结构动力学 Structural Dynamics 教师 马玉宏

结构动力学结构动力学Structural DynamicsStructural Dynamics

教师 马玉宏教师 马玉宏

§1. 1. 绪论绪论§1. 1. 绪论绪论§1.1 1.1 动荷载及其分类

一 . 动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化大小、方向和作用点随时间变化 ;; 在其作用下，结构上的惯性力在其作用下，结构上的惯性力与外荷载相比是不可忽视的荷载。与外荷载相比是不可忽视的荷载。

自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷载相比很小，分析时仍视作静荷载。静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。

二 . 动荷载的分类

动荷载动荷载

确定确定

不确定不确定风荷载风荷载地震荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载其他无法确定变化规律的荷载

周期周期

非周期非周期

简谐荷载简谐荷载非简谐荷载非简谐荷载

冲击荷载冲击荷载 突加荷载突加荷载其他确定规律的动荷载其他确定规律的动荷载

§1.2 1.2 结构动力学的研究内容和任务

结构动力学是研究结构动力反应规律的学科。结构动力学是研究结构动力反应规律的学科。

输入输入（动力荷载）（动力荷载）

结构（系统）

输出输出（动力反应）（动力反应）

第一类问题：第一类问题：反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计算）

第二类问题：第二类问题：参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别

输入输入（动力荷载）（动力荷载）

结构（系统）

输出输出（动力反应）（动力反应）

第三类问题：第三类问题：荷载识别荷载识别。。

输入（动力荷载）

结构（系统）

输出（动力反应）

当前结构动力学的研究内容为当前结构动力学的研究内容为 ::一一 .. 结构动力学的研究内容结构动力学的研究内容

输入输入（动力荷载）（动力荷载）

结构（系统）

输出输出（动力反应）（动力反应）

第一类问题：第一类问题：反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计算）

第二类问题：第二类问题：参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别

输入输入（动力荷载）（动力荷载）

结构（系统）

输出输出（动力反应）（动力反应）

第三类问题：第三类问题：荷载识别荷载识别。。

输入（动力荷载）

结构（系统）

输出（动力反应）

第四类问题：第四类问题：控制问题控制问题

输入（动力荷载）

结构（系统）

输出（动力反应）

控制系统（装置、能量）

---------- 正问题正问题

---------- 反问题反问题

---------- 反问题反问题

---------- 控制问题控制问题

二二 . . 结构动力学的任务 结构动力学的任务

讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用结构在动力荷载作用下的反应规律下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。

§1.3 1.3 结构动力分析中的自由度一一 . . 自由度的定义 自由度的定义

确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。二二 . . 自由度的简化 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程

角度也没必要。常用简化方法有：角度也没必要。常用简化方法有：

1) 1) 集中质量法集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。有限自由度系统。

m

2) 2) 广义坐标法 广义坐标法 m)(xy

1

)()(i

ii xaxy

n

iii xaxy

1

)()(

ia ------ 广义坐标广义坐标

0)()0( lii )(xi ------ 基函数基函数

3) 3) 有限元法 有限元法

和静力问题一样，可通过将实际结构和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。度问题化为有限自由度来解决。

m

1) 1) 集中质量法集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。有限自由度系统。

m二二 . . 自由度的确定 自由度的确定

广义坐标个数即为自由度个数

结点位移个数即为自由度个数

二二 . . 自由度的确定 自由度的确定

1) 1) 平面上的一个质点平面上的一个质点

1y2y W=2W=2

2) 2) W=2W=2

弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度

3) 3) 计轴变时计轴变时 W=2W=2

不计轴变时不计轴变时 W=1W=1

为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。计轴向变形。

4) 4) 1y

W=1W=1

5) 5)

W=2W=2

自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的不大于质点个数的 22 倍。倍。

6) 6) 1y2y

W=2W=2

7) 7) EI

W=1W=1

二二 . . 自由度的确定 自由度的确定

8) 8) 平面上的一个刚体平面上的一个刚体

W=3W=3

9)9) 弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体

W=3W=3

W=2W=2

1y

2y

10) 10)

EIm

4) 4) 1y

W=1W=1

5) 5)

W=2W=2

自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的不大于质点个数的 22 倍。倍。

6) 6) 1y2y

W=2W=2

7) 7) EI

W=1W=1

W=1W=1

二二 . . 自由度的确定 自由度的确定

8) 8) 平面上的一个刚体平面上的一个刚体

1y

2y

W=3W=3

9)9) 弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体

W=3W=3

10) 10)

W=2W=2

EIm

11) 11)

12) 12)

W=13W=13

自由度为自由度为 11 的体系称作单自由度体系；的体系称作单自由度体系；自由度大于自由度大于 11 的体系称作多（有限）自由度体系的体系称作多（有限）自由度体系 ;;自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。

§1.4 1.4 体系的运动方程体系的运动方程 要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。

mm

)(tP)(ty

)()( tPtym 运动方程运动方程施施力力物物体体

)(tP )()( tymtP

0)]([)( tymtP

惯性力惯性力

mm

)(tP )(tym 形式上的平衡方程，实质上的运动方程形式上的平衡方程，实质上的运动方程

一、柔度法一、柔度法mm

EIl

)(tP )(tym =1 11)(tP )(tym

)]()([11 tymtP )]()([)( 11 tymtPty

EI

l

3

3

11

l

柔度系数柔度系数

)()(3

)(3

tPtyl

EItym

柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。

)(ty

一、柔度法mm

EIl)(ty

)(tP )(tym =1 11)(tP )(tym

)]()([11 tymtP )]()([)( 11 tymtPty

EI

l

3

3

11

l

柔度系数柔度系数

)()(3

)(3

tPtyl

EItym

柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。

二、刚度法

mm

EIl)(ty

)(tP )(tym 11k

1

)(11 tyk

y)()()(11 tymtPtyk

311

3

l

EIk 刚度系数刚度系数

)()(3

)(3

tPtyl

EItym

11111 k

刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移 y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。

柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。

三、列运动方程例题

EI

l

3

2 3

11

)()(2

3)(

3tPty

l

EItym

刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移 y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。

例 1. mm

EIl

)(tP

EIl

)(ty)(ty

)(tym )(tP11=1

l

EI

l

3

2 3

11 )(16

)]([3

2)]([)(

33

111 tPEI

ltym

EI

ltymty P

例 2.)(ty

)(ty

)(tym

)(tP

11=1

l

mm

EIl )(tP

EIl/2 l/2

P1

P(t)

EI

PlP 16

3

1

Pl/4

柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。

三、列运动方程例题

刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移 y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。

例 3.)(tym

311 /24 lEIk

mm

EIl

)(tP

EI

l

1EI )(ty)(tP

11k1

3/12 lEI

11k3/12 lEI

)()()(11 tymtPtyk )()(24

)(3

tPtyl

EItym

例 4. mm

EIl/2 )(tP

EI

1EI

l/2

)(ty

)(tP

)(tym )(ty

)(tP

)(tym )(tR

三、列运动方程例题例 3.

)(tym

311 /24 lEIk

mm

EIl

)(tP

EI

l

1EI )(ty)(tP

11k1

3/12 lEI

11k3/12 lEI

)()()(11 tymtPtyk )()(24

)(3

tPtyl

EItym

例 4. mm

EIl/2 )(tP

EI

1EI

l/2

)(ty

)(tP

)(tym )(ty

)(tP

)(tym )(tR

0)( tR

11k1 )(tP

)(tym )(1 tR P

0)()( 111 tRtyk P

311 /24 lEIk

2/1 PymR P