View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
3. BÖLÜM
MATRİSLER
2
11
211
1m
a
a
a
v
12
222
2m
a
a
a
v
1
2
n
n
n
mn
a
a
a
v…
gibi n tane vektörün oluşturduğu,
şeklindeki sıralanışına matris denir.
1 2 nA v v v
3
Matris
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
elemanları ( 1,2,..., ; 1,2,... )
ija i m j n
cinsinden kısaca [ ]
ijaA
4
sincos YXx cossin YXy
Y
X
y
x
cossin
sincos
Analitik Geometriden Biliyoruz ki :
Döndürme Formülleridir.
x
y Y X
Ө
P
Şekil.1
•
5
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
mnmnmm bxaxaxa 2211
……………………………. Doğrusal Denklem Sistemi
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
A X B
A X = B
mxn mx1 nx1
6
MATRİS İŞLEMLERİ
Matrislerin Toplamı (Farkı) A ile B mxn boyutlu iki matris ise, aij±bij=cij olacak şekilde elde edilen C=[cij] matrisine, A ile B matrislerinin toplamı (veya farkı) denir. İki matrisin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için boyutlarının aynı olması gerekir.
Farklı boyutlu iki matris toplanamaz (veya çıkarılamaz)
Matrislerin Toplamı (Farkı)
Tanım: Eğer ija A ve
ijb B boyutları mn olan
matrisler ise bu iki matrisin toplamı:
A B C
ij ij ija b c
8
Matrislerin Toplamı (Farkı)
İki matrisin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için boyutlarının aynı olması gerekir. Farklı boyutlu iki matris toplanamaz (veya çıkarılamaz)
Toplama işleminin koşulu
A B C * * *
* * *
* * *
* * *
+
* * *
* * *
* * *
* * *
=
* * *
* * *
* * *
* * *
43 43 43
9
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
Matrislerin Toplamı (Farkı)
10
ÖRNEK
1 2 4
3 0 1
2 1 2
A ve
2 0 0
1 4 3
1 3 2
B ise A+B=C
matrisini bulunuz.
3 2 4
2 4 2
1 4 4
C
Bir Matrisin Bir Skalerle Çarpımı Tanım: Eğer
ija A boyutu mn olan bir matris ve
k olan bir skaler ise matris ile skalerin çarpımı boyutu mn olan bir matristir:
k A C
ij ijka c
ÖRNEK
12
2 5 1
3 4 0
2 7 2
A ise 2A ve -3A skaler çarpımlarını bulunuz.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(2) (5) ( 1) 4 10 2
2 (3) (4) (0) 6 8 0
(2) (7) (2) 4 14 4
Α
(2) (5) ( 1) 6 15 3
3 (3) (4) (0) 9 12 0
(2) (7) (2) 6
3 3 3
3 3 3
3 2 63 3 1
A
Matrislerin Çarpımı
Tanım: Eğer ija A boyutu mn ve
ijb B boyutu np
olan matrisler ise bu iki matrisin çarpımı boyutu mp olan bir matristir:
AB C
1 1 2 21
n
ik kj i j i j in nj ij
k
a b a b a b a b c
14
C A B
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33
c c c a a a b b b
c c c a a a b b b
c c c a a a b b
12 11 12 12 22 13 32c a b a b a b
Matrislerin Çarpımı
15
Matrislerin Çarpımı
A matrisinin sütun sayısının, B matrisinin satır sayısına eşitliği çarpılabilme koşuludur.
Çarpım işleminin koşulu
ÖRNEK
2 1
3 4
A 3 9 2
5 7 6
B
matrisleri için C çarpım matrisini bulunuz.
2 1
3 4
3 9 2
5 7 6
3 5 9 7 2 6
3 5
2 1 2 1
9 7 2 6
2 1
3 4 3 4 3 4
1 25 10
29 1 18
ÇÖZÜM
18
Matrislerin Toplama ve Skaler Çarpım Özellikleri
A,B,C aynı boyutlu matrisler; k1, k2 skalerler olmak üzere;
1) A+B=B+A
2) A+(B+C)=(A+B)+C
3) k1(A+B)=k1A+k1B
4) (k1+k2)A=k1A+k2A
5) (k1k2)A=k1(k2A)
19
Matrislerin Çarpım Özellikleri A,B,C aynı boyutlu matrisler; k1, k2 skalerler olmak üzere;
1) A(B+C)=AB+AC
2) (A+B)C=AC+BC
3) A(BC)=(AB)C
4) AB≠BA (Boyutlar uygun değilse)
5) AB=AC ise B=C olması gerekmez.
6) AB=0 ise A=0 ya da B=0 olması gerekmez.
7) A(B+C)=AB+AC
8) (A+B)C=AC+BC
Matrisin Transpozu
20
Her hangi bir A matrisinin transpozu (evriği) AT ile gösterilir.
A matrisinin satırları (sütunları) sırası ile AT matrisinin sütunlarını (satırlarını) oluşturur.
Transpoz İşleminin Özellikleri
1. TT A A
2. T T T A B A B
3. T Tk kA A k bir skaler
4. T T TAB B A
Özel Matrisler
Satır sayısı, sütun sayısına eşit olan (m=n) matrislere kare matris denir.
NOT: Kare bir matrisin determinantı hesaplanabilir. Kare olmayan bir matrisin determinantı söz konusu değildir.
Kare Matris :
2 5 1
3 4 0
2 7 2
A
23
Sıfır Matris :
Özel Matrisler
Tüm elemanları sıfır olan matrise denir.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
A
Köşegen Matris :
Özel Matrisler
Köşegen üzerindeki elemanlarının aii dışında, diğer tüm elemanları (aij)sıfır olan matrise denir. aii elemanlarının bazıları sıfır olabilir. NOT: Sadece kare matrisler köşegen matris olabilir.
3 0 0
0 4 0
0 0 4
A
Skaler matrisler:
Özel Matrisler
Asal köşegen elemanları (aii)birbirine eşit olan köşegen matrise skalar matris denir.
26
Özel Matrisler Birim Matris :
Köşegen üzerindeki elemanları 1, diğerleri sıfır olan skaler matrise birim matris denir.
In ile gösterilir.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
matrisi bir birim matris olup I3 ile gösterilir.
Önemli: A0=I
Simetrik Matris
Özel Matrisler
A bir kare matris olsun. Eğer aij=aji eşitliği tüm i≠j elemanları için sağlanıyor ise diğer bir ifade ile A=AT ise A matrisi simetrik matristir.
2 3 5
3 1 6
5 6 4
A
Yarı Simetrik Matris
Özel Matrisler
A bir kare matris olsun. Eğer -aij=aji eşitliği tüm i≠j elemanları için sağlanıyor ise diğer bir ifade ile -A=AT ise A matrisi yarı simetrik matristir. i=j için -aii=aii olduğundan asal köşegen elemanları sıfırdır.
0 3 5
3 0 6
5 6 0
A
Özel Matrisler Tanım: A matrisi boyutu n olan bir kare matris
ise;
1
2T P A A
1
2T Q A A
Şeklinde tanımlanan P ve Q matrisleri sırası ile
simetrik ve yarı simetrik matrislerdir.
Periyodik Matris :
Özel Matrisler
A bir kare matris olsun. kєN+ olmak üzere Ak+1=A ise A matrisine periyodik matris denir.
Birim matris bir periyodik matristir.
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Özel Matrisler
A bir kare matris olsun. Eğer k=1 için A2=A ise A matrisi idempotent matristir.
Birim matris bir idempotent matristir.
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
İdempotent Matris:
32
Özel Matrisler Nilpotent Matris:
A bir kare matris olmak üzere A2=0 ise A matrisine Nilpotent Matris denir. Eğer A2=I ise A matrisine ünipotent Matris denir.
1 2 5
2 4 10
1 2 5
A
Üst üçgen matris:
Özel Matrisler
Bir kare matrisin asal köşegeninin altında kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise üst üçgen matris denir.
1 4 0
0 2 6
0 0 7
A
Alt üçgen matris:
Özel Matrisler
Bir kare matrisin asal köşegeninin üstünde kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise alt üçgen matris denir.
3 0 0
5 3 0
2 0 1
A
Özel Matrisler
A boyutu mn olan bir matris olsun. A matrisinin ilk satırı hariç,
diğer satırlarındaki sıfırların sayısı (soldan itibaren) satır satır
artıyor ise A matrisi Echelon (kanonik) matristir.
Bir eşelon matriste satırlardaki sıfır olmayan ilk elemana pivot
(ayrık) eleman denir.
2 1 1
0 0 2
0 0 0
0 0 0
A
1 2 3 1 0 4 2
0 4 5 3 1 0 2
0 0 0 0 1 1 6
0 0 0 0 0 2 3
A
Echelon (Kanonik) Matris:
Özel Matrisler
Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisine sonlu sayıda elemanter
satır işlemlerinin uygulanması sonucunda elde edilen matris A
olsun. A matrisine A matrisinin satır eşdeğer matrisi denir:
~A A
Satır Eşdeğer Matrisler
Özel Matrisler Ortogonal Matris:
1 2 nA v v v vektörlerinin tanımladığı bir kare
matris olsun. Eğer
vi.vj=0 tüm i≠j için ve
vi.vj=1 tüm i=j için ise
diğer bir deyişle
AAT=I
ise A matrisi ortogonal matristir.
38
Özel Matrisler Ortogonal Matris: Örnek
1/ 3 1/ 6 1/ 2
1/ 3 2 / 6 0
1/ 3 1/ 6 1/ 2
A ise 1/ 3 1/ 3 1/ 3
1/ 6 2 / 6 1/ 6
1/ 2 0 1/ 2
T
A
1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1 0 0
1/ 3 2 / 6 0 1/ 6 2 / 6 1/ 6 0 1 0
0 0 11/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2
A AT = I
A matrisi ortogonal matristir
Tanım: A kare matrisinde, aij elemanlarının işaretli minörleri (kofaktörleri) Aij olsun. A matrisinin kofaktör matrisi:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
A A A
A A A
A A A
A
Kofaktör (İşaretli Minör) Matrisi
Özel Matrisler
Ek Matris
Tanım: A matrisinin kofaktör matrisinin transpozu Ek Matris
olarak adlandırılır.
Ek(A) ile gösterilir.
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
A A A
A A AEk
A A A
A
Özel Matrisler
Ek Matris Özellikleri
1. . ( ) ( ). det( ).Ek Ek A A A A A I
2. ( . ) ( ). ( )Ek Ek EkA B A B
Matrisin izi Tanım: A boyutu nn olan simetrik bir matris olsun. Köşegen
elemanlarının toplamına matrisin izi denir ve tr(A) ile gösterilir.
111
n
nn ii
i
tr a a a
A
Örnek: A matrisinin izini bulunuz.
4 1 2
2 5 6
7 3 0
A
4 5 0 1tr A
Matris İzinin Özellikleri
43
1. tr tr tr A B A B
2. tr tr trAB A B
3. tr k ktrA A (k bir skaler)
4. Ttr trA A
Ters Matris
Tanım: A boyutu nn olan bir kare matris olsun. Eğer
n
AB BA I
eşitliğini sağlayan bir B matrisi varsa A matrisi tersi alınabilir bir
matristir ve B matrisine A matrisinin ters matrisi denir ve
1B A
ile gösterilir.
SONUÇ: 1 1n
AA A A I
45
Ters Matrisin Özellikleri 1. Tersi alınabilir bir A matrisinin bir ve yalnız bir ters matrisi
vardır
2. 11 A A
3. 1 1 1 AB B A
4. 1 11k
k
A A k bir skaler
5. 1 1
Ek A A
A
Ters Matrisin Özellikleri
6. 1 1 TT
A A
7. 1 1 kk
A A
1 1 1 A A A
Matrisin Determinantı İle İlgili Özellikler
1. AB A B
2. 1nI
3. 11 1 Α AA
4. A bir ortogonal matris ise 1 A
Elemanter Matrisler
Tanım: Boyutu nn olan bir E matrisi eğer In birim matrisinden
tek bir elemanter satır (sütun) işlemi ile elde edilebiliyor ise
elemanter matris denir.
Elemanter Matrislerin Özellikleri
1. A boyutu nm olan bir matris ve In birim matrisinden bir
elemanter satır (sütun) işlemi ile elde edilen matris E olsun
EA çarpım matrisi aynı elemanter satır (sütun) işleminin A
matrisine uygulanmış yapısını verir.
2. Eğer E bir elemanter matris ise 1E matrisi vardır ve ters
matris de bir elemanter matristir.
3. Bir kare matris A ancak ve ancak elemanter matrislerin
çarpımı olarak yazılabiliyor ise tersi alınabilirdir: 1
2 1k n
A E E E I
Tekil Olmayan Matrisler
Tanım: A boyutu nn olan kare bir matris olsun. Eğer
determinant değeri sıfırdan farklı,
0A
ise A matrisine tekil olmayan matris,
0A
ise A matrisine tekil matris denir.
Teorem Bir A kare matrisinin tersinin var olabilmesi için
gerek ve yeter koşul 0A olmasıdır.
Kanıt: 1 AA I
1 AA I
1 1 A A
1 10 A A
A
Teorem
Boyutu mn olan her A matrisi, bir Echelon matrise satır
eşdeğerdir.
Teorem
Bir dizi elemanter satır işlemi, bir A matrisini I birim
matrisine dönüştürüyor ise elemanter satır işlemlerinin
aynı dizisi I matrisini 1A ters matrisine dönüştürür.
Teorem
Bir dizi elemanter satır işlemi, bir A matrisini I birim
matrisine dönüştürüyor ise elemanter satır işlemlerinin
aynı dizisi genişletilmiş (A:I) matrisini 1: I A matrisine
dönüştürür.
Ters Matrisin Bulunması: Gauss-Jordan Yöntemi
Boyutu nn olan bir A matrisinin ters matrisi aşağıda verilen
adımlar izlenerek elde edilebilir:
1.A matrisinin sağına n boyutlu birim matrisi ekleyiniz,
A I
yeni matrisin boyutu n2n olur.
2. A matrisini I matrisine indirmek için gerekli elemanter satır
(sütun) işlemlerini hem A hem de I matrisine uygulayarak,
1 I A
Matrisini elde ediniz. Bu sonuç elde edilemiyor ise A tersi
alınamayan tekil bir matristir.
Ters Matrisin Bulunması: Ek Matris Yöntemi
Boyutu nn olan bir A matrisinin ters matrisi aşağıda
verilen adımlar izlenerek elde edilebilir:
1. A matrisinin determinantını, A bulun.
2. A matrisinin ek matrisini, ek(A) bulun.
3. 1 1ek
A AA
elde edilir.
KANIT
ek A A I A
1 1ek
A A A A I A
1ek
I A A A
11ek
A AA
Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisinin, determinantı
sıfırdan farklı en büyük alt kare matrisinin mertebesine A
matrisinin rankı denir:
r(A)
BİR MATRİSİN RANKI
BİR MATRİSİN RANKI Boyutu mn olan bir A matrisinin rankı, boyut sayılarının,
m ve n, küçüğüne eşit ya da ondan daha küçüktür.
m<n ise r(A)m
Eğer A bir nn kare matris ise:
1. 0A ise r(A)<n (Tekil matris)
2. 0A ise r(A)=n (Tekil olmayan matris)
60
Denk Matrisler
Boyutları ve rankları aynı olan matrislere denk
matrisler denir. A~B
Matrisin Rankı İle İlgili Özellikler
1. Tr rA A
2. 1r r
A A
Matrisin Bölümlenmesi Boyutu rc olan bir A matrisi bazı kurallar dikkate alınarak alt matrislere ayrıştırılabilir:
p q p c q
r c
r p q r p c q
K LA
M N
Matrisin Bölümlenmesi
Bölümlenme Kuralları 1. Aynı satırdaki alt matrislerin satır sayıları eşit
olmalı ve sütun sayılarının toplamı c olmalı. 2. Aynı sütundaki alt matrislerin sütun sayıları
eşit olmalı ve satır sayılarının toplamı r olmalı. Bu kurallar dikkate alınarak matrisler eleman sayısının izin verdiği ölçüde alt matrise ayrılabilir. Matris bölümlenmesi eşsiz değildir. Aynı matrisin farklı bölümlenmeleri söz konusudur.
Matrisin Bölümlenmesi Bölümlenmiş matrisin transpozu; hem matrisin tranpozu hem de alt matrislerin transpozu alınarak elde edilir.
B C DA
E F G
T T
T
T T T
T T
B EB C D
A C FE F G
D G
Matrisin Bölümlenmesi Boyutu rc olan bir A matrisi, j-inci sütunu aj vektörü ile tanımlanarak sütun vektörlerine göre bölümlenebilir:
1 2 j c A a a a a
Benzer şekilde, i-inci satırı T
iα ile tanımlanarak satır
vektörlerine göre bölümlenebilir:
1
2
T
T
T
i
T
r
αα
Aα
α
Matrisin Bölümlenmesi
Matrislerdeki genel çarpım kuralları bölümlenmiş matrisler içinde geçerlidir. Eğer boyutlar çarpım işlemine uygun ise
11 12
21 22
A AA
A A
11 12 13
21 22 23
B B BB
B B B
11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23
21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23
A B A B A B A B A B A BAB
A B A B A B A B A B A B
67
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BİTTİİİİİİİ
Recommended