2. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch...

1 FIZYKA - wykład 2

Część I. MECHANIKA

2. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

Ruch jednowymiarowy

Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni

Wykład 2.

2 FIZYKA - wykład 2

KINEMATYKA zajmuje się opisem ruchu ciał bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch

spowodowały (siła).

Rys. Ruch - jedno z najczęściej obserwowanych

zjawisk fizycznych

POJĘCIA WSTĘPNE

Ruch mechaniczny – zmiana wzajemnego

położenia ciała (punktu materialnego) w przestrzeni

(lub jednych ich części względem drugich) pod

wpływem czasu.

Punkt materialny – punkt geometryczny, w którym

skupiona jest pewna masa, a którego rozmiary

i kształty możemy w danym zagadnieniu pominąć.

Układ odniesienia – nieruchome w czasie

obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego

opisujemy ruch innych ciała w przestrzeni.

Układ współrzędnych – związany z danym

układem odniesienia zespół wzajemnie prostopadłych

osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia

punktu w przestrzeni.

Równania ruchu – opisują zmiany położenia ciała

w przestrzeni w funkcji czasu.

Trajektoria ruchu – krzywa w przestrzeni, opisująca

zmianę położenia ciała.

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

3 FIZYKA - wykład 2

Klasyfikacja ruchów:

A. Ze względu na tor (trajektorię) ruchu:

prostoliniowe (postępowe);

krzywoliniowe (w tym: po okręgu);

B. Ze względu na zależność położenia od czasu:

jednostajne;

jednostajnie zmienne (przyspieszone lub opóźnione);

pozostałe (np. niejednostajnie zmienny itp.).

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

4 FIZYKA - wykład 2

Ruch cząstek emitowanych w

zderzeniach jąder atomowych,

trwał ułamki milionowych

części sekundy. (CERN,

Rap.Ann.1986)

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

Ruch prostoliniowy

Położenie i przemieszczenie

Prędkość średnia i chwilowa

Przyspieszenie

Spadek swobodny

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzut ukośny

Ruch jednostajny po okręgu

5 FIZYKA - wykład 2

Ruch prostoliniowy

Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory

Założenia:

-ruch odbywa się tylko wzdłuż linii prostej

(pionowej lub poziomej),

- interesuje nas sam ruch i jego zmiany a

nie ich przyczyny,

- poruszające się ciało traktujemy jak

obiekt punktowy, czyli obdarzony masą

lecz bez rozmiaru.

6 FIZYKA - wykład 2

• Przemieszczenie - zmiana położenia pomiędzy danymi punktami

• Prędkość średnia

Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory

)()( 1221txtxx tt

t

x

tt

txtxv ttśr

12

12 )()(21

przemieszczenie

przedział czasu

na przemieszczenie

nachylenie prostej

7 FIZYKA - wykład 2

• Prędkość chwilowa- prędkość poruszania się ciała w danej chwili,

Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory

dt

dx

t

xtv

t

0lim)(

Poło

żenie

[m

]

Czas [s]

8 FIZYKA - wykład 2

Przyspieszenie – określa jak zmienia się prędkość ciała.

• Przyspieszenie średnie = (przyrost prędkości)/ (przedział czasu, w którym

on nastąpił)

Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory

t

v

tt

tvtva ttśr

12

12 )()(21

• Przyspieszenie chwilowe: 2

2

0lim

dt

xd

dt

dv

t

va

t

9 FIZYKA - wykład 2

Przyspieszenie stałe (a=constant)

• Najczęściej będziemy się spotykać ze stałym przyspieszeniem (opóźnieniem).

• Gdy przyspieszenie chwilowe i średnie są równe, można zapisać:

Przekształcając powyższe, mamy :

Ruch ze stałym przyspieszeniem

,0

0

tt

vvaa

k

kśr

0: 00 tkowejpocząoczątwchwilidkoćoznaczapręvgdzie

atvtv o )(

Rys. 12 a) Położenie cząstki poruszającej się ze stałym przyspieszeniem. b) Prędkość cząstki w ruchu przyspieszonym. c) Przyspieszenie

cząstki w ruchu przyspieszonym jest stałe. Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki - tom I", PWN, Warszawa 2005r.

10 FIZYKA - wykład 2

Przyspieszenie ziemskie

Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki , tom I”.

Spadek swobodny (rzut pionowy)

Gdy rzucimy ciało w górę lub w dół i w jakiś

sposób wyeliminujemy wpływ powietrza na jego

ruch, to tak podczas wznoszenia jak i opadania

ciało porusza się z przyspieszeniem, które

nazywamy przyspieszeniem ziemskim (g). Nie zależy ono od własności przedmiotu (masa,

kształt, itd.) – gdy zaniedbamy wpływ powietrza.

Wartość g zmienia się nieznacznie w zależności od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza. W zadaniach będziemy używać wartości g=9,81 m/s2

Odpowiadającej średniej szerokości geograficznej i poziomowi morza.

11 FIZYKA - wykład 2

Ruch prostoliniowy

Rzut pionowy w górę

RÓWNANIA RUCHU:

2

2

0

gttvty y

gtvdt

dytv y 0

Dla ciała wyrzuconego z prędkością ,0v

Tablica- wyprowadzenie wzorów

(2.10)

(2.11)

(2.13)

(2.12)

12 FIZYKA - wykład 2

Rzut pionowy w dół

Ruch prostoliniowy

Dla ciała wyrzuconego z wysokości H, prędkością : ,0v

RÓWNANIA RUCHU:

2

2

0

gttvHty y

gtvdt

dytv y 0

Czas trwania rzutu.

Wartość prędkości

Końcowej.

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

13 FIZYKA - wykład 2

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny (a= const.)

Ruch prostoliniowy- jednowymiarowy

14 FIZYKA - wykład 2

Przykład 1 (tablica)

Jechałeś samochodem z po prostej drodze z szybkością 70 km/h.

Po przebyciu 8,4 km skończyło ci się paliwo i samochód się

zatrzymał. Musiałeś iść pieszo 2 km do stacji benzynowej, co

zajęło 30 min.

a) Ile wynosiło twoje przemieszczenie od początku podróży do

stacji benzynowej?

b) Ile czasu upłynęło od początku podróży, do chwili przybycia

na stację benzynową?

c) Ile wynosiła twoja prędkość średnia w czasie od początku

podróży do przybycia na stację benzynową (2 sposobami).

d) Załóżmy, że nabrałeś benzyny i wróciłeś do samochodu co

zajęło ci 45 min. Ile wynosi twoja średnia prędkość i średnia

szybkość w czasie od początku podróży do chwili powrotu z

benzyną do samochodu.

e) Załóżmy, że po nalaniu benzyny powróciłeś do punktu startu z

prędkością 35 km/h. Ile wynosi średnia prędkość dla całej

podróży?

15 FIZYKA - wykład 2

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Założenia:

- tor ruchu nie musi być linią prostą,

- ciągle interesuje nas sam ruch i jego zmiany

a nie ich przyczyny,

-poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy,

czyli obdarzony masą lecz bez rozmiaru

16 FIZYKA - wykład 2

Prędkość w kartezjańskim trójwymiarowym układzie współrzędnych

Rys. Wektor prędkości, w każdym punkcie toru

poruszającego się ciała, (jego kierunek), pokrywa się

ze styczną do toru i jest prędkością chwilową .

Wektor położenia ciała w funkcji czasu:

ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)(

(2.1)

Przemieszczenie:

(2.2)

Prędkość średnia:

kt

zj

t

yi

t

x

t

rvśr

ˆˆˆ.

(2.3)

Prędkość chwilowa:

vkdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rd

t

r

zyx vvv

t

ˆˆˆlim0

(2.4)

s

m

dt

rdv 1

(2.5)

A

B

kzjyixr

rrr

ˆˆˆ

'

17 FIZYKA - wykład 2

2.2.1. PRZYSPIESZENIE (ang. acceleration, ), to wielkość wektorowa, która

określa zmiany wektora prędkości w czasie poruszającego się ciała (zarówno wartości,

jak i kierunku).

21.,

s

mjedna

Rys. źródło:

http://www.if.pwr.edu.pl/~piosit/we.php

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

18 FIZYKA - wykład 2

PRZYSPIESZENIE CHWILOWE :

Składowe wektor przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych:

Zauważamy, przyspieszenie jest też drugą pochodną wektora położenia względem czasu.

PRZYSPIESZENIE ŚREDNIE:

21

s

m

t

vaśr

(2.7)

(2.8)

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dva

zy

x a

z

a

y

a

x ˆˆˆ

(2.9)

22

2

01

)(lim

s

m

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

va dt

rd

t

tor

styczna

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

przedział czasu

zmiana wektora prędkości

19 FIZYKA - wykład 2

Ruch prostoliniowy- jednowymiarowy

Graficzne wyznaczanie drogi

20 FIZYKA - wykład 2

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Brachistochrona (krzywa najkrótszego czasu) jest to krzywa, po której czas

staczania się ciała o masie m od punktu A do punktu B, pod wpływem stałej siły

ciężkości, jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos -

najkrótszy oraz chronos - czas.

Rys. Brachistochrona, źródło: http://www.fiumsa.edu.bo/olimpiada/DFIS_OBF_OBAA_Noticias_2008_f_files/image010.gif

21 FIZYKA - wykład 2

2.4.1. RZUT UKOŚNY – ruch krzywoliniowy

v0x x

y

z

H

v0

v0y

g

Rzut ukośny jest złożeniem dwóch ruchów :

•ruchu jednostajnego w kierunku poziomym - z prędkością: cos0vvox

•ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku pionowym: -z prędkością początkową: sin0vvoy

i przyspieszeniem : g

tvtx x0

2

2

0

gttvty y

r(t):

xx vdt

dxtv 0

gtvdt

dytv yy 0

v(t):

Rys. Rzut ukośny: w czasie ruchu składowa pozioma prędkości przyspieszenie a- takie samo w każdym punkcie toru ;0 constv x

xv0

a(t):

ga

a

y

x

0

RÓWNANIA RUCHU:

Dla ciała wyrzuconego z prędkością

do poziomu: podv ,0

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

22 FIZYKA - wykład 2

(2.24)

(2.25)

(2.26)

Rzut ukośny c.d.

Równanie toru dla rzutu ukośnego- trajektoria ruchu:

2

2cos2

xv

gxtgxy

o

Wyznaczając z równania (3.26) czas t i podstawiając do równania (3.27), znajdujemy równanie toru:

• Otrzymane parametry toru:

g

vtxZ c

2sin)(

2

0Zasięg (Z) rzutu:

Maksymalna wysokość wzniesienia Hmax: g

vtyH w

2

sin)(

22

0max

(z warunku: ) 0)( wy tv

Tablica- wyznaczenie parametrów toru:

Tablica- Przykłady

23 FIZYKA - wykład 2

Analiza rzutu ukośnego-opór powietrza

Opór powietrza

Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki , tom I”.

24 FIZYKA - wykład 2

(2.28)

(2.29)

(2.31)

Stałe przyspieszenie w innym świetle*

2.4.1. Od przyspieszenia do równania ruchu

Znając przyspieszenie (a =const.) ciała można znaleźć prędkość, przemieszczenie lub drogę tego

ruchu.

Całka po czasie z wektora prędkości wyraża przemieszczenie ciała w przestrzeni.

Z definicji wynika : dt

dva adtdv

t

t

v

v

adtdv

00

Całkując obie strony równania (2.35), otrzymujemy:

a ponieważ a= const, stąd: )( 00 ttavv (2.30)

W przypadku t0=0s, równość (2.37) przyjmuje postać: 0)( vtatv

Z definicji prędkości chwilowej , otrzymujemy: dt

rdv

dtvrd

(2.32)

Całkując obie strony równania (2.39), otrzymujemy: (2.33)

25 FIZYKA - wykład 2

(2.34)

Co wynika z całkowania stałego przyspieszenia…?

Przebytą drogę wyraża całka po czasie, ale z wartości bezwzględnej wektora prędkości:

Jeśli prędkość nie zmienia się, to:

Przykład –ruch ze stałym przyspieszeniem.

Dane są składowe [x, y, z] przyspieszenia, prędkości i położenia ciała w chwili t= 0s,

Zakładając, że , zbadać ruch odpowiadając na pytania:

1. Jak zmienią się te wartości po czasie t? 2. Jaki będzie kształt toru?

(2.35)

26 FIZYKA - wykład 2

Ruch po okręgu

2.5. Ruch jednostajny po okręgu

- ruch cząstki odbywa się po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o stałej

wartości bezwzględnej,

- choć wartość prędkości się nie zmienia, ruch cząstki jest ruchem

przyspieszonym .

Uzasadnienie.

Przyspieszenie ( zmiana prędkości) kojarzy się ze

Wzrostem lub zmniejszaniem się wartości bezwzględnej

prędkości . Prędkość jest wektorem, a nie skalarem.

Jeśli zmienia się choćby tylko jej kierunek,

to ruch jest przyspieszony.

Okres-czas potrzebny cząstce na jednokrotny Obieg zamkniętego toru.

(2.36)

27 FIZYKA - wykład 2

Ruch po okręgu

Wielkości kątowe – wektor prędkości kątowej

(2.37)

(2.38)

28 FIZYKA - wykład 2

Ruch po okręgu

Wielkości kątowe – przyspieszenie kątowe

(2.39)

(2.40)

(2.41)

29 FIZYKA - wykład 2

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

Ruch po okręgu

(2.42)

30 FIZYKA - wykład 2

Zależności między wielkościami liniowymi a kątowymi w ruchu po okręgu

Ruch po okręgu

Występowanie:

31 FIZYKA - wykład 2

Przykład (dla zainteresowanych)

Talerz adaptera o średnicy d = 20 cm obraca się ruchem jednostajnym wykonując

33 obroty/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Oblicz :

a) prędkość kątowa talerza,

b) prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punktu na brzegu talerza.

c) Ile obrotów/min powinien wykonywać talerz, aby przyspieszenie dośrodkowe

punktu na jego brzegu było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Jaki byłby jego

okres obrotu?

d) Gdy adapter wyłączono talerz zatrzymał się po upływie 10 s. Zakładając, że siła

oporu była stała obliczyć przyspieszenie kątowe talerza podczas hamowania

oraz ilość obrotów, które wykonał talerz od momentu wyłączenia do

zatrzymania. Oblicz przyspieszenie liniowe punktu na brzegu talerza w chwili

rozpoczęcia hamowania. Narysuj wektory prędkości i przyspieszenia kątowego

talerza oraz prędkości liniowej, przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i

całkowitego punktu na brzegu talerza tuż po wyłączeniu adaptera.

32 FIZYKA - wykład 2

Dziękuję za uwagę !