View
215
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
PENGGUNAAN MATEMATIKA SEBAGAI ALAT PEMECAHAN MASALAH
J. Robert Cooke
Cornell University, Ithaca, New York
I. PENDAHULUAN
Model tanaman berbobot yang popular dan sukse dijadikan sebagai alat
perencanaan penelitian dan berasal dari focus perilaku tanaman agronomi sebagai suatu
sistim. Selain dari kekompleksitasan biologis yang melekat pada pertumbuhan dan
perkembangan tanaman, juga terdapat beberapa kondisi lingkungan dan hambatan
seperti kekeringan dan serangan hama dan penyakit yang harus dipertimbangkan secara
komprehensif dalam mengkarakteristikkan proses produksi tanaman dan hasil.
Telah ada dua alat yang berperan sentral dalam menangani kompleksitas ini:
matematika dan komputer. Yang pertama menyediakan kekuatan bahasa dan kerangka
kerja untuk konseptualisasi hubungan, dan yang kedua menyediakan kekuatan teknik
untuk mangeskplorasi hubungan dikodekan secara matematis. Bab ini mangeksplorasi
proses realitas fisik menggunakan matematika dan proses penggalian wawasan dari
representasi. Dengan kata lain, saya menyelidiki proses penggunaan matematika
sebagai alat yang berfungsi untuk mendapatkan pemahaman terhadap masalah.
Diskusi ini terdiri dari
1. Tinjauan singkat dari proses para ilmuwan yang digunakan untuk
mengkonsepsikan keteraturan alam demi tujuan yang dapat prediksi
2. Diskusi singkat tentang peran model matematika dalam menghubungkan antara
tugas konseptual dan eksperimental
3. Diskusi yang panjang dari langkah-langkah praktis para insinyur dalam
memukan suatu rumusan yang bermanfaat, memvalidasi, dan menafsirkan model
matematika
4. Sebuah pertimbangan masalah representatif untuk menggambarkan dan membuat
diskusi tentang proses pemodelan tradisional yang lebih konkrit
II. METODOLOGI ILMIAH DALAM MENGGAMBARKAN KENYATAAN
Proses penciptaan suatu pengetahuan baru berhubungan erat dengan eksplorasi
focus pertanyaan atau kebimbangan. Gambar 1 menggambarkan proses ini (Novak dan
Gowan, 1984). Dipandu oleh focus fenomena pertanyaan yang menarik dan akan
diuji. Dimulai berdasarkan teori Gowin "Pengetahuan yang berlawanan" atas peristiwa-
peristiwa tertentu atau benda yang diamati. Makna yang melekat erat pada peristiwa atau
objek dengan suatu interaksi konseptual (atau berpikir) dan metodologis (atau
melakukan) pertimbangan, seperti yang digambarkan oleh dua sisi "Vee=Berlawanan
arah."
Pikirkan terlebih dahulu tentang pertimbangan metodologis (di sisi
kanan). Rekaman peristiwa atau objek dibuat. Fakta-fakta yang kemudian dilaksanakan
atau terorganisir (transformasi). Hasil ini kemudian dipresentasikan sebagai data
menggunakan tabel, grafik, dll, diikuti oleh interpretasi, penjelasan dan generalisasi. Hal
ini menyebabkan pengetahuan akan mengklaim tentang apa yang ditemukan. Langkah
akhir terdiri dari nilai klaim tentang makna atau arti dari klaim pengetahuan.
Pada sisi proses konseptual, (dimulai dari atas-kiri "Vee"); berawal dari yang
paling umum yaitu, Pandangan alam (bahwa alam itu teratur dan diketahui) untuk
Filsafat, dan untuk Teori (secara logis terkait konsep) Prinsip (berasal dari klaim
pengetahuan sebelumnya) untuk Membangun Struktur Konseptual untuk Konsep (berarti
keteraturan). Selama penciptaan pengetahuan baru itu ada interaksi aktif antara sisi
konseptual dan metodologis dari "Vee". Novak dan Gowin (1984) memberikan beberapa
contoh ilustrasi spesifik administrative dari berbagai ruang lingkup subjek.
Singkatnya, ini adalah proses yang kita gunakan untuk menciptakan pengetahuan
baru. Proses ini begitu terkenal sehingga kita sering ambil untuk diberikan
penganugerahan. Namun, untuk menyadari akan langkah-langkah ini akan membuat
proses pemodelan yang lebih jelas, secara fundamental hal ini adalah proses artistik dan
tidak ada model tunggal yang "benar". Ini pada dasarnya adalah masalah aproksimasi
yang sangat terpengaruh oleh hal-hal rasa.
FOKUS PERTANYAAN
Memulai aktivitas antara dua
domain dan tertanam dalam atau yang
Teori: set logis terkait konsep pola memungkinkan penalara
METODOLOGYKONSEPTUAL
Dunia Tampilan: (misalnya, alam adalah tertib dan diketahui)
Filosofis:(misalnya, pemahaman manusia oleh Toulmin
Hasil: Representasi data dalam tabel, diagram dan grafik
Laporan dari keteraturan atau Definisi Konsep
Konseptual Struktur: teori himpunanlangsung digunakan dalam penyelidikan
Konstruksi: Ide yang mendukung teori yang dapat diandalkan, tapi tanpa acuan langsung dalam peristiwa atau benda.
Prinsip: Konseptual aturan yangmengatur menghubungkan pola dalam peristiwa;
Interpretasi, Penjelasan, & Generalisasi: Produk
Nilai Klaim: senilai itu, baik di lapangan atau di luar lapangan, klaim diproduksi dalampenyelidikan
Kejadian / Objects:Fenomena yang menarik ditangkapmelalui konsep-konsep dan mencatat-menandai: kejadian, objek
Konsep: Tanda-tanda atau simbol yang menandakan keteraturan dalam acara-acarasosial dan berbagi metodologi
Transformasi: Memerintahkan fakta diatur oleh teori pengukuran dan klasifikasi
Pengetahuan Klaim: generalisasi Baru, untuk menjawab pertanyaan mengatakan, diproduksi dalam konteks penyelidikan sesuai dengan kriteria yang tepat dan eksplisitkeunggulan
Fakta: Penghakiman, berdasarkan kepercayaan dalam metode, yang mencatat peristiwaatau benda yang valid.Rekaman Acara atau Objek
GAMBAR 1 Para heuristik vee dengan deskripsi elemen interaksi dalam pembangunan
atau analisis pengetahuan dalam setiap disiplin. Meskipun semua elemen yang terkait
dalam program penelitian yang koheren, sumber utama kesulitan dalam penyelidikan
individual biasanya dimulai pada bagian bawah vee, dimana konsep-konsep,
peristiwa / objek, dan catatan harus diteliti. (Novak dan Gowin Dari 1984, Dicetak ulang
dengan izin dari Cambridge University Press, New York, New York.)
III. MEMILIH ALAT
Penyelidikan ilmiah berlangsung lebih cepat ketika ada kemampuan berinteraksi
antara konseptual dan eksperimental di setiap tahap dalam proses menciptakan
pengetahuan dari pada hanya mengandalkan satu atau yang lain dari pangkal
"vee." Namun, literatur penuh dengan disiplin di mana aspek-aspek teoritis dan
eksperimental telah matang pada tingkat dramatis yang berbeda.
Bagaimanapun, kami sebagai para ilmuwan individu lebih banyak mengandalkan
pada salah satu atau yang lain, tergantung pada pelatihan kami. Sebagai contoh, Fry
(1941) telah membandingkan kebiasaan pemikiran dari ahli matematika dan insinyur:
1) keyakinan yang lebih besar dalam: secara tipical, para ilmuan matematika merasa
benar-benar yakin dalam mengambil kesimpulan yang dicapai oleh penalaran
dengan saksama dan tidak yakin dengan derajat yang sama oleh bukti experimen.
Seorang insinyur memiliki minat yang kurang dalam bentuk-bentuk "murni"
yang tidak memiliki hubungan nyata dengan dunia realitas fisik, tetapi mungkin
memiliki minat yang besar dalam informasi yang berguna seperti tabulasi
kekerasan yang mungkin sama sekali tidak terkait apapun dengan teori dan yang
tipikal matematika akan mendatangkan cukup kebosanan.
2) Rincian kritik ekstrim: matematika adalah sangat kritis terhadap rincian
demonstrasi.Untuk hampir semua kelas orang, argumen ini mungkin cukup baik,
meskipun beberapa pertanyaan kecil tetap ada. Untuk argument para ahli
matematika adalah baik dan sempurna dalam setiap detail, dalam bentuk serta
substansi, atau bisa juga hal itu salah. Matematikawan menyebutkan berpikir
yang sulit dan perlu untuk bekerja untuk memiliki nilai permanen; insinyur
menyebutnya hair-splitting dan mengatakan jika larut maka tidak akan pernah
mendapatkan apa pun dilakukan.
3) idealisasi: matematika cenderung mengidealkan situasi-gas yang 'ideal /
konduktor, gas' sempurna / permukaan bumi 'halus. " Apa yang matematikawan
namai dengan 'penurununan essensi’, para insinyur kemungkinan untuk
menjuluki dengan sedikit mencibir sebagai' pengabaian atas fakta-fakta.
4) Peraturan Umum: Ketika dihadapkan dengan pemecahan
X3 – 1 = 0
bahwa pertanyaan sederhana mungkin akan berubah menjadi pemecahan
Xn – 1 = 0.
Matematika menyebutnya "menghemat energi." Insinyur mungkin menganggap
hal ini sebagai "membuang-buang waktu."
Salah satu pendekatan adalah tidak mengunggulkan yang satu dari yang
lain. Mereka berbeda namun saling melengkapi.
Salah satu kontribusi yang benar-benar besar yang dapat membuat rekayasa
untuk pemodelan tanaman adalah transfer dari beberapa konsep dan teknik-teknik yang
telah terbukti sangat bermanfaat untuk tujuan rekayasa. Ketergantungan jauh lebih besar
telah ditempatkan pada penggunaan teknik matematika dalam ilmu fisika daripada yang
telah terjadi dalam ilmu-ilmu bi-embriologis dan pertanian. Namun demikian,
penggunaan model empiris yang telah memperoleh pengakuan luas dalam pemodelan
tanaman pada 30 tahun terakhir.
Sementara sebagian besar dari tubuh pengetahuan yang terkait dengan teknik
pada umumnya dan dalam pemodelan tanaman khususnya sangat empiris pada alam,
penggunaan yang cukup ekstensif telah tetap dan dibuat dari konsep dan teori yang dapat
dinyatakan paling mudah dalam bentuk matematika. Pembahasan berikut ini berlaku
sama untuk pemodelan, yang hampir secara eksklusif bergantung pada penggunaan
komputer dan hubungan empiris, dan pendekatan yang lebih tradisional, yang
mengandalkan komputer dan prinsip-prinsip pertama. Pendekatan yang kedua, bila
cukup dikenal untuk membuat pendekatan yang layak, sering memberikan wawasan
yang lebih dalam dan biasanya dapat lebih mudah digeneralisasi untuk konteks yang
lebih luas.
IV. SIFAT DASAR MODEL MATEMATIS
Pada daerah antarmuka antara rekayasa dan biologi ada keyakinan pasti tersisa
dan keliru bahwa biologis berbasis problem yang inheren begitu kompleks sehingga
mereka hanya tidak setuju untuk perlakuan matematika. Orang mungkin membayangkan
bahwa ini sikap yang sama bisa saja diterapkan pada mekanika kuantum, kalau bukan
karena keberhasilan yang menakjubkan dicapai dengan menggunakan matematika
sebagai alat utama.
Eksperimentalis, terutama bagi mereka yang biasanya bekerja dengan
berdasarkan masalah biologis, kadang-kadang cenderung bersikap curiga terhadap cara
kerja matematika. Meskipun skeptisisme yang sehat sangat diinginkan, peran pemodelan
matematika telah berkali-kali tidak adil dikritik (tetapi tentu tidak dalam semua kasus).
Kesulitan utama yang umum adalah kegagalan untuk mencatat kebutuhan dan keinginan
untuk membuat asumsi dalam kedua studi matematika dan eksperimental. Dalam
keduanya misalnya perhatian diarahkan ke masalah yang terbatas dan kesimpulan yang
dicapai hanya berlaku dalam batasan "asumsi eksperimental." Model matematika
(Noble, 1967) dapat digunakan untuk menyebabkan perhatian untuk diarahkan ke
pertanyaan yang paling penting dalam studi eksperimental. Jika data sesuai dengan teori,
tingkat kepercayaan pada kekuatan prediksi dari model ini ditingkatkan. Dalam kasus
lain, matematika dapat digunakan untuk mengurangi atau menghilangkan hasil
experimental tertentu.
Nahikian (1964) menggambarkan grafis berturut kira-memperkirakan terkait
dengan model matematika (lihat Gambar. 2). Dimulai dengan pernyataan yang jelas dari
sebuah "masalah," sifat-sifat paling penting dari masalah fisik atau biologis untuk
dipelajari diabstraksikan dan terisolasi dengan memanfaatkan asumsi bijaksana (sisi kiri
Gambar. 2). Sebuah masalah matematika, menggunakan prinsip-prinsip fisika atau kimia
dasar, dikembangkan untuk mewujudkan "esensi" dari masalah. Para "eksentrik
matematika" (bawah) dihidupkan dan diperiksa. Implikasi dari model
diartikulasikan. Implikasi ini kemudian terkait dengan masalah asli melalui fenomena
yang diamati. Perbedaan dicatat, dan memulai kembali siklus. Namun, perhatikan bahwa
anak-anak panah dua arah, menunjukkan bahwa perkembangan logis mungkin terjadi
sebaliknya pada titik apapun.
Munculnya komputer memiliki efek pembebasan besar pada penggunaan
matematika. Tidak ada lagi kebutuhan utama untuk merumuskan masalah untuk
menyesuaikan diri dengan alat terbatas pada klasik analisis. Di sisi lain, ketika
menggunakan komputer kita masih harus abstrak dan menjunjung tinggi masalah
rekayasa. Kami masih harus memecahkan masalah asli ke unsur-unsurnya, memutuskan
apa yang penting, menentukan data kita harus mulai, apa langkah-langkah analisisnya,
dan hasil akhir apa yang diperlukan. Langkah-langkah ini memerlukan kebiasaan
berfikir matematika.
M Melakukan
Experimen
Melakukan
Manipulasi Matematika
FIGURI 2 Pengembangan model matematika. [Diadaptasi dari Nahikian (1964).]
V. MERUMUSKAN MODEL MATEMATIS
Proses pembentukan model (sisi kiri Gambar. 2) adalah baik ilmu dan suatu
bentuk seni. Pembahasan berikut berkonsentrasi pada teknik yang mapan digunakan
dalam menciptakan dan memvalidasi model dan memperoleh wawasan. Aspek yang
lebih artistik, tetapi penting, dari pemodelan disebutkan hanya secara sepintas, tetap,
yang dapat menjadi langkah yang paling penting dan menentukan. Hal ini terutama
bahwa alasan keseimbangan dapat diberlakukan antara kompleksitas dan kesederhanaan.
Sebuah model bisa jadi termasuk rincian sehingga menjadi keras atau sulit dipahami.
Sebuah model mungkin dibekalii dengan koefisien empiris yang begitu banyak, hanya
dilihat dari pengukuran eksperimental untuk pengaturan tertentu, bahwa ia memiliki
manfaat yang terbatas dalam pengaturan yang hanya sedikit berbeda karena hilangnya
daya prediksi dan wawasan ke dalam mekanisme yang mendasar. Di sisi lain, model
dapat dibuat begitu sederhana bahwa esensi dari situasi yang hilang. Sebagai contoh,
fenomena tertentu mungkin tidak tercakup jika direpresentasikan menggunakan sistem
Masalah Biologi atau Pisik
Model Matematika
Melakukan cek secara matematika, memperhatikan asumsi-asumsi, menghubungkan model pada masalah yg sebenarnya
Mendefinisikan masalah, menyederhanakan asumsi, melihat kembali prinsip dasar
Mengobservasi fenomena
Inferensi Matematika
linear persamaan diferensial biasa daripada sistem nonlinear persamaan diferensial
biasa. Sebuah model linier, sebagai contoh, tidak mencakup perilaku membatasi siklus
stabil. Dan model tertentu mungkin tidak cocok untuk situasi di mana probabilistic
mungkin saja berhasil.
Misalkan Anda tertarik untuk memeriksa variasi-variasi suhu dalam dinding-
dinding dari sebuah mesin pembakaran internal selama siklus pembakaran. Bagaimana
mungkin Anda mewakili masalah sebagai masalah matematika, sementara belum
mencapai pendekatan yang baik untuk nilai eksperimental?
Anda mungkin akan merumuskan masalah ini sebagai salah satu pengantar panas
dalam zat padat. Selanjutnya Anda mungkin akan menyadari bahwa Anda harus
menentukan konfigurasi geometris yang sesuai. Berurusan dengan geometri actual
mungkin akan mengharuskan Anda menggunakan cara yang tidak diinginkan untuk
pendekatan numerik seperti penggunaan teknik terbatas-perbedaan atau terbatas-
elemen. Misalkan Anda ingin membuat pendekatan pertama menggunakan solusi
sederhana dari literatur yang ada?
Beberapa kemungkinan muncul ke pikiran. Anda mungkin merumuskan ini
sebagai (a) silinder tebal dikenakan fluktuasi suhu periodik pada dinding dalam dari
silinder atau (b) lubang silinder di ruang terbatas. Kasus akan mengarah pada
penggunaan fungsi Hankel, sedangkan b kasus ini akan mengarah pada penggunaan
fungsi Bessel sederhana. Tergantung pada frekuensi fluktuasi periodik pada silinder
bagian dalam, kedalaman penetrasi mungkin kira-kira sama pada kedua kasus. Jika
demikian, model sederhana mungkin memadai.
Di sisi lain, jika kelengkungan silinder bagian dalam bukan merupakan
pertimbangan utama, Anda mungkin merumuskan ini sebagai (c) slab terbatas-ketebalan
atau (d) padat semi-infinite (setengah-ruang memiliki tepi rata). Untuk kasus c, solusi
akan melibatkan fungsi hiperbolik, sementara kasus d ini akan melibatkan fungsi
trigonometri bahkan lebih sederhana (atau fungsi eksponensial kompleks). Ternyata,
rasio suhu permukaan periodik untuk suhu periodik pada setiap kedalaman di dinding
adalah kira-kira sama untuk keempat kasus ketika frekuensi dalam kisaran khas mesin,
tetapi beban matematika menjadi sangat kurang untuk kasus sederhana d.
Sebuah tanaman pemodel mungkin akan dikenali sebagai analogi dengan
fluktuasi harian atau tahunan suhu periodik dalam tanah dan bagaimana suhu bervariasi
dengan jarak ke dalam tanah. Menyadari analogis sangat dapat memperkuat kepercayaan
seseorang tentang suatu larutan.
(c) (d)
GAMBAR 3 geometri Alternatif, (a) Sebuah silinder tebal dikenakan fluktuasi suhu periodik pada dinding dalam silinder, (b) Sebuah lubang silinder dalam ruang tak terbatas, (c) slab terbatas-ketebalan, (d) setengah solid-terbatas.
Semakin besar wawasan ke dalam proses yang mendasari Anda dapat
mengumpulkan setiap tahap perkembangan, semakin besar kemungkinan diterima
keseimbangan antara kesederhanaan dan kompleksitas dapat dicapai. Poin utama yang
harus diingat adalah bahwa Anda menggunakan model matematis untuk mendapatkan
wawasan dan bahwa tidak ada representasi tunggal atau model yang melayani tujuan.
Sebuah modeler pemula akan tergoda meminta untuk perwakilan secara umum yang
cocok untuk semua situasi, tapi sayangnya, jika itu adalah tujuan Anda, Anda cenderung
untuk berdagang menutupi kompleksitas untuk kejelasan yang dapat dicapai lebih
mudah melalui kesederhanaan.
Bowen (1966) menggambarkan masalah dasar yang harus dipertimbangkan guna
merumuskan masalah (Gambar 4). Sebelum masalah dapat benar diketahui, pembuat
keputusan harus mengidentifikasi masalah. Biasanya pembuat keputusan itu baik orang
atau kelompok yang tujuan tidak terpenuhi dan salah satu yang mengontrol sumber daya
yang dibutuhkan untuk mengefektifkan pemecahan masalah. Selanjutnya tujuan
pembuat keputusan dan sumber daya harus jelas dan berbobot. Biasanya tujuan konflik
dan tidak dapat secara serempak memuaskan. Selain itu, lingkungan dengan kendala
yang terkait harus ditentukan dan dipahami. Sebuah "solusi" yang mengabaikan kendala
ini adalah bukan solusi. Hanya setelah ketiga masalah (tujuan, sumber daya, dan
lingkungan) jelas dapat dipahami secara tepat masalah yang ditimbulkan atau
didefinisikan dengan ketepatan yang cukup dan kejelasan. Bagaimana Anda
mendefinisikan masalah fundamental berguna bagi bentuk sisa proses!
GAMBAR 4 Langkah dalam merumuskan masalah.
Pemilihan Pembuat Keputusan
Tujuan Sumber Daya Lingkungan
Mendefinisikan Masalah
Menguji solusi atau mesin
Mengembangkan rincian rencana, garis besar rencana
Pilih solusi alternatif paling logis
Mengembangkan ukuran objektif untuk pengujian
Alternatif Solusi Umum
Melaksanakan rencana; membangun mesin
Penerimaan atau penolakan dari solusi
Untuk menggambarkan bagaimana model fundamental tergantung pada
bagaimana masalah dibingkai, mempertimbangkan pendekatan yang diambil dalam
memecahkan masalah dari mekanisme panen pohon buah-buahan. Masalahnya telah
terwujud dalam literatur dan setidaknya ada dua bentuk yang berbeda. Pandangan
sebelumnya menyatakan bahwa kriteria untuk penghapusan buah yang dikembangkan
dari reaksi inersia dari batang pohon buah sementara sedang bergetar. Ini niscaya
menyebabkan peneliti untuk berpusat pada cara bagaiman menghasilkan getaran kuat
dari pohon, misalnya, di salah satu frekwensi anggota tubuh nya. Di sisi lain, jika
seseorang mendefinisikan masalah dalam hal tegangan lentur pada batang, di buah atau
di cabang, maka argumen mengikuti pola yang secara substansial berbeda. Buah dan
perakitan induk dapat dianggap sebagai pendulum fisik ganda dan satu maka mungkin
studi frekuensi yang menghasilkan gerakan terbesar dari sistem buah batang daripada
struktur dukungan pohon. Seseatu tidak perlu diherankan untuk dipelajari bahwa
kesimpulan tentang panen yang cukup berbeda untuk dua statement masalah akan
menghasilkan tingkat pemahaman yang berbeda secara fundamental.
Hanya setelah definisi yang jelas telah dicapai-dan ini adalah sepuluh fase yang
paling penting dan sulit dalam memecahkan masalah-harus Anda memulai proses
menghasilkan solusi alternatif. Tahap ini membutuhkan imajinasi serta kapasitas untuk
memanfaatkan semua pengalaman sebelumnya dan pengetahuan profesional Anda.
Novel asosiasi dan analogis sering memainkan peran penting. Singkatnya, kreativitas
memainkan peran penting dalam langkah ini. Banyak teknik dapat digunakan untuk
merangsang proses ini. Seringkali mental block harus diatasi jika masalah yang akan
disusun kembali dari sudut pandang yang baru. Ada kecenderungan kuat untuk melihat
masalah dengan cara yang akrab bahkan ketika tujuan tidak lagi memuaskan.
Pemilihan alternatif yang paling logis biasanya mengharuskan serangkaian
masalah yang sangat spesifik dirumuskan dan dianalisis. Proses ini akan dieksplorasi
berikutnya. Ketika Anda mengembangkan rencana untuk mengimplementasikan
alternatif yang dipilih, Anda secara bersamaan mengartikulasikan, mengukur atau
setidaknya ambigu, mengukur kinerja di mana Anda akan menilai lution sehingga
diusulkan. Anda melakukan hal ini sebelum rencana Anda diimplementasikan dan
sebelum Anda harus membuat penilaian rasional apakah Anda telah berhasil.
Setelah solusi Anda telah diterapkan, ada bertanggung jawab untuk menentukan
apakah solusi Anda dalam bekerja. Hal ini biasanya berkaitan dengan beberapa bentuk
eksperimentasi dan evaluasi dan apakah Anda telah memenuhi tujuan sebelumnya untuk
diartikulasikan.
VI. LANGKAH PRAKTIS MERUMUSKAN MODEL MATEMATIS
Meskipun banyak teks pada pemodelan matematika telah dipublikasikan, sebuah
teks sangat tua oleh Ver Planck dan Teare (1954) berfungsi dengan baik sebagai focal
point untuk diskusi ini. Tabel 1 merangkum pendekatan yang disajikan dalam buku
mereka, tapi saya juga membuat beberapa adaptasi. Ini adalah waktu dilakukan langkah-
langkah insinyur secara rutin menggunakan pemecahan masalah. Karena langkah-
langkah yang begitu akrab, signifikansi sering diabaikan.
Secara eksplisit mengidentifikasi langkah-langkah membuat proses lebih
comprehensif dan lebih dari sekedar suatu bentuk seni. Langkah-langkahnya (A)
mendefinisikan masalah, (B) rencana treatmennya, (C) mengeksekusi langkah-langkah,
(D) memeriksa pekerjaan Anda, dan (E) belajar dan generalisasi dari analisis Anda. Mari
kita pertimbangkan setiap langkah dalam proses ini.
A. Mendefinisikan Masalah
Dalam berurusan dengan masalah non-buku, yang penting harus ditempatkan
pada pertimbangan pertama melakukan sebuah heuristik dari masalah sebelum
menyelidiki ke dalam seluk-beluk pendekatan tertentu. Dengan kata lain, secara sadar
dan eksplisit memutuskan antara pendekatan alternatif sebelum Anda komitmen dengan
waktu Anda untuk setiap tahap yang spesifik.
Dengan menyatakan hasil yang diharapkan cukup dini dalam studi masalah,
Anda biasanya harus lebih mampu menilai validitas analisis Anda. Hal ini akan
memberikan dasar untuk memandu analisis serta latar belakang analisis terhadap yang
dapat dinilai.Titik yang tepat di mana untuk meninjau literatur yang relevan mungkin
tergantung pada sifat dari masalah. Untuk menghindari "reinventing the wheel," literatur
mungkin harus lebih awal, tapi di sisi lain ada kemungkinan prematur penyaluran
seseorang berpikir untuk ide-ide saat ini. Ada juga memerlukan di sini untuk
keseimbangan, dan penilaian.
Bagaimana Anda mengemukakan masalah yang akan dipecahkan, yaitu, yaitu
membentuk frame teka-teki, akan memiliki dampak yang mendalam pada seluruh
proses. Jika Anda memecahkan masalah yang salah, waktu Anda mungkin sia-sia. Jika
masalah dinyatakan sembarangan, Anda dapat mempersulit tugas Anda. Anda berpegang
jelas pada masalah, lebih mudah tugas mendefinisikan masalah. Masalah buruk
didefinisikan kemungkinan akan meningkatkan kompleksitas dari formulasi matematika.
A. Definisikan masalah.1. Bagilah masalah menjadi serangkaian pertanyaan khusus.2. Diskusikan masalah dengan cara kualitatif dan menyajikan motivasi heuristik
sebelum terjun ke dalam persamaan3. Sadar memutuskan antara pendekatan-pendekatan alternatif.4. kemukakan apa hasil yang Anda mengantisipasi. Hal ini setara dengan hipotesis.5. Review literatur yang relevan.
Rencana B. treatmennya.1. Review prinsip-prinsip fisik atau kimia yang relevan. Mengungkapkannya secara
verbal dan kemudian matematis.2. Identifikasi asumsi-asumsi yang mungkin diinginkan dan / atau diperlukan.3. Merumuskan masalah matematis.
a. Gunakan sketsa bebas.b. Tentukan semua simbol dan memberikan unit terkait.c. Tampilkan semua koordinat dengan arah positif diidentifikasi.d. Identifikasi semua asumsi seperti yang tertanam dalam model.e. Sebutkan semua referensi berkonsultasi.
Jalankan rencana.1. Gunakan lebih dari satu pendekatan bila memungkinkan.2. Ketika melakukan langkah-langkah matematika, nomor semua persamaan.3. Menggunakan cek menengah sering.
4. Memberikan penjelasan tentang motivasi untuk setiap langkah, dan menunjukkan hubungan logis antara langkah.
5. Jika jalan buntu tercapai, menyederhanakan masalah dengan mengubah asumsi dan / atau definisi masalah.
B. Periksa secara menyeluruh.1. Periksa dimensi dan unit.2. Periksa kasus membatasi3. Periksa simetri.4. Periksa kewajaran.5. Periksa berbagai variabel.6. Periksa kembali semua asumsi untuk efek kemungkinan dan kepentingan.7. Gunakan derivasi alternatif.8. Gunakan analogi.C. Belajar dan generalisasi dari analisis Anda.1. Meringkas temuan penting, termasuk keterbatasan.2. Menafsirkan persamaan dalam hal masalah asli.3. Apakah faktor penting telah diabaikan?4. Apa yang penting oleh ketiadaan?5. Menggunakan nomor berdimensi dalam presentasi grafis.6. kemukakan secara lisan makna persamaan matematika akhir.7. Skema yang diusulkan dapat diperbaiki atau diubah sehingga tidak akan bekerja?8. Periksa kasus numerik untuk kejelasan dan kelayakan. Ini adalah cek dari
besarnya efek dan nilai-nilai parameter yang dibutuhkan.9. Berapa banyak variasi parameter dapat ditoleransi?10. Berapa banyak angka penting yang harus digunakan11. Apakah presentasi grafis sepenuhnya diklarifikasi, termasuk sumbu diberi label
dengan jelas, dan merupakan interpretasi dari informasi yang disajikan?12. Ketidakpastian apa masih ada?13. Bagaimana model berhubungan dengan masalah asli?14. Dapat dan harus masalah sekarang disederhanakan atau umum?
Sumber: Diadaptasi dari Ver Planck dan Teare (1954).
B. Treatmen masalah
Sebuah diskusi verbal dari masalah (dicatat di notebook Anda) sering penting
dalam memahami salah satu menyegarkan tentang prinsip phisical, karena pernyataan
matematis dari prinsip-prinsip fisik, terutama jika disajikan dalam bentuk matematika,
mungkin singkat dan biasanya akan berisi banyak asumsi yang tidak jelas. Perumusan
aktual dari model matematika harus disertai dengan pernyataan yang sangat hati-hati dan
meninjau fungsi asumsi yang harus Anda buat dalam rangka untuk membentuk sebuah
model matematika. Terus-menerus menyadari trade-off antara kesederhanaan dan
kompleksitas. Cukup sering disarankan untuk merumuskan dan memecahkan sebuah
model sederhana sebelum menambahkan tingkat detail yang Anda percaya akhirnya
akan diinginkan. Kapanpun memungkinkan, gunakan beberapa pendekatan. Jika hasil
yang sama dapat diperoleh dengan metode alternatif, misalnya, konservasi energi, dan
melalui persamaan gerak, Anda akan meningkatkan rasa percaya diri Anda dalam hasil.
Selanjutnya, validitas dan kegunaan dari analisis Anda biasanya menderita lebih
banyak dari asumsi diakui penting daripada asumsi diakui penting. Ingat pemodelan
yang merupakan proses yang iteratif, yaitu, tidak setiap detail atau harus dimasukkan di
awal. Dalam semangat Occam Razor, penjelasan sederhana tentang sukses adalah
disukai untuk penjelasan sederhana tapi kompleks. Merumuskan dan memecahkan salah
satu atau lebih sangat menggunakan models sederhana sebagai pendekatan pertama
biasanya bijaksana tetapi sering diabaikan.
Seringkali masalah yang kompleks dapat diselesaikan sebagai urutan
independen-submasalah, dianggap bersama-sama, menggambarkan situasi yang lebih
kompleks. Seringkali beberapa masalah sederhana akan memungkinkan Anda untuk
braket solusi yang cukup untuk membuat analisis yang lebih canggih yang tidak perlu.
C. Jalankan Rencana
Ketika Anda pertama kali memperkenalkan variabel, segera mendefinisikannya
dalam kata-kata dan memberikan unit yang terkait. Hal ini akan memfasilitasi
pemahaman dan menguji berikutnya. Semua persamaan harus homogeneous, yaitu,
ketika unit menggantikan variabel dalam persamaan, unit-unit di kedua sisi persamaan
harus sama. Berhati-hatilah menggunakan konstanta numerik yang terkait unit; lebih
baik untuk menetapkan nama parameter. Nama parameter ini kemudian diperlakukan
atas dasar yang sama dengan variabel, dan pemeriksaan simensi homogenitas kurang
rentan terhadap kesalahan.
Gunakan sketsa bebas, jumlah mereka, dan memberikan keterangan. Bahkan
sketsa kasar sering dapat memberikan kejelasan yang tidak akan membutuhkan banyak
kata. Label sumbu, ke arah yang positif, dan semua komponen gambar. Keterangan akan
berguna saat Anda kembali beralih ke pekerjaan Anda setelah setiap selang waktu yang
substansial. Demikian juga, untuk kemudian mengingat dan untuk digunakan dalam
penulisan laporan resmi yang berasal dari analisis Anda, Anda harus mengutip semua
referensi Anda saat berkonsultasi. Metode pendekatan ini mendorong pemikiran yang
hati-hati. Untuk memfasilitasi derivasi dan diskusi tentang persamaan, jumlah setiap
persamaan, meskipun Anda dapat memilih untuk meninggalkan beberapa yang tidak
termasuk dalam jumlah di laporan resmi Anda. Ingat bahwa analisis Anda akan maju
lebih lancar jika Anda menangkap pikiran Anda karena hasil. Hal ini tidak hanya
membantu Anda berpikir melalui masalah, tetapi juga merupakan bantuan yang tak
ternilai ketika Anda kembali ke analisis Anda nanti. Sebagai hasil proses, merekam
pikiran Anda tentang motivasi analisis. Selalu memberikan laporan secara lisan dari
koneksi logis dan rincian dalam analisis. Anda tidak akan mendapatkan hasil yang baik
jika mengabaikan rincian dengan sebuah pernyataan bahwa "dapat ditampilkan." Juga,
catatan Anda melayani tujuan arsip tetapi harus diperlakukan berbeda dari laporan
resmi, yang digunakan untuk menyajikan ide-ide Anda dalam bentuk ekonomis untuk
kepentingan orang lain. Catatan Anda adalah untuk Anda gunakan sendiri.
Jika Anda mencapai kebuntuan dalam analisis, menyederhanakan masalah
dengan membuat asumsi tambahan atau dengan memodifikasi masalah
pendefinisian. Setelah Anda memahami versi yang disederhanakan, bahkan jika itu
terlalu sederhana untuk dimasukkan dalam laporan akhir, mungkin memberikan
wawasan yang hanya diminta untuk memecahkan versi yang lebih rumit.
D. Periksa dengan seksama
Bagian ini sangat menarik pada dua primer, sumber cetak: Ver Planck dan Teare
(1954, Bab 6) dan Johnson (1944, Bab 8). "fungsi Rekayasa tidak benar-benar diperiksa
memiliki nilai yang kecil." (Ver Planck dan Teare, 1954, hal 229). Sering menggunakan
cek menengah sangat diinginkan. Analisis Anda harus bebas dari kesalahan penting-
mulai dari menggunakan metodologi yang salah untuk mendapatkan titik desimal
salah. Reputasi profesional Anda tergantung pada reliability- sehingga Anda harus
mencurahkan perhatian serius untuk memeriksa dan memvalidasi pekerjaan. Dalam
mata kuliah mungkin bahaya terbesar yang dihasilkan dari kesalahan Anda adalah untuk
pelajaran kelas, tetapi dalam praktek profesional, keselamatan dan kesehatan orang lain
mungkin menghadapi risiko. Berbeda dengan situasi kelas, keandalan adalah jauh lebih
penting daripada kecepatan. Juga, ketika Anda mempublikasikan sebuah makalah,
kesalahan tetap untuk seluruh dunia untuk melihat dan mungkin kesalahan Anda
menyesatkan orang lain. Karena masalah rekayasa kebanyakan diselesaikan selama
beberapa hari bukan menit, penting untuk mengembangkan kebiasaan menyediakan
dokumentasi langkah-demi-langkah yang tepat dan memeriksa setiap langkah dalam
analisis Anda. Proyek rekayasa sering melibatkan upaya tim, namun secara individual
mempertahankan tanggung jawab untuk menjamin akurasi dari pekerjaan mereka. Tim
keyakinan pada Anda tergantung fundamental pada kemampuan Anda untuk
menghasilkan karya yang benar-benar diuji.
"Sejauh ini cara yang paling efektif untuk memeriksa analisis adalah dengan cara
percobaan yang dirancang dengan baik." (Ver Planck dan Teare, 1954, hal
229).Tergantung pada perspektif seseorang dan pengalaman, sebagai kutipan Fry
sebelumnya menunjukkan, satu akan lebih mudah yakin akan keabsahan suatu analisis
dengan eksperimen atau dengan penalaran yang cermat. Metode ilmiah menyatakan
bahwa percobaan yang dilakukan dengan benar berfungsi sebagai pengadilan akhir
banding ketika analisis dan eksperimen berbeda. Namun, ini tidak berarti bahwa Anda
harus segera dan seragam resor untuk eksperimen-mengabaikan alat-alat matematika
Anda.Di tempat pertama, percobaan sering mengharuskan Anda melakukan beberapa
analisis trivial yang benar membangun percobaan. Percobaan sering mahal dan
memakan waktu. Selanjutnya, tugas dapat dilakukan secara inherent lebih untuk model
eksperimental atau matematika. Tingkat relatif keahlian Anda sebagai seorang modeler
atau sebagai experimentalis, independen dari proyek tertentu, dapat mempengaruhi jalan
mana yang kurang mahal untuk dilalui.
"Metode profesional Baik menyiratkan tidak hanya memeriksa hasil akhir dalam
setiap cara yang masuk akal, tetapi juga memeriksa sering sebagai pekerjaan
berlangsung sehingga analisis yang akurat pada setiap tahap perkembangannya." (Ver
Planck dan Teare, 1954, hlm 229-230). Memeriksa begitu penting sehingga harus
menjadi naluriah dan kebiasaan. Tak diragukan lagi, banyak usaha Anda memeriksa
akan terjadi setelah Anda telah menemukan hasil yang terlihat menjanjikan. Namun,
harus memeriksa bentuk perlakuan pada setiap tahap analisis Anda, bukan hanya setelah
derivasi telah selesai. Kesalahan, bahkan yang sederhana dan mudah terdeteksi, dapat
menyebarkan melalui analisis Anda dan memerlukan waktu yang hilang dengan melacak
kembali langkah Anda.
Dalam bab ini kita lebih tertarik pada teknik yang membuat penggunaan alat
matematika yang lebih efektif (untuk validasi dan untuk membantu Anda mendapatkan
wawasan), jadi mari kita pertimbangkan beberapa teknik-teknik spesifik, termasuk
beberapa yang dapat diterapkan lebih mudah selama pekerjaan Anda berlangsung.
Jenis Pemeriksaan
Dua jenis lain dari pemeriksaan yang sangat berguna: (1) cek secara keseluruhan.
Yang terakhir ini sering bergabung dengan belajar dan generalisasi, dan (2) pemeriksaan
manipulasi (aritmatika, dimensi, dll).
Pemeriksaan berdasarkan Pengalaman Membandingkan hasil Anda dengan
pengalaman sebelumnya dan akal sehat merupakan bentuk yang paling penting, tetapi
sering diabaikan untuk dieriksa. Jika perhitungan menghasilkan hasil yang tidak sesuai
oleh urutan besarnya (misalnya, mobil berbobot dua puluh ton), internal alarm Anda
harus memperingatkan. Ketika Anda mengembangkan lebih banyak pengalaman dalam
keahlian khusus, rasa skala menjadi aset yang kuat. Kadang konversi angka ke dalam
satu set unit lebih akrab dapat memfasilitasi urutan cek besarnya dengan pengalaman
Anda. Pemeriksaan oleh pengalaman sangat berharga, tapi tentu saja, tidak sempurna.
Dimensi Pemeriksaan. Untuk mewakili secara fisik hubungan yang bermakna,
persamaan harus pada dimensi homogen. Sebagai contoh, masing-masing istilah dalam
persamaan yang terdiri dari penjumlahan harus memiliki satuan yang sama. Ini adalah
kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup. Jika unit tidak konsisten, sebuah
"persamaan" tidak dapat berlaku, tetapi dimensi persamaan homogen mungkin tidak
benar. Artinya, kegagalan untuk memenuhi tes ini adalah bukti positif dari ketidak
tepatan, namun pertemuan tes tidak menetapkan kebenaran nya. Sebagai contoh,
istilah yang hilang tidak akan terdeteksi, atau Anda bisa yakin bahwa parameter
berdimensi memilikimagnitudo yang benar atau tanda.
Nama dan Unit
Ver Planck dan Teare (1954, hal 231) menggambarkan kebutuhan untuk
menggunakan satuan yang sama sebagai berikut:
Persamaan ditulis dengan simbol untuk setiap kuantitas diikuti dengan nama unit
di mana kuantitas yang diungkapkan.
5 apel + 6 = 11 apel apel adalah dimensi homogen, namun5 apel + 1 apel sapi = 6 adalah omong kosong.
Sebuah contoh yang lebih representatif:satu (1 X A (keranjang)+ B 1 -*-*--) XB (pohon) = C (apel) \ pohon /
Unit-unit untuk setiap istilah diperlakukan secara aljabar. Sementara perangkat
lunak simbolik matematika dapat digunakan untuk mengotomatisasi tugas ini, serta
menangani tugas biasa tapi rawan kesalahan konversi unit.
Ada situasi khusus yang harus dipertimbangkan. Numerical konstanta dalam
persamaan dapat mewakili angka murni (misalnya,-FT), tetapi bisa juga tergantung pada
set unit tertentu. Untuk alasan ini, parameter simbolik biasanya lebih dipilih karena unit
mereka dapat diperiksa lebih mudah jika dilakukan treatmen secara simetris dengan
variabel. Untuk tes Misalnya, jika x variabel dalam persamaan kuadrat memiliki satuan
meter, maka jelas parameter a, b, dan c harus memiliki unit juga.
Argumen fungsi khusus yang tertentu, seperti fungsi trigonometri, fungsi
eksponensial, dan fungsi Bessel, adalah nomor/angka murni dan harus berdimensi.
Berwaspada dalam menggunakan satuan ukuran seperti gelar dari pada radian dapat
membuat perbedaan yang jelas. Demikian pula, karena logaritma dari suatu produk
dapat dipisahkan, sebuah ketidak sesuaian mungkin ada. Kadang-kadang suatu hokum
fisik harus diproduksi untuk menyelesaikan proses konversi untuk menunjukkan dimensi
homogenitas.
Dimensi-dimensi
Ini mirip untuk mengecek unit, tetapi masing-masing faktor dalam equation
tersebut kembali ditempatkan oleh rumus dimensi dalam hal jumlah primer seperti
massa (M), panjang (L), dan waktu (T). Berbeda dengan cek unit, hal ini tidak
memverifikasi konsistensi unit sistem. Ver Planck dan Teare (hal. 231) mengilustrasikan
prosedurnya sebagai berikut:
... kepadatan adalah massa per satuan volume, atau massa dibagi dengan panjang kubus, maka [ML 3] dimana M mewakili dimensi massa dan L dimensi panjang. Demikian pula, mungkin diinginkan untuk memiliki formula dimensi untuk tahanan listrik yang dalam hal tegangan dimensi [V], biaya [Q], dan waktu [T], itu adalah [VG_1T], sebagaimana dapat disimpulkan dari Hukum Ohm dan definisi saat ini sebagai muatan melewati sirkuit per unit waktu .... Jika terlalu banyak primer kuantitas terjadi dipilih dalam kasus tertentu, maka akan nec-essary untuk menghilangkan satu atau lebih dari mereka dengan menggunakan hubungan fisik dikenal.Misalnya, dalam masalah dinamika jika semua empat dimensi, gaya [F], massa [M], Panjang [L], dan waktu [T] digunakan sebagai kuantitas primer, maka akan ditemukan diperlukan untuk menghilangkan salah satu dari mereka. Hal ini dilakukan dengan sangat mudah dengan menggunakan hukum Newton / = ma, itu menunjukkan kekuatan yang [F] memiliki rumus dimensi [MLT ^ 2], atau, jika Anda suka, bahwa massa [M] memiliki formula [FL-1T2].
Membatasi Pengecekan Masalah
Membatasi Pemeriksaan kasus adalah teknik yang sangat berguna. Seringkali
pengalaman Anda akan menyarankan apakah suatu ekspresi harus meningkatkan atau
berkurang sebagai parameter setiap peningkatan atau penurunan. Jika kenaikan atau
penurunan hasil tanpa batas sebagai parameter atau variabel berubah, atau harus ada
asimtotik terikat? Atau harus ada maksimum relatif atau minimum?
Memeriksa nilai khusus, seperti 0, 1 e, kelipatan dari n, atau di-finity, seringkali
sangat mudah dan mengungkapkan. Memeriksa nilai-nilai khusus yang sering
memungkinkan Anda untuk membandingkan ekspresi dengan intuitif rasa apa yang
harus terjadi.
Mengidentifikasi perilaku stabil sering dapat diidentifikasi. Sebuah derivasi
independen kasus membatasi sederhana mungkin; konfirmasi independen seperti ini
sangat dapat memperkuat kerahasiaan di derivasi yang lebih umum.
Ver Planck dan Teare (hal. 46) menggambarkan teknik ini menggunakan hasil
eksponensial sederhana dari transfer panas. Pendekatan Suhu T nilai awal T = 0 sebagai
pendekatan waktu nol dan pendekatan T kondisi mapan q / QIA) sebagai meningkatkan
waktu tanpa batas.
Rumus
Membatasi pemeriksaan kasus ini juga memainkan peran penting dalam
membantu memahami pentingnya fisik yang mendasari model dan sering berguna dalam
proses pemodelan ketika menafsirkan makna fisik dari hasil.
Simetri sebagai Pengecekan
Simetri juga menyediakan sarana yang kuat untuk memeriksa derivasi.
Memeriksa hasil untuk fungsi genap dan ganjil sangat mudah dan sering membantu.
Sebagai contoh, jika sebuah variabel memiliki arah yang positif, apa hasil yang
diharapkan jika tanda variabel terbalik? Apakah tanda ekspresi sama atau terbalik?
Adalah F (x) = F (-x) (bahkan) atauF (x) =-F (-x) (aneh)?
Ver Planck dan Teare (hal. 242) menyediakan dua contoh menggunakan symmetry
untuk mengidentifikasi potensi kesalahan.
Rumus(Ver Planck dan Teare, 1954, hal 233.)
Simetri sebagai Periksa
Hambatan ekuivalen untuk rangkaian berikut (lihat diagram) diketahui
GAMBAR 5 Diagram Sirkuit.
Karena R3 dan R4 sama-sama ditempatkan, tentu saja, harus juga ditempatkan dalam persamaan (Ver Planck dan Teare, 1954, hal 243).
Perhatikan bahwa kesalahan di bawah ini tidak dapat terdeteksi dengan cara ini.
GAMBAR 6 skematik Spring.
E. Belajar dan generalisasi Analisis
Analisis harus selalu diakhiri dengan ringkasan penting tentang temuan, dengan
penekanan khusus pada keterbatasan yang ditetapkan oleh asumsi. Tentu saja, semua
asumsi penting harus dibuat eksplisit dari pada implisit. Persamaan matematika yang
tidak berguna untuk insinyur sehingga telah ditafsirkan dalam hal masalah asli. Anda
harus menyatakan secara verbal arti dari persamaan matematika yang sesuai. Jika Anda
tidak dapat menyatakan makna, sangat mungkin Anda belum memahaminya.
Analisis harus biasanya, namun tidak selalu, melibatkan pengujian numerik dari
hasil. Ini akan memperjelas makna dan kelayakan masalah tertentu. Ini memberikan rasa
skala, memperingatkan Anda untuk kesalahan kotor atau mungkin kurangnya
keberhasilan Anda dalam mencari solusi. Akhirnya, diidentifikasi ketidakpastian yang
masih ada harus dinyatakan dengan jelas. Kesalahan selanjutnya jika Anda sembarangan
melebihi kondisi yang didasarkan analisis Anda. Analisis tidak harus disimpulkan
sampai kemungkinan menyederhanakan dan / atau generalisasi analisis telah dianggap,
secara eksplisit dan individual.
Perhatikan sekarang analisis spesifik dalam rangka untuk membuat pembahasan
sebelumnya menjadi lebih konkret. Hal ini juga menggambarkan bagaimana analisis
sederhana dapat membuat sebuah eksperimen yang mahal dan tidak perlu.
VII. CONTOH: KENAIKAN SUHU TERHADAP PERKECAMBAHAN BENIH
Dalam upaya untuk menghasilkan pendekatan yang lebih rasional untuk desain
mesin lapangan dan operasi yang mempengaruhi penanaman tanaman pertanian,
berbagai faktor harus diselidiki. Suhu tanah dikenal sebagai salah satu faktor penting
yang mempengaruhi perkecambahan biji. Hal ini juga diketahui bahwa perkecambahan
sekali telah dimulai, laju generasi panas internal karena respirasi meningkat
pesat. Dapatkah efek termal diukur dengan termokopel di situ?
A. Pernyataan Masalah
Apakah panas respirasi biji berkecambah mengubah suhu tanah dan suhu biji
internal? Dan apakah bisa diukur di situ?
B. Asumsi
Al. Jika faktor-faktor lain yang mempengaruhi perkecambahan tidak terbatas, misalnya,
kelembaban tanah yang tersedia, suhu tanah yang cocok, pasokan oksigen yang cukup,
fisik tanah diterima imperialis-tarian, tidak ada bahan kimia menghambat (alam dan
buatan), sejarah temperatur sebelumnya, dan aktivasi krom nabati dengan panjang
gelombang cahaya yang tepat, benih yang layak.
A2. Perpindahan panas karena sumber eksternal (misalnya, fluktuasi diurnal) dan panas
penguapan dan panas pembasahan diabaikan dalam analisis pertama.
A3. Tanah adalah homogen dan isotropik sehubungan dengan sifat termal.
A4. Hanya pernyataan mapan harus dieksplorasi (pada awalnya). Dengan kata lain,
benih dan tanah akan diasumsikan berada dalam ekuilibrium (dinamis) termal
bergantung pada waktu, dengan suhu tidak pernah dekat beku (untuk menghindari
kesulitan panas laten).
A5. Konstanta termal bergantung pada waktu, temperature dan posisi (untuk benih dan
untuk tanah).
A6. Benih diambil untuk menjadi (awalnya) bola dengan jari-jari r = a (yang akan
berlaku untuk benih tertentu), untuk menjadi produksi-ing panas internal pada tingkat,
seragam konstan A0 per satuan volume per satuan waktu, dan memiliki termal conduc
tivity KQ.
A7. Tidak ada panas yang diproduksi di dalam tanah, yang memiliki konduktivitas K.
A8. Ada kontak termal yang tidak sempurna antara benih dan tanah seperti yang ada
adalah suhu film yang drop di permukaan biji. Secara khusus, energi termal dilakukan
untuk permukaan benih masuk ke dalam tanah pada tingkat sebanding dengan perbedaan
suhu antara benih dan tanah.
A9. Benih cukup jauh di bawah permukaan tanah untuk menjadi relatif tidak
terpengaruh oleh diskontinuitas tanah-ke-udara. A10. Perpindahan panas dalam benih
dan dalam tanah adalah dengan hanya konduksi, yaitu, perpindahan panas karena
perpindahan kelembaban akan diasumsikan terabaikan.
Benih \ TanahA = 0KA J KVl / v2
GAMBAR 7 Benih-tanah skematik.
BenihA0
K0
V1
Asumsi ini ditunjukkan secara skematis pada Gambar. 7.
C. Formulasi Matematika
Karena suhu tanah pada jarak jauh dari pusat benih itu tidak akan
terpengaruh lumayan oleh panas yang dihasilkan oleh benih dalam tanah (yang
akan pada suhu seragam apakah benih itu tidak hadir), suhu yang dapat diambil
sebagai referensi. Dengan kata lain, semua suhu lain dapat dihitung dengan
lim v2 = 0r-»oo
sebagai referensi nol.
Dari Asumsi 10, kita akan menggunakan persamaan konduksi panas, dengan
generasi panas, seperti yang diberikan oleh Carslaw dan Jaeger (1959, hal 10).
"2 1 dv A {x, y, z, t)K dt K W
D. Pengujian dan Diskusi
Sekarang bahwa suhu telah ditemukan di semua titik, cek harus dibuat. Batasi
Periksa Misalkan generasi panas yang nol. Lalu
lim vx = 0 OK (17)Ao-»0lim v2 = 0 OK (18)A) -0Misalkan ukuran benih menjadi makin kecil. Lalulim vi = 0 OK untuk r <a (19) r <a(4)(5)
Kondisi yang diperlukan untuk solusi dari Pers. (4) dan (5) adalah sebagai
berikut. Suhu pada jarak yang besar dari biji harus ap ¬ proach nilai referensi dari nol.
lim v2 (r) = 0 (6) dimana v2 bukan suhu tetapi perbedaan-derajat Celcius dari suhu
referensi. Agar batas antara benih dan tanah tidak dalam lipatan ¬ suhu tanpa batas,
hubungan kontinuitas harus dipaksakan. Aliran panas per satuan luas per satuan waktu
dalam arah peningkatan variabel diberikan oleh
F =-KVD (7)
E. Diskusi Hasil, Asumsi, dan Generalisasi
Dalam pandangan konduksi termal sepanjang termokopel dan diffi-culty dengan
benar menempatkan probe dalam biji, ini tampaknya menjadi pendekatan eksperimental
sia-sia untuk masalah. Gradien yang terjadi biasanya dalam tanah akan jauh lebih besar
daripada yang dihasilkan oleh panas dari respirasi. Namun, jika resistansi kontak
permukaan yang besar, maka suhu internal mungkin terpengaruh cukup untuk mengubah
reaksi kimia di dalam benih. Oleh karena itu, masalahnya mungkin didefinisikan ulang,
jika diinginkan, untuk menjelajahi masalah baru disarankan oleh analisis.
Benih dan tanah suhu akan sering berada di bawah orang-orang dari tes
kalorimeter dengan laju respirasi yang lebih rendah. Air akan diserap oleh benih
(imbibition), tentu saja, mengubah status energi termal dari benih. Konduktivitas termal
dari tanah perubahan radikal dengan kelembaban. Juga, kernel jagung tidak
bulat. Namun, perhitungan di atas dapat diambil sebagai batas pada nilai-nilai yang
sebenarnya.
Bila benih sangat dekat permukaan, metode superposition dari sumber panas dan
tenggelam dapat digunakan. Kasus ekstrim lain dari panas seed padat bola berproduksi
pada tingkat konstan AQ per satuan waktu per satuan volume di udara pada suhu
konstan dapat diperiksa.
v = A-[h (a2 _ r2) + 2al 0 <r <a (37)Onk[Lihat Carslaw dan Jaeger (1959, hal 232).]
Akhirnya, panas respirasi mungkin tidak diproduksi uni-formly seluruh benih.
Secara khusus, suhu embrio akan diharapkan akan lebih tinggi dari endosperma. Hal ini
bisa memiliki konsekuensi penting bagi perilaku benih, tetapi tidak mungkin untuk
mengubah suhu tanah lumayan.
Percobaan respirasi panas tentu harus dilakukan dalam microcalorimeters seperti
praktek saat ini para ilmuwan tanaman. Suhu udara perubahan dalam sebuah ruang
terbatas adiabatik karena benih bernapas mungkin berguna diperiksa.
VIII. KESIMPULAN
Proses menerapkan matematika untuk solusi dari masalah rekayasa adalah
sebuah bentuk seni lama yang menikmati perhatian meningkat pada antarmuka antara
rekayasa dan biologi. Para pres sekarang di mana-mana daya komputasi yang tak
terbayangkan beberapa dekade lalu telah secara besar-besaran memperluas pentingnya
dan ruang lingkup minat pada alat-alat matematika dan pemodelan. Bab ini membahas
proses yang kita gunakan untuk menghubungkan bentuk pemikiran konseptual untuk
masalah solv-ing. Mengelusidasi proses-bahkan aspek-aspek yang jelas bagi praktisi-
membuat proses lebih bermanfaat dan nyaman. Dengan perhatian yang lebih besar untuk
proses marshaling lebih efektif semua alat-alat matematika yang dibangun ke dalam
program pendidikan kita,kita dapat meningkatkan nilai matematika dalam praktek
profesional kami.
Contoh disajikan dalam Bagian VII digunakan untuk membuat beton diskusi
yang lebih abstrak. Luangkan waktu untuk membandingkan bentuk untuk dan langkah-
langkah yang tercantum dalam Tabel 1. Perhatikan bagaimana penggunaan disiplin
langkah-langkah memfasilitasi proses penemuan.
PENGHARGAAN
Saya ingin menyampaikan penghargaan saya kepada Henry D. Bowen, yang
memberikan stimulus minat saya pada subjek ini dan membantu saya menghargai
magic yang melekat dalam pemodelan.
REFERENSI
ASAE. 1967. Yearbook.
Bowen, H. D. 1966. Developing tractable problems from abstract problem situations. ASAE Paper 66-510. St. Joseph, MI: ASAE.
Carslaw, H. C, and J. C. Jaeger. 1959. Conduction of Heat in Solids, 2nd ed. London: Oxford Univ. Press.
Fry, T. C. 1941. Industrial mathematics. Am. Math. Monthly 48, 1-38, Part II of the June-July Supplement.
Johnson, W. C. 1944. Mathematical and Physical Principles of Engineering Analysis. New York: McGraw-Hill, pp. 206-217.
Nahikian, H. M. 1964. A Modern Algebra for Biologists. Chicago, IL: Univ. Chicago Press, p. 2.
Noble, B. 1967. Applications of Undergraduate Mathematics in Engineering. New York: The Mathematical Association of America and The Macmillan Company.
Novak, J. D., and D. B. Gowin. 1984. Learning How to Learn. New York: Cambridge University Press.
Prat, H. 1952. Can. J. Bot. 30: 39.
Ver Planck, D. W., and B. R. Teare. 1954. Engineering Analysis: An Introduction to Professional Method. New York: Wiley, pp. 229-250.
Recommended