View
122
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
بسم ا... الرحمن الرحيم. درس کنترل ديجيتال نیم سال اول 92-93. سعید شمقدری. تحلیل وطراحى در فضاى حالت. - کنترل پذیری :. کنترل تمامی متغیرهای حالت در یک زمان محدود، با سیگنال بدون محدودیت. - شرایط کنترل پذیری :. x(k+1)=G x (k) +H u (k). اگر. باشد. شرط کنترل پذ یری است. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
درس کنترل ديجيتال
-92نیم سال اول 93
بسم ا... الرحمن الرحيم
سعید شمقدری
تحلیل وطراحى در فضاى حالت : کنترل پذیری -
محدود، با سیگنال بدون محدودیتدر یک زمانکنترل تمامی متغیرهای حالت
: شرایط کنترل پذیری- باشد x(k+1)=G x (k) +H u (k) اگر
n-1H GH G H =n
. استشرط کنترل پذ یری
Given:X ((k+1) T)=G x (kT) +H u
(kT)
Y (kT)=C x (kT)سیستم فوق را کنترل پذیر خروجی می گوییم ،در صورتیکه ممکن
ورودییکبا تعیینتا باشد
(unconstrained ) U(kT) استكه در محدوده زمانی زیر تعریف شده:
0 kT nT
در فضایfy را به یک نقطه دلخواه y(kT) خروجی y(0) بتوانیم از نقطه شروع
.پریود نمونه گیری انتقال دهیم n وحداکثر در خروجی
:کنترل پذیری خروجی -
: - شرط کنترل پذیری خروجی
n-1CH CGH CG H =m
m تعداد خروجیهای سیستم
:حال اگر سیستم بشرح زیر باشدX ((k+1) T)=G x (kT) +H u
(kT)
Y (kT)=C x (kT) +D u (kT): در اینصورت
n-1 D CH CGH CG H =m
:مشاهده پذیری -X ((k+1) T)=G x (kT) +H u
(kT)
Y (kT)=C x (kT) را بتوانیم با x(0) سیستم فوق رامشاهده پذیر می گوییم ،Iدر صورتیکه هر حالت اولیه
پریود نمونه گیری محدود،بدست آوریمدر چند y(kT) مشاهده .
بازسازی حالتهای : مفهوم مشاهده پذیری غیر قابل اندازه گیری
: جهت تست -
n-1
CCA
=
CA
n
کنترل پذيري (( 1) ) ( ) ( )
( ) state vector at Kth sampling instant( ) control signal at Kth sampling instant
G= matrixH= 1 matrixT=sampling periodAssumption: ( )
X k T GX kT HU kT
X kTU kT
n nn
U kT
is constant over ( 1)kT t k T
سيستم فوق را بطور کامل کنترل پذيريا کنترل پذيرحالت مي گوييم که اگر يک سيگنال وروديبنحوي وجود داشته باشدکه:
U (kT): -piecewise continuous (1) -Defined over a finite # of sampling time (2)
را بIه هIر حالت دلخواه در X(KT)م حالIت يIه بتوانيIاگIر از هIر حالIت اولnل کنIه برداری منتقIم.)ي دوره نمونXf ک يarbitrary stateي در فضا n
می باشد(.origin شامل يبعد
11
0
1 2
2 1
( ) (0) ( )
= (0) + (0) ( ) (( 1) ) (( 1) )(( 2) )
( ) (0) ( )(0)
nn n j
j
n n n
n n n
X nT G X G HU jT
G X G HU G HU T HU n TU n TU n T
X nT G X H GH G H G HU TU
By definition:
مي يک بردار ستوني هرکدام از ستونهايپس اگر رتبه ماتريس باشند ،
1 , , ,nG H GH H 1n
n-1G H GH H n
n بردار1 , , ,nG H GH H n بعدي را فرا گيرد. اين ماتريس را ميتواند کل فضاي
.ماتريس کنترل پذيري مي گوييم
لذا: اگر Q n
يک سلسله سيگنالهاي ورودي ،fX(nT)=X پس براي هر حالت دلخواه
Unbounded را تأمين مي نمايد هستند بنحوي وجود دارد که معادلهکه همگي.(**)
پس شرط Q n ،استشرط كافيجهت تست كنترل پذيري .
)**(براي آنکه ثابت کنيمکه همچنين شرط الزم براي تست کنترل پذيري کامل است،
u((n-1)T),…,u(T),u(0)
: فرض مي کنيم کهn-1GH GH H n
راي هربسپس با استفاده از قضيه كيلي-هميلتون، مي توان نشان داد که iدلخواه عبارت
iG H ميتواند بعنوان يک تركيب خطي از
n-1G H, ,GH,H هرشرح داده مي شود، لذا برايn-1GH GH H n
i
n-1G خواهد بود وبردارهاي H, ,GH,Hبعدي را فرا گيرند ودر نتيجه نمي توانند کل فضاي n
براي تمام i .هاfX(iT)=X ممکن نيست که داشته باشيم fX براي هر پس شرط
n-1GH GH H n
. براي کنترل پذيري نيز هستشرط الزم
کنترل پذيري آنست که شرط الزم وکافي برايدر نتيجه:n-1GH GH H n
U :يک بردار باشد، يعني (kT)حال اگر(( 1) ) ( ) ( )
( ) 1 matrix matrix
X k T GX kT HU kTU kT rH n r
:آنست کهQ=n×nr شرط کنترل پذيري ماتريس n-1( ) GQ H GH H n
II. Output controllability
شرط کنترل پذيري حالIIت، نIIه شرط الزم ونIIه شرط کافIIي براي کنترل پذيري خروجي است.
(( 1) ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant( ) control signal (scaler) at Kth sampling instant( ) output vector (m 1) at Kt
X k T GX kT HU kTE
Y kT CX kT
X kTU kTY k
h sampling instantG= matrixH= 1 matrixC=m n matrix
n nn
U (kT) را بطور کامل کنترل پذيري خروجي مي گوييم که اگر بتوان سيگنال ورودي(E) سيستم را )بطوريکه
Unconstrained control signalDefined over a finite # of sampling period
بنحوي که اگIر هر خروجي اوليه بنا نمود y(0) شروع کنيم، خروجي y(kT) را بتوانيم به نقطه در فضاي خروجي، حداکثر در دلخواه n .پريود نمونه گيري منتقل نماييم
PROVE:1
1
0
11
0
( ) (0) ( )
( ) ( )
(0) ( )
nn n j
j
nn n j
j
X nT G X G HU jT
Y nT CX nT
C G X C G HU jT
11
0
1 2
2 1
( ) (0) ( )
= C (0) ( ) (( 2) ) (( 1) )
(( 1) )(( 2) )
( ) (0) ( )(0)
nn n j
j
n n
n n n
Y nT C G X C G HU jT
G HU C G HU T C GHU n T C HU n T
U n TU n T
Y nT CG X CH CGH CG H CG HU TU
بايد توجه داشت که
( ) (0) (0)n nfY nT C G X Y C G X
نماينده يک نقطه دلخواه در فضاي m .بعدي خروجي است
پس همانند حالت کنترل پذيري حالت، شرط الزم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست کهn-1CG بردارهاي H,...,CGH,CH
m :بعدي خروجي را فرا گيرند، يعني اينکه بتوانند فضاي
2 1n nCH CGH CG H CG H m
کافی بطور کامل کنترل پذير حالت باشد، آنگاه شرط الزم واگر سیستم براي کنترل پذيري خروجي آنست که m رديف ماتريس C.مستقل خطي باشند ،
اگر سيستمبشرح زير باشد:
(( 1) ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )X k T GX kT HU kT
EY kT CX kT DU kT
( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant( ) control signal (scaler) at Kth sampling instant( ) output vector (m 1) at Kth sampling instant
G= matrixH= matrixC=m n matrixD=m matrix
X kTU kTY k
n nn r
r
11
0
11
0
1 2
( ) ( ) ( )
(0) ( )+ ( )
( ) (0) ( ) + ( )
= C (0) ( ) (( 2) ) (( 1) )+
nn n j
j
nn n j
j
n n
Y nT CX nT DU nT
C G X C G HU jT DU nT
Y nT C G X C G HU jT DU nT
G HU C G HU T C GHU n T C HU n T DU
2 1
( )( )(( 1) )(( 2) )
=
( )(0)
n n
nTU nTU n TU n T
D CH CGH CG H CG H
U TU
شرط الزم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که رتبه ماتريس
1m n r
2 1n nD CH CGH CG H CG H m
همواره مي تواند جهت ايجاد وتأسيس کنترل پذيري خروجي مهم . وجود ماتريس D باشد
III. Observability
مشاهده پذیر می گوییم گفتیم که یک سیستم را بطور کامل ،
بتوانیم از مشاهده
رااگر هر حالت اولیه
Y (kT) over a finite # of sampling period.بدست آوریم
: اگر سیستم
(( 1) ) ( ) unforced
( ) ( )
( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant
( ) output vector (m 1) at Kth sampling instant
G= matrix
C
X k T GX kTY kT CX kT
X kT
Y k
n n
=m n matrix
11
0
11
0
(( 1) ) ( ) ( )If
( ) ( ) ( )Then:
( ) (0) ( )
( ) (0) ( ) +DU(kT)
kk k j
j
kk k j
j
X k T GX kT HU kTY kT CX kT DU kT
X kT G X G HU jT
Y kT C G X C G HU jT
ورودی سیستم یعنی از آنجا که ماتریس های D,C,H,G ، شناخته شده هستندهمگی
U (kT)هم شناخته شده است، لذا ترمهای دوم وسوم معادله ( )
را بررسی کردunforced می توان سیستم بنابراین
.شناخته شده می باشند
2
2
1
(0) (0)
( ) (0)
(2 ) (0)
( 2 ) (0)
( 1 ) (0)
n
n
Y CX
Y T CGX
Y T CG X
Y n T CG X
Y n T CG X
To prove: ( ) (0)
( ) (0)
k
k
X kT G X
Y kT C G X
n معادله است، و در باال1m یک بردارY (kT)از آنجا که
در نتیجه داریم لذا
simultaneous
nm.معادله خواهیم داشت
برای آنکه یک پاسخ unique برای2 1(0), , (0), (0) nx x xاز nm
بتوانیم دقیقاً n معادله بدست آوریم، باید معادله مستقل خطی از بدست آوریم.در نتیجه شرط مشاهده پذیری
nm معادله
: آنست كه
1n
CCG
n
CG
رتبه یك ماتریس و ماتریسبرابری conjugate transpose
1nC G C G C n
اگر real ،G,C :باشند
1nT T T T TC G C G C n
مشاهده پذیری عبارتست از اگر سیستم بفرم جردن باشد، شرط الزم وکافی برای - :
ستونهای C (1) که مربوط به اولین ردیف هر بلوک جردن هستند، همگی صفر .نمی باشند
هیچ ستونی از C (2).که مربوط به یك مقدار ویژه مجزا است،صفر نمی باشد
o:مثال
1 0
( 1) ( )0 2 1
( ) 1 5 Observable
X k X k
Y k
2 1 0 0 0 00 2 1 0 0 00 0 2 0 0 1
( 1) ( ) ( )
0 0 0 3 1 60 0 0 0 3 1
1 1 1 0 1( ) ( )
0 1 1 1 0
X k X k U k
Y k X k
Observable
-2 0X(k+1)= ( )0 1
( ) 0 1 ( )
X k
Y k X k
Not Observable
2 1 0 0 00 2 1 0 0
X(k+1)= ( )0 0 2 0 00 0 0 4 1 0 0 0 0 4
0 1 1 0 1( ) ( )
1 1 1 0 0
X k
Y k X k
Not Observable
IV. Principle of duality
: s1 اگر سیستم
1
(( 1) ) ( ) ( ) s
( ) ( )X k T GX kT HU kTY kT CX kT
( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant( ) control vector (scaler) at Kth sampling instant( ) output vector (m 1) at Kth sampling instant
G= matrixH= 1 matrixC=m n matrix
X kTU kTY k
n nn
: سیستم دوگان آنرا بصورتˆ ˆ ˆ(( 1) ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )
X k T G X kT C U kT
Y kT H X kT
ˆ ( ) state vector (n 1)ˆ ( ) control vector (m 1) ˆ( ) output vector (r 1)
G =conjugate transpose of G
H =conjugate transpose of H
C =conjugate transpose of C
X kT
U kT
Y k
n شرط الزم وكافی برای كنترل پذیری آنست كه رتبه ماتریس (1) n rn.باشد
برابر
n-1GH G H H n
n شرط الزم وكافی برای مشاهده پذیری آنست كه رتبه ماتریس (2) n mبرابر
n.باشد
1nC G C G C n
:s1 آنگاه برای سیستم
n شرط الزم وكافی برای كنترل پذیری آنست كه رتبه ماتریس (1) n mبرابر
n.باشد
1nC G C G C n
n شرط الزم وكافی برای مشاهده پذیری آنست كه رتبه ماتریس (2) n rبرابر
n.باشد
n-1GH G H H n
:s2 برای سیستم
اسIت کIه باعIث از بيIن رفتIن مشاهده نمونIه گيري ممکIن-سيستم بدست آمده بشود. پذيري/ کنترل پذيري
گسسته زمان علت :حذف صفروقطبهاي سيستم -
Recommended