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8/17/2019 02- MEC SOL II- Trac_Comp_Cisalha
1/63
Universidade Federal do Pará - UFPAInstituto de TecnologiaFaculdade de Engenharia Civil
Prof.: Bernardo Moraes Neto 1/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
Mecânica dos Sólidos 02:
Conteúdo Programático:
1. Introdução à mecânica;
2. Tração, Compressão e Cisalhamento;
3. Flexão;
4. Cisalhamento em vigas;
5. Torção.
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2/63
Universidade Federal do Pará - UFPAInstituto de TecnologiaFaculdade de Engenharia Civil
Prof.: Bernardo Moraes Neto 2/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
Mecânica dos Sólidos 02:
Conteúdo Programático:
1. Introdução à mecânica;
2. Tração, Compressão e Cisalhamento;
3. Flexão;
4. Cisalhamento em vigas;
5. Torção.
8/17/2019 02- MEC SOL II- Trac_Comp_Cisalha
3/63
Universidade Federal do Pará - UFPAInstituto de TecnologiaFaculdade de Engenharia Civil
Prof.: Bernardo Moraes Neto 3/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Os conceitos de tensão e deformação são definiçõesfundamentais da mecânica;
● A definição de tensão e deformação pode serapresentada de forma elementar a partir da análise deuma barra prismática sujeita a forças axiais de tração oucompressão.
2.1. Introdução:
Nota 1: Barra prismática é um elemento estrutural de eixo retocom seção transversal constante ao longo do seu comprimento;
Nota 2: Força axial é uma carga aplicada ao longo do eixo dabarra.
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 4/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
L
P
P L+∆L
A
P A
P'=Pσ
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Para discutir o conceito de tensão, analisa-se o efeito deuma força axial P (tração) aplicada a uma barra prismáticaem equilíbrio com seção transversal A (seção perpendicularao eixo da barra). Neste contexto, têm-se:
- O comprimento inicial L da barra aumenta ∆ L;
- Admitindo que a barra seja seccionada, observa-se que aação entre as partes seccionadas é dada por uma forçadistribuída continuamente sobre toda a seção transversal;
- A intensidade da força por unidade de área é denominadatensão σ ;
2.2. Tensão normal e deformação normal:
Nota: Nesta análise o peso da barra é desconsiderado.
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5/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 5/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
- Assumindo que σ é distribuída uniformemente sobre aseção transversal, obtém-se a resultante da tensão P’ , édada por P’= σ·A;
- A partir do equilíbrio da barra, tem-se que P’=P , logo atensão pode ser dada por:
2.2. Tensão normal e deformação normal:L
P
P L+∆L
A
P A
P'=Pσ
P=σ
Nota: A análise é valida para forças de tração e compressão, logo, têm-se tensõesde tração e compressão.
onde A é a área da seção transversal.
● Visto que as tensões atuam em uma direção perpendicularao plano de corte, são denominadas de tensões normais.
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6/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 6/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
P
P
A
P
P
A
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
●
A unidade de tensão é uma unidade deforça por área (N/m 2 =Pa , N/mm 2 =MPa , etc).
● Convenção de sinal:
2.2. Tensão normal e deformação normal:
Tração: (+)
Compressão: (-)
Nota 1: A relação σ =P/A é válida somente se atensão for distribuída uniformemente sobre aseção transversal;
Nota 2: A distribuição uniforme é verificada se alinha de ação da força axial P atuar no centróide
da seção transversal;Nota 3: A condição de tensão uniforme não éválida próximo ao ponto de aplicação da carga,pois nesta região há concentrações de tensões.
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7/63
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
●
O conceito de deformação também será discutido avaliando-se o efeito de uma forçaaxial (tração) atuando em uma barra prismática;
● Conforme observado anteriormente, o comprimento inicial L da barra aumenta ∆ L;
● O alongamento ∆ L é proveniente do estiramento cumulativo do material da barra aolongo do seu volume;
● A razão ∆ L/L é chamada de deformação ε ou alongamento por unidade decomprimento. Desta forma, a deformação é dada por:
2.2. Tensão normal e deformação normal:
L L∆=ε
L
P
P L+∆L
Nota: A análise é valida para forças de tração ecompressão.
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8/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 8/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
●
A deformação ε é denominada de deformação normal, pois está associada à tensãonormal;
● A deformação normal é uma quantidade adimensional (sem unidade);
● Convenção de sinal:
2.2. Tensão normal e deformação normal:
Nota: Na prática, as unidades originais de ∆ L e L podem acompanhar o valor da deformação ε (porexemplo: mm/mm, mm/m, µm/m, etc.). Alternativamente, as deformações também podem serexpressas em porcentagem (por exemplo: % e ‰).
Tração: (+) Compressão: (-)
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9/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 9/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
●
As equações de tensão normal e deformação normal são válidas para qualquermagnitude de carga e para qualquer material, uma vez que as definições de tensão edeformação foram baseadas em considerações estáticas e geométricas;
● Linha de ação para uma distribuição de tensão uniforme:
2.2. Tensão normal e deformação normal:
P
P
σ=P/A
x
y
x
y
x1
y 1
P1
A
dA
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10/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 10/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
x
y
x
y
x1
y 1
P1
A
dA
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
●
Linha de ação para uma distribuição de tensão uniforme:
- Momento devido à força P :
2.2. Tensão normal e deformação normal:
1 yPm P , x ⋅= 1 xPm P , y ⋅−=
- Momento devido à tensão σ :
∫ ⋅⋅= A
, x dA ym σ σ ∫ ⋅⋅−= A
, y dA xm σ σ
- Visto que σ =P/A, têm-se m x,P =m x,σ e m y,P =m y,σ , logo:
A
dA y
y A∫ ⋅
=1
A
dA x
x A∫ ⋅
=1
Nota: A distribuição uniforme é verificada se alinha de ação da força axial P atuar no centróideda seção transversal.
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 11/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
Pd1d2
L
2.3. Exemplo 1: Aplicação didática
● Dada a barra comprimida apresentada na figura, determinar a tensão normal σ e adeformação normal ε do trecho vazado da barra. Sabe-se que P =240 kN, L=1000 mm,d 2 =127 mm, d 1=90 mm e ∆ L=0,55 mm (∆ L corresponde ao trecho vazado).
(a) Cálculo da tensão normal σ :
⇒⋅
⋅
== 3
3
103066
10240
, A
P
σ
Pa ,05938=
( )
⋅=
−⋅=23
2
1
2
2
103066
4
mm , A
d d A
:Sendo
π
(b) Cálculo da deformação normal ε :
⇒=∆
=1000
550 ,
L
Lε 41055
−⋅= ,ε Nota: A deformação também poderia serapresentada como: ε =5,5·10-4 mm/mm ouε =0,55 ‰.
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1
1,02
1,04
1,06
1,08
1,1
1,12
1,14
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
P
L
d
d
2.4. Exemplo 2: Aplicação didática
● Dada a haste apresentada na figura, analisar a influência do pesopróprio da haste W (W= γ
haste
·Volume haste
) no cálculo da tensão normalmáxima σ max . Adotar: L=40 m, d =8 mm, P =1,5 kN e γ haste =77 kN/m3.
(a) σ max sem considerar o peso da haste:
⇒== P
max 1σ σ
(b) σ max considerando o peso da haste:
⇒+== W P
max 2
σ σ
⇒⋅
⋅=
21
4
d
P
π
σ
⇒⋅+⋅
⋅= L
d
P
haste
γ π
σ 22
4
MPa ,8291 =σ
MPa ,9322 =σ
)m( L
12 σ σ /
Nota: σ max acontece na extremidade superior da haste.
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 13/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
P1q
2
d1d2
2.5. Exemplo 3: Aplicação didática
● A barra composta é solicitada pela carga concentrada P 1 e pela cargauniformemente distribuída q
2
como mostra a figura. Desta forma, determinar: (a) Atensão normal σ 1 na barra de menor diâmetro d 1 e (b) O valor da resultante da carga q 2 para que σ 2 = σ 1, sendo σ 2 a tensão normal na barra de maior diâmetro d 2 . Dado: P 1=7 kN,d 1=30 mm, d 2 =60 mm.
(a) Tensão normal σ 1:
⇒⋅⋅==
2
1
1
1
1
14d P
AP
π σ MPa ,9039
1 =
(b) Resultante da carga q 2 sendo σ 2 = σ 1.
⇒−⋅=⇒⋅=⇒== 1212212
12 P AP AP AP T T σ σ σ σ
⇒−⋅
⋅=1
2
2
124
Pd
P π σ kN P 212 =
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 14/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
L
h 1
h 2
q
F h 3
A
B
C
2.6. Exemplo 4: Aplicação didática
● Apresentada a estrutura da figura,determinar a tensão na barra BC σ BC .Dado: F =200 kN, L=3660 mm, h 1=460mm, h 2 =1524 mm, h 3 =2575 mm e b =150mm.
b
b
Seção da barra BC
(a) Cálculo do ângulo α :
h 2
F h
3
RBC
RBC,x
RBC,yα
(b) Cálculo da componente R BC,x :
( ) ⇒−
= L
hhtg 13α °≈ 30
⇒⋅=⇒=∑3
20h
hF R M x , BC A
kN , R x , BC 369118=
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 15/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
L
h 1
h 2
q
F h 3
A
B
C
2.6. Exemplo 4: Aplicação didática
(b) Cálculo da força R BC :
b
b
Seção da barra BC
h 2
F h
3
RBC
RBC,x
RBC,yα
( )⇒⋅= α cos R R BC x , BC
kN , R BC 711136=
(c) Tensão na barra BC :
⇒= BC
BC BC
A
Rσ
MPa , BC 0766=
= 2b A
:Sendo
BC
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 16/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
b
L
L
h
W2.7. Exemplo 5: Aplicação didática
● Apresentada a situação mostrada na figura,determinar a tensão σ nos cabos inclinados(diâmetro d ). Dado: L=3,0 m, h =18 cm, b =1,8 m,d =12,5 mm e γ laje =24 kN/m3.
W
P P
PP
α
(a) Peso da laje W :
⇒⋅⋅=⋅= h LV W lajelajelaje
2
γ γ
kN ,W 8838=
(b) Cálculo do ângulo α :
( ) ⇒⋅
⋅=
b
Ltg
2
2α °= 68449 ,
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 17/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
b
L
L
h
W2.7. Exemplo 5: Aplicação didática
(c) Cálculo da força P :
W
P P
PP
α
( ) ⇒
⋅=
α cosW P
4kN ,P 02315=
(d) Tensão no cabo:
⇒= P
σ
=⋅
= 22
718122
4
mm ,d
A
:Sendo
π
Pa ,421122=σ
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 18/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2.8. Exemplo 6: Aplicação didática
● Apresentada a estrutura da figura, determinar a tensão σ e a deformação ε (sabendo que ∆ L=5 mm) no caboinclinado (diâmetro d ). Dado: P =15 kN, L1=4 m, L2 =2 m,H=2 m e d=10 mm.
L1 L2
h
P
L1 L2
P
α
F Fy
Fx
(a) Cálculo do ângulo α :
( ) ⇒=1 L
H tg α
°= 56526 ,
(b) Componente vertical do cabo F y :
( )⇒
+⋅=
1
21
L
L LPF y kN ,F y 522=
(c) Força no cabo F :
( ) ⇒=
α sen
F F
ykN ,F 31250=
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 19/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2.8. Exemplo 6: Aplicação didática
(d) Tensão no cabo σ :
L1 L2
h
P
L1 L2
P
α
F Fy
Fx
⇒= F
σ
=⋅
= 22
54784
mm ,d
A
:Sendoπ
Pa640=
(e) Deformação no cabo ε :
⇒+
∆
=
∆
= 221 H L
L
L
Lε
3101181
−⋅= ,ε ou ,1181=ε
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
●
Equipamentos:
2.9. Diagramas tensão-deformação:
Máquina de teste Tração
Nota: Os procedimentos para a realização dos testes são estabelecidos por normas.
Compressão
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 21/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
●
Diagrama σ - ε típico do aço estrutural:
2.9. Diagramas tensão-deformação:
Nota:-Trecho OA: Relação σ - ε linear e proporcional(σ p = limite de proporcionalidade);
-Trecho AB : Relação σ - ε deixa de serproporcional (deformação aumenta mais que a
tensão);-Trecho BC : Inicia o escoamento do material(deformação aumenta e a tensão permanecepraticamente inalterada, comportamentoperfeitamente plástico – σ y = tensão deescoamento);
-Trecho CD : Trecho de recuperação(alteração na estrutura cristalina do material),a tensão aumenta (aumento na resistência domaterial) com o aumento da deformação (σ u =tensão última).
ε
σ
A
B C
D
E
E'
F a s e
l i n e
a r
E s c o
a m e n t o
E n d u
r e c i m e n t o
E s t r i
c ç ã o
σp
σy
σu
O
Ensaio de tração sem escala.
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 22/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
●
Diagramaσ
- ε
típico do aço estrutural:
2.9. Diagramas tensão-deformação:
Nota 1:- Trecho DE : Trecho onde a estricção ficamais pronunciada (próximo ao ponto D ) eocorre a ruptura da barra (a tensão écalculada com a área da barra íntegra);
- Trecho DE’ : Tensão calculada com a áreada barra reduzida.
Nota 2: A estricção influencia pouco astensões que se desenvolvem até o ponto C ;
ε
σ
A
B C
D
E
E'
F a s e
l i n e
a r
E s c o
a m e n t o
E n d u
r e c i m e n t o
E s t r i
c ç ã o
σp
σy
σu
O
Ensaio de tração sem escala.
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23/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 23/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Exemplos de diagramas σ - ε :
2.9. Diagramas tensão-deformação:
a) Aço estrutural (tração) b) Liga de alumínio (tração)
c) Concreto (compressão) d) Concreto (tração)
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
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24/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 24/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Método da equivalência:
- Este método é aplicado quando o materialnão apresenta o ponto de escoamento bemdefinido e sofre grandes deformações;
- O método consiste em traçar, a partir deuma deformação equivalente ε e , uma linhade referência paralela ao trecho linear dodiagrama σ - ε real do material;
- A tensão de escoamento equivalente σ y édada pela interseção da linha de referênciacom o diagrama σ - ε real do material.
2.9. Diagramas tensão-deformação:
ε
σ
σy
εeLiga de alumínio (tração)
Nota 1: Na prática ε e ≈ 2‰ ;
Nota 2: Deve-se sempre consultar umdocumento normativo a respeito dametodologia de avaliar a tensão deescoamento de um material que nãoapresenta o ponto de escoamento bemdefinido.
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26/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 26/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Diagrama σ - ε em compressão:
- De um modo geral, os diagramas σ - ε àtração e à compressão são diferentes;
- Nos materiais dúcteis os diagramas σ - ε à
tração e à compressão são aproximadosaté o limite de proporcionalidade. Após oescoamento verificam-se as divergências,visto que à tração pode haver a estricção eà compressão pode haver o abaulamento
das faces laterais;- Na compressão, ver diagrama, o corpo deprova oferece resistência ao encurtamentono trecho final de carregamento, resultandoem curvas σ - ε bastante escarpada.
2.9. Diagramas tensão-deformação:
ε
σ
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27/63
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ε
σ
A
O
c a r g
a
d e s c a
r g a
Elástico Plástico
ε
σA
O
B
Deformaçãoresidual
Recuperaçãoelástica
C D
E
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Elasticidade: Propriedade de um material de retornar àdimensão original quando descarregado. Salienta-se que omaterial não precisa apresentar comportamento linear paraser elástico.
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência:
Nota:
- Trecho OA: Trecho elástico;- Ponto B : Momento em que ocorre o descarregamento;
- Trecho BC : Trajetória do descarregamento, que é paralela aotrecho linear do diagrama σ - ε ;
- Ponto C : Valor da deformação residual ou deformação permanente(trecho OC ), neste momento o comprimento da barra é superior aocomprimento inicial;
- Trecho OD : Corresponde à deformação total durante ocarregamento OB . Ensaio de tração
8/17/2019 02- MEC SOL II- Trac_Comp_Cisalha
28/63
Universidade Federal do Pará - UFPAInstituto de TecnologiaFaculdade de Engenharia Civil
Prof.: Bernardo Moraes Neto 28/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
ε
σ
A
O
c a r g
a
d e s c a
r g a
Elástico Plástico
ε
σA
O
B
Deformaçãoresidual
Recuperaçãoelástica
C D
E
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Elasticidade:
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência:
Nota:- Trecho CD : Deformação recuperada elasticamente (a barra retornaparcialmente ao seu comprimento inicial, o material é denominadoparcialmente elástico);
- Trecho OC : Deformação residual (o alongamento residual édenominado assentamento permanente);
- Ponto E : Representa o limite elástico do material (transição entre ocomportamento elástico e parcialmente elástico;
- Alguns materiais, maioria dos metais, apresentam o limite deproporcionalidade próximo, ou ligeiramente inferior, ao limiteelástico. Na prática essas grandezas são representadas por um únicovalor numérico.
Ensaio de tração
á
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29/63
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Plasticidade: Propriedades do material pela qual ele sofredeformações inelásticas além da deformação no limiteelástico.
● Ciclo Carga-Descarga-Recarga:
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência:
ε
σ
A
O
c a r g
a
d e s c
a r g a
Elástico Plástico
ε
σ
A
O
ε
σ
A
O
B
C
EE
- No regime elástico não há alteração significativa no comportamento do material;- No regime plástico a estrutura interna do material é alterada e o seu comportamento muda.
Regime elástico Regime plástico Ensaio de tração
U i id d F d l d P á UFPA
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30/63
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ε
σ
A
O
E
ε
σ
A
O
B
C
E
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Ciclo Carga-Descarga-Recarga:
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência:
Regime elástico
Regime plástico
Nota:- No regime plástico há deformações permanentes;
- Trecho CB : Representa o segundo ciclo de carga (recarga). Este
trecho inicia no ponto C e termina no ponto B , ponto de descarga noprimeiro ciclo de carga;
- Após o ponto B o material segue novamente o diagrama σ - ε originalaté a fratura da barra;
- É possível analisar a recarga como um novo diagrama σ - ε .
Ensaio de tração
U i id d F d l d P á UFPA
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31/63
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ε
σ
O
BEA
ε
σ
O
σB
C
EA
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Ciclo Carga-Descarga-Recarga:
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência:
Nota:- No ciclo de recarga o material apresenta comportamento elásticolinear com inclinação igual ao trecho elástico linear do ciclo único;
- No ciclo de recarga o limite de proporcionalidade (ponto B ) érepresentado por uma tensão maior que o limite elástico do cicloúnico (ponto E );
- Na prática, o estiramento de materiais como o aço e o alumínio atéo regime inelástico ou plástico reflete em alteração naspropriedades do material. Verifica-se que a região elástica é maior,que os limites de proporcionalidade e elasticidade são aumentados eque a ductilidade é reduzida (trecho de escoamento menor).
Ciclo único
Ciclo de recarga
Ensaio de tração
U i id d F d l d P á UFPA
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 32/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
t
∆L
O t0
∆L0
P
∆ L
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Fluência: Um material quando sujeito a cargas ou tensões constantes por longosperíodos de tempo apresentam deformações permanentes adicionais. Este fenômeno édenominado fluência.
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência:
● Exemplo 1 de Fluência:
Nota: Apesar de verificar-se o fenômenoda fluência à temperatura ambiente,usualmente a influência da fluência émais notória em elevadas temperaturas(motores, caldeiras, etc.).
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Exemplo 2 de Fluência: O fenômeno da relaxação é uma manifestação da fluência. Arelaxação caracteriza-se pela perda de tensão ao longo do tempo sob uma deformaçãoconstante.
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência:
t
σ
O t0
σ0
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ε
σ
E
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Material elástico linear: Corresponde aos materiais que se comportam elasticamentee exibem uma relação linear entre a tensão σ e a deformação ε .
2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson:
Nota: O comportamento elástico linear é importante na engenharia, pois nos projetos de estruturas emáquinas são evitadas as deformações permanentes devido ao escoamento.
● Lei de Hooke: Expressa a relação linear entre a tensão σ e a deformação ε . A referidarelação é dada por:
ε σ ⋅= E
onde E é a constante de proporcionalidade definida pormódulo de elasticidade ou módulo de Young.
Nota: A unidade de E é a mesma de σ (N/m 2 =Pa , N/mm 2 =MPa , etc).
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P
P
ε (-)
ε' (+)
P
P
ε (+)
ε' (-)
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Coeficiente de Poisson ν : Quando uma barra
é solicitada axialmente a deformação axial ε éacompanhada de uma deformação lateral ε ’ normal à direção da carga aplicada.
● Em qualquer ponto da barra a deformaçãolateral ε ’ é proporcional à deformação axial ε no
mesmo ponto se o material é linearmenteelástico.
2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson:
Tração: (+)
Compressão: (-)
Nota 1: O valor de ν é influenciado pelo nível dedeformação imposto à barra. Por exemplo, para oaço estrutural no regime elástico linear ν≈ 0,3 e no
escoamento do material ν≈ 0,5 ;
Nota 2: O coeficiente de Poisson é constanteapenas no regime elástico linear. No regime nãolinear o coeficiente do Poisson é chamado decoeficiente/razão de contração.
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P
P
ε (-)
ε' (+)
P
P
ε (+)
ε' (-)
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● A razão entre as deformações ε ’ e ε éuma propriedade do material conhecidacomo coeficiente ou razão de Poisson ν .Sendo assim, ν é dado por:
2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson:
Tração: (+)
Compressão: (-)
Nota: A equação ν = ε ’/ ε é aplicável apenas a umabarra sob tensão uniaxial. Para outros estados detensão aplicam-se abordagens diferentes paraavaliar a influência de ν .
ε
ε ν ' axial Deformaçãolateral Deformação −=−=
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Para que a deformação lateral ε ’ seja proporcional (regime elástico linear) àdeformação axial ε em qualquer ponto ao longo do eixo da barra é necessário admitir,além das condições anteriores, as seguintes considerações:
- Material homogêneo: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar a mesmacomposição em todo o volume da barra;
- Material isotrópico.
2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson:
Nota:- Material isotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar as mesmas propriedadeselásticas em todas as direções em análise;
- Material anisotrópico ou aelotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar diferentespropriedades elásticas nas diferentes direções em análise;
- Material ortotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar diferentes propriedadeselásticas em direções perpendiculares.
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P
L
∆L
d
2.12. Exemplo 7: Aplicação didática
● Apresentada a estrutura da figura,determinar: (a) O módulo de elasticidade E e
(b) o coeficiente de Poisson ν . Sabe-se queP =3,5 kN, L=15 m, d =3 mm, ∆ L=37,1 mm e∆ d =0,0022 mm.
(a) Módulo de elasticidade E :
⇒⋅= ε σ E
⋅=∆
=
=⋅
⋅==
−3
2
104732
1494954
, L
L
MPa ,d
P
A
P
:Sendo
ε
π σ
⇒= ε
σ
E GPa , E 195200=
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2.12. Exemplo 7: Aplicação didática
(b) coeficiente de Poisson ν :
⇒−=ε
ε ν
'
⋅−=∆
= −4103337 ,d
d '
:Sendo
ε
2960 ,=ν
P
L
∆L
d
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d1
d2
2.13. Exemplo 8: Aplicação didática
● Apresentada a estrutura da figura, determinar o valor da carga P para que d 1=d 2 .Dados: d 2 =70 mm, d 1=68 mm, E =3000 MPa e ν =0,4.
(a) Carga P para que d 1=d 2 :
=∆⇒−=∆ mmd d d d :Sendo
21121
⇒∆=⇒∆=⇒∆=1
1
d d '
' L' L'
L L ε ε ε
0290 ,' =ε
(a.1) Deformação lateral ε ’ :
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41/63
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d1
d2
2.13. Exemplo 8: Aplicação didática
(a.2) Carga P :
⇒−=ε
ε ν
'
⇒⋅−= ε ν ε '
( )
=
⋅=⇒=⇒⋅=
A / P
A E / P E / E
:Sendo
σ
ε σ ε ε σ
⇒⋅
⋅−= E
P' ν
ε ν
ε A E ' P ⋅⋅−=
kN ,P 106801−=
( )
⋅=
4
2
1d
A
:Sendo
π
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2.14. Exemplo 9: Aplicação didática
● Apresentada a estrutura da figura, determinar: (a) O encurtamento ∆ L do tubo, (b) Adeformação lateral ε ’ , (c) O aumento nos diâmetros externo ∆ d 2 e interno ∆ d 1 e (d) O
aumento da espessura ∆ t . Dado: P =625 kN, L=1220 mm, d 2 =150 mm, d 1=115 mm,E =207 GPa e ν =0,3.
(a) Encurtamento ∆ L:
Pd1d2
L⇒∆=
L Lε
⇒⋅=∆ L L ε
( )
=
⋅=⇒=⇒⋅=
A / P
A E / P E / E
:Sendo
σ
ε σ ε ε σ
A E
LP
L ⋅
⋅
=∆
mm , L 5060−=∆
( )
⋅=
−⋅=23
2
1
2
2
102857
4
mm , A
d d A
:Sendo
π
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2.14. Exemplo 9: Aplicação didática
(b) Deformação lateral ε ’ :
Pd1d2
L
⇒−=ε
ε ν
'
⇒⋅−= ε ν ε '
( )
=
⋅=⇒=⇒⋅=
A / P
A E / P E / E
:Sendo
σ
ε σ ε ε σ
A E
P'
⋅
⋅−= ν
ε
4102431 −⋅= ,' ε
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2.14. Exemplo 9: Aplicação didática
(c) Aumento nos diâmetros externo ∆ d 2 e interno ∆ d 1:
Pd1d2
L
' L
' L'
L
L ∆=⇒∆= ε ε
⇒⋅=∆ ' L' ' L ε 22 d ' d ⋅=∆ ε
mm ,d 01902 =∆
⇒⋅=∆ 11 d ' d ε mm ,d 01401 =∆
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2.14. Exemplo 9: Aplicação didática
(d) Aumento da espessura ∆ t :
Pd1d2
L
' L
' L'
L
L ∆=⇒∆= ε ε
⇒⋅=∆ ' L' ' L ε t ' t ⋅=∆ ε
mm ,t 3101762 −⋅=∆
−
= 2
12 d d
t
:Sendo
Nota:O valor de ∆ t poderia ser estabelecido em função de ∆ d 2 e ∆ d 1.
2
12 d d
t ∆−∆
=∆
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2.15. Exemplo 10: Aplicação didática
● Dada a situação apresentada na figura, determinar a inclinação da diagonal α f após aaplicação da tensão σ (inclinação inicial α i =b/L). Sabe-se que o material tem módulo de
elasticidade E e coeficiente de Poisson ν .
(a) inclinação da diagonal α f após a aplicação da tensão σ :
⇒
∆
= L
Lε
⋅= ε σ E
:Sendo
⇒∆⋅=
L
L E σ
E
L L
⋅+=∆
L
b
αi
σσ
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L
b
αi
σσ
2.15. Exemplo 10: Aplicação didática
(a) inclinação da diagonal α f após a aplicação da tensão σ :
⇒∆=b
b' ε
−= ε ε ν / '
:Sendo
⇒
∆
=⋅− b
bε ν
= E /
:Sendo
σ ε
⇒∆
=⋅−
b
b
E
σ ν
E
bb
⋅⋅−=∆ σ ν
⇒∆+
∆−=
L L
bb f α
+
⋅−⋅=
σ
σ ν α
E
E
L
b f
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P
A
P
V
A
V2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● O conceito de tensão normal apresenta que σ é dada pela
razão P/A, sendo P a força que atua perpendicularmente àárea da seção transversal A. Semelhantemente, conceitua-setensão de cisalhamento τ como a tensão que atuatangencialmente à área da seção transversal A.
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:
A
V med =τ
Sendo V a força de cisalhamento que atua paralelamente à seçãoA, que é denominada área de corte ou área cortante.
● Não é fácil determinar a distribuição da tensão de cisalhamento τ na seção A.Entretanto, se for admitida uma distribuição uniforme tem-se o conceito de tensão decisalhamento média τ med , que é dada por:
Nota: A unidade de τ é uma unidade de força por área (N/m 2 =Pa , N/mm 2 =MPa , etc).
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Exemplo de tensão de cisalhamento média τ med :
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:
⇒= A
V med τ
2
4
d
Pmed
⋅
⋅=π
τ
⋅=
4
2d A
:Sendo
π
Nota 1: Neste exemplo diz-se que o parafuso está sujeito à cisalhamento simples;
Nota 2: Neste exemplo não foi considerado o efeito da protensão do parafuso (aperto do parafuso), ouseja, não está sendo considerado o atrito entre os elementos conectados, o qual reduz os esforços noparafuso.
n
m
P
m
n
n
mV=P
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PP
mn
pq
n
q
m
p
V=P/2
V=P/2
nm
τmed
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Exemplo de tensão de cisalhamento média τ med :
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:
⇒=V
med τ 2
2
d
Pmed
⋅
⋅=π
τ
⋅=
4
2d A
:Sendo
π
Nota 1: Neste exemplo diz-se que o parafuso está sujeito à cisalhamento duplo;
Nota 2: Neste exemplo não foi considerado o efeito da protensão do parafuso (aperto do parafuso), ouseja, não está sendo considerado o atrito entre os elementos conectados, o qual reduz os esforços noparafuso.
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τ2
τ1
τ3
τ4
a
b
c
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Análise da tensão de cisalhamento média em um elemento: Para que o elemento
esteja em equilíbrio é necessário verificar ∑F x =0 , ∑F y =0 e ∑M=0 . Sendo assim, têm-se:
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:
⇒=∑ 0 xF 21τ =
⇒=∑ 0 yF 43 τ τ =
⇒=∑ 0 M 41 τ τ = ou 32 τ τ =
Nota 1: Tensões de cisalhamento em faces opostas e paralelas são iguais em magnitude e opostas emdireção (τ 1= τ 2 e τ 3 = τ 4 );
Nota 2: Tensões de cisalhamento em faces adjacentes e perpendiculares são iguais em magnitude ecom as direções apresentadas na figura do elemento (τ 1= τ 4 e τ 2 = τ 3 ).
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Deformação de cisalhamento γ : Para visualizar a deformação proveniente de uma
tensão de cisalhamento, apresenta-se o elemento indeformado e deformado.
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:
Nota:- A tensão de cisalhamento τ não provocaalteração nas dimensões da face do elemento,ou seja, o elemento não apresenta deformação
normal ε (alongamento/encurtamento);
- A tensão de cisalhamento τ distorce o elemento,ou seja, os ângulos inicialmente retos entre as facesdistorcem de π /2- γ e π /2+ γ ;
- A distorção γ também é denominadadeformação de cisalhamento ;
- O elemento apresentado representa um estadode tensão chamado cisalhamento puro (semtensão normal).
τ1
τ1
τ2
τ2
γ /2
γ /2
π /2-γ
π /2+γ
Elementoindeformado
Elementodeformado
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γ /2
γ /2
π /2-γ
π /2+γ τ1
τ1
τ2
τ2
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Convenção de sinal para a tensão e para a deformação de cisalhamento: O
elemento apresentado representa a convenção positiva.
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:
Convenção positiva
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γ
τ
G
T
T
z
yx
2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● Lei de Hooke em cisalhamento: Expressa a relação linear entre a tensão τ e a
deformação γ . A referida relação é dada por:
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:
τ ⋅=G
onde G é a constante de proporcionalidade definida por módulo de elasticidade paracisalhamento ou transversal.
Nota 1: As propriedades dos materiais sob cisalhamento sãodeterminadas experimentalmente a partir do ensaio decisalhamento direto ou de torção (estado de cisalhamentopuro).
Nota 2: A unidade de G é a mesma de τ (N/m 2 =Pa ,N/mm 2 =MPa , etc).
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:
● As grandezas G , E e ν são dependentes, conforme segue:
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:
( )ν +⋅=
12
E G
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gFaculdade de Engenharia Civil
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2.17. Exemplo 11: Aplicação didática
● Dada a estrutura da figura, determinar: (a) A tensãode cisalhamento no pino τ pino e (b) A tensão de
cisalhamento no parafuso τ parafuso . Dado: d pino =18 mm,d parafuso =12 mm, P =54 kN e α =40 o.
(a) Tensão de cisalhamento no pino τ pino :
( )( ) ⇒⋅⋅== 224 pino pino
d / P
AV
π τ P
d p i n o
dparafuso
α
MPa , pino 103106=τ
(b) Tensão de cisalhamento no parafuso τ parafuso :
( )
( ) ⇒⋅⋅⋅⋅
== 24
4
parafuso
parafusod cosP
AV
π τ
MPa , parafuso 4491=τ
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2.18. Exemplo 12: Aplicação didática
● Apresentado o sistema da figura, determinar: (a) A tensão normal no pino σ e (b) Atensão de cisalhamento média τ na placa. Dado: P =124 kN, d =19 mm e t =6,35 mm
(a) Tensão normal no pino σ :
⇒⋅
⋅==
2
4
d
P
A
P
π σ Pa ,345437=σ
P
d
t
Pino
Placa(b) Tensão de cisalhamento média τ na placa:
⇒⋅⋅== t d
P
A
V
π τ Pa ,148327=τ
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58/63
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2.18. Exemplo 12: Aplicação didática
● Apresentado o sistema da figura, determinar: (a) A tensão normal no pino σ e (b) Atensão de cisalhamento média τ na placa. Dado: P =124 kN, d =19 mm e t =6,35 mm
(a) Tensão normal no pino σ :
⇒⋅
⋅==
2
4
d
P
A
P
π σ Pa ,345437=σ
P
d
t
Pino
Placa(b) Tensão de cisalhamento média τ na placa:
⇒⋅⋅== t d
P
A
V
π τ Pa ,148327=τ
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59/63
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2.19. Exemplo 13: Aplicação didática
● Dado o aparelho de apoio (borracha+aço) da figura,determinar o deslocamento horizontal d do aparelho
quando o mesmo está sujeita a uma força cortante V .São conhecidas as dimensões do aparelho a-b-h e omodulo de elasticidade transversal da borracha G .
(a) Tensão de cisalhamento τ :
⇒= AV τ
a
h
bV
Vd
γ
a
h(b) Distorção γ :
⇒⋅=τ G
baV ⋅
=τ
G
τ γ =
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60/63
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2.19. Exemplo 13: Aplicação didática
(c) Deslocamento d :
( ) ⇒⋅=⇒== hd hd tg γ γ γ
a
h
bV
Vd
γ
a
h
Gba
hV d
⋅⋅
⋅=
Nota 1: Admitiu-se tg( γ )= γ porque d é um valor muito pequeno;
Nota 2: O resultado apresentado é uma abordagem simplificada doproblema, porém apresenta resultados relativamente precisos para a>>h .
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2.20. Exemplo 14: Aplicação didática
● Apresentada a viga da figura, determinar a tensãode cisalhamento no pino do apoio 1 (diâmetro
d pino =8 mm). Sabe-se que P =10 kN.
(a) Reação R 1 no apoio 1:
⇒⋅
⋅=⋅⇒=∑3
2
3
012
LP
L R M
L/3 2⋅L/3
Pdpino
Apoio 1 Apoio 2
d p i n o
Apoio 1(Vista frontal)
P R ⋅=⋅ 21
(b) Tensão de cisalhamento no pino do apoio 1:
( )( )
⇒⋅⋅=⇒= 2
1 24
pinod / R
AV
π τ τ
Pa ,944198=
Universidade Federal do Pará - UFPAInstituto de TecnologiaFac ldade de Engenharia Ci il
8/17/2019 02- MEC SOL II- Trac_Comp_Cisalha
62/63
Faculdade de Engenharia Civil
Prof.: Bernardo Moraes Neto 62/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2.21. Exemplo 15: Aplicação didática
● Apresentada a ligação da figura (todas as placasapresentam espessura t ), determinar a maior tensão de
cisalhamento no parafuso τ parafuso (diâmetro d ). Dados:P 1=3 kN, P 2 =1,8 kN, P 3 =2,4 kN, t =5 mm e d =6 mm.
(a) A maior tensão de cisalhamento no parafuso τ parafuso :
⇒= AV
parafusoτ
d
P1
P1
P2
P2
P3
t
( ) ⇒
⋅−⋅=
4
22
31
/ d PP
parafusoπ
τ
MPa , parafuso 66263=
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63/63
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 63/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
2.22. Exemplo 16: Aplicação didática● Apresentada a alavanca mostrada na figura, determinar atensão de cisalhamento na chaveta (admitir que a tensãode contato entre a alavanca e a chaveta é uniformemente
distribuída em b/2 ). Para o problema são conhecidos osvalores de P , L, b , d e c .
(a) Força de cisalhamento na chaveta:
( ) ⇒=∑ 0eixodoCentro M c
Eixo
Alavanca
Chaveta
L
P
d
b
b/2b/2
(a) Tensão de cisalhamento na chaveta:
⇒=V
τ
⋅= cb A
:Sendo
⇒
+⋅=⋅
42
bd V LP
bd
LPV
+⋅
⋅⋅=
2
4
( )bd cb
LP
+⋅⋅⋅
⋅⋅=
2
4τ
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