Организация работы со слабоуспевающими ...

Организация работы со слабоуспевающими неуспевающими учащимися на уроке

«Увидеть и понять «Увидеть и понять проблему – проблему – наполовину решить её, наполовину решить её, если же не видишь если же не видишь проблему, это значит, проблему, это значит, что она в тебе самом». что она в тебе самом».

Актуальная проблема Актуальная проблема нашей школы –нашей школы – «не потерять», «не потерять», «не упустить» «не упустить» учащихся с низкими учащихся с низкими учебными учебными возможностями.возможностями.

Особенности неуспевающих Особенности неуспевающих учащихсяучащихся

низкий уровень знаний, как следствие этого низкий уровень знаний, как следствие этого низкий уровень интеллектуального развития низкий уровень интеллектуального развития

отсутствие познавательного интереса отсутствие познавательного интереса

не сформированы элементарные не сформированы элементарные организационные навыки организационные навыки

учащиеся требуют индивидуального учащиеся требуют индивидуального подхода с психологической и подхода с психологической и педагогической (в плане обучения) точки педагогической (в плане обучения) точки зрения зрения

Особенности неуспевающих Особенности неуспевающих учащихсяучащихся

нет опоры на родителей как союзников нет опоры на родителей как союзников учителя - предметника учителя - предметника

дети, в основном, из асоциальных семей дети, в основном, из асоциальных семей

отсутствие адекватной самооценки со отсутствие адекватной самооценки со стороны учащихся стороны учащихся

частые пропуски уроков без уважительной частые пропуски уроков без уважительной причины, что приводит к отсутствию причины, что приводит к отсутствию системы в знаниях и как следствие этого - системы в знаниях и как следствие этого - низкий уровень интеллектанизкий уровень интеллекта

Отставание ученика в усвоении Отставание ученика в усвоении конкретного учебного предмета можно конкретного учебного предмета можно обнаружить по следующим признакам:обнаружить по следующим признакам:

1. Низкий уровень умственного 1. Низкий уровень умственного развития.развития.

2. Несформированность учебных 2. Несформированность учебных навыков.навыков.

3. Дефицит внимания с 3. Дефицит внимания с гиперактивностью.гиперактивностью.

4. Отсутствие познавательного 4. Отсутствие познавательного интереса.интереса.

Отставание ученика в усвоении Отставание ученика в усвоении конкретного учебного предмета можно конкретного учебного предмета можно обнаружить по следующим признакам:обнаружить по следующим признакам:

5. Несформированность 5. Несформированность произвольной сферы.произвольной сферы.

6. Конфликтные отношения6. Конфликтные отношения

7. Низкий познавательный интерес7. Низкий познавательный интерес

8. Низкий уровень развития 8. Низкий уровень развития словесно-логического мышлениясловесно-логического мышления

9. Низкая работоспособность9. Низкая работоспособность

Чтобы предотвратить Чтобы предотвратить неуспеваемость, надо неуспеваемость, надо

своевременно выявлять своевременно выявлять образовавшиеся пробелы в образовавшиеся пробелы в знаниях, умениях и навыках знаниях, умениях и навыках

учащихся и организовать учащихся и организовать своевременную ликвидацию своевременную ликвидацию

этих пробелов.этих пробелов.

Нужно установить Нужно установить правильность и разумность правильность и разумность способов учебной работы, способов учебной работы,

применяемых учащимися, и применяемых учащимися, и при необходимости при необходимости

корректировать эти способы. корректировать эти способы. Нужно систематически Нужно систематически

обучать учащихся обучать учащихся общеучебным умениям и общеучебным умениям и

навыкам.навыкам.

Нужно так организовать Нужно так организовать учебный процесс, жизнь учебный процесс, жизнь

учащихся в школе и в классе, учащихся в школе и в классе, чтобы вызвать и развить у чтобы вызвать и развить у

учащихся внутреннюю учащихся внутреннюю мотивацию учебной мотивацию учебной

деятельности, стойкий деятельности, стойкий познавательный интерес к познавательный интерес к

учению.учению.

Как помочь слабоуспевающему Как помочь слабоуспевающему ученику:ученику:

Для закрепления необходимо более Для закрепления необходимо более длительное время и больший объем длительное время и больший объем решаемых задач.решаемых задач.

Учитель для себя и для ученика Учитель для себя и для ученика должен сформулировать минимум должен сформулировать минимум знаний и навыков, который должен знаний и навыков, который должен усвоить ученик.усвоить ученик.

Как повысить работоспособность:

Разнообразить виды деятельности.

Проветривать кабинет. Проводить физминутки. Всегда надо помнить о

соблюдении принципа необходимости и достаточности.

Виды работ со слабоуспевающими учениками Карточки для индивидуальной

работы. Задания с выбором ответа. Деформированные задания. “Разрезные” теоремы. Перфокарты. Карточки - тренажеры. Творческие задания.

Карточки для индивидуальной

работыТема: Решение линейных уравнений Пример. Решите уравнение

2(0,4х – 3)=20,8х – 6 = 20,8х = 2 + 60,8х = 8х = 8 : 0,8х = 10 Ответ: х = 10

Задание: Решите уравнение 0,1(х + 2) = 0,7

Задания с выбором ответа

Задание 1

На 3 смбольше

5см

Варианты ответа:а) 21 смб) 22 смв) 20 см

, 100

Варианты ответа:а) 100°б) 60°в) 80°

°?

Деформированные задания

1. Закончите предложение: «Число делится на 3, если сумма его цифр…»

2. Вставьте пропущенные буквы.ПРЯМ…УГОЛЬНЫЙ ПАРА…Е…ЕПИПЕД

3. Вставьте нужный символ или нужный знак <, >, =.□٠(5 +∆) … □٠5 +□ ٠∆

2٠(15 + 92) … 2٠15 + 2٠92

(☼ +☻) ٠2 = … ☼ + 2٠☻

2٠( 15 – 9) … 2٠18 + 2٠9

Карточки - тренажеры

Обратите обыкновенные дроби десятичные

2⅖

● ● ● ●

4 35

34

48

12

Ответы

2,4 0,2 0,5 0,25

● ● ● ●

4,5 0,5 0,75 0,6

● ● ● ●

● ● ● ●

«Разрезные теоремы» Теорема: Если при пересечении двух

прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны

------------------------------------------------Дано: прямые а, в, с, с-секущая,1=2 (соответственные)Доказать: а в

4

---------------------------------------------------Доказательство: Так как угол 1 = 2 (по условию) и 2 =3 (как вертикальные), то 1 = 3. Но 1 и 3 – Накрест лежащие, значит а в.

а

в

с

2

3 4

1

Творческие задания• Поиск различных способов

решения задач.• Составление кроссвордов.• Сочинение математических

сказок, игр.• Составление задач по

данному условию.

Учитель должен:

Знать психическое развитие ребёнка

Стремиться понять и принять каждого ребёнка

Создать спокойную обстановку и благоприятный психологический климат на уроке

Учитель должен:

Проявлять

- разумную требовательность- неиссякаемое терпение- справедливую строгость- веру в возможности ученика

Учитель должен:

Уметь встать на позиции ученика Сказать НЕТ насмешливому тону! Уметь вести непринуждённый

диалог Стремиться к внешней

занимательности

Учитель должен:

Использовать средства невербального общения (опорные сигналы, рисунки, таблицы, схемы, план)

Учить работать со словарями и другим справочным материалом

Учитель должен:

В обучении применять

- опережающее обучение- различные формы групповой работы- взаимоопрос, самоконтроль- конспекты-блоки по разным темам, использование их на разных этапах обучения

Учитель должен:

При формулировании целей урока включать как приоритетный коррекционно – развивающий аспект

Рационально распределять учебный материал (трудное – сначала!)

Учитель должен:

Применять частую смену видов деятельности на уроке

Многократно проговаривать и закреплять материал урока

Стремиться к алгоритмизации деятельности

Правила, разработанные психологами:

Не ставить слабого в ситуацию неожиданного вопроса и не требовать быстрого ответа на него, давать ученику достаточно времени на обдумывание и подготовку.

Желательно, чтобы ответ был не в устной, а в письменной форме.

Правила, разработанные психологами:

Нельзя давать для усвоения в ограниченный промежуток времени большой, разнообразный, сложный материал, нужно постараться разбить его на отдельные информационные куски и давать их постепенно, по мере усвоения.

Правила, разработанные психологами:

Не следует заставлять таких учеников отвечать на вопросы по новому, только что усвоенному материалу, лучше отложить опрос на следующий урок, дав возможность ученикам позаниматься дома.

Правила, разработанные психологами:

Путём правильной тактики опросов и поощрений (не только оценкой, но и замечаниями типа «отлично», «молодец», «умница» и т. д.) нужно формировать у таких учеников уверенность в своих силах, в своих знаниях, в возможности учиться. Эта уверенность поможет ученику в экстремальных стрессовых ситуациях сдачи экзаменов, написания контрольных работ и т. д.

Правила, разработанные психологами:

Следует осторожнее оценивать неудачи ученика, ведь он сам очень болезненно к ним относится.

Во время подготовки учеником ответа нужно дать ему время для проверки и исправления написанного.

Следует в минимальной степени отвлекать ученика, стараться не переключать его внимание, создавать спокойную, не нервозную обстановку.

Дифференцированный Дифференцированный подход подход

При закреплении. При закреплении. При проверке домашнего При проверке домашнего

задания. задания. При самостоятельной При самостоятельной

работе.работе.

Создать на уроке Создать на уроке ситуацию успеха: ситуацию успеха:

помочь сильному ученику помочь сильному ученику реализовать свои возможности реализовать свои возможности в более трудоемкой и сложной в более трудоемкой и сложной деятельности; деятельности;

слабому – выполнить слабому – выполнить посильный объем работы. посильный объем работы.

Обучение в Обучение в сотрудничестве сотрудничестве

Позволяет отстающим Позволяет отстающим ученикам чувствовать себя ученикам чувствовать себя полноправными членами полноправными членами команды и стимулирует команды и стимулирует желание учиться.желание учиться.

Разнообразные формы и Разнообразные формы и жанры урока жанры урока

урок-играурок-игра урок-спектакльурок-спектакль урок-путешествиеурок-путешествие урок-детективурок-детектив урок-сказкаурок-сказка урок-концертурок-концерт урок-картинаурок-картина ““Блиц уроки”Блиц уроки”

Проектное обучение Проектное обучение

Метод проектов Метод проектов рассматривается как способ рассматривается как способ актуализации и актуализации и стимулирования стимулирования познавательной познавательной деятельности учащихся. деятельности учащихся.

Геометрия Геометрия треугольникатреугольника

Геометрия Геометрия треугольникатреугольника

Треугольник АВСА,В,С – вершины - углыАВ, ВС, АС – стороны Р=АВ+ВС+АС

СВА ,,

А

В

СА

В

I. По сторонам• РазностороннийАС>АВ>ВС

А

С

В

• Равнобедренный

АВ=ВСАС- основание

А

В

С

• Равносторонний

АВ=ВС=АС

А

В

С

II. По углам • Остроугольный - острые

углы

А

В

С

СВА ,,

• Прямоугольный угол А - прямой

А

В

С

• тупоугольныйугол С - тупой

А

В

С

Соотношение между сторонами и углами

Неравенство треугольникаЛюбая сторона треугольника меньше суммы двухсторон, но больше модуля их разности: ваcва

вас

в

са

Сумма углов треугольника равна 1800

Против большой стороны в треугольнике лежит больший угол:

0180

b

c

a

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

b

c a

Теорема косинусов:

cos2222 abbac

b

c

a

Теорема синусов:

sinsinsin

cba

b

c

a

R

Это отношение Это отношение равно равно 2R2R, где , где RR – – радиус описанной радиус описанной окружностиокружности

По двум сторонам и углу между ними

По одной стороне и двум прилежащим к ней углам

По трем сторонам

Признаки подобия треугольников

По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

11 b

b

а

а

ab

b1a1

по двум равным углам

По трем пропорциональным сторонам:

111 c

c

b

b

a

a

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника

Формула Герона

Через три стороны:

где

))()(( cpbpappS

аа

b с

2

cbap

Биография ПифагораБиография Пифагора

Великий ученый Пифагор родился Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные вскоре проявил и свои незаурядные способности.способности.

Среди учителей юного Пифагора Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам мелодии кифары и гекзаметрам ГомераГомера

Страсть к музыке и поэзии великого Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и Ферекид же был философом и считался основателем италийской считался основателем италийской школы философии. Таким образом, школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.Пифагор и сделал.

Исторический обзор начнем с Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает внимание привлекает математическая книга Чу-пей. математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так В этом сочинении так говорится о пифагоровом говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:4 и 5:

"Если прямой угол разложить на "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, составные части, то линия, соединяющая концы его соединяющая концы его сторон, будет 5, когда сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".основание есть 3, а высота 4".

В этой же книге предложен В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской одним из чертежей индусской геометрии Басхары.геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что историк математики) считает, что равенстворавенство

3 ² + 4 ² = 5²3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще было известно уже египтянам еще

около 2300 г. до н. э., во времена царя около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения возразить, что их способ построения становиться излишним, если становиться излишним, если воспользоваться, например, воспользоваться, например, деревянным угольником, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную изображающие столярную мастерскую.мастерскую.

Египетский треугольникЕгипетский треугольникЗемлемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приёмом. Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приёмом. Бечёвку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечёвку растягивали на Бечёвку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечёвку растягивали на

земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (32+42=52). В связи с указанным противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (32+42=52). В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник называют египетским. способом построения прямого угла треугольник называют египетским.

Обоснование: Обоснование: Дано:Дано:DАВС, АC:АB:BC=3:4:5DАВС, АC:АB:BC=3:4:5Доказать:Доказать:DАВС -прямоугольный.DАВС -прямоугольный.Доказательство:Доказательство:Т.к. АC:АB:BC=3:4:5, введем коэффициент Т.к. АC:АB:BC=3:4:5, введем коэффициент пропорциональности k. пропорциональности k. Тогда AC=3k, AB=4k, BC=5k.Тогда AC=3k, AB=4k, BC=5k.Построим DА1В1С1 - прямоугольный,Построим DА1В1С1 - прямоугольный, РA1=900 А1С1 =3k и A1 B1=4k.РA1=900 А1С1 =3k и A1 B1=4k.А1 C12=А1С12+A1 B12=(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2=(5k)2.А1 C12=А1С12+A1 B12=(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2=(5k)2.( По теореме Пифагора) т.е А1 C1=5k( По теореме Пифагора) т.е А1 C1=5kСледовательно, DАВС = DА1В1С1 (по третьему признаку)Следовательно, DАВС = DА1В1С1 (по третьему признаку)DАВС - прямоугольный, и РA=900. DАВС - прямоугольный, и РA=900. Вывод:Вывод:Доказано утверждение, обратное теореме Пифагора - если Доказано утверждение, обратное теореме Пифагора - если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей,в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей,то этот треугольник - прямоугольный.то этот треугольник - прямоугольный.Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах".треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах".

Несколько больше известно о теореме Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:математик) сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в смутных представлениях, превратились в точную науку."точную науку."

Геометрия у индусов, как и у египтян и Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.18 века до н. э.

В прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике

квадрат гипотенузы

квадрат гипотенузы

равен сумме квадратов катетов

равен сумме квадратов катетов

1. Доказательство теоремы1. Доказательство теоремы(учебник «Геометрия 7-9 класс»(учебник «Геометрия 7-9 класс»

Рассмотрим прямоугольный Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами треугольник с катетами a,b a,b и и гипотенузой с. гипотенузой с.

Докажем, чтоДокажем, что a a22+b+b22=c=c22

Достроим треугольник до квадрата со Достроим треугольник до квадрата со стороной стороной a+ba+b

Площадь этого квадрата равна (Площадь этого квадрата равна (a+ba+b))22. . С другой стороны, этот квадрат С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна площадь каждого из которых равна 11/2 a/2 a**b, b, и квадрата со стороной с, и квадрата со стороной с, поэтому поэтому S=4*1/2ab+cS=4*1/2ab+c22=2ab+c=2ab+c22..

Таким образом (Таким образом (a+b)a+b)22=2ab+c=2ab+c22, , откуда откуда сс22==aa22+b+b22. .

Теорема доказанаТеорема доказана

A

BC a

b c

a

b a

b

a

ba

b c

c c

c

1.1. Простейшее доказательство Простейшее доказательство теоремы получается в теоремы получается в простейшем случае простейшем случае равнобедренного равнобедренного прямоугольного треугольника. прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников прямоугольных треугольников (рис. 1), чтобы убедиться в (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по построенные на катетах,— по два. Теорема доказана.два. Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация Геометрическая интерпретация теоремы Пифагора.теоремы Пифагора.

..

2. Рассмотрим квадрат, 2. Рассмотрим квадрат, показанный на показанный на рисунке.рисунке.

Сторона квадрата равна Сторона квадрата равна a + c.a + c.

В одном случае (слева) В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат разбит на квадрат со стороной квадрат со стороной b и четыре b и четыре прямоугольных прямоугольных треугольника с треугольника с катетами a и c.катетами a и c.

В другом случае (справа) В другом случае (справа) квадрат разбит на квадрат разбит на два квадрата со два квадрата со сторонами a и c и сторонами a и c и четыре четыре прямоугольных прямоугольных треугольника с треугольника с катетами a и c.катетами a и c.

Таким образом, Таким образом, получаем, что получаем, что площадь квадрата со площадь квадрата со стороной b равна стороной b равна сумме площадей сумме площадей квадратов со квадратов со сторонами a и c.сторонами a и c.

3. Доказательство индийского 3. Доказательство индийского математика Бхаскари.математика Бхаскари.

Рассмотрим квадрат, Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.показанный на рисунке.

Сторона квадрата равна b, Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 на квадрат наложены 4 исходных треугольника с исходных треугольника с катетами a и c, как катетами a и c, как показано на рисунке. показано на рисунке. Сторона маленького Сторона маленького квадрата, получившегося квадрата, получившегося в центре, равна c - a, в центре, равна c - a, тогда:тогда:

bb22 = 4*a*c/2 + (c-a) = 4*a*c/2 + (c-a)2 2 == = 2*a*c + c= 2*a*c + c22 - 2*a*c + a - 2*a*c + a22 = a= a22 + +

cc22

Рассмотрим примеры практического применения Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.плоскости.

1. Диагональ d квадрата со 1. Диагональ d квадрата со стороной а можно стороной а можно рассматривать как рассматривать как гипотенузу прямоугольного гипотенузу прямоугольного равнобедренного равнобедренного треугольника с катетом а. треугольника с катетом а. Таким образом, Таким образом,

d=d=2a,2a,откудаоткуда: : dd 2 2 == 2a2a ²².. 2. Диагональ d прямоугольника 2. Диагональ d прямоугольника

со сторонами а и b со сторонами а и b вычисляется подобно тому, вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем с катетами a и b. Мы имеем

d² = a ²+b²d² = a ²+b²

Исследуем пирамиду, Исследуем пирамиду, например, такую, в например, такую, в основании которой лежит основании которой лежит квадрат и высота которой квадрат и высота которой проходит через центр этого проходит через центр этого квадрата (правильную квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер (длину боковых ребер пирамиды).пирамиды).

Ребра будут гипотенузами Ребра будут гипотенузами прямоугольных прямоугольных треугольников, у которых треугольников, у которых один из катетов - высота h, а один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали другой - половина диагонали квадрата (1/2квадрата (1/2**2a). 2a). Вследствие этого имеем:Вследствие этого имеем:

ss22 = h = h 22+(1/+(1/4)4)a.a. Затем можем вычислить Затем можем вычислить

высоту h1 боковых граней. высоту h1 боковых граней. h1h122= h= h22 +(1/4)a +(1/4)a22..

В зданиях готического и романского стиля В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна представлен простой пример такого окна в готическом стиле. в готическом стиле.

Способ построения его очень прост: Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг из рисунка легко найти центры шести дуг

окружностей, радиусы которых равны окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг,касающаяся четырех дуг,

т. к. она заключена между двумя т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4, а тогда становится радиус равен b/4, а тогда становится ясным и положение ее центра. ясным и положение ее центра.

По теореме Пифагора имеем: По теореме Пифагора имеем:

(b/4+p(b/4+p))22=(b/4)=(b/4)22+(b/4-p)+(b/4-p)22

или или

bb22/16+b*p/2+p/16+b*p/2+p22=b=b22/16+b/16+b22/4-/4-b*p+pb*p+p22,,

откуда откуда

bb*p/2=b*p/2=b22/4-b*p./4-b*p.

Разделив на b и приводя Разделив на b и приводя подобные члены, получим: подобные члены, получим:

(3/2)*p = b /4, p = b/6.(3/2)*p = b /4, p = b/6.

У египтян была известна задача о лотосеУ египтян была известна задача о лотосе

"На глубине 12 футов растет лотос с "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления проходящей через точку крепления стебля ко дну"стебля ко дну"

Задача древних индусов, сформулированная в виде Задача древних индусов, сформулированная в виде стихотворения, взятая из книги Я.И.Перельмана "Занимательная стихотворения, взятая из книги Я.И.Перельмана "Занимательная

геометрия".геометрия".

Над озером тихим,Над озером тихим,С полфута размером, С полфута размером, высился лотоса цвет.высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер Он рос одиноко. И ветер порывомпорывом

Отнес его в сторону. НетОтнес его в сторону. НетБоле цветка над водой,Боле цветка над водой,

Нашел же рыбак его Нашел же рыбак его ранней веснойранней весной

В двух футах от места, В двух футах от места, где рос.где рос.

Итак, предложу я вопрос:Итак, предложу я вопрос:Как озера водаКак озера водаЗдесь глубока?Здесь глубока?

пирамида Хеопса пирамида Хеопса

МногогранникиМногогранники

МногогранникиМногогранники

МногогранникиМногогранники

МногогранникиМногогранники

Правильные многогранникиПравильные многогранники

Правильные многогранникиПравильные многогранники

Правильные многогранникиПравильные многогранники

Кристаллическая решетка Кристаллическая решетка алмаза - тетраэдралмаза - тетраэдр

Развёртки куба и тетраэдраРазвёртки куба и тетраэдра

Старый Курск и Старый Курск и многогранникимногогранники

Старый Курск и Старый Курск и многогранникимногогранники

Старый Курск и Старый Курск и многогранникимногогранники

Старый Курск и Старый Курск и многогранникимногогранники

Вписанные и описанные Вписанные и описанные многогранникимногогранники

Космический кубок КеплераКосмический кубок Кеплера

«Икосаэдро-додекаэдровая «Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли»структура Земли»

Скелет одноклеточного организма феодарииСкелет одноклеточного организма феодарии ( ( Circjgjnia icosahtdra Circjgjnia icosahtdra ) )

по форме напоминает икосаэдр. по форме напоминает икосаэдр.

"Тайная вечеря" С. Дали"Тайная вечеря" С. Дали

Альбрехт Дюрер«Меланхолия»Альбрехт Дюрер«Меланхолия»

Технология Технология

“полного усвоения”“полного усвоения”

Этапы освоения изучаемого материала

Организационно-педагогическая направленность

1. Изучение нового материала. Индивидуализация учебного процесса.

2. Диагностическое тестирование. Проверка базового уровня.

3. Уроки коррекции и развития. Коррекция: повторение (на качественно новом уровне) —> закрепление —> повторная диагностическая работа.Развитие: повторный уровень —> углубленный уровень.

Дифференциация учебного процесса.

4. Итоговый контроль. Обязательный уровень —> продвинутый уровень —> углубленный уровень.

Проверка результатов обучения.

Все наши дети очень разные: одни яркие, талантливые, другие не очень. Но каждый ребенок должен самореализоваться.

СПАСИБО ЗА

ВНИМАНИЕ !