View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
StatistikaTeknikRentangKeyakinan
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
1
MagisterPengelolaanAirdanAirLimbahUniversitasGadjahMada
RentangKeyakinan• EstimasiParameter• Distribusiprobabilitasmemilikisejumlahparameter.• Parameter-parametertsbumumnyatakdiketahui.• Nilaiparametertersebutdiperkirakan(di-estimasi-kan)berdasarkannilaiyangdiperolehdaripengolahandata.
• Estimasi• Estimasitunggal(pointestimates)• Rentangkeyakinan(confidenceintervals)
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
2
RentangKeyakinan• Estimasitunggal• Contoh
• Nilairata-ratasampelsbgestimasinilairata-ratapopulasi.
• Nilaisimpanganbakusampelsbgestimasinilaisimpanganbakupopulasi.
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
3
X →µ
sX →σX
RentangKeyakinan
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
4
• Estimasiparameterq
θ̂
estimasi! → θ
parameter!
Dicarisuatuinterval[L,U]yangmemilikiprobabilitas(1– α)bahwaintervaltsbmengandungθ.
prob(L <θ<U)=(1– α)
L =batasbawahrentangkeyakinan.U =batasatasrentangkeyakinan.(1– α)=tingkatkeyakinan(confidencelevel,confidencecoefficient).L danU =variabelrandom
à Pers(1)
RentangKeyakinan• Contoh• DatadebitSungaiAselamatahun1981s.d.2000menunjukkanbahwadebitrata-rataadalah77m3/s.• Kitadapatmemperkirakandebitrata-rataSungaiAadalah77m3/s.
• Kitamenyadaribahwaperkiraantsbdapatsalah;bahkandarisisipengertianprobabilitas,kitatahubahwadebitrata-ratasamadengan77m3/sadalahhampirtidakmungkinterjadi:
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
5
prob Q = 77 m3 s( ) = 0
BatasBawahdanBatasAtas• MetodeOstle:methodofpivotalquantities• DicarivariabelrandomV yangmerupakanfungsiparameterθ (θ =unknown),tetapidistribusiV initidakbergantungpadaparameteryangtidakdiketahui.
• Ditentukanv1 danv2 sedemikianhingga:
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
6
prob v1
BatasBawahdanBatasAtas• MetodeOstle:methodofpivotalquantities
• Persamaandiatasdiubahkedalambentukprob(L <θ <U)=1− α
• L danU adalahvariabelrandomdanfungsiV,tetapibukanfungsiθ.
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
7
prob v1
ConfidenceInterval:μsuatudistribusinormal• Mencariinterval[L,U]yangmengandungµ,prob(L<µ<U)=1– α
• MisalkanvariabelrandomV:
• V berdistribusit dengan(n – 1)degreesoffreedom• n adalahjumlahsampelyangdipakaiuntukmenghitungnilairata-ratasampel,
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
8
V =
X −µsX
X
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
9
V =
X −µsX
à berdistribusit?
• Bukti
Distribusit: X =Y
ν
U, ν = degree of freedom
V =X −µ
sX=
X −µ
sX
2 n=
X −µ( ) σs
X
2 σ n=
X −µ( )σ n
⋅1
sX2 σ2
=X −µ( )σ n
⋅n−1
Xi −X( )2∑ σ2
=Y ⋅ν
U
→Y =
X −µ
ν n, U =
Xi −X( )2∑
σ2, ν = n−1
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
10
• Pers(2):
prob v1
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
11
prob v1 <X −µsX
< v2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =1−α
prob tαa ,n−1 <X −µsX
< t1−αb ,n−1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =1−α
prob X + tαa ,n−1 ⋅ sX < µ < X + t1−αb ,n−1 ⋅ sX( ) =1−α
ℓ u
ℓ = X + tαa ,n−1 ⋅ sXu = X + t1−αb ,n−1 ⋅ sX
Jadi,confidencelimits:
sX = sX n
tαa ,n−1→ tabel distribusi t
18-Aug-17
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
12
• Jikadikehendakiprobabilitasconfidenceintervalsimetris,makav1danv2 dipilihsedemikianhinggaprob(t <v1)=prob(t >v2).
• Karenasimetri,makaαa =αb =α/2• Yangdicariadalah(1– α)=100(1– α)%confidenceintervalàmaka:prob(t <v1)=α/2=prob(t >v2)
luas=(1– α)/2 luas=(1– α)/2
luas=α/2 luas=α/2
tα 2 = −t1−α 2
t1−α 2
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
13
luas=1– α/2luas=1– α/2
luas=α/2 luas=α/2
2at 21 a-t
2at 21 a-t
luas=1– α luas=α/2luas=α/2
21 a-- t
Distribusit
18-Aug-17
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
14
ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sXu = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX
• Dengandemikian,confidencelimitsjikaprobabilitasconfidenceintervalsimetriadalah:
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
15
luas=1– αluas=1– αluas=αluas=α
n Kadangdikehendakiprobabilitasconfidenceintervalsatusisiq batasbawah à prob(t <v1)=αq batasatas à prob(t >v2)=α
prob V > v1( ) =1−α ⇒ probX −µ
sX> v1
$
%&
'
() =1−α
prob V < v2( ) =1−α ⇒ probX −µ
sX< v2
$
%&
'
() =1−α
at a-1t
18-Aug-17
Distribusit• Notasi• tγ,n=nilait sedemikianhinggaprobabilitasvariabelrandomtdengann degreesoffreedom adalahlebihkecildaripadaγ.
• misalkan:t0.95,50 =nilait sedemikianhinggaprob(t <t0.95,50)=0.95untuktyangmemiliki50degreesoffreedom.
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
16
18-Aug-17
Distribusit• Dapatdibacaditabeldistribusit• TabelDistribusit
• Dapatdihitungdenganperintah/fungsiMSExcel• T.DIST(t,ν,true)
• menghitungnilaiprob(T <t)• untukmenghitungnilaiprob(T >t)à 1– T.DIST(t,ν,true)• t =nilaiyangdiinginkanuntukdicaridistribusinya• ν =degreeoffreedom• one-taileddistribution
• T.INV(p,ν)• mencarinilait jikanilaip =prob(T <t)diketahui• one-taileddistribution
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
17
Distribusit
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
18
untuk50degreesoffreedom
t =1.6
t =1.6t =–1.6
t
0.95
t–t
0.95
18-Aug-17
prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942
prob(T <1.6)=1– T.DIST.RT(1.6,50)=0.942
prob(–1.6<T <1.6)=1– T.DIST.2T(1.6,50)=0.884
prob(T <t)=0.95
t =T.INV(0.95,50)=1.68
prob(-t <T <t)=0.95
t =T.INV.2T(1-0.95,50)=2
RentangKeyakinan:µsuatudistribusinormal• Apabilavarianpopulasidiketahui,makavariabelrandomV didefinisikansbb.:
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
19
V =
X −µσX
, σX = σX n
à V berdistribusinormal
RentangKeyakinan:µsuatudistribusinormal,σdiketahui
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
20
• Rentangkeyakinan
bz
1−α αb αa
zα 2 = −z1−α 2
z1−α 2
1−α α 2 α 2
• Jikaprobabilitasrentangkeyakinandiinginkansimetris
za
ℓ = X + za ⋅σX
n
u = X + zb ⋅σX
n
ℓ = X − z1−α 2 ⋅σX
n
u = X + z1−α 2 ⋅σX
n
RentangKeyakinan:σ2 suatudistribusinormal• Mencariinterval[L,U]yangmengandungσ2 denganpeluangprob(L <σ2 <U)=1– α.• DidefinisikanvariabelrandomV:
• à V berdistribusichi-kuadratdengan(n – 1)degreesoffreedom.
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
21
V =
n−1( ) sX2σX
2
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
22
prob v1
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
23
§ JadibatasbawahdanbatasatasrentangyangmengandungσX2 dengantingkatkeyakinan(1– α)adalah:
ℓ =n−1( ) sX2χ1−α 2,n−1
2
u =n−1( ) sX2χα 2,n−1
2
• batasbawah:
• batasatas:
Catatan: X berdistribusinormal
χ2 berdistribusichi-kuadrat
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
24
§ Distribusichi-kuadrattidaksimetris:
sX2 − ℓ ≠ u − sX
2
n »→(n – 1)»→distribusimendekatidistribusisimetris,
sX2 beradakira-kiraditengah-tengahrentang[L,U].
χα 2
2
χ1−α 2
2
1−α α 2
α 2
18-Aug-17
RentangKeyakinanSatuSisi• Hanyadiinginkansatusisirentangkeyakinansaja• hanyabatasbawahrentangkeyakinanµ
• hanyabatasatassajarentangkeyakinanµ
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
25
prob L < θ( ) =1−α ⇒ ℓ = X − t1−α ,n−1
prob θ
18-Aug-17
http://istia
rto.staff.ugm
.ac.id
26
Recommended