1.8 Energía potencial eléctrica y definición de potencial eléctrico

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1.8 Energía potencial eléctrica y definición de 1.8 Energía potencial eléctrica y definición de potencial eléctrico.potencial eléctrico.

Trayectoria de una carga en una curvaTrayectoria de una carga en una curva

Si queremos desplazar la carga q en contra de la fuerza ejercida por el campo eléctrico, desde A hasta B, el trabajo realizado por el agente externo es:

ldEqldFWB

La integral de línea entre dos puntos A y B es independiente de la trayectoria, de acuerdo al teorema de Stokes

Rotacional del campo E

Para cualquier función escalar de variable vectorial V‘ se cumple que :

0),,( zyxE

0),,( zyxV

Tomando en cuenta que el campo y el la Tomando en cuenta que el campo y el la función escalar, pueden quedar expresados función escalar, pueden quedar expresados como:como:

),,().,( zyxVzyxE

AldVldE

Igualando las integrales, la cual varía Igualando las integrales, la cual varía solamente respecto de los puntos A y Bsolamente respecto de los puntos A y B

• Para demostrar que la integral de línea solo depende de las posiciones de los extremos. • Tomemos la siguiente figura, sea una trayectoria A B

3Δℓ1

Δℓ2

Δℓ3

Demostración de que la variación de una función en la Demostración de que la variación de una función en la dirección dirección dldl desde desde AA hasta hasta BB es independiente de la es independiente de la trayectoria. (trayectoria. (Sea la trayectoria de A hasta B)

Si Si ΔΔℓℓi i son muy pequeños son muy pequeños ΔνΔν‘ tiende a ser un ‘ tiende a ser un diferencial diferencial

AAAzyxVzyxVV

dzkdyjdxild

igualandoigualando

Donde Donde 1V

De manera similar del punto 1 al 2 De manera similar del punto 1 al 2

11111lVzyxVzyxV

Es el gradiente de V‘ en el Es el gradiente de V‘ en el punto 1 de la curva.punto 1 de la curva.

22111222lVzyxVzyxV

dVV )(

Para los puntos 2 a 3

Donde Donde 3V

Y de igual forma para todos los puntos de la curva.Y de igual forma para todos los puntos de la curva.

Es el gradiente de V‘ en el Es el gradiente de V‘ en el punto 3 de la curva.punto 3 de la curva.

33222333 lVzyxVzyxV

Al sumar todas las contribuciones de los n elementos de Δℓi , se eliminan todos los componentes quedan solamente:

Cuando 0il

iAAABBB

lVzyxVzyxV

AAAABBB ldVzyxVzyxV

Por lo anterior, se concluye que la integral de línea solamente depende de las posiciones inicial y final de una trayectoria.

AAAABBB ldVzyxVzyxV

Para cuando una carga se mueve del punto A hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la variación de la energía potencial eléctrica U

Por lo tanto se puede obtener una diferencia de energías potenciales.

ENERGÍA POTENCIAL.

Para cuando una carga se mueve del punto A hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la variación de la energía potencial eléctrica U

Por lo tanto se puede obtener una diferencia de energías potenciales.

Lo anterior aplicado al campo eléctrico E

La energía potencial eléctrica en el punto A, tomando una referencia de cero en el infinito es:

AA ldEqWU

Lo anterior representa el trabajo de traer la carga q desde infinito hasta ALa Energía potencial por unidad de carga se le conoce como el potencial eléctrico en el punto A y es VA, siendo este potencial un escalar

AA ldE

Las unidades son Las unidades son

VvoltC

Coulomb

Si el puntoSi el punto A A esta a un potencial esta a un potencial VVAA y el punto y el punto BB a un potencial a un potencial VVBB, , existe una diferencia de potencial entre existe una diferencia de potencial entre AA y y BB y se expresa y se expresa como:como:

BAABVVV

Se cumple que Se cumple que

Si expresamos lo anterior como las trayectorias de A hasta B Si expresamos lo anterior como las trayectorias de A hasta B y recordando el potencial en Ay recordando el potencial en A

BAAB ldEldEVVV

ABBAABVVVV

AA VldEq

Como es conservativo el campo, las trayectorias Como es conservativo el campo, las trayectorias de -∞ a A sigue la trayectoria iniciar en el extremo de -∞ a A sigue la trayectoria iniciar en el extremo de B , por lo que de B , por lo que

Por lo tanto la diferencia de potencial de A a B es:Por lo tanto la diferencia de potencial de A a B es:

BAB ldEV

BAldEldEldE

La expresión anterior, permite obtener el potencial eléctrico a partir de la distribución de carga del campo de origen.

Es decir, es posible calcular el potencial o diferencia de potencial debido al campo eléctrico creado por una carga, una línea, una superficie, entre otras distribuciones.

BAB ldEV

Y el trabajo para mover una carga de un punto A hacia un punto B es:

BAB ldEV

ABA ldEqW

BBA qVldEqW

Potencial debido a una carga puntualPotencial debido a una carga puntual

El campo E de una El campo E de una carga puntual: carga puntual:

El potencial en A El potencial en A es Ves VAA

Vector rVector r: :

Vector dl:

Carga puntual Carga puntual QQ , y trayectoria , y trayectoria dldl en en dirección hacia la carga.dirección hacia la carga.

Además de dAdemás de dll= -dr = -dr

dlldrldr cosˆˆ

El producto punto de dr y dl, donde dl esta en dirección a la carga.

Resolviendo la Resolviendo la integral definidaintegral definida

El potencial en A es El potencial en A es VVAA debido a una debido a una carga puntual es:carga puntual es:

Resolviendo la Resolviendo la integral definidaintegral definida

El potencial en A es El potencial en A es VVAA debido a una debido a una carga puntual es:carga puntual es:

Potencial para una carga puntual.Potencial para una carga puntual.

Para n cargas puntuales, se obtiene el potencial debido a cada carga y se suman por superposición.

122204

Para el potencial en coordenas Para el potencial en coordenas cartesianas.cartesianas.

Para el caso de distribuciones de carga Para el caso de distribuciones de carga

Para el caso de distribuciones de carga superficial.Para el caso de distribuciones de carga superficial.

Para el potencial en coordenas Para el potencial en coordenas cartesianas.cartesianas.

Considere la carga Q en el siguiente esquema.Obtener la diferencia de potencial de i a f que realiza un agente externo para mover una carga Q de i a f.

iiffi ldEVVV

El campo por una carga puntual es :

E ˆ41

dldlldrldr

180cos1cosˆˆ

La diferencia de potencial de f a i

iiffi rQ

fi )11

• Diferencia de potencial entre dos puntos producidos por una línea con λ

Diferencia de potencial entre dos puntos f, i producida por una superficie infinita cargada uniformemente

• El campo en una superficie con distribución δ

yiiffi

ydyVVV

jE ˆ2 0

Diferencia de potencial por dos superficies infinitas paralelas de signo contrario y de igual magnitud.

VdEyyV

ydyldEVVV

jE ˆ2 0

Próxima sesión:Próxima sesión:

Ejemplos de potencial y:Ejemplos de potencial y:

1.9 Cálculo de diferencias de potencial 1.9 Cálculo de diferencias de potencial (carga puntual, segmento de línea, superficie (carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, placas planas y paralelas).infinita, placas planas y paralelas).

1.10 El gradiente de potencial eléctrico.1.10 El gradiente de potencial eléctrico.

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