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Optics
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1
Faisceaux gaussienset
Cavités résonantes
2
Faisceaux GaussiensEquations de Maxwell:
0D
0B
tD
H
t
BE
=⋅∇
=⋅∇
∂∂=×∇
∂∂−=×∇
→
→
→→
→→
→→
∂∂=∇ Et
E2
2
002 εµ
Solutions:
Cn)]r.kt(iexp[2
1E +−ω=
→→→→ ε1. Onde plane monochromatique de fréquence ωε amplitude du champ
direction de polarisation→n→k vecteur d'onde � direction de propagation
Cnr
)]r.kt(iexp[21
E +−ω=→
→→→ ε2. Onde sphérique
3
Approximation paraxiale : Les rayons se propagent de manière quasi parallèle à l'axe optique Z et restent confinés près de cet axe
Dans ces conditions:
Maxwell Helmholtz paraxiale (1 seule direction, z � scalaire)
0E]k[ 22 =+∇
Solution d'onde plane: ikze)z,y,x(E −ε=
Pas idéal pour décrire un faisceau laser (gaussien) � généralisation: fct essai de type :
aussi solution de Helmholtz
(a)
(b)
De plus, si on reporte (b) dans (a), on obtient l'équation d'onde:
0z
ik2yx 2
2
2
2
=∂∂−
∂∂+
∂∂ εεε
Equation parabolique paraxiale (équ. diff. lin. de 1er ordre en z)
ikze)z,y,x()z,y,x(E −ε=
Intérêt: confinement transversal décrit par ε (x,y) et dépendance en z traduisant l’évolution du champ liée à la diffraction
Approx paraxiale : ε (z) varie lentement sur une distance caractéristique ~λ
4
Recherchons la solution la plus simple de l'équation parabolique paraxiale.Cette solution est connue sous le nom de mode fondamental et présente une symétrie cylindrique.Les autres solutions sont les modes d'ordres supérieurs.
Si symétrie circulaire selon r et propagation selon z, meilleure description par les coordonnées cylindriques :r = (x2 + y2)1/2 � l'équation paraxiale devient :
zik2
rr
rr
1
∂∂=
∂∂
∂∂ εε
(c)
L'onde plane et l'onde sphérique sont solutions mais ne sont pas satisfaisantes pour décrire la cavité laser
5
Solution gaussienne:
ω−
−=ε
)z(
rexp
)z(R2
kriexp)z(A)z,r( 2
22
Caractère gaussien du profil exprimé par
ω−
)z(
riexp 2
2
Pour z fixé, l'amplitude du champ diminue d'un facteur 1/e à une distance r = ω(z) de l'axeoptique. Le rayon ω(z) est une mesure de l'extension radiale du faisceau.
●
● Le faisceau gaussien est caractérisé par des fronts d'ondes de rayon R(z).R(z) est le rayon de courbure du faisceau.Surfaces équiphases sphériques.
Introduisons:
)z(k
i2
)z(R
1
)z(Q
12ω
−= (d)
Q(z) est le rayon de courbure complexe
Alors:
−=ε
)z(Q2kr
iexp)z(A)z,r(2
Si on injecte cette solution dans l'équation paraxiale à symétrie cylindrique (c), on obtient que:
)z(Q)z(A
dz)z(dA
1dz
)z(dQ
−=
= (e)
(f)
6
Rayon de courbure complexe, Q(z):
Cz)z(Q +=(e)
Si 0R zizC −= en z = z0 : R0 iz)z(Q =
Dans ce cas, vu (d), R � ∞ (partie réelle = 0) Front d'onde plan
� Posons z0 = 0 (changement d’origine)
Rizz)z(Q += (g)
zR est la longueur de Rayleigh
En reportant (g) dans (d), on obtient en z = 0:
πλ==ω≡=ω RR
0
z
k
z2)0z(
Et dans un plan z quelconque:
2
20
02R
2
0
220
2
2R
z1
z
z1)z(
z1z
z
z1z)z(R
πωλ+ω=+ω=ω
λπω+=
+=
)z(k
i2
)z(R
1
)z(Q
12ω
−= (d)
(h)
7
Le paramètre ω0 correspond à la valeur minimale du rayon ω(z).C'est le rayon de ceinture du faisceau, ou encore rayon de pincement, ou waist.
C'est une grandeur clé du faisceau: pour une longueur d'onde donnée, toutes les grandeurs caractéristiques du faisceau R(z), ω(z),ainsi que la longueur de Rayleigh zR:
λπω=
20
Rz
sont complètement déterminées par ω0
A la distance z = zR, le rayon prend la valeur 0R 2)z( ω=ωLa longueur de Rayleigh est donc une mesure de la divergence du faisceau.Le faisceau est d'autant plus divergent que zR est petit. On remarque à partir de (h) que ω0 varie comme zR
1/2.En d'autres termes, plus le faisceau est pincé, plus il est divergent. La divergence du faisceau peut aussi se mesurer par le comportement asymptotique du rayon ω(z). Lorsque z >> zR, on a :
R0 z
z)z( ω=ω
La pente associé est donnée par:
0R
0
ztan
πωλ=ω=θ≈θ
θ est l'angle de divergence du faisceau
8
Facteur de qualité M²
• Divergence naturelled’un faisceau gaussien idéal :
• Rayon minimum : ω0
• Beam Parameter Product (BPP) : Produit � λ/π• Pour un faisceau réel, la divergence et le waist
sont +grands que pour un faisceau gaussien idéal � BPP > λ/π
• Facteur de qualité M² : rapport BPPréel / BPPidéal
• « Bon laser » : M²< 2
0πωλθ =
9
Phase:
La résolution de la relation (f) permet d'obtenir l'expression complète du champ électrique, solution la plus simple de l'équation parabolique paraxiale à symétrie cylindrique (c).
[ ])z,r(iexp)z(
rexp
)z()z,y,x(E 2
20 Φ−
ω−
ωω=
Caractère gaussien Phase du champ
Modefondamental
Où la phase totale du champ contient deux termes supplémentaires par rapport à une onde plane :
)z(R2
kr
z
zarctankz)z,r(
2
R
+
−=Φ
Contribution longitudinale : phase de Gouy
Contribution radiale : donne la courbure du front d'onde : R(z)
L'intensité du faisceau I= |E|2 s'écrit:
ω−
ωω=
)z(
r2exp
)z()z,r(I 2
22
0
Contribution « Onde plane »
10
Résumé:
Nous avons construit un faisceau de distribution d'intensité transverse gaussienne dont la caractéristique essentielle est le rayon de ceinture ω0.
• Dans le plan z = 0, le faisceau présente un étranglement de rayon ω0 et un front d'onde plan
• Pour des valeurs données de ω0 et de λ, le faisceau est déterminé par:
-La largeur du faisceau ω(z);-La courbure du front d'onde R(z);-La phase Φ(r,z).
ω0 est fixé par la géométrie de la cavité résonnante(longueur de la cavité et rayon de courbure des miroirs)
Paramètres du faisceau:
ω0 rayon de ceinture « waist »
longueur de Rayleigh
angle de divergence
λπω= 0
Rz
0πωλ=θ
●
●
●
Q(z)
11
Ordres supérieurs:
L'équation parabolique paraxiale admet d'autres solutions que le mode fondamental que nous venons de décrire:
Φ−
ω−
ω
ωωω= )z,r(i
)z(
rexp
)z(
y2H
)z(
x2H
)z()z,y,x(E mn2
2
nm0
mn
où)z(R2
krzz
arctan)1nm(kz)z,r(2
Rmn +
++−=Φ
Cette solution est donc le produit d'une gaussienne par les polynômes d'Hermite � Modes TEMmn
m et n, entiers positifs, indices des polynômes d'Hermite relatifs aux directions x et y respectivement.
• Les fonctions ω(z) et R(z) sont les mêmes que celles du mode fondamental � caractéristique gaussienne
• La courbure du front d'onde est indépendante de l'ordre c-à-d de l'indice du mode m,n
• La phase dépend du mode m,n
• Hn possède n zéros � Mode TEMmn présente (m+1) et (n+1) maxima dans les direction x et y respect.
(h)
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Propagation d'un faisceau gaussien:
Faisceau gaussien défini par ω(z) et R(z) ou Q(z)
�l'étude de la propagation d'un faisceau gaussien à travers un système optique revient à l'étude de la transformation de Q(z) à travers le même système (optique matricielle, matrices ABCD)
On sait que: Rizz)z(Q +=
� d)z(Q)z(Q 12 += avec d = z2 – z1
• Propagation libre sur une distance d entre deux plans z1 et z2:
• Propagation à travers une lentille mince:
- Plans d'entrée et de sortie confondus � taille du faisceau ω(z) conservée Continuité
ϖωω == )()( 21 zz-Lentille modifie la phase
� modification du rayon de courbure R(z) selon:
f
1
)z(R
1
)z(R
1
12
−=
R > 0 si le front d'onde incident est divergent et R < 0 si convergent
22
2
'0
))(/(1 zRλπωωω
+=
13
• Focalisation d'un faisceau par une lentille:
La lentille est placée au niveau du waist du faisceau gaussien
R1 iz)z(Q = 'R2 iz)z(Q =� et
2R )z/f(1
fd
+=
�
2R
R'R )f/z(1
zz
+=
2R
0'0
)f/z(1+ω=ω
Le faisceau est focalisé à une distance d de la lentille où il atteint son waist ω'0
D'une manière générale, le faisceau est toujours focalisé en avant du plan focal image de la lentille: d < f� On peut réduire le waist d’un faisceau mais ZR diminue d’autant : le faisceau est d’autant plus divergent !
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Gain faible du milieu actif
Aller – retour de la lumière dans le milieu actif pour obtenir une amplification suffisante
Cavité résonante + milieu amplificateur = oscillateur optique
Cavités résonantes
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Interféromètre de Fabry – Perot:
L'intensité du champ à l'intérieur ainsi qu'à la sortie de la cavité présenteun caractère résonant en fonction de sa fréquence.
• 2 miroirs plans: M1 (r1, t1)
M2 (r2, t2)
• Approximation d'ondes planes• Champ incident Ei
Amplitude du champ transmis:
2/2212121 ...])(1[ Φ−ΦΦ +++= iii
it eerrerrttEE
Φ = déphasage de l'onde après un aller – retour dans la cavité
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Intensités (flux) : It = Et* Et
et Ii = Ei* Ei
La courbe de transmission It/Ii en fonction de ν présente des résonances pour les fréquences: νm = m ∆νL
Où: ∆νL = c/2L
∆νL est l'intervalle spectral libre , c'est-à-dire l'intervalle en fréquence entre deux résonances successives
où
Solution:
17
La résonance est d'autant plus fine que la réflectivité R des miroirs est élevée(largeur à mi-hauteur ∆ν réduite).
Lasers: R � 1 (T � 0)
Largeur ∆ν de la résonance:(Dans la limite où les pertes par
extraction du faisceau sont dominantes) R
TL
πν∆=ν∆
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Caractérisation des résonances :
Facteur de qualité, Q : ν∆
ν=Q Optique: ν >> ∆ν� Q ~ 108 pour He-Ne
Finesse de la cavité, F :T
RF L π=
ν∆ν∆= 10 < F < 1000
Champ intracavité :i
tc I
F
T
II
π≈=
Ic présente les mêmes résonances que It � Ic max pour νm
Si cavité présente une grande finesse, alors Ic >> Ii
Une cavité "emmagasine" l'énergie pour les fréquences νm.
νm = fréquences propres de la cavité
Les ondes planes associées à ces fréquences sont les modes propres de la cavité
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Cavité résonante stable et instable
Instable
Stable
• Confinement au voisinage de l'axe optique (� approximation paraxiale)
• Distribution d'amplitude gaussienne (mode fondamental d'une cavité résonante)
• Fronts d'ondes sphériques
1R
L1
R
L10
21
≤
−
−≤Critère de stabilité :
20
Modes propres de cavité
Structure de champ invariante :
� Modes propres du champ dans une cavité si R(z) = R1 en z1 et R(z) = R2 en z2.
22
2R
22
2
11
2R
21
1
Rz
zz)z(R
Rz
zz)z(R
=+=
=+=
Si le rayon de courbure du miroir et du front d’onde sont confondus, le faisceau se réfléchit parfaitement sur lui-même
21
Illustration:
Cavité confocale :
R1 = -R2 = LZR = L/2ω0 = (λL/π)1/2
Laser HeNe:λ = 633 nmL = 0.5 m
� ω0 = 0.3 mm
� θ ~ 6.7 10-4 = 0.7 mrad si M²=1 (en pratique, θ~1 mrad)
0πωλ=θ
22
Condition de résonance:
La cavité optique sélectionne un ensemble de λ ou de fréquences appelées fréquences propres de résonance.
Fabry-Perot: modes propres subissent un déphasage multiple de π après traversée du résonateur.
(les ondes aller et retour interfèrent de manière constructive (2π) dans la cavité � amplitude max.)
Dans une cavité stable, le faisceau est déterminé par les modes gaussiens Emn(x,y,z).La condition de résonance prise sur l'axe z (r=0) se traduit par:
phase
vecteur d'onde k = ω/cquantification m,n,q
fréquence
π==Φ−=Φ q)z,0r()z,0r( 2mn1mn
π+
−
++= qz
zarctan
z
zarctan)1nm(kL
R
2
R
1
−
−±++π
+=ν2R
L1
RL
1arccos)1nm(1
qL2c
1mnq
c
2kk mnq
mnq
πν==or
Fréquences propres de la cavité
)z(R2kr
zz
arctan)1nm(kz)z,r(2
Rmn +
++−=Φoù
�
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TLmnq )1nm(q ν∆+++ν∆=ν
Les fréquences propres νmnq sont données en fonction de l'ordre du mode, c'est-à-dire des indices m et nEt de l'indice "longitudinal" q:
Où : intervalle spectral libre ex: si L=1 m, ∆νL=150 MHzL
cL 2
=∆ν
−
−±∆=∆
21
11arccos1
R
L
R
LLT ν
πνet : intervalle spectral transverse
ex: si confocal, ∆νT=75 MHz
Pour m,n fixé, deux fréquences de résonance successives correspondent aux indices q et q+1.
� Ces deux fréquences successives sont distantes de ∆νL
A un mode TEMmn donné, est associé un ensemble
de fréquences propres νmnq séparéespar l'intervalle spectrale libre ∆νL
Pour q fixé il existe plusieurs modes transverses TEMmn. Les fréquences de deux modes transverses successifs sont distantes de
νm+1,n,q– νm,n,q= ∆νT
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Modes propres
• Longitudinaux :
• Transverses :
Divergence du faisceau augmente en dehors du TEM00
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Sélections des modes :
Pour une cavité donnée, il existe plusieurs pics de résonance séparés de ∆νL.
Nous avons vu que dans une cavité résonante, le distribution transversale de l'amplitude du champest gaussienne. Plus particulièrement, elle correspond aux polynômes d'Hermite, modes TEMmn.
Sélection du mode longitudinal :
On sait que νq = q ∆νL � A l'extérieur de la cavité, il n'y a pas un pic mais plusieurs.
Ajout d'une cavité Fabry-Perot: étalon de longueur d << L� ∆νd >> ∆νL
"On a deux cavités en une, on refait une sélection dans la sélection"
Pas intéressant � sélection d'un seul
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Sélection du mode transversal:
Sélection basée sur l'étude des pertes par diffraction
Dans le cadre d'une compétition TEM00 et TEM01, si le facteur de perte du mode TEM00est plus petit que celui du mode TEM01, c'est le mode fondamental qui l'emporte.Un diaphragme suffit !!
Le mode TEM00 est le plus fréquent car c'est celui qui présente le moins de perte dansles configurations classiques
Pour obtenir un autre mode, il est préférable d'utiliser un laser à semi-conducteurs carla petite taille de la cavité augmente les pertes par diffraction du mode fondamentalEt favorise donc les autres modes transverses.
Autre méthode de sélection du modelongitudinal. La sélection des fréquencess'effectue via le prisme.
Seul un domaine étroit de fréquenceprésente une géométrie permettant larésonance.
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