2. ДЕСКРИПТИВНА СТАТИСТИЧКА АНАЛИЗА

2. ДЕСКРИПТИВНА СТАТИСТИЧКА АНАЛИЗА

2.2. ИЗРАЧУНАВАЊЕ ПАРАМЕТАРА РАСПОДЕЛЕ ОБЕЛЕЖЈА

2.2. ИЗРАЧУНАВАЊЕ ПАРАМЕТАРА РАСПОДЕЛЕ ОБЕЛЕЖЈА

• Уређивање и приказивање постака је само припремна фаза за истраживање неке масовне појаве.

• Даља обрада подразумева израчунавање одређених показатеља (параметара) који на најбољи начин објашњавају истраживану појаву.

• Ти параметри се условно деле у три групе:* параметри средње вредности (мере средње

вредности, или централне тенденције)* параметри варијабилитета (мере дисперзије)* параметри облика расподеле (мере облике

расподеле)

2.2.1. ПАРАМЕТРИ СРЕДЊЕ ВРЕДНОСТИ

• Параметри средње вредности се могу поделити на израчунате и позиционе.

• Израчунати параметри средње вредности су:* аритметичка средина* геометријска средина* хармонијска средина

• Позициони параметри средње вредности су: * модус

* медијана

AРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА

• Аритметичка средина, као мера средње вредности, се користи када је природа промене испитиваног обележја линеарно зависна. Линеарна зависност промена огледа се у чињеници да је групна вредност обележја једнака збиру појединачних вредности.

• Аритметичка средина популације ће се обележа-вати са , а аритметичка средина узорка са

• Код негруписаних података је

X

n

x

ХиN

xn

1ii

N

1ii

AРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА• Код груписаних података је

n

`xf

ХиN

`xfK

1iii

K

1iii

• Јасно је да ће се код обележја дискретног типа и у једном и у другом случају добити једнака вредност аритметичке средине.

• Међутим, код обележја непрекидног типа се у случају негруписаних и груписаних података не добија иста вредност, јер се у случају груписаних података фреквенција множи са вредности која одговара средини класног интервала.

ПРИМЕР 3.Анкетирана је популација од 50 студената о броју положених испита и добијени су следећи резултати:

7 4 12 3 7 8 6 59 9 10 11 6 7 8 69 4 5 5 7 3 9 86 8 7 6 8 9 6 74 10 11 11 12 6 7 78 4 10 11 4 12 6 78 9.

Израчунати аритметичку средину обележја у случају негруписаних и груписаних података.

Microsoft Excel Worksheet

РЕШЕЊЕ

• У случају негруписаних података добија се

• У случају груписаних података добија се

44,750372

50987...1247

44,750372

50123114...68534532

ПРИМЕР 4. Анкетирана је популација од 50 студената о својој

тежини у килограмима и добијени су следећи резултати:

57 84 112 83 77 68 96 10590 69 102 71 68 72 78

76 89 74 55 85 87 73 8978 67 68 74 69 80 79 6667 64 104 110 91 92 68 7577 82 64 101 91 64 62 6573 81 91

Израчунати аритметичку средину обележја у случају негруписаних и груписаних података.

Microsoft Excel Worksheet

РЕШЕЊЕ

• У случају негруписаних података добија се

• У случају груписаних података добија се

kg26,7950

396350

918173...1128457

kg6,7950

398050

11521054...75136514552

ПРИМЕР 5. Просечна висина 220 студенткиња прве године је

168cm, а просечна висина 180 студената је 182cm. Колика је просечна висина свих студената прве године?

ПРИМЕР 6.

На Универзитету примењених наука “Мегатренд” у Ужицу студира 150, у Пожаревцу 120, а у Смедеревској Паланци 100 студената. Просечна оцена из пословне статистике у Ужицу је 7.00, у Пожаревцу 7.20, а у Смедеревској Паланци 7.45. Колика је просечна оцена из пословне статистике?

РЕШЕЊЕ 5. ЗАДАТКА

РЕШЕЊЕ 6. ЗАДАТКА

cm3,174400

69720180220

182180168220

18,73702659

10012015045,710020,712000,7150

АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА АРИТМЕТИЧКИХ СРЕДИНА

• Ако се посматра m различитих популација (узорака) једног те истог обележја, онда је аритметичка средина за то обележје у оквиру свих посматраних популација (узорака)

где Ni, односно ni означавају бројност сваке од посматраних популација (узорака), а i, односно Хi

аритметичку средину сваке од посматраних популација (узорака).

m

1ii

m

1iii

m

1ii

m

1iii

n

Xn

ХиN

N

ГЕОМЕТРИЈСКА СРЕДИНА

• Геометријска средина, као мера средње вредности, се користи када је природа промене испитиваног обележја директно пропорционална. Директна пропорционалност промена огледа се у чињеници да је укупна групна вредност обележја једнака производу обележја појединих чланова.

• Геометриска средина популације ће се обележавати са G.

• Код негруписаних података је

NN21 x...xxG

ГЕОМЕТРИЈСКА СРЕДИНА• Код груписаних података је

где је хi репрезент i-те класе, a fi фреквенција

посматраног обележја, a N = f1 + f2 + … + fK

број елемената популације

N KfK

ff xxxG ...22

11

ПРИМЕР 7. У последње три године годишња инфлација је била:

2005 – 16%, 2006 – 9%, 2007 –14%. Колика је била просечна годишња инфлација у последње три године.

ПРИМЕР 8. Цена мајица је пре четири године повећана за 10%,

а пре три године повећана 12%. Пре две године цена је смањена за 5%, а прошле године снањена за 17%. Каква је просечна процентуална годишња промена цене у протеклом периоду?

РЕШЕЊЕ 7. ЗАДАТКА

Дакле, просечна инфлација је 12,9612%.

РЕШЕЊЕ 8. ЗАДАТКА

Према томе може се закључити да је у просеку цена мајице годишње смањивана за 100 – 99,278 = 0,722%.

129612,1441416,114,116,109,1G 33

99278,0971432,083,095,012,110,1G 44

ХАРМОНИЈСКА СРЕДИНА

• Хармонијска средина, као мера средње вредности, се користи када је природа промене испитиваног обележја обрнуто пропорционална. Обрнута пропорционалност промена огледа се у чињеници да је укупна групна вредност обележја смањује када се повећава број чланова групе (и обрнуто).

• Геометриска средина популације ће се обележавати са Н.

• Код негруписаних података је

N

1i ix1

NH

ХАРМОНИЈСКА СРЕДИНА• Код груписаних података је

где је хi репрезент i-те класе, a fi фреквенција

посматраног обележја.

K

1i i

i

xf

NH

ПРИМЕР 9. Особа А један посао уради за 10 сати, особа

В за 12 сати, а особа С за 9 сати. Ако је особа Х типични репрезент групе којој припадају особе А, В и С, за које време ће посао урадити особа Х.

РЕШЕЊЕ 9. ЗАДАТКА

Дакле, особа Х би као репрезентативни представник групе посао завршила за 10,19 часова.

h18868,1053

540201518

1803

91

121

101

3H

МОДУС

• За негруписане податке модус (Мо) је она вредност обележја која се најчешће појављује у серији.

• За груписане податке дискретног типа , модус (Мо) је вредност обележја које се најчешће појављује у серији, што у овом случају представља вредност класе чија је апсолутна фреквенција највећа.

МОДУС• За груписане податке непрекидног типа модус (Мо) налазимо тако што прво нађемо модалну класу, дакле класу чија је апослутна фреквенција највећа. Модус се израчунава по формули

где је: LMo – почетак модалне класе fМо - апсолутна фреквенција модалне класе

fМо-1 - апсолутна фреквенција класе пре модалне

fМо+1 - апсолутна фреквенција класе после модалне - ширина класног интервала

1MM1MM

1MMMo

oooo

ooo ffff

ffLM

ПРИМЕР 10.Анкетирана је популација од 50 студената о броју положених испита и добијени су следећи резултати:

7 4 12 3 7 8 6 59 9 10 11 6 7 8 69 4 5 5 7 3 9 86 8 7 6 8 9 6 74 10 11 11 12 6 7 78 4 10 11 4 12 6 78 9.

Одредити модус анкетиране популације.Microsoft Excel

Worksheet

Број положених

испита

Апсолутна фреквенција

fi

Релативна фреквенција

pi

Кумулативна фреквенција

Ki

Kумулативна фреквенција

Wi 3 2 2/50 = 0,04 2 504 5 5/50 = 0,10 7 485 3 3/50 = 0,06 10 436 8 8/50 = 0,16 18 407 9 9/50 = 0,18 27 328 7 7/50 = 0,14 34 239 6 6/50 = 0,12 40 16

10 3 3/50 = 0,06 43 1011 4 4/50 = 0,08 47 712 3 3/50 = 0,06 50 3

fi = 50 pi = 1

ТАБЕЛАРНИ ПРИКАЗ УРЕЂЕНИХ ПОДАТАКА

0123456789

10

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Број положених испита

Ап

сол

утн

а ф

рек

вен

ци

јаГРАФИЧКИ ПРИКАЗ

АПСОЛУТНЕ ФРЕКВЕНЦИЈЕ

ПРИМЕР 11. Анкетирана је популација од 50 студената о

својој тежини у килограмима и добијени су следећи резултати:

57 84 112 83 77 68 96 10590 69 102 71 68 72 78

76 89 74 55 85 87 73 8978 67 68 74 69 80 79 6667 64 104 110 91 92 68 7577 82 64 101 91 64 62 6573 81 91

Израчунати модус анкетиране популације.Microsoft Excel

Worksheet

Интервалтежине у

kg

Апсолутна фреквенција

fi

Релативна фреквенција

pi

Кумулативна фреквенција

Ki

Kумулативна фреквенција

Wi [50,60) 2 2/50 = 0,04 2 50[60,70) 14 14/50 = 0,28 16 48[70,80) 13 13/50 = 0,26 29 34[80,90) 9 9/50 = 0,86 38 21[90,100) 6 6/50 = 0,12 44 12

[100,110) 4 4/50 = 0,08 48 6[110,120) 2 2/50 = 0,04 50 2

fi = 50 pi = 1

ТАБЕЛАРНИ ПРИКАЗ УРЕЂЕНИХ ПОДАТАКА

ГРАФИЧКИ ПРИКАЗ АПСОЛУТНЕ ФРЕКВЕНЦИЈЕ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Teжина

Ап

сол

утн

а ф

рек

вен

ци

ја

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

100-110

110-120

РЕШЕЊЕ 11. ЗАДАТКА • Модус се израчунава по формули

LMo = 60 почетак модалне класе fМо = 14 апс. фреквенција модалне класе

fМо-1 = 2 апс. фреквенција класе пре модалне

fМо+1 = 13 апс. фреквенција класе после модалне = 10 ширина класног интервала

1MM1MM

1MMMo

oooo

ooo ffff

ffLM

kg23,6913

1206010

1314214214

60Mo

МЕДИЈАНА

• За негруписане податке медијана (Ме) је она вредност обележја која се налази у средини уређене статистичке серије. Дакле, број чланова популације који су мањи од (Ме) једнак је броју чланова популације који су већи од (Ме).

• За груписане податке дискретног типа:

• Ако је број чланова серије непаран медијана (Ме) је једнака вредности средњег члана серије.

• Ако је број чланова серије паран, онда је медијана (Ме) једнака аритметичкој средини вредности које припадају средња два члана серије.

МЕДИЈАНА• За груписане податке непрекидног типа медијана (Ме) је она вредност која дели хистограм на два дела једнаких површина.

• Да би се одредила медијана потребно је прво одредити медијалну класу (Ме,кl).

• Медијална класа се одређује из услова

kl,e1kl,eM

1ii

M

1ii f

2N

f

МЕДИЈАНА• Медијана (Ме) се одређује из једначине:

где је: LMе,кl - почетак медијалне класе fМе.кl - апсолутна фреквенција медијалне класе

N - број чланова популације fi - апсолутна фреквенција i–те класе

- ширина класног интервала

kl,Me

1M

1ii

Me f

f2N

LM

kl,e

kl,e

ПРИМЕР 12.Анкетирана је популација од 50 студената о броју положених испита и добијени су следећи резултати:

7 4 12 3 7 8 6 59 9 10 11 6 7 8 69 4 5 5 7 3 9 86 8 7 6 8 9 6 74 10 11 11 12 6 7 78 4 10 11 4 12 6 78 9.

Одредити медијану анкетиране популације.Microsoft Excel

Worksheet

Број положених

испита

Апсолутна фреквенција

fi

Релативна фреквенција

pi

Кумулативна фреквенција

Ki

Kумулативна фреквенција

Wi 3 2 2/50 = 0,04 2 504 5 5/50 = 0,10 7 485 3 3/50 = 0,06 10 436 8 8/50 = 0,16 18 407 9 9/50 = 0,18 27 328 7 7/50 = 0,14 34 239 6 6/50 = 0,12 40 16

10 3 3/50 = 0,06 43 1011 4 4/50 = 0,08 47 712 3 3/50 = 0,06 50 3

fi = 50 pi = 1

ТАБЕЛАРНИ ПРИКАЗ УРЕЂЕНИХ ПОДАТАКА

0123456789

10

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Број положених испита

Ап

сол

утн

а ф

рек

вен

ци

јаГРАФИЧКИ ПРИКАЗ

АПСОЛУТНЕ ФРЕКВЕНЦИЈЕ

МЕДИЈАНА1 3 26 7

2 3 27 7

3 4 28 8

4 4 29 8

5 4 30 8

6 4 31 8

7 4 32 8

8 5 33 8

9 5 34 8

10 5 35 9

11 6 36 9

12 6 37 9

13 6 38 9

14 6 39 9

15 6 40 9

16 6 41 10

17 6 42 10

18 6 43 10

19 7 44 11

20 7 45 11

21 7 46 11

22 7 47 11

23 7 48 12

24 7 49 12

25 7 50 12

72

772

xxM 2625

e

ПРИМЕР 13. Анкетирана је популација од 50 студената о

својој тежини у килограмима и добијени су следећи резултати:

57 84 112 83 77 68 96 10590 69 102 71 68 72 78

76 89 74 55 85 87 73 8978 67 68 74 69 80 79 6667 64 104 110 91 92 68 7577 82 64 101 91 64 62 6573 81 91

Израчунати медијану анкетиране популације.Microsoft Excel

Worksheet

Интервалтежине у

kg

Апсолутна фреквенција

fi

Релативна фреквенција

pi

Кумулативна фреквенција

Ki

Kумулативна фреквенција

Wi [50,60) 2 2/50 = 0,04 2 50[60,70) 14 14/50 = 0,28 16 48[70,80) 13 13/50 = 0,26 29 34[80,90) 9 9/50 = 0,86 38 21[90,100) 6 6/50 = 0,12 44 12

[100,110) 4 4/50 = 0,08 48 6[110,120) 2 2/50 = 0,04 50 2

fi = 50 pi = 1

ТАБЕЛАРНИ ПРИКАЗ УРЕЂЕНИХ ПОДАТАКА

ГРАФИЧКИ ПРИКАЗ АПСОЛУТНЕ ФРЕКВЕНЦИЈЕ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Teжина

Ап

сол

утн

а ф

рек

вен

ци

ја

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

100-110

110-120

РЕШЕЊЕ 13. ЗАДАТКА • Мeдијална класа Ме,кl је класа [70,80) јер је збир фреквенција у прве две класе једнак 16, а збир фреквенција у прве три класе 29. Како је 16 < 25 < 29 то је трећа класа у ствари медијална класа.• Следи да је: LMе,кl = 70 почетак медијалне класе fМе.кl = 13 апс. фреквенција медијалне класе

N = 50 број чланова популације fi = апс. фреквенција i–те класе

= 10 ширина класног интервала

kg92,761390

701013

)142(2570Me