View
217
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 1
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS III
1. Determine los valores extremos de
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2𝑥𝑦 − 12𝑥 − 6𝑦 − 9𝑧
Buscamos las derivadas parciales
𝑓𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑦 − 12
𝑓𝑦 = 2𝑦 + 2𝑥 − 6
𝑓𝑧 = 2𝑧 − 9
Igualamos las derivadas a cero
0 = 3𝑥2 + 2𝑦 − 12
0 = 2𝑦 + 2𝑥 − 6
0 = 2𝑧 − 9
De la tercera ecuación, se tiene
𝑧 = 9
2
De la segunda
𝑦 = 3 − 𝑥
De la primera
0 = 3𝑥2 + 2(3 − 𝑥) − 12
0 = 3𝑥2 + 6 − 2𝑥 − 12
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 2
0 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 6
Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene
𝑥 = −1.12 ; 𝑥 = 1.8
Si 𝑥 = −1.12, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 3— (−1.12) = 4.12
𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 ( −1.12, 4.12,9
2)
Si 𝑥 = 1.18, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 3— 1.18 = 1.82
𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 ( 1.18,1.82,9
2)
Buscamos las segundas derivadas y planteamos el hessiano
𝐻 = |6𝑥 2 02 2 00 0 2
|
Evaluamos el hessiano en el punto
𝐻( −1.12, 4.12,9
2) = |
6(−1.12) 2 02 2 00 0 2
|
𝐻( −1.12, 4.12,9
2) = |
−6.72 2 02 2 00 0 2
|
Evaluamos
𝐻1 = |−6.72| = −6.72
𝐻2 = |−6.72 2
2 2| = −13,44 − 4 = −17.44
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 3
𝐻3 = |−6.72 2 0
2 2 00 0 2
| = 2 |−6.72 2
2 2| = −34.88
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 ( −1.12, 4.12,9
2) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎
Evaluamos el hessiano en el punto
𝐻( 1.18, 1.82,9
2) = |
6(1.18) 2 02 2 00 0 2
|
𝐻( −1.12, 4.12,9
2) = |
7.08 2 02 2 00 0 2
|
Evaluamos
𝐻1 = |7.08| = 7.08
𝐻2 = |7.08 2
2 2| = 14.16 − 4 = 12.16
𝐻3 = |7.08 2 0
2 2 00 0 2
| = 2 |7.08 2
2 2| = 24.32
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 4
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 ( 1.18,1.82,9
2) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
2. Determine por integración doble, el área encerrada entre las
curvas
𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4 ; ℎ(𝑥) = −2𝑥 + 6
Graficamos las curvas
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 5
𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥2𝑥+4
𝑥2
0.5
−1.24
+ ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥−2𝑥+6
𝑥2
1.65
0.5
𝐴 = ∫ 𝑦𝑥22𝑥+4𝑑𝑥
0.5
−1.24
+ ∫ 𝑦𝑥2−2𝑥+6𝑑𝑥
1.65
0.5
𝐴 = ∫ (2𝑥 + 4 − 𝑥2)𝑑𝑥0.5
−1.24
+ ∫ (−2𝑥 + 6 − 𝑥2)𝑑𝑥1.65
0.5
𝐴 = 𝑥2 + 4𝑥 −𝑥3
3|
−1.24
0.5
+ (−𝑥2 + 6𝑥 −𝑥3
3)|
0.5
1.65
𝐴 = 4,965 + 8,416 = 13,381
3. a) Determine el volumen del solido delimitado por los paraboloides
𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥2 − 𝑦2 ; 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 6
Buscamos puntos de intersección
𝑥2 + 𝑦2 = 16 − 𝑥2 − 𝑦2
2𝑥2 + 2𝑦2 = 16
𝑥2 + 𝑦2 = 8
Límites de integración en coordenadas polares
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥16−𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
√8−𝑥2
−√8−𝑥2
2√2
−2√2
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃16−𝑟2
𝑟2
2𝜋
0
2√2
0
0 ≤ 𝑟 ≤ 2√2
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 7
𝑉 = ∫ ∫ 𝑧𝑟216−𝑟2
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃2𝜋
0
2
0
𝑉 = ∫ ∫ (16 − 2𝑟2)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃2𝜋
0
2
0
𝑉 = (∫ (16𝑟 − 2𝑟3)2√2
0
𝑑𝑟) (∫ 𝑑𝜃2𝜋
0
)
𝑉 = (8𝑟2 −𝑟2
2)
0
2√2
(𝜃)02𝜋
𝑉 = 64𝜋
b) Determine el volumen del solido delimitado por el plano 𝑧 = 4 y el
paraboloide 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 8
Cuando 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 se tiene 𝑥2 + 𝑦2 = 4 circunferencia de radio 2
Buscamos los milites de integración en coordenadas polares
𝑧 = 4
0 ≤ 𝑟 ≤ 2
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑟2
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 9
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃4
𝑟2
2𝜋
0
2
0
𝑉 = ∫ ∫ 𝑧|𝑟24 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
2𝜋
0
2
0
𝑉 = ∫ ∫ (4 − 𝑟2)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃2𝜋
0
2
0
𝑉 = (∫ (4𝑟 − 𝑟3)𝑑𝑟2
0
) (∫ 𝑑𝜃2𝜋
0
)
𝑉 = (2𝑟2 −𝑟4
4)
0
2
(𝜃)02𝜋
𝑉 = 8𝜋
4.a) Determine los extremos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦2 sujetos a la
restricción 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 ≤ 4.
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦2
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 − 4
Multiplicadores de LaGrange
2𝑥 = (2𝑥 − 2)𝜆
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 10
6𝑦 = 2𝑦𝜆
𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 − 4 = 0
De la segunda ecuación
6𝑦 − 2𝑦𝜆 = 0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 2𝑦(3 − 𝜆) = 0
𝑦 = 0 ; 𝜆 = 3
Si 𝑦 = 0
𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 0
Tenemos los puntos
(−1.23 , 0) , (3.25 , 0)
Si 𝜆 = 3
2𝑥 = (2𝑥 − 2) ∗ 3
2𝑥 = 6𝑥 − 6 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 3
2
(3
2)
2
− 2 (3
2) + 𝑦2 − 4 = 0
𝑦2 =19
4 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 =
±√19
2
Tenemos los puntos
(3
2,√19
2) , (
3
2,−√19
2)
Evaluamos la función en los puntos críticos
(−1.23 , 0) , (3.25 , 0)
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 11
𝑓(−1.23,0) = (−1.23)2 = 1.51
𝑓(3.25,0) = (3.25)2 = 10.56
𝑓 (3
2,√19
2) = (
3
2)
2
+ 3 (√19
2)
2
=9
4+
57
4= 16.5
𝑓 (3
2,−√19
2) = (
3
2)
2
+ 3 (−√19
2)
2
=9
4+
57
4= 16.5
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 (−1.23 , 0 , 1.51)
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 (3
2,√19
2,33
2) , (
3
2,−√19
2,33
2)
b) Determine la distancia mínima del origen a la superficie
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 1
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜: 𝑑(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2
Aplicando multiplicadores de LaGrange
2𝑥
√𝑥2 + 𝑦2= 𝑦𝜆
2𝑦
√𝑥2 + 𝑦2= 𝑥𝜆
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 12
𝑥𝑦 − 1 = 0
2𝑥𝑦
√𝑥2 + 𝑦2= 𝑦2𝜆
2𝑦𝑥
√𝑥2 + 𝑦2= 𝑥2𝜆
𝑥𝑦 − 1 = 0
𝑥2𝜆 − 𝑦2𝜆 = 0
(𝑥2 − 𝑦2)𝜆 = 0
𝜆 = 0 ; 𝑥 = 𝑦
𝑠𝑖 𝜆 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑥 𝑥 = 0 , 𝑦 = 0
𝑥 = 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥2 − 1 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = ±1 ; 𝑦 = ±1
El punto ( 0,0) no esta en la superficie
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 1
Para cualquier punto (±1 , ±1) la distancia es
𝑑 = √2
5) a) Aplique la regla de la cadena para determinar 𝑑𝑓
𝑑𝑟 ;
𝑑𝑓
𝑑𝑠 si
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 4𝑥𝑦 + 𝑒𝑥+𝑦
EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 13
𝑥(𝑟, 𝑠) = 𝑟2𝐿𝑛𝑠 ; 𝑦(𝑟, 𝑠) = 𝑠2𝐿𝑛𝑟
𝑑𝑓
𝑑𝑟=
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑟+
𝑑𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑟
𝑑𝑓
𝑑𝑟= (2𝑥𝑦3 + 4𝑦 + 𝑒𝑥+𝑦)2𝑟𝐿𝑛𝑠 + (3𝑥2𝑦2 + 4𝑥 + 𝑒𝑥+𝑦)
𝑠2
𝑟
𝑑𝑓
𝑑𝑠=
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑠+
𝑑𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑠
𝑑𝑓
𝑑𝑟= (2𝑥𝑦3 + 4𝑦 + 𝑒𝑥+𝑦)
𝑟2
𝑠+ (3𝑥2𝑦2 + 4𝑥 + 𝑒𝑥+𝑦)2𝑠𝐿𝑛𝑟
b) Determine la derivada implícita de
𝑆𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝐿𝑛(2𝑥2 + 3𝑦2) + 𝑒𝐿𝑛(𝑥3𝑦2) = 0
Reescribimos la función
𝑆𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝐿𝑛(2𝑥2 + 3𝑦2) + 𝑥3𝑦2 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑦𝐶𝑜𝑠(𝑥𝑦) +4𝑥
2𝑥2 + 3𝑦2 + 3𝑥2𝑦2
𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑥𝑦) +6𝑦
2𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑥3𝑦
Recommended