View
18
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ 2.1 Τυχαίες µεταβλητές Πολλές φορές σε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του (ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό σύνολο), αλλά ένα σύ-νολο το οποίο είναι αποτέλεσµα µιας απεικόνισης (συνάρτησης) των στοιχείων του δειγµατοχώρου στους πραγµατικούς αριθµούς. Για να γίνει αυτό κατανοητό δίνουµε το παρακάτω παράδειγµα: έστω ότι ρίχνουµε δύο νοµίσµατα, τότε ως γνωστόν ο δειγµατοχώρος του πειράµατος είναι ίσος µε:
Ω = ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ
Ας υποθέσουµε ότι µας ενδιαφέρει ο αριθµός των Κ τα οποία εµφανίζονται, και ας συµβολίσουµε τον αριθµό αυτό µε Χ. Τότε εάν κατά την εκτέλεση του πει-ράµατος συµβεί το γεγονός ΚΚ, η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 2. Εάν συµβεί το γεγονός ΚΓ ή το ΓΚ, η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 1, και εάν τέλος συµβεί το γεγονός ΓΓ η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 0. Έτσι ορίσαµε έναν τρόπο µε την βοήθεια του οποίου, σε κάθε δειγµατοσηµείο αντιστοιχούµε έναν πραγµατικό αριθµό, µ’ άλλα λόγια ορίσαµε µια συνάρτηση Χ µε πεδίο ορισµού τον δειγµατο-χώρο και πεδίο τιµών το υποσύνολο 0, 1, 2 των πραγµατικών αριθµών.
Έτσι λοιπόν έχουµε τον παρακάτω ορισµό: Ορισµός 2.1.1 Μια τυχαία µεταβλητή Χ (χάριν συντοµίας τ.µ.), είναι µία συ-νάρτηση µε πεδίο ορισµού έναν δειγµατοχώρο Ω και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών ( δηλαδή η ℜ→Ω:X ).
Παρατήρηση 2.1.2 Στην πραγµατικότητα, αν θεωρήσουµε µια οποιαδήποτε συ-νάρτηση Χ µε πεδίο ορισµού έναν δειγµατοχώρο Ω (στον οποίο έχει οριστεί µια σ-άλγεβρα γεγονότων ) και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών, τότε η εν λόγω συνάρτηση θεωρείται ότι είναι µια τυχαία µεταβλητή εάν ικανοποιεί την συνθήκη: για κάθε πραγµατικό αριθµό
ℑ
x το σύνολο:
19
(2.1.3) )(/)],((1 xxX ≤Χ=−∞− ωω
είναι ένα γεγονός του Ω, αναφορικά µε την σ-άλγεβρα ℑ . Είναι φανερό ότι εάν σαν σ-άλγεβρα ℑ θεωρήσουµε το δυναµοσύνολο του Ω, τότε κάθε πραγµατική συνάρτηση του δειγµατοχώρου θεωρείται τυχαία µεταβλητή. Για τις εφαρµογές του εν λόγω συγγράµµατος θεωρούµε ότι, όλες οι πραγµα-τικές συναρτήσεις που ορίζονται σ’ έναν δειγµατοχώρο είναι τυχαίες µεταβλη-τές. Αν υποθέσουµε ότι στον δειγµατοχώρο Ω (µαζί µε την σ-άλγεβρα του ) ορίζεται ένα «µέτρο» πιθανότητας
ℑP και µια τυχαία µεταβλητή Χ, τότε µε την
βοήθεια της Χ ορίζουµε στο (στον οποίο χώρο είναι ορισµένη µια σ-άλγεβρα Β καλούµενη σ-άλγεβρα του Borel) ένα µέτρο πιθανότητας L, ως εξής:
ℜ
L (2.1.4) ))(/())(()( 1 AXPAXPA ∈== − ωω
για όλα τα Α Borel γεγονότα του ℜ . Το µέτρο πιθανότητας L καλείται νόµος ή κατάνοµή της τ.µ. Χ. Ορισµός 2.1.5 Έστω τώρα ότι δίνεται µια τ.µ. Χ, τότε ορίζουµε µια συνάρτηση
µε τύπο: ℜ→ℜ:F
(2.1.6) ))(:())],((()],(()( 1 xXPxXPxLxF ≤Ω∈=−∞=−∞= − ωω
Η συνάρτηση F καλείται συνάρτηση κατανοµής (distribution function) της τ.µ. Χ (συνήθως γράφουµε ). XF Εάν δυο τ.µ. Χ και Υ έχουν την ίδια συνάρτηση κατανοµής, δηλαδή , τότε λέµε ότι οι τ.µ. είναι ισόνοµες ή ταυτοτικά κατανεµηµένες.
YX FF =
Πρόταση 2.1.7 Η συνάρτηση κατανοµής XF της τ.µ. Χ έχει τις παρακάτω ιδιότητες: (1) 1)(0 ≤≤ xFX
(2) Η είναι αύξουσα. XF
(3) Η είναι συνεχής από δεξιά σε όλα τα XF ℜ∈x , δηλαδή: . )(lim)( tFxF X
xtX +→
=
(4) και 0)(lim)( ==−∞−∞→
xFF XxX 1)(lim)( ==+∞+∞→
xFF XxX .
(5) baaFbFbXaP XX ≤−=≤< ),()()(
20
2.2 ∆ιακριτές και συνεχείς τυχαίες µεταβλητές κατανοµές (Α) ∆ιακριτές τυχαίες µεταβλητές κατανοµές
Μια τυχαία µεταβλητή Χ καλείται διακριτή αν το πλήθος των τιµών της είναι ένα πεπερασµένο ή το πολύ αριθµήσιµο σύνολο και κάθε µια από αυτές τις τιµές έχει θετική πιθανότητα. ∆ηλαδή αν η Χ είναι µια διακριτή τ.µ. και παίρνει τις τιµές (ας υποθέσουµε ακόµα ότι: …… ,,,, 21 nxxx << 21 xx ) τότε οι πιθανό-τητες
,2,1,0))(/( =>== kpxXP kkωω .
Είναι φανερό ότι:
∑∑∞
=
∞
=
===11
1)(k
kkk
pxXP
Ορισµός 2.2.1 Η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο:
⎪⎩
⎪⎨⎧ ==
===ύ
kxxpxXPxf
kk
Xαλλο0
,2,1,)( (2.2.2)
καλείται πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Χ (probability density function). Είναι φανερό ότι η πυκνότητα πιθανότητας µιας τ.µ. ικανοποεί τις παρακάτω ιδιότητες:
(α) και 0)( ≥xf X
(β) 1)(1
=∑∞
=nX
nxf
Η πυκνότητα πιθανότητας και η συνάρτηση κατανοµής µιας τ.µ. συνδέονται ως εξής:
)()()(
)()(
1
11
−
−−
≤≤
−==≤−≤=≤<===
===≤= ∑∑
kXkX
kkkkkkX
xxkX
xxkX
xFxFxXPxXPxXxPxXPxf
xfxXPxXPxFkk
Αναφέρουµε παρακάτω ορισµένες πυκνότητες πιθανότητας, οι οποίες εµφα-νίζονται συνήθως στην πράξη και χρησιµοποιούνται στην συνέχεια του συγ-γράµµατος. Λέµε λοιπόν ότι µια τ.µ. Χ ακολουθεί:
(α) την διωνυµική κατανοµή (binomial distribution) µε παραµέτρους n και p (συµβολικά ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της δίνεται από την:
);( pnBX ≈
21
nkppknk
nppkn
kXP knkknk ,,2,1,0,)1()!(!
!)1( =−−
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −− (2.2.3)
(β) την κατανοµή Poisson (Poisson distribution) µε παράµετρο λ µε λ > 0 (συµβολικά )(λPX ≈ ) , εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ισούται µε:
,2,1,0,!
=== − kk
ekXPkλλ (2.2.4)
(γ) την γεωµετρική κατανοµή (geometrical distribution) µε παράµετρο r (µε 0<r<1), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ισούται µε:
(2.2.5) ,2,1,)1( 1 =−== − krrkXP k
(Β) Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές κατανοµές
Έστω τώρα ότι το το πλήθος των τιµών µιας τ.µ. Χ είναι ένα µη-αριθµήσιµο σύνολο S, τέτοιο ώστε SxxXP ∈∀== ,0 . Η τ.µ. Χ καλείται, σ΄αυτή την περίπτωση συνεχής. Τις περισσότερες φορές υποθέτουµε ότι υπάρχει µια πραγµατική µη αρνητική συνάρτηση (η λεγόµενη πυκνότητα πιθανότητας) τέτοια ώστε: )(xf X
(2.2.6) ℜ∈∀= ∫∞−
xdttfxFx
XX ,)()(
Από τον ορισµό της πυκνότητας πιθανότητας, είναι εύκολο να δει κανείς ότι:
(2.2.7) 1)( =∫∞
∞−
dxxf X
ενώ dx
xdFxf XX
)()( = για όλα τα x για τα οποία η είναι συνεχής. )(xf X
Οι χρησιµότερες συνεχείς τ.µ. είναι αυτές των οποίων η πυκνότητα πιθανότη-τας δίνεται παρακάτω. Θα λέµε ότι µια τ.µ. Χ ακολουθεί:
(α) την οµοιόµορφη κατανοµή (uniform distribution) µε παραµέτρους α και β (συµβολικά ),( βαUX ≈ ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την:
⎪⎩
⎪⎨⎧ <∈
−=ύ
xxf X
αλλο
βαβααβ
0
],,[1)( (2.2.8)
(β) την κανονική κατανοµή (normal distribution) µε παραµέτρους µ και σ (συµβολικά ) ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίση µε:
,( 2σµNX ≈
22
)(xf X 0,,,21 2
2
2)(
>ℜ∈ℜ∈=−
−σµ
σπσµ
xex
(2.2.9)
Εάν µ=0 και σ=1, τότε λέµε ότι η τ.µ. Χ ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή (standard normal distribution).
(γ) την αρνητική εκθετική κατανοµή (negative exponential distribution) µε
παράµετρο λ , µε λ > 0, εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίση µε:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>=
−
00
0)(
x
xexf
x
X
λλ (2.2.10)
(δ) την γάµµα κατανοµή (gamma distribution) µε παραµέτρους α και β µε α, β>0 εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την σχέση:
=)(xf X
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
>−
−
00
0)(1 1
x
xexx
aβα
βαΓ (2.2.11)
όπου η συνάρτηση: καλείται συνάρτηση γάµµα. Μπορεί να
δειχθεί ότι :
∫∞
−−=Γ0
1)( dtet tαα
)1()1()( −Γ−=Γ aaa απ’ όπου παίρνουµε )!1()( −=Γ nn , για n φυσικό. Η αρνητική εκθετική κατανοµή είναι ειδική περίπτωση της γάµµα κατανοµής για α=1 και β=1/λ. Ακόµα στην περίπτωση που το α=1/2 και β=2, τότε η γάµµα κατανοµή ονο-µάζεται χι-τετράγωνο µε έναν βαθµό ελευθερίας (συµβολικά ). 2
1χ Το παρακάτω θεώρηµα περιγράφει πως βρίσκουµε την πυκνότητα πιθανότη-τας µιας συνάρτησης µιας τ.µ., όταν είναι γνωστή η π.π. της (αρχικής) τ.µ. Θεώρηµα 2.2.12 (µετασχηµατισµός µιας τυχαίας µεταβλητής)
Έστω η τ.µ. Χ µε συνεχή (εκτός, ενδεχοµένως, πεπερασµένου πλήθους σηµείων) π.π. , η οποία είναι θετική για )(xf X Sx∈ και 0 για τα υπόλοιπα. Έστω
µια “αµφιµονοσήµαντη και επί” συνάρτηση. Υποθέτουµε ακόµα ότι η (υπάρχουσα) αντίστροφη συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη και η παράγωγός της είναι συνεχής. Εάν ορίσουµε την τ.µ.
TSg →:STg →− :1
)(XgY = , τότε η πυκνότη-τα πιθανότητας της δίνεται από την σχέση:
23
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
∈⋅=
−−
'0
)()]([)(
11
Ty
Tyygdydygf
yf XY (2.2.13)
2.3 Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιας τυχαίας µεταβλητής Έστω Χ µια τ.µ. και έστω ότι η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι γνω-
στή. Τότε, τουλάχιστον θεωρητικά, µπορούµε να υπολογίσουµε όλες τις πιθανό-τητες οι οποίες µας ενδιαφέρουν. Από µαθηµατική άποψη όµως, υπάρχουν πολ-λές φορές δυσκολίες που κάνουν αυτούς τους υπολογισµούς αδύνατους. Γι΄ αυ-τό, δίνουµε παρακάτω ορισµένους αριθµούς που χαρακτηρίζουν την τ.µ. Χ ή την κατανοµή της.
)(xf X
Ορισµός 2.3.1 Η µέση τιµή (mean) ή µαθηµατική ελπίδα (expectation) µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας είναι ο αριθµός: )(xf X
(2.3.2)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑∞+
∞−
∞
=
ςσυνεχ
διακριτµ
ήXdxxfx
ήXxfxXE
X
nnXn
X
)(
)()( 1
µε την προυπόθεση ότι οι ποσότητες του δεξιού µέλους έχουν νόηµα (δηλαδή τόσο το άθροισµα όσο και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι πεπερασµέ-να). Εάν τώρα g είναι µια πραγµατική συνάρτηση, τότε η συνάρτηση είναι µια τ.µ. Η µέση τιµή της Υ, όταν υπάρχει, υπολογίζεται:
)(XgY =
(2.3.3)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑∞+
∞−
∞
=
ςσυνεχ
διακριτ
ήXdxxfxg
ήXxfxgXgEYE
X
nnXn
)()(
)()()]([)( 1
Ορισµός 2.3.4 (α) Εάν g(x)=xr , τότε η µέση τιµή της )(XgY = καλείται ρο-πή r-τάξεως της τ.µ Χ.
(β) Εάν g(x) = (x−Ε(Χ))r , τότε η µέση τιµή της )(XgY = καλείται κεντρική ροπή r-τάξεως της τ.µ Χ.
Είναι φανερό ότι η ροπή πρώτης τάξεως µιας τ.µ είναι η µέση της τιµή, ενώ η
24
κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα µηδέν. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης µιας τ.µ., η οποία καλείται διασπορά της τ.µ. ∆ηλαδή η διασπορά µιας τ.µ. Χ δίνεται από την σχέση:
σ2(Χ) = V(X) = E[(X−(EX))2] = E(X2)−(EX)2 (2.3.5)
Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς καλείται τυπική απόκλιση της τ.µ. Η µέση τιµή καθώς και η διασπορά τ.µ µε κατανοµές αυτές που αναφέρθηκαν στην παράγραφο 2.2 δίνονται αναλυτικά στον πίνακα που υπάρχει στο τέλος του συγγράµµατος. Η παρακάτω ανισότητα δίνει ένα άνω φράγµα µιας ενδιαφέρουσας πιθανότη-τας µε την βοήθεια της µέσης τιµής και της διασποράς µιας τ.µ. Πρόταση 2.3.6 (Aνισότητα του Tchebichev)
Έστω Χ µια τ.µ. µε πεπερασµένη µέση τιµή ΕΧ και διασπορά σ2(Χ). Τότε για οιονδήποτε θετικό αριθµό c, έχουµε:
2
2 )(c
XcEXXP σ≤≥− (2.3.7)
Ορισµός 2.3.8 Η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. Χ ορίζεται από την σχέση:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑∞+
∞−
ςσυνεχ
διακριτ
ήXdxxfe
ήXxfe
eEtM
Xtx
xX
tx
tXX
)(
)(
)()( (2.3.9)
δοθέντος ότι οι ποσότητες στος δεξί µέλος, του ορισµού, είναι πεπερασµένες (συνήθως για t∈(–c, c), για κάποιο c> 0). Το παρακάτω θεώρηµα δίνει τις βασικές ιδιότητες της ροπογεννήτριας µιας τ.µ. Θεώρηµα 2.3.10 (α) 1)0( =XM (πάντα). Το σηµείο t=0 µπορεί να είναι και το µοναδικό σηµείο στο οποίο υπάρχει η ροπογεννήτρια µιας τ.µ.
(β) NnXEtMdtd n
tXn
n
∈== ),(|)( 0 (2.3.11)
µε την προυπόθεση ότι η ροπή nοστής τάξης του δεξιού µέλους είναι πεπερα-σµένη.
25
2.4 Πολυδιάστατες τυχαίες µεταβλητές: κατανοµές και ροπές Εάν είναι δυό 21 , XX διακριτές τ.µ. οι οποίες ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεω-ρητικό χώρο Ω, και οι οποίες παίρνουν τιµές σ’ ένα σύνολο S. Ορισµός 2.4.1 (1) Εάν ορίσουµε µια συνάρτηση στο SxS, από τον τύπο:
),( 21, 21xxf XX
,),( 221121, 21xXxXPxxf XX === (2.4.2)
τότε η συνάρτηση αυτή καλείται από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. , έχει δε τις παρακάτω ιδιότητες: 21 , XX
SxSxxxxfa XX ∈∀≥ ),(0),()( 2121, 21
(β) SBBxxfBXBXP XXBX BX
⊂∀=∈∈ ∑ ∑∈ ∈
2121,2211 ,),(,21
11 22
γεγονότα
και ιδιαίτερα: 1),( 21, 21
1 2
=∑∑∈ ∈
xxf XXSx Sx
(2) Η συνάρτηση που ορίζεται από την σχέση: )(1
xf X
∑=2
211),()( 21,1
xXXX xxfxf (2.4.3)
είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ . Οι π.π. , καλού-νται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της .
1X )(1
xf X )(2
xf X
),( 21, 21xxf XX
(3) Η συνάρτηση ) που δίνεται από την σχέση: ,( 21, 21xxF XX
∑∑≤≤
=≤≤=22
21
11
21),(,),( 21,221121,
xtXX
xtXX ttfxXxXPxxF (2.4.4)
καλείται από κοινού συνάρτηση κατανοµής των τ.µ. οι δε ιδιότητες της είναι ανάλογες εκείνων της συνάρτησης κατανοµής µιας τ.µ.
21 , XX
(4) Εάν για κάθε τέτοιο ώστε ) >0 ορίσουµε την συνάρτηση
από την σχέση: 2x ( 22
xf X
)|( 2, 21xf XX ⋅
|)(
),()|( 2211
2
21,21,
2
21
21xXxXP
xfxxf
xxfX
XXXX ==== (2.4.5)
τότε η εν λόγω συνάρτηση καλείται δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) πυκνό-τητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = .
26
Έστω τώρα δυο 21 , XX συνεχείς τ.µ. οι οποίες ορίζονται στον ίδιο πιθανο-θεωρητικό χώρο Ω, και οι οποίες παίρνουν τιµές σ’ ένα σύνολο S. Ορισµός 2.4.6 (1) Εάν υπάρχει µια συνάρτηση ) στο SxS τ.ω: ,( 21, 21
xxf XX
SxSxxxxfa XX ∈∀≥ ),(0),()( 2121, 21
(β) SBBdxdxxxfBXBXP XXBB
⊂∀=∈∈ ∫∫ 212121,2211 ,),(,21
21
(γεγονότα) και ιδιαίτερα:
1),( 21, 21=∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
xxf XX
τότε η συνάρτηση ) καλείται από κοινού πυκνότητα πιθανό-τητας των τ.µ. .
,( 21, 21xxf XX
21 , XX (2) Η συνάρτηση που ορίζεται από την σχέση: )(
1xf X
(2.4.7) 221,1 ),()(211
dxxxfxf XXX ∫+∞
∞−
=
είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ . Οι π.π. , καλού-νται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της .
1X )(1
xf X )(2
xf X
),( 21, 21xxf XX
(3) Η συνάρτηση ) που ορίζεται από την σχέση: ,( 21, 21
xxF XX
(2.4.8) 2121,221121, ),(,),(21
21
21dtdtttfxXxXPxxF XX
xx
XX ∫∫∞−∞−
=≤≤=
καλείται από κοινού συνάρτηση κατανοµής των τ.µ. . 21 , XX (4) Εάν για κάθε τέτοιο ώστε ) >0 ορίσουµε την συνάρτηση
από την σχέση: 2x ( 22
xf X
)|( 2, 21xf XX ⋅
)(
),()|(
2
21,21,
2
21
21 xfxxf
xxfX
XXXX = (2.4.9)
τότε η εν λόγω συνάρτηση καλείται δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) πυκνό-τητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = .
Όλοι οι παραπάνω ορισµοί γενικεύονται και στην περίπτωση που έχουµε πε-ρισσότερες από δυο τ.µ ( διακριτές ή συνεχείς).
Εάν δυο τ.µ. και 21 , XX ),( 21 XXgY = µία τ.µ. η οποία είναι συνάρτηση
27
των τ.µ. τότε: 21 , XX Ορισµός 2.4.10 Η µαθηµατική ελπίδα (ή µέση τιµή) της τ.µ. ορίζεται από την σχέση:
),( 21 XXgY =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫∫
∑∑
∞+
∞−
∞+
∞−
ςσυνεχε
ςδιακριτ
ίXXdxdxxxfxxg
έXXxxfxxg
XXEgEY
XX
x xXX
212121,21
2121,21
21
,),(),(
,),(),(
),(
21
1 2
21
µε την προυπόθεση ότι οι ποσότητες του δεξιού µέλους έχουν νόηµα (δηλαδή είναι πεπερασµένες).
Ακόµα: Ορισµός 2.4.11 Η διασπορά της τ.µ. ),( 21 XXgY = ορίζεται από την σχέση:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
=
∫∫
∑∑
∞+
∞−
∞+
∞−
ςσυνεχε
ςδιακριτ
σίXXdxdxxxfXXEgxxg
έXXxxfXXEgxxg
Y
XX
x xXX
212121,2
2121
2121,2
2121
2
,),()],(),([
,),()],(),([
)(
21
1 2
21
όταν οι ποσότητες του δεξιού µέλους είναι πεπερασµένες. Ορισµός 2.4.12 Η από κοινού ροπογεννήτρια των τ.µ δίνεται από την:
21 , XX
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
∫∫
∑∑
∞+
∞−
+∞+
∞−
+
ςσυνεχε
ςδιακριτ
ίXXdxdxxxfe
έXXxxfe
ttM
XXxtxt
x xXX
xtxt
XX
212121,
2121,
21,
,),(
,),(
),(
21
2211
1 2
21
2211
21
Ο παραπάνω ορισµός µπορεί να γενικευτεί, εύκολα, και στην περίπτωση µιας τ.µ. . ),( 21 XXgY = Ορισµός 2.4.13 Η συνδιασπορά των τ.µ ορίζεται να είναι ο παρακά-τω αριθµός:
21 , XX
2121221121 )()])([(),( EXEXXXEEXXEXXEXXC −=−−=
Εάν 0),( 21 =XXC τότε οι τ.µ. καλούνται ασυσχέτιστες. 21 , XX Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ένα άνω και κάτω φράγµα της συνδιασποράς δυο τ.µ.
28
Θεώρηµα 2.4.14 (Ανισότητα του Schwarz) Ισχύει:
2121),( 21 XXXX XXC σσσσ ≤≤−
Οι διασπορές τυχαίων µεταβλητών συνδέονται µε τις συνδιασπορές τους µε την βοήθεια της παρακάτω σχέσης. Θεώρηµα 2.4.15 (Ισότητα του Bienayme) Εάν njX j ,,1, = τ.µ. µε πεπε-ρασµένη διασπορά, τότε:
(2.4.16) ),(2)(1 1
21
2ji
n
j njiXn XXCXX
j∑ ∑= ≤<≤
+=++ σσ
Εάν οι τ.µ. είναι ανά δύο ασυσχέτιστες, τότε έχουµε: njX j ,,1, =
(2.4.17) ∑=
=++n
jXn j
XX1
21
2 )( σσ
Εάν στους ορισµούς η π.π. αντικατασταθεί από µια δεσµευµένη πυκνότητα, τότε η αντίστοιχη µέση τιµή και διασπορά λέγονται δεσµευµένη µέση τιµή και δεσµευµένη διασπορά αντίστοιχα, δηλαδή έχουµε τους παρακάτω ορισµούς:
Ορισµός 2.4.18 Η δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) µέση τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι ορίζεται από την σχέση:
1X
22 xX =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑
∞+
∞−
ςσυνεχε
ςδιακριτ
ίXXdxxxfx
έXXxxfx
xXXE
XX
xXX
21121,1
2121,1
221
,)|(
,)|(
)|(
21
1
21
επίσης:
Ορισµός 2.4.19 Η δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) διασπορά της τ.µ. δο-θέντος ότι
1X ορίζεται από την σχέση 22 xX =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=−
==
∫
∑
∞+
∞−
ςσυνεχε
ςδιακριτ
σίXXdxxxfxXXEx
έXXxxfxXXEx
xXX
XX
XXx
21121,2
2211
2121,2
2211
2212
,)|()]|([
,)|()]|([
)|(
21
21
1
Παρατήρηση 2.4.20 Είναι φανερό από τον ορισµό 2.4.18 ότι η δεσµευµένη µε-ση τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = είναι µια συνάρτηση του , έστω φ(x), δηλαδή:
2x
29
)|()( 2212 xXXEx ==φ
Η τ.µ. )( 2Xφ παριστάνεται επίσης και σαν . ∆ηλαδή η τ.µ ορίζεται από την σχέση:
)|( 21 XXE)|( 21 XXE
)|()())(|( 2121 xXXExxXXE === φ
Επειδή η είναι µια τ.µ. έχει νόηµα να µιλάµε για την µέση τιµή της. )|( 21 XXE
Θεώρηµα 2.4.21 Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
)()]|([)(
]|),([)(]|),()([)(
)],([]|),([)(
12
212
121211121211
21121
XXXEiii
XXXgEXgXXXgXgEii
XXgEXXXgEEi
σσ ≤
=
=
µε την προυπόθεση ότι όλες οι ποσότητες που εµφανίζονται παραπάνω έχουν νόηµα. 2.5 Στοχαστική Ανεξαρτησία τ.µ. Ορισµός 2.5.1 Οι τ.µ καλούνται (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν: 21 , XX
,, 22112211 BXPBXPBXBXP ∈∈=∈∈ (2.5.2)
για οποιαδήποτε υποσύνολα (γεγονότα) των πραγµατικών αριθµών. 21 , BB Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ισοδύναµους ορισµούς της ανεξαρτησίας δυο τ.µ. Θεώρηµα 2.5.3 Οι τ.µ είναι (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν και µό-νον εάν ισχύει µια από τις παρακάτω σχέσεις:
21 , XX
(α) )()(),( 2121, 2121xFxFxxF XXXX =
(β) )()(),( 2121, 2121xfxfxxf XXXX =
(γ) )()(),( 2121, 2121tMtMttM XXXX =
Άµεσες συνέπειες του ορισµού της ανεξαρτησίας δυό τυχαίων µεταβλητών δίνο-νται από την παρακάτω πρόταση.
Πρόταση 2.5.4. Εάν οι τ.µ. είναι (στοχαστικά) ανεξάρτητες, τότε: 21 , XX
(1) )]([)]([)]()([ 22112211 XgEXgEXgXgE =
Από το γεγονός αυτό, εύκολα µπορεί να δει κανείς (;) ότι: εάν δυο τ.µ. είναι
30
ανεξάρτητες τότε είναι και ασυσχέτιστες. Το αντίστροφο εν γένει δεν ισχύει.
(2) )()()(11
tMtMtMnn XXXX =++
(3) Εάν τότε οι τ.µ. είναι και αυτές ανεξάρτη-τες.
)(),( 222111 XgYXgY == 21 ,YY
Το ακόλουθο θεώρηµα είναι ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσµατα που συ-ναντά κανείς στη Θεωρία Πιθανοτήτων. Συνδέει την κατανοµή µιας συγκεκριµ-µένης συνάρτησης ανεξαρτήτων τ.µ. µε την κανονική κατανοµή φανερώνοντας έτσι την σπουδαιότητα της κανονικής κατανοµής.
Θεώρηµα 2.5.5 (Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα) Εάν οι είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες τ.µ. µε πεπε-ρασµένη µέση τιµή και διασπορά και θέσουµε:
nXX ,,1
nn XXS ++= 1 (2.5.6)
τότε:
)()(
xxSESS
Pn
n
nn Φ∞→
→⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≤−σ
(2.5.7)
όπου Φ(x) η συνάρτηση κατανοµής την τυπικής κανονικής κατανοµής. Παρατήρηση 2.5.8 Ο τρόπος σύγκλισης που περιγράφεται στο παραπάνω θεώ-ρηµα λέγεται σύγκλιση κατά κατανοµή
Μ΄ άλλα λόγια το Κ.Ο.Θ. αναφέρει ότι:
)1,0()(
NSESS
n
nn ≈−σ
(2.5.9)
ή επειδή , έχουµε: 22 )(, σσµ SnES nn == n
)1,0(NnnSn ≈
−
σµ
(2.5.10)
ή ισοδύναµα:
) (2.5.11) ,( 2σµ nnNSn ≈
Τέλος, εάν nS
X nn = , έχουµε:
)1,0()(
NXn n ≈
−σ
µ (2.5.12)
31
2.6 Ασκήσεις 2.6.1 Μια τ.µ. Χ έχει κατανοµή ( πυκνότητα) πιθανότητας που δίνεται από τον
πίνακα:
x 0 1 2 3 4
)(xp 161
164
166
164
161
(α) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανοµής της Χ και να γίνει η γραφική της παράσταση.
(β) Να βρεθεί η µέση τιµή EX και η διασπορά ) της Χ. (XV
Λύση Η συνάρτηση κατανοµής της Χ είναι ίση µε:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤
<≤
<≤
<≤
<≤
<
=≤=
x
x
x
x
x
x
xXPxFX
41
431615
321611
21165
10161
00
)(
η δε γραφική της παράσταση είναι
15/16
Fx(x)
10/16
5/16
0 1 2 3 4 x
Fx(x)
(β) Η µέση τιµή της είναι ίση µε:
21614
1643
1662
1641
1610
4
0=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅= ∑
=xxXPxEX
33
Ακόµα:
51614
1643
1662
1641
1610 2222
4
0
222 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅= ∑=x
xXPxEX
άρα η διασπορά της είναι ίση µε: 125)()( 222 =−=−= EXEXXV
2.6.2 Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει πυκνότητα πιθανότητας:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤−=
αλλου
θθ
0
2,0)(
xxf X
(α) Να βρεθεί η σταθερά θ (έτσι ώστε η νάναι πυκνότητα πιθα-νότητας).
)(xf X
(β) Να βρεθούν οι πιθανότητες: (Ι) 21 ≤≤−Ρ X (ΙΙ) 5,1≥Ρ X
(γ) Να βρεθεί η σταθερά c τέτοια ώστε: 8,0=≥Ρ cX (δ) Να βρεθεί η µέση τιµή EX και η διασπορά ) της Χ. (XV
Λύση
(α) Ξέρουµε ότι για νάναι η πυκνότητα πιθανότητας θα πρέπει: )(xf X
5,214,012,012,01)( =⇒=⇒=⇒=⇒=−−
+∞
∞−∫∫ θθ
θ
θ
θ
θ
xdxdxxf X
δηλαδή:
⎩⎨⎧ ≤≤−
=αλλου0
5,25,22,0)(
xxf X
(β) (Ι) 6,02,02,0212
1
2
1
===≤≤−Ρ−−
∫ xdxX και:
(ΙΙ) 2,02,02,02,05,15,1
5,2
5,1
5,2
5,1
====≥Ρ ∫ ∫∞
xdxdxX
(γ) Έχουµε ότι:
5,145,2
8,0)5,2(2,02,08,02,02,08,05,25,2
−=⇒=−⇒
⇒=−=⇒==⇒=≥Ρ ∫ ∫∞
cc
cxdxdxcXc cc
(δ) Η µέση τιµή της X είναι ίση µε:
02
2,02,0)(5,2
5,2
5,2
5,2
2
====−
∞
∞− −∫ ∫
xdxxdxxfxEX X ;
34
Ακόµα:
08,23
2,02,0)(5,2
5,2
5,2
5,2
3222 ====
−
∞
∞− −∫ ∫
xdxxdxxfxEX X
και έτσι η διασπορά της X είναι ίση µε:
08,2008,2)()( 222 =−=−= EXEXXV
2.6.3 Εάν η τ.µ )(λPX ≈ τότε (α) ΕΧ=λ (β) σ2(Χ)=λ
Λύση (α) Έχουµε:
)!
(!
,)!1(
,!
00
1
100
ay
y
y
y
k
k
k
kk
ey
aeey
e
ke
kekkXPkEX
====
=−
====
∑∑
∑∑∑∞
=
−∞
=
−
−∞
=
−−∞
=
∞
=
λλλλ
λλλ
λλλ
λλ
(β) σ2(Χ) = E[(X−(EX))2] = E(X2)−(EX)2 ή σ2(Χ) = E[Χ(X−1)]+E(X)−(EX)2
Τώρα:
22
0
22
2
2
20
!)!2(
!)1()1()]1([
λλλλλλ
λ
λλλλ
λ
===−
=
=−==−=−
−∞
=
−−∞
=
−
−∞
=
∞
=
∑∑
∑∑
eey
ek
e
kekkkXPkkXXE
y
y
k
k
k
kk
οπότε
σ2(Χ) = E[Χ(X−1)]+E(X)−(EX)2 = λ2+λ−λ2 = λ .
2.6.4 Έστω ότι η τ.µ )(λPX ≈ .
(α) Να δειχθεί ότι λλ −=te
X etM )((β) Με την βοήθεια του (α) υπολογίστε την µέση τιµή και διασπορά
της Χ .
Λύση (α) ΄Εχουµε:
λλλλλλ λλ −−∞
=
−−∞
=
===== ∑∑tt ee
xt
k
x
x
txtXX eee
xee
xeeeEtM
!)(
!)()(
00
(β) Ξέρουµε: λλ λλλλ ==== =−
=−
= 000 |||)( tte
te
tX eeedtdtM
dtdEX
tt
ακόµα
35
λλλλ λλλλλλ +=+=== =−−
=−
=2
022
02
2
02
22 |)(||)( t
tetet
etX eeeee
dtdtM
dtdEX
ttt
οπότε σ2(Χ) = E(X2)−(EX)2 = λ2+λ−λ2 = λ
2.6.5 (∆ιωνυµική κατανοµή) Από την γενική απογραφή καταστηµάτων ενός
έτους, διαπιστώθηκε ότι 10% των καταστηµάτων λειτουργούσε χωρίς άδεια του αρµόδιου Υπουργείου. Επιλέγουµε 6 καταστήµατα τυχαία, ποιά η πιθανότητα: (α) ακριβώς 4 από αυτά να λειτουργούσαν χωρίς άδεια του Υπουργείου (β) τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν χώρις άδεια του Υπουρ-
γείου (γ) το πολύ 3 από αυτά να λειτουργούσαν χώρις άδεια του Υπουργείου (δ) τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου.
Λύση ∆ιωνυµικό πείραµα: (δυό δυνατά αποτελέσµατα)
¨επιτυχία¨=¨το κατάστηµα λειτουργούσε χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου¨
Ρ(«επιτυχίας») = 0,10 = p και n = 6 (αριθµός των επαναλήψεων)
Εάν Χ=αριθµός των καταστηµάτων που λειτουργούσαν χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου, τότε
(α) Ρ(Χ=4) = ...90,010,01590,010,0)!46(!4
!6 24464 =⋅⋅=⋅−⋅
−
η πιθανότητα µπορεί να υπολογιστεί µε την χρήση διωνυµικών πινά-κων(;)
(β) Ρ(Χ≥ 4) = Ρ(Χ=4) +Ρ(Χ=5) +Ρ(Χ=6) =
=⋅−⋅
+⋅−⋅
+⋅−⋅
−−− 666565464 90,010,0)!66(!6
!690,010,0)!56(!5
!690,010,0)!46(!4
!6 ...
(γ) Ρ(Χ≤ 3) = Ρ(Χ=3) +Ρ(Χ=2) +Ρ(Χ=1) +Ρ(Χ=0) = (ανάλογα µε το (β)) = ...
(δ) Ρ(τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου) = Ρ(4 ή 5 ή 6 καταστήµατα λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου) = Ρ(2 ή 1 ή 0 καταστήµατα λειτουργούσαν χωρίς την άδεια του Υπουργείου )= Ρ(Χ ≤ 2) = Ρ(Χ =2)+ Ρ(Χ =1)+ Ρ(Χ =0) = .... (ανάλογα µε το (β))
2.6.6 (Κανονική κατανοµή) Το IQ αποτελεί δείκτη ευφυίας των ατόµων και
36
ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ=100 και τυπική από-κλιση σ=15. Αν Χ είναι ο δείκτης ευφυίας ενός ατόµου, να βρεθούν οι παρακάτω πιθανότητες: (α) Ρ(Χ < 118) (β) Ρ(Χ > 112) (γ) Ρ(Χ < 94)
(δ) Ρ(Χ > 73) (ε) Ρ(100 < Χ < 112) (στ) Ρ(73 < Χ <118)
(ζ) Ρ(73 < Χ < 94)
Λύση Εχουµε:
(α) P(X < 118) = 884930,0)2,1(15
10011815
100=<=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<− ΖΡΧΡ
(β) P(X > 112) = =<−=>=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
>− )8,0(1)8,0(
15100112
15100 ΖΡΖΡΧΡ
= 211855,0788145,01 =−
(γ) P(X < 94) = =>=−<=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<− )4,0()4,0(
1510094
15100 ΖΡΖΡΧΡ
344578,0655422,01)4,0(1 =−=<Ρ−= Z
(µε χρήση των κανονικών πινάκων)
(δ) P(X > 73) = 964070,0)8,1()8,1(15
1007315
100=<=−>=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
>− ΖΡΖΡΧΡ
(ε) P( 100 < X < 112) = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<−
<−
15100112
15100
15100100 ΧΡ
288145,05,0788145,0)0()8,0()8,00( =−=<ΖΡ−<ΖΡ=<Ζ<Ρ=
(στ) P( 73 < X < 118) = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<−
<−
15100118
15100
1510073 ΧΡ
849,0964070,01884930,0
)8,1(1)2,1()8,1(1)2,1(
)8,1()2,1()8,1()2,1()2,18,1(
=+−
=<+−<=<−−<
=>−<=−<−<=<<−
ΖΡΖΡΖΡΖΡ
ΖΡΖΡΖΡΖΡΖΡ
(ζ) P( 73 < X < 94) = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<−
<−
1510094
15100
1510073 ΧΡ
308648,0655422,0964070,0)4,0()8,1(
)8,14,0()4,08,1(
=−=<−<
=<<=−<<−
ΖΡΖΡ
ΖΡΖΡ
37
2.6.7 (Τυπική κανονική κατανοµή) Αν Ζ≈Ν(0,1) να βρεθεί η σταθερά c στις παρακάτω περιπτώσεις: (α) P(Z < c) = 0,9554 (β) P(Z > c) = 0,0321 (γ) P(Z < c) = 0,3085 (δ) P( 1 < Z < c) = 0,1219
Λύση (α) P(Z < c)=0,9554 (c θετικό) από τους κανονικούς πίνακες c=1,70 ⇒
(β) P(Z > c)=0,0321 P(Z < c)=1−0,0321=0,9679⇒ ⇒(c θετικό) από τους κανονικούς πίνακες c=1,85
(γ) P(Z < c) = 0,3085 (c αρνητικό) ⇒
P(Z < c) = Ρ(Ζ > − c) ⇒ P(Z < −c) = 1− 0,3085=0,6915 από τους κανονικούς πίνακες −c=0,5 ⇒ c=−0,5
(δ) P(1<Z<c) = 0,1219 Ρ(Ζ < c)− Ρ(Ζ < 1) = P(Z < c)−0,841345 = 0,1219 Ρ(Ζ < c) = 0,963245 από τους κανονικούς πίνακες c=1,79.
⇒⇒
2.6.8 (Κατανοµή Poisson) Ένας εντοµολόγος µελετά τον αριθµό των ζωύφιων
στα φύλλα ενός δένδρου. Ο αριθµός αυτός ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε παράµετρο λ=10. (α) Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύλλο µε τουλάχιστον 5 ζωύφια; (β) Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύλλο χωρίς κανένα ζωύφιο;
Λύση Εάν Χ= αριθµός των ζωύφιων σε ένα φύλλο του δένδρου, τότε X≈P(10)
και είναι γνωστό:
,....2,1,0,!
)( ===ΧΡ − xx
exxλλ
(α) 9707,00293,01)4(1)5(1)5( =−=≤ΧΡ−=<ΧΡ−=≥ΧΡ (από τους πίνακες Poisson µε λ=10 και κ=4).
(β) 0000045,0!0
10)0(0
10 ≈===ΧΡ −e
2.6.9 Ο αριθµός των µικροβίων Χ που βρίσκονται σ’ένα χώρο V είναι µια τ.µ.
X P(λ). Να προσδιορισθεί ο λ, αν είναι P(Χ > 0) = 0,999. ≈
Λύση Έχουµε:
P(Χ > 0) = 0,999 = 1−Ρ(Χ=0)⇒ Ρ(Χ=0) = 0,001⇒
9,6)001,0ln(001,0001,0!0
)0(0
≅−=⇒=⇒===ΧΡ −− λλ λλ ee
38
2.6.10 (Εκθετική κατανοµή) Η διάρκεια ζωής (σε χρόνια) µιας ηλεκτρικής
συσκευής έχει την (αρνητική) εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ=0,1. Ποιά η πιθανότητα ότι η εν λόγω ηλεκτρική συσκευή θα πρέπει ν’αντι-κατασταθεί όχι αργότερα από 5 χρόνια; Μετά από 7 χρόνια;
Λύση Εχουµε:
39,01,0)5( 01,051,05
0
1,05
0
≅+−=⋅=⋅=≤ΧΡ ⋅−⋅−−− ∫∫ eedxedxe xxλλ .
49,01,0)7( 7.0
7
1.0
7
1.0
7
≅=−=⋅=⋅=≥ −∞+⋅−+∞
−+∞
− ∫∫ eedxedxe xxxλλΧΡ
2.6.11 Εάν η τ.µ Χ ακολουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους α και β,
να βρεθεί η κατανοµή της τ.µ XY ln= .
Λύση Η π.π. της τ.µ. Χ, είναι ως γνωστόν ίση µε:
)(xf X =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
>−
−
00
0)(1 1
x
xexx
aβα
βαΓ
Εδώ: yyy ee
dydeygxxgTSg ==⇒=∞+−∞=→∞+= − )(&)(ln)(),,(),0(: 1
οπότε, από γνωστό θεώρηµα έχουµε:
)(yfY = ℜ∈=−−
− yeeeeyy ey
ay
ey
aβ
αβα
βαβα )(1)(
)(1 1
ΓΓ
2.6.12 Έστω Χ, Υ τ.µ µε από κοινού π.π. την:
⎪⎩
⎪⎨⎧ >
=+−
ύ
yxeyxf
yx
YXαλλο
λ λ
0
0,),(
)(2
,
Να δειχθεί ότι οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες
Λύση Οι περιθωριακές π.π. των τ.µ. Χ, Υ είναι ίσες µε:
0),()( )(2
0 0, >=== −+−
∞ ∞
∫ ∫ xedyedyyxfxf xyxYXX
λλ λλ
39
και (όµοια) 0),()( )(2
0 0, >=== −+−
∞ ∞
∫ ∫ yedxedxyxfyf yyxYXY
λλ λλ
Επειδή τώρα: )()(),( )(2
, yfxfeeeyxf YXyxyx
YX === −−+− λλλ λλλ
οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες.
2.6.13 (Κ.Ο.Θ.) Εργοστάσιο κατασκευάζει συσσωρευτές, η διάρκεια ζωής κάθε-
νός εκ των οποίων ακολουθεί την αρνητική εκθετική κατανοµή µε µέσο 300 ώρες. ∆ιαλέγουµε 20 από αυτούς τους συσσωρευτές τυχαία. Να υπο-λογιστεί η πιθανότητα (αυτοί ) να δουλεύουν συνολικά πάνω από 8000 ώρες.
Λύση
Έστω τ.µ. που εκφράζουν την διάρκεια ζωής (κάθενός εκ ) των 20 συσσωρευτών, τότε:
2021 ,,, XXX
3001&20,,2,1,)( ===≈ − λλ λ iexfX x
i
Η ζητούµενη πιθανότητα, µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ., γίνεται:
=>=>+++ 80008000 202021 SPXXXP
=>−
=−
>−
5,1)(
000.800.1
60008000)(
20
2
2020
202
2020
S
ESSP
S
ESSP
σσ
066,0933193,01)5,1(15,1)(
120
2
2020 =−=−=<−
− ΦS
ESSP
σ
γιατί: 60003002012020 120 =⋅=⋅=⋅=λ
EXES ώρες
και 000.800.130020120)(20)( 221
220
2 =⋅=⋅=⋅=λ
σσ XS ώρες2
2.6.14 Ένα κανονικό νόµισµα ρίχνεται ανεξάρτητα n φορές και έστω µια τ.µ.
που δηλώνει τον συνολικό αριθµό κεφαλών που εµφανίστηκαν. Υπολογί-στε την µικρότερη τιµή του n για την οποία έχουµε:
nS
95,01,05,0 ≥≤−nXP
όπου: nS
X nn =
Λύση Εάν θεωρήσουµε τις n ρίψεις σαν n ανεξάρτητες τ.µ. , τότε: nXXX ,,, 21
40
21
21
21)(,
21
211)(
&)21,(,,2,1),
21,1(
12
1
1
=⋅===⋅==
≈=⇒=≈ ∑=
XXE
nBXSniBXn
iini
σσµ
οπότε, µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ., η ζητούµενη πιθανότητα γίνεται:
1)2,0(2121,02
21,0121,0
21,021,0
21,021,0
21,021,0
1,0)(1,0
1,05,01,01,05,0
)(
−=−⋅≤=
=⋅≤−−⋅≤=
=⋅≥−⋅≤=
=⋅−≤−⋅≤=
=⋅≤≤⋅−=
=≤−≤−=
=≤−≤−=≤−
−=
nnZP
nZPnZP
nZPnZP
nZPnZP
nZnP
nXnnP
XPXP
nXnZ
n
nn
Φ
µσ
σµ
σσ
Επειδή θέλουµε:
9704,96
2,096,196,12,0975,0)2,0(95,01)2,0(2
≥⇒≥
⇒≥⇒≥⇒≥⇒≥−
nn
nnnn ΦΦ
2.6.15 Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστεkXX ,,1 kjpnBX jj ,,1),,( =≈ .
Τότε η τ.µ. ),(1 pnBXXS kk ≈++= όπου knnn ++= 1 .
Λύση Χρησιµοποιώντας το µονοσήµαντο της αντιστοιχίας µεταξύ της πυκνότητας
πιθανότητας µιας τ.µ. και της ροπογεννήτριάς της, είναι αρκετό να δείξουµε ότι η ροπογεννήτρια της τ.µ. kk XXS ++= 1 είναι εκείνη µιας τ.µ. µε κατανοµή την ) . Από την ανεξαρτησία των τ.µ. έχουµε: ,( pnB kXX ,,1
ntntnt
XXXXS
qpeqpeqpe
tMtMtMtM
k
kkk
)()()(
)()()()(
1
11
+=++=
=== ++
και αυτή είναι η ροπογεννήτρια µιας ) τ.µ. µε ,( pnB knnn ++= 1 .
Παρατήρηση Η παραπάνω ιδιότητα καλείται αναπαραγωγική, µε την έν-
41
νοια ότι το άθροισµα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών µε την ίδιου τύπου κα-τανοµή έχει κατανοµή του ίδιου τύπου. Η κατανοµή Poisson, η κανονική κα-τανοµή, η γάµµα κατανοµή είναι µερικά παραδείγµατα κατανοµών που έχουν την ιδιότητα αυτή. Πράγµατι, µπορεί να αποδειχθεί µε τρόπο ανάλογο όπως πα-ραπάνω ότι, ισχύουν τα εξής:
(i) Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστε kXX ,,1 kjPX jj ,,1),( =≈ λ . Τότε η τ.µ. )(1 λPXXS kk ≈++= όπου kλλλ ++= 1 .
(ii) Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστε kXX ,,1
kjNX jjj ,,1),,( 2 =≈ σµ . Τότε η τ.µ.
όπου , .
),( 21 σµNXXS kk ≈++=
kµµµ ++= 122
12
kσσσ ++=
(iii) Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστε kXX ,,1 kjX j ,,1, = ακολουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους . βα ,j
Τότε η τ.µ. kk XXS ++= 1 ακολουθεί την γάµµα κατανοµή µε παρα-µέτρους όπου βα, kααα ++= 1 .
Γενικά, η αναπαραγωγική ιδιότητα που περιγράψαµε παραπάνω δεν ισχύει. Για παράδειγµα εάν Χ, Υ είναι δυό ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν την οµοιό-µορφη κατανοµή, το άθροισµά τους Χ+Υ δεν ακολουθεί την οµοιόµορφη κατα-νοµή (αλλά µια κατανοµή που ονοµάζεται τριγωνική).
42
Recommended