۰محرلا टटटا مسڦ...

الرحمن ... بسم االرحیم

الدیجیتدرس کنترل 1391مهر

قربانیدکتر بهمن

تطبیقیكنترل روزمرهزباندرتطبیق.جدیدوضعبایافتنوفقبرایرفتارتغییر

حسیطوربهتطبیقیكنندهكنترلتعریف.دهدغییرتاغتشاش هاوفرآینددینامیكبهپاسخدررارفتارشبتواندكهكننده ایكنترل

تطبیق.می بخشدبهبودراكنترلعملكردوكردهتصحیحرافرآیندساختمانپارامترهایكهاستفرآیندیتطبیقیكنترل

منظورهبوفرآیندفعلیحالتهایوضعیتمورددرپیوسته ایاطلاعاتكهاستسیستمیبهینهیاوبمطلوضعیتبافعلیسیستمعملكردسپس.می كندتولید،فرآیندشناسایینهایتدر.می گیردصورتسیستمتطبیقبمنظورتصمیم گیریآناساسبروشدهمقایسهسهابراینبن.می شوداعمالسیستمدرمناسبتصحیحمطلوب،وضعیتبهرسیدنبمنظور.داشتواهدخوجودتطبیقیسیستمیكدرتصحیحوتصمیم گیری،شناساییعمل

تطبیقیسیستمیكفرآیندهای.(IP)عملكردشاخصیكاندازه گیرییاناشناختهپارامترهایشناسایی(1.كنترلروشرویبرتصمیم گیری(2ورودیسیگنالیاكنترلرپارامترهایتصحیح(3

كیلتشحلقهدوازتطبیقیكنترلسیستمیك:می شود

نترلكوفرآیندشاملمعمولیفیدبكحلقه،یك-1كننده

پارامترتنظیمحلقه-2

سیستم تطبیقییكساختار

ADAPTIVE CONTROL; Def.

A person who can driveany of these vehicles inall kinds of roadconditions can beconsidered to be a veryadaptive system.

:مثال

LINEAR MODEL DESCRIPTION OF A CONTROL SYSTEM

An example of a conventional pole assignment control design for a simpleProportional + Integral Controller:

ADAPTATION TO INTERNAL CHANGE IN PLANT DYNAMICS

If the dynamics of theoriginal systemchanges, then theresultant closed-loopsystem will behavedifferently.

Adaptation may berequired when parametersof the plant change.

ADAPTATION TO EXTERNAL CONDITION

Adaptation (control strategy) may be required depending on external operation conditions.

You may use different control gains depending on the error between reference and output.

DEFINE ADAPTIVE CONTROLLER ?

تطبیقیاصول كنترل

فرآیندیدینامیكمشخصه هایهنگامیكه،كنترلسیستمهایدربالاعملكردبهدستیابی•باشندنامعلومزیادیحدتاكنترلتحت

می شوندپیش بینیقابلغیرووسیعتغییراتدچارسیستمكارطیدرمشخصه هااینهنگامیكه•یابدتطبیقاغتشاشمشخصه هایوفرآینددینامیكتغییربابتواندكهاستكنترلریطراحیایده•

هچتاریخدر کنترلرهای معمول صنعتی مورد استفاده قرار گرفتتطبیقی روشهای 1980از دهه •

شکها،مووهواپیماموشکها،اتوپایلوت:مانندکنترلمسائلازوسیعیمحدودهرهالکنتراین•ها،کوره،یشیمیایراکتورهای،تقطیربرجهایقدرت،سیستمهایصنعتی،رباتهایموتور،کنترل.گیردمیبردرراتهویهوحرارت

مواجكه ر قبیكل زیكاز مشككلاتی ممكن است با عملی كنترل ل یمسااز بسیاری در كلی به طور :شویم

.مسیستضرایبتغییرواولیهمقادیربودننامشخصو،فرآیندتبدیلتابعدرتغییر(1شاشاغت(2.ورودیطبیعتومشخصاتدرتغییر(3..بیوشیمیاییوشیمیاییپیچیدهسیستمهایدرخطیغیرعملكرد(4.می شودابانتخجدیدفرآیندیكبرایكنترلیسیستمكهزمانیدرفرآیندناشناختهپارامترهای(5

:انتخابوتعریفقابلكلیراهكارسه

متدل ترهتای تغییترات پارامحلقه بستته را نستبت بته سیستم كه عملكرد فیدبكی حلقه كنترل طراحی -1خگو پارامترهتا پاستتغییترات از كتوچكی تنهتا در محتدوده (حساسیت). نمایدحساس سیستم اصلی غیر

.خواهد بود

.آنحسببركنترلقانونپارامترهایاصلاحوسیستممدلپارامترهایلحظهبهلحظهاندازه گیری-2آنهالحظهبهلحظهتعیینواندازه گیریامكانعدمحداقلیاوپارامترهاازبرخیاندازه گیریامكانعدم)

(.می باشد

ص هایشاخباكنترلسیستمواقعیعملكردازنظرموردشاخص هایلحظهبهلحظهمقایسه-3دوآنبینشدهمشاهدهاختلافاساسبرفیدبككنترلقانوناصلاحومطلوب

تطبیقیكنترل روش های

بهرهجدول بندی مدل مرجع(تطبیقیسرو سیستم )

تنظیمخود رگولاتورهای كنترل دوگان

اندازه گیریبر اساس فرآیندكار شرایط

چگونگی تغییرات دینامیككار معلوم استتغییر شرایط با

مشخصات مورد نظر در قالبمی شودمدل مطرح یك

روش های مستقیم روش های غیرمستقیم

:حلقه2شامل

(كنترلر+فرآیند)درونیحلقه-1بیرونیحلقه-2(كنترلرپارامترهایتنظیم)

پارامترهای فرآیندابتدا می شوند زده تخمین

:حلقه2شامل

(كنترلر+فرآیند)درونیحلقه-1بیرونیحلقه-2(كنترلرپارامترهایتنظیم+تخمینگر)

قطعیت های پارامترهایعدم در كنترلر تخمینی می شود محسوب

است وپیچیده روش این كاربردعملی مسائل برای

ندارد

دینامیك های فرآیند

استفاده از نوع كنترل كننده بطور معمولتصمیم گیری روش

متغیر ثابت

پارامترهایبا كننده ای از كنترل كنیداستفاده متغیر

پارامترهایبا كننده ای از كنترل كنیدثابت استفاده

تطبیقیكنترل كننده یك از كنیداستفاده

بهرهبندی از جدول كنیداستفاده

تغییرات غیرقابل پیش بینی

ل قابتغییرات پیش بینی

بهرهجدول بندی

مزایا معایب

می توان بسیاركنترلر را پارامترهای تغییرات فرآیند در پاسخ به سریع

دادتغییر

روشاین در هیچگونه تخمینی وجود ندارد

كنترلسیستم های در پیاده سازی ساده استكامپیوتری بسیار

اصلاحهیچگونه فیدبكی برای جدول نادرست وجود ندارد

زیادی برای طراحیزمان می شودصرف

تعداد باید برای كنترلر پارامترهای كار مشخص شودشرایط از زیادی

ازدقیق به شناخت نیاز فیزیك سیستم

روشهای اصلی سیستمهای تطبیقی

تنظیمخود رگولاتورهای ( 2

(MRAC)مدل ت مرجع تطبیقی كنترل ( 1

مدل مرجعتطبیقی كنترل

Some of the basic methods used to design adjustment mechanism are(i) MIT Rule(ii) Lyapunov rule

:مستقیمغیرروشمی شوندتصحیحمقادیرایناساسبركنترلرپارامترهایوشدهزدهتخمین،فرآیندپارامترهایروشایندر

General MRACوجیخربینخطایكردنحداقلبمنظوركنترلرپارامترهایروشایندر:مستقیموشر

.درمی آیندروزبهمستقیما ،فرآیندومدل (Direct MRAC)

(Indirect MRAC)

مدل مرجعطراحی سیستمهای تطبیقی مراحل

.كنیدمشخصرابستهحلقهسیستممطلوبرفتار(1.كنیدتعیینتنظیمقابلپارامترهایباهمرارامناسبیكنترلقانون(2.بیابیدپارامترهاتنظیمبرایمكانیزمی(3.كنیدپیادهراكنترلقانون(4

ملكردعشاخص هایبیشترهرچهتطبیقیاوساختننزدیك،سیستمهاایندراصلیهدفومدلردتغییراتوجودوقطعیتعدمحضوردرمطلوبشاخص هایبهبستهحلقهسیستم.استسیستمكاریشرایط

مدل مرجعMRAC

مزایا معایب

براحتی قابل اعمال به سیستم های غیرخطی پیچیده است

پایداری سیستم از روش لیاپانوف قابل اثبات است

قانون تطبیق از روش لیاپانوف قابل استخراج است

روش تئوری عمومی برای طراحیمکانیزم تطبیق وجود ندارد

برای اغتشاش های نامشخصیا فرآیندهای ناشناخته ، تطبیق با

مشکل مواجه می شود

انتخاب پارامترهای طراحی دشوار است

برای ورودی تعریف شده، تطبیقسریع انجام می گیرد

برای اغتشاش های نامشخصیا فرآیندهای ناشناخته تطبیق با

مشکل مواجه می شود

شرایط اولیه سیستم در همگرایی تطبیق موثر است

رگولاتورهای خود تنظیمSTC

مزایا معایب

براحتی قابل اعمال به سیستم های غیرخطی پیچیده است

پایداری سیستم از روش لیاپانوف قابل اثبات است

قانون تطبیق از روش لیاپانوف قابل استخراج است

روش تئوری عمومی برای طراحیمکانیزم تطبیق وجود ندارد

برای اغتشاش های نامشخصیا فرآیندهای ناشناخته ، تطبیق با

مشکل مواجه می شود

برای ورودی تعریف شده، تطبیقانتخاب پارامترهای طراحی دشوار استسریع انجام می گیرد

برای اغتشاش های نامشخصیا فرآیندهای ناشناخته تطبیق با

مشکل مواجه می شود

شرایط اولیه سیستم در همگرایی تطبیق و تخمین موثر است

با مشخص بودن مرتبه و تاخیر سیستم قابل طراحی است

تنها با اندازه گیری ورودی وخروجی قابل طراحی است

به روش حداقل مربعات خطاسیستم مدل الگوریتم تخمین پارامترهای

)(

)()(

1

11

qA

qBqzG d

p m

m

n

n

qbqbqbqB

qaqaqA

ˆˆˆ)(

ˆˆ1)(

2

2

1

1

1

1

1

1

)()(ˆ)(ˆ kkky T

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

1

1

kb

kb

ka

ka

k

m

n

)(

)1(

)(

)1(

)(

mdku

dku

nky

ky

k

)()1(ˆ)()( kkkyk T

عاتمربحداقلروشبهسیستممدلپارامترهایتخمینالگوریتمخطا

)()1(ˆ)()( kkkyk T

)()1()(

)()1()(

2

1 kkFk

kkFkG

T

)()()1(ˆ)(ˆ kkGkk

)1()()(1

)(1

kFkkGIkF T

شدهیکی طراحی کنترلر به روش كلی مراحل

0,)(

1)(

)()()()(

0

1

10

1

2

2

1

1

1

11

bqbqbbqB

qaqaqaqA

kuqBqkyqA

b

B

a

A

n

n

n

n

d

P

)(),( kyku P

خطی سیستم خروجی و ورودی شده

Unified Approach

دینامیک : مثال ربات

ii

i

i

boqB

qqA

d

)(

1)(

2

1

11

'21 )()()1( iiii dkuboqkXvq

:می گیریمدرنظر زیر اهداف کنترل را بصورت

که خروجی شودطراحی بگونه ای باید ، کنترلر ردیابی فرآیندعمل تضمین به منظور -1.را برآورده سازدزیر رابطه فرآیند واقعی،

)()()()( 11

1 krqDqkyqC d

P

)( 1

1

qC)( 1qD می شودبوده كه توسط طراح انتخاب جمله ای های پایدار مجانبی چند و

)(kr می باشدمرجع محدود ورودی

طای اولیه خ، سیستمدر شرایط اولیه شود که با وجود طراحی بگونه ای باید کنترلر -2:یعنی . مشخص، صفر شوددینامیكهای با

0

0)()( 1

2

k

dkyqC p

)( 1

2

qCر زیمجانبی بوده كه توسط طراح و بصورت پایدار چند جمله ای ک ی:درنظر گرفته می شود

2

2...1)( 1

1

1

2

C

C

n

n qcqcqC

درنظر زیر شده، مدل مرجع مطلوب را بصورت بیان بمنظور حصول اهداف :می گیریم

)()()()( 11

1 krqDqkyqC d

M

بگیریمدرنظر زیر اگر خطای خروجی را بصورت

)()()( kykyke MP

برقرار باشد زیر باید شده در فوق، رابطه بیان مشاهده می شود که بمنظور تحقق اهداف

0

0)()( 1

2

k

dkeqC

)( 1

2

qC نمودزیر بازنویسی بصورت می توان را:

)()()()( 1111

2

qTqqSqAqC d

)()()()( 1111

2

qTqqSqAqC d

T

T

S

S

n

n

n

n

qtqtqttqT

qsqsqsqS

...)(

...1)(

2

2

1

10

1

2

2

1

1

1

),1max(

1

2dnnn

dn

CAT

S

دینامیک : مثال ربات

ii

i

i

boqB

qqA

d

)(

1)(

2

1

11

01

1)( 11

i

ii

crv

qcrvqC

001.0icrv

)()()()( 1111 qTqqSqAqC i

d

iii

ii

ii

roqT

qsqS

)(

1)(

1

1

1

1

999.0)(

999.01)(

1

11

qT

qqS

i

i 999.01 is

999.0iro

)]()()()()()()([)()( 1

2

1111

2 dkyqCkyqTkuqSqBdkeqC MP

)()()(

)()()()(

1

2

1

2000

dkyqCk

dkyqCkkub

M

T

M

T

];[

)]();([)(

],.....,;,....,,[

)](),...,();1(),...,1([)(

00

0

01211201100

0

TT

TT

ndn

T

TPPB

T

b

kkuk

ttsbbsbsbbsb

nkykyndkukuk

TB

دینامیک : مثال ربات

1)()(

)2()()1(

'

1

kuk

dbo

kkXvq

i

T

i

ii

T

i

i

T

ii

'21 )()()1( iiii dkuboqkXvq

: محاسبه می شودزیر قانون کنترل مطلوب بصورت

)]()()()()()([1

)( 111

2

0

kuqBkyqTdkyqCb

ku spM

0

111 )()()( bqSqBqBs

می شودخلاصه زیر قانون كنترل بصورت بنابراین

)]()()([1

)( 00

1

2

0

kdkyqCb

ku T

M

])()()2()([1

)1()( '11

1 iiiiii

i

iii dqSkXvrokXvdqCbo

kusku

دینامیک : مثال ربات

Unified Approach

:ناشناخته باشندپارامترهای سیستم اما اگر

)(ˆ)()(ˆ

1)( 00

1

2

0

kdkyqCb

ku T

M

];[

)]();([)(

]ˆ,.....,ˆ;ˆˆ,....,ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆ[ˆ

)](),...,();1(),...,1([)(

00

0

01211201100

0

TT

TT

ndn

T

TPPB

T

b

kkuk

ttsbbsbsbbsb

nkykyndkukuk

TB

دینامیک : مثال ربات

'1

1ˆ)()2()(

)(ˆ

1)1(.)( iiiii

oi

iii dkXvrokXvdqCkb

kusku

:می كنیمخلاصه زیر را بصورت برای سیستمهای پیچیده شده یكی روش .می گیریمدرنظر برای فرآیند مناسب خطیمدل یك ، تأخیر سیستمبا مشخص بودن مرتبه و ( 1

روشبهپارامترهاتخمینالگوریتمازاستفادهوفرآیندخروجیوورودیاندازه گیریبا(2.می شودبرازاندهكنترلتحتفرآیندبهخطیمدلیكخطا،مربعاتحداقل

.می نماییماعمال سیستم اصلی محاسبه كرده و به خطی مدل برای قانون كنترل را ( 3

:بر شمردچنین می توان روش را مهمترین مزایای این

.قابل استفاده استردیابی روش هم در حالت رگولاتور و هم در حالت این ( ر مورد مرتبه و داطلاعاتی شده تنها داشتن یكی به روش تطبیقی كنترل كننده طراحی به منظور ( 2

.تأخیر سیستم كافی می باشد

، قدرت قبرای تعیین مكانیزم تطبیبرخوردار بوده و پایداری تضمین شده ای از این الگوریتم ( 3.می دهدطراح قرار اختیار در بیشتری انتخاب

.برخوردار استپیاده سازی خوبی و سهولت قابلیت بالا و تطبیق روش از سرعت این (

Reduced Order Unified Approach

بیرونیدر حلقه موقعیتطراحی کنترلر

از دیل تب، تابع موقعیتدنبال کننده مدل برای حلقه کنترلی تطبیقی به منظور طراحی کنترل کننده :گیریم درنظر می زیر واقعی را بصورت موقعیت به مطلوبموقعیت

2

1

2

12

.1

)()(

)(

)(

qrp

qCrp

rpZ

qCrpZ

kXpd

kXp

i

i

i

i

i

i 21 .1)( qcrpqCrp ii

ام به صورت iنک موقعیت لیبرای حلقه کنترلی تطبیقی به منظور عمل دنبال کنندگی کامل، کنترلر : زیر تعیین می شود

iii

iiiii

crvrpcrp

kXprpkXpdqCrpkup

)(.)2()()( 1

)2()2()( kupkXpdskXvd iii

4132 /)1(.)(.)1(.)3()( ZkXpdZkXpdZkXpdZkXpdkXpds iiiii

2

2

1

5.0

4

13

12

1

Z

ZZ

ZZ

Z

:مطلوبموقعیت قدم جلوتر از تقریباً تخمین یك

دهشیكی به روش یافته گسسته مرتبه كاهش تطبیقی كنترل كننده طراحی

)),(),(()(

)()(

ttutXftX

tXtX

V

VP

1)(),(),()( FAGVM T

دینامیک :مثال ربات

2

1

2

1

2

1

G

GG

2

1

0

0

M

MM

2

1

V

VV

Unified Approach

)),(),(()( ttutXftX

Xi

i

)()()(

)(

)()(

tdtqdt

tdXvtm

tXvdt

tdXp

iii

i

ii

)]1()1()[/()1()(

)1()1()/(5.0)1()1()( 2

kdkqmTkXvkXv

kdkqmTkTXvkXpkXp

iiiii

iiiii

)1()( kukq ii

Unified Approach

'21 )()()1( iiii dkuboqkXvq

)]1()1()[/()1()(

)1()1()/(5.0)1()1()( 2

kdkqmTkXvkXv

kdkqmTkTXvkXpkXp

iiiii

iiiii

iii

ii

dbod

mTbo

.

/

'

'

idمی سیستم در کوپلینگ از اثر تخمینی

.باشد

Unified Approach

پارامترهایوداشتهبرعهدهرامفاصلزاویه ایسرعتهایکنترلکهداخلیحلقه(1یکحلقهنایدر.می شوندزدهتخمینتطبیقیصورتبهوحلقهایندرسیستمناشناخته

.می آیددستبهسیستمواکنشیاثروجودبدونومفصلهربرایخطیمدل

برعیتموقکنترلروداشتهعهدهبررامفصلیزوایایموقعیتکنترلکهخارجیحلقه(2یردیابعملکهمی شودطراحیگونه ایبهداخلی،حلقهازآمدهبدستخطیمدلاساس

.شودانجامخوبیبهمدل

تشکیل ، از دوحلقه روشاین ساختار کنترلی در بنابراین :می شود

Unified Approach

ربات با سه مفصلنتایج شبیه سازی برای یك

0 50 100 150 200 250 300-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Velocity of joint 1 for arm A

K

Rad

ian

/Sec

DesiredActual

0 50 100 150 200 250 300-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Velocity of joint 2 for arm A

K

Rad

ian

/Sec

DesiredActual

0 50 100 150 200 250 300-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1Velocity of joint 3 for arm A

K

Rad

ian

/Sec

DesiredActual

Adaptive Control of Manipulator

• Two types– MRAC (Model Reference Adaptive

Control)– STC (Self-Tuning Control)

Adaptive Mechanism of MRAC• Gradient method (MIT rule)• Lyapunov direct method• Hyperstability and positivity concept

• The reference model is given by

• The adjustable system is given by

( ) ( ) ( )m m m mx t A x t B u t

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ), (0) , (0) , (0)x t A t x t Bu t x x A A B B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

m m m

m m m m

m m m

e t A x t B u t A t x t B t u t

A x t x t A A t x t B B t u t

A e t A A t x t B B t u t

The goal is lim( ( ) ( )) lim ( ) 0

lim ( ) , lim ( )

mt t

m mt t

x t x t e t

A t A B t B

1

1

{[ ( )] [ ( )]}

{[ ( )] [ ( )]}

T T

r m m

T

r m m

V e Pe T A A t M A A t

T B B t N B B t

-1 -1where , , 0 p.d.mP M N

1( ) 2 [ ( )] [ ( )]T T T T

m m r mV e A P PA e T A A t Pex M A t & &

2 [ ( )] [ ( )]T T T

r mT B B t Peu N B t

Define , 0T

m mA P PA Q Q

1

1

( ) 0

( ) 0

T

T

Pex M A t

Peu N B t

&

&matching conditions

0 n.d.m

( )

( )

T

T

T

v e Qe

A t MPex

B t NPeu

&

&

&

0

0

( ) (0)

( ) (0)

tT

tT

A t A MPex dt

B t B NPeu dt

Adaptive Computed-Torque Control-Based on Parameter Linearization

Manipulator

ˆˆ ˆ ˆ( )[ ] ( , ) ( ) ( ) (2)d v p mM q q K e K e V q q q G q F q

Controller( ) ( , ) ( ) ( ) (1)mM q q V q q q G q F q

From (1)

( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) (3)mM q q V q q q G q F q W q q q

Known time function Unknown

constant

ex) Consider the dynamics of a two-link planar arm

2 2

1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1

2 2

2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2

1 2 1 1 2 2 12

ˆ ˆ ˆ ˆ(2 ( ) )

ˆ ˆ ˆ ( ) (2 )

ˆ ˆ ˆ ( )

m l l c m l m m l q

m l m l l c q m l l q q q s

m m gl c m gl c

2 2 2

2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 12ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )m l l c m l q m l q m l l q s m gl c

11 12 1

21 22 2

2

11 1 1 1 1

2 2 2

12 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2

2 12 1 1

21

2

22 1 2 2 2 1 2 2 1 2 12

ˆ( , , ) ,

ˆ

where

( ) ( ) 2

0

W W mW q q q

W W m

W l q l gc

W l q q l l c q q l q l l s q l l s q q

l gc l gc

W

W l l c q l l s q l gc

&&&

&&

&& && && && && & &&

&& & 2

2 1 2( )l q q&& &&

•

• From (4) and (3)1ˆ ˆ( ) ( , , ) where (5)v pe K e K e M q W q q q

In the state-space form

1ˆ ( ) ( , , ) (6)

0 0where = , =

p v

e Ae BM q W q q q

IA B

K K I

1Let 0T TV e Pe 1 2,where [ , ] T

rdiag

From (2) and (3)ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )[ ] ( ) ( , ) ( ) ( )

ˆ ˆ ( )[ ] ( , , ) (4)

v p m

v p

M q e K e K e M q q V q q q G q F q

M q e K e K e W q q q

1

1 1 1

1 1

2

ˆ ˆ ( ( ) ( , , ) ) ( ( ) ( ) ) 2

ˆ 2 ( ( ) ( ) )

T T T

T T T

T T T T

V e Pe e Pe

e P Ae BM q W q q q Ae BM q W Pe

e Qe W M q B Pe

ˆSince ,

1ˆˆ ( , , ) ( )T TW q q q M q B Pe

1ˆ < 0 if ( ) ( )T T TV e Qe W M q B Pe

• Remarks:• The tracking error vector e is

asymptotically stable.• and should be measured.• should exist.• For preventing parameter estimate

drifting, the parameters are forced to remain within some known values.

1ˆ ( )M q

q&&q&

3.22

8.01

m

m

2 2

1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1

2 2

2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2

1 2 1 1 2 2 12

ˆ ˆ ˆ ˆ(2 ( ) )

ˆ ˆ ˆ ( ) (2 )

ˆ ˆ ˆ ( )

m l l c m l m m l q

m l m l l c q m l l q q q s

m m gl c m gl c

2 2 2

2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 12ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )m l l c m l q m l q m l l q s m gl c

12

11

l

l

Example :

2.22ˆ

85.01ˆ

m

m

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

X: 2650

Y: 0.8022

time(sec)

kg

m1hat

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40001.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

2.3

2.35

X: 2438

Y: 2.316

Time(sec)

Kg

m2-hat

PowerEn.ir