فيما سبق ؟

السادس الفصل

الحدود كثيرات

؟ سبق فيما

درست إجراء العمليات على

العبارات األسية

واألن

6-1

ضرب •وحيدات

الحد

فكرة أضرب وحيدات الدرس

الحد ـ أبسط عبارات تتضمن

وحيدات الحد

المفردوحيدة الحد ـ اتثابت

لماذا تحتـوي كثـير من الصـيغ على وحيـدات ؟

حد، فمثال صيغةقوة محرك السيارة باألحصنة هي

وة المـحرك بالحـصان، ل: ق ـق حيث تمـثك كتلة السيارة

ــيرها ــد مسـ ــرعتها بعـ ــا، ع سـ بركابهـمسافة ربع ميل.

ان رك بالحـص وة المـح ح أن ـق من الواـض السرعة .تزداد كلما ازدادت

وحيــدات الحــد : تكــون وحيــدة يرا، أو حاـصل ددا، أو متـغ د ـع الـحضــرب عــدد في متغـير واحــد أو أـكثر بأـسس ـصحيحة ـغير ـسالبة.

وتتكون من حد واحد فقط.

الثــابت: هــو وحيــدة حــد تمثـــل عـــددا حقيقيـــا.

ــد ــدة الح س هي ٣ووحية؛ ارة خطـي ال على عـب مـثألن أس المتـغير س فيـها

٢س ٢، أـما وحـيدة الـحد ١ــة؛ ــارة خطي ــت عب فليسألن األس عـــدد مـــوجب

.١أكبر من

ــة ــارات اآلتي ــانت العب حــددى إذا كــبى "نعم" أو "ال"، ــدة حــد، اكت وحي

وفسرى إجابتك:.

مثال

ـثابت، ـلذا فـهو وحيدة حد.١٠ نعم؛ الـعدد 10أ( + ة ٢٤ب( ف ارة عملـي ذه العـب من ـه ال؛ تتـض

جمعـ، لذـا فهـي تحـتوي ـعلـى أكثر منـ حد.

األساس لهما قوتين لضربأسيهما اجمع ، نفسه

عددين وأى ؛ أ حقيقى عدد ألى ، م صحيحين

+ ب × = م أ ب أ م أ8ب = 5+3ب = 5ب ×3ب

ضرب القوى

بـسطى ـكل عـبارة مما يأتى :

( ) ( 3ن6أ ( 7ن2)

مثال

× 3 ( ) ن٦ × ٢ ( = ) ٧ ن٢ ( ) ٣ ن٦) (٧ ن

( = ٧ + ٣ ( ) ن ٦ × ٢ = ) 10ن12

الحل

األسس اضرب القوة قوة إليجادعددين وأى ، أ حقيقى عدد ألى

، م صحيحين ) م ) أ ن × أ = نن .م

١٥ب = ٣× ٥ب = ٥ ( ٣ب)

قوة القوة

xّ2بسطى العبارة : ] )3) 2 ]4

مثال

( [2 3) 2] 4( = 32× 2) 4

(٦ ٢ )٤ = 62 ×4

=٢٤ ٢ = 16777216

الحل

دائرة برى عن مـساحة اـل : ـععلى صورة وحيدة الحد .

مثال

نق = ط 2المساحةص ٢ط= ) ٢ ( ٢س

(٤ص ٢س ٢ ٢ط= ) ط 4ص ٢س ٤=

تساوي الدائرة مساحة ط ٤ص ٢س ٤إذن،. مربعة وحدة

الحل

اكتب حد، وحيدة عبارة ىلتبسيط: أن على لها مكافئة

أساس• صورة على متغير كل يظهر. فقط واحدة مرة

. قوة• قوة العبارة تتضمن الأبسط• في الكسور جميع تكون

صورة.

تبسيط العبارات الجبرية

ــارة : ) ــ ــطى العبـ ــ س 3: بسـ2 [2ص(2 ] )-2(4ص

مثال

الحل

تأكد

دة حـد، ة وحـي ارات اآلتـي : حـددى إذا كـانت العـبـاكتبى ـ"نعم" أو "ال"، وفسرى ـإجابتك:.

الالنعم

نعمنعمال

مما عبارة كل بِّس�طيأتي:

= 3+1= ك4ك

= 2+4= م6م

( = 4+2( )ك9×2= )6ك18

8 م35= = 6×4ص6س83= 4ف

24ص6س

- =6هـ9حـ6ف8

=2ن20ب81

4

2حـ18ب8أ16

م = أن 2ض6بما

م( = (2أ )6أ 2ب4أ6 = 2ب

م = : هي المكعب سطح السطح، ٢ض ٦مساحة مساحة م حيث ،. الضلع طول ض

1 على المجاور المكعب سطح مساحة عن عبر . حد وحيدة صورة

2 - = أ كان إذا مكعب سطح مساحة = ٣ما ب ،٤

2(4( )43)6م =

=6(81( )16 = )7776

4ع12ص 8س200=

: بِّس �طى ك ل عب ارة مم ا يأتي:

حـ+16د 8(3= )- 2ن

2حـ12ن16د6561 =

8حـ12ب15أ 21952=-1ل-3هـ7حـ18= -

دة حـد، ة وحـي ارات اآلتـي : حـددى إذا كـانت العـبـاكتبى ـ"نعم" أو "ال"، وفسرى ـإجابتك:.

نعمنعمال

نعمالال

مما عبارة كل بِّس�طيأتي:

( = 4+2)ك2(2+9( )ع4+6)ص66ك2

11ع10ص6

4 حـ5ن42= -82= 2(42= )4هـ

28 ك20= ك12ص6س64=

د( 3حـ5)2 /1(4د2حـ8)5 د5 حـ20=

حـ هـ( 3)2 /1(5هـ2حـ8)

6 هـ3حـ3=

21م169

1حـ6

18هـ27حـ512

10ك32000

16م

1ر27ب294

9ع12ص8س800

4

6س0.25

ب3م86

3حـ26ب31أ288

0

- =27

3حـ

64

=

16425أ

(2س3)2س (3س5)

=7س15

(3س4ح=)(2س2)

= 16 9س

=264

4س

7

ع( = ك ط جول 1410 × 270 = 2(610×30 × )3= 2ا

ط( = جول 1410 × 54 = 2(710×3)6ب

4 × س2س3(2)س

2(3)س

: اكتب ثالث عبارات مختلفة يمكن .٦تبسيطها إلى س

اكتب ـصيغتين تـحوي ـكل منهـما وحـيدة ـحد. وفـسر ع ا فيـ مسـاـئل ـمن واـق ـف تســتعملـ كالـ منهـم ـكـي

الحياة.

أ ب حـ2 أ ، 5

ال يتغير المقطع السينى

6-2

قسمة •وحيدا

ت الحد

فكرة الدرس

قسمة ناتج أجدأبسط ـ حد وحيدتى

تحتوى عباراتأو سالبة أسسا

صفرا

المفردات

رتبة المقدار

؟ لماذا : بـلغ ـعدد ـسكان محافـظة اإلحـساء في ـعام

مة ١٠٦٣١١٢ هـ ١٤٣١ ون نـس مة أي ملـي نـسا أو دد سـكان محافظـة 610تقريـب غ ـع ، وبـل

ه ام نفـس ة في الـع نـسمة أي ١٠٣٤١١الباـحــا أو ١٠٠ ــمة تقريب ــف نس ــون 510 أل . فتك

دد ـسكان اء إلى ـع دد ـسكان اإلحـس بة ـع نـسالباحة في تلك السنة هي:

وـهذا يـعني أن ـعدد ـسكان اإلحـساء يـساوي أمثال عدد سكان الباحة.١٠

ادئ اختصـار ا اسـتعمال مـب : يمكنـنالكسـور االعتياديـة إليجـاد نـاتج

قسمة وحيدتي حد .

قسمة القوى ــا نفس ــوتين لهمـ ــمة قـ ــد قسـ عنـ

األساس يطرح األسان . وأى ـعددين ـصحيحين 0ألى ـعدد أ ≠

م ، ن فإن :

بـسطى العـبارة اـفترض أـنا المـقام اليساوى صفرا .

الحل :

(2-5( ) هـ 1-3= ) جـ 3 هـ2= جـ

مثال

يمكنك استعمال تعريف القوى إليجاد ناتج قوى قسمة

وحيدات الحد انظر نمط األسس في المثاليين اآلتيين:

قوى القسمةإليجاد قوة ناتج قسمة ، اوجد كال من قوة

البسط وقوة المقام .

ألى عددين حقيقيين أ ، ب ≠ صفر وأى عدد صحيح م فإن

بســــــطى العبارة

الحل :

مثال

ــية األس ــ خاصـالصفرى

أي عدد غير الصفر مرفوع .١للقوة صفر يساوي

ألي عدد حقيقي أ ال يساوي .١ = ٠صفرا، أ

أتي. افترـضى ا ـي ارة مـم ل عـب : بـسطى ـكأن المقام ال يساوي صفرا:

الحل :

مثال

رتبة المقدار

تستعمل رتبة المقدار لمقارنة المقادير وتقدير الحسابات

وإجرائها بسرعة، وتعبر عن العدد مقربا ألقرب قوة العشرة. فمثال

مقربا ألقرب ٩٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠العدد أو ١١ ١٠قوة العشرة هو

، لذا فإن رتبة ١٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠ .١١ ١٠ هي ٩٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠المقدار

ل ول الرـج دل ـط ترض أن مـع ١٫٧اـفــو ــة ه ــدل طــول النمل ــتر، ومع م

ــاوي ٠٫٠٠٠٨ ــرة تس ــتر. فكم م مرتبــة مقــدار طــول الرجــل رتبــة

مقدار طول النملة؟ الحل :

أفهم

مثال

: علينا إيجاد رتبة طول كل من الرجل والنملة، ثم

إيجاد النسبة بينهما.

خطط

ــدد ــوة للع ــرب ق ــول إلى أق ــل ط ــربى ك ، ثم ١٠ : ق

أوجدى نسبة طول الرجل إلى طول النملة.

حـل

ريب من دل ـطول الرـجل ـق ا أن مـع ون ١ بـم ذا يـك تر، ـل ـم

ه هي وبمـا أن معـدل أمتـار. 010رتبـة مقـدار طوـل

ـمتر تقريـبا. ـلذا يـكون رتـبة ٠٫٠٠١ـطول النمـلة يـساوي

أمتار. 3-10 طول النملة هو

نسبة طول الرجل إلى طول النملة يساوي تقريبا

ذا فطـول الرجـل يسـاوي ة ١٠٠٠: ـل رة من طـول النمـل ـم

ــا. أو نســبة طــول الرجــل إلى طــول النملــة تقريب

يساوي تقريبا القوة الثالثة للعشرة.

تحقق

ــو = ــة ه ــول النمل ــل إلى ط ــول الرج ــبة ط ٢١٢٥نس

.310هى2125وأقرب قوى العشرة للعدد

تأكد

. ىبسط افترض يأتي مما عبارة ال ىكل المقام أن: صفرا يساوي

حـ هـ م3ن3حـ 3م ر3 ل3هـ

5 و2ن لس ص ع 4ر7ن3ر

2ف

2ر هـ12 25و15حـ32

10هـ 3125

4هـ 2حـ

3ف

: من المملكة في اإلنترنت مستعملي عدد عام ٢٠٠٠٠٠ارتفع شخص

إلى ١٤٢١ عام ١١٠٠٠٠٠٠ هـ . ١٤٣١شخص عدد نسبة حددى هـ

عام اإلنترنت مستعمليه ١٤٣١مستعملي إلى هـ ١٤٢١عام هـ

. للعامين المقدار رتبة باستعمال

الحل

11000000= 55200000

. ىبسط افترض يأتي مما عبارة ال ىكل المقام أن: صفرا يساوي

1-2ن 2-4م

ن2م = هـ 2جـ= د

2حـ= 8ص2س9

4ع25

2ع9ص

4س

ر10ل1حـ7ب2أ -5

8حـ

ام الج الحاـسوب ـع ة في 8 ١٠ هـ إلى ١٤١٤: وـصلت ـسرعة مـع عملـي

ا. وازدادت ة تقريـب رعة إلى ) الثانـي ذه الـس ة في ١٠ ( ١٠ـه عملـي

ه . فبكم ـمرة يـكون الحاـسوب الجدـيد أـسرع من١٤٢٥الثانـية ـعام القديم؟

الحل

الجديد سرعة 1010

مره .100 = 210= 10-8 10= القديم سرعة 810

ط

4

ط 2نق

4ط/2نق 4

ط 42نق

16 2نق

4ط/

ط 92نق

36 2نق

4ط/

ط 162نق

64 2نق

4ط/

ط 252نق

4ط/2نق 100

إذا المسافتين بين ثابتة النسبةالقطر نصف تغير

6-3كثيــرا•

ت الحـــد

ود

فكرة أجد درجة كثيرة الدرس

الحدود ـ أكتب كثيرة حدود

بالصورة القياسية

المفرداتكثيرة حدود ـ ثنائية حدود ـ ثالثية الحدود

لماذا األجهزة: ؟ تسجل أن عالميا يتوقع

في قياسية أرقاما الرقمية السمعيةعام . ٢٠١١المبيعات تمثيل ويمكن م

: بالمعادلة المبيعات عدد١٢٨٫٧ن + ٤٩٫٤ + ٢ن ٢٫٧ع= -

: التي األجهزة عدد تمثل ع بأن علماعدد تمثل ن بالماليين، بيعها يتم

عام منذ . ٢٠٠٥السنوات تمثل م - + ٢ن ٢٫٧العبارة ٤٩٫٤ + ١٢٨٫٧ن

. ويمكن حدود كثيرة على مثاال�بعض لتمثيل الحدود كثيرات استعمال

المواقف.

درجــة كثــيرات الحدود

: كثـيرة الحـدود هي وحيـدة حـد أو ل مى ـك د.ُ تـس دات ـح وع وحـي مجـموحيــدة حــد منهــا حــدا في كثــيرة ــدود ــيرات الح ــدود. وبعض كث الحة الـحد تحـمل أـسماء خاـصة. فثنائـيهي مجمـوع وحيـدتي حـد بأبسـط ـشكل، وثالثـية الـحدود هي مجـموع

ثالث وحيدات حد بأبسط شكل.

أتي ا ـي ارة فيـم : ـحددى إذا ـكانت ـكل عـبكثــيرة حــدود أم ال وإذا كــانت كــذلك فصــنفيها إلى وحيــدة حــد، أو ثنائيــة

حد ، أو ثالثية حدود:

مثال

: درـجة وحـيدة الـحد هي مجـموع أـسس كــل متغيراتهــا. ودرجــة الثــابت غــير الـصفر تـساوي ـصفرا. وليس للـصفر بر دود هي أـك يرة الـح ة كـث ة. درـج درـجة اد درـج دودها. وإليـج ع ـح ة لجمـي درـجك أوال� إيجـاد يرة حـدود، يتعين علـي كـثدرجـة كـل حـد فيهـا. ويمكن تسـمية ــادا على ــدود اعتم ــيرات الح بعض كثفر: ة ـص مى ذات الدرـج ا، فتـس درجتـه

ة، وذات الدرجـة ة، وذات ١ثابـت : خطـي: ٣: تربيعيـة، وذات الدرجـة ٢الدرجـة تكعيبية

أوجدى درجة كثيرة الحدود: :٧ د- ٥ جـ ٩ - ٣د ٢

مثال

الحل

: أوجدى درجة كل حد.1الخطوة د = ٥جـ ٩، درجة الحد - ٣ = ٣د ٢درجة الحد

٦ = ١ + ٥ هي صفر٧درجة الحد -

ــوة ــبر 2الخط ــدود هي أك ــيرة الح ــة كث : درج.٦درجة لجميع حدودها، وتساوي

دود بالـصورة يرات الـح كـثالقياسية

ــأي ــدود بـ ــيرة الحـ ــة كثـ : يمكن كتابــترتيب. والـستخدام الـصورة القياـسية لكثــيرة الحــدود بمتغــير واحــد، تكتب ــالترتيب من أكبرهــا درجــة الحــدود بــيرة ــدماُ تكتب كث ــغرها. وعن إلى أصالحــدود بالصــورة القياســية، فــإن ــمى ــ ــاُ يس ــ ــد فيه ــ ــل أول ح ــ معام

المعامل الرئيس .

-4ص2-9ص -5: اكتـــبى كثـــيرة الحـــدود بالـصورة القياـسية وـحدد المعاـمل 3ص6

الرئيس فيها :

مثال

الحة 1الخطـوة ل د درـج : أوـج

كل حد .

: اكتب الحــدود بــترتيب تنــازلي 2الخطــوةــدرجاتها: - ٩ص - ٥ + ٣ص ٦ – ٤ص ٢لـ

.2فيكون المعامل الرئيس هو -

ـعدد أطـنان ١٠ن+ ٢ - ٢ن ٣ : تمـثل المعادـلة ع= ــد ــا أح ــتي أنتجه ــوف ال ــات األل األســمنت بمئ

ام انع من ـع هـ ، حيث ١٤٣١ هـ إلى ١٤٢٦المـصام ذ ـع دد السـنوات مـن دد ١٤٢٦ن ـع ا ـع هـ ، فـم

هـ ؟١٤٢٨أطنان األسمنت المنتجة في عام

مثال

الحل

أوجد قيمة ن وعوضها في المعادلة إليجاد عدد أطنان األسمنت.

ام ذ ـع دد الـسنوات مـن ل ـع ا أن ن تمـث إن ن= ١٤٢٦بـم ١٤٢٨ هـ ، ـف٢ هـ = ١٤٢٦هـ –

١ن + ٢ - ٢ ن ٣ع =

= ( + ٢ ) ٢ - ٢( ٢) ٣10

= ١ + ٤( - ٤ ) ٣

= ١ = ١٠ + ٤ - ١٢

ألفا، ١٨بما أن ع بمئات األلوف، فإن عدد األطنان المنتجة كان ١٨٠٠٠٠٠أو

تأكد

دود أم يرة ـح أتي كـث ا ـي ارة فيـم انت ـكل عـب ددى إذا ـك : ـحد، أو دة ـح نفها إلى: وحـي ذلك، فـص انت ـك ال، وإذا ـك

ثنائية حد، أو ثالثية حدود:

الح ل

كثيرة حدود

ثالثية حدود

كثيرة حدود

ثنائية حد

ليست كثيرة

حدود

الح ل

الح ل

الح ل

كثيرة حدود

وحيدة حد

دود يرة ـح ة ـكل كـث د درـج أوـجفيما يأتي:

من الدرجة

الصفرية

من الدرجة

الرابعة

من الدرجة من الدرجة االولى

الصفرية

من الدرجة من الدرجة الثالثة

السابعة

من الدرجة

الرابعة

: اكتب كـــل كثـــيرة حـــدود فيمـــا يـــأتي بالصـــورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:

الح ل

ص-3+3= -ص

1+2ص3

1المعامل الرئيسى= -

الح ل

4ع5-2ع2-4ع5= -

5المعامل الرئيسى = -

الح ل

1أ -2 +2أ5 -3أ4=

4المعامل الرئيسى=

طالب4550

طالب7650

وحيدة كثيرة حدود

حد

وحيدة كثيرة حدود

حد

ثالثية كثيرة حدود

حدود

ليست كثيرة حدودثنائية كثيرة حدود

حد

ثنائية كثيرة حدود

حد

من الدرجة

الرابع

ة

من الدرجة

األول

ى

من الدرجة

الصفرية

من الدرجة

الثالثة

من الدرجة

الخامس

ة

من الدرجة

السابعة

الح ل

الح ل

الح ل

2س-3+2س5

المعامل

الرئيسى

=5

8+3ص7=

المعامل

الرئيسى

=7

4حـ+3-2حـ5= -

المعامل

الرئيسى

-=5

الح ل

الح ل

الح ل

1+2-د4د4= -

المعامل

الرئيسى

-=4

المعامل

الرئيسى

-=3

-6=-ب

10+2ب9

ب

المعامل

الرئيسى

-=1

1( +3)50 + 2(3)5 = ع = -3أ ( ن =

- = 5×9+150+1- =45+150+1=106

1( +5)50 + 2(5)5 = ع= -5ب( ن =

- = 125 + 250+ 1 = 126

ــاروخ = ــ + ط 1ع2 ط نق3/ 1أ( حجم الص

ــاروخ = 2ع2نق 36ط = 18ط + 18ب( حجم الصـ

3ط سم

6-4جمع كثيرات

الحدود وطرحها

فكرة الدرس

أجمع كثيرات حدود ـ أطرح كثيرات حدود

إستعدــاج ــدد التقريـــبي لحجـ : يمكن تمثيـــل العـ

ــداخل ) ع ــ ــارج ) ع ١ال ــ ــاج الخ ــ ( ٢( وحجوف من عـام ات األـل ه ١٤٣١ إلى ١٤٢٨بمـئ

ادلتين: ع ٠٫٢٨٤١ – ٣ س ٠٫١٩٣١= ١بالمـع ٠٫٢٦٧٥= ٢ ع ٦٫٧ س + ٠٫١٨٠٨ + ٢س – ٣س + ٢ س ١٫٠٢ ٠٫٩٧ + ١٧٫٠٨ س

هـ .١٤٢٨حيث س عدد السنوات منذ ١إن إجمالي عدد الحجاج تقريبا يمثل ب ع

٢+ ع

: جمـــع كثـــيرات الحـــدود : ــيرتى حــدود ــع كث يمكن جمــابهة ــدود المتش ــع الح بجمويمكن تجميـــــع الحـــــدود المتشـــــابهة باســـــتعمال الطريقــــــة األفقيــــــة أو

الرأسية .

أوجدى ناتج كل مما يأتى : ٢ س ٤ - ٣( + ) ٧س - ٥ + ٢) س

س(٦+

الحل :

مثال

ــة ــ الطريقاألفقية

+ ٢ س ٤ - ٣ ( + ) ٧س - ٥ + ٢ س ٢) س (٦

٧س [ + ] - ٦ س + ٥ ( [ + ] ٢ س ٤ + )- ٢ س ٢=] +٣]

٤ س - ١١ + ٢ س ٢= -

الطريقـــــــة الرأسية7س -5 + 2س23س+ ٦ + + 2س4+ -

-----------------4 س - ١١ + ٢ س ٢-

215 ش + ١١المعادلة هي: ن =

+ ٢ك ٣( - ) ٨ - ٣ك ٤ك + ٧ أوـجد ـناتج ) ك(٩- ٢

الحل :

مثال

اه ـعدد الهواـتف المحموـلة ه، وـعدد تمـثل المعادلـتان أدـنــهر ــالتي بيعت في ش ش ــة ك ــوير الرقمي آالت التص

ش+ ٤ ، ك = ١٣٧ش + ٧لمتـجر بـيع إلكترونـيات: ه= ــة من ٨٧ ــات الكليـ ــل المبيعـ ــة تمثـ ــبى معادلـ . اكتـ

ــهريا، واجمعى ــ ــوير )ن( ش ــ ــف وآالت التص ــ الهواتكثيرتي الحدود هـ ، ك.

الحل :

مثال

المبيعات الكلية = مبيعات الهواتف المحمولة + مبيعات آالت التصوير

الرقمية ٧٨ش + ٤ + ١٣٧ش + ٧ن =

اجمعى الحدود ٢١ ٥ ش + ١١= المتشابهة.

215 ش + ١١المعادلة هي: ن =

تأكـــد

أوجــد نــاتج كــل� ممــا

يأتي:حـ2 – 2-جـ5 + 3س4

13ع+2-2ع3-2ع8-ص11 + 2ص13-

ن5 -2ن209د-6 +2د2-

28ن +22

22(18+ )28 = 424

طالب22(×21 + )28 = 490

طالب

3حـ + 3 – 2 – حـ2حـ33ص + 3 + 2ص4

1ص +5س -2-11 + ع-2ع2

– 2-س9 + 2ب2أ -2 + 2س3ص

ص4

-2أ3 +2ب 7أب

2أب

10حـ د - 6+ 2- حـ د

6 – ن-2ن7 – 3ن7

س 75 + 1500 س + 2128 + 2 س1.42= -

1500س + 22.3 + 2 س1.42= -

ع از = -750سعر بـي ( + 750 )2203 + 2(750 )1.42 تلـف

1500

رياال 155000 =

س + 12 = 1

14

الث = ) -2س2+4-س-2( – )س2س+7-2س3طول الضـلع الـث

(6س+10

(2س +11 -2س3( – )2س+7-2س3 = )

2س-11 + 2س3 -2س +7 -2س3 =

س 4 =

6-5

حد وحيدة ضربحدود كثيرة فى

الدرس فكرة

أضرب وحيدة حد فى كثيرة حدود

المفردات

أحل معادالت تتضمن وحيدات حد فى

كثيرات حدود

ــاء قاعــة خاصــة ــاد رياضــي بن ــد ن : يريباالجتماعــات، على أن يزيــد طولهــا

أمتـار. ٣على ثالثـة أمثـال عرضـها ب ولمعرفــــة مســــاحة أرض القاعــــة ــرب عـــرض ــجاد نضـ ــا بالسـ لتغطيتهـ

(٣ض + ٣القاعة في طولها. ض )

لماذا ؟

التوزيع خاصية استعمال يمكنكفي حد وحيدة ضرب ناتج إليجاد

. حدود كثيرة

ضرب وحيـــدة حـــد فى كثيرة حدود :

س – 2س7 )2س3-+4)

مثال

األفقية الطريقة ( ٤س - + ٢س ٧ ) ٢س ٣ - ( + )- ٢س ٣( - )- ٢س ٧) ٢س ٣= - ٢س ٣س () ()٤ )

( ٢س ١٢ ( + )- ٣س ٣ - )- ٤س ٢١= - 2س ١٢ - ٣س ٣ + ٤س ٢١= -

الحل

ل ٢ ) ٥ل ( - ٥ + ٢ل ٤ل )- ٢بس�طى ٢٠ + ٢ )

مثال

( ٢٠ + ٢ل ٢ ) ٥ل ( - ٥ + ٢ل ٤ل )- ٢(٥ ( + )- ٢ل ٢( ) ٥ل( + )- ٥ل() ٢( + ) ٢ل ٤ل( )- ٢= )

(٢٠) ١٠٠ - ٢ل ١٠ - ٢ل ١٠ + ٣ل ٨= - ١٠٠ ( - ٢ل ١٠ - ٢ل ١٠ + ) ٣ل ٨= - 100 – ٣ل ٨= -

الحل

: المعادلة ( ٦أ + ٢أ) ٣( + ٢أ - ٥أ) ٢حل +٨ ( .٥٠( + ٤أ - ٦أ) ٢( + ١أ + ٤أ =

مثال

) ٨( + ٦أ + ٢أ) ٣( + ٢أ - ٥أ) ٢ ٥٠( + ٤أ - ٦أ) ٢( + ١أ + ٤أ = ٥٠أ + ٨ - ٢أ ١٢أ + + ٢أ ٤ = ٨أ + ١٨ + ٢أ ٦أ + ٤ - ٢أ ١٠

٥٠أ + ٧ - ٢أ ١٦ = ٨أ + ١٤ + ٢أ ١٦٥٠أ + ٧ = - ٨أ + ١٤أض ٥٠ = ٨أ + ٢١

٤٢أ = ٢١٢أ =

الحل

االستراتيجية حلل

ل اتج الضـرب في ـك د ـن : أوـجمما يأتي:

– 2ن10 + 3ن15= -ن20

-3حـ16+4حـ24+5حـ18= 2حـ6

- =6ر10ل18+7ر6ل63ر4ل15+

+ 3ب5أ14 -2ب6أ2 ب 2أ4

6س -18 +3س3= 4ن+8 -2ن15 +3ن4

+ د 2حـ2د8 حـ + 3د4 – 2حـ4د5-4حـ

الشاشة = ارتفاع1

بوصة 20 = 15+5 = 5+ 3082

+ 3حـ4 + 4حـ30-5حـ10= + ب2ب12 -3= ب2حـ4

+ 3ر2ب4= -3ر3ب10 2ر2ب30

+ 5ل4ن4 – 3ل5ن8ل3ن8

س 9 – 2س13= - -27

أ 4 + 2أ20 + 3أ8= --12

د + 41 – 3د2035

2حـ21 + 3حـ9= -+12

3ن ب8 - 2ن20 + 2ب2 ن12 + 2ب4ن122ب12+

– 2 ع5/ 3المسافة = ع5

=2160 – 300 = 1860 متر

2ن =

ع = 86

12

0حـ =

ن = 60

86

-3ب3ن6 + 4 ن ب20= 2ن ب8

+ 4ل3ر3ل + 5ر6= 3ل2ر9

+ 3ع4س5 + 3ع2= -س4ع4س3

( = 24س + 1.5= س)س24+2س1.5

( –س 6س )س+2.5مساحة الممر =

(24س +1.5)

س24 -2 س1.5 – 15 + 2س2.5=

15س + 24 – 2= س

3

س

األول

2س+ى

األول

س6 + 2س3ى

الثاني

ة

أ ب

الثاني

ة

+3س

4

الثاني

أ ب4 ب + 4أة

الخام

س

ة3

س

الثاني

ة

+2س

5

الثاني

ة

ص 4س

+5

س

2

الخامسةص

وحيدة حد من الدرجة أ × كثيرة حدود من الدرجة ب = كثيرة حدود من

الدرجة ) أ +ب (

6-6

الحدود كثيرات ضرب

الدرس فكرة

أضرب كثيرة الحدود باستعمال خاصية

التوزيع

المفردات

طريقة التوزيع بالترتيب

العبارة التربيعية

لماذا ــتخدم ؟ ــوب نسـ ــة ثـ لخياطـ

قطعــــــة من القمــــــاش مسـتطيلة الشـكل. ويحـددُ ــول ــاء على طـ ــداها بنـ بعـالبســه وعرضــه. فــإذا كــان طـــول قطعـــة القمـــاش ــوب ــيلها كثـ ــراد تفصـ المـ

ــد ١٨٠ألمين يســاوي ع زائ ( سم.١٨٠سم، أو )ع +

ضرب ثنائى حد :تستعمل خاصية التوزيع لضرب

/ 1 ، ١٨٠ثنائيتي حد مثل ع + . ويمكن ضرب ٢٧ ع + 2

ثنائيتي الحد أفقيا أو رأسيا.

أوـجد ـناتج الـضرب في ـكل مـما يأتي:

(٥( )س+ ٣) س+ الحل :

مثال

بالترتيب التوزيعالمختصرة الصيغة تسمى

في التوزيع لخاصيةبطريقة حد ثنائيتي ضرب

. بالترتيب التوزيع

اتج الضـرب في كـل� ممـا أوجـد ـنيأتي:

(٥ص + ٣() ٧)ص - الحل :

مثال

ص( ٣() ٧( + )- ٥ص() ٢ص( + ) ٣ص() ٢= ) -( +٥() ٧)

٣ ص – ٢١ ص - ١٠ + ٢ ص ٦= ٣ ص - ١١ - ٢ ص ٦=

عبارتين : ضرب عند أنه الحظعبارة النتيجة تكون خطيتين،هي. التربيعية العبارة تربيعيةمن واحد متغير ذات عبارة . ضرب ونتيجة الثانية الدرجةهي خطية، عبارات ثالثة

. الثالثة الدرجة من عبارةطريقة استعمال يمكن

عبارة إليجاد بالترتيب التوزيعمستطيلُ مساحة تمثلصورة على بعداه أعطي

. حد ثنائيتي

: يحيـط ممـر ببركـة سـباحة مسـتطيلة الشـكل. فــإذا كــان عــرض الممــر هــو س مــتر. فــاكتب

عبارة تمثل مساحة البركة والممر معا.

الحل :

مثال

أفهارة لمـساحة م ة عـب اج إلى كتاـب نحـت

البركة والممر حولها.

خطــاحة ط ــ ــ ــيغة مس ــ ــ ــتعمل ص ــ ــ اس

المستطيل بعد تحديد طولالبركــة وعرضــها باإلضــافة إلى

عرض الممر.حـل

ــع ــر منتظم من جميـ ــا أن الممـ بمـجهــــات البركــــة، فــــإن طــــول المســـــتطيل الممثـــــل للبركـــــة والممريزيـــد على طـــول البركـــة

ــدار ــذا ٢بمق ــذلك العرض. ل س، وك ٧س+ ٢يمكن تمثيـــل الطـــول ب¡

.٥س+ ٢والعرض ب¡

ــرض ــول × العـ ــاحة = الطـ المسـ

مساحة المستطيل

( ٥س+ ٢( ) ٧س+ ٢= )

بالتعويض

( ) ٧س(+ ) ٢( ) ٧(+ ) ٥س) ٢س(+ ٢ س) ٢=

٥ )

٣٥ س+ ١٤ س+ ١٠+ ٢ س ٤=

اضرب

=٤ اجمــــــع ٣٥ س+ ٢٤+ ٢س

الحدود المتشابهة.

لذا تكون المساحة الكلية للمر والبركة معا هي،

٣٥ س+ ٢٤ + ٢ س ٤

تحقــها في ق ــ ــة لِـ س وعوض ــ ــتر قيم ــ اخ

العبارتين ٢٤+ ٢ س ٤(، ٥س+ ٢( ) ٧س+ ٢)

.٣٥س+ ستجد أن النتيجة هي نفسها لكال

العبارتين.

أوجد ناتج الضرب في كل� مما يأتي:(٥س- ٣- ٢س ٢( ) ٥ س+ ٦ )

الحل :

مثال

(٥س - ٣ - ٢ س ٢ ( ) ٥س + ٦) س ٣ - ٢ س ٢ ) ٥ ( + ٥س - ٣ - ٢ س ٢س ) ٦=

-٥) ١٥- ٢ س ١٠ س + ٣٠ - ٢ س ١٨ - ٣ س ١٢=

٢٥س – ٢ س - ٤٥ - ٢ س ٨ - ٣ س ١٢

تأكـــــــــد

: أوجــد نــاتج الضــرب في كــل

مما يأتي:

س 7 + 2س+10

21ب -4 -2ب8ص -2 + 2ص

54أ -33أ+ 10=3هـ+26 – 2هـ16=27ن +39 +2ن4=

2000س + 180 + 2س4

6ص-21 -2ص4 – 3ص28 + 4ص16

20س -31 +2س9 + 3س17 -4س5

15م +19 +2م356د +62 -2د424ص+17 -2ص15

س + 68 -2ل40 49 -2ر25 25 -2ن144 ل2س24

الكلية = ) س 2( ) 8س + 2المسافة +6)48س + 28 + 2س4=

49أ -14 – 2أ71 +3أ36=22ص-37+2ص17-3ص2=

1س-11+2س34-3س19+4س5=

4م -5 + 3م2

2س3( - ) 9س+12+2س4ط= )

(2س+5+2 /3 – 2س24=

10ص -26 – 2ص56=

=224 – 62 = 162

2/ 3س – 2 /7 + 2س3

4س <

مساحة < المربع مساحةالمستطيل

س 4 +2س- 4س +4 -2س= =4

س 10 +2س+25

1ص+6+2ص9() م + م + 2 + 2هـ = 2هـ م 2هـ

الثانى فى األول ضرب حاصل وضعف األول مربع

الثانى ومربع

ب + 2 + 2أ ب 2أ

ك + 2 + 2ع ك ع

6-7حاالت خاصة

من ضرب كثيرات

الحدود

الدرس فكرة

أجد مربع مجموع حدين ومربع الفرق بينهما

لماذا؟رمي بيت لوحـة اـل د محمـد تـث : يرـيبالسـهام إلى لـوح خشـبي مربـع

الشكل.: فــإذا كــان نصــف قطــر لوحــة

ق+ ، فمـا بعـدا ١٢السـهام هـو ـناللوح الخشبي؟

: يعــرف محمــد أن قطــر لوحــة ( = ١٢ )نـــق + ٢الســـهام هـــو

. فيكــون طــول كــل ٢٤نــق + ٢ع يسـاوي ضـلع من أضـالع المرـب

.٢٤نق + ٢

وإليـجاد مـساحة ـلوح الخـشب ه ه، فـإن علـي اج إلـي ذي يحـت اـلــاد مســاحة المــربع. م= إيجـ

٢ ( ٢٤نق+ ٢)

ــات الحــد، : بعض أزواج ثنائيل ) ات مـث ٢٤ـنق + ٢كالمربـع

لهـــا نـــاتج ضـــرب يتبـــع ٢( قاعــدة معينــة. واســتعمال ــهل من ــدة يسـ ــذه القاعـ هـعمليــة إيجــاد نــاتج الضــرب.

ــوع )أ+ ب( ــع المجم ٢فمرب= )أ+ ب( )أ+ ب( هــو أحــد

نواتج الضرب تلك.

مربــع مجمــوع حــدين ومربــع الفرق بينهما

س + ٣أوجـــدى نـــاتج: ) ٢ ( ٥

الحل :

مثال

٢أ ب + ب ٢ + ٢ = أ ٢)أ + ب (

س(٣) ٢ + ٢س ( ٣ = ) ٢ ( ٥س + ٣) (٥ + )٥

٢٥ س + ٣٠ + ٢ س ٩=

حدين، بين الفرق مربع قاعدة وإليجاد

) -( + - الناتج وربع ب أ صورة على ب أ اكتب

. حدين مجموع مربع قاعدة باستعمال

ب) - ( ( [ ٢أ ب = ] + )- ( + )- ( ٢ + ٢أ = ٢أ -() ب) ب أ

٢

ب + ٢- ٢أ= ٢أب

ص( ٥س - ٢أوـجد ـناتج: ) ٢.

الحل :

مثال

مربع ٢أ ب + ب ٢ - ٢ = أ ٢)أ - ب ( الفرق

ص( ٥س() ٢) ٢ - ٢س ( ٢ = ) ٢ص ( ٥س - ٢) ٢ص ( ٥+ )

2 ص٢٥ س ص + ٢٠ - ٢ س ٤=

: يسـمى نـاتج مربـع المجمـوع أو

المربع ع الفـرق بين حـدين ـب مرـب

الكامــل أو ثالثي الحــدود الــذي

يشــكل مربعــا كــامال. ويمكننــا

اســتعمال هــذه القواعــد إليجــاد

ــع ــائل من واق ــل مس ــاط لح أنم

الحياة.

نيوم أقـل من : طـول ضـلع مكعب ألـمسـم. ٤طـول ضـلع مكعب نحـاس ب¡

اكتب معادلــة تمثــل مســاحة ســطح ة طـول ضـلع مكعب األلمـنيوم بدالـل

مكعب النحاس. الحل :

مثال

ليكن ج طول ضلع مكعب النحاس،

.٤إذن طول ضلع مكعب األلمنيوم ج -

٢ ل ٦مساحة السطح =

٢ ( ٤)ج - ٦مساحة السطح =

[٢ ٤()ج( + ٤) ٢ - ٢ ] ج ٦مساحة السطح =

(١٦ج + ٨ - ٢ ) ج ٦مساحة السطح =

دين فى وع ـح رب مجـم ناتج ـض

الفرق بينهما سنرى اآلن نــاتج ضــرب مجمــوع

ـحدين في الـفرق بينهـما، )أ+ ب(

ة أ - ه يمكن كتاـب ذكر أـن )أ- ب(. ـت

ب على الصورة أ + )- ب(.

الحـــــــظ أن كال من الحـــــــدين

األوســطين هــو معكــوس جمعي

لآلخر، ومجموعهما صفر.

- ٢لذا فإن )أ + ب()أ - ب( = أ

.٢ - ب ٢ = أ ٢أب + أب - ب

س ٢() ٣ + ٢ س ٢أوـجد ـناتج: ) ٣ - ٢.)

الحل :

مثال

٢ - ب ٢)أ + ب()أ - ب( = أ

٢ ( ٣ - ) ٢( ٢ س ٢( = ) ٣ - ٢ س ٢() ٣ + ٢ س ٢)

٩ - ٤ س ٤=

تأكـــــــــد

25س + 10 + 2س

الحل

: يأتي مما كل ناتج أوجد

2 (٥س) +

أ + 22 – 121 2أ

الحل

2أ- (١١)

ص + 28 + 2س4 46س2ص

الحل

2ص(7س + 2)

16م + 24 – 2م9 = 2( 4م -3)

الحل

(4م -3( )4م -3)

هـ + 8 – 2حـ = 2هـ (4حـ= - 2هـ16حـ

الحل

- - 4حـ) ( حـ( هـهـ ( 4

نق 2ط + ( س= س = )2(3ط س 6 + 2ط

+9)

ط = × ) ط 144 = 2(2 /24المساحة2سم

- 2س9 - 2أ25

49 - 2ص36

ب + 12 -2ب100أ + 20 + 2أ36

هـ 14 + 2هـ+49

م +16-3664س +12 + 2س 2ص4ص +36-281م

ن + 64 – 2هـ464ن + 20 -925ب +12 + 2ب4 هـ2ن16

ر ) + 2(3طر ) ( 9ر + 6 +2ط

2م

الكبرى= – الدائرة مساحة المربع مساحةر – ) 2(12= ) ( 9ر + 6 + 2طر + )144= (9ر + 6 + 2ط

2ر25 – 2ك24س – 916 - 2ل

2أ100أ + 160 – 4964ص +70 + 2ص225ب 49 – 4أ9

ب + 8 + 2أ144 - 2ن9 أ2ب

ر + 30 2ر25ك

د + 36 – 2حـ 4 81حـ4ص + 2ص 2س10 – 4س225ب – 8أ29د

64ك + 12 + 2ك16/ 69ب81– 4أ64

4ص25 – 4ع49

100 + 2ر29 -4ر( = 25 -2ر( )4 – 2ر= )36م -9 – 2م16 + 3م4=

5س + 2 + 2س2

د 3د + 2حـ3 + 3حـ= 3د + 2حـ

ف + 3ف ف – 2حـ – 2حـ3حـ

م – 2ك– 3ك م + 2م ب – 3ن3ك ن – 2ن + 2ب3ب

ر 3ر + 2ك3 – 2ك – 2ك3ر

المربع مساحةأ = 2الكبير

المربع مساحةب = 2الصغير

أ = المتبقية 2السماحة 2ب–

ب = + = – أ العرض ب أ الطولأ = ) – ( ) + ( = ب أ ب أ المستطيل 2م

2ب

مربعين = من المتبقية المساحةمجموع بعداه الذى المستطيل مساحة

بينهما× الفرق البعدين