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1
Il decadimento del neutroneLe caratteristiche del neutrone riportate dal Particle Data Group (PDG)
isospin
Vita media: 885.7 0.8 s (media di tutte le misure)
eepn
2
La presenza del neutrino è cruciale per spiegare la forma dello spettro di energia elettronico:
Se non fosse presente gli elettroni sarebbero monoenergetici – stato finale a 2 corpi!)
Neutrino o “piccolo neutro” postulato da Pauli nel 1931 (q = 0, m = 0, S = 1/2)
Associato solo all’interazione debole – molto difficile da rivelare
Rivelato per la prima volta da Reines e Cowan, 1959 (premio Nobel 1995)
energia (keV)
cont
eggi
3
Altri processi collegati:
decadimento + in un nucleo, se energeticamente possibile ad es. 25Al 25Mg
enp
nep
enp
e
e
e
Cattura elettronica
Cattura di un antineutrino. Usato da Reines & Cowan per rivelare l’antineutrino
... e molti altri ...
Nota: l’elettrone e l’antineutrino appaiono assieme; il positrone e il neutrino appaiono assieme ...
Questo suggerisce una nuova quantità conservata detta numero leptonico Le:
enp
nep
Le
Le
e
e
e
e
e
e
1 1
Legge di conservazione empirica: Le = costante - e e anti e sono distinti !
4
Se la parità è conservata ci aspettiamo un ugual numero di elettroni paralleli e antiparalleli a B
Esaminiamo la distribuzione angolare di una particella di decadimento (ad esempio quella rossa). Se questa è simmetrica (sopra/sotto il piano intermedio) allora
riflesso sotto paritàOriginario
T.D. Lee and C. N. Yang, Phys. Rev. 104, 254 (1956).
http://publish.aps.org/ puzzle
0Jp
In questo caso la parità è quindi conservata
5
Se
0Jp
allora l’hamiltoniana del sistema deve dipendere da e la parità non è conservata nel decadimento
Jp
In un famoso esperimento, C.S. Wu dietro suggerimento di Lee e Yang (1956, premio Nobel 1957) dimostrò che l’interazione debole viola la parità in
ee NiCo 6028
6027
Osservazione chiave: i nuclei di cobalto vengono posti in un campo magnetico a bassa temperatura gli spin si allineano col campo magnetico.
Gli elettroni sono emessi preferenzialmente in direzione opposta allo spin nucleare ...
6
Due raggi “famosi”, 1173 e 1332 keV (radiazione della terapia al cobalto!)
Il 60Co può essere polarizzato nel campo magnetico grazie al suo elevato spin
La distribuzione angolare dei raggi rivela la polarizzazione del nucleo genitore 60Co
7
+ +
60CoJ=5
60Ni*J=4
60Ni*J=4Jz=1 Jz=1
pv
pvpe-
pe-
SINO
Il rate di conteggio dipende da <J>pe, che è – rispetto a una trasformazione di parità
Campo B
8
Consideriamo prodotti scalari come o . Anche queste quantità si trasformano in modo diverso sotto parità
Lo spin è un momento angolare. Sia P che S sono vettori, ma sotto parità hanno proprietà di trasformazione diverse:
X, P cambiano segno (vettori polari)
S non cambia segno (pseudo-vettore o vettore assiale)
PSPSPS
XPXPXP
scalare
pseudo-scalare
Se l’hamiltoniana del sistema contiene termini pseudo-scalari allora non commuta più con : il sistema non è più invariante sotto parità
22)()( rr
XP
PS
en pS
L’hamiltoniana deve quindi contenere un termine del tipo
9
Ancora sull’asimmetria destra-sinistra
Per una particella di spin s e momento p, definiamo l’elicità h
c
vh
c
vI cos1)(
s
s
p
p
11
hsp
psh
elettroni positroni
c
vh
c
vI cos1)(
dove è l’angolo fra il momento della particella e lo spin - v è la velocità
Quindi gli elettroni sono principalmente sinistrorsi (LH – left handed) mentre i positroni sono principalmente destrorsi (RH – right handed)
L’esperimento di Wu et al. Ha mostrato che
gli elettroni sono sinistrorsi (LH – left handed).
In generale lo spin non è completamente allineato – diverse misure hanno evidenziato la distribuzione angolare
10
I leptoni sono sinistrorsi Gli anti-leptoni sono destrorsi elettroni, neutrini positroni, antineutrini
cioè la polarizzazione dei neutrini è P = - 1 o + 1.
Sinistrorsi o destrorsi?
Dall’ipotesi di Pauli lo spin del neutrino è 1/2. Ma qual’è la sua polarizzazione? Una misura diretta (Goldhaber et al. - 1958) concluse che:
- i neutrini che accompagnano i positroni sono sinistrorsi
- gli antineutrini che accompagnano gli elettroni sono destrorsi
Possiamo definire la polarizzazione “longitudinale”
Per neutrini senza massa (o con massa molto piccola) v c, per cui ci aspettiamo
per 1
per 1
v
)()0(
)()0(
e
e
cII
IIP
cos1)( o cos1)( II
11
Lo spettro di energia elettronicoEsaminiamo lo spettro di energia dell’elettrone. Abbiamo
prima dopo
TTmTmm eeppn
La conservazione dell’energia e del momento porta a
0
ppp ep
conservazione energia
conservazione momento
Definiamo il valore Q (deve essere Q > 0 affinchè la reazione possa aver luogo)
epnep mmmTTTQ
Dal PDG Q = 0.78233 0.00006 MeV ( 60 eV !)
12
Spettro di energia misurato dall’esperimento “PERKEO” al reattore ILL, Francia Fit allo spettro atteso includendo il
modello del rivelatore
La presenza del neutrino influisce su questa forma in modo drammatico – altrimenti sarebbe un picco monocromatico al valore determinato dalla conservazione dell’energia/momento
Nel punto terminale abbiamo la massima energia cinetica:
)0( max, TQTe
Poichè me << mp, Tp = p2 / 2m è piccola (circa 0.3 keV). Quindi Q Te + T.
La risoluzione sperimentale finita introduce un’incertezza nella determinazione esatta di questo punto (e quindi rende difficile una misura precisa della piccolissima massa del neutrino)
Energia (keV)
cont
eggi
13
Il decadimento è un processo di interazioni deboli fondamentale
La vita media è relativamente lunga:2
3* )( 1
rdrV if
grande implica un piccolo rate di transizione , perciò un’interazione “debole” V(r)
Facciamo il confronto col decadimento della risonanza : + p + 0, un processo di interazione forte con = 5.7 x 10-24 sec !!!
Gli studi di precisione del decadimento del neutrone sono importanti per verificare le basi del modello standard delle interazioni fondamentali ...
Il decadimento è mediato dal bosone W (MW 80 GeV)
r
egrV
rM
W
W
)(
range = 1 / MW 2 x 10-18 m << dimensione nucleare
L’interazione è quasi puntiforme. Inoltre, dall’approssimazione di Born, l’ampiezza di transizione va come gW
2 / MW2. L’interazione è debole non tanto perchè gW è piccola,
quanto perchè MW è molto grande ...
14
Consideriamo più in dettaglio l’elemento di matrice
rdrVM iffi
3* )(
Le funzioni d’onda dello stato iniziale e finale sono
funzione d’onda del nucleo “genitore” Pi
e
D
eDf funzione d’onda del nucleo “figlio”
funzione d’onda di e-
funzione d’onda del neutrino
Poichè il range dell’interazione è 2 x 10-3 fm possiamo fare l’approssimazione
P
W
D
e
P
e
D
)()3(fi rrGV
Interazione di “contatto”
15
L’elemento di matrice diventa quindi
rdG
rdrrGM
PeD
PfieDfi
3***
3)3(***
)(
L’interazione è proporzionale all’overlap della funzione d’onda delle particelle dello stato iniziale e finale nello stesso punto dello spazio.
G = costante di accoppiamento dell’interazione debole
Il modello standard può “predire” il valore di G in termini di parametri del modello, mentre nella teoria di Fermi essa deve essere determinata dall’esperimento.
16
Considerazioni sullo spin: elettrone e neutrino
Il momento angolare orbitale è
)1( L
Classicamente, |L| = pb, dove b è il parametro d’impatto e p è il momento della particella
Poichè i leptoni sfuggono dal nucleo, deve essere b < R = raggio nucleare. Poichè nel decadimento E 1 MeV, ricaviamo
cm )1(102)1(MeV 1
fmMeV 200
)1()1(
11
E
c
pb
Poichè deve essere b < R 10-13 cm, vediamo quindi che
0Elettroni e neutrini sono emessi principalmente con L = 0. Emissioni con L non zero sono molto meno probabili transizioni “proibite”
17
Assumiamo L = 0. Ci sono due possibilità di accoppiamento del momento angolare dei due leptoni
1 ,0 SSss tote
Nel caso del decadimento del neutrone la conservazione del momento angolare è
totpn Sss
)2/1()2/1(Sia Stot = 0 che Stot = 1 possono contribuire nel decadimento del neutrone
Punto sottile: poichè i leptoni sono emessi con elicità definita, possiamo dedurre una correlazione fra le loro direzioni di moto nei due casi:
eepn
decadimento di Fermi (Stot = 0)
e- e viaggiano nella stessa direzione
decadimento di Gamow-Teller (Stot = 1)
e- e viaggiano in direzione opposta
18
Decadimento di Fermi Stot = 0
I leptoni viaggiano nella stessa direzione
Lo spin del protone rinculante è nella stessa direzione dello spin del neutrone iniziale
Decadimento di Gamow-Teller Stot = 1
I leptoni viaggiano in direzione opposta
Lo spin del protone rinculante è in direzione opposta a quella dello spin del neutrone iniziale
“spin-flip”
19
Come procedere?
Come prima, assumiamo un’interazione puntiforme, ma ammettiamo che esistano diverse costanti di accoppiamento per i casi di Fermi (F) e di Gamow-Teller (GT).
Caso di Fermi, Stot = 0: (costante di accoppiamento: “GV” perchè il potenziale si trasforma come un vettore spaziale)
Gamow-Teller Stot = 1: (costante di accoppiamento: “GA” perchè il potenziale si trasforma come un vettore assiale, cioè come il momento angolare)
rdGMM PeDVFfi
3***
rdGMM PeDAFfi
3***
Sperimentalmente, le costanti di accoppiamento sono molto simili
25.1V
A
G
G
Sono calcolate confrontando diverse transizioni nucleari, dove la conservazione del momento angolare restringe gli stati di spin leptonico totale che possono contribuire
20
rate di transizione S tot = 0, 1
Per il neutrone abbiamo
poichè ci sono tre modi diversi con cui i leptoni possono essere emessi con Stot = 1 (ms = 1, 0, -1) mentre uno solo con Stot = 0.
Per il momento lavoriamo su un generico elemento di matrice, poichè le espressioni sono uguali a parte le costanti di accoppiamento
2223
2AVffi GGM
rdrrrrGM PeDfi
3*** )()()()(
V
er
V
er
rqirpi
e
//
)( ,)(
Assumiamo che e- e siano debolmente interagenti “particelle libere” nel nucleo. Approssiamo i leptoni con onde piane di definito momento:
eepn
21
elemento di matrice
Abbiamo
dove è il momento di rinculo del protone. Possiamo scrivere )( qppR
Vc
QRrpe
R 1 1
fmMeV200
fmMeV 1 **max
eepn
//)(** 11
)()( rpirqpie
ReV
eV
rr
2
/)(**
2
11
11)()(
rpi
rpi
Ve
Vrr RRrqpi
e
L’integrale di Mfi si estende su regioni spaziali in cui le funzioni d’onda dei nucleoni (n, p) non sono nulle: Rmax 1 fm (nei nuclei usiamo R 1.2 A1/3 fm)
Ma il momento di rinculo pR non è maggiore del valore Q della reazione, MeV ...
Questa è una notevole semplificazione: le funzioni d’onda leptoniche sono costanti sulla regione spaziale che conta nel calcolo dell’elemento di matrice
22
Possiamo quindi riscrivere l’elemento di matrice
Il restante integrale è noto come elemento di matrice nucleare
Quando il decadimento si verifica in un nucleo, non è detto che le funzioni d’onda dello stato iniziale e dello stato finale del protone e del neutrone siano esattamente uguali, per cui in generale
Tuttavia, nel caso del neutrone libero, non ci sono complicati effetti nucleari e l’elemento di matrice è identicamente 1
fPDffi rdV
GM
23*
2
22 22
rdψψM P*D
3nucleare
12
nucleare M
fV
G 2
22
Quando questo si verifica in un nucleo, il rate di decadimento è massimo, e la transizione è classificata come super-permessa
23
Densità di stati finali Il calcolo è simile a quello fatto per lo scattering elettronico, ma ora ci sono due particelle leggere nello stato iniziale.
Vogliamo determinare il numero di stati finali equivalenti nell’intervallo di energia dEf,
I momenti dello stato finale sono quantizzati nel volume V
(il nucleone è molto più pesante delle altre particelle: TR = p2R / 2 mp 0 )
A Ee fissata
ff dE
dn
cqEEEE
Vdqq
Vdppdndndn
eef
e
32
32
)2(4
)2(4
cdqdEeEf cost
Di conseguenza la densità di stati per i quali il momento elettronico è nell’intervallo (p,p+d3p) (senza tener conto del momento del neutrino) è
dpc
qpV
cdq
dndn
dE
dn e
ff 6
2222
)2()4(
24
Arriviamo infine al rate di transizione
neutrone libero: Mnucleare = 1
Questo è in realtà un rate di decadimento parziale d(p), perchè il momento elettronico è specificato esplicitamente rate a cui si verifica il decadimento per un dato momento elettronico che si trova nell’intervallo (p,p+d3p)
predizione dello spettro di momento!
Abbiamo q = (Ef – Ee) / c. Ora
dpqpMc
G 226
22
nucleare2
)2(
)4(2
transizione mista: G2 = GV2 + 3 GA
2
dppcmcpcmQMc
Gpd ee
22
422222
nucleare337
2
2)(
2
22
cmQE
cmETcmETTQ
ef
efeee
Inoltre4222 cmcpE ee
25
Rate di transizione in funzione di Ee. Abbiamo
Ora
0)()0( fee EEdEd
da cui
2
4222
2
22
1
c
dEEpdp
cmEc
p
ee
ee
pdppEEMc
Gpd ef 2 2
nucleare337
2
2)(
eeeeefe dEEcmEEEMc
GEd
2/14222 2
nucleare637
2
2)(
vediamo che
26
Rate in funzione dell’energia cinetica elettronica. Abbiamo
Inoltre
0)()0( QTdTd ee
Quindi, essendo dEe = dTe
eeeeeeee
eee
TcmTcmTcmcmE
TcmE
224222422
2
2
eeeef TQEcmQEE 2
eeeeeeee dTTcmTcmTTQMc
GTd 2
2)( 21/2 222 2
nucleare637
2
vediamo che in questo caso
27
Spettro di momento ed energia cinetica elettronico
22cost)( eTQpdp
dpN
Spettri predetti graficati per Q = 2.5 MeV, non per il dec. del neutrone libero!
Si noti che Te,max = Q
Te (MeV)
N(T
e)
p(MeV/c)
N(p
)
28
Confronto con i dati sperimentali (decadimenti e+ ed e- di 64Cu)
troppi e- di bassa energia
troppo pochi e+ di bassa energia
effetti coulombiani ...
29
Discrepanza: abbiamo trascurato gli effetti coulombiani nello stato finale.
Punto chiave: le distorsioni coulombiane degli spettri di energia si verificano dopo che l’elettrone / positrone sono stati emessi nel processo di decadimento
Densità modificata degli stati di elettrone / positrone
),'( 4)2(
23
pZFdppV
dne
risultato originario
Funzione di Fermi Dipende dalla carica Z’ del nucleo figlio (stato finale) e dal momento di e-/e+
Fattori di correzione approssimati per il decadimento
137
1
4 , ,
'2 ,
1),'(
2
c
e
c
vZx
e
xpZF
x
spettro elettrone / positrone modificato
2
nucleare373
222
2 ),,'()( M
c
GCpZFTQCppN e
30
Test della teoria: grafico di Fermi-Kurie
Idea: per i “decadimenti consentiti” corrispondenti all’approssimazione dentro il nucleo, lo spettro di energia elettronica può essere “linearizzato” se si tiene conto della distorsione coulombiana tramite la funzione di Fermi F(Z’,p)
1/ rpi Re
eTQpZFp
pN ),'(
)(2
Funzione lineare endpoint Q
Moltissimi decadimenti misurati sono consistenti con questo andamento (anche se non tutti ...)
Grafico di Kurie),'(
)(2 pZFp
pN
)keV(eT
eeHeH 33
Q
31
L’effetto della massa del neutrino. Studiamo la zona vicino all’end-point dello spettro di energia
m = 0
m 0
eeHeH 33Effetti maggiore decadimenti con Q piccolo (es. )
dpdNcmcpcmQppN ee / )(2/1
422222
0/ )(2
422222 dpdNcmcpcmQppN ee
32
Dal proposal di “KATRIN” (Karlsruhe Tritium Neutrino expt. – 2001)
Miglior limite superiore diretto: m < 2.5 eV
Dallo studio dei neutrini solari e dei raggi cosmici, esiste una convincente evidenza indiretta che la massa dei neutrino è molto minore di questo valore
33
A parte l’elemento di matrice nucleare, la variazione dei rate di decadimento per diversi nuclei instabili dovrebbe dipendere solo dall’integrale di Fermi, che possiamo calcolare indipendentemente.
Possiamo usare questo fatto per testare la nostra teoria del decadimento debole !
Il nostro formalismo determina d, il rate (s-1) in un particolare stato finale elettronico (o positronico) di momento p
si riferisce ai modi di decadimento
Otteniamo il rate di decadimento totale integrando d su tutti i momenti e consentiti
Test sistematico: il rate di decadimento totale
Integrale di Fermi
dppZFpTQMc
Gpd e ),'(
2)( 22 2
nuclear337
2
),'(cost
),'( 2
)(
2
nuclear
max
0
22 2
nuclear337
2
QZfM
dppZFpTQMc
Gpd
p
e
34
Integrale di Fermi adimensionale:
per convenzione
QEdppZFpTEcm
EZfp
ee
0
max
0
22 0750 ,),'(
1),'(
Nota: Z’ = 0 dà l’integrale dello spazio delle fasi per lo spettro non distorto – cioè senza effetti coulombiani
E0 = Q (MeV)
log 1
0 f(
Z’,E
0)
35
Confronto dei tempi di dimezzamento
Per convenzione si utilizza il tempo di dimezzamento t1/2 = ln2 ( = 1 / ) come
standard di confronto per diversi decadimenti nucleari
),'( 2
2
nucleare337
2
QZfMc
G
Riarrangiando otteniamo
2
2ln),'( 2
nucleare452
37
2/12/1McmG
fttQZfe
Nota: la sola differenza nel valore “ft” fra diversi decadimenti nucleari è il valore dell’elemento di matrice nucleare.
Se |Mnucleare|2 = 1 (caso “super-permesso nei nuclei), i valori ft possono essere usati per determinare la costanti di accoppiamento debole G (GV, GA)
Caso speciale: “decadimenti super-permessi” nei nuclei con stati nucleari iniziale e finale 0+ 0+. Ad es.
e147
148 eO O
Deve avere spin leptonico totale Stot = 0 decadimento di Fermi puro ...
36
Decadimenti super-permessi 0+ 0+: “world best data” per i nuclei leggeri
Tutti hanno lo stesso valore ft 3100 s
Determina la costante di accoppiamento debole per i decadimenti di Fermi
/GeVc)(100.0004)(1.1496 25-5V G
(e GA / GV = -1.25 – di più in seguito ...)
37
Capiamo i decadimenti in generale?
Prima pagina del Krane, appendice C: ( stà per cattura elettronica/decadimento +)
27 isotopi: 8 decadimenti -, 6 decadimenti + i cui rate coprono 16 ordini di grandezza!
38
Alcune anomalie ...
1. In base alla nostra teoria, il decadimento molto lento (1.6 x 106 anni)
ee )3(B )0(Be 105
104
non si dovrebbe verificare proprio perchè viola la conservazione del momento angolare
)1 oppure 0(30
2. Un altro esempio (16.1 ore)
ee )0(Se )1(Br 7634
7635
Questo non si dovrebbe verificare perchè le funzioni d’onda nell’elemento di matrice nucleare hanno parità opposta, per cui l’integranda è dispari e l’integrale dovrebbe annullarsi
??? 0)()( 3nucleare rdrψrψM P
*D
39
Questi sono esempi di decadimenti proibiti – essi non possono procedere nell’approssimazione fatta in quanto
Esiste qualche altro modo che faccia si che si verifichino? Riconsideriamo la funzione d’onda di e- e e come espansione di multipolo
VrrrdrψrrrψM ePe
*Dfi
1)()( se 0)()()()( **3**
0
/** )(cos)/()12()()(
PrpjierrV Rrpi
eR
Funzioni di Bessel sferiche
Al crescere di L diventano più importanti per per grande momento di rinculo
questo cambierà la dipendenza dal momento della nostra predizione
Polinomi di Legendre
Questi introducono una nuova dipendenza angolare nell’integranda di Mfi
equivalente a momento angolare L
40
L’accoppiamento del momento angolare per il multipolo di ordine L assieme a S e al momento angolare nucleare fa si che reazioni precedentemente impossibili possano aver luogo
Il termine di multipolo ha parità (-1)L, che permette all’operatore di decadimento di connettere stati di parità nucleare opposta
La dipendenza dal momento dell’elemento di matrice varia come (PRr / h)L ...
Poichè questo è piccolo, il multipolo di ordine L più basso che soddisfa le leggi di conservazione dominerà la transizione
2
22
)01.0(raterP
M R
La dipendenza dal momento influisce anche sulla forma dello spettro; i plot di Curie non sono più lineari a meno di introdurre opportuni fattori di forma ...
L=0 permessoL=1 primo proibitoL=2 secondo proibitoL=3 terzo proibito ...
terminologia:
drammaticamente minore per L grande
41
Classificazione generale: tutti i decadimenti noti
Lfi
fi LSJJ
)1(
S = 0 (Fermi) o S = 1 (Gamow-Teller)
Il valore più piccolo di L consistente con le leggi di conservazione dominerà la transizione
leggi di conservazione
42
Esempio: decadimento + di 18Ne
1 ,1 )1)(()( 00 SLLS L
Transizione 1: 0+ 0- Questo è un decadimento GT primo proibito, col rate parziale più lento
Branching ratio: frazione di decadimenti che vanno in un particolare stato finale. In questo caso total = 1 / = 0.667 s-1; = 1 + 2 + 3 , i = BR(i) total
Transizione 2: 0+ 0+ Questo è un decadimento di Fermi permesso
0 ,0 )1)(()( 00 SLLS L
Transizione 3: 0+ 1+ Questo è un decadimento GT permesso
1 ,0 )1)(()( 10 SLLS L
43
Tipi di interazione debole
ee
W-
2q 1q
W- W
leptonica semi-leptonica non-leptonica . interazioni di corrente carica
1q 2q
4q3q
decadimenti non leptonici di adroni strani
u
u d
d
s
d
u
u
W-
n
0udu
u d
d
s
W-
p
-u
44
42
20
422
21cMcMQ
MW
Q
Wfi
ggg
interazione a corto range
fmfmGeVMeV
cMc
W
32 105.2
80197
42
3
2
)(e2
:cM
cG
WF
2g
W-
e e
g
g
Il bosone W si accoppia alla carica debole g. Elemento di matrice di transizione
Interazione puntiforme (ipotesi di Fermi) GF (costante di Fermi). Definizione conveniente
GF può essere determinata dalla vita media del decadimento
452
73192
cmGF
Il decadimento del muone dà una costante di accoppiamento debole che è circa il 2.5% più grande che nei decadimenti nucleari
45
La rivelazione degli antineutriniReines & Cowan usarono la “cattura di antineutrini” per rivelare l’antineutrino
L’esperimento ha fruttato il premio Nobel:
http://www.nobel.se/physics/laureates/1995/illpres/neutrino.html
enpe
Physical Review 117, p. 159, 1960
46
enpe
intenso fascio prodotto in un reattore nucleare
protoni in una grande vasca d’acqua
Un esperimento a rate molto basso: > 1013 antineutrini incidenti / sec ma solo 3 eventi/ora! 5 mesi di presa dati !
Acquisizione dati non computerizzata! Per ciascun evento un sistema fotografico azionato automaticamente scattava una fotografia delle tracce di un oscilloscopio analogico!
La rivelazione con una “coincidenza ritardata” sia del neutrone che del positrone sopprimevano il fondo
Misure ausiliarie per determinare le efficienze di rivelazione, ecc.
Sezione d’urto assoluta misurata: 1 x 10-43 cm2 (10-19 b), in accordo con la teoria!
rallentamento tramite scattering in acqua; rivelati attraverso la cattura in un sale dissolto di cadmio
rivelato tramite i raggi dell’annichilazione con e-
47
antineutrino proveniente da un reattore
rivelatore a scintillatore liquido
rivelatore a scintillatore liquido
H2O + CdCl2
(bersaglio)annichilazione
raggi dell’annichilazione
protone bersaglio
cattura n in cadmio dopo la moderazione
raggi della cattura nel cadmio
i neutroni devono rallentare
annichilazione di e+ istantanea keV) (511 2 ee
enpe
Schema dell’esperimento:
48
Altezza verticale 2m; circondato da uno schermo di Pb per ridurre il fondo ...
enpe
49
Dati raw: fotografie all’oscilloscopio !
Luce di scintillazione proveniente dall’annichilazione e+ prima, dalla cattura neutronica successivamente (3 – 10 s)
50
Dati: rate di eventi coincidenti in funzione del ritardo in tempo
reattore acceso 383.5 hr
reattore spento 128 hr
la distribuzione indica il tempo di rallentamento dei neutroni in acqua - la sezione d’urto 1/v di cattura in Cd è grande a bassa energia!
ritardo temporale (s)
con
teg
gi /
0.5
s
Reines e Cowan accanto a uno dei loro rivelatori di neutrini. L’esperimento fu scherzosamente chiamato “Progetto Poltergeist” in quanto il neutrino era considerato elusivo come un fantasma ...
Prima dimostrazione diretta dell’esistenza degli antineutrini !
2437.04.0 cm 102.1
51
Più sul numero leptonico:
Esistono in realtà tre “generazioni” di leptoni di cui siamo a conoscenza (in ordine di massa crescente e, , ) e ciascuna ha il proprio neutrino associato con un numero leptonico conservato separatamente ...
Esempio. Il decadimento del muone: sono emessi due neutrini distinti, come dimostra la forma dello spettro
ee
Energia elettronica (MeV)
Co
nte
gg
i
52
La misura della vita media del neutrone
53
Metodo. Il rate di decadimento è
N
dt
dN
Misuriamo il rate contando i protoni di decadimento in un dato intervallo di tempo (dN/dt) e normalizziamo al flusso del fascio di neutroni (N)
Realizzato idealmente con “neutroni freddi”, ad es. provenienti da un reattore e moderati in idrogeno liquido
Alcuni problemi:
1. volume di decadimento preciso? 2. rivelazione dei protoni? 3. normalizzazione del fascio?
54
Distribuzione del fascio di neutroni. Decisamente non monoenergetica:
Neutroni MeV proveniente da un reattore sono “moderati” tramite scattering in un grosso contenitore d’acqua (“termici”) o idrogeno liquido (“freddi”)
Dopo diversi scattering, essi raggiungono l’equilibrio termico col moderatore e sono estratti in una linea di fascio verso l’esperimento
La distribuzione di velocità è maxwelliana: le energie sono nel range del meV (kT = 26 meV @ T = 293 K)
dvevkT
mndvvf kTmv 2/2
2/32
24)(
Energia
f(E
)
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Rivelazione di neutroni a bassa energia
Diversi nuclei leggeri hanno enormi sezioni d’urto di cattura neutronica a basse energie (ricordiamo che l’area trasversa di un nucleo, ad es. 10B è circa 0.2 barn)
Caratteristica chiave: le sezioni d’urto scalano come 1 / velocità a bassa energia
sezi
one
d’ur
to (
barn
)
Energia dei neutroni
L’energia cinetica dei frammenti ionizzati può essere convertita in un segnale elettrico rivelabile (tipicamente 40 eV 1 coppia elettrone-ione
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Il rate di decadimento è piccolo e appr. costante; dN<<N
LN
Nconst
dtdN
N
dec
riv
fascio
fascio
)(/
t
N
dt
dNdecfascio
Probabilità di rivelazione dei neutroni nel rivelatore 10B G= fattore geometrico – misurato calibrando il rivelatore v
vGGP 00
Segnale nel rivelatore di neutronit
LNconst
vG
vN
G
NN riv
rivrivfascio )(
00
Vita media
Nriv
decNfascioN
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Dettagli sperimentali (tutto sotto vuoto presso il reattore ILL, Francia)
rivelatori di particelle per i prodotti di cattura
rivelatore con apertura di precisione
deposito 10B
B = 5 tesla
1 kV elettrodo “mirror”
elettrodo centrale
elettrodo “gate”
rivelatore p
sottile foglio di 10B per catturare i neutroni del fascio
trappola di Penning a lunghezza variabile (16 elettrodi)
i protoni spiraleggiano attorno alle linee di campo quando fatti uscire dalla trappola
Si usa una trappola di Penning per confinare i protoni di decadimento
Si fanno fuoriuscire dalla trappola dopo essere stati accumulati per un tempo T
Si misura il rapporto Nriv / Ndec in funzione della lunghezza L della trappola
la pendenza dà
rivN
decN
fascioNnn
58
Risultato: 893.6 5.3 sec (1990)
valore del PDG: 885 0.8 sec (2003)
rate vs lunghezza della trappola L
59
(una trasformazione (x, y, z) (x, y, -z) è descritta dal prodotto di una rotazione per la trasformazione di parità).
In meccanica quantistica la parità è descritta da un operatore agente sugli stati di uno spazio di Hilbert
ParitàLa trasformazione di parità è definita da
1
Richiediamo che
rrP
Quindi l’operatore posizione e anticommutano.
In coordinate polari sferiche abbiamo
, ,rr
XXXX
60
Applicando l’operatore parità una seconda volta troviamo
Sia |x> un autostato della posizione, X |x> = x |x>. Allora sotto parità
La funzione d’onda di una particella (senza spin) descritta da uno stato |> è
Quindi la funzione d’onda dello stato trasformato sotto parità |> è
xx )(
xx
xxxXxX
1 2
xxx
)( xxx
61
Poichè inoltre (r) = (-r), questo implica che le autofunzioni di hanno la proprietà
Ricerchiamo le autofunzioni e gli autovalori di . Abbiamo
Momento e parità Poichè p = dx / dt ci aspettiamo che
Momento angolare e parità In questo caso essendo
LPXPXPXL
PXL
dispari funzione 1
pari funzione 1 )()(
rr
PP
Quindi la parità e il momento angolare commutano
1
)()()()(
)()(2
rrrr
rr
vettore assiale
vettore polare
62
Non tutte le funzioni d’onda fisicamente importanti hanno una parità definita. Ad esempio, poichè P e non commutano, un autostato del momento non è un autostato della parità. Infatti
/)( xpi
p ex
non è nè pari nè dispari.
Al contrario, poichè L e commutano, un autostato |,L,m> del momento angolare (L2,Lz) è anche un autostato della parità. In coordinate sferiche
mrYrRmrmr m ,,,,),()( ,,,,,,
Sotto parità
immim ee
rr
)1(
-coscos
,
L’espressione esplicita delle funzioni sferiche è
immmm eP
m
mY )(
)!(4
)!)(12()1(),(
63
Abbiamo per m = 0 il caso speciale
A seconda del grado L, il polinomio di Legendre è o pari o dispari
0,,,,)1(0,,,, mrmr
Vediamo quindi che
Introduciamo gli operatori di innalzamento e abbassamento del momento angolare
)(cos4
12),(0
PY
)()1()( zPzP
1,,,,
,
mmL
iLLL yx
Poichè L communta con , anche L commutano con la parità e quindi
mrmr ,,,,)1(,,,,
64
Supponiamo che l’hamiltoniana H di un sistema e commutino
e che |n> sia un autostato di H non degenere con energia En. Allora |n> è anche un autostato della parità.
Abbiamo
Quindi, poichè [H,] = 0
|n> è un autostato di H con autovalore E. Di conseguenza deve essere
0, H
nEnEnHnH
nn autostato della parità
nEnHnH
Esempio. Consideriamo l’oscillatore armonico, descritto dall’hamiltoniana
222
2
1
2rm
m
pH
65
Sotto parità abbiamo
Quindi H e commutano: la autofunzioni dell’oscillatore armonico hanno parità definita.
D’altra parte
La condizione di non degenerazione è essenziale. Ad esempio, l’hamiltoniana di una particella libera H = P2 / 2m è pari (H commuta con ). Gli stati di energia |p> , |- p> sono degeneri
)()( rHrH
pm
ppH
2
2
)()())((2
1
2
))((
)()(
2 rHrrrmm
pp
rHrH
(hanno lo stesso autovalore di E = p2 / 2m). Essi non sono autostati della parità perchè
pp
66
Se un sistema è invariante sotto parità allora
Quindi le probabilità di trovare una particella ad un angolo o 180 - sono uguali.
o, in coordinate sferiche
Per verificare la conservazione della parità è necessario eseguire un esperimento:
a. in una data configurazione
b. Nella configurazione “riflessa” sotto parità
22)()( rr
Se entrambi gli esperimenti danno gli stessi risultati, la parità è conservata ed è una buona simmetria.
Un processo di decadimento dovrebbe essere lo stesso sia che questo sia riflesso sotto parità che no.
Violazione della parità
22),,(),,( rr
67
Consideriamo il processo
L’elettrone viene catturato dalla shell K per cui il momento angolare totale dello stato iniziale è lo spin dell’elettrone.
eJeJ )1(*Sm)0(Eu 152 152
L’esperimento di Goldhaber
152Eu
152Sm*
152Sm
E1
J=0
J=1
J=0
)0(Sm)1(*Sm 152152 JJ
Il nucleo 152Sm* è in uno stato eccitato (E = 960 keV). Dopo un breve tempo esso decade nello stato fondamentale J = 0+ emettendo un fotone (transizione E1)
3 x 10-14 s)
68
La conservazione del momento angolare per il primo decadimento richiede che lo spin di 152Sm* (J = 1) debba essere opposto a quello del neutrino (S =1/2) in modo che la loro somma dia lo spin dello stato iniziale pari a 1/2 (lo spin dell’elettrone)
neutrino RH
neutrino LH
Per quanto riguarda la reazione di diseccitamento di 152Sm*, lo spin del fotone deve essere parallelo allo spin di 152Sm* poichè nello stato finale 152Sm ha J = 0.
Abbiamo le seguenti possibilità per il caso di un neutrino LH
fotone LH
fotone RH
152Sm*direzione avanti
direzione indietro
velocità
spin
Il fotone in avanti ha la stessa polarizzazione del neutrino. Ma come sapere se è emesso in avanti o indietro?
69
Rivelazione in avanti: Assorbitore fra la sorgente e rivelatore
i fotoni rivelati provengono dallo scatteratore e non direttamente dalla sorgente
Scattering Compton dei in uno strato di ferro in un campo magnetico prima di raggiungere lo scatteratore
Se B polarizza gli e- di Fe nella stessa direzione dei , è maggiore
meno arrivano al rivelatore. Invertendo B i invece aumentano
Il emesso può dar luogo ad assorbimento risonante da parte di un secondo nucleo di Sm “scatteratore”:
Questo è possibile solo per un in avanti perchè ha energia leggermente maggiore dell’energia di eccitazione (quindi permettendo un pò di energia di rinculo del nucleo)
)0(Sm)1(*Sm)0(Sm 152152152 JJJ
scintillatore NaI (Tl)
scatteratore Sm2O3
schermo Fe+Pbfotomoltiplicatore
(RCA 6342)
elettromagnete
sorgente 152Eu
70
Scattering Compton dei in uno strato di ferro in un campo magnetico prima di raggiungere lo scatteratore
B polarizza 2 elettroni di Fe in direzione opposta a B
La sezione d’urto dipende dagli spin del fotone e dell’elettrone
Se B polarizza gli e- di Fe nella stessa direzione dei , la sezione d’urto è maggiore e meno arrivano al rivelatore.
Allora Invertendo B i invece aumentano
Ma come misurare la polarizzazione dei fotoni?
scintillatore NaI (Tl)
scatteratore Sm2O3
schermo Fe+Pbfotomoltiplicatore
(RCA 6342)
elettromagnete
sorgente 152Eu
71
Risultato:
N- = rate di conteggi con B
N+ = rate di conteggi con B
Il segno + corrisponde a elicità negativa: i neutrini sono sinistrorsi e gli antineutrini destrorsi
Queste particelle possono ruotare in una sola direzione !
003.0017.0)(
21
NN
NN
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