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15.3 收敛定理的证明. 极限的算术平均值 , 即. 方法是把该极限表达式化为积分 , 利用. R—L 定理证明相应积分的极限为零. 于是把问题归结为证明. 这两式的证明是相同的 , 只证第一式. 3 为证上述第一式 , 先利用三角公式. 建立所谓 Dirichlet 积分. 于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为. 4 利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零 . 为此 , 先证明 Bessel 不等式 , 再建立 Riemann — Lebesgue 定理 , 然后把以上最后的式子化为. - PowerPoint PPT Presentation
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15.3 收敛定理的证明Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑,则在每一点 ,
的 Fouri er 级数收敛于 在点 的左、右
极限的算术平均值 , 即
其中 和 为 的 Fouri er 系数.
证明思路: 设 ~
对每个 , 我们要证明
.
.
即证明 .
方法是把该极限表达式化为积分 , 利用
R—L 定理证明相应积分的极限为零 .
1 写出 的简缩形式.
称这一简缩形式为 的积分形式 , 或称为Di ri chlet积分, 2 利用该表示式, 式 可化为
+ ,
于是把问题归结为证明
,
.
这两式的证明是相同的 , 只证第一式 .
3 为证上述第一式 , 先利用三角公式
建立所谓 Dirichlet 积分
利用该式把 表示为积分,即把 表示
为 Di ri chlet积分
.
于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为
.
4 利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零 . 为此 , 先证明 Bessel 不等式 , 再建立 Riemann — Lebesgue 定理 , 然后把以上最后的式子化为
.
5 把上式化为应用 R — L 定理的形式 , 即令
则
为使最后这一极限等于零, 由 R — L定理, 只要
函数 在区间 上可积. 因此希望 存在.
由函数 在区间 上按段光滑, 可以验证
存在.
预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 在区间
上可积, 则有 Bessel 不等式
其中 和 为函数 的 Fouri er 系数. 推论 1 ( Ri emann— Lebesgue定理 )
若函数 在区间 上可积, 则有
推论 2若函数 在区间 上可积, 则有
预备定理 2 若 是以 为周期的周期函数,
且在区间 上可积, 则函数 的
Fouri er 级数部分和 有积分表示式
当 时, 被积函数中的不定式由极限
来确定 .
Dirichlet 积分 :
证 由三角公式
.
三维空间中 则 (1)
将此结论推广到 维空间, 即为
,
则
若
对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数
自然应有
这就是有名的 Bessel 不等式 , 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样 , 都是利用坐标系的正交性 .
Parseval 等式 ( 或称 Ляпинов 等式 )
设可积函数 的 Fouri e级数在区间
上一致收敛于 , 则成立 Parseval 等式
.
证明 注意到此时函数 在区间
可积 , 由 Bessel 不等式, 有
.
现证对 , 有
.
事实上, 令
由 一致收敛于 ,
对 对 ,
有 , 因此 ,
即当 时有
.
令 , .
由 的任意性, 有
.
综上即得所证 .
Fourier 级数与三角级数的区别: Fourier 级数是三角级数,但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的 Fourier 级数 .
一个三角级数是 Fourier 级数 ( 即是某个可积函数的 Fourier 级数 ) 的必要条件为 :
若三角级数 为 Fourier级数, 则数项级数 收敛.
比如正弦级数 是收敛的三角级数(利用Di ri chlet判别
法) , 由级数 发散, 正弦级数 不是 Fourier级数.
傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16) 他从 1800 年开始研究热传导 1811 年因解答科学院提出的问题而获奖, 1822 年出版了他的名著《热的分析理论》,把数学成功地应用于物理,引入了热传导方程,并得到在各种边界条件下的解答;他开创了分析的一个重要分支 - 傅里叶级数,这在数学、物理、工程技术上有广泛应用,对现代数学产生了重大影响。
法国数学家,出生在一个裁缝家庭,家境贫寒,八岁时成为孤儿,由于才华出众, 1790年成为巴黎工科大学教授。1798年参加拿破仑的远征军,回国后当了县地方长官。拿破仑垮台后,失去职务,转向数学研究 1827年当选为法国科学院院士。
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