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한국강구조학회 2000 학술발표회. 감쇠 시스템의 고유진동수와 모드의 민감도. 조홍기 한국과학기술원 토목공학과 석사과정 오주원 한남대학교 토목공학과 교수 이인원 한국과학기술원 토목공학과 교수. 발표순서 연구배경 기존연구 개선된 방법 수치예제 결론. 연구 배경. 고유쌍의 미분값들은 동적응답의 민감도를 결정 최적화 설계나 CMS 방법등에서 필요 설계 경향 연구나 , 시스템 거동에 대한 직관 기존 방법 보다 좀더 효율적인 방법 추구. 기존 연구. - PowerPoint PPT Presentation
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조홍기 한국과학기술원 토목공학과 석사과정조홍기 한국과학기술원 토목공학과 석사과정
오주원 한남대학교 토목공학과 교수오주원 한남대학교 토목공학과 교수
이인원 한국과학기술원 토목공학과 교수 이인원 한국과학기술원 토목공학과 교수
한국강구조학회 2000 학술발표회
감쇠 시스템의 고유진동수와 모드의 민감도
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 22
발표순서
1. 연구배경
2. 기존연구
3. 개선된 방법
4. 수치예제
5. 결론
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 33
연구 배경연구 배경
고유쌍의 미분값들은 동적응답의 민감도를 결정
최적화 설계나 CMS 방법등에서 필요
설계 경향 연구나 , 시스템 거동에 대한 직관
기존 방법 보다 좀더 효율적인 방법 추구
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 44
기존 연구기존 연구1 이론적 배경 및 기존연구
jjj MK
1jTj M
일반화된 고유문제
정규화 조건
(1)
jjjjjj MMKMK )()(
(2)
(3)
(4)jjTjj )( MK 고유치의 미분 :
고유벡터의 미분은 ? 많은 학자들이 연구
식 (1) 을 설계변수에 대해 미분하면
식 (3) 의 양변에 를 곱하면Tj
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 55
모드 방법 (Modal method)(1968~)
- 고유모드의 미분을 여러 개의 고유모드 합으로 나타내는 방법
n
iiij
1
반복적 방법 (Iteration method)(1974~)
- 고유모드의 미분을 수치적으로 구하는 방법으로 근사해를 구함
Rudisill & Chu’s method (1975)
jjj
j
jj
Tj
MKMMK
00
-알고리즘이 간단하나 계수행렬이 비대칭이어서 저장공간이 많이 필요하고 계산시간도 길다 .
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 66
Nelson’s method
(1976)
- 특이해와 비특이해의 합으로 고유모드 미분을 구하는 방법- 특이해를 구하는 알고리즘이 복잡하고 , 중복근의 경우 적용이 어렵다 .
jj c
Lee & Jung’s method
(1997)
jTj
jj
j
jTj
jj
M
MK
M
MMK
5.0
)(
0
- 알고리즘이 간단하다 .
- 계수행렬이 대칭이어서 저장공간이나 계산시간이 절약된다 .
- 중복근으로의 적용이 쉽다 .
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 77
(5)
2 감쇠시스템의 경우 Lee & Jung’s method (1999)
0)( 2 KCM 감쇠시스템의 고유문제
jjjj
jjj
jj ppppp
KCM
CMKCM 22 )2()(
jjjTj
j
pppp
KCM2고유치의 미분
(6)
(7)
식 (5) 를 설계변수에 대해 미분하면
식 (6) 의 양변에 를 곱하면Tj
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 88
(8)
(9)
고유벡터의 미분
미분
고유벡터의 미분은 ?
jjjT
jj
jTj pppp
CM
MCM 22
1)2(
jjjT
j
jjjj
jj
j
jTj
jjjj
ppp
pppp
p
CMM
KCMCM
CM
CMKCM
22
1
)2(
00)2(
)2(
2
2
(10)
00
0
M
MC
M
K 상태공간방정식 도입
1)2(0
jjTj
jj
j
T
jj
j
CMM
MC 정규화 조건
식 (10) 와 식 (6) 을 대수방정식 형태로 정리하면
(11)
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 99
jjjT
j
jjjj
jj
j
jTj
jjjj
ppp
pppp
p
CMM
KCMCM
CM
CMKCM
22
1
)2(
00)2(
)2(
2
2
jjjTj
j
pppp
KCM2 고유치의 미분
고유벡터의 미분
(13)
(12)
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1010
개선된 방법개선된 방법1 알고리즘
(14)
(16)
(17)
0)( 2 KCM
1)2( jjTj CM
감쇠시스템의 고유문제
정규화 조건
jjjj
jjj
jj ppppp
KCM
CMKCM 22 )2()(
jjTj
jj
Tj
jj
Tj
pppp
CMMCM 22
1)2(
(15)
미분
미분
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1111
(18)
jjTj
jjj
j
j
jTjj
Tj
jjjj
pp
ppp
p
p
CM
KCM
MCM
CMKCM
22
1
)2(
)2(
2
2
식 (15) 과 식 (17) 을 선형대수방정식 형태로 정리하면
고유치와 고유모드의 미분이 동시에 구해짐
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1212
(19)
(20)
2 수치적 안정성 증명
0)det()det()det()det( YAYYAY *T*T
nnwhere jn :]....[ 1321
jTjj
Tj
jjT
jjT
jTjj
Tj
jjjj
T
MCM
CMKCM
MCM
CMKCMYAY *T
)2(
)2()(
1)2(
)2(
1
2
2
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1313
rnonsingulannjjT )1()1(:
~,
0
~)( 2
A
0
0AKCM
1~
)2(1
~
)2(TbCM
bCM
jTjjj
T and
1:~ nwhere b
MT1
~10
~~
T
*T
b
0
b0A
YAY
(22)
(21)
(23)
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1414
(24))det(detdet 1BCADADC
BA
0
~~~1
10det)A
~(det
~~~
1
10det)A
~(detY)A(Ydet
1
1*T
bAbM
bAbM
T
T
T
T
0)det(A*
(25)
(26)
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1515
Number of nodes : 28
Number of element : 36
Number of DOF : 72
Young Modulus :
Mass density :
Poison’s ratio : 0.3
Thickness : 0.01 m
25 /105.10 mNE 33 /1088.5 mkg
수치 예제수치 예제
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1616
Table 1. The lowest twenty eigenvalue and their derivatives
EigenvalueEigenvalue derivative(Lee&Jung’s method)
Eigenvalue derivative(Proposed method)
-1.537E-02j5.453E+00 -2.973E+00j5.453E+02 -2.973E+00j5.453E+02
-2.367E-01j2.173E+01 -4.724E+01j2.173E+03 -4.724E+01j2.173E+03
-5.480E-01j3.309E+01 -1.095E+02j3.308E+03 -1.095E+02j3.308E+03
-2.345E+00j6.844E+01 -4.689E+02j6.836E+03 -4.689E+02j6.836E+03
-1.569E+01j1.764E+02 -3.138E+03j1.750E+04 -3.138E+03j1.750E+04
ModeNumber
1,2
3,4
5,6
7,8
17,18
19,20 -2.196E+01j2.084E+02 -4.392E+03j2.061E+04 -4.392E+03j2.061E+04
Table 2. Some components of the first eigenvector and its derivatives
EigenvectorEigenvector derivative(Lee&Jung’s method)
Eigenvector derivative(Proposed method)
-7.380E-01-j7.380E-01 7.380E+01+j7.380E+01 7.380E+01+j7.380E+01
-1.498E+00-j1.498E+00 1.498E+02+j1.498E+02 1.498E+02+j1.498E+02
2.736E-01+j2.736E-01 -2.736E+01-j2.736E+01 -2.736E+01-j2.736E+01
-4.472E+00-j4.472E+00 4.472E+02+j4.472E+02 4.472E+02+j4.472E+02
Eqn.number
1
2
3
71
72 -1.223E-01-j1.223E-01 1.223E+01+j1.223E+01 1.223E+01+j1.223E+01
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1717
jjjTj
j
pppp
KCM2
0)2(
)2(*
2
CM
CMKCMA
jTj
jjjj
jjjT
j
jjjj
jj
j
ppp
pppp
CMM
KCMCM
f
22
1
)2( 2
j
j
p fA 1*][0
j
Tjj
Tj
jjjj
MCM
CMKCMA
)2(
)2(2#
jjTj
jjj
j
pp
ppp
CM
KCM
f
22
1
2
jj
j
p
pfA 1# ][
Total
Lee & Jung’smethod
Proposedmethod
Method Operations CPU time(sec)
0.95
1.71
1.32
2.28
6.26
1.73
1.31
2.28
5.32
Total
Table 3. CPU time spent on the calculation of the first twenty eigenpair derivatives
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1818
0
2
4
6
8
10
12
14
0 10 20 30 40
Number of eigenvalues
CPU
tim
e (
sec)
Lee & Jung's method
Proposed method 10.8 초
12.8초
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 1919
결론결론
제안 방법은 기존의 고유치와 고유모드의 민감도 해석방법 중
가장 효율적인 Lee & Jung’s method 를 개선한 방법이다 .
감쇠시스템의 경우 Lee & Jung’s method 는 고유치와
고유모드의 미분을 따로 구했으나 , 본 방법에서는 이를 동시에
구할 수 있는 식을 제안함으로 알고리즘을 좀더 간략화 하였다 .
제안방법을 통해 Lee & Jung’s method 보다 계산 시간을
현저하게 줄일 수 있다 .
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 2020
중복근의 경우중복근의 경우
M
MK
M
MMKTT 5.0
)(
0
Φ
D
근접 모드
**
]Φ)(Φ[ MKDwhere T
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 2121
중복근의 경우 중복근의 경우 (( 제안방법제안방법 ))
D
근접 모드
**
p
C
p
M
p
K
p
C
p
M
MCM
CMKCM
jT
TT
22
1
)2(
)2(
2
2
]Φ)(Φ[ 2 KCMDwhere T
Φ
Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 2222
중복근의 경우 중복근의 경우 (Lee & Jung’ method)(Lee & Jung’ method)
D
근접 모드
**
ppp
pppp
T
T
CMM
KCMCM
CM
CMKCM
22
1
)2(
00)2(
)2(
2
2
Φ
]Φ)(Φ[ 2 KCMDwhere T
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