1 Os Modelos de Markowitz e Sharpe O CAPM Prof. Dr. Roberto Arruda de Souza Lima Outubro 2013...

1

Os Modelos de Markowitz e Sharpe

O CAPM

Prof. Dr. Roberto Arruda de Souza Lima

Outubro 2013

Baseado em SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. São Paulo: Atlas, 1996.

LES 470 – MERCADO DE CAPITAIS

2

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco

Considere uma carteira de investimentos composta dos ativos A1, A2 e A3, nas proporções

w1, w2 e w3, respectivamente.

São conhecidos os retornos médios Im1, Im2 e

Im3, bem como os desvios IS1, IS2 e IS3,

respectivamente.

As covariâncias dos retornos dos ativos são dadas por: cov(I1, I2 ), cov(I1, I3) e cov(IS2, IS3).

3

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco

Retorno: ImC

ISC: Risco

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco

4

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco

Retorno: ImC

ISC: Risco

No plano variância-retorno:

Variância:IV 2sc

5

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco

Retorno: ImC

Variância:IV 2sc

Pr1

a1

VbaI:r 11C1

r

a

Dentre todas as retas que têm um único ponto em comum com a curva, a equação da reta tangente deverá ter o mínimo valor para o termo independente a.

6

Diversificação do Risco de uma Carteira

Equações das retas que passam por P:

VbaI jjC

Condição para que seja tangente à curva:

bVIamínimoa Cj min

Ponto P: PP IVP ;Em termos de variância retorno

321 ,, PEm termos de composição da carteira

7

Diversificação do Risco de uma Carteira

Assim, o ponto P deve satisfazer às seguintes condições:

332211 IIII C

bVIamínimoa Cj min

1,,0,1, 321321 comEm que

e

21212

323

22

22

21

21

2 ,cov2 IIIIIVI SSSSC

32323131 ,cov2,cov2 IIII

e

8

Diversificação do Risco de uma Carteira

Obtidos os pontos PSCP IIVP ;2

321 ,,

Pode-se obter os pontos PSC IIP ; que serão pontos da fronteira eficiente de investimentos dos ativos com risco, ambos definidos pela mesma composição

das carteiras.

Próximo passo: obter a composição da carteira que dá os pontos tipo P.

9

Diversificação do Risco de uma Carteira

Obter

bVIa C min

1,,0,1, 321321 ecom

321 ,, tais que:

Ou seja

01,,, 321321 g bVIfa C 321 ,,Função a ser minimizada:

submetida à restrição

321321321 ,,.,,,,, gfF

Pelo método do multiplicador de Lagrange, tem-se a função objetivo dada por:

10

Diversificação do Risco de uma Carteira

Deve-se resolver o sistema:

321321321 ,,.,,,,, gfF

01

F

02

F

03

F

0F

Deve-se resolver o sistema:

1.,,, 321321 VbIF C

11

Diversificação do Risco de uma Carteira

Substituindo os valores de 2SCC IVI e

1.,,, 321321 VbIF C

tem-se:(PAG.195)

12

Diversificação do Risco de uma Carteira

Reescrevendo o sistema:

b

I

bIIIIIS

13312211

21 ,cov2,cov2.2

b

I

bIIIII S

23322

22121 ,cov2.2,cov2

b

I

bIIIII S

33

23232131 .2,cov2,cov2

1.0321 b

13

Diversificação do Risco de uma Carteira

Que escrito na forma matricial:

1

.

0111

12,cov2,cov2

1,cov22,cov2

1,cov2,cov22

3

2

1

3

2

1

233231

322

221

312121

b

Ib

Ib

I

b

IIIII

IIIII

IIIII

S

S

S

Que pode ser indicado por: M.W = U

Resolvendo obtém-se: W =M-1 U

O que possibilita obter (w1, w2, w3) em função do

coeficiente b.

14

Diversificação do Risco de uma Carteira

Que escrito na forma matricial:

1

.

0111

12,cov2,cov2

1,cov22,cov2

1,cov2,cov22

3

2

1

3

2

1

233231

322

221

312121

b

Ib

Ib

I

b

IIIII

IIIII

IIIII

S

S

S

Que pode ser indicado por: M.W = U

Resolvendo obtém-se: W =M-1 U

O que possibilita obter (w1, w2, w3) em função do

coeficiente b.

Deve-se verificar se a condição 0 ≤ w1, w2, w3 ≤ 1) está

satisfeita. (o método não capta se ocorre ou não esta condição).

15

Modelo de Markowitz – caso geral

1

.

0111

12,cov2,cov2

1,cov22,cov2

1,cov2,cov22

2

1

2

1

221

22

221

12121

b

I

b

Ib

I

b

IIIII

IIIII

IIIII

nn

Snnn

nS

nS

Que pode ser indicado por: M.W = U

Resolvendo obtém-se: W =M-1 U

O que possibilita obter (w1, w2, ..., wn) em função do

coeficiente b.

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Modelo de Markowitz – caso geral

Exemplo:

Im1 = 0,15; IS1 = 0,05 cov(I1,I2) = 0,00245

Im2 = 0,25; IS2 = 0,07 cov(I1,I3) = 0,00100

Im3 = 0,35; IS3 = 0,10 cov(I2,I3) = 0,00350

1

35,0

25,0

15,0

.

0111

1)10,0(200350,0200100,02

100350,02)07,0(200245,02

100100,0200245,02)05,0(21

2

2

2

3

2

1

b

b

b

b

17

Modelo de Markowitz – caso geral

Resolvendo:

b

8760,199836,01

b

6726,131671,02

b

2034,61835,03

bb

1700,00044,0

18

Modelo de Markowitz – caso geral

Questões:

1) Verifique se w1 + w2 + w3 = 1

2) Qual é a equação do retorno médio da carteira?3) Qual é a equação do risco da carteira?4) Qual o retorno no ponto de mínimo risco? (dica:

pense em qual deve ser o valor de b no vértice da parábola)

5) Qual é o valor do desvio no ponto de risco mínimo?

6) Qual é a composição da carteira no ponto de risco mínimo?

7) Para quais valores de b são obtidos os pontos da fronteira eficiente? 1,,0 321 queparadevalores:Dica b

19

Modelo de Markowitz – caso geral

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16Risco: IS

Ret

orno

: I m

A3

A Hipérbole nos dá uma carteira

alavancada.

Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco

20

Modelo de Markowitz – caso geral

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16Risco: IS

Ret

orno

: I m

Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco

Considerando que o investimento livre

de risco tenha retorno IF = 0,07

0,07

Fronteira Eficiente Geral de Investimento

C*

21

Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade

Conforme a definição de Sharpe, a razão recompensa-variabilidade de um ativo A, indicada por RVA, é dada por:

SA

FAA I

IIRV

Estendendo o conceito para uma carteira C, tem-se:

SC

FCC I

IIRV

22

Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16Risco: IS

Ret

orno

: I m

Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco

IF

Fronteira Eficiente Geral de Investimento

C*

ISC

ImC C

SSC

FCFC I

I

IIII

SC

FCC I

IIRV

23

Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16Risco: IS

Ret

orno

: I m

Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco

IF

Fronteira Eficiente Geral de Investimento

C*

ISC

ImC C*

*

SC

FCMAX I

IIRV

Quando se obtém a reta tangente à fronteira eficiente de

investimentos com risco, passando por IF, obtém-se a carteira C* que dá a máxima

razão recompensa-variabilidade

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Carteira de Risco Mínimo para um Retorno Fixado

Ver item 6.4 (p.207) de SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de

risco. São Paulo: Atlas, 1996.

25

Modelo de SHARPE

Dificuldade no modelo de Markovitz:

- Estabelecer as covariâncias entre os retornos dos ativos que iriam compor as várias carteiras que seriam analisadas (grande número de cálculos).

Idéia inicial: substituir as covariâncias pelos coeficientes de correlação linear, visto que

yx

y,x S.S

y,xcovr

26

Modelo de SHARPE

• Até aqui, poucas vantagens, apenas trocou o cálculo das covariâncias pelo cálculo dos coeficientes de correlação...

• Seria possível calcular o coeficiente de correlação linear dos retornos dos ativos A1, A2, ..., An, em relação a um único ativo, que atuaria como uma espécie de padrão para as comparações?

Idéia inicial: substituir as covariâncias pelos coeficientes de correlação linear, visto que:

yxyx SS

yxr

.

,cov,

27

Modelo de SHARPE

• Seria possível calcular o coeficiente de correlação linear dos retornos dos ativos A1, A2, ..., An, em relação a um único ativo, que atuaria como uma espécie de padrão para as comparações?

• Se tivéssemos este ativo padrão poderíamos comparar o retorno de cada ativo com o retorno desse ativo padrão e examinar o grau de correlação linear.

IBOVESPA, por exemplo.

28

Modelo de SHARPE

Ver itens 6.5 e 6.6 de SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de

risco. São Paulo: Atlas, 1996.

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CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

• O desenvolvimento do CAPM baseia-se em algumas hipóteses:

1. Os investidores preocupam-se apenas com o valor esperado e com a variância (ou o desvio padrão) da taxa de retorno.

2. Os investidores têm preferências por retorno maior e risco menor.

3. Os investidores desejam ter carteiras eficientes:aquelas que dão o máximo retorno esperado, dado o risco, ou mínimo risco, dado o retorno esperado.

4. Os investidores estão de acordo quanto à distribuição de probabilidades das taxas de retorno dos ativos, o que assegura a existência de um único conjunto de carteiras eficientes. A

ceita

ção

da r

elaç

ão r

isco

-ret

orno

30

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

• O desenvolvimento do CAPM baseia-se em algumas hipóteses:

5. Os ativos são perfeitamente divisíveis.

6. Há um ativo sem risco, e os investidores podem comprá-lo e vendê-lo em qualquer quantidade.

7. Não há custo de transação ou impostos, ou, alternativamente, eles são idênticos para todos os indivíduos.

As hipóteses implicam em condições de mercado perfeito.

31

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Seja M a carteira de mercado (todos ativos do mercado), em que seu retorno RM apresenta média RmM e risco/desvio RSM.

Considere um ativo de risco A com retorno IA, de média RmA e risco/desvio RSA.

F é um ativo livre de risco com retorno IF.

Deseja-se montar uma carteira C composta pelo ativo A e por M.

32

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Pode-se examinar o que ocorre com o risco e o retorno à medida que variamos a proporção w do ativo A na carteira, calculando:

MAC RII 1e

MASMSASC R,IcovRII 121 22222

SCC II

e

33

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Coeficiente angular das retas tangentes à hipérbole:

MAC RII

MASMSA

MASMSASC

R,IcovRI

R,IcovRII

1212

2121222222

22

0

0

SC

C

I

I

m

34

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Se w 0, a composição de M é alterada. Assim, a condição de equilíbrio de mercado ocorre para w = 0, ou seja, quando não há procura do ativo A em proporções maiores do que sua participação na carteira de mercado M.

35

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Para w = 0:

MAC RII

MASMSA

MASMSASC

R,IcovRI

R,IcovRII

1212

2121222222

22

SM

SMMA

MA

SC

C

RRR,Icov

RII

I

m 2

0

0

36

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Para as carteiras C, formadas pelos ativos A e M (w 0), a razão recompensa-variabilidade é:

SC

FCC I

IIRV

Condição de máxima razão recompensa-variabilidade:

2

0SC

FCSC

SCC

CC

I

III

II

RVRV

37

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Condição de máxima razão recompensa-variabilidade:

2

0SC

FCSC

SCC

CC

I

III

II

RVRV

0

FCSC

SCC II

II

I

SC

FC

SC

C

I

II

I

I

38

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

SC

FC

SC

C

I

II

I

I

Coeficiente angular das retas tangentes à

hipérbole definida pelas carteiras do tipo C

Máxima razão recompensa-

variabilidade da carteiras C

39

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

SC

FC

SC

C

I

II

I

I

Em condição de equilíbrio, w = 0, ou seja, C = M:

SM

FM

SC

C

R

IRI

I

0

40

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Retorno

SM

FM

SC

C

R

IR

I

I

0

Risco

F

M

Carteiras do tipo C’, formadas pelos ativos F e M

Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos A e M

SCSM

FMF'C I

R

IRII

41

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

Retorno

SM

FM

SC

C

R

IR

I

I

0

Risco

F

M

Carteiras do tipo C’, formadas pelos ativos F e M

Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos A e M

SM

FM

SM

SMMA

MA

R

IR

RRR,Icov

RI

2

Igualando as expressões que nos dão o coeficiente angular da reta tangente à hipérbole:

42

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

SM

FM

SM

SMMA

MA

R

IR

RRR,Icov

RI

2SC

SM

FMF'C I

R

IRII

SM

SMMA

SM

FMMA R

RR,Icov

R

IRRI

2

2

2

SM

SMMAFMFMFA R

RR,IcovIRIRII

43

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

2

2

SM

SMMAFMFMFA R

RR,IcovIRIRII

Esta expressão, obtida por Sharpe, é a equação fundamental do CAPM, caracterizando que o preço de um ativo A, ou seja, seu retorno

médio ImA, é formado por duas parcelas:

FMSM

MAFA IR

R

R,IcovII 2

44

CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

2

2

SM

SMMAFMFMFA R

RR,IcovIRIRII

Preço do ativo livre de risco

FMSM

MAFA IR

R

R,IcovII 2

Ganho básico dado por (RmM-IF) do qual o ativo recebe uma proporção que caracteriza o

nível de risco do ativo em relação ao mercado

2SM

MA

R

R,Icov