View
61
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος. Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε. Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο. Βιβλιογραφία Ενότητας. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Σχεδίαση Σ.Α.Ε:
Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε
ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 10: Ενότητες 10.1-10.3
◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 10: Ενότητες 10.1-10.5
◊ DiStefano [1995]: Chapter 20, Sections 20.1 - 20.3
◊ Tewari [2005]: Chapters 5: Sections 5.1-5.4
Βιβλιογραφία Ενότητας Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Εισαγωγή
◊ Οι σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων αυτομάτου ελέγχου βασίζονται σε περιγραφές των συστημάτων αυτών στο πεδίο του χρόνου και συγκεκριμένα υπό τη μορφή εξισώσεων κατάστασης. Οι τεχνικές αυτές μπορούν να διαιρεθούν σε δύο κατηγορίες:
◊ Αλγεβρικές Τεχνικές Ελέγχου◊ Η δομή του αντισταθμιστή είναι εκ των προτέρων προσδιορισμένη και ζητείται η
εύρεση των παραμέτρων. Διακρίνουμε τρεις μεθοδολογίες:
◊ Μετατόπιση Ιδιοτιμών
◊ Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων
◊ Τέλειο ταίριασμα σε πρότυπο
◊ Τεχνικές Βέλτιστου Ελέγχου◊ Ζητείται η εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής (οποιασδήποτε δομής) ελέγχου του
Σ.Α.Ε η οποία ελαχιστοποιεί το κριτήριο κόστους:
όπου e(t)=y(t)-ym(t) είναι η διαφορά ανάμεσα στην επιθυμητή συμπεριφορά (έξοδο)
ym(t) και στην πραγματική συμπεριφορά y(t) του υπό έλεγχο συστήματος
◊ Στο πλαίσιο του μαθήματος θα εξεταστούν οι Αλγεβρικές Τεχνικές Ελέγχου
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
TT
Tdttt
TJ
0
)()(1
lim ee
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Γραμμικός νόμος ανατροφοδότησης κατάστασης
◊ Στη σχεδίαση Σ.Α.Ε με αλγεβρικές τεχνικές χρησιμοποιούνται συνήθως αντιστασθμιστές-ρυθμιστές οι οποίοι είναι γραμμικοί είτε ως προς το διάνυσμα κατάστασης (αντισταθμιστές με ανατροφοδότηση κατάστασης) είτε ως προς το διάνυσμα εξόδου (αντισταθμιστές με ανατροφοδότηση εξόδου).
◊ Αντισταθμιστές με ανατροφοδότηση κατάστασης◊ Η μορφή ενός αντισταθμιστή με ανατροφοδότηση κατάστασης δίνεται στο επόμενο
σχήμα. Το υπό έλεγχο σύστημα (Γ.Χ.Α.) περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης:
όπου και οι πίνακες A,B,C έχουν τις κατάλληλες διαστάσεις ώστε να ικανοποιούνται οι εξισώσεις κατάστασης
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)(
)(
)(
)( 2
1
tu
tu
tu
t
m
u
)(
)(
)(
)(2
1
ty
ty
ty
t
p
y
)(
)(
)(
)( 2
1
tx
tx
tx
t
n
x
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BuAxx
pmn yux ,,
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Νόμος ανατροφοδότησης κατάστασης (ΙΙ)
◊ Ο αντισταθμιστής είναι της μορφής:
όπου είναι ένα νέο διάνυσμα εισόδου με m* εισόδους και F,G είναι οι άγνωστοι πίνακες του αντισταθμιστή, διαστάσεων mxn, mxm* αντίστοιχα οι οποίοι και πρέπει να προσδιοριστούν κατά τη διαδικασία σχεδίασης ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει τα επιθυμητά χαρακτηριστικά.
◊ Τα επιθυμητά χαρακτηριστικά μας προσδιορίζουν συνήθως και τη μεθοδολογία σχεδίασης που πρέπει να ακολουθηθεί
◊ Το αντισταθμισμένο σύστημα περιγράφεται από τις σχέσεις:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)(
)(
)(
)( 2
1
tu
tu
tu
t
m
u
)(
)(
)(
)(2
1
ty
ty
ty
t
p
y
)(
)(
)(
)( 2
1
tx
tx
tx
t
n
x
)()()( ttt GωFxu *mω
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BGωxBFAx
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Γραμμικός νόμος ανατροφοδότησης εξόδου
◊ Στο επόμενο σχήμα εμφαίνεται η μορφή ενός αντισταθμιστή με ανατροφοδότηση εξόδου.
◊ Ο αντισταθμιστής είναι της μορφής:
όπου Κ,Ν είναι οι άγνωστοι πίνακες του αντισταθμιστή, διαστάσεων mxp, mxm* αντίστοιχα οι οποίοι και πρέπει να προσδιοριστούν κατά τη διαδικασία σχεδίασης ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει τα επιθυμητά χαρακτηριστικά.
◊ Το αντισταθμισμένο σύστημα περιγράφεται από τις σχέσεις:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()()( ttt NωKyu
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BNωxBKCAx
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Συσχετισμός ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου
◊ Από την περιγραφή των αντισταθμισμένων συστημάτων με ανατροφοδότηση κατάστασης και εξόδου προκύπτει ότι:
δηλαδή η ύπαρξη λύσης στο πρόβλημα σχεδίασης με ανατροφοδότηση κατάστασης συνεπάγεται και λύση στο πρόβλημα σχεδίασης με ανατροφοδότηση εξόδου.
◊ Οι κύριες διαφορές ανάμεσα στις δύο ανωτέρω μεθόδους είναι:◊ Η σχεδίαση με ανατροφοδότηση κατάστασης παρέχει μεγαλύτερο βαθμό ελευθερίας
όσον αφορά την επιλογή των παραμέτρων του αντισταθμιστή δεδομένου ότι ο πίνακας F έχει m*n στοιχεία ενώ ο πίνακας Κ έχει m*p<m*n στοιχεία.
◊ Από πρακτική άποψη η σχεδίαση με ανατροφοδότηση εξόδου είναι ευκολότερη γιατί το διάνυσμα εξόδου είναι σχεδόν πάντοτε γνωστό και μετρήσιμο σε αντίθεση με το διάνυσμα κατάστασης το οποίο συνήθως εκτιμάται με χρήση παρατηρητών κατάστασης.
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
NG
KCF
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Μετατόπιση Ιδιοτιμών
◊ Επειδή οι ιδιοτιμές ενός συστήματος με περιγραφή στο χώρο κατάστασης ταυτίζονται με τους πόλους του συστήματος και επειδή οι πόλοι του συστήματος καθορίζουν και τη συμπεριφορά του η μετατόπιση ιδιοτιμών είναι μια προσφιλής τεχνική σχεδίασης Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης.
◊ Το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής:◊ Δίνεται το Γ.Χ.Α
ζητείται να προσδιορισθεί ο πίνακας F (ή Κ) ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει ιδιοτιμές τις λ1,λ2,...,λn, δηλαδή:
αν έχουμε ανατροφοδότηση κατάστασης
αν έχουμε ανατροφοδότηση εξόδου
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)(1
n
iiss BFAI
)(1
n
iiss BKCAI
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BuAxx
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Μετατόπιση Ιδιοτιμών (ΙΙ)
Θεώρημα:
◊ Οι ιδιοτιμές του συστήματος
μπορούν να μετατοπιστούν σε οποιεσδήποτε αυθαίρετες θέσεις λ1,λ2,...,λn,
τότε και μόνο τότε το σύστημα είναι ελέγξιμο, δηλαδή η τάξη του πίνακα S (διαστάσεων nxnm) είναι ίση με n (υπάρχουν δηλαδή n ανεξάρτητες στήλες στον πίνακα S)
αν μια από τις ιδιοτιμές λi είναι μιγαδική τότε πρέπει να συμπεριληφθεί και η
συζυγής της.
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BuAxx
BABAABBS 12 |...||| n
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Μετατόπιση Ιδιοτιμών (ΙΙΙ)
◊ Στη περίπτωση στην οποία το σύστημα μας είναι μιας εισόδου (m=1) και ευρίσκεται (ή μπορεί να μετατραπεί) σε κανονική μορφή φάσης, δηλαδή οι πίνακες A και b έχουν τη μορφή:
τότε ο πίνακας Α+bfT του αντισταθμισμένου συστήματος έχει τη μορφή:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
1210 ...
1...000
...............
0...100
0...010
naaaa
A
)(...)()()(
1...000
...............
0...100
0...010
1322110 nn
T
fafafafa
bfA
1
0
...
0
0
b
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Μετατόπιση Ιδιοτιμών (ΙV)
◊ O υπολογισμός των τιμών του διανύσματος f δίνεται από τις σχέσεις:
όπου
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()(...)( 10211
1 fasfasfass nnn
nT bfAI
γaf
1
2
1
0
1
2
1
0
1
2
1
.........
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
f
f
f
f
011
11
...)(
ssss n
nn
n
ii
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Μετατόπιση Ιδιοτιμών (V)
◊ Στη περίπτωση που το σύστημα μιας εισόδου δεν είναι σε κανονική μορφή φάσης ο υπολογισμός των τιμών του διανύσματος f δίνεται από τις σχέσεις:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
γαSWf ~~1
TT
1...000
...000
...............
...10
...1
1
21
121
n
n
nn
a
aa
aaa
W
0
1
2
1
...~
n
n
γ
0
1
2
1
...~
a
a
a
a
n
n
α
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα
◊ Έστω το σύστημα μιας εισόδου με:
Να βρεθεί το διάνυσμα ανατροφοδότησης κατάστασης f ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πόλους (ιδιοτιμές) τους -1,-2.
◊ Λύση: ◊ Το σύστημα είναι κανονική μορφή φάσης άρα είναι ελέγξιμο, επομένως το
πρόβλημα σχεδίασης έχει λύση η οποία δίνεται από τη σχέση:
όπου:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()()( tutt bAxx
1
0b
01
10A
3
1
3
2
0
1
1
0
1
0
2
1
a
a
f
ff
0122
2
1
23)2)(1()(
sssssssi
i
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα (συν.)
◊ Σημειώνεται ότι το αρχικό σύστημα ήταν ασταθές (για την ακρίβεια ταλαντούμενο) αφού οι ιδιοτιμές του πίνακα A (βλέπε και εντολή eig στη Matlab) είναι:
ρ1,2=±j
◊ Η ελεγξιμότητα ενός συστήματος στο χώρο κατάστασης μπορεί να διαπιστωθεί χρησιμοποιώντας τις εντολές ctrb και rank της Matlab. Η πρώτη σχηματίζει τον πίνακα ελεγξιμότητας S ενώ η δεύτερη ελέγχει την τάξη ενός πίνακα
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα ΙΙ
◊ Έστω το σύστημα μιας εισόδου με:
Να βρεθεί το διάνυσμα ανατροφοδότησης κατάστασης f ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πόλους (ιδιοτιμές) τους -1+j, -1-j.
◊ Λύση: ◊ Το σύστημα δεν είναι σε κανονική μορφή φάσης άρα χρειάζεται να
διερευνήσουμε πρώτα την ελεγξιμότητα του:
ο πίνακας S είναι τάξης 2 (=n), άρα το σύστημα είναι ελέγξιμο.
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()()( tutt bAxx
1
0b
01
11A
01
10|AbbS
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα ΙΙ (συν.)
◊ Το σύστημα δεν είναι σε κανονική μορφή φάσης αλλά ελέγξιμο, επομένως το πρόβλημα σχεδίασης έχει λύση η οποία δίνεται από τις σχέσεις:
Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο a(s) του συστήματος δίνεται από τη σχέση:
οπότε:
το επιθυμητό πολυώνυμο γ(s) είναι:
Ο πίνακας W είναι:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
10
11
10
1 1aW
γαSWf ~~1
TT
011
1 ...)( asasasssa nn
n AI
11
11 2
sss
ss AI
0122
2
1
22)1)(1()(
ssssjsjssi
i
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα ΙΙ (συν.)
◊ Οπότε τελικά έχουμε:
◊ Σημειώνεται η μετατόπιση ιδιοτιμών υλοποιείται στη Matlab με τη συνάρτηση place, η οποία συντάσσεται ως:
f=place(A,b,p);
όπου p είναι το διάνυσμα των επιθυμητών ιδιοτιμών.
◊ Η συνάρτηση αυτή επιλύει το πρόβλημα της μετατόπισης ιδιοτιμών και για συστήματα πολλών εισόδων
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
1
0
1
1
01
11
2
2
1
1
11
10~~1
1γαSWf TT
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα ΙΙΙ
◊ Έστω το Γ.Χ.Α σύστημα: με
1. Να βρεθεί αν υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης
ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πόλους (ιδιοτιμές) οπουδήποτε επιθυμούμε.
2. Να βρεθεί αν υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής
ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πόλους (ιδιοτιμές) τους -1+j, -1-j
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()()( ttt BuAxx
01
10B
01
11A
1
21
0 f
ffF
2221
1211
ff
ffF
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα ΙΙΙ (συν.)
◊ Λύση: ◊ Το πρόβλημα της μετατόπισης ιδιοτιμών έχει λύση αν το σύστημα είναι
ελέγξιμο. Για το σκοπό αυτό σχηματίζουμε το πίνακα S:
ο πίνακας S είναι τάξης 2 (=n), άρα το σύστημα είναι ελέγξιμο.
◊ Για το δεύτερο ερώτημα χρειάζεται να ελέγξουμε αν υπάρχει πίνακας
με τους περιορισμούς f21=0, f11=f22.
Το ζητούμενο πολυώνυμο γ(s) είναι:
Για να υπάρχει λύση στο πρόβλημα χρειάζεται:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
1001
1110|ABBS
2221
1211
ff
ffF
22)1)(1()( 22
1
ssjsjssi
i
)(ss BFAI
2,1
22)1()1(
12
22
212
2
ff
ssffsfs
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων
◊ Η μελέτη αλλά και ο έλεγχος Σ.Α.Ε πολλών εισόδων - πολλών εξόδων διευκολύνεται αν κάθε είσοδος επηρεάζει μία και μόνο έξοδο, και κάθε έξοδος επηρεάζεται από μια και μόνο είσοδο. Η μετατροπή σε τέτοια μορφή καθιστά ένα Σ.Α.Ε πολλών εισόδων - πολλών εξόδων ισοδύναμο με πολλαπλά Σ.Α.Ε μίας εισόδου-μίας εξόδου τα οποία είναι σαφώς πιο εύκολα στη μελέτη.
◊ Το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων – εξόδων ορίζεται ως εξής:
◊ Δίνεται το Γ.Χ.Α σύστημα
για το οποίο έχουμε ίσο αριθμό εισόδων και εξόδων (δηλαδή m=p). Ζητείται να προσδιορισθούν οι πίνακες F και G του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης έτσι ώστε κάθε είσοδος (ωi) του κλειστού συστήματος να
επηρεάζει μια και μόνο έξοδο του, και αντίστροφα, δηλαδή να ισχύει η σχέση:
yi=f(ωi)
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BuAxx
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BGωxBFAx
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (ΙΙ)
◊ Ο πίνακας των συναρτήσεων μεταφοράς του κλειστού συστήματος
δίνεται από τη σχέση (έγινε χρήση του μετασχηματισμού Laplace):
Δεδομένου ότι Υ(s)=H(s)Ω(s) ένας ισοδύναμος ορισμός του προβλήματος της αποσύζευξης εισόδων-εξόδων είναι ο προσδιορισμός των πινάκων F και G έτσι ώστε ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς H(s) να είναι ομαλός και διαγώνιος, να έχει δηλαδή τη μορφή:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
BGBFAICH 1)( ss
)(0...00
0)(...00
...............
00...)(0
00...0)(
)(
11
22
11
sh
sh
sh
sh
s
mm
mm
H
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BGωxBFAx
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (ΙΙΙ)
Θεώρημα:
◊ Το Γ.Χ.Α
είναι αποσυξεύξιμο με το νόμο ανατροφοδότησης κατάστασης
τότε και μόνο τότε ο πίνακας
είναι ομαλός δηλαδή ισχύει . ci είναι η i- οστή γραμμή του πίνακα
C και d1, d2, …, dm είναι ακέραιοι αριθμοί οι οποίοι υπολογίζονται ως εξής:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
BAc
BAc
BAc
BAc
B
m
m
dm
dm
d
d
1
2
1
1
2
1
...
)()()( ttt GωFxu
0B
jόn
njj
dj
i
ji
i
01
1,...,1,00:min
BAc
BAc
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BuAxx
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (IV)
◊ Αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο ένα ζεύγος πινάκων που καθιστούν την αποσύζευξη εφικτή δίνεται από τις σχέσεις:
όπου:
ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς H(s)
έχει τη μορφή
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
1
11
12
11
1
2
1
...
m
m
dm
dm
d
d
Ac
Ac
Ac
Ac
A
1
1
1
1
10...00
01
...00
...............
00...1
0
00...01
)(
1
2
1
m
m
d
d
d
d
s
s
s
s
sH
1
1
BG
ABF
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα Ι
◊ Έστω το Γ.Χ.Α σύστημα
με:
1. Να βρεθεί αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο και στην περίπτωση που είναι να υπολογιστούν οι πίνακες F και G του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης.
2. Να υπολογιστεί ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς του αρχικού αλλά και του αποσυζευγμένου συστήματος.
21
10B
01
11A
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BuAxx
11
01C
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα Ι (συν.)
Λύση:
◊ Σχηματίζουμε τον πίνακα B+ για να ελέγξουμε αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο
Αφού το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο.
Για να βρούμε τους πίνακες F και G σχηματίζουμε τον πίνακα Α+
οπότε
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
31
10
2
1
2
12
1
CBBc
Bc
BAc
BAcB
d
d00]10[21
10]01[ 1
01
dBAc
00]31[21
10]11[ 2
02
dBAc
01B
10
11
2
11
2
11
2
1
CAAc
Ac
Ac
AcA
d
d
01
13
31
101
1BG
11
23
10
11
01
131GAABF
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα Ι (συν.)
Λύση (συν.):
◊ Ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς του αντισταθμισμένου συστήματος δίνεται από τη σχέση:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
s
s
s
ss
d
d
10
01
10
01
)(
1
1
2
1
H
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα ΙΙ
◊ Έστω το Γ.Χ.Α σύστημα
με:
1. Να βρεθεί αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο και στην περίπτωση που είναι να υπολογιστούν οι πίνακες F και G του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης.
2. Να υπολογιστεί ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς του αρχικού αλλά και του αποσυζευγμένου συστήματος.
21
21
01
B
021
110
201
A
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BuAxx
110
001C
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα ΙΙ (συν.)
Λύση:
◊ Σχηματίζουμε τον πίνακα B+ για να ελέγξουμε αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
41
01
2
1
2
1
2
1
BAc
Bc
BAc
BAcB
d
d
00]01[
21
21
01
]001[ 10
1
dBAc
0]00[
21
21
01
]110[02
BAc
10]41[
21
21
01
021
110
201
]110[ 21
2
dBAc
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα ΙΙ (συν.)
Λύση (συν.):
◊ Αφού το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο.
Για να βρούμε τους πίνακες F και G σχηματίζουμε τον πίνακα Α+
οπότε
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
04 B
152
2012
2
11
2
11
2
1
Ac
Ac
Ac
AcA
d
d
11
04
4
1
41
011
1BG
153
804
4
1
152
201
11
04
4
11GAABF
21
1
10
01
10
01
)(
2
1
s
s
s
ss
d
d
H
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
◊ Στο πρόβλημα του τέλειου ταιριάσματος προς πρότυπο αναζητείται αντισταθμιστής τέτοιος ώστε το κλειστό (αντισταθμισμένο) σύστημα να ακολουθεί όσο πιο πιστά γίνεται τη συμπεριφορά του προτύπου.
◊ Το πρόβλημα του τέλειου ταιριάσματος προς πρότυπο ορίζεται ως εξής:
◊ Δίνεται το Γ.Χ.Α σύστημα
και το πρότυπο σύστημα με πίνακα συναρτήσεων μεταφοράς Hm(s). Ζητείται να προσδιορισθούν οι
πίνακες F και G του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης (ή οι πίνακες Κ και Ν του νόμου ανατροφοδότησης εξόδου) έτσι ώστε ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς H (s) του
αντισταθμισμένου συστήματος να ταυτίζεται με τον Hm(s) δηλαδή να ισχύει:
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
)()(
)()()(
tt
ttt
Cxy
BuAxx
)(
)( 1
s
ss
mH
BGBFAICH
BGBFAICH 1)( ss
BNBKCAICH 1)( ss
ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παράδειγμα Ι
◊ Έστω το Γ.Χ.Α σύστημα
με:
1. Να υπολογιστούν τα διανύσματα
f=[f1 f2]T και G=g του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πίνακα συναρτήσεων μεταφοράς:
1
0b
01
10A
)()(
)()()(
tt
tutt
Cxy
bAxx
10
11C
Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο
s
s
ss
s
ssm
2
)1(21
1
2
2
)(2
H
Recommended