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Contribution à l’analyse et à la commande de systèmes non linéaires à commande échantillonnée
Laurent Burlion
Directrice de thèse : Madame F. Lamnabhi-LagarrigueCo-encadrant : Monsieur T. Ahmed-Ali
2
Introduction
3
Plan de l’exposéIntroduction
1. Commande par retour d’état statique et échantillonnage1. Convergence GAS 2. Convergence SPA
1. Application aux Systèmes sous la forme strict-feedback2. Application aux systèmes sous la forme strict-feedforward
2. Commande par retour d’état dynamique / Commande adaptative et échantillonnage1. Convergence GAS 2. Convergence SPA
1. Idées d’extension aux systèmes sous la forme strict-feedback
3. Futurs travaux et application
Conclusion
4
Commande d’un hélicoptère
Problème : les performances de l’émulation sont médiocres en dessous de 50Hz
5
1-Retour d’état statique et échantillonnage
6
Classe de systèmes
Entre deux instants d’échantillonnage :
Notion de discrétisé exact :
7
Types de convergences étudiées
Définition : (Stabilité Semi-globale, Pratique et Asymptotique (SPA))
Caractérisation :
Définition : (Stabilité Globale Asymptotique (GAS))
8
1.1- Convergence GAS et échantillonnage
9
10
Théorème (Herrmann, Spurgeon et Edwards 99) Lorsque la commande est émulée le système reste GASpour toute période d’échantillonnage suffisamment faible
émulation
11
1.2- Convergence SPA et échantillonnage
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« Redesign » de la commande continue
Commande d’ordre r :
Hypothèses sur la commande continue :
La solution du système bouclé satisfait des conditions particulières.
(en terme de régime transitoire, vitesse de convergence …)
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La commande d’ordre r est « meilleure » que la commande d’ordre r-1
ssi
si
(sur un certain domaine et pour T suffisamment faible).
où
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« redesign » par des grands gains:
Si de plus :
En choisissant :
Rapport entre l’ordre de la commande et l’ordre de la précision :
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« Fonctions saturation d’ordre r »
16
Exemple :
Avec une commande d’ordre 0 :
Avec une commande d’ordre 1 :
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augmentation du gain de la commande continue
18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
t
u
19
augmentation du gain de la commande continue
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
t
u
21
1.2.1- Application aux systèmes de la forme strict-feedback
22
« Algorithme de Backstepping classique robuste »
Pseudo-commande :
23
« Algorithme de Backstepping modifié et récursif pour r>2 »
Pseudo-commande :
Commande :
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- un résultat général (publié à IJC 05) sous des hypothèses fortes mais qui ne donne pas une méthode constructive de la commande
- un algorithme constructif pour gagner en précision quand l’ordre de la commande augmente et en vitesse de convergence si on le rend plus robuste par des grands gains
- un algorithme constructif pour gagner en précision et en vitesse de convergence et garantissant que la commande est d’autant meilleure que l’ordre augmente
« Trois nouveaux résultats »
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• Exemple
« Contrôleur Backstepping continu GAS
Contrôleur « SPA » de Teel-Nesic construit à partir du schéma d’Euler
Notre Contrôleur « SPA » basé sur l’approximation à l’ordre 2 :
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Notre contrôleur
Contrôleur de Teel/Nesic
Pour plusieurs conditions initiales, nous avons constaté que notre contrôleur (qui utilise plus d’informations sur le discrétisé exact) est plus rapide, donne moins de dépassement et nécessite moins d’énergie
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1.2.2- Application aux systèmes de la forme strict-feedforward
28
Changement de coordonnées :
Commande :
29
2-Retour d’état dynamique / commande adaptative et
échantillonnage
30
Classe de systèmes
Commande dynamique :
Commande adaptative :
T>0
31
2.1- Convergence GAS et échantillonnage
32
33
Théorème (Burlion, Ahmed-Ali et Lamnabhi-Lagarrigue 04) Lorsque la partie commande est émulée le système reste
GAS pour toute période d’échantillonnage suffisamment faible
« émulation dynamique »
Dans la preuve, nous utilisons notamment le concept de fonction de Lyapunov étendu aux systèmes hybrides impulsionnels.
34
2.2- Convergence SPA et échantillonnage
35
« Redesign » de la commande adaptative continue
Commande d’ordre r :
Sur-paramétrisation
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Hypothèses sur la commande continue :
La solution du système bouclé satisfait des conditions particulières.
(en terme de régime transitoire, vitesse de convergence …)
37
La commande d’ordre r est dite « meilleure » que la commande d’ordre r-1
si
(sur un certain domaine et pour T suffisamment faible).
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Nous choisissons la loi d’adaptation suivante :
Nous utilisons :
Nous obtenons lorsque
si sinon
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• Exemple de dimension 1
En continu :
A l’ordre 1 :
Si
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2.2.1- Idées d’extension aux systèmes de la forme strict-feedback
41
• Exemple
En continu :
A l’ordre 1 :
42
Commande continue :
A l’ordre 0 :
A l’ordre 1 :
43
Ordre d’idée de la complexité : calculs réalisés par le logiciel Maple
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45
Simulation numérique en partant par exemple de (1,1) à 20Hz
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3- Futurs travaux et application
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Commande d’un hélicoptère soumis à des rafales de vent
Le système s’écrit sous la forme strict-feedback à multi-entrées et possède des paramètres inconnus. L’implémentation des commandes a lieu à une fréquence de 25Hz Problème : les performances de l’émulation sont médiocres en dessous de 50Hz
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Problèmes ouverts et thèmes de recherche futurs
éliminer la sur-paramétrisation en commande adaptative
synthétiser des commandes échantillonnées d’ordre supérieur par retour de sortie
relaxer les hypothèses permettant d’assurer la convergence GAS et donner une meilleure borne supérieure de la période d’échantillonnage qui garantit la stabilité GAS
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Conclusion
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Publications• L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the Stability of a Class of
NonLinear Hybrid Systems, in Proc. of NOLCOS 04, Stuttgart, 2004.• T. Ahmed-Ali, L. Burlion et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the stabilization of sampled-
data systems by using higher order approximations of the exact discretized systems, in Proc. of IMACS World Congress, Juillet, 2005.
• L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the Stabilization of Sampled-Data Nonlinear Systems by using Backstepping on the higher order approximate models, International Journal of Control, vol. 79,no.9, Septembre, pp.1087-1095, 2006.
• L. Burlion, T. Ahmed-Ali, F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the stability of a class of nonlinear hybrid systems, Journal of Nonlinear Analysis, Décembre, 2006.
• L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the adaptive control of Nonlinear Sampled-Data Systems, accepté à la conférence ECC 2007.
• L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, Adaptive control redesign for some Nonlinear Sampled-Data Systems, soumis à la conférence NOLCOS 2007.
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