Matemática Financeira 2012_02

Matemática Financeira

Milton Henrique do Couto Neto

miltonh@terra.com.br

Revisão de Matemática Elementar

Operações Algébricas Básicas

• Ao resolver operações algébricas, deve-se sempre resolver as operações na seguinte ordem:1. Potenciação ou Radiciação

2. Multiplicação ou Divisão

3. Adição ou Subtração

Operações Algébricas Básicas

• Ao resolver operações algébricas com parênteses, colchetes e chaves , deve-se sempre resolver as operações na seguinte ordem:1. Parênteses

2. Colchetes

3. Chaves

Operações com Percentagens

Forma Unitária

Forma Percentual

Converta para a forma percentual: (a) 0,57 (b) 2,08 (c) 1,41.

Converta para a forma unitária: (a) 163% (b) 2.107% (c) 12%.

Calcule: (a) 25% de 350; (b) 42% de 68 ; (c) 127% de 560

Operações com Percentagens

• Em operações que envolvem aumentos percentuais, para obter o valor final, basta multiplicar o valor inicial por (1 + variação percentual em forma unitária).

Um carro foi comprado por R$ 15.000,00. Por quanto deverá ser vendido para permitir um ganho de 25% sobre o preço inicial?

Se uma geladeira, que custa R$ 800,00 entrar em promoção com desconto de 20% sobre o preço original, quanto passará a custar?

Regra de 3 Simples

3 homens comem 2 pizzas6 homens comerão quantas pizzas?

3 homens → 2 pizzas

6 homens → X pizzas

Se 2 pares de tênis custam R$ 250,00, quanto custarão 5 pares do mesmo tênis?

Cresce na mesma proporção

5 homens constroem a casa em 2 meses10 homens construirão em quanto tempo?

Regra de 3 Inversa

5 homens → 2 meses

10 homens → X meses

Numa residência com 4 pessoas, uma caixa d’água de 1.000 litros é suficiente para 3 dias de consumo. Se chegarem mais 2 hóspedes

quanto tempo irá durar a água da mesma caixa d’água?

Cresce em proporção

inversa

Inverti esse lado!

Potenciação

n vezes

Casos especiais que merecem destaque:

Potenciação

Aplicadas as regras descritas anteriormente, resolva as seguintes potências:

b)52 x 53 c)25 x 87

Radiciação

Equações de Primeiro GrauUma mercadoria custava R$ 400,00. Um dia esta mesma mercadoria apareceu custando R$ 430,00. De quanto foi o aumento?

Primeiro membro Segundo membro

Ambos os membros podem ser acrescidos ou subtraídos de uma constante sem alterar a igualdade;

Assim também os membros também pode ser multiplicados ou divididos por uma constante.

Equações de Primeiro Grau

O triplo de um número subtraído de 8 é igual a 37. Qual é esse número?

Equações de Segundo Grau

Resolução

Se bb22 – 4.a.c – 4.a.c for:

a)> 0 → 2 soluções distintas;

b)= 0 → 2 soluções iguais;

c)< 0 → não apresenta soluções reais;

Equações de Segundo Grau

Encontre o valor de X:

a)X2 – 3X + 2 = 0

b)X2 + 4X + 4 = 0

c)X2 – 2x + 2 = 0

Lista de Exercícios

1. Há oito anos, Pedro tinha a metade da idade que tem hoje. Qual a sua idade atual?

2. Em uma determinada empresa, em forma de Sociedade Anônima, com capital dividido em 350 milhões de ações, João possui 0,3% do capital dessa empresa. Considerando que será dada uma bonificação de uma nova ação para cada 7 ações que já possui, com quantas ações o João ficará?

3. Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia, consome, em 30 dias, 9780 kg de carvão. Considerando que esta máquina irá operar 12 horas e 30 minutos por dia, durante 90 dias ininterruptos e que o kg do carvão custa R$ 800,00 qual será o custo total gasto pela máquina?

4. Quanto é 25% da terça parte de 1026?

5. Um comerciante comprou 10 sacas de batata, de 10 kg cada, por R$ 2.100,00. Por quanto deve vender cada kg para obter um lucro de 20%?

6. Um produto foi vendido por R$ 14.400,00 com prejuízo de 10% do preço da compra. Qual foi o preço da compra?

Lista de Exercício

7. Dividiu-se um terreno de 1.296 m2 em 3 lotes. A área do primeiro corresponde a 4/5 da área do segundo e a área do terceiro é igual a soma das outras áreas. Qual o tamanho do maior lote?

8. Uma pessoa vai de A para B a 50 km/h de média e depois retorna de B para A numa velocidade média de 75 km/h. Qual a velocidade média total?

9. Num dia de futebol, as torcidas do time A e B compareceram na razão de 3 para 4. Sendo a lotação neste dia de 77 mil torcedores, quantos eram torcedores do time B?

10.Calcule as soluções para: X2 – 9x + 6 = 0 X2 + 5x + 4 = 0 X2 – 7x + 9 = 0

Matemática Financeira

1) Introdução

Tempo e Dinheiro

Alguém aí me empresta R$ 1.000,00 para eu pagar no mês que vem???

Dinheiro tem um custo associado ao tempo

Fatores que influenciam a preferência pela posse atual do dinheiro:– RISCORISCO: Sempre haverá o risco de não

recer os valores programados em decorrência de imprevistos;

– UTILIDADEUTILIDADE: O investimento implica em não consumir hoje para consumir no futuro;

– OPORTUNIDADEOPORTUNIDADE: A posse do dinheiro permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que aparecerem.

MatemáticaFinanceira

Conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de modo geral e, que, basicamente, consistem no estudo do valor do estudo do valor do dinheiro no tempodinheiro no tempo.

Remuneração do capital, a qualquer títuloqualquer título.

a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas;

b) Custo do capital de terceiros;

c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial nelas empregado.

O Juro JJ também é o resultado da diferença do capital final FF e do capital inicial PP da operação financeira conhecida:

J = F - PJ = F - PO resultado do cálculo de JJ é um valor monetário, um dado absoluto que não identifica o prazo de geração de JJ

Taxa de Juros

É a velocidade com que o Juros aumenta!

A taxa unitária I é o juro gerado por uma unidade de capital inicial $ 1 associado com o período de tempo de geração do juro.

Taxa de Juros – Unidade de Medida

Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc.).

Exemplo: 12% a.a. = 12 % ao ano; 4% a.s. = 4 % ao semestre; 1% a.m. = 1 % ao mês

Variáveis Importantes• Capital, Principal ou Valor Presente Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VPC, P ou VP)

– É o recurso aplicado;

• Taxa Taxa (ii)– É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode

ser representado em forma percentual ou unitária.

• Prazo ou Tempo ou Períodos Prazo ou Tempo ou Períodos (n)– É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i),

necessita para produzir um montane (M).

• Montante ou Valor Futuro Montante ou Valor Futuro (M ou VFM ou VF)– É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação

comercial ou financeira após um determinado período de tempo.

Diagrama de Fluxo de Caixa

(+) entradas

(-) saídas

Tempo (n)

Regime de Capitalização dos Juros

Juros SimplesJuros Simples

Juros CompostosJuros Compostos

Regimes de Capitalização

• Suponha que você tenha investido R$ 10.000,00 pelo prazo de 12 meses com pagamento mensal de juro calculado com a taxa de juro de 2% ao mês.

Regimes de CapitalizaçãoSem reinvestir os juros

Meses Juro Mensal(2%)

Juros acumulados

Valor Futuro

1 200,00 200,00 10.200,00

2 200,00 400,00 10.400,00

3 200,00 600,00 10.600,00

4 200,00 800,00 10.800,00

5 200,00 1.000,00 11.000,00

6 200,00 1.200,00 11.200,00

7 200,00 1.400,00 11.400,00

8 200,00 1.600,00 11.600,00

9 200,00 1.800,00 11.800,00

10 200,00 2.000,00 12.000,00

11 200,00 2.200,00 12.200,00

12 200,00 2.400,00 12.400,00

Regimes de CapitalizaçãoReinvestindo os juros

Juros acumulados

Valor Futuro

1 200,00 200,00 10.200,00

2 204,00 404,00 10.404,00

3 208,08 612,08 10.612,08

4 212,24 824,32 10.824,32

5 216,49 1.040,81 11.040,81

6 220,81 1.261,62 11.261,62

7 225,24 1.486,86 11.486,86

8 229,73 1.716,59 11.716,59

9 234,34 1.950,93 11.950,93

10 239,01 2.189,94 12.189,94

11 243,80 2.433,74 12.433,74

12 248,68 2.682,42 12.682,42

Regimes de CapitalizaçãoSem reinvestir os juros Reinvestindo os juros

Juros acumulados

Valor Futuro Juro Mensal(2%)

Juros acumulados

Valor Futuro

1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00

2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00

3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08

4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32

5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81

6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62

7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86

8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59

9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93

10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94

11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74

12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42

Regimes de CapitalizaçãoJUROS SIMPLES JUROS

COMPOSTOSMeses Juro Mensal

(2%)Juros

acumuladosValor Futuro Juro Mensal

(2%)Juros

acumuladosValor Futuro

1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00

2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00

3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08

4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32

5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81

6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62

7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86

8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59

9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93

10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94

11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74

12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42

Juros Simples

Característica Principal

Os juros gerados durante a operação são acumulados SEM REMUNERAÇÃO SEM REMUNERAÇÃO até o final da operação, quando são capitalizados.

Crescimento Linear

Ano Saldo Início do Ano Juros no Ano Saldo no final do Ano1 1.000,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.080,00R$ 2 1.080,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.160,00R$ 3 1.160,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.240,00R$ 4 1.240,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.320,00R$

FórmulasFórmula para Valor Futuro

Fórmula para Valor Presente

Fórmula para Taxa de Juros

Fórmula para Prazo

Exercícios

1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses com taxa de juros de 2,14% ao mês. Calcule o valor do resgate no regime de juros simples.

2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa de juros de 1,45% ao mês (considere juro simples). Calcule o prazo necessário para que a aplicação alcance R$ 6.058,25.

3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses, no regime de juros simples. Ao final do quinto mês foram resgatados R$ 3.850,50. Calcule a taxa de juros da operação.

Descontos

Juros Simples

Descontos

• As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos.

Desconto

• Como o dinheiro tem um valor no tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade aplicando um descontodesconto.

CapitalizaçãoLevar do Presente para o Futuro

≠≠DescontoTrazer do Futuro para o Presente

Desconto

Valor FuturoValor Nominal

Valor PresenteValor Líquido

Desconto Racional (Por Dentro)

• No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa incide sobre o Valor Presente da operação.

• Calcule o desconto racional e o valor líquido recebido proveniente do desconto de um título de valor nominal R$ 500,00 com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa de 4,5 % a.m.

Desconto Comercial (Por Fora)

• No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa incide sobre o Valor Futuro da operação.

• Qual o valor líquido de um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 5 meses e taxa de juros por fora de 3% a.m.

Exercícios

1. Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de 2,5% a.m.. Qual o valor recebido?

2. Qual o valor do desconto comercial de título de R$ 3.000,00 descontado 90 dias antes do vencimento à taxa de 2,5%a.m?

Exercícios

3. Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes de seu vencimento, tendo sido concedido desconto racional simples à taxa de 10% a.m. Qual o valor recebido?

4. Considere o mesmo exercício acima, mas agora com desconto comercial. Qual seria o valor recebido?

Juros Compostos

Exercício / Exemplo

• Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?

• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um ano, a uma taxa de juros compostos constante de 2,2%a.m.

• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo dessa operação.

• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que este capital estava aplicado.

Exercícios1) Um investimento de R$ 650.000,00 será

remunerado a uma taxa de juros composto de 1,35% a.m. durante os 4 primeiros meses e com a taxa de 1,24% a.m. durante os oito meses restantes da operação. Calcule o valor do resgate após um ano de aplicação.

2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para a compra de um equipamento daqui a 5 meses. O banco em que João possui conta oferece remuneração de 2,5%a.m. para aplicação. Quanto João terá que investir hoje para garantir a compra do equipamento tão esperado?

Exercícios

3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao final de 2 anos?

4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69% a.m. gerou um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo foi necessário para isso.

Desconto – Juros Compostos

Desconto Racional (“por dentro”)

Desconto Racional

• Calcule o desconto de um título de valor nominal de US$ 600,00, descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4 % a.m.

Desconto Comercial (“por fora”)

Desconto Comercial

• Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto de 3 % a.m.. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo título.

Exercícios

1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$ 20.000,00 se ele for pago 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 3,5 % a.m. no regime de juros compostos? Qual o valor a ser recebido?

2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 % a.m. e que o valor líquido recebido foi de R$ 880,50, informe o valor nominal do título.

Exercícios

3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar R$ 100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4 meses para a entrega das chaves, João recebeu um dinheiro extra e resolveu quitar logo essa dívida. A construtora propõe um desconto bancário de 2% a.m.. Quanto João terá que desembolsar hoje?

4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do prazo a uma taxa por fora de 7% a.m. resulta em que valor líquido?

Taxas de Juros

Taxa Efetiva

• Taxa Efetiva Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

• Exemplos:– 2% ao mês, capitalizados mensalmente;– 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;– 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;– 12% ao ano, capitalizados anualmente.

Taxas Proporcionais – Juros Simples

• Taxas Proporcionais Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidade de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês

Isso só vale para Juros Simples!!!

ExemplosExemplos

• Calcule as taxas proporcionais Calcule as taxas proporcionais em meses:em meses:

– 1% ao dia1% ao dia →→ 30% ao mês30% ao mês

– 12% ao ano 12% ao ano →→ 1% ao mês1% ao mês

– 6% ao mês6% ao mês →→ 6% ao mês6% ao mês

Taxas Equivalentes – Juros Compostos

• Taxas Equivalentes Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês

Isso só vale para Juros Compostos!!!

(1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360

Exemplos

Taxa Nominal

• Taxa Nominal Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

• Exemplo– 12% ao ano, capitalizados mensalmente;– 24% ao ano, capitalizados semestralmente;– 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;– 18% ao ano, capitalizados diariamente.

Taxa Efetiva e Taxa Nominal• 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal

Efetiva

• 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal

Efetiva

Não se faz conta com Taxa Nominal.Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.

Exercícios

• Calcule as Taxas Proporcionais:

– 2% ao mês, em anos;

– 1,5% ao dia em semestres;

– 30% ao ano, em trimestres;

Exercícios

• Calcule as Taxas Equivalentes:

– 2% ao mês, em anos;

– 1,5% ao dia em semestres;

– 30% ao ano, em trimestres;

Séries Uniformes

Fluxo de Caixa – Séries Uniformes

Tipos de Séries de Pagamento

• PostecipadasPostecipadas– São aquelas em que os pagamentos ocorrem no

final de cada período e não na origem.

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

É a mais comum!

• AntecipadasAntecipadas– Os pagamentos são feitos no início de cada

período respectivo.

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

• DiferidasDiferidas– O período de carência constitui-se em um prazo que

separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela.

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

Período de Carência

Fórmulas

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

PMTPMT

PostecipadaPostecipada

Exemplo

R$ 1.000,00 = 36 x R$ 42,53taxa de 2,45% a.m.

ExemploQuanto custa este veículo se o dono pede 24 x de R$ 499,00, sem entrada, e a taxa de juros média cobrada neste setor está atualmente em 1,99% a.m.?

Exercícios

1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual o valor da prestação?

2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$ 700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual o valor que podemos pegar emprestado?

Exercícios3. Quanto custa uma TV de LED que é

anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00 a 4,5% a.m.?

4. Considerando a mesma taxa de juros, quanto custaria se o parcelamento da mesma TV fosse feito em 18 meses?

Séries Diferidas

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

VPVPcorrigidocorrigido

Fórmulas

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

Diferid

Fórmulas

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

Diferid

tempo0 1 … n - 1 n

Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!

Exemplos

Um curso oferece uma promoção de inicie o curso agora e só comece a pagar daqui a 3 meses.

Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juros cobrada é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em 6 parcelas, determine o valor dessas parcelas.

Diferid

Fluxo de Caixa do Exemplo

tempo0 1 2 3 … 8 9

VP = R$ 3.000,00VP = R$ 3.000,00

Período de Carência = 3 meses

Período de Pagamento = 6 meses

Diferid

tempo0 1 2 3 … 8 9

VP = R$ 3.000,00VP = R$ 3.000,00

Período de Pagamento = 6 meses

0 1 5 6

Diferid

tempo0 1 2 3 4 5 6

Diferid

Exercício

1. O BNDES financia caminhões com carência de 6 meses. Se um caminhão custa R$ 120.000,00, podendo ser financiado até 70% com juros de 2,85%a.m. em 36 meses após a carência, quanto custará a prestação?

Diferid

Matemática Financeira 2012_02

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MATEMÁTICA - Apostila de Matemática Financeira 1

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