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第 2 章 正弦交流电路. 河 北 科 技 大 学 基础课教学部. i. -. +. u. 一段电路. 2.1 正弦量. 一 . 正弦量的定义与表示. 1. 正弦量的定义( P70 ). 2. 正弦量的表示. (1) 三角函数表示法( 瞬时值形式). i. I m. T. t. O. . (2) 波形图表示法. (1) 最大值. (2) 角频率. 单位:. (3) 初相角. 二 . 正弦量的三要素. 规定: | | 。. 若 i 1 = i 2 ,则. 说明 :. - PowerPoint PPT Presentation
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1 1m 1 1 2 2m 2 2sin( ), sin( )i I t i I t
例如
若 i1=i2 ,则 1m 2m 1 2 1 2, ,I I
说明 :
(1) 正弦量的三要素是正弦量相互区别的标志
例 1
t
i
0
100
50
t1
解 )10sin(100)( 3 tti
sin100500 时,当t 6,5 6
)6
10sin(100)( 3 tti
已知正弦电流波形如图, 试写出 的表达式;)(ti
srad310
显然, 不合题意。
5 6 6
2
0 0
0
1 cos 2( ) sin ( ) d d
21 1
2 2
T T
T
tt t t
t T
2 mm m
1 0.707
2 2
ITI I I
T
m( ) sin( ) 2 sin( )i t I t I t
II 2 m
同理,可得m m
1 , 2
2U U U U
( 2 )测量中,交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
( 3 )区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
注意
( 1 )工程上的电压、电流一般指有效值,但绝缘水平、耐压值指的是最大值。
四 . 同频率正弦量的相位差sin( ), sin( )m u m iu U t i I t 设
则相位差 ( ) ( )u i u it t
规定: ||
(1) >0 , u 超前 i
t
u, iu
i
ui
O
一 . 问题的提出:
2.2 正弦量的相量表示法2.2 正弦量的相量表示法
3 1 1 2 22 sin( ) 2 sin( )i I t I t
解: (1) 直接用三角函数计算
非常复杂
1 1 12 sin( ),i I t 已知两个同频率的正弦量
求3 1 2i i i 2 2 22 sin( ),i I t
1. 复数 A 的表示形式
Ab
Re
Im
a0
二 .相量表示法基础—复数
jbaA
(1) 代数形式
Ab
Re
Im
a0
|A|
jeAA ||
(2) 指数形式
sincos je j 其中
(2) 乘除运算—采用极坐标形式
1 1 1 11 2
2 2 2 2
| | | |
| | | |
A A θ Aθ θ
A A θ A
2121212121 AAeAeAAA jj
222111 ||,|| AAAA
三 . 相量表示法(相量法)
相量:表示正弦量的复数。
( ) 2 sin( )ii t I t iI I
m( ) I [ 2 ] 2 sin( )j t
ii t e I I t
u u( ) 2 sin( ) u t U t U U
同理
相量法:用相量表示正弦量的方法。
例 3
试用相量表示 i, u
已知)V6014t311.1sin(3
A)30314sin(4.141o
o
u
ti
解
V60220
A30100o
o
U
I
解 A)15314sin(250 ti
例 4
试写出电流的瞬时值表达式。. 50Hz A,1550
fI 已知
已知 o1
o2
5 2 sin(314 47 )A
10 2sin(314t 25 )A
i t
i
求 i1+i2
解 o o1 25 47 A, 10 25 AI I
o o1 2+ 5 47 10 25
5(cos 47 sin 47 )
10 cos( 25 ) sin( 25 )
I I
j
j
例 5
)226.4063.9()657.341.3( jj
已知 o
o
5 2 sin(314 47 )A
10 2sin(314t 25 )A
i t
u
求 p=ui
解 o o5 47 A, 10 25 AI U
o o
o
5 47 10 25
50 22
I U
例 6
50 2sin(314t+22 )Wp ui
一、电阻电路
u
i
R
2 sini I t 设 为参考正弦量
2.3 电路定律和元件 R 、 L 、 C 电压电流关系的相量形式
1. 电压电流关系的相量形式
由 欧姆定律 2 sin (1)u iR IR t
u2 sin( ) (2)u U t 正弦电压
(1) = (2) 得, u 0,U IR
(2) 平均功率 ( 有功功率 ) P :一个周期内的平均值
0 0
1 1T TP pdt uidt
T T
2
0
0
12 sin
1(1 cos 2 )
T
T
UI tdtT
UI t dt UIT
22 sin 0p ui UI t
(1) 瞬时功率 p
2. 功率
电阻是消耗能量的。
L
d die L
dt dt
由法拉第电磁感应定律
L
diu e L
dt (u,i 关联 )
若 u,i 非关联,则di
u Ldt
假设电流 i 与 eL 取非关联参考方向
L 0u e KVL :
3. 电压电流关系的相量形式
2 sini I t 设 为参考正弦量
2 cos
2 sin( 90 ) (1)
diu L I L t
dt
I L t
则
u2 sin( ) (2)u U t 正弦电压
(1) = (2) 得, u 90 ,U I L
2 sin cos
sin 2
p ui UI t t
UI t
(1) 瞬时功率 p
4. 功率
(2) 平均功率 ( 有功功率 ) P
0 0
1 1sin 2 0
T TP pdt UI tdt
T T
纯电感不消耗能量,只和电源进行能量交换。
2 sinu U t 设 为参考正弦量
2 cos
2 sin( 90 ) (1)
dui C U C t
dt
U C t
则
i2 sin( ) (2)i I t 正弦电流
(1) = (2) 得, i 90 , I U C
3. 电压电流关系的相量形式
2 sin cos
sin 2
p ui UI t t
UI t
(1) 瞬时功率 p
4. 功率
(2) 平均功率 P
0 0
1 1sin 2 0
T TP pdt UI tdt
T T
纯电容不消耗能量,只和电源进行能量交换。
2 sini I t ( 设 为参考正弦量 )
u
iC
例 1 已知: C = 1μF50 2 sin(314 )
6u t
求:电流有效值 I 和瞬时值 i
解: C 6
1 13180
314 10X
C
电流有效值 5015.7 mA
3180C
UI
X
单一参数正弦交流电路小结电路参数电路图
电压、电流关系有效值 相量图 相量形式
功率P Q
Ri
u u iR U IRU IR
UIUI 0
L
i
udi
u Ldt
C
i
u dui C
dt
LU IX
CU IX
U
I
U
I
LU I jX
CU I jX
0
0
2LI X
2CI X
基本关系
2.4 RLC 串联交流电路
2 sini I t设
一 . 电压、电流的关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
L
C
2 sin
2 sin( 90 )
2 sin( 90 )
IR t
IX t
IX t
R L Cu u u u 则
则
R
L
C
L
C
U IR
U I jX
U I jX
相量模型
R
L
C
RU
LU
CU
I
U
0I I 设 (参考相量)
R L C
L C
U U U U
I R j X X
KVL 的相量形式:
3. Z 和电路性质的关系
L CZ Z R j X X
1 L Cu i
X Xtg
R
当 时, , u 超前 i ,电路呈电感性
L CX X 0
当 时, , u 滞后 i ,电路呈电容性
L CX X 0
当 时, , u, i 同相,电路呈电阻性L CX X 0
R
L
C
RU
LU
CU
I
U
假设 R 、 L 、 C 已定,电路性质能否确定?
(阻性?感性?容性?)
不能!
当 ω 不同时,可能出现:
XL > XC ,或 XL < XC , 或 XL =XC 。
L C
1 , X L X
C
三、 RLC 串联电路中的功率
R L Cp u i p p p
1. 瞬时功率
2. 平均功率 P (有功功率)
0
R L C0
2R R
1
1( )
T
T
P pdtT
p p p dtT
P U I I R
L C
L C
L C
( )
( )
Q Q Q
U I U I
U U I
3. 无功功率 Q
4. 视在功率 S( 容量)
S UI 单位:伏安、千伏安
注: S = U I 可用来衡量发电机可能提供的最大功率(额定电压 × 额定电流)
例 3-11
R L L C C, , U IR U IX U IX
R LL
CC
80 90= =20Ω , = =22.5Ω,
4 430
= =7.5Ω4
U UR X
I IU
XI
R L C L RZ = Z Z Z ( )
20 (22.5 7.5) 20 15
25 37 Ω
R j X X
j j
Z 25
2.5 负载并联的交流电路
Z1 Z2
I
2I
U1I
i
Z1 Z2u
1i 2i
1 21 2 1 2
1 1( )
U UI I I U
Z Z Z Z
1 2
1 2
Z ZUZ
I Z Z
总阻抗
一、总阻抗
1 、由电路图画出相量模型图(电路结构不变)
s S
L CR R L jX C jX
u U i I u U
、 、
、 、
2 、根据相量模型列出相量方程
二、一般正弦交流电路的解题步骤
3 、求解相量方程
4 、将结果变换成要求的形式
例 1 4S 12 sin(10 )A, 10 50 ,i t Z j 已知
2 50 ,Z j 求各支路电流 和电压1 2,i i u
Z1 Z2u
1i 2i
Si+
- Z1 Z2
2I
U1I
SI+
-
S 1 0 AI 解:
21 S
1 2
5 90 AZ
I IZ Z
2 S 1 1 5 5.1 78.69 AI I I j
1 1 250 50 255 11.31 VU I Z j
4255 2 sin(10 11.31 ) Vu t
41 5 2 sin(10 90 )Ai t
42 5.1 2 sin(10 78.69 )Ai t
例 2 如图 ,求电流 和电压 R L,U UI
3ΩRU
LU
I
10 0 Vj4Ω
10 0 AU 解:
R LZ Z Z 3 4j
10 0 10 0=2 -53 A
3 4 5 53
UI
Z j
R 3 6 53 VU I
L 4 4 90 2 53 8 37 VU j I
如图 RLC 串联电路,其中 R=15Ω , L=12mH ,C = 5μF ,端电压为
例 3
100 2 sin(5000 )V,u t
试求电路中的电流 i 和各元件的电压相量。 解:
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
R
L
C
RU
LU
CU
I
U
C C 6
1 1Z 40Ω
5000 5 10jX j j j
C
3L LZ 5000 12 10 60ΩjX j L j j RZ 15ΩR
100 0 AU 由已知条件
各元件阻抗
R L CZ Z Z Z 15 (60 40) 25 53j
总阻抗
R R 4 53 15 60 53 VU IZ
L L 4 53 60 240 37 VU IZ j
c c 4 53 ( 40) 160 143 VU IZ j
4 2 sin(5000 53 )Ai t
100 0=4 -53 A
25 53
UI
Z
电路中的电流相量
各元件的电压相量
电路中的电流
正误判断
因为交流物理量除有效值外还有相位。
CLCLR XXIIRUUUU ?
CU RU
ULU
CL UU
I
CLR UUUU R
L
C
RU
LU
CU
I
U
在 R-L-C 串联电路中
2.6 功率因数的提高
一 . 提高功率因数的意义(1) 能够充分利用电源(发电机)的容量
P UI Scos cos 有功功率
cos P
(2) 减小输电线上的能量损耗
P UIcos有功功率
当 P 、 U 一定时,
cos I PËð
例
PI .
U .
400 364 A
cos 220 0 5
40W 白炽灯 cos 1
P UIcosP
I .U
400 182A
cos 220
40W 日光灯 .cos 0 5
供电局一般要求用户的 .cos 0 85
分析依据:提高功率因数前后 P 、 U 不变。
由相量图可知:
I I IC RL 1 2sin sin
P UIRL 1cos
P UI 2cos
UI U CXCC
P PU C
U U1 21 2
sin sincos cos
2
IRL
IC
I
1
U
作业 3-25
解 :(1) 1 1cos 0 7 45 6. , .
2 2cos 0 85 31 8. , .
1 22 ( )P
C tg tgU
3
2
20 10( 45.6 31.8)
2 50 220528 F
tg tg
2.7 交流电路的谐振
含有电感和电容的一端口电路,适当地调节元件参数或电源的频率,使端口电压与端口电流同相,这时称此电路处于谐振状态。
谐振概念:
谐振串联谐振: L 与 C 串联时, u 、 i 同相并联谐振: L 与 C 并联时, u 、 i 同相
XUU I X X U
R RXU
U I X X UR R
LL 0 L L
CC 0 C C
当 时,X X RL C U U UL C
(4)UL
UC
IU UR
串联谐振也称为电压谐振。
部分电压的有效值高于总电
压的有效值
5. 品质因数 Q
定义:电路处于串联谐振时,电感或电容上的电压和总电压之比。
0LL
CC
0
1
LUXU U
R RUX
U UR CR
谐振时,
U LUQ
U U R RCC 0L
0
1
Q体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。
10 2 sin(314 )V, u t例 1 如图 RLC 串联电路,已知
交流电压表的读数为 500V , 2 2 sin(314 )A,i t
求 R , L , C ,Q
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
V
解: u,i 同相,发生串联谐振10
5Ω2
UR
I
C 50050
10
UQ
U
例 2 RLC 串联电路发生谐振,已知电源电压有效值为 30V ,电源频率 f = 50HZ ,谐振时电流有效值为 0.2A ,容抗 XC = 314Ω,求该电路的电阻 R和电感 L。解: 30
150Ω0.2
UR
I
C LX X L
C C 3141H
2 2 3.14 50
X XL
f
证明
A B Cu u u
2 sin 2 sin 120 2 sin 120U t U t U t
2 sin 2 2sin cos120
0
U t U t
4. 特点
A B C(1) 0u u u
相电压AN BN CN, ,U U U
线电压 AB BC CA, ,U U U
AU
A
X
Y
C B
Z NCU
BU
+
++
-
--中性线(零线)
端线(火线)
端线(火线)端线(火线)
(1) 几个概念
(2) 线电压与相电压的关系
ANU
BNU
CNU
120o
AN BN CN0 , 120 , 120U U U U U U
2 2AB 2 cos120 3U U U U U U
ABU30o
AB AN3 30U U
ABU
CUZ A
B XC Y
AU
BU
-
-
-+
+
+相电压A B C, ,U U U
线电压 AB BC CA, ,U U U
(2) 线电压与相电压的关系
AB A BC B CA C, ,U U U U U U
(1) 相电压和线电压
相电压的大小用 UP表示,线电压的大小用 Ul 表示,则 plU U
2.8.2 对称三相电路的连接
一 . 三相电路的连接方式
1. 有中性线的星形星形连接( Y0–Y0 )2. 无中性线的星形星形连接( Y-Y )3. 星形三角形连接( Y-△)4. 三角形星形连接( △ -Y )5. 三角形三角形连接( △ -△)
对称三相电路:三相电源对称,三相负载也对称的电路。
2. 线电流与相电流的关系
Z
Z Z
A
C B
N
B
AU
A
X
Y
C
Z NCU
BU
+
++
-
--
相电流 A N B N C N, ,I I I 线电流 A B C, ,I I I
AI
CI BI
A NI
B NI C NI
NI
中性线电流NI
A A N B B N C C N, ,I I I I I I
相电流的大小用 IP表示,线电流的大小用Il 表示,则 。plI I
对 点列 KCL 得,N
N A N B N C N
AN BN CN
0
I I I I
U U U
Z Z Z
中性线电流
中性线可省掉
2. 线电流与相电流的关系
CU
A
BC
AU
BU
-
-
-+
+
+Z Z
Z
A
BC
AI
CI BI
A BI
B CI C AI
相电流 A B B C C A, ,I I I
线电流 A B C, ,I I I
A BI
B CI
C AI
120o
A B B C C A0 , 120 , 120I I I I I I 设
对 点列 KCL 得,A A A B C AI I I
30o
AI30o
AI
2 2A 2 cos120 3I I I I I I
A A B3 30I I
2.8.3 对称三相电路的功率一 . 平均功率(有功功率)
A B C P P3 cos 3 cosl lP P P P U I U I
二 . 无功功率
A B C P P3 sin 3 sinl lQ Q Q Q U I U I
求:(1) 线电流(2) 若 A 相负载短路或开路,求各项负载的相电压有效值。(3) 求负载的有功功率 P 和无功功率 Q 。
A B C, ,I I I
例 1. 在 Y-Y 三相三线制对称三相电路中,已知线电压的有效值为 380V, 负载阻抗 ,165 84Z j
解:(1) 以 为参考相量,则ANU
AN
3800 220 0 V
3U
ANA
220 01.19 27 A
165 84
UI
Z j
B 1.19 147 AI
由对称关系得
C 1.19 93 AI
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