View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Υδροδυναμική• Περιγραφή της ροής• Μορφές ροών• Είδη ροών• Εξίσωση συνέχειας• Εξίσωση ενέργειας• Bernoulli
Υδροδυναμική - γενικά• Ρευστά σε κίνηση• Τμήματα με διαφορετικές ταχύτητες και
επιταχύνσεις• Αλλαγή μορφής• Όπως στην Δυναμική, η μάζα αντιστέκεται
στην επιτάχυνση• Μελέτη της δυναμικής και της κινηματικής
κατάστασης – τάσεις – δυνάμεις - παραμορφώσεις
Περιγραφή της ροής• Κάθε στοιχειώδης όγκος έχει κάθε χρονική
στιγμή ορισμένη ταχύτητα – θέση – μέγεθος• Ροϊκό στοιχείο ds σε χρόνο dt.• Ροϊκές γραμμές – ροϊκά νήματα ή φλέβες• Μηχανική του συνεχούς μέσου: άπειρα
στοιχεία με κινηματικά και δυναμικά ροϊκά μεγέθη.
• Η θέση του στοιχείου καθορίζεται από την επιβατική ακτίνα.
Ταχύτητα του στοιχείου: W = W(r , t)
Μόνιμη ροή: W = W(r)
• Euler (ροϊκή κατάσταση σε σημείο στον t)
• Lagrange (παρακολούθηση στοιχείου στον χώρο)
Περιγραφή της ροής 2
• Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου• Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής σε
ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε κάθε σημείο τους• Τροχιές και ροϊκές γραμμές συμπίπτουν σε σταθερή στρωτή ροή
Περιγραφή της ροής 3
Περιγραφή της ροής 4
– Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου
– Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής σε ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε κάθε σημείο τους
Περιγραφή της ροής - 5
– Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου– Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής
σε ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε κάθε σημείο τους
Μορφές ροών - 1
Μορφές ροών - 2
Είδη ροών
Βασικές αρχές που διέπουντην κίνηση του ρευστού
• Μάζας - Συνέχειας• Ενέργειας• Ορμής
Εξίσωση συνέχειας ή αρχή διατήρησης της μάζας
Εξίσωση συνέχειας ή αρχή διατήρησης της μάζας
Εξίσωση ενέργειας κατά μήκος μιάς γραμμής ροής (κατά Euler)
Δυνάμεις πίεσηςστο στοιχείο βαρύτητας
τριβήςΕξισορρόπισήτους από: αδράνειας
pp dA p ds dAs
∂ζ φ− +Χ Χ Χη χ∂θ ψg dA ds cosρ αΧ Χ Χ Χ
-R (αμελητέα αρχικά)
m.b
Το πρισματικό στοιχείο κινείται κατά μήκος μιάς γραμμής ροής.
V cos g dA ds cosγ α ρ α=Χ Χ Χ Χ Χ Χ
m b V b d ds cosρ ρ α= = ΑΧ Χ Χ Χ Χ Χ
Εξίσωση ενέργειας: Επεξηγήσεις• p: πίεση• s: διάστημα• A: επιφάνεια• ρ: πυκνότητα• m: μάζα• b: επιτάχυνση
Η δύναμη βαρύτητας προέκυψε ως εξής:
Η δύναμη αδράνειας, η οποία είναι στην ουσία το αποτέλεσμα των υπολοίπων,Τροποποιείται ως εξής:
Εξίσωση ενέργειας: Αθροισμα δυνάμεων
p ds g ds cos ds bs
αρ
∂− + =Χ Χ Χ Χ Χ∂Χ
pp dA p ds dA g d ds cos R m bs
ρ α∂ζ φ− + + Α − =Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χη χ∂θ ψpp dA p dA ds dA g d ds cos d ds bs
ρ α ρ∂− − + Α = ΑΧ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ∂
Διαιρωντας δια ρ.dA :
Αντικαθιστώντας την επιτάχυνση :p dug ds cos ds
dtα
ρ∂− + =Χ Χ Χ Χ
( ) ( )2 22 122
ds dud u u du du ds d udt dtΧ= = =Χ Χ Χ ή Χ Χ
ds cos dzα = −Χ
Αλλά :
Και :
… οπότε η εξίσωση ενέργειας γίνεται …
221 0
2 2p p ud g z u g z ctρ ρζ φ− + + = + + =ή Χ ή Χη χθ ψ
( ) ( )2 21 1 02 2
dp dpg dz d u g dz d uρ ρ
− − = − − − =Χ ή Χ
2
2p uz ct
gγ+ + =
Χή, διαιρώντας διά g :
Εξίσωση ενέργειας - Bernoulli2
2p uz ct
gγ+ + =
Χ
Προϋποθέσεις:• ασυμπίεστο ρευστό, ρ σταθερό• μόνιμη ροή, u σταθερή στο ίδιο σημείο• δεν υπάρχει μίξη υγρών• ρευστό μη συνεκτικό, δηλαδή ροή μη-ιξώδης,
δηλαδή ιξώδη φαινόμενα αμελητέα
Εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli
p/γ: ύψος πίεσης, ενέργεια αποθηκευμένη λόγω της πίεσης
y ή z: ύψος θέσης, δυναμική ενέργεια
U2/2g: κινητική ενέργεια
Πιεζομετρικό ύψος p/γ+y, πιεζομετρική γραμμή
Γραμμή ενέργειας. Σε τέλεια υγρά, σταθερή
LL hHhgUpyH
gUpy +=+++==++ 2
222
21
211
1 22 γγ
Εφαρμογές BernoulliΗ πίεση p διαμορφώνεταιανάλογα με τις υπόλοιπες παραμέτρους, δηλαδήτην θέση κατά την κατακόρυφηέννοια z, και την ταχύτητα uη οποία επιβάλλεται απότην διατομή και την εξίσωσητης συνέχειας.Δηλαδή στο σχήμα,στη διατομή 2, η πίεση θα έπεφτε και άλλο εάν:• είχαμε «ανηφόρα»,• είχαμε ακόμα μικρότερη διατομή,• είχαμε απώλειες ενέργειας.
Εφαρμογές Bernoulli 2 – οι απώλειες, τοπικές και γραμμικές: παρατηρείστε την πορεία της γραμμής ενέργειας και της
πιεζομετρικής
Παράδειγμα Bernoulli: σωλήνας μεταβλητής διαμέτρου 1/2Δεδομένης της vA, να βρεθεί η διαφορά πιέσεων μεταξύ Α και Β. Αυξάνεται ή μειώνεται?
Απαραίτητες προϋποθέσεις: ίδια γραμμή ροής, σταθερή ροή, ασυμπιεστότητα, αμελητέες απώλειες τριβών ως προς τις δυνάμεις αδράνειας Εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων Α και Β:
Παράδειγμα Bernoulli: σωλήνας μεταβλητής διαμέτρου 2/2
Η παροχή είναι σταθερή και επομένως:
Εφαρμογές Bernoulli 3
Ασκηση
Recommended