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Capitulo ICapitulo ICapitulo ICapitulo I : Mecnica: Mecnica: Mecnica: Mecnica De Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos Deformables SOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICA
1
CAPITULO ICAPITULO ICAPITULO ICAPITULO I
Mecnica De Los Cuerpos Deformables
7/28/2019 1 Cuerpos Deformables
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Capitulo ICapitulo ICapitulo ICapitulo I : Mecnica: Mecnica: Mecnica: Mecnica De Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos Deformables SOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICA
2
(1) La barra rgida CDE esta unida a un pasador de soporte en E y reposa en el cilindro de
latn con dimetro de 30 mm, BD. Una barra de acero AC de 22 mm de dimetro pasa por
un hueco en la barra y esta asegurada por una tuerca no apretada cuando la temperatura del
conjunto es de 20C. Luego la temperatura del cilindro se eleva hasta 50C, manteniendo labarra de acero a 20C. Suponiendo que no haba esfuerzos antes del cambio de temperatura,
halle la fuerza en el cilindro.
Para barra AC:
[ ]
[ ]
612 10 1
200
C
E Gpa
=
=
Para Cilindro:
[ ]
[ ]
618,8 10 1
105
C
E Gpa
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuacin de Equilibrio:0 :Fv = D C ER R R= + (1)0 :EM = 0,75 0,3C DR R =
0,4C DR R= (2)
b) Compatibilidad Geomtrica:0,75 0,3
C D D = (3)
C = deformacin de la barra AC.
D = deformacin por temperatura de la barra DB
(no produce fuerza axial al desarrollarse
libremente).
D = deformacin por accin de la barra AC en la
barra DB.
c) Relacin Esfuerzo-Deformacin:
911,84 10C ACC CAC
R LR
A E
= =
(4)
1040,42 10D BDD DBD
R LR
A E
= =
(5)
5(50 20) 16,92 10 .D L L m
= = = (6)
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3
2
4 2
24 2
0,0223,8 10
2
0,037,069 10
2
AC
BD
A m
A m
= =
= =
Reemplazando (4), (5) y (6) en (3) obtenemos:9 5 1011,84 10 16, 92 10 40, 42 10
0,75 0,3 0,3C DR R
=
Reemplazando (2) nos queda:9 10 511,84 10 40, 42 10 16,92 10
0,40,75 0,3 0,3DR
+ =
28502,12DR N = 11400,85CR N=
(2) Cul es la presin ejercida por el anillo de latn al anillo de acero si la temperatura deambos aumenta en [ ]50 C .
1) Latn:[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
6
6
1
6 .105 10
20 10 1
50
5,7[ ]
t mmE MPa
C
C
r cm
=
=
=
=
=
2) Acero:[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
3
6
2
4 .210 10
12 10 1
50
6, 2[ ]
t mmE MPa
C
C
r cm
=
=
=
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuacin de Equilibrio:
1 2F F= (1)
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4
b) Compatibilidad Geomtrica:
1 2 1 2t t = + (2)
[ ]
[ ]
1
2
5,7
6,2
r cm
r cm
=
=
La accin del acero al tener un coeficiente menor que
el latn este mantendr apretado al latn por lo que se
mueven lo mismo.
Diagrama de cuerpo libre del acero.
Diagrama de cuerpo libre del latn.
c) Relacin Fuerza-Deformacin:
[ ]
[ ]
1 1
2 2
0,0057
0,00372
t r cm
t r cm
= =
= = (3)
2F r
t E
=
(4)
Reemplazando (3) y (4) en (2):2 2
1 2
1 1 2 2
0,00198r r
Ft E t E
= +
[ ]1 2 4,322F F F MPa = = =
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5
(3) Determine las Fuerzas en las barras, debido al descenso de temperatura de la barra n 1?
Barra n 1:
[ ] [ ]
2 6 21
6
20 2 10
10 1 200
A cm E Kg cm
C C = =
= =
Barra n 2:2
2
6 2
5
1 10
A cm
E Kg cm
=
=
Barra n 3:2
3
6 2
10
2 10
A cm
E Kg cm
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de Equilibrio:
0 :Fv = 1 2 3F F F= + (1)
0 :AM = 3 250 50F F =
3 2F F=
(2)
b) Compatibilidad Geomtrica:
2 3
12
t +
= (3)
1 = Deformacin final de la barra 1.
t = Deformacin por temperatura de la barra 1
(no produce fuerza axial al desarrollarse
libremente).
2 = Deformacin final de la barra 2 por accin de
la barra 1.
3 = Deformacin final de la barra 3 por accin de
la barra 1.
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6
c) Relacin Esfuerzo-Deformacin:F L
A E
=
(4)
[ ]0,04t L t cm = = (5)
Reemplazando (4) y (5) en (3):
1 2 3
10,04
2
F L F L F L
A E A E A E
= +
Reemplazando valores en (2) obtenemos:
[ ]2 2 350,04
1777,72,25 10
F F F Kg
= = =
[ ]1 3555,5F Kg= [ ]
[ ]
[ ]
1
2
3
0,017
0,035
0,008
cm
cm
cm
=
=
=
(4) a) Cul es el valor del aumento de temperatura ambiental necesario para que los
extremos libres de las barras (sin peso) puedan unirse?
b) Determinar la posicin final del punto de conexin y las fuerzas en las barras, una vez
que las barras vuelvan a la temperatura inicial.
Barra N 1:
[ ]
[ ]
2
1
2
1
500 .
2.000.000
0,000002 1
1
L cm
E Kg cm
C
A cm
=
=
=
=
Barra N 2:
[ ]
[ ]
2
2
2
2
300 .
2.000.000
0,00001 1
1
L cm
E Kg cm
C
A cm
=
=
=
=
SOLUCIN:
a)
1 1 1 1 0,001L = = (1)
2 2 2 2 0,003L = = (2)
1 2 0,5 + = (3)
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Reemplazando (1) y (2) en (3):
( )0, 001 0, 003 0,5+ = [ ]1 0,125 .cm =
[ ]125 C = [ ]2 0, 375 .cm =
b)
i) Ecuacin de Equilibrio: 1 2F F= (1)
Cuando la temperatura ambiental aumenta a 125 C ambas barras se alargan
ejerciendo fuerza una contra otra hasta igualarse llegando al punto I.ii) Compatibilidad Geomtrica: 1 2 0,5 + = (2)
iii) Relacin Esfuerzo-Deformacin:F L
A E
=
(3)
Reemplazando (3) y (1) en (2):
1 2
1 1 2 2
0,5L L
FA E A E
+ =
, luego reemplazando los datos
[ ]1250F Kg= [ ]
[ ]
1
2
0,312
0,188
cm
cm
=
=
(5) La barra CE de pulg. de dimetro y la barra DF de pulg. de dimetro estn unidas a labarra rgida ABCD como se muestra. Si las barras son de aluminio y [ ]610,1 10E psi= , halle:
a) La fuerza en cada barra y
b) La deflexin del punto A.
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SOLUCIN:
a)i) Ecuacin de Equilibrio:
0 :Fv = 10B C DF F F= + + (1)0 :BM = 18 10 12 20C DF F = +
12 20 180C DF F + = (2)
ii) Compatibilidad Geomtrica:
1020 18 9
D AD A = = (3)
5
20 12 3
CD
D C
= = (4)
C = Deformacin de la barra CE.
D = Deformacin de la barra FD.
iii) Relacin Esfuerzo-Deformacin:
D DFD
DF
F L
A E
=
(5)
C CEC
CE
F LA E
=
(6)
53
3
C CED DF
D C
DF CE
F LF LF F
A E A E
= =
(7)
2
21 3 0,44182 4
DFA pulg = =
2
21 1 0,19632 2
CEA pulg
= =
Reemplazando (7) en (2), se obtiene: [ ]12 20 3 180C CF F kips + = [ ]2,5CF kips = [ ]7,5DF kips=
b)9
10D =
[ ]59
4,536 1010
D DFA A
DF
F Lpulg
A E
= =
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(6) La barra rgida ABCD cuelga de tres alambres idnticos, como se muestra. Si a = 2b, halle
la tensin causada en cada alambre por la fuerza P aplicada en C.
SOLUCIN:
a) Ecuacin de Equilibrio:
0 :Fv = A B DR R R P+ + = (1)
0 :CM = 3A B DB R B R B R + =
3D A BR R R= + (2)
Diagrama de cuerpo libre.
Reemplazando (2) en (1) se tiene: 4 2A BR R P + = (3)
b) Compatibilidad Geomtrica:
Por geometra:
2
D
B
+= (4)
c) Relacin Esfuerzo-Deformacin:R L
A E
=
(5), reemplazando (5) en (4) se tiene:
BR L
A E
AR L=
DR L+
2 A E
2 B A DR R R = + (6)
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Reemplazando (2) en (6) se tiene: 2 6D A A DR R R R = +
7D AR R= (7)
Reemplazando (7) en (2) se tiene: 4B AR R= (8)
Reemplazando (8) en (3) se tiene:12
A
PR = Reemplazando en (8)
3B
PR = Reemplazando en (2)
7
12D
PR
=
(7) Un poste de concreto de 2 mt. esta reforzado con 4 barras de acero de 2 cm. de
dimetro. Hallar los esfuerzos normales en el acero y en el concreto cuando se aplica al
poste una carga axial de 1 tonelada uniformemente en la superficie.
Datos:
5 2
6 2
2 10
2,1 10
HORM
ACERO
E Kg cm
E Kg cm =
=
SOLUCIN:
a) Ecuacin de Equilibrio:
0 :Fv = 4 1.000AC HORF F + = (1)0 :M = (no es necesario)
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b) Compatibilidad Geomtrica:
La carga de 1 tonelada se aplica sobre ambos materiales que al estar adheridos se deben
deformar lo mismo (como una sola pieza).HOR AC = (2)
c) Relacin Esfuerzo-Deformacin:
( )
( )
2 2
2
4 1 12,566
50 50 2487.4
AC
HOR AC
A cm
A A cm
= =
= =
HOR HORHORHOR HOR
F L
A E
=
(3)
AC ACACAC AC
F L
A E
=
(4)
Reemplazando (3) y (4) en (2) se tiene:
F L
HOR
F L
A E
=
ACA E
HOR HORHOR AC
AC AC
A EF F
A E
=
18,85HOR ACF F= (5)
Reemplazando (5) en (1) se tiene:
4 18,85 1.000AC ACF F + = [ ]
[ ]
43,76
824,95
AC
HOR
F Kg
F Kg
=
=
Los esfuerzos normales son:
Acero: 243,76
3,4812,566
ACAC AC
AC
FKg cm
A = = =
Hormign: 2824,95
0,332490
HORHOR HOR
HOR
FKg cm
A = = =
(8) Determinar los esfuerzos en los resortes y en la barra vertical.
Datos:
[ ]
[ ]
[ ]
5 2
2
5
100
500
2 10
10
10 1
C
L cm
E Kg cm
A cm
C
=
=
=
=
=
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SOLUCIN:
a) Ecuacin de Equilibrio:
0 :HF = B AF F= (1)0 :VF = D AV BVF F F= +
Como la deformacin es pequea, el ngulo
se puede aproximar a 30
( ) ( )30 30D A BF F sen F sen= +
( )2 30D AF F sen= (2)
( )2 30D BF F sen= (3)
Si los resortes se desconectan del nudo C la barra CD deformara hasta ''C sin
producir esfuerzo axial en ella. Si despus de esto se conectan los resortes en el punto ''C ,entonces se deformar la barra CD hasta el punto 'C
b) Compatibilidad Geomtrica:
Equilibrio
en el
nudo C
( )cos 60 B
D
=
(4)
por simetra:B A = (5)
c) Relacin Esfuerzo-Deformacin:
[ ]0.5L cm = = (6)
F L
A E
=
(7)
Reemplazando (6),(7) y (3) en (4) se tiene:
( )( )
500 1cos 60 0,5
2 30 20
D DF F
A E sen
=
, despejando obtenemos:
[ ]4,987DF Kg=
Reemplazando FD en (3) y en (2): [ ]4,987B AF F Kg= =
[ ]
[ ]
0,0012
0.249
B A
D
cm
cm
= =
=
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13
(9) Determinar fuerzas en los resortes y desplazamiento del punto C, si a la barra CD se leaplica un aumento de temperatura de [ ]200 C .
Datos:
[ ]
[ ]
[ ]
6 2
2
5
200
8
2 10
10
10 1
C
L mt
E Kg cm
A cm
C
=
=
=
=
=
[ ]
[ ]
30
20A
C
K ton cm
K ton cm
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de Equilibrio:
0 :Fv = RA C RC BF F F F+ = + +0 :BM = 2 4 4RA RC CF F F + =
( )2RA C RCF F F= (1)
b) Compatibilidad Geomtrica:
24 2
C A
C A
= = (2)
[ ]1,6C C t L cm + = = =
1,6C C
+ = (3)
t = Deformacin por temperatura de la barra CD
(no produce fuerza axial al desarrollarse libremente).
C = Deformacin del resorte C.
C = Posicin final debido a la accin del resorte
opuesta a la de la temperatura en la barra CD.
A = Deformacin del resorte A.
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c) Relacin Fuerza-Deformacin:
RAA
A
F
K = (4)
RC
C
C
F
K = (5)
C
C
F L
A E
=
(6)
Reemplazando (4), (5) en (2) se tiene:
2RC RA
C A
F F
K K= 2 CRC RA
A
KF F
K=
Reemplazando en (1) se tiene:
2 2 CRA C RAA
KF F F
K
=
( )1,6 2C C A
A E A EF
L L
= = , luego
22 1,6 2 CRA RA RA
A A
KA EF F F
L K K
=
( )80.000
1 3, 3 2, 6RA
F =+ +
Finalmente:
[ ]
[ ][ ]
11.428,6
15.238,1
20.952
RA
RC
C
F Kg
F Kg
F Kg
=
=
=
[ ]
[ ][ ]
0,762
0.38
0.838
C
A
C
cm
cm
cm
=
=
=
(10.1) Determinar la fuerza en los resortes y en la diagonal si en esta se aplica un 0 > .
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SOLUCIN:
a) Ecuaciones de Equilibrio:
0 :HF = 2cos(45)2
DB BA DB BAF F F F = =
0 :Fv =2
(45)2
DB BC DB BCsen F F F F = =
2
2BA BC DBF F F = = (1)
b) Compatibilidad Geomtrica:
( )
( )
cos(45)DB BA
t L t conocido
t
=
=
2 2
2 2BA DBt = + (2)
Nota:
Hasta ''B la barra DB no posee esfuerzo axial, por la
accin de los resortes esta regresa a la posicin 'B .
c) Relacin Fuerza-Deformacin:F
K = (3) ,
F L
A E
=
(4)
Reemplazando (3) y (4) en (2) se tiene:
2 2
2 2
BA DBF F LtK A E
= +
Reemplazando en (1):
2 2
2
BAFtK
= +2
2L
A E
2BAF
2 1
2BA
Lt F
K A E
= +
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16
( )
( )
2
2BA BC
DB
t K A E F F
A E KL
t K A E
F A E KL
= =
+
=
+
(10.2) Un caso anlogo es cuando los resortes son considerados como barras en este caso:
Determinar las fuerzas en las barras debido al aumento de temperatura de la barra central
en 80 C.
Datos:
Barra 1[ ]
2
2
500
5
2000000 Kgcm
L cm
A cm
E
=
=
=
Barra 2[ ]
2
2
300
5
2000000 Kgcm
L cm
A cm
E
=
=
=
Barra 3
[ ]
[ ]
[ ]
2
2
6 1
600
10
2000000
2 10
80
Kg
cm
C
L cm
A cm
E
T C
=
=
=
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuacin de equilibrio:
0;H
F = 1 3
cos(45)F F= (1)
0;VF = 2 3 (45)F F sen= (2)
1 2
F F= (3)
b) Compatibilidad geomtrica:
( )3
1 2
cos(45)
t =
+ (4)
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17
c) Relacin esfuerzo deformacin:[ ] 0.096t L T cm = = (5)
1 1
1
A EFL
= (6)
2 2
2
A EF
L
= (7)
3
3 3 3
3 3
2A E A EF
L L
= = (8)
Con (6) y (8) en (1):
1 3
1 3
2 2
2
A E A E
L L
= 3 10.8485 = (9)
De (3) tenemos:
1 2
1 2
A E A E
L L
= 2 10.6 = (10)
Reemplazando (9), (10) y (5) en (4):
1
1 1
0.096 0.84852
2 0.6
=
+ [ ]1 0.048488 cm =
[ ]2 0.0290928 cm =
[ ]3 0.04114 cm =
[ ]
[ ]
1 2
3
969.76
1371.45
F F Kg
F Kg
= =
=
(11) Determinar las fuerzas en los resortes y desplazamientos de los puntos A y B.
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18
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de Equilibrio:
Diagrama de cuerpo libre.
0 :Fv = 2 cos(30)CV AV BF F F+ = + cos(30) 1,73A CV BF F F + = (1)
0 :HF = (30) 2 (30)A CHF sen F sen + = (30) 1A CHF sen F + = (2)
0 :CM = 4 2 4 3 cos(30)A BF F = + 4 2,6 8A BF F + = (3)
b) Compatibilidad Geomtrica:4
4 3 3
A B
B
= =
Pero nos interesa 'B , debido a la direccin
del resorte B, se tiene entonces:'4
' cos( )3 cos( )
BB B A
= = (4)
c) Relacin Fuerza-Deformacin:3A A A A AF K F = = (5)
3' cos(30) 1, 299
4B B B B A B A
F K K F = = = (6)
Reemplazando (5) y (6) en (3) se tiene:
[ ]4 3 2,6 1,299 8 0,5202A A A cm + = =
[ ]
[ ]
[ ]
1,5606
' 0,3379
0,6757
A
B
B
F ton
cm
F ton
=
=
=
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19
(12) Determinar el desplazamiento horizontal y vertical del punto B y el horizontal de C.
Datos:
[ ]
[ ]
[ ]
6 2
2
1 2
1 2
2 10
2
1
200
10
45
E Kg cm
K ton cm
A A cm
L L cm
P ton
=
=
= =
= =
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de Equilibrio:
0 :Fv = 10.000A CR R+ = (1)
0 :AM = 2 b CR b = 10.000
[ ]5.000C AR Kg R= = (2)
b) Compatibilidad Geomtrica y Relaciones de Fuerza-Deformacin:
[ ]0,707P L
cm
A E
= =
[ ]1 0,99 1 cm =
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20
Luego: Nuevo Triangulo:
Debido al resorte la deformacin del punto C es:
[ ]2,5C CF K cm = =
Nuevo Triangulo:
0 '2
CAC C+
= y 1BV V = +
Se tiene entonces:
Luego:
[ ]
[ ]
1,27
1,25
V
H
cm
cm
=
=
[ ]
[ ]
[ ]
2,5
2,27
1,25
C
BV TOTAL
BH TOTAL
cm
cm
cm
=
=
=
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21
(13) Se apilan 50 placas de hormign en altura, como lo indica la figura. Determinar la
tensin normal que se produce en la placa nmero 40 y la deformacin del extremo superior
del apilamiento.
Datos:
[ ]
5 22 10
240PLACA
E Kg cm
PESO Kg
=
=
SOLUCIN:
La tensin en la placa N 40 se deber al peso de las 39 placas sobre ella:F
A = : 40
240 390,936
100 100
= =
Luego: 240 0,936 Kg cm =
La deformacin del extremo superior es la sumatoria de las deformaciones que produce
cada placa por su peso propio, lo cual vara con la altura.500
0
1( )
F LF y dy
A E A E
= =
, con ( )F y A y = y 0,0024
P
Vol= =
Tenemos entonces:500
0
124 y dy
A E =
[ ]0,0015 cm =
(14) Calcule la deformacin vertical del extremo superior del cilindro de pared delgada
debido a su peso propio. Determinar tambin las tensiones en la superficie de contacto de la
base.
Datos:
3
5 2
8
2 10
ton m
E Kg cm
=
=
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22
SOLUCIN:
Se tiene: F LE
=
, ( )F h A h= y FA
=
La deformacin por peso propio es:A
=A E
[ ]
3002
0
0,00182
hcm
=
La tensin en la base es: BASEA
=h
A
22,4BASE Kg cm =
(15) Determinar las reacciones de apoyo en A y B, y el descenso en D y C.
Datos:
1
2
2 ton/m
1 ton/m
K
K
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de equilibrio:0vF = 5C DR R+ =
0EM=
8( ) 3 (5)DR=
[ ]
[ ]
1,875
3,125
D
C
R Ton
R Ton
=
=
0vF = 5A BR R+ =
0AM = 4( ) 2( ) 6( )B C DR R R+ =
[ ]
[ ]
1,25
3,75
B
A
R Ton
R Ton
=
=
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23
b) Aplicando la relacin Fuerza-Deformacin se obtienen las deformaciones de los resortes:
F
K =
[ ]
[ ]
1,563En barra superior
1,875
C
D
m
m
=
=
[ ]
[ ]
1,875En barra inferior
0,625
A
B
m
m
=
=
c) Arreglo geomtrico: Las deformaciones de los resortes modifican la geometra de las
barras de acuerdo a las siguientes figuras:
Para encontrar los valores de "x" e "y" necesitamos relaciones geomtricas:(2 ) (6 )
0,625 1,875
x x+ += 0x = 0D =
6 8
1,875 y= 2,5y = [ ]2,5C m =
Por lo tanto la figura deformada quedara:
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24
(16) Determinar los descensos verticales de los puntos A y B.
Datos:
1
2
3
2 ton/m
8 ton/m
4 ton/m
K
K
K
=
=
=
SOLUCIN:
Anlisis de fuerzas externas:0vF = 5 4 V VE F+ = +
0EM = 4 4 4 0VF =
[ ]
[ ]
4
5
V
V
F Ton
E Ton
=
=
a) Ecuacin de equilibrio:0vF = 9C D+ =
0CM = 4 1 5 5 4D + =
[ ]
[ ]
3.75
5.25
D Ton
C Ton
=
=
[ ]
[ ]
3.75
5.25
D Ton
C Ton
=
=
b) Relacin esfuerzo-deformacin:
F K =
Luego:
[ ]
[ ][ ]
5.252.65
2C C ton
cm
TonC K cm= = [ ]2.65C cm =
D DD K = [ ]1.875D cm =
E EE K = [ ]0.625E cm =
F FF K = [ ]1F cm =
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25
c) Compatibilidad geomtrica:Descenso de A: 1 2 Ax x+ =
Descenso de B: 1 2 By y+ = Para encontrar x1:
1
5 4
C DDx = [ ]1 2.8438x cm =
Luego [ ]3.4688A cm =
Para encontrar y1:
11 1
6 5
Cx y = [ ]1 1.681 cm =
Luego [ ]2.681B cm =
Entonces la estructura deformada quedara:
(17) Determinar el alargamiento en la barra de la figura en forma exacta:
SOLUCIN:
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26
Para calcular el alargamiento de (a):F L
A E
=
con Fy Econocidos
A e y= pero ( )y x De la ecuacin de la recta:
0 0( )y m x x =
4010
y = , L dx=
Luego:300
( )50
400000
40 2 10 10
10
a dxx
=
300
( ) 02 ln 400a x =
[ ]( ) 2.772a cm =
Para calcular el alargamiento de (b):2
25A r = =
2000F x=
Luego:200
( ) 5
0
2002
4
( )
0
2000
25 2 10
1.273 102
b
b
xdx
x
=
=
[ ]( ) 2.546b cm =
Entonces:
( ) ( )total a b = + [ ]5.318total cm =
(18) Calcular los esfuerzos en la barras del reticulado de la figura si la temperatura de las
diagonales aumenta en 100 C. Todas las barras tienen la misma seccin y son del mismo
material.Datos:
[ ]
[ ]
2
5
5 1
2
300
2 10
100
10
15
Kg
cm
C
L cm
E
T C
A cm
=
=
=
=
=
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27
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de equilibrio:[ ]424.264Diagonall cm=
0 :HF = 1(45)DF sen F=
1
2
2DF F = (1)
0 :VF = 22
2DF F=
1 2F F = (2)
b) Compatibilidad geomtrica:
(45) LsenH
= 2 LH =
Dt H =
2D Lt = (3)
c) Relacin esfuerzo-deformacin:
21L
L
F
E =
(4)
2l
DD
F
A E =
(5)
2
lt T = (6)
Reemplazando (4), (5), (6) en (3) se obtiene:
2 2122
l LDF Fl T
A E A E =
2 2 2D
l l LT A E F
= +
[ ]
[ ]1 2
1757.359
1242.640
DF Kg
F F Kg
=
= =
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28
(19) Determine:
a) Que aumento de temperatura es necesario producir para que ambas barras logren
toparse.
b) Si a partir de ese instante se aumenta la temperatura en 100 C, Con qu fuerzasquedan las barras?
Datos: barra 1
[ ]
[ ]
2
2
5
5 1
10
100
2 10
10
Kg
cm
C
L m
A cm
E
=
=
=
=
Datos: barra
2 [ ]
[ ]
2
2
5
6 1
5
200
2 10
10
Kg
cm
C
L m
A cm
E
=
=
=
=
SOLUCIN:
a)
Compatibilidad geomtrica:
1 1 1
2 2 2
L T
L T
=
=
[ ]1 2 0.5 cm + = =
1 1 2 2( ) 0.5L L T + =
[ ] 47.62 T C = [ ]
[ ]
1
2
0.4762
0.0238
cm
cm
=
=
b) de la figura encontramos:
Posicin final o nuevo punto de unin de las barras:
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29
Ecuacin de equilibrio en el punto de unin:
1 2F F F= = (1)
El sistema alcanzar el equilibrio solo cuando las fuerzasen ambas barras sean iguales.
Compatibilidad geomtrica:
1 2 1 2t t + = + (2)
Relacin esfuerzo-deformacin:
1 21 1 2 2
1 1 2 2
( ) L L
L L T FA E A E
+ = +
(3)
[ ]
[ ]
[ ]
1
2
100
1000.4762
500.0238
T C
L cm
L cm
=
=
=
Reemplazando los datos en (3) obtenemos:
[ ]1 2 16.801,2F F F Kg= = =
De (1) obtenemos:
1 1 2 21 2
1 2
A E A E
L L
= 11 2
2
2L
L =
De (2) obtenemos:
[ ]11 2 22
2 1 1.05L
t t cmL
+ = + =
[ ]
[ ]
1
2
0.84
0.21
cm
cm
=
=
(20) La Barra rgida AE es sostenida por 2 cables de acero de 2 mm de dimetro, con
E=2x106[Kg/cm2], y un pasador en A. Si los cables estn inicialmente tensos, hallar:
i) La tensin en cada cable cuando se aplica P = 60[Kg] en D.
ii) Deflexin en el punto D.
Donde.
3
3
5
B
E
L m
L m
L m
=
=
=
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30
SOLUCIN:
a) Ecuacin de equilibrio:
0 :Fv = 60A B EF F F+ + = (1)
0 :AM = 3 9 360B EF F+ =
3 120E BF F+ = (2)
b) Compatibilidad geomtrica:
900 600
E D = 32
E D = (3)
900 300
E B = 3E B = (4)
c) Relacin esfuerzo deformacin:
E EE
F L
A E
=
B BB F L
A E
=
De (4) obtenemos:
3E E B BF L F L = 9
5E BF F= (5)
Reemplazando (5) en (2):9
3 1205
B BF F
+ =
i)
[ ]
[ ]
7.5[ ]
18.75
33.75
A
B
E
F Kg
F Kg
F Kg
=
=
=
ii)Como 2
3D E = , reemplazamos EF en E y obtenemos:
[ ]
[ ]
0.179
0.268
D
E
cm
cm
=
=
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31
(21) Hallar las fuerzas de resistencia de acuerdo al siguiente proceso:i) Aumento de temperatura: [ ]200 T C = (para todas las barras).
ii) Aplicacin de una fuerza [ ]20P Ton= .
SOLUCIN:
i) Aumento de temperatura:
a) Ecuacin de equilibrio:0 :VF = 1 22F F= (1)
b) Compatibilidad geomtrica:1 1 2 2t t = +
1 2 2 1t t = + (2)
c) Relacin esfuerzo deformacin:
[ ]
[ ]
1 1 1
2 2 2
2 22 2
2
1 11
1
0.8
0.2
0.0002
0.0005
t L T cm
t L T cm
F LF
A E
F L FA E
= =
= =
= =
= =
2 10.6 0.0002 0.0005F F= + De (1)
( )1 10.6 0.0002 2 0.0005F F= +
[ ]
[ ]
1
2
666.67
1333.3
F Kg
F Kg
=
=
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32
ii) Aplicacin de P = 20[Ton]:
a) Ecuacin de equilibrio:0VF = 1 22 20000F F+ = (1)
b) Compatibilidad geomtrica:
1 2 = (2)
c) Relacin esfuerzo deformacin:
1 11 1
1
0.0005F L
FA E
= =
(3)
2 22 2
2
0.0002F L
FA E
= =
(4)
Con (3) y (4) en (2),
1 20.0005 0.0002F F = 1 20.4F F= (5)
Con (5) en (1):
( )2 22 0.4 20000F F + =
[ ]
[ ]
2
1
11111.11
4444.44
F Kg
F Kg
=
=
[ ]1 2 2.22 cm = =
(22) Determinar el esfuerzo en el resorte y barra DC si se aplica un 100T = C a DC.
Datos:
[ ]6 Ton cmK =
Barra 1[ ]
2
2
6
500
0,5
2 10 Kgcm
L cm
A cm
E
=
=
=
Barra 2
[ ]
[ ]
[ ]
2
2
6
6 1
500
1
2 10
10
100
Kg
cm
C
L cm
A cm
E
T C
=
=
=
=
=
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33
SOLUCIN:
El sistema de barra superior y resorte se puede reemplazar por un resorte equivalente para:
[ ]2000 2Kg Toncm cmAB ABA E
K KL
= = = =
[ ]1 1 1
1.52 6
Toncmeq
eq
KK
= + =
Luego:
a) Ecuacin de equilibrio:
DC resorteF F= (1)
b) Compatibilidad geomtrica:
a bt = + (2)
c) Relacin esfuerzo deformacin:
0.05t L T = = (3)
4DCa DC aF L
FA E
= =
(4)
1.51.5
R
b R b
FF = = (5)
Con (4) y (5) en (1):4 1.5a b = 0.375a b = (6)
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34
Con (6) y (3) en (2):0.05 0.375 b b= +
0.03636[ ]
0.013636[ ]
b
a
m
m
=
=
[ ]
[ ]
54.544
54.544
DC
R
F Kg
F Kg
=
=
(23) Un anillo circular con 2 rayos metlicos cada 10, se ve sometido a un aumento de
temperatura 150T = C. Determinar las fuerzas axiales producidas en los rayos y en el
anillo.
Datos:
[ ]
2
6
6 1
2.1 10
10
5
Kg
cm
C
E
t mm
=
=
=
R: radio externo.
SOLUCIN:
a) Equilibrio:
rea tributaria de cada rayo: L T = (Deformacin del rayo por T del anillo).
2P rr
t E
=
(Aumento de r por la fuerza que genera el
rayo)
r: radio interno del anillo. (r = R - e).
2P L
BA E
=
(Deformacin final del rayo).
b) Compatibilidad geomtrica:
El radio r del anillo aumenta debido a la
temperatura que se le aplica, generando
una fuerza de reaccin en el rayo que tiende
a atraer al anillo a su radio original.
B r + = (1)
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35
c) Relacin esfuerzo deformacin:
62
2
(2 )P9.263 10
2 ( 36)
Lrayo
B rayo
F rF
A E r E
= = =
(2)
2 23P r (50 )
2.381 10rP
Pt E t E
= = =
(3)
0.0075r T = = (4)
Reemplazando (2), (3) y (4) en (1):( ) ( )6 39.263 10 2.381 10 0.0075rayoF P
+ =
Debemos relacionar rayoF y P:
1803 10
rayoF P A P b S P r = = =
25.918rayo
F P=
Luego:( )( ) ( )6 39.263 10 25.918 2.381 10 0.0075P P + =
22.861 Kgcm
P =
Entonces:[ ]
[ ]
_
tan
25.918 2.861 74.151
P r 2.861 50 3 429.15
axial rayo
g
F Kg
F b Kg
= =
= = =
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36
(24) Hallar la posicin del nudo de conexin y las fuerzas en las barras; Las barras seencuentran separadas en 1a = [cm] y 0.5b = [cm].
Datos:
barra 1[ ]
2
2
800
5
2000000 Kgcm
L cm
A cm
E
=
=
=
barra 1[ ]
2
2
500
10
2000000 Kgcm
L cm
A cm
E
=
=
=
SOLUCIN 1:
Las barras (a) y (b) solo giran y se unen en (c) sin producir o necesitar fuerzas.
Barra 0aA =
Barra 0bB =
0
0
a
b
A
B
F
F
=
=
SOLUCIN 2:
1 2356.602 = = + (1) Longitud a acortar
1 1
1
1
A EF
L
= (2)
2 2
2
2
A EF
L
= (3)
Para lograr equilibrio1 2F F=
Reemplazando (2) y (3) en (1):
1 1 2 2
1 2
355.648F L F L
A E A E
+ =
Como1 2F F=
1 1 2
1 2
355.648F L L
E A A
+ =
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37
[ ]1 2 3387.12F F Ton = =
(25) Determinar el desplazamiento total del punto B y las fuerzas en las barras 1 y 2.
Datos:
barra 1[ ]
2
2
6
300
1
2 10 Kgcm
L cm
A cm
E
=
=
=
barra 1[ ]
2
2
6
200
2
2 10 Kgcm
L cm
A cm
E
=
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de equilibrio:
0 :HF = 2 10 cos(45)F = [ ]2 7.071F Ton =
0 :V
F = 1 10 (45 )F sen= [ ]1 7.071F Ton =
b) Compatibilidad geomtrica:
2 2
1 2T = + ; Desplazamiento total de B a B
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38
c) Relacin esfuerzo deformacin:
[ ]
[ ]
1 11
1
2 2
2
2
1.061
0.354
F Lcm
A E
F L cmA E
= =
= =
[ ]1.118T cm = y [ ]1 2 7071F F Kg= =B
E
L=3m
L =3m
L =5m
(26) Conocidos 1 1 2, , , , , ,W A L L E . Cunto debe ser A2 para que C se desplace slo en
forma vertical?
SOLUCIN:
( )
( )
1 2
1 2
0 : 1
0 : cos cos 0 2
V
H
F F sen F sen W
F F F
= + =
= =
( )
( )
( )
( )
1 11
1
2 22
2
2
1
3
4
cos 5
cos 6
C
C
F l
A E
F l
A E
=
=
=
=
Reemplazando (2) en (1):
( )
2
12
2
1 1 22
1 2 2
1 1 22
1 2
1 12 2
1 2
2 1 2
2
1 1
cos
C
C
F sen sen Wsen
F sen sen W
F l AF sen sen W
A F l
F l AF sen sen W
A l
F lW F sen sen A
A l
W F sen A l A
sen F l
+ =
+ =
+ =
+ =
=
=
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39
(27) En la siguiente viga determine cunto desciende el apoyo B.
Datos:6 2
2
2 10 /
100 /
acero
goma
E Kg cm
E Kg cm
=
=
4
6 2
100000
1000
20 /
2 10 /viga
I cm
L cm
q Kg cm
E Kg cm
=
=
=
=
SOLUCIN:
Consideraremos el apoyo elstico en B como 3 resortes en serie:
Para el acero:( ) ( )6 320 20 2 10 400 10 /
2
AEK ton cm
L
= = =
Para la goma:( ) ( )10 10 100
1.67 /6
AEK ton cm
L
= = =
1 1 1 11.67eq
eq acero goma acero
KK K K K
= + + =
Entonces tenemos:
= X+
= +
Luego:
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40
Compatibilidad geomtrica:
45
384o
q L
EI =
3
48x
L
EI = resorte
eq
x
K =
3
1.31670 48
resorte o x
x x L
EI
=
=
2628.2
2628.21.5741670
resorte
Kg
cm
=
= =
1.574B cm =
(28) Determinar la deformacin de los puntos A, B y C, y las fuerzas en los resortes debido a
la carga P.
Datos:
1
2
3
500 /
100 /
200 /
K ton m
K ton m
K ton m
=
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de equilibrio:
2 3 1
1 2 3
2 3
1 3
0 : (1)
0 : 0.3 0.6 0.45
1.5 2 (2), (1)
0.5 (3)
VF F F F P
M F F P
F P F reemplazando en
F P F
= + =
= + =
=
=
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41
b) Relacin fuerza-deformacin:
31 21 2 3
1 2 3
(4), (5), (6)FF FF
K K K K = = = =
c) Compatibilidad geomtrica:( )
( )
1 2 3
( )( ) ( )
0.3 0.3
iii iii
xx
+= =
( )
( )
22 1
1 2
22 3
3 2
0.3( ) ( ) : 0.3
0.3( ) ( ) : 0.3
de i y ii x x x
de ii y iii x x x
= =+
+ = =
Igualando ambas expresiones,
2 2
1 2 3 2
0.3 0.3
=
+
1 2 3 2 + =
1 3 22 (*) =
Reemplazando (4), (5) y (6) en (*):
31 2
1 3 2
2FF FK K K
= , reemplazando (2) y (3)
( ) ( )3 331 3 2
3
1 2 3 2 1
0.5 1.5 22
1 3 1 4 1
2
P F P FF
K K K
P FK K K K K
=
+ = + +
3 3
2 2
1 1
3.9574 0.0198 ( )
1.0852 0.0109 ( )
0.9574 0.0019 ( )
C
B
F ton m
F ton m
F ton m
= =
= =
= =
El signo negativo significa que el sentido de F1 y 1 son contrarios a los supuestos
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42
(29) Una barra infinitamente rgida, de peso despreciable, est sujeta en A con una rtula, en
B y C, por dos cables del mismo material. Determine las reacciones en A, B y C, constituidas
por la carga P.
SOLUCIN:
a) Ecuacin de equilibrio
0 : (1)
0 : 2
2 (2)
V B C A
B C A
C A
F R R R P
M L P L R L R
P R R
= + = +
= = +
=
b) Compatibilidad geomtrica
2(3)
4 2
3 3C B
L L
L L=
+ +
c) Relacin esfuerzo-deformacin
( )
( )
443
(4)3
223
(5)3
C
C C
C C
B
B B
B B
FL
AE
LR LR
A E E A
LR LR
A E E A
=
= =
= =
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43
Reemplazando (4) y (5) en (3):
422 42
3 3 3 3
CB
B C
L RL RL L L L
E A E A
+ = +
(6)BB CC
AR R
A =
Reemplazando (6) y (2) en (1):
( )2
3
2
322
3
2
BC C C
C
CC
B C
CA
B C
BB
B C
AR R P R P
A
AR P
A A
AR PA A
AR P
A A
+ = +
=
+
= +
=
+
(30) Para la siguiente viga rgida articulada en B, determinar el grfico de desplazamiento v/s
posicin de la carga.
SOLUCIN:
a) Ecuacin de equilibrio:0 : (1)
0 : 3 7 (2)
V B C A
B B C
F F F F P
M F F P x
= + =
= + =
b) Compatibilidad geomtrica:3
(3)3 4 4
CAA C
= =
Suponemos esta deformacin con P a la derecha
de B, no influye en los clculos ni resultados.
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44
c) Relaciones esfuerzo-deformacin:
(4)
(5)
AA
A
CC
C
FF
K K
FK
= =
=
Reemplazando (4) y (5) en (3):
3 6
4 4
3(6)
2
AA C C
C
A C
KF F F
K
F F
= =
=
Con (6) en (1):3
2
0.5 2
B C C
B C
F F F P
F F
+ =
=
Formamos un sistema de ecuaciones con (2),
0.5 2 / ( 3)
3 7 2
B C
B C
F F
F F x
=
+ =
3 1.5 6
3 7 2
B C
B C
F F
F F x
+ =
+ =
( )
8.5 2 6
43
17
C
C
F x
F x
=
=
( )
( )
:
43
17
3317
C
A
Luego
x
x
=
=
( )y x en m
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45
Grfico de desplazamiento v/s posicin de la carga:
(31) Determine el descenso del punto B de la viga.
Datos:
1 1
2 2
3 3
4 4
6 4 /
4 4 /
3 2 /
3 1 /
L mt K ton cm
L mt K ton cm
L mt K ton cm
L mt K ton cm
= =
= =
= =
= =
SOLUCIN:
Estructura deformada:
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46
F K
F
K
=
=
4 4
4
4
4
(4)
11
1 /
300 1500.5
1
Barra
F toncm
K ton cm
y cmy
= = =
= =
3 3
3
3
3
(3)
21
2 /
300 1500.75
1.5
Barra
F toncm
K ton cm
y cmy
= = =
= =
2 2
2
2
2
(2)
41
4 /
400 2000.875
1.75
Barra
F toncm
K ton cm
y cmy
= = =
= =
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47
1
(1)
8
24 /B B
Barra
F ton
cmK ton cm = = =
: 2.875BLuego cm =
(32) Una barra infinitamente rgida est articulada en A y apoyada por dos resortes en B.
Hallar el desplazamiento vertical de B, bajo la accin de P.
Datos:1
1
2
2
15
20 /
20
50 /
100
2000
50
L cm
K ton cm
L cm
K ton cm
L cm
P Kg
a cm
=
=
=
=
=
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuacin de equilibrio
2 2 1 10 :VF F sen F sen P = + = 1 20.96 0.93 2 (1)F F ton+ =
2 2 1 10 : cos cosHF F F = = 2 10.37 0.3 (2)F F=
b) Relacin fuerza-deformacin
Para los resortes: 1 1 1
2 2 2
F K
F K
=
=
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48
c) Compatibilidad geomtrica
1
2
cos16.7cos 21.8
B
B
=
=
Luego:( )
( )
1 1
2 2
cos16.7 19.16 (3)
cos 21.8 46.42 (4)
B B
B B
F K
F K
= =
= =
Reemplazando (3) y (4) en (1):
( ) ( )0.96 19.16 0.93 46.42 2B B + =
0.0325B cm =
1
2
0.623
1.509
F ton
F ton
=
=
(33) Si los resortes a y bse montan a 90 cm del centro, A qu distancia del centro debe
montarse el resorte c si la pantalla debe colgarse horizontalmente?
Datos:
110
2.40
pantallaP Kg
dimetro m
=
=
14 /
14 /
16 /
a
b
c
K kg cm
K kg cm
K kg cm
=
=
=
SOLUCIN:
a) Ecuacin de equilibrio
0 : 110 (1)
0 : 90 60 60 (2)
V a b c
O a c
F F F F Kg
M sen F S sen F
= + + =
= =
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49
b) Relacin fuerza-deformacin
(3) , ,a b ca b ca b c
F F FF K
K K K= = = =
c) Compatibilidad geomtrica
(4)a b c = =
Reemplazando las relaciones de (3) en (4):
,a b c aa ba b c b
F F F Kluego F F
K K K K= = =
(5)a bF F =
cc b
b
KF F
K=
8(6)
7c bF F =
Reemplazando (5)y (6) en (1):8
2 1107
b bF F Kg + =
35b aF Kg F = =
40cF Kg=
78.75S cm=
(34) Determine el dimetro (rea) necesaria de cada rayo de la rueda para que al girar el eje
tenga como mximo una deformacin vertical de 0.1 cm. La rueda soporta en el eje 1000 Kg
y tiene un radio de 50 cm. Los rayos son de acero y resisten tanto a traccin como a
compresin (son 4 rayos).
6
22 10
KgE
cm
=
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50
SOLUCIN:
Analizaremos dos posibles casos crticos:
Caso a):
En este caso la fuerza
afecta solamente a los dos
rayos verticales, entonces:
Ecuaciones de equilibrio:0 : 2 1000VF F P Kg= = =
( )500 :F Kg F fuerza con que reacciona cada rayo =
Relacin fuerza-deformacin:PL
AE =
Reemplazando los datos:
2
6
500 500.1 0.125
2 100.399
A cm
Acm
= =
=
Caso b):
cos
sin
H
V
F F
F F
=
= 1 2por simetra F F =
Ecuaciones de equilibrio:0 : 4 sin 1000VF F P Kg= = = 353.55F Kg =
Relacin fuerza-deformacin:PL
AE
=
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51
Compatibilidad geomtrica:
sin 45 cos450.1
= = 0.0707 cm =
Luego:( ) 2
6
2 353.55 500.0707 0.25
2 10
0.564
A cmA
cm
= =
=
El caso b) es el ms desfavorable, ya que hace necesario que los rayos tengan un rea
mayor.
(35) Un tubo de latn de 0.3 mt. de largo, 3.175 cm. de radio exterior y 0.3175 cm. de
espesor, se coloca en una prensa, ajustada de manera que sus quijadas toquen apenas los
extremos del tubo sin presionarlo. Luego se aplican dos fuerzas P y Q de magnitudP=186.816 KN y Q=160.128 KN , como se muestra. Sabiendo que 9105 10E x Pa= . Halle las
fuerzas ejercidas sobre el tubo por la prensa en A y D.
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de equilibrio:0 :H A DF R R P Q= =
26.688A DR R KN = (1)
Relacin fuerza-deformacin:PL
AE
=
( ) ( )
( ) ( )
4
2 2 9
4
2 2 9
160128 0.20325.15 10
0.03175 0.028575 105 10
186816 0.20326.008 10
0.03175 0.028575 105 10
AC
DB
m
m
= =
= =
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Capitulo ICapitulo ICapitulo ICapitulo I : Mecnica: Mecnica: Mecnica: Mecnica De Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos DeformablesDe Los Cuerpos Deformables SOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICASOLIDO CON LA MECANICA
52
b) Compatibilidad geomtrica:
Re
Re
0AC DB acc
AC DB acc
=
=
( ) ( )2 2 9
0.30480.00008580.03175 0.028575 105 10
DR
=
( )17.785 17.785
8.903
D
A
R KN KN
R KN
= =
=
(36) Dos barras cilndricas, la primera de acero y la segunda de latn, estn unidas en Cy
con soportes rgidos en A y E. Dada la carga mostrada en el dibujo, encuentre:
i) Las reacciones en A y en E.ii) La deformacin del punto C.
Datos:
F1=60 KN
F2=40 KN
200ACE GPa=
105LatnE GPa=
SOLUCIN:
i)
a) Ecuaciones de equilibrio:
( )
0
60 40 100 1
H
A E
F
R R KN
=
+ = + =
b) Relacin fuerza-deformacin:PL
AE =
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c) Compatibilidad geomtrica:
Eliminaremos la pared en el punto E y permitiremos que ambas barras se deformen
libremente. Luego pondremos la pared nuevamente y existir la reaccin RE, la cual deberhacer nula la deformacin que permitimos que tuvieran las barras:
AC CE libre + =
0 (2)Elibre R
+ =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
5
2 2 29 9 9
10
2 29 9
60000 0.18 40000 0.12 40000 0.12.899 10
0.04 200 10 0.04 200 10 0.03 105 10
0.20 0.309.721 10
0.03 105 10 0.04 200 10E
libre
R E E
m
R R
= + + =
= + =
Reemplazando en (2):5 102.899 10 9.721 10 0ER
+ =
29822.035ER N = , reemplazando en (1)
70177.965AR N=
ii)
10178RF N =
70.178 60 10178R RF F N= =
Luego:
( )52
9
10178 0.31.215 10
0.04200 10
2
R
C
F Lm
AE
= = =
10178RF N =
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54
Luego:
( )52
9
10178 0.22.74 10
0.03105 10
2
RC
F Lm
AE
= = =
(37) Dos barras cilndricas, una de acero ( 200ACE GPa= ) y la otra de latn ( 105LatnE GPa= ),
estn unidas en C. El extremo A de la barra compuesta, as obtenida, est fijo, mientras que
existe una separacin de 0.12 mm entre el extremo E y muro vertical. Se aplica entonces enB una fuerza 60BF KN= y otra 40DF KN= en D, ambas horizontales y de izquierda a
derecha. Determine las reacciones en A y en E.
SOLUCIN:
a) Ecuaciones de equilibrio:
( )
0
60 40 100 1
H
A E
F
R R KN
=
+ = + =
b) Relacin fuerza-deformacin:PL
AE =
( ) ( )
( )
5
2 29 9
5
2 9
60000 0.18 40000 0.121.552 10
0.04 200 10 0.04 200 10
40000 0.11.347 10
0.03 105 10
AC
CE
m
m
= + =
= =
c) Compatibilidad geomtrica:
Re 0.00012AC CE acc + + =
Entonces:
( )Re 0.00012acc AC CE = +
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55
( ) ( )2 29 9
0.2 0.30.00009101
0.03 105 10 0.04 200 10ER
+ =
93.623
6.377
E
A
R KN
R KN
=
=
(38) Calcular la deformacin central del reticulado (C ).
Datos:
Todas las barras poseen seccin:
A =10 cm26
22 10
kgE
cm=
SOLUCIN::Nudo H
0 : 0
0 : 0
V
H
F HA
F HG
= =
= =
:Nudo A
:Nudo I
0 : 0
0 : 10V
H
F GI
F IC IA ton
= =
= = =
:Nudo G
2 20 : 10 2
2 2
2 20 : 20
2 2
V
H
F AG GC AG GC ton
F AG GC FG FG ton
= = = =
= + = =
20 : 10 10 2
2
20 : 10
2
V
H
F GA GA ton
F AI GA AI ton
= = =
= = =
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56
:Nudo C
10 2
2 20 : 20 0
2 2V
Por simetra separamos GC CE ton
F CF CE GC CF
= =
= + + = =
Nuestra estructura queda:
: 10 2
: 20
: 10
fuerza en las diagonales AG GC CE EB ton
fuerza en barras horizontales superiores GF FE ton
fuerza en barras horizontales inferiores AI IC CJ JB ton
= = = =
= =
= = = =
2 6
2
7 4
10 2 10
2 10 2 10
kgA E cm
cm
A E kg ton
=
= =
Calcularemos la deformacin C mediante la igualdad de trabajo:
( )
( )
e
i
W P trabajo externo
W F trabajo interno
=
=
Luego: e iW W=
1 1
2 2
20 C
P F
F
=
=
: fuerza axial de cada barra
: deformacin de cada barra
F
2
20 CF L
no importara si la fuerza es de compresin o traccinAE
=
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57
( )2
2 2
4 4 4
2
sup inf
10 2 3 2 20 3 10 320 4 2 4
2 10 2 10 2 10
1.748 10
C
C
horizontales eriores horizontales erioresdiagonales
m
= + +
=
(39) Determinar los momentos flectores en los empotramientos A y B de cada viga, debido
a un descenso de temperatura de 50 C en el alambre de acero vertical.
Datos:Vigas:5 2
4
2 10 /
45000
E Kg cm
I cm
=
=
Alambre:
2
50
1
T C
A cm
=
=
6 2
5
2 10 /
10 1/
E Kg cm
C =
=
SOLUCIN:
6
6
1 3 3
2
1 2 105000 /
400
3 3 2 10 450001000
300
3375
al
AEK Kg cm
L
EIK
L
K
= = =
= = =
=
510 400 50 0.2
0.2
t
t cm
= =
=
a b t + =
( )
1 1 1
2 2 2
1 2' 'al al
F K
F K
F K
=
=
= +
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2 2
'
'
b
a
+ =
+ =
1 2F F= 1
2
al
al
F F
F F
=
=
1 1 2 2K K = 1 23.375 =
1 alF F=
( )
( )
1 2 1 1
1 2 2 2
' '
' '
al
al
K K
K K
+ =
+ =
( ) ( )1 2 1 2' ' t + + + =
( ) ( )1 2 1 2' ' t + = +
( )
( )
1 2 1 1
1 2 2 2
al t
al t
K K
K K
+ =
+ =
( )
( )
1 2 1
1 2 2
5000 0.2 1000
5000 0.2 3375
+ =
+ =
( )
( )
1 2 1
1 2 2
1 5
0.3 1.48
+ =
+ =
1 2
2 1 / 2
1 6 5
0.3 2.48 1.48
= +
= +
10.4 3= 1
1
0.13
0.04
=
= 1
2
130 ;
130 ;
F Kg
F Kg
=
=
1
2
390
260
Kg m
Kg m
=
=
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