Някой неща за система с две нива

Някой неща за система с две нива

Някой нови решими модел за система с две нива

Тази част от презентацията е базирана на статии на Боян ТоросовБлагодаря за разрешението да ползвам материали разработени от него

Квантова система с две нива

1

Най-простата не тривиална система, която се описва с уравнение на Шрьодингер е система с две нива

1 1E

2 2E

2

В приближение на въртящата се вълна (Rotating wave approximation RWA) уравнение на Шрьодингер е

1 1 2

2 1 2

( )( ) ( ) ( )

2 2( )

( ) ( ) ( )2 2

d ti c t c t c t

dtd t

i c t c t c tdt

Квантова система с две нива

1

Най-простата не тривиална система, която се описва с уравнение на Шрьодингер е система с две нива

1 1E

2 2E

2

В приближение на въртящата се вълна (Rotating wave approximation RWA) уравнение на Шрьодингер е

1 1 2

2 1 2

( )( ) ( ) ( )

2 2( )

( ) ( ) ( )2 2

d ti c t c t c t

dtd t

i c t c t c tdt

Миналият път разгледахме два точно решими модела:

1) Модел на Ландау-Зинер за постоянно поле и линейна честотна разлика 2( )t t

0( )t

Квантова система с две нива

1

Най-простата не тривиална система, която се описва с уравнение на Шрьодингер е система с две нива

1 1E

2 2E

2

В приближение на въртящата се вълна (Rotating wave approximation RWA) уравнение на Шрьодингер е

1 1 2

2 1 2

( )( ) ( ) ( )

2 2( )

( ) ( ) ( )2 2

d ti c t c t c t

dtd t

i c t c t c tdt

Миналият път разгледахме два точно решими модела:

1) Модел на Ландау-Зинер за постоянно поле и линейна честотна разлика

2) Модел на Розен-Зинер за поле и постоянна честотна разлика

2( )t t 0( )t

0( ) sech( / )t t T 0( )t

Нека сега да видим дали можем да решим модел със следните Раби честота идетунинг:

2( )t t 0( )t

Нека сега да видим дали можем да решим модел със следните Раби честота идетунинг:

Можем, но решенията се дават като функции на Хойн. За функциите на Хойнняма добре развита асимптотика сравнение с другите специални функции.Тоест все едно дали ще решаваме числено уравнение на Шрьодингер или щеползваме решението с функции на Хойн.

2( )t t 0( )t

Можем да направим друго. Да използваме решението на модела на Ландау--Зинер това става като завъртим базиса на ъгъл тоест да направимтрансформацията:

/ 4

( ) ( / 4) ( )c t c tR

Тогава получаваме Хамилтониан като на Ландау-Зинер модела:

cos sin4 4( / 4)

sin cos4 4

R

2

0

20

( ) ( / 4) ( ) ( / 4)t

H t H tt

R R

Тогава матрицата на еволюцията , ще се дава посредством матрицата на еволюцията за Ландау-Зинер модела :

( , ) ( / 4) ( , ) ( / 4)f i f iU t t R U t t R

( , )f iU t t ( , )f iU t t

11 12

* *12 11

( , )f i

U UU t t

U U

където

Или експлицитно за елементите на матрицата на еволюцията имаме:( , )f iU t t

11 12 12 11

12 11 11 12

Re Im Re Im( , )

Re Im Re Imf i

U i U U i UU t t

U i U U i U

А за вероятността за преход имаме:

2 2212 1121 Re ImP U U U

Използвайки решенията за функциите на Вебер (краен Ландау-Зинер), могат да се изведат различни точни решения за следните модели:

Време Време

Раб

и ч

есто

та

Време Време

Раб

и ч

есто

та

Отворени проблеми тука са:

1) Могат да се търсят нови решения за други точно решими модели, посредством въртене или произволна трансформация на базиса.

2) Може от чисто физически съображения да се изведат връзки между функции на Хойн и функции на Вебер

Сега нека да разгледаме и точно решим модел с фазов скок

0

0

sec / 0( )

sec / 0i

h t T tt

e h t T t

0( ) tanh /t B t T

Фазата можем да използваме като нов контролен параметър. Пропагатораможем да намерим като разделим интервала на две част: и

0t 0t

( , ) ( ,0) (0, )U U U

Пропагатора за този модел е

* * * * * * * * *( , )

* * *

i i i

i i i

c d e a b ac bd e b c a d eU

b ade c bc ade a c b de

Вероятността за преход е:

2 2 212 2Re * * i

DKP U ad bc a bcd e

00, 2 /B T

00.4 / , 1.8 /B T T

00.8 / , 1.8 /B T T

01.2 / , 1.6 /B T T

01.6 / , 1.6 /B T T

02 / , 1.4 /B T T

02 / , 1/B T T

01.7 / , 0.8 /B T T

01.3 / , 0.4 /B T T

01/ , 0 /B T T

Отворени проблеми тука са:

1) Могат да се търсят аналогии за системи с три нива, тоест има ли точно решими модели с фазов скок за системи с три нива

Някой обобщения на точно решими модели за система с две нива

За система с две нива имаме следното уравнение за еволюцията:

2

121

2

1

c

c

c

c

dt

di

)(tzt Ако направим смяната на времето в нова променлива

d dz

dt dz

))(()( tzCtc kk и

1 112

2 2

,C Cd

iC Cdz

Тогава уравнение за еволюцията се преобразува в:

( )( ( ))

( )

tz t

z t

( )

( ( ))( )

tz t

z t

където и

Ако знаем решението на за , то знаем решениетона за

1 2( ), ( )c t c t ( ), ( )t t

1 2( ), ( )C z C z ( ), ( )z z

Примерно Делос-Торсън (Delos-Thorson) подхода:

t

tdttst02

1 )()(ds

d

dt

d

21

( )s

2

121

2

1

c

c

c

c

dt

di

2

1

2

1

1

1

C

C

C

C

ds

di

където)(

)())((

t

tts

Променлива на Стукелберг (Stuckelberg )

Ако знаем решението за , то знаем решението за итогава можем да генерираме класове от решения за

( ), ( )t t ( ), ( )t t

Тоест избираме различни и намираме t t

ttdttt )()()(

Модел (s) дефениция

Rabi(elem. fns)

a (t) = (t < T)(t) =

Landau-Zener

[D(z)]as (s < s) (t) = (t < T)

(t) = t

Rosen-Zener[2F1(p,q;r;z)]

a sec(s/2s) (t) = sech(t/T)(t) =

Allen-Eberly[2F1(p,q;r;z)]

b tan(s/2s) (t) = sech(t/T)(t) = tanh(t/T)

Demkov-Kunike[2F1(p,q;r;z)]

a sec(s/2s)

+ b tan(s/2s)

(t) = sech(t/T)(t) = + tanh(t/T)

Hioe-Carroll[2F1(p,q;r;z)]

a + b tan(s/2s) (t) = sech(t/T)(t) = sech(t/T) + tanh(t/T)

Demkov

[J(z)]a / (s s) (t) = exp(t/T)

(t) =

Nikitin[1F1(p;q;z)]

a / (s s) + b (t) = exp(t/T)(t) = + exp(t/T)

Carroll-Hioe[1F1(p;q; z)]

a / (s s)

+ b(s s)

(t) = exp(t/T)(t) = + exp(t/T)

1 1 11 1 12 2 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( )di c t t c t t t c t

dtc t

12 12( ) ( ) exp ( ) ( )

tdi c t t i t dt c

dt 1 1( ) exp ( ) ( )

tc t i t dt c

12 12( ) ( ) exp ( ) ( )

1

t tc t i t i t dt c dt

21

2 2( ) ( ) exp ( )

t tP t t i t dt dt

1 11 1 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

di c t t c t t c t

dt

1 12 1 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

di c t t c t t c t

dt

1 1 11 1 12 2 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( )di c t t c t t t c t

dtc t

12 12( ) ( ) exp ( ) ( )

tdi c t t i t dt c

dt 1 1( ) exp ( ) ( )

tc t i t dt c

12 12( ) ( ) exp ( ) ( )

1

t tc t i t i t dt c dt

21

2 2( ) ( ) exp ( )

t tP t t i t dt dt

1 11 1 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

di c t t c t t c t

dt

1 12 1 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

di c t t c t t c t

dt

20

mE V

21 1 1

10

4C i C C