaru soukolí.

(PoužiNekonečně

tí v principu virtuálních prací) malý pohyb desky za časový okamžik t∆ lze rea

lizovat n kjako otoče í des y dle okamžitého středu otáčení.

Dostaneme

ϕ∆

+=

∆∆

−=

A

AAp

xyy

yxx

ϕ∆Ap

Příklad 2.3.1. Kolo o poloměru r se otáčí úhlovou rychlostí ω a řed kola A má posuvnou rychlost

strv ⋅< ω , t.zn., že kolo prokluzu Určete pevnou

u poloidu. je.

Posuvná rychlost bodu A a pohyblivo

y

x

yp

0 == AyAx vvv ,, Okamžitý střed otáčení

ωωω

ωωvvv

yy

vxx

AxAp

AyAp

=+=+=

=−=−=

0

000

,

,

r

A

Okamžitý střed otáčení je stále ωv pod středem kola (pohyblivá

poloida) rv<

ω dle zadání.