Upload
hyronimus-lado
View
135.976
Download
37
Embed Size (px)
Citation preview
2013
Mudah Lulus UN 2014
Hyr
onim
us L
ado,
S.P
d *
Mud
ah L
ulus
UN
201
4*
Mod
ul m
atem
atik
a ta
pel 2
013/
2014
Hak cipta@Smpn Satu Atap Ilewutungemail:[email protected]
1 logika matematika
Standar KompetensiLulusan (SKL) : I
: Memahami pernyataan-pernyataan dalammatematika dan ingkarannya, menentukan nilaikebenaran pernyataan majemuk, sertamenggunakan prinsip logika matematika dalampemecahan masalah.
Ruang LingkupMateri (RLM)
: Logika matematika Ingkaran suatu pernyataan Penarikan kesimpulan(Tidak termasuk pernyataan berkuantor)
Operasi RLM : Nilai kebenaran dari suatu pernyataan Ingkaran suatu pernyataan Konvers Kontraposisi dan pernyataan yang senilai Penarikan kesimpulan
PEMETAAN SKL
2 logika matematika
A. Pernyataan kalimat terbuka serta ingkarannya. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja
atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.Contoh :1. 3 adalah bilangan ganjil (benar)2. Kupang adalah ibu kota negara Indonesia (salah)Pernyataan dinotasikan dengan huruf p, q, r, s, .... Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya (benar atau salah), biasanya masih memuatpeubah/variabel. Jika peubah atau variabel diganti dengan suatufakta (nilai), maka menjadi suatu pernyataan.
Contoh :83 x
jika x diganti 5 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benarjika x diganti 2 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang salah Ingkaran adalah pernyataan baru yang dengan nilai kebenaran
berlawanan dengan nilai pernyataan semula, dinotasikan dengan “”Contoh :1. p : 6 > 2 (B) maka ingkaran dari p ditulis
~p : 6 2 (S)2. p : 4 + 1 5 (S) maka ingkaran dari p ditulis
~p : 4 + 1 = 5 (B) Ingkaran dari kata-kata:
“semua” adalah “ada”“ada” adalah “beberapa”“beberapa” adalah “semua”
MATERI
3 logika matematika
B. Operasi Logika Konjungsi
Konjungsi dari dua pernyataan p dan q ditulis “p q”Dua pernyataan p dan q (p q) bernilai benar jika komponen p dan qbernilai benar.
p q p qBBSS
BSBS
BSSS
DisjungsiDisjungsi dari dua pernyataan p atau q ditulis “p q”Disjungsi dari dua pernyataan p atau q bernilai benar jika salah satuunsur benar.
p q p qBBSS
BSBS
BBBS
ImplikasiImplikasi dari dua pernyataan jika p maka q dinotasikan dengan“p q”Implikasi p q bernilai salah hanya jika pernyataan pertama bernilaibenar dan pernyataan kedua bernilai salah.
p q p qBBSS
BSBS
BSBB
BiimplikasiBiimplikasi dua pernyataan p jika dan hanya jika q ditulis “p q”Biimplikasi p q bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai sama
4 logika matematika
p q p qBBSS
BSBS
BSSB
C. Pernyataan majemukDua pernyataan majemuk dikatakan ekivalen jika kedua pernyataanmajemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.1. p q ~p q
p q p qBBSS
BSBS
BSBB
p q ~p ~p qBBSS
BSBS
SSBB
BSBB
2. p ~q ~ (q ~p)
p q ~q p ~qBBSS
BSBS
SBSB
SBSS
p q ~p q ~p ~( q ~p)BBSS
BSBS
SSBB
BSBB
SBSS
5 logika matematika
3. ~( p q) p ~q ~ (q ~p)4. ~p ~q q p5. p ~q q ~p6. ~p q ~q pHukum De Morgan1. ~(p q) ~p ~q2. ~(p q) ~p ~q
D. Penarikan kesimpulan1. Modus ponens
Premis 1 : p q2 : p q
2. Modus tollensPremis 1 : p q
2 : ~q ~p
3. SilogismePremis 1 : p q
2 : q r p r
6 logika matematika
1. Penarikan kesimpulan dari premis-premis dibawah ini adalah .... UAN2003Premis 1 : qp
2 : ~q....
a. pb. ~pc. qd. )( qp e. ~qPenyelesaian :Premis 1 : qp qp~
2 : ~q ~(~p) = p
Jawaban : a2. Ingkaran dari pernyataan “semua makluk hidup perlu makan dan minum”
adalah .... UAN 2004a. Semua makluk hidup tidak perlu makan dan minumb. Ada makluk hidup yang tidak perlu makan atau minumc. Ada makluk hidup yang tidak perlu makan minumd. Semua makluk tidak hidup perlu makan dan minume. Semua makluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minumPenyelesaian :Ingkaran dari kata “semua” adalah “ada”Mis p : makluk hidup perlu makan
q : makluk hidup perlu minumMaka model matematika dari pernyataan di atas adalah
qp ingkarannya adalah qpqp ~~)(~ “ada makluk hidup tidak perlu makan atau minum”Jawaban : b
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
7 logika matematika
3. Diketahui premis-premis berikut :1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai2. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian3. Budi tidak lulus ujianKesimpulan yang sah adalah .... UAN 2005a. Budi menjadi pandaib. Budi rajin belajarc. Budi lulus ujiand. Budi tidak pandaie. Budi tidak rajin belajarPenyelesaian :Misalkan : p : Budi rajin belajar
q : Budi menjadi pandair : Budi lulus ujian
Model matematikanya adalah :Premis 1 : p → q
2 : q → r3 : ~r
Dari premis pertama dan kedua dapat disimpulkan :Premis 1 : p → q
2 : q → r p → r3 : ~r ~p
“Budi tidak rajin belajar”Jawaban : e
4. Upik rajin belajar maka ia naik kelasUpik tidak naik kelas maka ia tidak dapat hadiahUpik rajin belajarKesimpulannya adalah .... UAN 2006a. Upik naik kelasb. Upik dapat hadiahc. Upik tidak dapat hadiahd. Upik naik kelas dan dapat hadiahe. Upik dapat hadiah atau naik kelasPenyelesaian :
8 logika matematika
Mis : p : Upik rajin belajarq : Upik naik kelasr : Upik dapat hadiah
Model matematikanya adalah :Premis 1 : p → q
2 : ~q → ~r3 : p
Dari premis 1 dan 3 dapat disimpulkan :Premis 1 : p → q
3 : pq
Premis 2 : ~q → ~r ≡ r → q: q~(~r) = r
“Upik dapat hadiah”Jawaban : b
5. Diketahui pernyataan :1. Jika guru matematika tidak datang, maka siswa senang2. Jika suasana kelas tidak ramai, maka beberapa siswa tidak senang3. Guru matematika tidak datangKesimpulan yang sah adalah .... UAN 2007. Ba. Semua siswa tidak senangb. Semua siswa senang dan suasana kelas tidak ramaic. Suasana kelas tidak ramaid. Suasana kelas ramaie. Beberapa siswa tidak senangPenyelesaian :Mis : p : guru matematika datang
q : siswa senangr : suasana kelas ramai
Maka model matematikanya adalah :Premis 1 : ~p → q
2 : ~r → ~q3 : ~p
Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkanPremis 1 : ~p → q
9 logika matematika
2 : ~r → ~q ≡ q → r ~p → r
3 : ~pr
“suasana kelas ramai”Jawaban : d
6. Diketahui pernyataan :1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung3. Ani tidak memakai payungKesimpulan yang sah adalah .... UAN 2007. Aa. Hari panasb. Hari tidak panasc. Ani memakai topid. Hari panas dan Ani memakai topie. Hari tidak panas dan Ani tidak memakai topiPenyelesaian :Mis : p : hari panas
q : Ani memakai topir : Ani memakai payung
Model matematikanya adalah :Premis 1 : p → q
2 : rq ~3 : ~r
Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkan :
Premis 1 : p → q2 : rqrq ~
p → r3 : ~r
~p“hari tidak panas”Jawaban : b
7. Diketahui premis-premis :1. Jika hari hujan, maka udara dingin2. Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat
10 logika matematika
3. Ibu tidak memakai baju hanngatKesimpulan yang sah adalah .... UAN 2008a. Udara tidak dinginb. Udara panasc. Hari tidak hujand. Hari berawane. Hari tidak hujan dan udara panasPenyelesaian :Mis : p : hari hujan
q : udara dinginr : ibu memakai baju hangat
Model matematikanya adalah ....Premis 1 : p → q
2 : q → r3 : ~r
Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkan :Premis 1 : p → q
2 : q → rp → r3 : ~r~p
“hari tidak hujan”Jawaban : c
8. Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangangenap” .... UAN 2008a. Semua bilangan prima adalah bilangan genapb. Semua bilangan prima bukan bilangan genapc. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genapd. Beberapa bilangan genap bukan bilangan genape. Beberapa bilangan genap adalah bilangan primaPenyelesaian :Ingkaran dari kata “beberapa” adalah “semua”Jadi ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangangenap” adalah :“semua bilangan prima bukan bilangan genap”Jawaban : c
11 logika matematika
1. Negasi atau ingkaran dari pernyataan “semua peserta ujian nasionalmengerjakan soal seleksi dengan sungguh-sungguh” adalah ....a. Beberapa peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak
dengan sungguh-sungguh.b. Beberapa peserta ujian nasional tidak mengerjakan soal seleksi
dengan sungguh-sungguhc. Ada peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak dengan
sungguh-sungguhd. Ada peserta ujian nasional tidak mengerjakan soal seleksi tidak
dengan sungguh-sungguhe. Semua peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak dengan
sungguh-sungguh2. Pernyataan yang senilai dengan pernyataan “jika 7 bilangan prima maka
12 bilangan komposit” adalah ....a. 7 bilangan prima atau 12 bilangan kompositb. 7 bilangan prima dan 12 bilangan kompositc. Jika 7 bukan bilangan prima maka 12 bukan bilangan kompositd. Jika 12 bilangan komposit maka 7 bukan bilangan primae. Jika 12 bukan bilangan komposit maka 7 bukan bilangan prima
3. Diberikan premis-premis :1. Jika Banu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka ayah
membelikannya bola basket2. Ayah tidak membelikan bola basket atau pergi ke pasar3. Ayah tidak pergi ke pasarKesimpulaan yang sah adalah ....a. Banu rajin belajar dan patuh kepada orang tuab. Banu tidak rajin belajar dan tidak patuh kepada orang tuac. Banu tidak rajin belajar atau tidak patuh kepada orang tuad. Banu tidak rajin belajar dan patuh kepada orang tuae. Banu rajin belajar atau tidak patuh kepada orang tua
LATIHAN MANDIRI
12 logika matematika
4. Diketahui premis-premis sebagaiberikut :1. Jika Ani rajin belajar, maka ia akan pandai2. Jika Ani pandai, maka ia lulus ujian3. Ia tidak lulus ujianKesimpulan yang sah adalah ....a. Jika Ani tidak rajin belajar maka ia tidak lulus ujianb. Jika Ani rajin belajar maka ia pandaic. Ani tidak pandai atau lulus ujiand. Ani tidak rajin atau lulus ujiane. Ani tidak rajin belajar
5. Diketahui premis-premis :1. Jika hujan turun, maka tanah basah2. Jika tanah basah, maka udara lembabKesimpulan yang sah (valid) adalah ....a. Jika hujan turun, maka tanah tidak basahb. Jika tanah basah, maka hujan turunc. Jika hujan turun maka udara lembabd. Hujan tidak turune. Udara lembab
6. Ingkaran dari pernyataan “Semua peserta ebtanas berdoa sebelummengerjakan soal” adalah ....a. Semua peserta ebtanas tidak berdoa sebelum mengerjakan soalb. Beberapa peserta ebtanas berdoa sebelum mengerjakan soalc. Beberapa peserta ebtanas tidak berdoa sebelum mengerjakan soald. Semua peserta ebtanas berdoa sesudah mengerjakan soale. Beberapa peserta ebtanas berdoa sesudah mengerjakan soal
7. Ingkaran dari pernyataan “Beberapa peserta ebtanas membawakalkulator” adalah ....a. Beberapa peserta ebtanas tidak membawa kalkulatorb. Bukan peserta ebtanas membawa kalkulatorc. Semua peserta ebtanas membawa kalkulatord. Semua peserta ebtanas tidak membawa kalkulatore. Tiada peserta ebtanas tidak membawa kalkulator
13 logika matematika
8. Pernyataan “Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelam” ekuivalendengan ....a. Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelamb. Jika laut pasang maka tiang dermaga tidak tenggelamc. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tenggelamd. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tidak tenggelame. Jika tiang dermaga tidak tenggelam maka laut tidak pasang
9. Pernyataan “Jika anda rajin belajar maka anda lulus Ebtanas” ekuivalendengan ....a. Jika anda lulus Ebtanas maka anda rajin belajarb. Jika anda tidak rajin belajar maka anda tidak lulus Ebtanasc. Jika anda tidak lulus Ebtanas maka anda tidak rajin belajard. Jika anda tidak rajin belajar maka anda lulus Ebtanase. Jika anda tidak lulus Ebtanas maka rajin belajar
10. Invers dari pernyataan (p ~q) p adalah ....a. ~p (p ~q)b. ~p (p q)c. ~p (p ~q)d. (~p q) ~pe. (p ~q) ~p
11. Pernyataan majemuk “Jika hari hujan maka sungai meluap” ekuivalendengan ....a. Hari hujan dan sungai meluapb. Hari tidak hujan dan sungai tidak meluapc. Jika sungai meluap maka hari hujand. Jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujane. Jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap
12. Diketahui p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.Implikasi dibawah yang bernilai salah adalah ....a. p ~qb. ~p qc. q pd. q ~pe. ~q ~p
14 logika matematika
13. Negasi dari pernyataan “Jika Tia belajar maka ia lulus” adalah ....a. Jika Tia lulus maka ia belajarb. Jika Tia tidak lulus maka ia tidak belajarc. Jika Tia tidak belajar maka ia tidak lulusd. Tia belajar dan ia tidak luluse. Tia tidak belajar tetapi ia lulus
14. Diketahui pernyataan“Jika harga bahan bakar naik, maka ongkos angkutan naik”“Jika harga kebutuhan pokok tidak naik, maka ongkos angkutan tidaknaik”Bila kedua pernyataan itu bernilai benar, maka kesimpulan yang dapatdiambil adalah ....a. Jika ongkos naik, maka harga bahan bakar naikb. Jika ongkos angkutan naik, maka harga kebutuhan pokok naikc. Jika ongkos angkutan tidak naik, maka harga bahan bakar tidak naikd. Jika harga bahan bakar naik, maka harga kebutuhan pokok naike. Jika harga bahan tidak naik, maka harga kebutuhan pokok tidak naik
15.
Pada tabel kebenaran di atas p dan q adalah pernyataan. B menyatakanBenar dan S menyatakan Salah. Nilai kebenaran yang tepat diisikan padakolom pernyataan ~q p yang ditulis dari kiri ke kanan adalah ....a. B S S Sb. B S B Bc. B B B Sd. B B S Be. B S S B
15 logika matematika
16. Diketahui premis – premis sebagai berikut1. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia kehujanan2. Jika Rudi kehujanan, maka Ia basah3. Rudi tidak basahKesimpulan yang sah adalah ....a. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia basahb. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia kehujananc. Rudi tidak ke sekolahd. Rudi ke sekolahe. Rudi kehujanan
17. Pernyataan “Jika anda rajin belajar, maka anda lulus Ebtanas” ekuivalendengan ....a. Jika anda lulus Ebtanas, maka anda rajin belajarb. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda tidak lulus Ebtanasc. Jika anda tidak lulus Ebtanas, maka anda tidak rajin belajard. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda lulus Ebtanase. Jika andatidak lulus Ebtanas, maka anda rajin belajar
18. Kesimpulan dari tiga premis :1. p ~q2. ~r q3. ~radalah ....a. ~pb. ~qc. qd. p qe. r ~q
19. penarikan kesimpulan dari premis – premis di bawah ini adalah ....p qq....a. pb. ~pc. qd. (p q)e. ~q
16 logika matematika
20. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah ....~p qq r....a. p rb. ~p rc. p ~rd. ~p re. p r
Pangkat, akar dan logaritma1
Standar KompetensiLulusan (SKL) II
: Memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat,akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, persamaan danpertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan persamaangaris singgungnya, suku banyak, sistem persamaan linier,program linier, matriks, vektor, transformasi geometri,barisan dan deret, serta menggunakannya dalam pemecahanmasalah
Ruang LingkupMateri (RLM)
: Aljabar
Operasional RLM : Pangkat, akar dan logaritma Fungsi aljabar sederhana
o Grafik fungsi kuadrato Fungsi komposisi inverso Fungsi eksponen dan logaritma
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat Persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya Suku banyak Sistem persamaan linier Program linier Matriks Vektor Transformasi geometri Barisan dan deret
1. Pangkat, akar dan logaritmaA. Pangkat
# Jika Ra dan n bilangan bulat > 1 makaaaaaa n ....
# Jika Ra dan n bilangan bulat < 1 makan
n
aa
1
# Hubungan pangkat positif dan negatif
nn
aa
1
nn
aa
1
# Sifat-sifat pangkat1. qpqp aaa 2. qpqp aaa :3. pqqP aa )(
4. qpp aaab )(
5. 10 a
MATERI
Pangkat, akar dan logaritma2
1. Bentuk sederhana dari 253 ):( qp adalah ....
a.6
10
p
q
b.10
6
p
q
c.6
10
q
p
d.10
6
q
p
e. 610 pqPenyelesaian :
2523253 )(:)():( qpqp106 : qp
106
1:
1
qp
1
1 10
6
q
p
6
10
p
q
Jawaban : a
2. Bentuk3
2
yx senilai dengan ....
a. 3)(2 yx
b. )(2 11 yx
c. )(2 3yx d. )(2 3 yx
e. 13 )(2 yxPenyelesaian :
3
2
yx =
3
1.2
yx
= 13 )(2 yxJawaban : e
3. Diketahui 5p , 27q dan 4r , maka nilai dari2
22 )1
()1
(23
p
rq
p
adalah ....
a.25
144
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
Pangkat, akar dan logaritma3
b. 5
c.5
12
d. 2
e.25
32
Penyelesaian :
2
23
22 )
1()
1(
p
rq
p
=2
23
22
)5(
)4
1()27()
5
1(
=2
213
2321
5
)4()3()5(
=2
222
5
435
=25
16925
=25
50
= 2Jawaban : d
4. Bentuk sederhana dari 6
518 )(
x adalah ....
a. 30xb. 3xc. 3xd. 15xe. 30xPenyelesaian :
6
518 )(
x = 53 )( x
= 15xJawaban : d
5. Bentuk24
343
4
)2(
yx
yx
dapat disederhanakan menjadi ....
a.52
2
x
y
b.522
x
y
c.52
2
1
x
y
Pangkat, akar dan logaritma4
d.5
10
2x
y
e.5
14
2x
y
Penyelesaian :
24
343
4
2
yx
yx
=
24
3433
4
2
yx
yx
=24
1293
4
2
yx
yx
=2
12
4
9
2
3
..2
2
y
y
x
x
= 212)4(923 ..2 yx
= 10552 yx
= 1052 yx
=
105
.2
1y
x
=5
10
)2( x
y
=52
2
x
y
Jawaban : a
6. Jika 216x dan 64y , maka nilai dari ....3
4
3
2
yx
a.3
121
b.9
17
c.9
7
d.9
17
e.9
121
Penyelesaian :
3
4
3
2
yx
= 34
3
2
64216
= 34
332
3 46
= 42 4.6
= 42
4.6
1
Pangkat, akar dan logaritma5
=2
4
6
4
=36
256
=36
47
=9
17
Jawaban : d
1. Bentuk sederhana dari6
57
3
12
y
yxadalah ....
a.y
x7
4
1
b. 7
4
1x
y
c.y
x74
d.y
x
4
7
e. yx74
2. Bentuk10
126
12
9
abc
cabdapat disederhanakan menjadi ....
a. 25
3
4cb
b. 52
3
4cb
c. 25
4
3cb
d. 52
4
3cb
e.254
3
cb
3. Jika 16p dan 27q maka nilai 3
1
2
1
43
qp adalah ....a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4
LATIHAN MANDIRI
Pangkat, akar dan logaritma6
4. Jika 27y maka nilai dari 3
2
2
y adalah ....
a.9
1
b.9
1
c.9
2
d.9
2
e.9
21
5. Pangkat positip dari1
32
11
qpqp2
adalah ....
a. 2pq4
b.qp2
c.p2q4
d. 4qp2
e. 2q4
6. Bentuk sederhana dari21
2
4
q4p
adalah ....
a.qp2 2
b.qp22
c.q2p2
d. 2q2p
e.qp412
7. Bentuk sederhana dari (5a4b-5)(2a-3b7) adalah ....a. 10ab2
b. 10a7b2
c. 10ab12
d. 10a7b12
e. 10ab
Pangkat, akar dan logaritma7
B. Akar1. Hubungan akar dan pangkat
aan
n
nn aa1
n
mn m aa
2. Penyederhanaan akar
nnn baab Dengan catatan n a atau n b salah satu berasal dari kuadrat seempurnah(berpangkat n). Misalnya pangkat 2 maka kuadrat sempurnah dari 2n adalah :
222222 6543211 4 9 16 25 36 .... dst
n
n
n
b
a
b
a
mn
n m aa
mnn m aa 3. Merasionalkan penyebut
Penyebut berbentuk akar dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktorlawan dari penyebut.
Bentukb
afaktor lawannya adalah b
Menjadib
b
b
a
Bentukba
c
faktor lawannya adalah ba
Menjadiba
ba
ba
c
Bentukba
c
faktor lawannya adalah ba
Menjadiba
ba
ba
c
Bentukba
dc
faktor lawannya adalah ba
Menjadiba
ba
ba
dc
MATERI
Pangkat, akar dan logaritma8
4. Operasi aljabar berbentuk akar Penjumlahan
ayxayax )( Pengurangan
ayxayax )( Perkalian
)(axy
aaxyayax
Pembagian
ay
x
ay
ax
1. Bentuk sederhana dari 1127252 adalah ....
a. 72
b. 73
c. 77
d. 79
e. 711Penyelesaian :
1127252 = 7.1677.36 = 7.1677.36 = 74776 = 7)416(
= 79Jawaban : d
2. Hasil dari ....75502782 a. 33
b. 233 c. 32
d. 63 e. 3224 Penyelesaian :
75502782 = 3.252.253.92.42 = 3.252.253.92.42 = 352533222
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
Pangkat, akar dan logaritma9
= 353325222 = 3)53(2)521(
= 3224 Jawaban : e
3. Bentuk sederhana dari 123232822 adalah .... UAN 2007.B
a. 3628 b. 3824 c. 3428 d. 3624 e. 32 Penyelesaian :
123232822 = 3.4322.162.422 = 3.4322.162.422 = 3232242222 = 3)22(2)422(
= 3428 Jawaban : c
4. Bentuk sederhana dari )504()231( adalah .... UAN 2007.A
a. 322 b. 522 c. 328 d. 328 e. 528 Penyelesaian :
)504()231( = 504231
= 2.254231 = 25233 = 2)53(3
= 283= 328
Jawaban : c
5. Bentuk )18232(32243 dapat disederhanakan menjadi .... UAN 2008
a. 6
b. 62
c. 64
d. 66
e. 69
Pangkat, akar dan logaritma10
Penyelesaian :
)18232(32243 = )2.922.16(326.43
= )292216(32643
= )23.224(3262.3
= )2624(3266
= 6126866 = 6)1286(
= 62Jawaban : b
6. Hasil dari 32712 adalah .... UAN 2008. Ba. 6
b. 34
c. 35
d. 36
e. 312Penyelesaian :
32712 = 33.93.4 = 33.93.4 = 33332 = 3)132(
= 34Jawaban : b
7. Bentuk sederhana dari53
4adalah ....
a. 55
1
b. 515
1
c. 515
2
d. 515
4
e. 1515
5
Penyelesaian :
53
4=
5
5
53
4
=5.3
54
Pangkat, akar dan logaritma11
=15
54
= 515
4
Jawaban : d
8. Bentuk sederhana dari53
4
adalah ....
a. 53b. 53c. 53d. 526 e. 526 Penyelesaian :
53
4
=
53
53
53
4
=59
)53(4
=4
5412
= 53Jawaban : a
9. Bentuk sederhana dari3553
3553
adalah ....
a. 415 b. 415 c. 15
d. 215 e. 215 Penyelesaian :
3553
3553
=3553
3553
3553
3553
=)3553)(3553(
)3553)(3553(
=3.255.9
3.25151515155.9
=7545
75153045
Pangkat, akar dan logaritma12
=30
1530120
= 154 = 415
1. Diketahui 25 p dan 25 q . Nilai pq adalah ....a. 3b. 7c. 10d. 21e. 29
2. Bentuk sederhana dari )8108()3275( adalah ....
a. 328 b. 326 c. 324 d. 324 e. 326
3. Hasil dari 32712 adalah ....a. 6
b. 34
c. 35
d. 36
e. 312
4. Bentuk sederhana dari63
6
adalah ....
a. )63(2
b. )63(2
c. )63(2
d. )63(2
e. )63(6
5. Bentuk sederhana dari53
53
adalah ....
a. 415 b. 415 c. 215 d. 215 e. 15
LATIHAN MANDIRI
Pangkat, akar dan logaritma13
6. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari25
6
adalah ....
a. )25(6
b. )25(3
c. )25(2
d. )25(2
e. )25(3
7. Dengan merasionalkan penyebut dari52
52
, maka bentuk sederhananya adalah ....
a. 59
41
b. 549 c. 549 d. 549
e. 59
41
8. Bentuk sederhana dari53
4
adalah ....
a. 53
b. 54
c. 53
d. 54
e. 53
9. Dengan merasionalkan penyebut pecahan25
25
bentuk sederhananya adalah ....
a.23
21023
b.23
21027
c.23
21027
d.27
21027
Pangkat, akar dan logaritma14
e.27
21027
10. Bentuk sederhana dari 546486 adalah ....
a. 68
b. 69
c. 610
d. 611
e. 612
11. Bentuk sederhana dari52
3
adalah ....
a. 538
b. 536
c. 52
d. 556
e. 536
12. Bentuk sederhana dari 72503218 adalah ....
a. 213
b. 218
c. 219
d. 243
e. 286
13. Bentuk sederhana dari22
4
adalah ....
a. )62(2
b. )62(2
c. 64
d. )62(2
e. )62(2
Pangkat, akar dan logaritma15
14. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari105
6
adalah ....
a. 55
35
3
2
b. 105
35
3
2
c. 155
210
5
3
d. 155
210
5
3
e. 155
210
5
3
15. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari23
7
adalah .....
a. 23
b. 23
c. 2721
d. 221
e. 2721
16. Bentuk sederhana dari 33836332432
1 adalah ....
a. 32
57213
b. 32
57213
c. 32
57213
d. 32
312
e. 32
312
17. Hasil dari 3232 adalah ....a. – 1b. 0c. 1
d. 3
Pangkat, akar dan logaritma16
e. 32
18. Bentuk sederhana dari ....32125075
a. 2937 b. 237 c. 2933 d. 2933 e. 233
19. Bentuk sederhana dari ....23
7
a. 23
7
b. 25
7
c. 26
7
d. 29
7
e. 212
7
20. Bentuk sederhana dari36
3
adalah ....
a. 363 b. 6263 c. 3236 d. 36 e. 3362
C. Logaritma1. Definisi
Untuk 0a dan 1a , maka :baxb xa log
Dimana 1log aa dan
01log a
2. Sifat – sifat logaritma cbcb aaa loglog).(log
cbc
b aaa loglog)(log
bnb ana loglog
MATERI
Pangkat, akar dan logaritma17
bn
mbnam
loglog
ccb aba loglog.log
a
bb
c
ca
log
loglog atau
ab log
1
1. Nilai dari ....04,0log5 a. -2b. -1c. 0d. 1e. 2Penyelesaian :Mis : x04,0log5 → 04,05 x
100
45 x
25
15 x
25
15 x
255 x
2x
204,0log5 Jawaban : a
2. Nilai dari ....27log3 a. -6b. -5c. 6d. 5e. 2Penyelesaian :
Mis : x27log3 → 27)3( x
32
1
3)3( x
32 33 x
32
x
6x
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
Pangkat, akar dan logaritma18
Jadi 627log3 Jawaban : c
3. Nilai dari ....3log.4log.5log 523 a. 1
b.2
3
c. 2d. 3e. 4Penyelesaian :
3log.4log.5log 523 = 4log.3log.5log 253
4log.3log 234log.1 2
Mis x4log2 → 42 x
222 x
2x
Jadi 3log.4log.5log 523 = 2Jawaban : c
4. Hasil dari ....48log3log.381log.2
1 222
a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4Penyelesaian :
48log3log.381log.2
1 222 = x
48log3log81log 2322
12 = x
48log27log81log 222 = x
48log27log9log 222 = x
48
27
9log2 = x
16log2 = x → 162 x
422 x
4x
Jadi 448log3log.381log.2
1 222
Jawaban : e5. Diketahui m2log3 dan n5log2 . Nilai dari 5log3 = ....
a. nm b. mn
Pangkat, akar dan logaritma19
c. nm
d.n
m
e.m
n
Penyelesaian :
5log3 =3log
5log2
2
=
2log
13
n
=
m
n1
= nmJawaban : b
6. Nilai a3log2 dan b5log3 , maka 15log6 = .... UAN 2007.Ba. ba b. ab
c.a
ba
1
)1(
d.b
ab
1
)1(
e.b
ba
1Penyelesaian :
15log6 =6log
15log3
3
=)32(log
)35(log3
3
=3log2log
3log5log33
33
=1
3log
11
2
b
=1
11
a
b
=
a
ab
11
Pangkat, akar dan logaritma20
=a
ba
1
)1(
Jawaban : c7. Diketahui a7log2 dan b3log2 , maka nilai dari 14log6 = .... UAN 2008.B
a.ba
a
b.ba
a
1
c.1
1
b
a
d.)1( ba
a
e.)1(
1
ba
a
Penyelesaian :
14log6 =6log
14log2
2
=)23(log
)27(log2
2
=2log3log
2log7log22
22
=1
1
b
a
Jawaban : c
Pangkat, akar dan logaritma21
1. Nilai x yang memenuhi persamaan xlog 4 =2
1 adalah ....
a.16
1
b.4
1
c.2
1
d. 2e. 4
2. Hasil dari 6log.22log.29log 666 = ....a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4
3. Hasil dari 6log 42 – 6log54
1- 6log 63 adalah ....
a. – 6b. – 2
c.2
1
d. 2e. 6
4. Apabila a3log2 dan b5log3 , maka nilai 75log6 adalah ....
a.1
)12(
a
ba
b.1
2
a
ba
c.1
12
a
b
d.1
a
ba
e.1
)(2
a
ba
5. Diketahui p4log5 dan q5log3 , maka 80log3 = ....
a. qp 2
b. qp 2
c.pq
p2
d. )12( pq
LATIHAN MANDIRI
Pangkat, akar dan logaritma22
e.p
pq
2
6. Jika p3log5 , maka 75log5 = ....a. 2pb. 2p
c.2
1
p
d.2
1
p
e.2p
p
7. Jika p2log3 dan q7log2 , maka 54log14 = ....
a.1
)3(
q
qp
b.1
)3(
q
qp
c.1
)3(
q
qp
d.)1(
3
qp
p
e.)1(
3
qp
p
8. Bentuk sederhana 24 - log 32 + 2 log91
+ 241
adalah ....
a. 34
1
b.2
1
c.4
3
d. 1
e.2
12
9. Diketahui log p = a dan log q = b. Nilai dari log(p3. q5) adalah ....a. 8abb. 15abc. 3abd. 3a + 5be. 5a + 3b
10. Jika 8log b = 2 dan 4log d = 1, hubungan antara nilai a dan b adalah ....
a. 3db
Pangkat, akar dan logaritma23
b. b = 3d
c. b =3
1d
d. b = 3
1
de. b = d3
11. Diketahui 2log 3 = x dan 2log 25 = y, maka 2log 345 = ....
a. )25(2
1yx
b. )5(2
1yx
c. 5x + 2yd. x2 + ye. x2 + 2y
12. Diketahui 2log 5 = p. Nilai 20log 125 = ....
a.P
p
2
3
b.p
p
3
3
c.p
p
1
3
d.p
p
1
e.p
p3
13. Nilai xlog 4 =2
1 adalah ....
a.16
1
b.4
1
c.2
1
d. 2e. 4
14. Nilai dari 2 . 3log 4 -2
1. 3log 25 + 3log 10 – 3log 32 adalah ....
a.3
1
b. 0c. 1d. 3e. 9
Pangkat, akar dan logaritma24
15. Diketahui 2log 2 = p. Nilai 2log 6 = ....
a.p
21
b.p
21
c.p
11
d.p
2
e.p
1
16. Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka nilai dari 15log 6 adalah ....
a.ba
a
1
b.aba
a
1
c.bab
a
1
d.ab
a1
e.aba
1
17. Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 7 = ....
a.ba
a
b.b
a
1
c.1
1
b
a
d.)1( ba
a
e.)1(
1
ba
a
18. Jika 5log 3 = p, maka 5log 75 = ....a. p + 2b. p – 2
c.2
1
p
d.2
1
p
Pangkat, akar dan logaritma25
e.2p
p
19. Diketahui 2log 3 = p dan 3log 5 = q, maka nilai dari 6log 45 adalah ....
a.1
)2(
p
qp
b.1
2
p
qp
c.1
2
p
q
d.1
2
p
qp
e.1
)2(
p
qp
20. Nilai dari 5log125
1+ 2log 16 - 3log 81 adalah ....
a. 10b. 11c. 12d. 13e. 14
21. Jika3
13log8 x , maka nilai x adalah ....
a. 30b. 31c. 32d. 34e. 35
D. Persamaan Eksponen1. Jika 0)(1)( xfa xf
2. Jika pxfaa pxf )()(
3. Jika )()()()( xgxfaa xgxf
1. Nilai x yang memenuhi persamaan xx 39 255 adalah ....a. -5
b.5
1
c.2
1
MATERI
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
Pangkat, akar dan logaritma26
d. 2e. 5Penyelesaian :
95 x = x32595 x = x32 )5(95 x = x265
9x = x26 x3 = 15
x = 5Jawaban : e
2. Nilai x yang memenuhi persamaan persamaan 123 42 xx adalah ....a. 1b. 2c. 3d. 4e. 5Penyelesaian :
x32 = 124 x
x32 = 122 )2( x
x32 = 242 x
x3 = 24 x2 = x
Jawaban : b
3. Nilai x yang memenuhi persamaan52
23
3
19
x
x adalah ....
a. 8
b.8
1
c.8
2
d.8
3
e.8
4
Penyelesaian :239 x =
523
1x
232 )3( x = 1523x
463 x = 523 x
46 x = 52 xx8 = 1
x =8
1
Jawaban : b
Pangkat, akar dan logaritma27
4. Nilai x yang memenuhi persamaan 3 523 84 xx adalah ....
a.4
9
b.2
5
c.4
11
d. 4
e.4
13
Penyelesaian :34 x = 3/1528 x
32 )2( x = 3
5232
x
622 x = 522 x
62 x = 52 x11 = x4
4
11= x
Jawaban : c
1. Nilai x yang memenuhi persamaan 315 273 xx adalah ....a. 2b. 3c. 4d. 5e. 6
2. Nilai x yang memenuhi persamaan2
1)32( x adalah ....
a.2
5
b.5
2
c.5
1
d.5
3
e.5
4
3. Nilai x yang memenuhi persamaan 17 246 x adalah ....a. -4
LATIHAN MANDIRI
Pangkat, akar dan logaritma28
b. -2c. 0d. 2e. 4
4. Nilai x yang memenuhi persamaan3
127 12 x merupakan anggota himpunan dari
....a. {x -1 < x < 0}b. {x 0 < x < 1}c. {x 1 < x < 2}d. {x 2 < x < 3}e. {x 3 < x < 4}
5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2433 742
xx adalah ....a. – 6 dan 2b. – 4 dan 3c. – 3 dan 4d. – 2 dan 6e. 3 dan 4
6. Nilai x yang memenuhi persamaan 33
19 x adalah ....
a. – 4b. – 1
c.4
1
d.4
1
e. 4
7. Nilai x yang memenuhi persamaan 3813 2 x adalah ....
a.2
12
b.2
11
c.2
11
d.2
12
e.2
16
8. Nilai x yang memenuhi persamaan 212 93 xx adalah ....a. -1b. 0
c.2
1
Pangkat, akar dan logaritma29
d.2
9
e. 9
9. Nilai x yang memenuhi persamaan128
2
2
1 1412
xx
adalah ....
a.4
1
b.7
2
c.4
3
d.4
5
e.3
5
10. Penyelesaian persamaan 22 8132 xxx adalah dan , dengan > . Nilai -
= ....a. 0b. 3c. 4d. 5e. 7
11. Himpunan penyelesaian dari persamaan berikut)33(
42
3
19
xx adalah ....
a.
3
5
b. {-1}c. {0}d. {1}
e.
3
4
12. Nilai x yang memenuhi persamaan128
2
2
1 1412
xx
, x R adalah ....
a.4
1
b.7
2
c.4
3
d.4
5
Pangkat, akar dan logaritma30
e.3
5
13. Penyelesaian persamaan 32352 2732 xxx adalah dan . Nilai = ....
a. – 6b. – 3c. 1d. 3e. 6
E. Pertidaksamaan Eksponen1. 10 a Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf
2. 1a Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf
1. Himpunan penyelesaian4
42
2
27
19
xx adalah ....
a.
3
102 xx
b.
23
10xx
c.
2
3
10xatauxx
d.
3
102 xatauxx
e.
23
10xx
Penyelesaian :
429 x 42
27
1
x
422 )3( x 4
3
2
3
1
x
843 x 123 2
3 x
84 x 123 2 x
MATERI
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
Pangkat, akar dan logaritma31
2043 2 xx 0 ... x ... = -60206103 2 xxx 0 ... + ... = 4
206103 2 xxx 0
1032103 xxx 0
1032 xx 0
2x atau3
10x
Titik uji pada interval3
10x
4x → 020)4(4)4(3 2 02016)16(3
12 0 memenuhiTitik uji pada interval 23
10 x
0x → 020)0(4)0(3 2 02000
20 0 tidak memenuhiTitik uji pada interval 2
3x → 020)3(4)3(3 2 02012)9(3
19 0 memenuhiJadi interval yang memenuhi adalah 23
10 xataux
Sehingga himpunan penyelesannya adalah 2310 xatauxx
Jawaban : c
2. Himpunan penyelesaian dari253
5
1
5
12
xxx
adalah .... UAN 2008.B
a. 13 xatauxx
b. 31 xatauxx
c. 31 xatauxx
d. 31 xx
e. 13 xx
Penyelesaian :253
5
1
5
12
xxx
Karena a diantara 0 dan 1 maka )()( xgxf 532 xx 2 x
2532 xxx 0
• •3
10 2
Pangkat, akar dan logaritma32
322 xx 0 ... x ... = -3)2)(1( xx 0 ... + ... = -2
1x atau 2x
Titik uji pada interval 1x2x → 3)2(2)2( 2 > 0
344 > 05 > 0 memenuhi
Titik uji pada interval 31 x0x → 3)0(2)0( 2 > 0
300 > 03 > 0 tidak memenuhi
Titik uji pada interval 3x4x → 3)4(2)4( 2 > 0
3816 > 05 > 0 memenuhi
Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah 1x atau 3xSehingga himpunan penyelesaiannya adalah 31 xatauxx
Jawaban : b
3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5423
2
2
273
1
xx
xx
adalah ....
a. 61 xatauxb. 16 xatauxc. 16 xd. 61 xe. 61 xPenyelesaian :
223
3
1xx
> 542
27 xx
2231)3( xx > 543 2
)3( xx
2233 xx > 15123 2
3 xx
223 xx > 15123 2 xx221012 xx > 0
652 xx > 0652 xx < 0 ... x ... = -6
)6)(1( xx < 0 ... + ... = -51x atau 6x
• •1 3
-1 6
Pangkat, akar dan logaritma33
Titik uji pada interval 1x2x → 6)2(5)2( 2 < 0
6104 < 08 < 0 tidak memenuhi
Titik uji pada interval 61 x0x → 6)0(5)0( 2 < 0
600 < 0-6 < 0 memenuhi
Titik uji pada interval 6x7x → 6)7(5)7( 2 < 0
63549 < 08 < 0 tidak memenuhi
Jadi nilai x yang memenuhi adalah 61 xJawaban : e
1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 52 168 xx adalah ....a. 2xb. 5x
c.5
2x
d.5
2x
e.2
5x
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan3618
3
32 2
64
8
1
x
x
xadalah ....
a. x < - 14b. x < - 15c. x < - 16d. x < - 17e. x < - 18
3. penyelesaian pertidaksamaan32
141 x adalah ....
a. x <2
11
b. x <2
11
c. x >2
11
d. x >2
13
LATIHAN MANDIRI
Pangkat, akar dan logaritma34
e. x <2
13
4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaanx
x
715
9
13 adalah ....
a. x > 5b. x > - 3
c. x >8
1
d. x > - 2
e. x >3
1
237 Notasi sigma, barisan & deret
11. Barisan dan Deret1. Notasi Sigma
n
mp
n
mi
pi
n
mi
n
mi
ikki , dengan k = konstanta
n
mi
n
ai
a
mi
iii1
n
mi
n
mi
n
mi
likiliki )(
2. Barisan dan Deret Aritmetikaa. Barisan aritmetika
nUUUU ,....,,, 321
bnabababaa )1(,....,3,2,, bnaUbaUbaUaU n )1(....,,2,, 321
Dengan : suku pertama = aBeda = bSuku ke n = nU
b. Deret aritmetika
nUUUU ....321
))1((....)2()( bnababaa
Dengan : Jumlah suku ke n adalah nn Uan
S 2
= bnan
)1(22
Suku ke n adalah 1 nnn SSU
MATERI
238 Notasi sigma, barisan & deret
3. Barisan dan Deret Geometria. Barisan geometri
nUUUU ,....,,, 321
nararara ....,,,, 2
12321 ,,, n
n arUarUarUaU
Dengan : suku pertama : aU 1
Rasio :1
n
n
U
Ur
Suku ke n : 1 nn arU
b. Deret geometri
nUUUU ...321
12 ... nararara
Dengan: jumlah n suku pertama :1
)1(
r
raS
n
n , 1r
r
raS
n
n
1
)1(,
1rc. Deret tak hingga
Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika11 r , 0r
r
aS
1
Dengan : jumlah sampai tak hingga : SSuku pertama : aRasio : r
Jika jumlahnya tertentu misalkan sampai n maka rumusannyaadalah :
nn raS )1( dengan 11 r , 0r
239 Notasi sigma, barisan & deret
1. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentukbarisan aritmetika. Jika usia anak ke tiga adalah 7 tahun dan usia anak kelima adalah 12 tahun, maka jumlah usia ke enam anak tersebut adalah ....UAN 2003a. 48,5 tahunb. 49 tahunc. 49,5 tahund. 50 tahune. 50,5 tahunPenyelesaian:
bnaU n )1( 73 U → ba 2 = 7
125 U → ba 4 = 12 --2b = -5
b = 5/2 72 ba
7)2/5(2 a75 a
2a
baS )16(22
66
nS = )]2/5(5)2(2[2
6
= ]2/254[3
= ]2
258[3
= )2/33(3= 99/2= 49,5
Jawaban: c
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
240 Notasi sigma, barisan & deret
2. Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp.100.000,00 kepada 4 oranganaknya. Makin muda usia anak makin kecil uang yang diterima. Jikaselisih yang diterima oleh setiap 2 anak yang usianya berdekatan adalahRp.5.000,00 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka jumlahyang diterima oleh si bungsu adalah .... UAN 2003a. Rp.15.000,00b. Rp.17.500,00c. Rp.20.000,00d. Rp.22.500,00e. Rp.25.000,00Penyelesaian:
4n000.51 nn UUb
000.100000.5)14(22
44 aS
))5000(32(2 a = 100.000000.152 a = 50.000
a2 = 65.000a = 32.500baU )14(4
)5000(3500.324 U
000.15500.324 U
500.174 UJawaban: b
3. Nilai
21
2
....)65(n
n UAN 2004
a. 882b. 1030c. 1040d. 1957e. 2060Penyelesaian:
241 Notasi sigma, barisan & deret
21
2
)65(n
nSn
4 + 9 + 14 + ... + 9946)2(52 aU
996)21(521 U
)994(2
2020 S
)103(1020 S= 1030
Jawaban: b4. Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi
sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan
hari ke dua adalah 2 cm dan pada hari ke empat adalah9
53 cm, maka
tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah .... UAN2004a. 1 cm
b.3
11 cm
c.2
11 cm
d.9
71 cm
e.4
12 cm
Penyelesaian:22 U 2ar
34 U 9
533 ar
9
32. 2 rar
9
322 2 r
242 Notasi sigma, barisan & deret
9
162 r
3
4r
aU 1 2ar
23
4
a
2
3a
2
11a
Jawaban: c5. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing
potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan taliterpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang samadengan 384 cm, maka panjang keseluruhan tali tersebut adalah .... UAN2005a. 378 cmb. 390 cmc. 570 cmd. 762 cme. 1530 cmPenyelesaian :
61 aU
3847 U 3846 ar
3846 6 r646 r66 2r
2r 1r
12
)12(6 6
7
S
243 Notasi sigma, barisan & deret
=1
)164(6
= 6(63)= 378
Jawaban: a6. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan
antar bulan, tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp.50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ke tiga Rp.60.000,00 dan seterusnya. Besartabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah .... UAN 2005a. Rp.1.315.000,00b. Rp.1.320.000,00c. Rp.2.040.000,00d. Rp.2.580.000,00e. Rp.2.640.000,00Penyelesaian:50.000, 55.000, 60.000, ... , 24U
500012 UUb
bnaU n )1( )5000(23000.5024 U
= 50.000 + 115.000= 165.000
nn Uan
S 2
24S = 000.165000.502
24
= 12 (215.000)= 2.580.000
Jawaban: d7. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar Rp.1.000.000,00 pada
suatu bank dengan bunga majemuk 15% per tahun. Jumlah modaltersebut setelah akhir tahun ke lima adalah .... UAN 2005a. Rp.1.000.000(1,15)5
244 Notasi sigma, barisan & deret
b. Rp.1.000.00015,0
)115,1( 4
c. Rp.1.000.00015,0
)115,1( 5
d. Rp.1.150.00015,0
)115,1( 5
e. Rp.1.150.00015,0
)115,1( 4
Penyelesaian:n = 5r = 15% = 0,15a = 1.000.000modal pada akhir tahun ke lima adalah 5
5 )1( raS 5
5 )15,01(000.000.1 S
= 5)15,1(000.000.1Jawaban: a
8. Seorang ibu mempunyai lima orang anak yang usianya membentukbarisan aritmetika. jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan usia sisulung 23 tahun maka jumlah usia ke lima orang anak tersebut adalah ....UAN 2006a. 95 tahunb. 105 tahunc. 110 tahund. 140 tahune. 145 tahunPenyelesaian:
231 aU
155 U
nn Uan
S 2
245 Notasi sigma, barisan & deret
15232
55 S
= 382
5
= 95Jawaban: a
9. Pak Hasan menabung uang di bank sebesar Rp.10.000.000,00 denganbunga majemuk 10% per tahun. Besar uang pak Hasan pada akhir tahunke lima adalah .... UAN 2006a. Rp.10.310.000,00b. Rp.14.641.000,00c. Rp.15.000.000,00d. Rp.16.000.000,00e. Rp.16.105.100,00Penyelesaian:
000.000.10a1,0%10 r
55 )1,01(000.000.10 S
= 5)1,1(000.000.10= 10.000.000 (1,61051)= 16.105.100
Jawaban: e10. Suku ke tiga suatu barisan aritmetika adalah 154. jumlah suku ke lima dan
ke tujuh adalah 290. jumlah sepuluh suku pertama sama dengan .... UAN2007. Ba. 3.470b. 1.735c. 1.465d. 1.425e. 1.375
n (1,1)n
12345
1,11,211,3311,46411,61051
246 Notasi sigma, barisan & deret
Penyelesaian:1543 U 1542 ba ................... 1)
29075 UU 290)6()4( baba
ba 102 = 290ba 5 = 145 .................... 2)
1542 ba1455 ba -
b3 = 9b = 3
154)3(2 a1546 a
160a
bnan
Sn )1(22
)3(9)160(22
1010 S
= )27320(5 = 5 (293)= 1.465
Jawaban: c11. Seutas tali di potong menjadi 8 bagian yang panjangnya masing-masing
membentuk deret geometri. Apabila tali terpendek adalah 3 cm dan yangterpanjang adalah 384 cm, maka panjang tali semula adalah .... UAN2007. Ba. 387 cmb. 465 cmc. 486 cmd. 765 cme. 768 cmPenyelesaian:
8n31 aU
38478 arU 3843 7 r
247 Notasi sigma, barisan & deret
1287 r77 2r
2r ; 1r
1
)1(
r
raS
n
n
8S =12
)12(3 8
=1
)1256(3
= 3 (255)= 765
Jawaban: d12. Dari suatu barisan aritmetika, suku ke-3 adalah 36, jumlah suku ke-5 dan
ke-7 adalah 144. jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ....UAN 2007. Aa. 840b. 660c. 640d. 630e. 315Penyelesaian:
363 U 362 ba ................... 1)
14475 UU 144)6()4( baba
ba 102 = 144ba 5 = 72 .................... 2)
362 ba725 ba -
b3 = 36b = 12
36)12(2 a3624 a
12a
248 Notasi sigma, barisan & deret
bnan
Sn )1(22
)12(9)12(22
1010 S
= )10824(5 = 5 (132)= 660
Jawaban: b13. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,00. Setiap tahun nilai
jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3tahun? UAN 2007.Aa. Rp.20.000.000,00b. Rp.25.312.500,00c. Rp.33.750.000,00d. Rp.35.000.000,00e. Rp.45.000.000,00Penyelesaian:
000.000.801 aU4/3r
23 arU
= 2)4/3(000.000.80= 80.000.000 (0,75)2
= 80.000.000 (0,5625)= 45.000.000
Jawaban: e14. Diketahui suku ke-6 dan suku ke-15 suatu deret aritmetika berturut-turut
adalah 4 dan 40. jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah .... UAN2008. Aa. 60b. 120c. 180d. 240e. 360
249 Notasi sigma, barisan & deret
Penyelesaian:46 U 45 ba
4015 U 4014 ba -b9 = 36b = 4
4)4(5 a420 a
16a
bnan
Sn )1(22
)4(14)16(22
1515 S
= )5632(2
15
= )24(2
15
= 180Jawaban: c
15. Diketahui lima orang bersaudara dengan selisih umur yang sama. Anakyang termuda berusia 13 tahun dan yang tertua 33 tahun. Jumlah usiamereka seluruhnya adalah .... UAN 2008. Aa. 112 tahunb. 115 tahunc. 125 tahund. 130 tahune. 160 tahunPenyelesaian:
331 aU
135 U
nn Uan
S 2
250 Notasi sigma, barisan & deret
13332
55 S
= 462
5
= 115Jawaban: b
16. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku ke empat 48.Jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah .... UAN 2008.Aa. 368b. 369c. 378d. 379e. 384Penyelesaian:
61 aU
4834 arU 486 3 r
3r = 83r = 32
r = 2; 1r
1
)1(
r
raS
n
n
12
)12(6 6
6
S
=12
)164(6
=1
)63(6
= 378Jawaban: c
251 Notasi sigma, barisan & deret
1. Suku pertama dan rasio dari suatu barisan geomtri berturut – turutadalah 2 dan 3. Jika jumlah n suku pertama deret tersebut = 80 maka,banyaknya suku dari barisan tersebut adalah ....a. 2b. – 2c. 3d. – 3e. 4 jawaban : b
2. Suku pertama dari barisan geometri adalah 25 dan suku kesembilanadalah 6400. Suku kelima deret tersebut adalah ....a. 100b. 200c. 400d. 1600e. 2500 jawaban : c
3. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah deret suku pertama = 35 danjumlah 4 suku yang pertama = 24. Suku yang ke 15 sama dengan ....a. 11b. 25c. 31d. 33e. 59 jawaban : c
4. Dalam deret geometri diketahui suku ke-2 = 10 dan suku ke-5 = 1250.Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ....a. 2(5n – 1)b. 2(4n)
c.21
(5n – 1)
d.21
(4n)
e.41
(5n – 1) jawaban : c
LATIHAN MANDIRI
252 Notasi sigma, barisan & deret
5. Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan rumus Un = 5n – 3.Jumlah 12 suku pertama barisan tersebut adalah ....a. 27b. 57c. 342d. 354e. 708 jawaban : d
6. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = n2 – n. Suku ke-10 deret tersebut adalah ....a. 8b. 11c. 18d. 72e. 90 jawaban : 8
7. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah
Sn =21
n(3n – 1 ). Beda deret aritmetika tersebut adalah ....
a. – 3b. – 2c. 2d. 3e. 4 jawaban : d
8. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + ... + 99. Dari deret bilanganitu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah....a. 950b. 1480c. 1930d. 1980e. 2430 jawaban : d
9. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn =61
n(n + 2).
Beda deret itu adalah ....a. 5/6b. 1/2
253 Notasi sigma, barisan & deret
c. 1/3d. 1/4e. 1/6 jawaban : c
10. Diketahui suku pertama dan suku kedelapan deret aritmetika masing –masing 3 dan 24. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ....a. 460b. 510c. 570d. 600e. 630 jawaban : e
11. Jumlah deret geometri tak terhingga : 1 +31
+91
+271
+811
+ ... adalah
....a. 3/2b. 4/3c. 3/4d. – 2/3e. – 3/4 jawaban : a
12. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = 3n2 – 4n,suku ke-11 deret tersebut adalah ....a. 19b. 59c. 99d. 219e. 319 jawaban : b
13. Jumlah tak hingga deret geometri 8 + 4 + 2 + 1 + ... adalah ....a. 15b. 16c. 18d. 24e. 32 jawaban : b
14. Suku ke-3 suatu deret geometri mempunyai nilai 20. Jumlah nilai suku ke-5 dan ke-6 adalah -80. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah ....a. 45b. 50c. 55
254 Notasi sigma, barisan & deret
d. 60e. 65 jawaban : c
15. Suatu deret aritmetika dengan jumlah 7 suku pertama adalah 133 danjumlah 6 suku yang pertama adalah 120. Suku ke-12 adalah ....a. 1b. 3c. 22d. 25e. 47 jawaban : b
16. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 5n2 – 4n. Sukuke-2n deret tersebut sama dengan ....a. 10n – 9b. 20n – 18c. 20n – 9d. 10n + 9e. 20n + 18 jawaban : c
17. Jumlah tak hingga deret geometri 2log x + 4log x + 16log x + ... adalah ....
a.21
log x
b. 2.Log x
c.21 2log x
d. 2log xe. 2.2log x jawaban : e
18. Suku ke-10 dari barisan 3, 5, 7, 9, ... adalah ....a. 11b. 15c. 19d. 21e. 27 jawaban : d
19. Suku ke-n barisan aritmetika yang dinyatakan dengan rumus Un = 5n – 3.Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah ....a. 27b. 57c. 342
255 Notasi sigma, barisan & deret
d. 354e. 708 jawaban : d
20. Suku ke-3 dari suatu barisan geometri adalah 18 dan suku ke-6 adalah488. Suku ke-5 dari barisan tersebut adalah ....a. 27b. 54c. 81d. 162e. 243 jawaban : d
21. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentukbarisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5adalah 12 tahun maka, jumlah usia 6 anak tersebut adalah ....a. 48,5 tahunb. 49,0 tahunc. 49,5 tahund. 50,0 tahune. 50,5 tahun jawaban : c
22.
256 Notasi sigma, barisan & deret
257 Notasi sigma, barisan & deret
75 fungsi
2. FungsiA. Grafik Fungsi kuadrat1. Bentuk umum : cbxaxyxf 2)( ; Rcba ,, dan 0a2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabol3. Menggambar grafik fungsi kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat : Menentukan nilai diskriminan Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
Menentukan sumbu simetria
bx
2
Menentukan titik puncak
a
D
a
b
4,
24. Tanda-tanda grafik fungsi kuadrat :
Tanda diskriminanD > 0 D = 0 D < 0
Tand
aa
a > 0
a < 0
Contoh melukis grafik fungsi kuadrat :
0x
y
0x
y
0x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
MATERI
76 fungsi
1. Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat 23)( 2 xxxfPenyelesaian :
2
3
1
)(
23)(2
2
c
b
a
cbxaxxf
xxxf
acbD 42 )2)(1(4)3( 2 D
89 1
Titik potong sumbu x, y = 0230 2 xx … x … = 2
)2)(1(0 xx … + … = - 310 x atau 20 x
x1 x2untuk 1x maka koordinat titiknya adalah (1, 0)untuk 2x maka koordinat titiknya adalah (2, 0) Titik potong sumbu y, x = 0
2)0(3)0( 2 y2y maka koordinat titiknya adalah (0, 2)
Sumbu simetri
a
bx
2
)1(2
)3(x
2
3x
Titik puncak
a
D
a
bp
4
_,
2
)1(4
1,
)1(2
)3(
77 fungsi
4
1,
2
3
grafiknya adalah :
2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat 742)( 2 xxxfPenyelesaian :
7
4
2
)(
742)(2
c
b
a
cbxaxxf
xxxf
acbD 42 )7)(2(4)4( 2 D
5616 40
karena D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu x Titik potong sumbu y, x = 0
7)0(4)0(2 2 y7y maka koordinat titiknya adalah (0, 7)
0
x
y
(2, 0)(1, 0)
(0, 2)
1 2
2
(3/2, -1/4)
x =3/2
78 fungsi
Sumbu simetri
a
bx
2
)2(2
4x
4
4x
1x Titik puncak
a
D
a
bp
4
_,
2
)2(4
)40(,
)2(2
4
8
40,
4
4
)5,1(grafiknya adalah :
5
x
- 1
7
79 fungsi
5. Nilai maksimum atau minimum adalaha
D
4
untuk
a
bx
2
, sehingga
puncaknya atau titik balik maksimum dan minimum berada pada
koordinat
a
D
a
bP
4,
26. Fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik balik maksimum dan
minimum atau puncaknya di titik ),( qp adalah qpxay 2)(7. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x didua titik yang
berbeda misalnya titik )0,( 1x dan )0,( 2x adalah ))(( 21 xxxxay 8. Nilai definitif positif atau negatif apabila
negatifdefinitifa
positifdefinitifadanD
0
00
80 fungsi
1. Agar 65)32(2)2()( 2 pxpxpxf bernilai positif untuksemua x . Maka batas-batas nilai p adalah .... UAN 2003a. 1pb. 32 pc. 3pd. 21 pe. 21 pataupPenyelesaian :
65
)32(2
)2(
)(
65)32(2)2()(2
2
pc
pb
pa
cbxaxxf
pxpxpxf
Syarat definitif positif adalah :i). 0a
02 p2p
ii). 0D042 acb
)65)(2(4)32(2 2 ppp < 0
)121065(4)32()2( 222 pppp < 0
)12165(4)9124(4 22 pppp < 0
486420364816 22 pppp < 0
12164 2 pp < 0
12164 2 pp > 0
342 pp > 0 ... x ... = 3)3)(1( pp > 0 ... + ... = - 4
1p atau 3p
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
81 fungsi
Titik uji pada interval 1p
0p → 3)1(4)1( 2 > 0341 > 0
3 > 0 memenuhiTitik uji pada interval 31 p
2p → 3)2(4)2( 2 > 0384 > 0
-1 > 0 tidak memenuhiTitik uji pada interval 3p
4p → 3)4(4)4( 2 > 031616 > 0
3 > 0 memenuhiJadi nilai p yang memenuhi adalah 31 pataupDari syarat i) dan ii) diperoleh :
Sehingga nilai p yang memenuhi hanya 3pJawaban : c
2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum 3 untuk 1x dangrafiknya melalui titik (3, 1) memotong sumbu y di titik .... UAN 2003
a.
2
7,0
b. (0, 3)
c.
2
5,0
d. (0, 2)
1 3
21 3
82 fungsi
e.
2
3,0
Penyelesaian :)(xf mempunyai nilai maksimum 3 untuk 1x artinya puncaknya di
titik (1, 3) dan melalui titik (3, 1).3)1( 2 xay melalui (3, 1)
3)13(1 2 a
3)2(1 2 a341 a
a42
a2
1
Jadi persamaan grafiknya adalah :
312
1 2 xy
3122
1 2 xxy
32
1
2
1 2 xxy
2
5
2
1 2 xxy
Tititk potong sumbu y artinya 0x , maka diperoleh :
2
50)0(
2
1 2 y
2
500 y
2
5y
Jadi koordinat titik potongnya adalah
2
5,0
Jawaban : c
83 fungsi
3. Perhatikan gambar !
Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah .... UAN 2007. B
a. 432
1 2 xxy
b. 462
1 2 xxy
c. 432 xxy
d. 462 xxy
e. 862 xxyPenyelesaian :Grafik memotong sumbu x dititik (2, 0) dan (4, 0) dan memotong sumbuy di titik (0, 4) jadi persamaannya adalah :
)4)(2( xxay melalui (0, 4))40)(20(4 a
)4)(2(4 aa84
a2
1
Karena2
1a maka persamaan grafiknya menjadi
422
1 xxy
20
4
4
84 fungsi
8242
1 2 xxxy
)86(2
1 2 xxy
432
1 2 xxy
Jawaban : a4. Perhatikan gambar !
Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat .... UAN 2007. Aa. 322 xxy
b. 322 xxy
c. 322 xxy
d. 322 xxy
e. 322 xxyPenyelesaian :Grafik mempunyai titik puncak di (1, 4) dan melalui (3, 0). Persamaannyaadalah
4)1( 2 xay melalui (3, 0)
4)13(0 2 a
4)2(0 2 aa44
a1
10
4
3
85 fungsi
Karena a1 maka persamaan grafiknya menjadi4)1(1 2 xy
4)12( 2 xxy
4122 xxy
322 xxyJawaban : e
5. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, 0), B(3, 0) dan C(0,-6) adalah .... UAN 2008a. 682 2 xxy
b. 682 2 xxy
c. 682 2 xxy
d. 682 2 xxy
e. 642 xxyPenyelesaian :Ilustrasi :
Memotong sumbu x di titik (1, 0) dan (3, 0) maka persamaan grafiknyaadalah
)3)(1( xxay melalui titik (0, - 6))30)(10(6 a
)3)(1(6 aa36
a 2
10
-6
3
86 fungsi
Karena a 2 maka persamaan grafiknya menjadi)3)(1(2 xxy
)33(2 2 xxxy
)34(2 2 xxy
682 2 xxyJawaban : b
6. Perhatikan gambar !
a.
3,
2
11
b.
2
14,
2
11
c.
2
13,
2
12
d. (2, 2)e. (2, 4)Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y,sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan
6
30
y
x
A(x,y)
87 fungsi
pqpyqx dan luas persegi panjang adalah xy seperti terlihat padagambar di bawah ini :
Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah1836 yx 62 yx atau xy 26 dan misalkan luas persegi
panjang xyxL )( . Jika xy 26 disubstitusi ke dalam persamaanxyxL )( akan diperoleh :
)(xL = )26( xx = 226 xx 2a , 6b , 0c
Luas suatu daerah maksimum jikaa
D
4
untuk
a
bx
2
=)2(2
6
=4
6
=2
3
substitutsi2
3x ke dalam persamaan y = x26 diperoleh :
=
2
326
= 6 – 3
6
30
y
x
A(x,y)
q
p
x
yy
x
88 fungsi
= 3
Jadi koordinat titik A adalah
3,
2
3atau
3,
2
11
Jawaban : a7. Suatu peluru ditembakan ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskan
oleh 2540)( ttth (dalam meter). Tinggi maksimum yang dapatditempuh oleh peluru tersebut adalah .... UAN 2004a. 75 meterb. 80 meterc. 85 meterd. 90 metere. 95 meter
Penyelesaian :2540)( ttth ; 5a , 40b , 0c
Maksimum jika :a
D
4
=
a
acb
4
)4( 2
=)5(4
))0)(5(4)40(( 2
=20
)1600(
= 80Jawaban : b
8. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar dibawah ini.
Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah .... UAN2005
p
l
l
89 fungsi
a. 16 mb. 18 mc. 20 md. 22 me. 24 mPenyelesaian :Panjang kawat sama dengan keliling persegi panjangKeliling persegi panjang = 120 m
lp 43 = 120l4 = p3120
l =4
3120 p
Mis, luas persegi panjang adalah L(p)lppL 2)(
)4
3120(2
pp
)3120(2
1pp
)( pL 2
2
360 pp ;
2
3a , ,60b 0c
Luas maksimum jikaa
D
4
untuk
a
bp
2
)2
3(2
60
p
3
60
p
20pJawaban : c
9. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam
x jam, dengan biaya perjam )120
8004(x
x ratusan ribu rupiah. Agar
90 fungsi
biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu .... UAN2005a. 40 jamb. 60 jamc. 100 jamd. 120 jame. 150 jamPenyelesaian :Biaya total = biaya perjam dikalikan dengan waktuMis : biaya total = B(x)
)(xB = xx
x )120
8004(
= 1208004 2 xx ; 120,800,4 cba
Biaya minimum untuk maksimumkan waktu jikaa
D
4
untuk
a
bx
2
)4(2
)800(x
8
800x
100xJawaban : c
91 fungsi
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dengan puncak
8
110,
4
31 dan
melalui titik (1, - 9) adalah ....a. 422 xxy
b. 472 2 xxy
c. 742 2 xxy
d. 472 xxy
e. 1124 2 xxy
2. Nilai maksimum dari fungsi kxkxxf 21)5(2)( 2 adalah 5.Nilai k yang memenuhi adalah ....a. -1 atau 7b. 1 atau 7c. -7 atau 1d. -7 atau -1e. -1 atau 1
3. Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jikakoordinat titik M adalah ....a. (2, 5)
b.
2
5,2
c.
5
2,2
d.
2,
2
5
e.
2,
5
2 4
5
M(x,y)
LATIHAN MANDIRI
92 fungsi
4. Perhatikan gambar !
Grafik fungsi di atas mempunyai persamaan ....a. 422 2 xxy
b. 422 2 xxy
c. 222 xxy
d. 222 xxy
e. 422 xxy
5. Sebuah peluru ditembakan vertikal ke atas dengan kecepatan 0vmeter/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi
2
4
5205)( ttth . Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru
tersebut adalah ....a. 75 meterb. 85 meterc. 145 meterd. 160 metere. 185 meter
20-1
-4
93 fungsi
B. Fungsi komposisi1. Fungsi komposisi atau komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi atau
lebih secara berurutan.
Komposisi fungsi f dilanjutkan g ditulis gfh Untuk CzByAx ,,
zxhzyfyxg )(,)(,)())(())(()( xgfxgfxh
2. Sifat-sifat komposisi fungsi ))(())(( xfgxgf ffIIf , I fungsi identitas )()( hgfhgf
3. Operasi komposisi fungsi )()())(( xgxfxgf )().())(.( xgxfxgf
)(
)()(
xg
xfx
g
f
x y z
A B C
f g
h
MATERI
94 fungsi
4. Menentukan komposisi fungsiDiketahui Ditanya
)(xf dan )(xg ))(( xgf
)(xf dan )(xg ))(( xfg )(xf dan ))(( xgf )(xg
)(xg dan ))(( xgf )(xf)(xf dan ))(( xfg )(xg
)(xg dan ))(( xfg )(xf
95 fungsi
1. Diketahui fungsi RRf : dengan 14)( xxf dan fungsi
RRg : dengan 2)( 2 xxg . Nilai dari )2)(( fg adalah ....a. – 51b. 51c. – 50d. 50e. 49Penyelesaian :
))(( xfg = ))(( xfg= )14( xg
= 2)14( 2 x
= 21816 2 xx= 3816 2 xx
)2)(( fg = 3)2(8)2(16 2 = 3)2(8)4(16 = 31664 = 51
Jawaban : b2. Diketahui 43)( xxf dan 6)( 2 xxg . Nilai yang memenuhi agar
49))(( xgf adalah .... UAN 2007. Ba. – 6 atau 6b. – 5 atau 5c. – 4 atau 4d. – 3 atau 3e. – 2 atau 2Penyelesaian :
43)( xxf dan 6)( 2 xxg49))(( xgf
))(( xgf = 49
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
96 fungsi
4)6(3 2 x = 49
4183 2 x = 49223 2 x = 49
23x = 272x = 9
x = 9x = 3
Jawaban : d3. Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh 643)( 2 xxxf
dan 12)( xxg . Jika nilai 101))(( xgf , maka nilai x yangmemenuhi adalah .... UAN 2007. A
a. 23
23 dan
b. 23
23 dan
c. 211
3dan
d. 23
23 dan
e. 211
3 dan
Penyelesaian :643)( 2 xxxf
12)( xxg101))(( xgf
))(( xgf = 101
6)12(4)12(3 2 xx = 101
6)12(4)144(3 2 xxx = 101
64831212 2 xxx = 101132012 2 xx = 101
97 fungsi
882012 2 xx = 02253 2 xx = 0 ... + ... = - 66
221163 2 xxx = 0 ... + ... = - 5)2211()63( 2 xxx = 0
)2(11)2(3 xxx = 0)2)(113( xx = 0
3
11x atau 2x
Jawaban : a
4. Diketahui fungsix
xxf
1)(
dan 1)( 2 xxg maka nilai
....))(( xgf
a. 32
1
b.2
13
c.2
13
3
1
d.2
13
e.2
13
Penyelesaian : )(xgf = )()( xgxf
= 11 2
xx
x
=x
xxx 11 2
)2)(( gf =2
12212 2
98 fungsi
=2
1421
=2
321
= 32
1
Jawaban : b5. Jika 32)( xxf dan 18164))(( 2 xxxfg , maka ....)( xg
a. 652 xxb. 1582 xxc. 3342 xxd. 24112 xxe. 322 xxPenyelesaian :
32)( xxf
18164))(( 2 xxxfg ....................................... 1)
Mis cbxaxxg 2)(
cxbxaxfg )32()32())(( 2
= cxbxxa )32()9124( 2
= cbbxaaxax 329124 2
= )39()212(4 2 cbaxbaax ........ 2)Dari 1) dan 2) diperoleh
)39(18
)212(16
44
)39()212(4))((
18164))((2
2
cba
ba
a
cbaxbaaxxfg
xxxfg
144 aa)2)1(12(16 b → )212(16 b
b21216 b24
b 2
99 fungsi
cba 3918 → 18 = c )2(3)1(918 = 9 + 6 + c18 = 15 + c3 = c
Jadi 32)( 2 xxxgJawaban : e
6. Jika 28)( xxf dan 24))(( xxgf maka fungsi ....)( xg
a. x2
1
b. 13
2x
c. 12
1x
d.2
1
2
1x
e. 22
1 x
Penyelesaian :))(( xgf = 24 x
))(( xgf = 24 x ........................................... 1))(xf = 28 x
))(( xgf = 2))((8 xg ................................... 2)Dari 1) dan 2) diperoleh
2))((8 xg = 24 x))((8 xg = 44 x
)(xg =8
44 x
)(xg =2
1x
Jawaban : d
100 fungsi
7. Suatu pemetaan RRf : , RRg : dengan
542))(( 2 xxxfg dan 32)( xxg , maka ....)( xf UAN2004a. 122 xxb. 222 xxc. 22 2 xxd. 242 2 xxe. 142 2 xxPenyelesaian :
))(( xfg = 542 2 xx32)( xxg
?....)( xf
))(( xfg = 542 2 xx
))(( xfg = 542 2 xx .......................................... 1))(xg = 32 x
))(( xfg = 3)(2 xf ............................................... 2)Dari 1) dan 2) diperoleh
3)(2 xf = 542 2 xx
)(2 xf = 242 2 xx
)(xf =2
242 2 xx
)(xf = 122 xxJawaban : a
101 fungsi
1. Diketahui 52)( xxg dan 136))(( xxgf , maka ....)3( fa. 11b. – 11c. 12d. – 12e. 13
2. Diketahui fungsi 52)( xxg dan 23204))(( 2 xxxgf ,rumus fungsi )(xf adalah ....
a. 22 xb. 12 2 x
c. 22
1 2 x
d. 22
1 2 x
e. 12
1 2 x
3. Diketahui 36)( xxf dan 45)( xxg . Jika 81)( xgf makanilai x adalah ....a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4
LATIHAN MANDIRI
102 fungsi
4. Jika nilai ))(())(( xfgxgf , axxf 2)( dan 53)( xxg , makanilai a adalah ....
a.5
1
b.5
2
c.2
5
d.2
5
e. – 5
103 fungsi
C. Fungsi Invers
1. Fungsi f memiliki invers jika dan hanya jika fungsi f korespondensi satu-satu dan f adalah fungsi pada (fungsi 11f dan padaf )
Untuk CzByAx ,,
yxf )( → xyf )(1
zyf )( → yzf )(1
Invers yang berbentuk
dcx
baxxf
)( dcx
baxy
baxdcxy )(
baxdycxy bdyaxcxy bdyxacy )(
acy
bdyyfx
)(1
acx
bdxxf
)(1
2. Sifat-sifat fungsi inversIffff 11
111)( fggf
x y z
A B C
)(xf
)(1 yf )(1 zg
)(yg
MATERI
104 fungsi
1. Diketahui 63)( xxf maka ....)(1 xf
a. )6(3
1 x
b. )6(3
1 x
c. )6(3
1x
d. )6(3
1x
e. 3xPenyelesaian :
yxf )( = 63 x6y = x3
)6(3
1y = xyf )(1
)6(3
1x = )(1 xf
Jawaban : c2. Invers dari fungsi 24 )1(log)( xxf adalah ....)(1 xf
a. x41
b.x
2
1
21c. x41d. 12 x
e. 12 2
1
x
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
105 fungsi
Penyelesaian :24 )1(log xy → )1(log.2 4 xy
)1(log2
4 xy
14 2 xy
xyfy
)(14 12
)(14 12 xfx
)(12 1)
2(2
xfx
)(12 1 xfx
Jawaban : d3. Fungsi invers dari fungsi eksponen 13)( xxf adalah ....
a. )1(log3 xb. )1(log3 x
c. )1(log3 x
d. )1(log_ 3 xe. )1(log_ 3 xPenyelesaian :
13)( xxf
13 xyxy 31 atau )1(3 yx
yx 13 baxb xa log
xy )1(log3
xy )1(log_ 3
)()1(log_ 13 yfy )()1(log_ 13 xfx
Jawaban : d
106 fungsi
4. Diberikan fungsi f dan g dengan 12)( xxf dan1
))((
x
xxgf ,
1x maka invers dari fungsi g adalah ....)(1 xg UAN 2003
a. 1,1
x
x
x
b. 0,2
12
x
x
x
c. 0,1
x
x
x
d.2
1,
12
2
x
x
x
e. 0,2
12
x
x
x
Penyelesaian :12)( xxf
))(( xgf =1x
x
))(( xgf =1x
x......................................... 1)
))(( xgf = 1)(.2 xg ................................ 2)
1)(.2 xg =1x
x
)(.2 xg = 11
x
x
=1
)1(1
x
xx
=1
1
x
xx
=1
1
x
107 fungsi
)(xg =2
1
1
x
=2
1
1
1
x
=22
1
x
2,2,1,0 dcba
)(1 xg =x
x
2
12
=x
x
2
)12(
=x
x
2
12
Jawaban : e
5. Invers fungsi5
8,
85
23)(
xx
xxf adalah ....)(1 xf
a.35
28
x
x
b.35
28
x
x
c.x
x
53
28
d.x
x
53
28
e.x
x
53
28
Penyelesaian :
8
5
2
3
85
23)(
d
c
b
a
x
xxf
108 fungsi
)(1 xf =35
28
x
x
=)53(
)28(
x
x
=x
x
53
28
Jawaban : d
6. Invers dari fungsix
xxf
52
83)(
adalah ....)(1 xf
a.35
82
x
x
b.38
52
x
x
c.25
38
x
x
d.58
32
x
x
e.58
32
x
x
Penyelesaian :
)(xf =
2
5
8
3
52
83
d
c
b
a
x
x
)(1 xf =35
82
x
x
=)35(
)82(
x
x
=35
82
x
x
Jawaban : a
109 fungsi
1. Diketahui fungsi 25 )1(log)( xxf adalah ....)(1 xf
a. x51b. 15 x
c.x
2
1
51
d. 15 2
1
x
e. x51
2. Diketahui fungsi 0,1
log)( 5
xx
xxf , maka invers dari )(xf
adalah ....
a.15
1
x
b.15
1
x
c.15
1
x
d.1
15 x
e.15
5
x
3. Diketahui xxf 3)( , xxg 52)( , maka nilai )()( 1 xgf adalah ....
a.15
26 x
b.15
36 x
c.5
6 x
LATIHAN MANDIRI
110 fungsi
d.15
6 x
e.15
26 x
4. Fungsi RRf : didefinisikan sebagai3
4,
43
12)(
xx
xxf . Invers
dari fungsi f adalah ....)(1 xf
a.23
14
x
x
b.23
14
x
x
c.x
x
32
14
d.23
14
x
x
e.23
14
x
x
164 matriks
8. MatriksMatriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diaturdalam baris dan kolom.A. Matriks berordo 22
Misalkan : Matriks
dc
baA
Matriks
hg
feB
1. Transpose matriks :
Transpose matriks A adalah
db
caAt
Transpose matriks B adalah
hf
geB t
2. Determinan : Determinan matriks A adalah : bcadA det , dengan
0 bcad Determinan matriks B adalah : fgehB det , dengan
0 fgeh Jika determinan matriks sama dengan nol maka matriksnya
disebut matriks singular3. Adjoin matriks :
Adjoin matriks A adalah :
ac
bdAAdj
Adjoin matriks B adalah :
eg
fhBAdj
4. Invers matriks :
Invers matriks A adalah : AadjA
Adet
11
MATERI
165 matriks
ac
bd
bcadA
11
Invers matriks B adalah : BadjB
Bdet
11
eg
fh
fgehB
11
5. Operasi aljabar pada matriks :
Misalkan : Matriks
dc
baA
Matriks
hg
feB
Penjumlahan matriks :
BA =
hg
fe
dc
ba
=
hdgc
fbea
Pengurangan matriks :
BA =
hg
fe
dc
ba
=
hdgc
fbea
Perkalian matriks :
BA =
2222
hg
fe
dc
ba
166 matriks
=
22
dhdfdgce
bhafbgae
Ak. =
dc
bak
=
dkck
bkak
6. Identitas matriks :
Identitas matriks berordo 22 adalah :
10
01I
7. Persamaan matriks : AIAAI Jika BAX dan kedua ruas dikalikan dengan 1A maka akan
diperoleh BAX 1 111)( ABAB
Contoh :
1. Diketahui matriks
31
12A dan matriks
12
41B .
Tentukanlah :a. BA b. BA c. BA.d. 2APenyelesaian :
a. BA =
12
41
31
12
=
1321
4112
167 matriks
=
21
53
b. BA =
12
41
31
12
=
)1(321
4112
=
43
31
c. AB =
12
41
31
12
=
)1)(3()4)(1()2)(3()1)(1(
)1)(1()4)(2()2)(1()1)(2(
=
3461
1822
=
75
74
d. 2A = AA
=
31
12
31
12
=
)3)(3()1)(1()1)(3()2)(1(
)3)(1()1)(2()1)(1()2)(2(
=
9131
3214
=
84
53
168 matriks
2. Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linier
765
1034
yx
yxadalah ....
Penyelesaian :1034 yx
765 yxdapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu :
7
10
65
34
y
x
A X = B
Dimana
65
34A ,
y
xX , dan
7
10B
Sehingga X dapat dicari dengan persamaan BAX 1 dimana
AadjA
Adet
11
Adet = )5)(3()6)(4( = 1524 = 39
Aadj =
45
36
maka
45
36
39
11A
BAX 1
y
x=
7
10
45
36
39
1
=
)7)(4()10)(5(
)7)(3()10)(6(
39
1
=
2850
2160
39
1
169 matriks
=
78
39
39
1
y
x=
2
1
jadi 1x dan 2yB. Matriks berordo 33
Misalkan : Matriks
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Matriks
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
1. Transpose matriks :
Transpose matriks A adalah
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
At
Transpose matriks B adalah
332313
322212
312111
bbb
bbb
bbb
B t
2. Determinan : Determinan matriks A adalah :
Adet =
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
+ + +___
170 matriks
= 33.21.1232.23.1131.22.1332.21.1331.23.1233.22.11 aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Jika determinan matriks sama dengan nol maka matriksnya disebutmatriks singular
3. Matriks kofaktor :“Matriks kofaktor terbentuk jika terjadi penghapusan kolom danbaris”Jika ijM adalah minor ija dari matriks A maka kofaktor dari ija
dirumuskan dengan ijij
ij MA )1(
Dimana ijM = det ijA
i = menyatakan barisy = menyatakan kolom
matriks kofaktor dapat ditemukan dengan :
11A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
21A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=
3332
232211)1(aa
aa=
3331
232112)1(aa
aa
= )()1( 322333222 aaaa = )()1( 31233321
3 aaaa
12A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
22A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=
3332
131221)1(aa
aa=
3331
131122)1(aa
aa
= )()1( 321333123 aaaa = )()1( 31133311
4 aaaa
13A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
23A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
171 matriks
=
2322
131231)1(aa
aa=
2321
131132)1(aa
aa
= )()1( 221323124 aaaa = )()1( 21132311
5 aaaa coba cari kofaktor lainnya :sehingga matriks kofaktor akan diperoleh sebagai berikut :
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
A
4. Adjoin matriks :Adjoin matriks berordo 33 adalah transpose dari matriks kofaktordiperoleh:
Adjoin matriks kofaktor A adalah :
332331
322212
312111
AAA
AAA
AAA
AAdj
5. Invers matriks :
Invers matriks A adalah : AadjA
Adet
11
6. Operasi aljabar pada matriks :
Misalkan : Matriks
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Matriks
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
Penjumlahan matriks :
172 matriks
BA =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
+
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
=
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
Pengurangan matriks :
BA =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
-
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
=
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
Perkalian matriks :
BA =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
Ak. =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
k
=
333231
232221
131211
kakaka
kakaka
kakaka
173 matriks
7. Identitas matriks :
Identitas matriks berordo 33 adalah :
100
010
001
I
8. Persamaan matriks : AIAAI Jika BAX dan kedua ruas dikalikan dengan 1A maka akan
diperoleh BAX 1 111)( ABAB
Contoh :
1. Diketahui matriks
312
111
201
A dan
111
110
312
B ,
tentukan nilai :a. BA b. BA c. ABPenyelesaian :
a. BA =
312
111
201
+
111
110
312
=
131112
111101
321021
=
423
001
513
174 matriks
b. BA =
312
111
201
-
111
110
312
=
131112
)1(11101
32)1(021
=
201
221
111
c. AB =
312
111
201
111
110
312
=
316312304
113111102
203201202
=
827
513
514
2. Nilai x, y, z yang memenuhi sistem persamaan linier tiga variabelberikut :
0
32
632
zyx
zyx
zyx
adalah ....
Penyelesaian :632 zyx ......................... 1)
32 zyx ......................... 2)0 zyx ......................... 3)
175 matriks
Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriksyaitu :
111
112
321
z
y
x
=
0
3
6
A X = BSehingga BAX 1
Adet =
11
12
21
111
112
321
= )1)(2)(2()1)(1)(1()1)(1)(3()1)(2)(3()1)(1)(2()1)(1)(1(
= 413621 = 9
matriks kofaktornya adalah :
11A =
111
112
321
23A =
111
112
321
=
11
11)1( 11 =
11
21)1( 32
= ))1)(1()1)(1(()1( 2 = ))1)(2()1)(1(()1( 5 = )11(1 = )21(1 = 2 = 3
12A =
111
112
321
31A =
111
112
321
=
11
12)1( 21 =
11
32)1( 13
= ))1)(1()1)(2(()1( 3 = ))1)(3()1)(2(()1( 4
176 matriks
= )12(1 = )32(1 = 1 = 5
13A =
111
112
321
32A =
111
112
321
=
11
12)1( 31 =
12
31)1( 23
= ))1)(1()1)(2(()1( 4 = ))2)(3()1)(1(()1( 5 = )12(1 = )61(1 = 3 = 7
21A =
111
112
321
33A =
111
112
321
=
11
32)1( 12 =
12
21)1( 33
= ))1)(3()1)(2(()1( 3 = ))2)(2()1)(1(()1( 6 = )32(1 = )41(1 = 1 = 3
22A =
111
112
321
=
11
31)1( 22
= ))1)(3()1)(1(()1( 4 = )31(1 = 4
matriks kofaktornya adalah :
177 matriks
375
341
312
A
adjoin matriks tAA dari matriks kofaktor
adj A = At =
333
741
512
AadjA
Adet
11
333
741
512
9
11A
BAX 1
z
y
x
=
333
741
512
9
1
0
3
6
=
0918
0126
0312
9
1
=
27
18
9
9
1
=
3
2
1
jadi nilai 1x , 2y , 3z
178 matriks
1. Jika
0
2
44
23
y
x, maka ....2 yx UAN 2003
a. 6b. 5c. 4d. 3e. 2Penyelesaian :
0
2
44
23
y
x
A X BMaka : BAX 1
Dimana : AadjA
Adet
11
)4)(2()4)(3(det A= 12 – 8= 4
Aadj
34
24
1A =
34
24
4
1
sehingga X =
34
24
4
1
0
2
y
x=
08
08
4
1
=
8
8
4
1
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
179 matriks
=
2
2
jadi 2x dan 2ymaka nilai yx 2 = )2(22
= 42 = 6
Jawaban : a
2. Diketahui matriks S =
31
02dan M =
30
21, jika fungsi
22),( MSMSf , maka matriks ),( MSMSf adalah .... UAN2004
a.
404
204
b.
404
204
c.
304
204
d.
364
84
e.
364
84
Penyelesaian :
Diketahui : S =
31
02, M =
30
21
),( MSf = 22 MS ),( MSMSf = 22 )()( MSMS
MS =
30
21
31
02
180 matriks
=
3301
2012
=
01
23
2)( MS = ))(( MSMS
=
01
23
01
23
=
0203
0629
=
23
67
MS =
30
21
31
02
=
)3(301
2012
=
61
21
2)( MS = ))(( MSMS
=
61
21
61
21
=
36261
12221
=
387
243
),( MSMSf = 22 )()( MSMS
=
23
67-
387
243
181 matriks
=
38273
14637
=
404
204
Jawaban : a
3. Matriks X berordo 22 yang memenuhi
12
34
43
21X adalah
.... UAN 2005
a.
45
56
b.
54
65
c.
54
56
d.
13
24
e.
810
1012
Penyelesaian :
X
43
21=
12
34
A X = BX = BA 1
jadi BAadjA
X .det
1
=
12
34
13
24
64
1
182 matriks
=
19212
212416
2
1
=
810
1012
2
1
=
45
56
Jawaban : a
4. Diketahui matriks A =
02
yx, B =
20
12dan C =
21
46. Ct adalah
transpose dari C. Jika AB = Ct maka nilai .... yx UAN 2006a. – 2b. – 1c. 0d. 1e. 2Penyelesaian :
C =
21
46, maka Ct =
24
16
A B = Ct
02
yx
20
12=
24
16
0204
202 yxx=
24
16
24
22 yxx=
24
16
sehingga diperoleh :62 x 3x
12 yx 123 y22 y
2y
183 matriks
yx = 23= - 2
Jawaban : a
5. Diketahui matriks A =
3
1
b
d, B =
b3
54, C =
131
53
aa
cc,
jika Ct = tranpose matriks C, maka nilai dcba yang memenuhipersamaan B – A = Ct adalah .... UAN 2007.Ba. – 8b. – 3c. 11/3d. 9e. 141/9Penyelesaian :
Jika C =
131
53
aa
cc, maka Ct =
135
13
ac
ac
B – A = Ct
b3
54-
3
1
b
d=
135
13
ac
ac
)3(3
)(514
bb
d=
135
13
ac
ac
33
53
bb
d=
135
13
ac
ac
sehingga diperoleh :c33 c1
cb 53 53 b2 b
2b133 ab 32 = 13 a
5 = 13 a6 = 3a2 = a
ad 15 d 5 = 1 – 2
184 matriks
d 5 = 1d = 4
jadi nilai dcba = 2 + 2 + 1 + 4= 9
Jawaban : d
6. Diketahui matriks A =
41
12, B =
y
yx
3
2, C =
13
27, apabila B
– A = Ct, dan Ct transpose matriks C, maka nilai ....xy UAN 2007.Aa. 10b. 15c. 20d. 25e. 30Penyelesaian :
Jika C =
13
27, maka Ct =
12
37
B - A = Ct
y
yx
3
2-
41
12=
12
37
413
)1(22
y
yx=
12
37
42
32
y
yx=
12
37
sehingga diperoleh :14 y 5y
72 yx 725 x73 x
4xjadi nilai 5.4. yx
= 20Jawaban : c
185 matriks
7. Diketahui persamaan matriks :
b
a
0
14
13
22 =
31
2
4
23 d
c
maka nilai dari dcba = .... UAN 2008. Aa. 11b. 13c. 15d. 17e. 19Penyelesaian :
b
a
0
14
13
22 =
31
2
4
23 d
c
26
42a+
b0
14=
)3)(4())(()1)(4()2)((
)3)(2())(3()1)(2()2)(3(
dcc
d
b
a
206
1442=
1242
6326
cdc
d
b
a
26
342=
1242
638
cdc
d
sehingga diperoleh :842 a 42 a
2a633 d d33
d1426 c c210
c 5122 cdb 12)1)(5(2 b
1252 b172 b15b
dcba = 15152 = 11
Jawaban : a
186 matriks
8. Diketahui persamaan matriks :
c
a
1
4+
3
2
d
b=
43
31
01
10
nilai dcba = ....a. – 7b. – 5c. 1d. 3e. 7Penyelesaian :
c
a
1
4+
3
2
d
b=
43
31
01
10
31
42
cd
ba=
)0)(4()1)(3()1)(4()0)(3(
)0)(3()1)(1()1)(3()0)(1(
31
42
cd
ba=
34
13
sehingga diperoleh :32 a 5a
14 b 3b41 d 5d
33 c 6cjadi nilai dcba = 5635
= 3Jawaban : d
9. Diketahui matriks A =
p
p
387
654
21
adalah matriks singular. Nilai p
adalah ....a. 1b. 3c. 9d. 12
187 matriks
e. 15Penyelesaian :Suatu matriks dikatakan singular jika determinannya sama dengan nol :det A = 0
87
54
21
387
654
21
p
p
= 0
0)3)(4)(2()8)(6)(1()7)(5)(()8)(4)(()7)(6)(2()3)(5)(1( pppppppp 244835328415 = 0
488424353215 pppp = 03612 p = 0
p12 = 36p = 3
Jawaban : b
10. Jika diketahui matriks A =
11
23dan B-1 =
12
41maka
11 )( BA = ....
a.
55
61
b.
55
61
c.
55
61
d.
53
101
e.
53
101
+ + +___
188 matriks
Penyelesaian :11 )( BA = 111 )( AB
= AB 1
=
12
41
11
23
=
1416
4243
=
55
61
Jawaban : c
189 matriks
1. Jika A =
42
38, B =
57
625, dan C =
61
411. Maka
CBA 23 adalah ....
a.
78
144
b.
511
1171
c.
515
1127
d.
1911
571
e.
511
527
2. Invers matriks A =
43
21adalah ....
a.
12
3
22
1
b.
2
1
2
33
12
LATIHAN MANDIRI
190 matriks
c.
2
1
2
3
12
1
d.
22
3
12
1
e.
2
1
2
312
3. Diketahui matriks A =
0
2
y
x, B =
43
21dan C =
21
81, maka
nilai yx yang memenuhi AB = C adalah ....a. – 2b. – 1c. 0d. 1e. 2
4. Diketahui matriks A =
15
4
a
aadengan 0a . Jika determinan
matriks A sama dengan 1, maka invers matriks A adalah ....
a.
75
118
b.
85
117
c.
85
117
d.
85
117
191 matriks
e.
75
118
5. Jika
p3
14
7
1
q
p=
203
151, maka nilai dari ....)( 2 qp
a. 1b. 4c. 16d. 25e. 36
6. Diketahui matriks A =
25
14dan B =
23
10. Invers dari matriks AB
adalah ....
a.
36
21
9
1
b.
36
21
9
1
c.
36
21
9
1
d.
36
21
9
1
e.
36
21
9
1
7. Diketahui matriks P =
12
82x, jika matriks P merupakan matriks
singular, maka nilai x adalah ....a. 2b. 3c. 4d. 5e. 8
192 matriks
8. Diketahui hasil kali matriks
21
34
b
a
3
5=
138
3217, maka nilai
.... baa. 2b. 4c. 6d. 8e. 10
9. Diketahui matriks A =
5
42
pdan B =
62
23. Jika det A = det B,
maka nilai p = ....a. – 3b. – 2c. 1d. 3e. 5
10. Diketahui matriks A =
43
21, B =
1024
410. Jika x adalah matriks
berordo 22 dan AX = B, maka X = ....
a.
43
21
b.
13
24
c.
31
42
d.
13
24
e.
41
32
193 matriks
11. Hasil kali matriks A
60
35=
2735
3010, maka matriks A adalah ....
a.
74
11
b.
17
42
c.
17
24
d.
41
27
e.
14
27
12. Diketahui matriks A =
53
21dan B =
2911
114jika matriks AX = B,
maka matriks X adalah ....
a.
42
31
b.
41
32
c.
12
43
d.
23
14
e.
34
41
194 matriks
13. Diketahui matriks P =
1093
57
42
c
b
a
dan Q =
1095
527
342
b
a . Jika matriks
P = Q, maka nilai c adalah ....a. 5b. 6c. 8d. 10e. 30
14. Diketahui matriks A =
102
321dan B =
1
1
2
. Hasil dari A.B adalah
....a. 33
b.
3
3
c.
104
322
d.
13
02
42
11
11
e.
33
33
195 matriks
15. Diketahui matriks A =
42
31dan B =
21
43. Nilai detrminan
dari 1)( AB adalah ....
a.20
5
b.20
1
c.20
1
d.20
5
e. 20
112 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
3. Persamaan dan pertidaksamaan kuadratA. Persamaan kuadrat1. Bentuk umum 02 cbxax ; a, b, c R dan 0a2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat
Dengan beberapa cara : Memfaktorkan
Cara memfaktorkannya adalah cari dua bilangan jika dikalikanhasilnya ac dan jika dijumlahkan hasilnya b
02 cbxax ... x ... = ac... + ... = b
Melengkapi kuadrat sempurnahSyarat melengkapi kuadrat sempurnah adalah a = 1
cbxax 2 = 0
a
cx
a
bx 2 = 0
xa
bx 2 =
a
c
2
2
2
1
a
bx
a
bx =
a
c
a
b
2
2
1
22
2
a
bx
a
bx =
a
c
a
b
2
22
2
a
bx =
a
c
a
b
2
2
4
=2
2
4
4
a
acb
a
bx
2 =
2
2
4
4
a
acb
MATERI
113 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
x =2
2
4
4
2 a
acb
a
b
=a
acb
a
b
2
4
2
2
=a
acbb
2
42
Menggunakan rumus abc
a
acbbx
2
42
2,1
3. Jenis-jenis akar persamaan kuadratJenis akar persamaan kuadrat ditentukan oleh bentuk akarnya (D)dimana acbD 42 Persamaan kuadrat 02 cbxax memiliki : Akar real berlainan jika 0D Akar sama atau kembar jika 0D Akar tidak real jika 0D
4. Rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadratMisalkan akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax adalah 1x
dan 2x dimanaa
acbbx
2
42
1
dan
a
acbbx
2
42
2
maka berlaku :
21 xx =a
b
21 xx =a
c
5. Sifat-sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat Akar-akarnya berlawanan : b = 0 Akar-akarnya berkebalikan : a = c
114 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Salah satu akarnya sama dengan 0 :a
bx 2
Kedua akarnya bertanda sama : 0a
c
Kedua akarnya berlainan tanda : 0a
c
6. Menyusun persamaan kuadrat yang diketaui akar-akarnya 1x dan 2xdengan : Jika 1x dan 2x diketahui, maka persamaannya kuadratnya adalah
perkalian faktor 0))(( 21 xxxx Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan
kuadrat 0.)( 21212 xxxxxx
115 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
1. Akar-akar persamaan kuadrat 01892 xx adalah ....a. – 3 dan 6b. 3 dan 6c. – 3 atau 6d. 3 atau 6e. – 6 dan 3Penyelesaian :
1892 xx = 0 ... x ... = 18)6)(3( xx = 0 ... + ... = - 9
03 x dan 06 x3x 6x
Jawaban : b2. Himpunan penyelesaian penyelesaian dari persamaan 04129 2 xx
adalah ....
a.
3
2
b.
3
2
c.
2
3
d.
2
3
e. 2Penyelesaian :
4129 2 xx = 0 ... x ... = 364669 2 xxx = 0 ... + ... = - 12
0)46()69( 2 xxx0)23(2)23(3 xxx
)23)(23( xx = 0
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
116 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
023 x dan 023 x
3
2x
3
2x
Hp =
3
2
Jawaban : b3. Jika 21 xdanx adalah akar-akar persamaan kuadrat : 0332 2 xx ,
maka nilai ..... 21 xx UAN 2008. BAHASA.Aa. 2
b.2
3
c.2
3
d. 2e. 3Penyelesaian :
3
3
2
0
03322
2
c
b
a
cbxax
xx
21.xx =a
c
=2
3
Jawaban : c4. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat 0652 2 xx ,
maka nilai ....21 xx
a.2
5
b.2
5
117 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
c.5
2
d.5
2
e. 5Penyelesaian :
6
5
2
0
06522
2
c
b
a
cbxax
xx
21 xx =a
b
=2
)5(
=2
5
Jawaban : a5. Persamaan kuadrat 0322 xx mempunyai akar-akar 21 xdanx .
Nilai dari ....22
21 xx UAN 2008. BAHASA. A
a. 10b. 2c. – 2d. – 4e. – 10Penyelesaian :
3
2
1
0
0322
2
c
b
a
cbxax
xx
21 xx =a
b
=1
2
118 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
= 2
21. xx =a
c
=1
3
= 32
22
1 xx = 21
)(
2221
21 22
221
xxxxxx
xx
= 212
21 2 xxxx = )3(2)2( 2 = 4 + 6= 10
Jawaban : a6. Akar-akar persamaan kuadrat 023 2 xx adalah 1x dan 2x . Nilai
....11
21
xx
a.9
1
b.6
1
c.3
1
d.2
1
e.3
2
Penyelesaian :
2
1
3
0
0232
2
c
b
a
cbxax
xx
119 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
21 xx =3
1
21.xx =3
2
21
11
xx =
21
12
xx
xx
=21
21
xx
xx
=
3
23
1
=3
2:
3
1
=2
3
3
1
=2
1
Jawaban : d7. Hasil jumlah akar-akar persamaan kuadrat 06)2(5 2 xpx
adalah 8. Nilai p = ....a. – 42b. – 40c. – 38d. 38e. 42Penyelesaian :
6
2
5
0
06)2(52
2
c
pb
a
cbxax
xpx
120 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
21 xx =a
b
8 =5
2p
40 = 2p42 = p
Jawaban : e8. Akar-akar persamaan kuadrat 032 kxx adalah 1x dan 2x . Jika
2722
21 xx , maka nilai k adalah ....
a. – 18b. – 16c. – 12d. 12e. 18Penyelesaian :
kc
b
a
cbxax
kxx
3
1
0
032
2
321 xx
kxx 21.
221 xx = 2221
21 2 xxxx
= 212
22
1 2 xxxx
= 21212
21 22 xxxxxx = 21
221 4)( xxxx
= k4)3( 2 = k49
21 xx = k49 2
22
1 xx = ))(( 2121 xxxx
- 27 = k493
121 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
3
27
= k49
9 = k49 9 = k49
2)9( = 9 – 4k81 = 9 – 4k72 = 4k
4
72= k
18 = kJawaban : a
9. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah .... UAN 2003a. 01072 xxb. 01072 xxc. 01032 xxd. 01032 xxe. 01032 xxPenyelesaian :
0))2()(5( xx0)2)(5( xx
010522 xxx01032 xx
Jawaban : e10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 35 dan 35 adalah ....
a. 022202 xxb. 022202 xxc. 022102 xxd. 022102 xxe. 022102 xxPenyelesaian : 0)35()35( xx
122 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
0)35)(35()35()35(2 xxx
03332535352 xxxxx
0325552 xxx022102 xx
Jawaban : d11. Persamaan kuadrat 0532 xx mempunyai akar-akar p dan q.
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3p dan 3q adalah .... UAN 2008.BAHASA. Aa. 045272 xxb. 045272 xxc. 04592 xxd. 04592 xxe. 04592 xxPenyelesaian :
5
3
1
0
0532
2
c
b
a
cbxax
xx
qp =1
)3(
= 3
qp . =1
5
= 5Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3p dan 3q adalah :
qp 33 = )(3 qp = 3(3)= 9
qp 3.3 = ).(9 qp= 9 (5)= 45
03.3332 qpxqpx
123 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
04592 xxJawaban : e
12. Diketahui dan akar-akar persamaan kuadrat 0164 2 xx .Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya )12()12( danadalah .... UAN 2007. Ba. 032 xxb. 0132 xxc. 0222 xxd. 0232 2 xxe. 022 2 xxPenyelesaian :
1
6
4
0
01642
2
c
b
a
cbxax
xx
=4
)6(
=4
6
=2
3
. =4
1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya )12()12( danadalah :
)12()12( = 1212 = 222 = 2)(2
= 22
32
= 3 – 2= 1
124 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
)12)(12( = 1224 = 1)(24
= 12
32
4
14
= - 1 – 3 + 1= -3
0121212122 x
032 xxJawaban : a
13. Persamaan kuadrat 09)2(2 xpx mempunyai akar-akar yangberlainan. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ....a. 48 pb. 84 pc. 4p atau 10pd. 8p atau 4pe. 4p atau 8pPenyelesaian :
9
2
1
0
09)2(2
2
c
pb
a
cbxx
xpx
Akar-akar berlainan artinya 0Dacb 42 > 0
)9)(1(42 2 p > 0
36)44( 2 pp > 0
36442 pp >0
3242 pp > 0 ... x ... = - 32)8)(4( pp > 0 ... + ... = - 4
4p atau 8p
- 4 8
125 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Titik uji pada interval 4p :
p = - 5 → 32)5(4)5( 2 > 0322025 > 013 > 0 memenuhi
Titik uji pada interval 84 p :
p = 0 → 32)0(4)0( 2 > 03200 > 0
- 32 > 0 tidak memenuhiTitik uji pada interval 8p :
p = 9 → 32)9(4)9( 2 > 0323681 > 013 > 0 memenuhi
jadi nilai p yang memenuhi adalah 4p atau 8pJawaban : e
14. Persamaan kuadrat 012)28()1( 2 xmxm mempunyai akaryang berlawanan, maka nilai m yang memenuhi adalah ....a. – 5b. 5c. – 4d. 4e. 3Penyelesaian :
12
28
1
0
012)28()1(2
2
c
mb
ma
cbxax
xmxm
Karena akar-akarnya berlawanan, syaratnya adalah 0bm28 = 0
- 2m = - 8m = 4
Jawaban : d
126 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya3
1dan 2 adalah ....
a. 0273 2 xxb. 0273 2 xxc. 0273 2 xxd. 0723 2 xxe. 0723 2 xx
2. Diketaui hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 0)1(64 2 mxxadalah 5. Nilai m adalah ....a. 19b. 20c. 21d. 22e. 23
3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya )31( dan )31( adalah ....
a. 032 xx
b. 032 xx
c. 0222 xxd. 0322 xxe. 0222 xx
4. Persamaan kuadrat 0532 2 xx mempunyai akar-akar dan .Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 32 dan 32 adalah....a. 0892 2 xxb. 0892 xxc. 0892 xxd. 0892 2 xxe. 0892 xx
LATIHAN MANDIRI
127 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 07103 2 xx adalah dan . Nilai dari ....22
a.9
715
b.3
212
c.9
79
d.3
26
e.9
46
6. Persamaan kuadrat 0)2()12()1( 2 axaxa mempunyai akaryang sama. Maka nilai a adalah ....
a.16
11
b.16
9
c.16
7
d.16
5
e.16
3
7. Akar-akar persamaan 0732 2 xx adalah 21 xdanx . Nilai dari
....88 22
21 xx
a. – 38b. – 20c. – 10d. 18e. 36
128 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
8. Persamaan kuadrat 0)3(2 2 ppxx akar-akarnya berkebalikan,maka nilai p adalah ....a. – 5b. 5c. – 3d. 3e. 1
9. Salah satu akar persamaan 0102 mxx adalah 3 lebih dari akaryang lain, maka nilai m adalah ....a. m = -1 atau m = 1b. m = -5 atau m = 5c. m = - 6 atau m = 6d. m = - 7 atau m = 7e. m = - 9 atau m = 9
129 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
B. Pertidaksamaan
1. IntervalContoh :
1.
2.
3.
2. Pertidaksamaan linier dan grafiknya Pertidaksamaan linier
Bentuk operasi pertidaksamaan linier secara umum : 0 bax , , , Contoh :1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 23 x < 0 adalah ....
Penyelesaian :23 x < 0
x3 < 2
x <3
2
○ ○0 3
0x30 x
3x
● ○0 3
0x30 x
3x
● ●0 3
0x30 x
3x
○
3
23
2x
3
2x
MATERI
130 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Titik uji pada interval3
2x
0x → 02)0(3 02 memenuhi
Titik uji pada interval3
2x
1x → 02)1(3 01 tidak memenuhi
Jadi nilai x yang memenuhi adalah3
2x
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah :
3
2xx
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2813 xx adalah....Penyelesaian :
13 x 28 xxx 83 12 x5 3
x5 3
x5
3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
5
3xx
Grafik pertidaksamaan linierGarafik pertidaksamaan linier berbentuk garis lurusLangkah-langkah menggambar grafik : Cari titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Gambar titik potong tersebut pada bidang kartesius Hubungkan titik-titik tersebut
131 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Contoh :1. Gambarlah grafik 2 xy dan tentukan daerah
penyelesaiannyaPenyelesaian :Pembuat nol fungsi :
2 xyTitik potong sumbu x, maka y = 0, maka0 = x + 2
- 2 = xKoordinat titik potongnya adalah (- 2, 0)Titik potong sumbu y, maka x = 0y = 0 + 2y = 2Koordinat titik potongnya adalah (0, 2)
Titik uji pada interval 2x dan 2y(- 3, 1) → 1 - 3 + 2
1 - 1 memenuhiTitik uji pada interval 2x dan 2y(1, 1) → 1 1 + 2
1 3 tidak memenuhiJadi daerah penyelesaiannya adalah 2x dan
22 yatauy
0-2
x
y
2●
●
132 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
2. Gambarlah grafik 42 yx dan tentukan daerahpenyelesaiannyaPembuat nol fungsi :x – 2y = 4Titik potong sumbu x, maka y = 0x – 2(0) = 4x = 4Koordinat titik potongnya adalah (4, 0)Titik potong sumbu y, maka x = 00 – 2y = 4- 2y = 4
y =2
4
y = - 2Koordinat titik potongnya adalah (0, -2)
Titik uji pada interval 4x dan 2y(2, -3) → 2 – 2 (- 3) 4
2 + 6 48 4 memenuhi
Titik uji pada interval 4x dan 2y(1, 1) → 1– 2 (1) 4
0
-2
x
y
4
●
●
133 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
1 - 2 4- 1 4 tidak memenuhi
Jadi daerah penyelesaiannya adalah 4x atau 4x dan2y
3. Pertidaksamaan linier berbentuk pecahanSyaratnya penyebut tidak boleh sama dengan nolContoh :
1. Diketahui pertidaksamaan 52
x
x, maka himpunan
penyelesaiannya adalah ....Penyelesaian :Syarat i) : 2xSyarat ii) :
2x
x5
052
x
x
02
)2(5
x
xx
02
105
x
xx
02
104
x
x
0104 x104 x
104 x
4
10x
2
5x
134 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Dari syarat i) dan ii) diperoleh :
Titik uji pada interval 2x
0x → 521
1
51 tidak memenuhi
Titik uji pada interval2
52 x
1,2x → 521,2
1,2
51,0
1,2
521 memenuhi
Titik uji pada interval2
5x
3x → 523
3
51
3
53 tidak memenuhi
Jadi interval yang memenuhi adalah2
52 x
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah
2
52 xxHp
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 412
2
x
xadalah ....
Penyelesaian :
412
2
x
x
2
2
5○ ●
135 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Syarat i)2
1x
Syarat ii).
0412
2
x
x
012
)12(42
x
xx
012
482
x
xx
012
27
x
x
027 x27 x
27 x
7
2x
Dari syarat i) dan ii)
Titik uji pada interval7
2x
0x → 41)0(2
20
41
2
42 memenuhi
Titik uji pada interval2
1
7
2 x
4,0x → 41)4,0(2
24,0
7
2
2
1
136 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
4
10
210
16
42
10
10
16
48 tidak memenuhi
Titik uji pada interval2
1x
1x → 41)1(2
21
41
1
41 memenuhi
Jadi nilai x yang memenuhi adalah7
2x atau
2
1x
4. Pertidaksamaan berbentuk akarDefinisi : a adalah bilangan non negatif sedemikian hingga
aa 2
dengan syarat ;
i). Jika 0a maka a terdefinisi
ii). Jika 0a maka a tidak terdefinisiContoh :1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 23 x adalah ....
Syarat i). 03 x3x
Syarat ii). 23 x
2223 x
43 x7x
Dari syarat i) dan ii) diperoleh
137 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Titik uji pada interval 3x
2x → 232 21
2i tidak memenuhiTitik uji pada interval 73 x
4x → 234 21
21 memenuhiTitik uji pada interval 7x
8x → 238 25
2....,2 tidak memenuhiJadi nilai x yang memenuhi adalah 73 x
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan xx 31 adalah ....Penyelesaian :
xx 31Syarat i). 01x
1xSyarat ii). 03 x
3 x3x
Syarat iii). 2231 xx
xx 3113 xx
42 x2x
3 7● ○
138 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Dari syarat i), ii), dan iii) diperoleh :
Titik uji pada interval 1x
0x → 0310 31
,.....1i tidak memenuhiTitik uji pada interval 21 x
5,1x → 5,1315,1
5,25,0 ,....1,....0 tidak memenuhi
Titik uji pada interval 32 x
5,2x → 5,2315,2
5,05,1 ,.....0,....1 memenuhi
Titik uji pada interval 3x
4x → 4314 13
i,....1 tidak memenuhiJadi nilai x yang memenuhi adalah 32 x
5. Pertidaksamaan absolut atau harga mutlakDefinisi : Nilai mutlak untuk Rx
0,0
0,
0,
xjika
xjikax
xjikax
x
Secara umum, 2xx
Jika ax maka axa
Jika ax maka ax atau ax
1○ ●2 3
●
139 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Contoh :1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x
Cara I :2x
22 2x042 x ... x ... = - 4
0)2)(2( xx ... + ... = 02x atau 2x
Titik uji pada interval 2x3x → 23
23 tidak memenuhiTitik uji pada interval 22 x
0x → 20 20 memenuhi
Titik uji pada interval 2x3x → 23
23 tidak memenuhiJadi nilai x yang memenuhi adalah 22 xCara II :
2x
22 xJadi nilai x yang memenuhi adalah 22 x
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32 x adalah ....Penyelesaian :Cara I :
- 2○
2○
140 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
32 x22 3)2( x
9442 xx0542 xx ... x ... = - 5
0)5)(1( xx ... + ... = - 41x atau 5x
Titik uji pada interval 1x2x → 322
34 34 tidak memenuhi
Titik uji pada interval 51 x0x → 320
32 32 memenuhi
Titik uji pada interval 5x6x → 326
34 34 tidak memenuhi
Jadi nilai x yang memenuhi adalah 51 xCara II :
32 x
323 x232223 x
51 xJadi nilai x yang memenuhi adalah 51 x
- 1●
5●
141 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
6. Pertidaksamaan kuadratBentuk umum : 02 cbxax , bisa juga dalam bentuk , , Contoh :1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat 0542 xx
Penyelesaian :0542 xx ... x ... = - 5
0)1)(5( xx ... + ... = 45x atau 1x
Titik uji pada interval 5x6x → 05)6(4)6( 2
052436 07 memenuhi
Titik uji pada interval 15 x0x → 05)0(4)0( 2
0500 05 tidak memenuhi
Titik uji pada interval 1x2x → 05)2(4)2( 2
0584 07 memenuhi
Jadi nilai x yang memenuhi adalah 5x atau 1x
5 1○ ○
142 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat 0652 xxPenyelesaian :
0652 xx ... x ... = 60)2)(3( xx ... + ... = 5
3x atau 2x
Titik uji pada interval 3x4x → 06)4(5)4( 2
062016 02 tidak memenuhi
Titik uji pada interval 23 x5,2x → 06)5,2(5)5,2( 2
065,1225,6 075,0 memenuhi
Titik uji pada interval 2x0x → 06)0(502
0600 06 tidak memenuhi
Jadi nilai x yang memenuhi adalah 23 x
- 3●
-2●
143 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4)3(3 xxx adalah ....a. 11 xb. 43 xc. 11 x atau 43 xd. 11 x atau 43 xe. 11 x atau 43 x
2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 212 x adalah ....
a.
2
1xx
b.
2
1xx
c.
2
5xx
d.
2
5xx
e.
2
5xx
3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 0432 xx adalah ....a. 4x atau 1xb. 1x atau 4xc. 4x atau 1xd. 14 xe. 41 x
4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 0592 2 xx adalah ....
a.2
1x atau 5x
b. 5x atau2
1x
LATIHAN MANDIRI
144 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
c. 5x atau2
1x
d.2
15 x
e. 52
1 x
5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 12
12
x
xadalah ....
a. 3xb. 2xc. 32 xd. 3x atau 2xe. 2x atau 3x
6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 032 2 xx adalah ....a. 15,1 xatauxx
b. 5,11 xatauxx
c. 5,11 xatauxx
d. 15,1 xx
e. 5,11 xx
7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 632 x adalah ....
a.2
9
2
3 x
b.2
3
2
9 x
c.2
9
2
3 x
d.2
3x atau
2
9x
e.2
3x atau
2
9x
146 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
4. Persamaan lingkaran dan garis singgungnya1. Persamaan lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari radalah: 222 ryx
Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah :222 )()( rbyax
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah :022 CByAxyx
Berpusat di
2,
2
BAdan jari-jarinya adalah
CBA
r
22
222. Jari-jari lingkaran
Lingkaran yang berpusat di (a, b) dan menyinggung garis
0 CByAx , jari-jarinya adalah22 BA
CBbAar
3. Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui salah satu titik),( 11 yx dan berjari-jari r adalah :
Berpusat di O (0,0) adalah :2
11 ryyxx Berpusat di (a, b) adalah :
211 ))(())(( ryyayaxax
Lingkaran 022 CByAxyx adalah :
022 1111 yyB
xxA
yyxx
MATERI
147 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
4. Persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien m dan berjari-jari radalah : Berpusat di O(0,0) adalah :
21 mrmxy Berpusat di (a, b) adalah :
21)( mraxmby Lingkaran 022 CByAxyx karena pusat dan jari-jarinya
dapat dicari maka persamaan garis singgungnya sama denganpersamaan garis singgung yang berpusat di (a, b) :
21)1( mrxmby 5. Gradien garis
Dua garis yang saling tegak lurus, hasil kali gradien-gradiennya samadengan – 1 : 121 mm
Dua garis yang sejajar, gradiennya sama : 21 mm 6. Koordinat titik (x, y) dimana absisnya adalah x dan ordinatnya adalah y
148 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran 044222 yxyxyang tegak lurus garis 015125 yx adalah .... UAN 2004a. 041512 yx dan 037512 yxb. 041512 yx dan 037512 yxc. 041125 yx dan 037125 yxd. 041125 yx dan 037125 yxe. 041512 yx dan 037512 yxPenyelesaian :
4
4
2
0
044222
22
C
B
A
CByAxyx
yxyx
Pusatnya : =
2
4,
2
)2(
=
2
4,
2
2
= 2,1 Jari-jarinya :
r = )4()2()1( 22
= 441 = 9= 3
015125 yx15512 xy
)5(512 xy
512
5
xy
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
149 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
)5(12
5 xy
12
51 m
Karena maka 121 mm
12
1
mm
12
51
2
m
5
1212 m
5
122 m
Persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (1, -2) dan jari-
jari 3r dengan gradien5
12m adalah :
2
5
1213)1(
5
12)2(
xy
25
14413)1(
5
122 xy
25
144253)1(
5
122
xy
25
1693)1(
5
122 xy
25
1693)1(
5
122 xy
5
13.3
5
12122
xy
150 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
5
39
5
12122
xy
5
3912122
xy
391212)2(5 xy391212105 xy391012125 xy
392125 xy392125 xy dan 392125 xy
41125 xy 37125 xy041512 yx 037512 yx
Jawaban : a2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) serta menyinggung garis
0243 yx adalah .... UAN 2005
a. 024322 yxyx
b. 036422 yxyx
c. 088222 yxyx
d. 088222 yxyx
e. 068222 yxyxPenyelesaian :
2
4
3
0
0243
C
B
A
CByAx
yx
Persamaan lingkaran berpusat (1,4) dan menyinggung garis0243 yx maka jari-jarinya dapat diperoleh dengan cara :
r =22 )4()3(
)2()4)(4()1)(3(
=169
2163
151 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
=25
15
=5
15
= 3= 3
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan berjari-jari r adalah :222 3)4()1( yx
916812 22 yyxx
09178222 yxyx
088222 yxyxJawaban : d
3. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 2522 yx yang tegaklurus garis 032 xy adalah .... UAN 2005
a. 52
5
2
1 xy
b. 52
5
2
1 xy
c. 552 xy
d. 552 xy
e. 552 xyPenyelesaian :
5
25
25
2
22
222
r
r
yx
ryx
032 xy32 xy
2
3
xy
152 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
)3(2
1 xy
2
11 m
Karena tegak lurus maka 121 mm
12
1
mm
2
11
2
m
1
212 m
22 mPersamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0,0), berjari-jari 5dan bergradien – 2 adalah :
2)2(152 xy
4152 xy
552 xy
552 xy dan 552 xy
Karena salah satu, maka yang dipilih adalah 552 xyJawaban : d
4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran01216622 yxyx dititik yang berabsis 5 adalah .... UAN 2006
a. 01992 yxb. 01392 yxc. 01994 yxd. 01326 yxe. 01926 yxPenyelesaian :Berabsis 5 artinya x = 5
153 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
Substitusi 5x ke dalam persamaan 01216622 yxyxmaka :
01216)5(6)5( 22 yy
012163025 2 yy
0123025162 yy
017162 yy ... x ... = - 170)1)(17( yy ... + ... = 16
17y atau 1yUntuk 5x dan 17y maka koordinat titiknya adalah (5, - 17)
Persamaan garis singgung lingkaran 01216622 yxyx danmelalui )17,5( adalah :
012)17(2
16)5(
2
6175
yxyx
012)17(8)5(3175 yxyx012568153175 yxyx
08381735 yyxx08392 yx
Untuk 5x dan 1y maka koordinat titiknya adalah (5, 1)
Persamaan garis singgung lingkaran 01216622 yxyx dan
melalui )1,5( adalah : 012)1(2
16)5(
2
65
yxyx
012)1(8)5(35 yxyx012881535 yxyx012815835 yyxx
01992 yxKarena salah satu, maka yang dipilih adalah 01992 yxJawaban : a
154 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
5. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 02 yxserta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah .... UAN2006a. 0122 yxyx
b. 0122 yxyx
c. 012222 yxyx
d. 012222 yxyx
e. 012222 yxyxPenyelesaian :
Menyinggung x positif dan y negatif maka yx atau 0 yx...............1)
02 yx atau 2 yx ................ 2)Pusat dari lingkaran terletak pada titik potong garis 2 yx dan
0 yxdari 1) dan 2) diperoleh :
2 yx0 yx +
2x = 2
02 yx
y
x0
●
0 yx
1
- 1
2
- 2
155 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
2
2x
1xSubstitusi 1x kedalam salah satu persamaan akan diperoleh :
21 y12 y
1 y1y
Jadi pusatnya adalah (1, - 1) dan karena jarak dari titik pusat ke sumbu xmaupun y adalah 1 maka jari-jari lingkaran tersebut r = 1, Jadi persamaanlingkarannya adalah : 222 1))1(()1( yx
1)1()1( 22 yx
11212 22 yyxx
122222 yxyx
012222 yxyxJawaban : e
6. Persamaan garis singgung pada lingkaran 022222 yxyxyang sejajar dengan garis 2 xy adalah .... UAN 2007.B
a. 22 xy
b. 32 xy
c. 52 xy
d. 5 xy
e. 53 xyPenyelesaian :
2
2
2
0
022222
22
C
B
A
CByAxyx
yxyx
Pusatnya : p =
2
2,
2
)2(
156 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
=
2
2,
2
2
= )1,1(
Jari-jari : r )2()1()1( 22
211 4
2Sejajar garis 2 xy makam = -1Karena // maka 121 mmPersamaan garis singgung yang bergradien m = -1, berjari-jari r = 2 danberpusat pada (1, -1) adalah :
2)1(12)1(1)1( xy
112)1(1 xy
2211 xy
2211 xy
22 xyJawaban : a
7. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran13)1()2( 22 yx dititik yang berabsis -1 adalah .... UAN 2007. A
a. 0323 yxb. 0523 yxc. 0923 yxd. 0923 yxe. 0523 yxPenyelesaian :Persamaan lingkaran 13)1()2( 22 yx , maka pusatnya (2, -1) dan
132 rBerabsis – 1 artinya x = - 1, substitusi x = - 1 ke dalam persamaanlingkaran 13)1()2( 22 yx maka akan diperoleh :
157 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
13)1()21( 22 y
1312)3( 22 yy
013129 2 yy
0131922 yy
0322 yy ... x ... = -30)1)(3( yy ... + ... = 2
3y atau 1yKoordinat titiknya adalah (-1, -3) dan (-1,1) maka : Persamaan garis singgung yang berpusat di (2, -1), berjari-jari r dan
melalui (-1, -3) adalah :13))1(3))(1(()21)(2( yx
13)2)(1()3)(2( yx13)1(2)2(3 yx
132263 yx0132623 yx
0923 yx jika persamaannya dikali dengan -1 maka :0923 yx
Persamaan garis singgung yang berpusat di (2, -1), berjari-jari r danmelalui tititk (-1, 1) adalah :
13))1(1))(1(()21)(2( yx13)11)(1()3)(2( yx
13)1(2)2(3 yx0132263 yx0132623 yx
0523 yx jika persamaannya dikali dengan -1 maka0523 yx
Karena salah satu maka yang dipilih adalah 0923 yxJawaban : d
158 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
8. Persamaan garis singgung melalui titik (2, 3) pada lingkaran 1322 yxadalah .... UAN 2008a. 1332 yxb. 1332 yxc. 1332 yxd. 1323 yxe. 1323 yxPenyelesaian :Persamaan lingkaran 1322 yx berpusat di (0,0) dan berjari-jari
132 r , maka persamaan garis singgung yang berpusat di (0,0), berjari-jari r dan melelui titik (2, 3) adalah : 2
11 ryyxx 13)3()2( yx
1332 yxJawaban : c
9. Diketahui titik A(-7, 4) dan B(3, 2). Jika titik A dan B ujung-ujung diameterlingkaran, maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....a. 0136422 yxyx
b. 0136422 yxyx
c. 0696422 yxyx
d. 0696422 yxyx
e. 0136422 yxyxPenyelesaian :Ilustrasi :
-7 0
2x
y
4
3
-2
1
5
3
(3, 2)
(-7, 4)
159 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
Pusatnya : =
2
24,
2
37
=
2
6,
2
4
= (- 2, 3)Jari-jarinya adalah : r
r2 = 22 15 = 25 + 1= 26
sehingga persamaan lingkarannya adalah :26)3()2( 22 yx
0269644 22 yyxx
0136422 yxyxJawaban : e
160 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat (- 4, 1) adalah....a. 0412822 yxyx
b. 0412822 yxyx
c. 0412822 yxyx
d. 0412822 yxyx
e. 0412822 yxyx2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis
082 yx adalah ....
a. 04222 yxyx
b. 04222 yxyx
c. 04222 yxyx
d. 04222 yxyx
e. 0222 yxyx
3. Persamaan garis singgung di titik (-3, 1) pada lingkaran 1022 yxadalah ....a. 103 xyb. 103 xyc. 103 xyd. 103 xy
e. 10 xy
LATIHAN MANDIRI
161 Persamaan lingkaran & garis singgungnya
4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran0516422 yxyx yang tegak lurus garis 01234 yx
adalah ....a. 02243 yxb. 02843 yxc. 03443 yxd. 04643 yxe. 05843 yx
5. Persamaan garis singgung pada lingkaran 01361222 yxyxdan melalui titik A(-2, -1) adalah ....a. 052 yxb. 01 yxc. 042 yxd. 0423 yxe. 032 yx
135 Program linier
7. Program LinierA. Pertidaksamaan linierLangkah-langkah menggambar grafik pertiksamaan linier : Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y Melukis koordinat titik-titik tersebut pada bidang kartesius Menghubungkan titik-titik tersebut Mencari daerah yang memenuhi dengan titik uji
Contoh-contoh soal:1. Daerah penyelesaian dari 2 yx adalah ....
Penyelesaian :Pembuat nol fungsi 2 yx Titik potong sumbu x , maka 0y
20 x2x
Titik potong sumbu y , maka 0x20 y
2yMaka grafiknya adalah :
2
2
x
y
MATERI
136 Program linier
Untuk menentukan daerah penyelesaiannya digunakan titik uji :Titik uji (0, 0) → 200
20 memenuhiTitik uji (3, 4) → 243
27 tidak memenuhiJadi yang merupakan daerah penyelesaiannya adalah daerah di bawahgaris 2 yx seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas
2. Daerah penyelesaian dari 2 yx adalah ....Penyelesaian :Pembuat nol fungsi 2 yx Titik potong sumbu x , maka 0y
20 x2x
Titik potong sumbu y , maka 0x20 y
2yMaka grafiknya adalah :
Untuk menentukan daerah penyelesaiannya digunakan titik uji :Titik uji (0, 0) → 200
20 tidak memenuhiTitik uji (3, 4) → 243
27 memenuhi
2
2
x
y
137 Program linier
Jadi yang merupakan daerah penyelesaiannya adalah daerah di atas garis2 yx seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas
B. Program linier Program linier adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum
suatu bentuk linear(bentuk atau fungsi objektif atau fungsi tujuan)pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaanlinier.
Nilai optimal tersebut dapat ditentukan dengan cara:1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear.2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut.3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut
tersebut.
Catatan : dari kedua gambar di atas maka dapat disimpulkan bahwadaerah yang memenuhi untuk pertidaksamaan yang berbentuk daerahyang arahnya ke kanan dan ke atas sedangkan untuk bentuk daerahyang memenuuhi arahnya ke kiri dan ke bawah
138 Program linier
1. Daerah penyelesaian dari 2 yx , dengan syarat 0,0 yx adalah....Penyelesaian :Pembuat nol fungsi 2 yx Titik potong sumbu x , maka 0y
20 x2x
Titik potong sumbu y , maka 0x20 y
2yMaka grafiknya adalah :
Untuk menentukan daerah penyelesaiannya digunakan titik uji :Titik uji (0, 0) → 200
20 memenuhiTitik uji (3, 4) → 243
27 tidak memenuhiKarena syarat 0,0 yx , maka daerah penyelesaiannya adalahdaerah dibawah garis 2 yx dan dibatasi hanya pada kuadran I,seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas
2
2
x
y
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
139 Program linier
2. Bentuk pertidaksamaan linier dari daerah yang arsir pada grafik di bawahini adalah ....
Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah qp, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx ,sedangkan pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yang diarsir(daerah penyelesaiannya) titik uji yang memenuhi.
Sesuai dengan rumusan pqpyqx maka pertidaksamaan grafik diatas adalah 3284 yx , sedangkan tanda karena daerah yangdiarsir berada di bagian kiri grafik, serta batasan 0x dan 0y karenadaerah penyelesaiannya hanya berada pada kuadran I.
4
8x
y
4
8x
y
q
p
140 Program linier
3. Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan linier ....
a. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0yb. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0yc. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0yd. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0ye. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0yPenyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah srqp ,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx atau rsrysx , pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yangdiarsir (daerah penyelesaiannya).
4
4
6
8x
y
4
4
6
8x
y
p
q
r
s
141 Program linier
Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah2446 yx atau disederhanakan menjadi 1223 yx , sedangkan
tanda karena daerah yang diarsir berada di bagian kiri grafik.Pertidaksamaan garis rs adalah 3284 yx atau disederhanakanmenjadi 82 yx , sedangkan tanda karena daerah yang diarsirberada di bagian kiri grafik. Dan dengan syarat 0,0 yx , sehinggabentuk sistem pertidaksamaan linier dari grafik di atas adalah :
82 yx1223 yx
0,0 yxJawaban : b
4. Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan linier ....
a. 70107 yx , 1648 yx , 0x , 0yb. 70107 yx , 82 yx , 0x , 0yc. 70107 yx , 82 yx , 0x , 0yd. 70107 yx , 82 yx , 0x , 0ye. 70107 yx , 1648 yx , 0x , 0yPenyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah srqp ,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx
4
7
8
10
x
y
142 Program linier
atau rsrysx , pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yangdiarsir (daerah penyelesaiannya). Serta batasan 0x dan 0y karenadaerah penyelesaian dari program linier hanya berada pada kuadran I.
Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah3248 yx atau disederhanakan menjadi 82 yx , sedangkan
tanda karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik,Pertidaksamaan garis rs adalah 70107 yx , sedangkan tanda karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, dan dengansyarat 0,0 yx , sehingga bentuk sistem pertidaksamaan linier darigrafik di atas adalah :
82 yx70107 yx0,0 yx
Jawaban : b5. Nilai minimum fungsi objektif yx 105 pada himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaan linier yang grafik himpunan penyelesaiannyadisajikan pada daerah terarsir gambar di bawah ini adalah ....a. 160b. 200c. 240d. 320e. 400
p
q
r
s
4
7
8
10
x
y
143 Program linier
Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah utsrqp ,,,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini makauntuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan
pqpyqx , rsrysx , dan tutyux . pertidaksamaannyaditentukan dari daerah yang diarsir (daerah penyelesaiannya).
x
y
32
24
16
16 36 48
x
y
32
24
16
16 36 48
p
q
r
s
t
u
●
●
●
●
b
a (6, 20)
(24, 8)
(0, 32)
(48, 0)
144 Program linier
Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah5121632 yx atau disederhanakan menjadi 322 yx ,
sedangkan tanda karena daerah yang diarsir berada di bagian kanangrafik, Pertidaksamaan garis rs adalah 8643624 yx atau bisadisederhanakan menjadi 7232 yx sedangkan tanda karenadaerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, Pertidaksamaan garistu adalah 7684816 yx atau bisa disederhanakan menjadi
483 yx sedangkan tanda karena daerah yang diarsir berada dibagian kanan grafik, dan dengan syarat 0,0 yx , sehingga bentuksistem pertidaksamaan linier dari grafik di atas adalah :
322 yx7232 yx
483 yx0,0 yx
Titik yang perlu diuji adalah titik q, a, b, t, untuk titik q (0, 32), titik t (48,0), untuk titik a adalah perpotongan garis 322 yx dengan garis
7232 yx , maka titik a dapat diperoleh dengan eliminasi x diperolehdan substitusi y ke dalam salah satu persamaan diperoleh
7232
322
yx
yx
402 y20y
Substitusi 20y ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh32202 x
122 x6x , sehingga titik a (6, 20)
untuk titik b adalah perpotongan garis 7232 yx dengan garis483 yx , maka titik b dapat diperoleh dengan eliminasi y diperoleh
dan substitusi x ke dalam salah satu persamaan diperoleh
483
7232
yx
yx
145 Program linier
24xSubstitusi 24x ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh
48324 y243 y
8y , sehingga titik b (24, 8)Titik uji q (0, 32) )32(10)0(5 = 320
t (48,0) )0(10)48(5 = 240a (6, 20) )20(10)6(5 = 230b (24, 8) )8(10)24(5 = 200
Jadi nilai minimumnya adalah 200Jawaban : b
6. Nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x+ 4y, yang memenuhi sistempertidaksamaan : 112 yx
102 yx0x , 0y
Dengan Ryx , adalah .... UAN 2003a. 36b. 32c. 30d. 27e. 24Penyelesaian :Pembuat nol fungsiGrafik persamaan 112 yx Titik potong sumbu x, y = 0
1102 x
2
11x koordinat titiknya adalah
0,
2
11
Titik potong sumbu y, x = 011)0(2 y
110 y11y koordinat titiknya adalah (0, 11)
146 Program linier
Grafik persamaan 102 yx Titik potong sumbu x, y = 0
100 x10x koordinat titiknya adalah (10, 0)
Titik potong sumbu y, x = 01020 y
102 y5y koordinat titiknya adalah (0, 5)
Titik a dapat ditentukan dengan mencari titik potong antara grafik112 yx dan 102 yx caranya eliminasi x diperoleh :
2042
112
2
1
102
112
yx
yx
yx
yx
93 y3y
substitusi 3y ke dalam salah satu persamaan di atas akan diproleh :1132 x
82 x4x jadi koordinat a (4, 3)
Fungsi objektif k = 3x+ 4yTitik uji (0,5) )5(4)0(3 k
200 20
11/2
5
11
10x
y
a (4,3)
(0,5)
(11/2, 0)
147 Program linier
Titik uji (4, 3) )3(4)4(3 k1212
24Titik uji (11/2, 0) )0(4)2/11(3 k
2/33
2
116
Jadi nilai optimumnya adalah 24Jawaban : e
7. Dengan persediaan kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter,seorang penjahit akan membuat 2 model pakayan jadi. Model Imemerlukan 1 meter kain polos dan 1, 5 meter kain bergaris. Model IImemerlukan 2 meter kain polos dan 0,5 kain bergaris. Bila pakayantersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp.15.000,00 danmodel II memperoleh untung Rp.10.000,00. Laba maksimum y diperolehadalah sebanyak .... UAN 2004a. Rp.100.000,00b. Rp.140.000,00c. Rp.160.000,00d. Rp.200.000,00e. Rp.300.000,00Penyelesaian :Untuk mempermudah membuat model matematikanya maka digunakantabel sebagai berikut :
Kain Polos (m) Bergaris (m)Model I (x) 1 1, 5Model II (y) 2 0, 5Persediaan 20 10
Model matematikanya adalah :202 yx
105,05,1 yx0,0 yx
Dengan fungsi tujuan : Maksimumkan laba yxz 000.10000.15 Pembuat nol fungsi :
148 Program linier
Untuk persamaan 202 yx Titik potong sumbu x, y = 0
20)0(2 x200 x
20x jadi koordinat titiknya (20, 0) Titik potong sumbu y, x = 0
2020 y202 y
10y jadi koordinat titiknya (0, 10)Untuk persamaan 105,05,1 yx Titik potong sumbu x, y = 0
10)0(5,05,1 x1005,1 x
105,1 x
1010
15x
10015 x
15
100x
3
20x jadi koordinat titiknya
0,
3
20
Titik potong sumbu y, x = 0105,0)0(5,1 y
105,00 y105,0 y
1010
5y
1005 y20y jadi koordinat titiknya (0, 20)
149 Program linier
Grafiknya adalah :
Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 202 yx dan105,05,1 yx
202 yx
105,05,1 yx 1010
5
10
15 yx 10
2
1
2
3 yx persamaannya
dikali 2203 yx
Dari dua persamaan jika di eliminasi y akan diperoleh :
4026
202
2
1
203
202
yx
yx
yx
yx
205 x4x
Substitusi 4x pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh :2024 y
162 y8y Jadi koordinat titiknya adalah (4, 8)
Sehingga titik ujinya adalah (0,10), (20/3, 0), (4, 8)Titik – titik uji :Untuk (0, 10) )10(000.10)0(000.15 z
000.1000 000.100
20/3
10
20
20x
y
a (4,8)
(0,10)
(20/3, 0)
150 Program linier
Untuk (4, 8) )8(000.10)4(000.15 z000.80000.60
000.140Untuk (20/3, 0) )0(000.10)3/20(000.15 z
)20(5000000.10
Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.140.000,00Jawaban : b
8. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untukrumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B 75 m2. Jumlah rumah yangdibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalahRp.6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp.4.000.000,00/unit.Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumahtersebut adalah .... UAN 2005a. Rp.550.000.000,00b. Rp.600.000.000,00c. Rp.700.000.000,00d. Rp.800.000.000,00e. Rp.900.000.000,00Penyelesaian :
Rumah Luas tanah (m2) UnitTipe I (x) 100 1Tipe II (y) 75 1Persediaan 10.000 125
Sehingga model matematikanya adalah :000.1075100 yx 40034 yx
125 yx0,0 yx
Dengan fungsi tujuan memaksimumkan labayxz 000.000.4000.000.6
Pembuat nol fingsi :Untuk persamaan 40034 yx Titik potong sumbu x, y = 0
400)0(34 x
151 Program linier
40004 x4004 x
100x Jadi koordinat titiknya adalah (100, 0) Titik potong sumbu y, x = 0
4003)0(4 y40030 y
4003 y
3
400y Jadi koordinat titiknya adalah
3
400,0
Untuk persamaan 125 yx Titik potong sumbu x, y = 0
1250 x125x Jadi koordinat titiknya adalah (125, 0)
Titik potong sumbu y, x = 01250 y
125y Jadi koordinat titiknya adalah (0, 125)Grafiknya adalah :
Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 125 yx dan40034 yx
125
125
400/3
x
y
a(25, 100)
(100, 0)100
(0, 125)
152 Program linier
Dari dua persamaan jika di eliminasi x akan diperoleh :
40034
50044
1
4
40034
125
yx
yx
yx
yx
100ySubstitusi 100y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh :
125100 x25x Jadi koordinat titiknya adalah (25, 100)
Sehingga titik ujinya adalah (0,125), (25, 100), (100, 0)Titik – titik uji :Untuk (0,125) )125(000.000.4)0(000.000.6 z
000.000.5000 000.000.500
Untuk (25,100) )100(000.000.4)25(000.000.6 z000.000.400000.000.150
000.000.550Untuk (100, 0) )0(000.000.4)100(000.000.6 z
0000.000.600 000.000.600
Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.600.000.000,00Jawaban : b
9. Seorang pedagangan minuman memiliki modal Rp.200.000,00. Iaberencana membeli 2 jenis minuman. Minuman A dibeli dengan hargaRp.6000,00 perbotol dan dijual dengan untung Rp.500,00 perbotol,minuman B dibeli dengan harga Rp.8000,00 perbotol dan dijual denganuntung Rp.1.000,00 perbotol. Bila tempatnya hanya bisa menampung 30botol, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah .... UAN2007.Ba. Rp.30.000,00b. Rp.25.000,00c. Rp.20.000,00d. Rp.16.000,00e. Rp.15.000,00
153 Program linier
Penyelesaian :Minuman Harga Tempat
Jenis A (x) 6.000 1Jenis B (y) 8.000 1Persediaan 200.000 30
Model matematikanya adalah :000.200000.8000.6 yx 10043 yx
30 yx0,0 yx
Dengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 1000500 Pembuat nol fungsi :Untuk persamaan 10043 yx Titik potong sumbu x, y = 0
100)0(43 x10003 x
1003 x
3
100x jadi koordinat titiknya 0,
3
100
Titik potong sumbu y, x = 01004)0(3 y
10040 y1004 y
25y jadi koordinat titiknya (0, 25)Untuk persamaan 30 yx Titik potong sumbu x, y = 0
300 x30x jadi koordinat titiknya (30, 0)
Titik potong sumbu y, x = 0300 y
30y jadi koordinat titiknya (0, 30)
154 Program linier
Grafiknya adalah :
Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 10043 yx dan30 yx
Dari dua persamaan jika di eliminasi x akan diperoleh :
9033
10043
4
1
30
10043
yx
yx
yx
yx
10ySubstitusi 10y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh
3010 x20x Jadi koordinat titiknya adalah (20, 10)
Sehingga titik ujinya adalah (0,25), (20, 10), (30, 0)Titik – titik uji :Untuk (0, 25) )25(000.1)0(500 z
000.250 000.25
Untuk (20, 10) )10(000.1)20(500 z000.10000.10
000.20Untuk (30, 0) )0(000.1)30(500 z
0000.15 000.15
30
(0,25)
(20, 10)
30 100/3
(30, 0)
25
a
155 Program linier
Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.25.000,00Jawaban : b
10. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kilogram gula dan 9 kilogram tepung.Untuk membuat sebuah kue jenis A, dibutuhkan 20 gram gula dan 60gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B, dibutuhkan20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan hargaRp.4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp.3.000,00/buah, makapendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue terebutadalah .... UAN 2008. Aa. Rp.600.000,00b. Rp.650.000,00c. Rp.700.000,00d. Rp.750.000,00e. Rp.800.000,00
Penyelesaian :Karena 1 kg = 1.000 gr maka :
Kue Gula TepungJenis A (x) 20 60Jenis B (y) 20 40Persediaan 4.000 9.000
Model matematikanya adalah :000.42020 yx 200 yx000.94060 yx 45023 yx
0,0 yxDengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 30004000 Pembuat nol fungsi :Untuk persamaan 200 yx Titik potong sumbu x, y = 0
2000 x200x jadi koordinat titiknya (200, 0)
Titik potong sumbu y, x = 02000 y
200y jadi koordinat titiknya (0, 200)
156 Program linier
Untuk persamaan 45023 yx Titik potong sumbu x, y = 0
450)0(23 x45003 x
4503 x150x jadi koordinat titiknya (150, 0)
Titik potong sumbu y, x = 04502)0(3 y
45020 y4502 y
225y Jadi koordinat titiknya (0, 225)Grafiknya adalah :
Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 200 yx dan45023 yx
Dari dua persamaan jika di eliminasi y akan diperoleh :
45023
40022
1
2
45023
200
yx
yx
yx
yx
50 x50x
Substitusi 50x pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh
225
(0, 200)
(50, 150)
150 200
200
(150, 0)
a
157 Program linier
20050 y150y Jadi koordinat titiknya adalah (50, 150)
Sehingga titik ujinya adalah (0,200), (50, 150), (150, 0)Titik – titik uji :Untuk (0,200) )200(3000)0(4000 z
000.6000 000.600
Untuk (50, 150) )150(3000)50(4000 z000.450000.200
000.650Untuk (150, 0) )0(3000)150(4000 z
0000.600 000.600
Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.650.000,00Jawaban : b
11. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 danmobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan.Biaya parkir mobil kecil Rp.1000,00/jam dan mobil besar Rp.2000,00/jam.Jika dalam 1 jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dandatang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah .... UAN 2007a. Rp.176.000,00b. Rp.200.000,00c. Rp.260.000,00d. Rp.300.000,00e. Rp.340.000,00Penyelesaian :
Jenis Luas rata-rata Daya tampungMobil kecil (x) 4 1Mobil besar (y) 20 1Persediaan 1760 200
Model matematikanya adalah :1760204 yx 4405 yx
200 yx0,0 yx
158 Program linier
Dengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 20001000 Pembuat nol fungsi :Untuk persamaan 4405 yx Titik potong sumbu x, y = 0
440)0(5 x4400 x
440x jadi koordinat titiknya (440, 0) Titik potong sumbu y, x = 0
44050 y4405 y
88y jadi koordinat titiknya (0, 88)Untuk persamaan 200 yx Titik potong sumbu x, y = 0
2000 x200x jadi koordinat titiknya (200, 0)
Titik potong sumbu y, x = 02000 y
200y Jadi koordinat titiknya (0, 200)Grafiknya adalah :
88(0, 88)
(140, 60)
200 400
200
(200, 0)
a
159 Program linier
Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 4405 yx dan200 yx
Dari dua persamaan jika di eliminasi x akan diperoleh :
200
4405
yx
yx
2404 y60y
Substitusi 60y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh :20060 x
140x Jadi koordinat titiknya adalah (140, 60)Sehingga titik ujinya adalah (0, 88), (140, 60), (200, 0)Titik – titik uji :Untuk (0, 88) )88(2000)0(1000 z
000.1760 000.176
Untuk (140, 60) )60(2000)140(1000 z000.120000.140
000.260Untuk (200, 0) )0(2000)200(1000 z
0000.200 000.200
Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.260.000,00Jawaban : c
160 Program linier
1.
Daerah yang diarsir pada gambar di atas menunjukkan penyelesaian darisistem pertidaksamaan linier :a. 0,0;1243;22 yxyxyxb. 0,0;1243;22 yxyxyxc. 0,0;1243;22 yxyxyxd. 0,0;1243;22 yxyxyxe. 0,0;1243;22 yxyxyx
2.Dari gambar di samping, daerah yangdiarsir menunjukkan penyelesaiandari suatu sistem petidaksamaan.Nilai maksimum dan minimum darifungsi objektif yxz 3 adalah ....a. 18 dan 0b. 18 dan 1c. 18 dan 3d. 18 dan 7e. 7 dan 3
2
1
4
3
y
x
0
1 6
3
y
x
0
LATIHAN MANDIRI
161 Program linier
3. Nilai minimum fungsi objektif yxyxf 23),( dari daerah yang diarsiradalah ....
a. 12b. 13c. 16d. 17e. 27
4. Nilai maksimum dari fungsi objektif yxz 500.4000.5 pada daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan linier
0,0;183;10 yxyxyx adalah ....a. 30.000b. 45.000c. 47.000d. 50.000e. 55.000
5. Nilai minimum 5128 yxz yang memenuhi sistem pertidaksamaanlinier berikut, dengan syarat 0,0;20;420 yxxyxyadalah ....a. 25b. 45c. 65d. 85e. 105
6 9
8
y
x
0
6
162 Program linier
6. Sebuah perusahaan pengembang ingin membangun perumahan di atastanah seluas 80 hektar. Jumlah rumah yang akan dibangun terdiri atasdua tipe rumah, yaitu tipe melati dan mawar dengan masing-masing luastanah 200m2 dan 100m2. Banyak rumah yang akan dibangun tidak lebihdari 5.000 buah. Jika banyak rumah tipe melati x dan tipe mawar y buah,maka x dan y harus memenuhi syarat-syarat :a. 0,0;000.800100200;000.5 yxyxyxb. 0,0;000.800100200;000.5 yxyxyxc. 0,0;000.800200100;000.5 yxyxyxd. 0,0;000.800200100;000.5 yxyxyxe. 0,0;000.800100200;000.5 yxyxyx
7. Seorang pedagang sepeda hendak membeli 2 jenis sepeda dengan hargamasing-masing Rp.30.000,00 untuk jenis I perbuahnya dan Rp.40.000,00untuk jenis II perbuahnya. Modal yang tersedia sebesar Rp.840.000,00dan daya tampung tokonya tak lebih dari 25 buah sepeda. Apabila iamengharapkan keuntungan sebesar Rp.12.500,00 dan Rp.13.000,00untuk tiap jenis perbuahnya maka keuntungan maksimal akan tercapaiapabila ia membeli sepeda jenis I dan jenis II berturut-turut sebanyak ....a. 9 dan 16b. 15 dan 10c. 10 dan 10d. 16 dan 9e. 13 dan 12
8. Sebuah pesawat udara mempunyai 50 buah tempat duduk. Setiappenumpang kelas utama bagasinya maksimum 40 kg dan setiappenumpang kelas ekonomi bagasinya maksimum 20 kg. Pesawat ituhanya dapat membawa bagasi yang beratnya 1.200 kg. Jika tiket untuksetiap penumpang kelas utama Rp.400.000,00 dan untuk kelas ekonomiRp.300.000,00. pendapatan maksimum untuk satu kali penerbanganadalah ....a. Rp.20.000.000,00b. Rp.16.000.000,00c. Rp.15.000.000,00d. Rp.14.000.000,00e. Rp.12.000.000,00
163 Program linier
9. Harga tiket bus jakarta – bogor untuk kelas ekonomi Rp.25.000,00 dankelas eksklusif Rp.65.000,00. Jika dari 200 tiket yang terjual diperolehuang Rp.9.600,00, maka banyaknya penumpang kelas ekonomi daneksklusif masing-masing adalah ....a. 75 orang dan 125 orangb. 80 orang dan 120 orangc. 85 orang dan 115 orangd. 110 orang dan 90 orange. 115 orang dan 85 orang
10. Seorang pedagang membeli jeruk seharga Rp.1.200,00/buah dijualdengan laba Rp.300,00/buah. Sedangkan apel seharga Rp.1000,00/buahdijual dengan laba Rp.200,00/buah. Pedagang tersebut mampunyaimodal Rp.340.000,00 dan kiosnya dapat menampung 300 buah, makakeuntungan maksimum pedagang tersebut adalah ....a. Rp.75.000,00b. Rp.78.000,00c. Rp.80.000,00d. Rp.83.000,00e. Rp.85.000,00
106 Suku banyak
5. Suku banyak1. Bentuk umum suku banyak :
012
21
1 ... axaxaxaxa nn
nn
nn
Dengan : a = konstantan = bilangan cacah
suku banyak sering dinyatakan dengan )(xf atau )(xpContoh :1. Diketahui suku banyak 76325)( 23456 xxxxxxxf ,
maka nilai 1, nn aa , ... , 01 , aa adalah ....Penyelesaian :Karena 6x maka dimulai dari 6a sampai 0a :
56 a , 25 a , 34 a , 13 a , 12 a , 61 a , 70 a
2. Diketahui suku banyak 53)( 235 xxxxf , maka nilai
1, nn aa , ... , 01 , aa adalah ....Penyelesaian :Karena 5x maka dimulai dari 5a sampai 0a :
15 a , 04 a , 33 a , 12 a , 01 a , 50 a2. Menentukan hasil bagi dan sisa dari suku banyak dapat dilakukan dengan
pembagian berekor atau bisa juga dengan metode Hörner.Jika suku banyak )(xf dibagi dengan )( ax maka a merupakanpembagi untuk metode Hörner, dan jika )(xf dibagi oleh pembagiberderajat nmaka sisanya berdejat n – 1
MATERI
107 Suku banyak
3. Teorema sisaJika suku banyak )(xf dibagi dengan )( ax maka sisanya adalah
)(af , sehingga suku banyak bisa ditulis dalam bentukSxHaxxf )(.)()( .
Dengan : )( ax = Pembagi)(xH = Hasil bagi
S = Sisa pembagian, dimana qpxafS )(4. Teorema faktor
Suku banyak )(xf mempunyai faktor )( ax jika dan hanya jika0)( af
108 Suku banyak
1. Hasil bagi dan sisa dari suku banyak 424)( 23 xxxxf jikadibagi 1x adalah ....Penyelesaian :Cara I :
Jadi hasil baginya adalah 352 xx dan sisanya adalah 7Cara II :
Jadi hasil pembagiannya adalah 352 xx bersisa 7Buktikan bahwa 7)1( f
1x
352 xx
424 23 xxx23 xx
425 2 xxxx 55 2
_
_
_
43 x33 x
7
yang dibagi
sisa
hasil bagi
pembagi
11 4 -2 4
1 5 3
751 3
x3x2 x1 x0
x2 x1 x0
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
109 Suku banyak
2. Suku banyak 653)( 234 xxxxxf jika dibagi oleh 22 xx ,sisanya adalah .... UAN 2004a. 816 xb. 816 xc. 168 xd. 168 xe. 248 xPenyelesaian :
Jadi sisa pembagian suku banyak adalah 168 xAtau bisa juga dengan teorema sisa :Misalkan 653)( 234 xxxxxf jika dibagi oleh 22 xxsisanya adalah qpx maka :
22 xx = )2)(1( xxUntuk )1( x → qpf )1(
qp 61)1(5)1(3)1( 234
qp 71531qp 8 ..................................... 1)
Untuk )2( x → qpf 2)2(
qp 262)2(5)2(3)2( 234
qp 24202416qp 232 ..................................... 2)
Dari 1) dan 2) eliminasi q
22 xx
522 xx
653 234 xxxx234 2xxx
632 23 xxxxxx 422 23
_
_
_635 2 xx1055 2 xx168 x
110 Suku banyak
qp
qp
232
8
p324
p
3
24
p 8Substitusi p = - 8 ke dalam salah satu persamaan di atas :
q )8(8q 88q 88
q16Karena dimisalkan qpx , dan p = - 8 , q = - 16 maka sisanya adalah
168 xJawaban : d
3. Suatu suku banyak bila dibagi )2( x bersisa 11, dan bila dibagi oleh
)1( x bersisa – 4. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh 22 xxbersisa .... UAN 2003a. 5xb. 5xc. 215 xd. 15 xe. 15 xPenyelesaian :
)(xf dibagi )2( x bersisa 11 → 11)2( f)(xf dibagi )1( x bersisa – 4 → 4)1( f
Misalkan : )(xf dibagi 22 xx bersisa qpx )2)(1(22 xxxx
Untuk )1( x → qpf )1(qp 4 .......................................... 1)
Untuk )2( x → qpf 2)2(qp 211 ........................................... 2)
111 Suku banyak
Dari 1) dan 2) eliminasi q
qp
qp
211
4
p315
p
3
15
p5Substitusi p = 5 ke dalam salah satu persamaan di atas :
q 54q 54
q1Karena dimisalkan qpx , dan p = 5 , q = 1 maka sisanya adalah 15 xJawaban : d
4. Suatu suku banyak )(xf dibagi dengan )4( x sisanya 14, dan dibagi
dengan )36( x sisanya2
13 . Jika suku banyak tersebut dibagi dengan
)12276( 2 xx maka sisanya adalah .... UAN 2007. Ba. 23 xb. 263 xc. 65 xd. 65 xe. 345 xPenyelesaian :
)(xf dibagi )4( x sisanya 14 → 14)4( f
)(xf dibagi )36( x sisanya2
13 →
2
13
6
3
f
2
7
2
1
f
)(xf dibagi )12276( 2 xx sisa qpx 12276 2 xx ... x ... = 72
123246 2 xxx ... + ... = 27
112 Suku banyak
)123()246( 2 xxx)4(3)4(6 xxx
)4)(36( xx
Untuk )36( x → qpf
6
3
6
3
qpf
2
1
2
1
qp 2
1
2
7persamaan dikalikan dengan 2
qp 27 ....................................... 1)Untuk )4( x → qpf 4)4(
qp 414 ....................................... 2)Dari 1) dan 2) eliminasi q
qp
qp
qp
qp
2828
27
2
1
414
27
p735
p
7
35
p 5Substitusi p 5 ke dalam salah satu persamaan di atas
q2)5(7 q257 q257
q212
q
2
12
q 6Karena dimisalkan qpx , dan p = - 5 , q = - 6 maka sisanya adalah
65 xJawaban : d
113 Suku banyak
5. Jika )(xf dibagi dengan )2( x sisanya 24, sedangkan jika )(xf dibagidengan )32( x sisanya 20. Jika )(xf dibagi dengan )32)(2( xxsisanya adalah .... UAN 2007. Aa. 88 xb. 88 xc. 88 xd. 88 xe. 68 xPenyelesaian :
)(xf dibagi )2( x sisanya 24 → 24)2( f
)(xf dibagi )32( x sisanya 20 → 202
3
f
)(xf dibagi )32)(2( xx sisanya qpx Untuk )2( x → qpf 2)2(
qp 224 ......................................... 1)
Untuk )32( x → qpf
2
3
2
3
qp 2
320 persamaan dikalikan dengan 2
qp 2340 ........................................ 2)Dari 1) dan 2) eliminasi q
qp
qp
qp
qp
2340
2448
1
2
2340
224
p8Substitusi p8 ke dalam salah satu persamaan di atas
q )8(224q 1624q1624
q8Karena dimisalkan qpx , dan p = 8 , q = 8 maka sisanya adalah 88 xJawaban : a
114 Suku banyak
6. Jika suku banyak bxxaxxxf 532)( 234 dibagi oleh 12 xbersisa 56 x , maka nilai ..... baa. 4b. – 4c. 6d. – 6e. 5
Penyelesaian :)1(:)( 2 xxf bersisa 56 x
)1)(1(12 xxxUntuk )1( x → 5)1(6)1( f
56)1(5)1(3)1()1(2 234 ba15)1(3)1()1(2 ba
1532 ba16 ba
5 ba .................................. 1)Untuk )1( x → 5)1(6)1( f
56)1(5)1(3)1()1(2 234 ba115)1(3)1()1(2 ba
11532 ba114 ba
7 ba .................................. 2)Dari 1) dan 2) eliminasi bmaka
7
5
ba
ba
a2 21a
Substitusi 1a kedalam salah satu persamaan di atas akan diperoleh7 ba → 71 b
6b
115 Suku banyak
Maka nilai 6.1. ba= 6
Jawaban : c7. Salah satu faktor suku banyak 83011)( 23 xxxxp adalah
....UAN 2008. Ba. 1xb. 1xc. 2xd. 4xe. 8xPenyelesaian :Faktor suatu suku banyak ditentukan dari nilai 0a dimana jika )( ax merupakan faktor dari suku banyak )(xp , maka 0)( apFaktor dari 8 : 4,2,8,1
1x → )1(p = 0
8)1(30)1(11)1( 23 = 0830111 = 0
012 1x → )1(p = 0
8)1(30)1(11)1( 23 = 0830111 = 0
050 2x → )2(p = 0
8)2(30)2(11)2( 23 = 0860448 = 0
016 4x → )4(p = 0
8)4(30)4(11)4( 23 = 0812017664 = 0
00 8x → )8(p = 0
8)8(30)8(11)8( 23 = 0
116 Suku banyak
8240704512 = 0040
Jadi yang merupakan faktor adalah )4( xJawaban : d
8. Salah satu faktor suku banyak nxxxxp 1015)( 24 adalah)2( x . Faktor lainnya adalah .... UAN 2008. A
a. 4xb. 4xc. 6xd. 6xe. 8xPenyelesaian :Jika )2( x merupakan faktor dari )(xp , maka 0)2( p
0)2(10)2(15)2( 24 n0206016 n
024 n24n
Sehingga 241015)( 24 xxxxp maka faktornya ditentukan oleh2424 = 6,4,8,3,12,2,24,1
4x → )4(p = 0
24)4(10)4(15)4( 24 = 02440240256 = 0
00 4x → )4(p = 0
24)4(10)4(15)4( 24 = 02440240256 = 0
080 6x → )6(p = 0
24)6(10)6(15)6( 24 = 024605401296 = 0
0840
117 Suku banyak
6x → )6(p = 0
24)6(10)6(15)6( 24 = 024605401296 = 0
0720 8x → )8(p = 0
24)8(10)8(15)8( 24 = 024809604096 = 0
03080 Jadi )4( x merupakan faktor dari )(xpJawaban : a
9. Suku banyak abxxaxxp 2)1()( 23 habis dibagi )2( x ,dibagi )2( x sisanya – 4. Jika )(xp dibagi )1( x maka hasil bagi dansisanya berturut-turut adalah ....a. 8232 danxx b. 8232 danxx c. 8232 danxx d. 8232 danxx
e. 8232 danxxPenyelesaian :
)(xp habis dibagi )2( x artinya : )2( x merupakan faktor dari )(xpSehingga 0)2( p
02)2()2)(1()2( 23 aba022)1(48 aba
022448 aba0422 ba
422 ba2 ba ......................................... 1)
)2(:)( xxp bersisa – 4 maka 4)2( p
42)2()2)(1()2( 23 aba422)1(48 aba
118 Suku banyak
422448 aba41222 ba
1622 ba8 ba ...................................... 2)
Dari 1) dan 2) eliminasi a
8
2
ba
ba
b2 = 10b = - 5
Substitusi 5b kedalam salah satu persamaan di atas, maka akandiperoleh
8 ba85 a
3 a3a
Karena 3a dan 5b maka)3(2)5()13()( 23 xxxxp
652)( 23 xxxxpSehingga )(xp dibagi )1( x
Jadi hasil pembagiannya adalah 232 xx dan sisanya adalah – 8Jawaban : a
1x
232 xx
652 23 xxx23 xx
653 2 xxxx 33 2
_
_
_
62 x22 x
8
119 Suku banyak
1. Suku banyak )(xf jika dibagi )1( x sisanya 1, dan jika dibagi )23( x
sisanya – 2. Jika suku banyak )(xf dibagi 253 2 xx , maka sisanyaadalah ....a. 89 xb. 89 xc. 109 xd. 109 xe. 109 x
2. Sisa pembagian polinom )(xf oleh )12( x adalah – 1, dan bila dibagi
oleh )4( x bersisa 8. Sisa pembagian )(xf oleh )472( 2 xxadalah ....a. x3b. x2c. 23 xd. 32 xe. 32 x
3. Diketahui )1( x adalah faktor dari 35)1()( 23 xxpxxf .Nilai dari p adalah ....a. – 10b. – 3c. 4d. 8e. 10
4. Diketahui )1( x adalah faktor dari suku banyak
222)( 234 xpxxxxf , salah satu faktor lainnya adalah ....a. 2xb. 2xc. 1xd. 3xe. 3x
LATIHAN MANDIRI
120 Suku banyak
5. Suku banyak 2)( 23 bxaxxxf habis dibagi )1( x . Jika dibagioleh )2( x bersisa – 36, maka nilai .... baa. 5b. 6c. 7d. 8e. 9
6. Suatu suku banyak )(xf dibagi )2( x sisanya 3, dan jika dibagi
)4( 2 x sisanya )2( px . Nilai p yang tepat adalah ....a. – 3b. – 2c. – 1d. 1e. 2
116 Sistem persamaan linier
6. System Persamaan Linier (SPL)A. Penyelesaian SPL
1. Substitusi2. Eliminasi3. Determinan4. Matriks
B. Bentuk Umum SPL1. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
222
111
cybxa
cybxa
Dengan cba ,, merupakan konstantaContoh :1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier
823
2
yx
yxadalah
Penyelesaian :Cara Substitusi :
2 yx ..................... 1)823 yx ..................... 2)
Dari persamaan 2 yx → xy 2Substitusi y ke dalam pesamaan ke dua, diperoleh :
8)2(23 xx8243 xx
84 x4x
Substitusi nilai x kedalam persamaan xy 2 , diperoleh :42 y
2y
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 4,2
MATERI
117 Sistem persamaan linier
Cara Eliminasi :2 yx ..................... 1)
823 yx ..................... 2)Dari 1) dan 2) eliminasi x, diperoleh :
823
633
1
3
823
2
yx
yx
yx
yx
y = 2Dari 1) dan 2) eliminasi y, diperoleh :
823
422
1
2
823
2
yx
yx
yx
yx
x = 4x = 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 4,2Cara III : Gabungan antara Eliminasi dan substitusi
2 yx ..................... 1)823 yx ..................... 2)
Dari 1) dan 2) eliminasi y, diperoleh :
823
422
1
2
823
2
yx
yx
yx
yx
x = 4x = 4
Substitusi x = 4 ke dalam salah satu persamaan di atas,diperoleh :
2 yx24 y
2y
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 4,2
Catatan: ketiga cara yang dipergunakan ternyata yang lebih mudah adalahmenggabungkan metode eliminasi dan substitusi (cara III).
118 Sistem persamaan linier
2. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
Dengan dcba ,,, merupakan konstantaContoh :
1. Himpunan penyelesaian SPLTV
92
16323
2525
zyx
zyx
zyx
adalah
....Penyelesaian :
2525 zyx ................ 1)16323 zyx ................ 2)
92 zyx ............... 3)Dari 1) dan 2), eliminasi z , diperoleh
32646
756315
2
3
16323
2525
zyx
zyx
zyx
zyx
x21 y = 107 ........ 4)Karena 1) dan 2) eliminasi z maka 2) dan 3) juga harus yangdieliminasi adalah z. Dari 2) dan 3) eliminasi z, diperoleh :
27336
16323
3
1
92
16323
zyx
zyx
zyx
zyx
x9 y = 43 ........ 5)Dari 4) dan 5), eliminasi y, diperoleh :
439
10721
yx
yx
x30 = 1505x
+
+
+
119 Sistem persamaan linier
Substitusi 5x ke dalam persamaan 4) atau 5). Dipilihpersamaan 5) diperoleh :
439 yx43)5(9 y
4345 y2 y
2ySubstitusi 5x dan 2y kedalam persamaan 1), 2) atau3). Dipilih persamaan 1) diperoleh :
2525 zyx2522)5(5 z
252225 z25223 z
22 z1z
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 1,2,53. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat (SPLK)
kuadratberbentukpersamaancxbxay
linierberbentukpersamaanbxay
222
22
111
Dengan cba ,, merupakan konstanta
0
0
22222
22
2
111
fyexdxycybxa
cybxa
Contoh :
1. Himpunan penyelesaian SPLK
23
12 xxy
xyadalah ....
Penyelesaian :1 xy persamaan berbentuk linier
232 xxy persamaan berbentuk kuadrat
120 Sistem persamaan linier
Substitusi persamaan berbentuk linier ke dalam persamaanberbentuk kuadrat, diperoleh :
231 2 xxx1230 2 xxx
340 2 xx atau0342 xx ... x ... = 3
0)3)(1( xx ... + ... = - 41x atau 3x
Substitusi 1x atau 3x ke dalam persamaan linier,diperoleh :Untuk 1x → 11y
0y → )0,1(Untuk 3x → 13y
2y → )2,3(
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 2,3,0,1
2. Himpunan penyelesaian SPLK
025
0122 yx
yxadalah ....
Penyelesaian :01 yx bentuk linier
02522 yx bentuk kuadrat implisitDari bentuk linier 01 yx → xy 1Substitusi xy 1 ke dalam persamaan kuadrat implisit,diperoleh :
025)1( 22 xx
02521 22 xxx0251222 xxx
02422 2 xx0122 xx ... x ... = - 12
0)4)(3( xx ... + ... = - 13x atau 4x
121 Sistem persamaan linier
Substitusi nilai 3x atau 4x ke dalam persamaanlinier :Untuk 3x → )3(1 y
31y4y → )4,3(
Untuk 4x → 41y3y → )3,4(
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah )3,4(),4,3( 4. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
222
22
112
11
cxbxay
cxbxay
Contoh :
Himpunan penyelesaian dari SPLKK
3
122
2
xxy
xyadalah ....
Penyelesaian :12 2
1 xy
322 xxy
Jika 21 yy maka, diperoleh :
312 22 xxx0312 22 xxx
022 xx ... x ... = - 20)1)(2( xx ... + ... = 1
2x atau 1xSubstitusikan nilai 2x atau 1x ke dalam salah satupersamaan kuadrat maka, akan diperoleh :Untuk 2x → 1)2(2 2 y
1)4(2 y18 y
9y → )9,2(
122 Sistem persamaan linier
Untuk 1x→
1)1(2 2 y1)1(2 y
12 y3y → )3,1(
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah )3,1(),9,2(
1. Diketahui SPLDV
044
223
yx
yx. Nilai dari ....2 yx UAN 2003
a. 6b. 5c. 4d. 3e. 2Penyelesaian :
044
446
1
2
044
223
yx
yx
yx
yx
x2 = 42x
Substitusi 2x ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh :22)2(3 y
226 y42 y
2ySehingga nilai yx 2 = )2(22
= 42 = 6
Jawaban : a
+
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
123 Sistem persamaan linier
2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel :
211
0132
4111
yz
zyx
zyx
adalah .... UAN 2004
a. {2, 1, - 1}b. {- 2, 1, 1}
c.
1,1,
2
1
d.
1,1,
2
1
e.
1,1,
2
1
Penyelesaian :
4111
zyx........................ 1)
0132
zyx........................ 2)
211
yz........................ 3)
Misalkan :
ux
1
vy
1
124 Sistem persamaan linier
wz
1
Maka sistem persamaannya dapat dirubah kedalam bentuk :
4111
zyx........................ 1)
011
.31
.2 zyx
........................ 2)
211
yz........................ 3)
Sehingga menjadi :4 wvu ........................ 1)
032 wvu ........................ 2)2 vw ........................ 3)
Karena pada persamaan 3) tidak ada variabel u maka pada persamaan 1)dan 2) perlu dieliminasi variabel u, maka dari 1) dan 2) diperoleh :
032
8222
1
2
032
4
wvu
wvu
wvu
wvu
wv 35 = 8 atauvw 53 = 8 ........... 4)
Dari 3) dan 4), eliminasi w diperoleh :
853
633
1
3
853
2
vw
vw
vw
vw
22 v1v
Substitusi v = 1 ke dalam salah satu persamaan di atas akan diperoleh :21 w
1wSubstitusi v = 1 dan 1w kedalam salah satu persamaan 1), 2) atau 3).Jika disubstitusi pada persamaan 1) maka akan diperoleh :
4)1(1 u42 u
125 Sistem persamaan linier
2u
Karena dimisalkanx
u1 ,
yv
1 ,
zw
1 maka :
xu
1
yv
1
zw
1
x
12
y
11
z
11
12 x 1y 1 z
2
1x 1z
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
1,1,
2
1
Jawaban : c
3. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan
0
32
632
zyx
zyx
zyx
adalah
....UAN 2006a. – 3b. – 2c. – 1d. 1e. 2Penyelesaian :
632 zyx ......................... 1)32 zyx ......................... 2)0 zyx ......................... 3)
Karena yang ditanya nilai x maka x tidak perlu dieliminasi agar langkahpenyelesaiannya lebih singkat. Dari 1) dan 2), eliminasi z diperoleh :
9336
632
3
1
32
632
zyx
zyx
zyx
zyx
126 Sistem persamaan linier
x7 + y5 = 3 .......... 4)Karena pada persamaan 1) dan 2) telah dieliminasi z maka padapersamaan 2) dan 3) juga dieliminasi z, akan diperoleh :
0
32
zyx
zyx
x + y2 = 3 .................... 5)Dari 4) dan 5), eliminasi y diperoleh :
15105
61014
5
2
32
357
yx
yx
yx
yx
x9 = - 91x
Jawaban : C4. Andi membeli 3 buku tulis, 1 balpoint dan 2 pensil dengan harga Rp.
17.000,-. Sedangkan Eko membeli 1 buku tulis , 2 balpoint dan 1 pensildengan harga Rp. 13.000,-. Budi membeli 2 buku tulis, 1 balpoint dan 1pensil dengan harga Rp. 12.000,-. Merk barang tersebut ketiganyamembeli di toko yang sama pula. Jika saya ingin membeli 1 buku tulis dan1 balpoint, maka saya harus membayar sebesar .... UAN 2007. Aa. Rp. 4000,-b. Rp. 5000,-c. Rp. 6000,-d. Rp. 7000,-e. Rp. 8000,-Penyelesaian :Misalkan : x = buku tulis
y = balpointz = pensil
Maka model matematika dari persoalan di atas adalah :000.1723 zyx ................................ 1)
000.132 zyx ................................ 2)000.122 zyx ................................ 3)
Yang ditanya adalah .... yx
127 Sistem persamaan linier
Karena yang ditanya nilai x dan y maka x dan y tidak perlu dieliminasi,sehingga dari 1) dan 2), perlu eliminasi z diperoleh :
000.26242
000.1723
2
1
000.132
000.1723
zyx
zyx
zyx
zyx
x – y3 = 000.9 ........ 4)Dari 2) dan 3), eliminasi z diperoleh :
000.122
000.132
zyx
zyx
x + y = 1. 000 ............... 5)Dari 4) dan 5), eliminasi x diperoleh :
000.1
000.93
yx
yx
y2 = 000.8000.4y
Substitusi 000.4y ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh :000.1000.4 x
000.3 x000.3x
Jadi nilai yx = 000.4000.3 = 7.000
Sehingga harga 1 buku tulis dan 1 balpoint adalah Rp. 7.000Jawaban : d
5. Ani, Nia dan Ina pergi bersama-sama ke toko buah. Ani membeli 2 kgapel, 2 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 67.000,-. Nia membeli3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp.61.000,-. Inamembeli 1 kg apel, 3 kg anggur dan 2 kg jeruk harganya Rp.80.000,-.Harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk seluruhnya adalah .... UAN2007. Aa. Rp.37.000,- d. Rp.55.000,-b. Rp.44.000,- e. Rp.58.000,-c. Rp.51.000,-Penyelesian:
128 Sistem persamaan linier
Misalkan : x =1 kg apely =1 kg anggurz =1 kg jeruk
Maka model matematikanya adalah:000.6722 zyx ..................................... 1)
000.613 zyx ..................................... 2)000.8023 zyx ..................................... 3)
Ditanya .... zyxDari 1) dan 2), eliminasi z diperoleh :
000.613
000.6722
zyx
zyx
000.6 yx .......................... 4)Dari 2) dan 3), eliminasi z diperoleh :
000.8023
000.122226
1
2
000.8023
000.613
zyx
zyx
zyx
zyx
5x – y = 42.000 ...... 5)Dari 4) dan 5), eliminasi y diperoleh :
000.425
000.6
yx
yx
x4 = 48.000x = 12.000
Substitusi x = 12.000 ke dalam persamaan 4) atau 5), diperoleh :000.6000.12 y
000.18ySubstitusi x = 12.000 dan 000.18y ke dalam persamaan 1), 2) atau 3)diperoleh :
000.8023 zyx000.802)000.18(3000.12 z
000.802000.54000.12 z000.802000.66 z
000.142 z000.7z
129 Sistem persamaan linier
Jadi nilai zyx = 000.7000.18000.12 = 000.37
Sehingga harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk adalah Rp. 37.000,-Jawaban : a
6. Pada tokoh buku “Murah”, Adi membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensildengan harga Rp.26.000,-. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensildengan harga Rp.21.500,-. Citra membeli 3 buku, dan 1 pensil denganharga Rp.12.500,-. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka iaharus membayar .... UAN 2008.Ba. Rp.5.000,- d. Rp.11.000,-b. Rp.6.500,- e. Rp.13.000,-c. Rp.10.000,-Penyelesaian:Misalkan : x = buku
y = pulpenz = pensil
Model matematikanya adalah :000.26324 zyx ................................ 1)
500.2133 zyx ................................ 2)zx 3 = 12.500 ................................ 3)
Ditanya : ....22 zyKarena pada persamaan 3) variabel y tidak ada maka dari 1) dan 2) perludieliminasi y. Dari 1) dan 2), eliminasi y diperoleh :
000.43266
000.789612
2
3
500.2133
000.26324
zyx
zyx
zyx
zyx
x6 + z7 = 35.000 ..... 4)Dari 3) dan 4), eliminasi x diperoleh :
000.3576
000.2526
1
2
000.3576
500.123
zx
zx
zx
zx
000.105 z000.2z
Substitusi 000.2z ke dalam persamaan 3) atau 4), diperoleh :500.12000.23 x
130 Sistem persamaan linier
300.123 x500.3x
Substitusi 500.3x dan 000.2z ke dalam persamaan 1), atau 2),diperoleh :
500.2133 zyx500.21000.23)500.3(3 y
500.21000.23500.10 y500.21500.123 y
000.93 y000.3y
Jadi nilai zy 22 = )000.2(2)000.3(2 = 000.4000.6 = 10.000
Sehingga yang harus dibayar Dina adalah Rp.10.000,-Jawaban : c
7. Di sebuah swalayan Rina dan Rini membeli apel dan mangga. Rinamembeli 2 kg apel dan 1 kg mangga dengan harga Rp.4.000,00. Rinimembeli 3 kg apel dan 4 kg mangga dengan harga Rp.8.500,00. Harga 1kg apel adalah .... UAN 2008.A. Bahasaa. Rp.750,00b. Rp.875,00c. Rp.1.000,00d. Rp.1.500,00e. Rp.1.750,00Penyelesian:Misalkan : x =1 kg apel
y =1 kg manggaMaka model matematikanya adalah :
000.42 yx500.843 yx
Ditanya nilai x = ....Karena yang ditanya nilai x maka x tidak boleh dieliminasi. Dari 1) dan 2),eliminasi y diperoleh :
131 Sistem persamaan linier
500.843
000.1648
1
4
500.843
000.42
yx
yx
yx
yx
500.75 x500.1x
Jadi nilai x = 1.500Sehingga harga 1 kg apel adalah Rp.1.500,00
8. Nilai z dari sistem persamaan
1353
23822
42
zy
zyx
zyx
adalah .... UAN
2008.A. da. – 2b. 2c. 3d. 7e. 14Penyelesaian :
42 zyx .......................... 1)23822 zyx .......................... 2)
1353 zy .......................... 3)Karena persamaan 3) tidak ada variabel x maka dari 1) dan 2) perlueliminasi x. Dari 1) dan 2), eliminasi x diperoleh :
23822
42
zyx
zyx
199 zy ................. 4)Dari 3) dan 4), eliminasi y diperoleh :
57273
1353
3
1
199
1353
zy
yy
zy
yy
4422 z2z
Jawaban : b
132 Sistem persamaan linier
1. Diketahui sistem persamaan linier
2433
122
12
zyx
zyx
zyx
maka nilai zyx ::
adalah ....a. 2:1:1b. 3:2:1c. 1:2:3d. 9:1:3e. 6:1:6
LATIHAN MANDIRI
133 Sistem persamaan linier
2. Diketahui sistem persamaan linier
012
1
222
yx
zyx
zyx
Nilai y yang memenuhi adalah ....a. – 1b. 1c. – 3d. 5e. – 5
3. Jika ),,( 000 zyx adalah penyelesaian sistem persamaan linier
1
12
3
yx
zy
zx
maka ....000 zyx
a. 3b. 4c. 6d. 8e. 11
4. Diketahui sistem persamaan linier
92
3
15352
zy
zy
zyx
maka himpunan
penyelesaiannya adalah ....a. 16,4,1
b. 16,1,4
c. 4,16,1
d. 1,16,4
e. 1,4,16
134 Sistem persamaan linier
5. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier
4342
213
821
zyx
zx
yx
adalah
zyx ,, . Nilai dari .... zyx
a.12
11
b.12
11
c.12
12
d.12
12
e.12
1
6. Talita membeli 3 buku tulis dan 2 pensil dengan harga Rp.9.500,00. Satriamembeli sebuah buku dan sebuah pensil dengan harga Rp.3.500,00 ditoko yang sama, Cahaya membeli sebuah buku dan 2 pensil, maka Cahayaharus membayar ....a. Rp.3.500,00b. Rp.4.500,00c. Rp.5.000,00d. Rp.6.000,00e. Rp.7.000,00
135 Sistem persamaan linier
7. Harga 3 buah buku dan 2 pensil adalah Rp.9.500,00. Di toko yang samaharga 2 buku dan 5 pensil adalah Rp.10.000,00. Selisih harga sebuah bukudan harga sebuah pensil adalah ....a. Rp.500,00b. Rp.1.000,00c. Rp.1.500,00d. Rp.2.500,00e. Rp.3.500,00
8. A membeli 3 kg mangga, 1 kg jeruk dan 2 kg jambu seharga Rp.62.000,00.B membeli 1 kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 kg jambu seharga Rp.48.000,00.C membeli 2 kg mangga, 1 kg jeruk dan 1 kg jambu seharga Rp.42.000,00.Jika A, B dan C membeli di toko buah yang sama, maka harga 1 kg jerukadalah ....a. Rp.8.000,00b. Rp.10.000,00c. Rp.12.000,00d. Rp.14.000,00e. Rp.16.000,00
219 Transformasi geometri
10. Transformasi Geometri1. jenis-jenis tranformasi
MATERI
220 Transformasi geometri
221 Transformasi geometri 222 Transformasi geometri
2. Komposisi transformasia. Translasi (pergeseran)
Komposisi dua translasi T1 dilanjutkan T2 dapat diganti dengantranslasi tunggal. Misal :
1T =
b
adan 2T =
d
cmaka :
)","(")','('),( 21 yxpyxpyxp TT
)","("),( 21 yxpyxp TT
b. Refleksi (pencerminan) Refleksi dua sumbu yang sejajar terhadap sumbu x
Misalnya :
1M : transformasi refleksi terhadap garis y = h dan
2M : transformasi refleksi terhadap garis y = k, maka :
)","(")'',('),( yxpyxpyxp kyhy atau
)","("),( 21 yxpyxp MM
Refleksi dua sumbu yang sejajar terhadap sumbu yMisalnya :
1M : transformasi refleksi terhadap garis x = h dan
2M : transformasi refleksi terhadap garis x = k, maka :
)","(")'',('),( yxpyxpyxp kxhx atau
)","("),( 21 yxpyxp MM
Refleksi dua sumbu yang saling tegak lurusMisalnya :
1M : transformasi refleksi terhadap sumbu x dan
2M : transformasi refleksi terhadap sumbu y, maka :
)","(")'',('),( yxpyxpyxp yx atau
)","("),( 21 yxpyxp MM
223 Transformasi geometri
Catatan : dua refleksi secara berururtan terhadap sumbu x dansumbu y ekivalen dengan rotasi setengah putaran yang berpusatdi O(0,0)
Refleksi dua sumbu yang saling berpotongan ekivalen dengansebuah rotasi tunggal, dimana :1. Berpusat pada titik potong dua sumbu2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua
c. Rotasi (perputaran)Misalnya :
1 : Rotasi pertama, dan
2 : Rotasi kedua, maka :
)","(")','('),( 21 yxpyxpyxp
)","("),( 21 yxpyxp
d. Komposisi transformasi dengan matriksMisalnya :
1M =
dc
ba, dan 2M =
hg
fe, maka :
21 MM =
hg
fe
dc
ba
dan 12 MM =
dc
ba
hg
fe
Sehingga 21 MM 12 MM
3. Luas bangun suatu hasil transformasi :
Misalnya suatu bangun ditransformasikan dengan matriks
dc
ba
hasilnya 'A dengan luas : AluasbcadA '4. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi :
224 Transformasi geometri
Misalnya persamaan garis 0 cbyax ditrasformasikan oleh matriks
A =
sr
qpdan (x’, y’) adalah peta dari (x, y), maka :
y
xA
y
x 1
'
'
1. Bayangan titik A(x, y) karena refleksi terhadap garis x = - 2, dilanjutkanrefleksi terhadap garis y = 3 dan kemudian dilanjutkan rotasi pusat O
bersudut 2
1radian adalah (- 4, 6). Bayangan tersebut adalah .... UAN
2003a. (2, - 10)b. (2, 10)c. (10, 2)d. (-10, 2)e. (10, -2)Penyelesaian :Titik A(x, y) dirotasikan terhadap garis x = - 2 dilanjutkan refleksi terhadapgaris y = 3 dan kemudian dirotasikan lagi dengan pusat (O, 2/1 ) adalah(-4, 6) maka :
)6,4('")2,("),('),( 232/, AykxAyxAyxA xyO atau )4,6()6,4('),4(")6,4('" 2/,32 xyAyxAyxAA Oyx akan
diperoleh :- 4 = - 6 + y 6 = - 4 - x2 = y 10 = - x
- 10 = xJadi A(- 10, 2)Jawaban : d
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
225 Transformasi geometri
2. 1T adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 090 . 2T adalahtransformasi pencerminan terhadap garis y = - x. Bila koordinat peta titikA oleh transformasi 21 TT adalah A’(8, 2-6), maka koordinat titik Aadalah .... UAN 2004a. (-6, -8)b. (-6, 8)c. (6, 8)d. (8, 6)e. (10, 8)Penyelesaian :
21 TT merupakan transformasi 2T dilanjutkan 1T
1T =
01
10adalah matriks yang bersesuaian dengan rotasi dengan
sudut 090
2T =
01
10adalah matriks yang bersesuaian dengan pencerminan
xy )6,8('),( 21 AyxA TT
01
10
01
10
6
8
y
x
=
)0)(0()1)(1()1)(0()0)(1(
)0)(1()1)(0()1)(1()0)(0(
y
x
=
10
01
y
x
=
))(1())(0(
))(0())(1(
yx
yx
=
y
x
Jadi 8 = x
226 Transformasi geometri
- 6 = - y → 6 = ymaka koordinat titiknya adalah (8, 6)Jawaban : d
3. Persamaan peta kurva 232 xxy karena pencerminan terhadapsumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah ....UAN 2004a. 01893 2 xxy
b. 01893 2 xxy
c. 01893 2 xxy
d. 01893 2 xxy
e. 01892 xxyPenyelesaian :
1M =
10
01
adalah matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu x
2M =
30
03
adalah matriks yang bersesuaian dengan dilatasi pada pusat O dan faktorskala 3
)','('),( 21 yxpyxp MM
'
'
y
x=
30
03
10
01
y
x
=
30
03
y
x
=
y
x
3
3
Diperoleh : 'x = x3 → '3
1x = x
227 Transformasi geometri
'y = y3 → '3
1y = y
Jadi bayangan kurva 232 xxy karena pencerminan terhadapsumbu x dan dilatasi (O, 3) adalah :
'3
1y = 2'
3
13'
3
12
xx
'3
1y = 2''
9
1 2 xx (×9)
'3y = 18'9'2 xx
0 = 18'9''3 2 xxy atau 18'9''3 2 xxy = 0
Jadi bayangannya adalah : 1893 2 xxy = 0Jawaban : a
4. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut 2/ ,dilanjutkan dilatasi (0, 2) adalah 22 yyx . Persamaan kurvasemula adalah .... UAN 2005
a. 42
1 2 xxy
b. 42
1 2 xxy
c. 42
1 2 xxy
d. 12 2 xxy
e. 12 2 xxyPenyelesaian :Misalkan persamaan kurva adalah :
2)2,0(]2/,0[ 2 yyxBA maka
AByyx ]2/,0[)2/1,0(22
228 Transformasi geometri
1M =
2/10
02/1
adalah matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan faktor skala 1/2
2M =
01
10
adalah matriks yang bersesuaian dengan rotasi berpusat di O danbersudut 2/
)','('),( 21 yxpyxp MM
'
'
y
x=
01
10
2/10
02/1
y
x
=
02/1
2/10
y
x
=
x
y
2/1
2/1
yx 2/1' → '2xy xy 2/1' → '2yx
Persamaan semulanya adalah:2)'2('22'2 xxy
2'4'22'2 xxy 2'2'1' xxy
1''2' 2 xxy atau 12 2 xxyJawaban: e
5. Persamaan bayangan kurva 01223 yx oleh transformasi yang
bersesuaian dengan matriks
01
10, dilanjutkan pencerminan
terhadap sumbu x adalah .... UAN 2006a. 01232 yxb. 01232 yx
229 Transformasi geometri
c. 01232 yxd. 01232 yxe. 01232 yxPenyelesaian :
),( yx M )','( yx x )","( yx
),( yx xM )","( yx
01
10adalah matriks transformasi dan,
10
01adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x
'
'
y
x=
10
01
01
10
y
x
=
01
10
y
x
=
x
y
yx 'xy '
Maka persamaan bayangannya adalah:012'2'3 xy atau012'3'2 yx01232 yx
Jawaban: d6. Persamaan bayangan kurva 12 2 xy jika dicerminkan terhadap garis
xy , dilanjutkan dengan rotasi pusat (0,0) sejauh 900 berlawanan arahjarum jam adalah .... UAN 2007. Ba. 12 2 xy
b. 221 xy
230 Transformasi geometri
c. 12 2 xy
d. 12 2 xy
e. 2yPenyelesaian:
),( yx xy )','( yx ]90,[ 0o )","( yx
),( yx 21 MM )','( yx
'
'
y
x=
00
00
90cos90sin
90sin90cos
01
10
y
x
=
01
10
01
10
y
x
=
10
01
y
x
=
y
x
xx ' → 'xx yy ' → 'yy
1)'(2' 2 xy
1'2' 2 xy
12 2 xyJawaban: a
7. Bayangan kurva 32 xy jika dicerminkan terhadap sumbu xdilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah .... UAN2007. Aa. 62/1 2 xy
b. 62/1 2 xy
c. 32/1 2 xy
d. 22/16 xy
231 Transformasi geometri
e. 22/13 xy Penyelesaian:
),( yx x )','( yx )2,0( )","( yx
),( yx 21 MM )","( yx
'
'
y
x=
20
02
10
01
y
x
=
20
02
y
x
=
y
x
2
2
xx 2' → '2/1 xx yy 2' → '2/1 yy
3)'2/1('2/1 2 xy
3'4/1'2/1 2 xy
6'2/1' 2 xy
6'2/1' 2 xy
62/1 2 xyJawaban: d
8. Persamaan bayangan garis 35 xy karena rotasi dengan pusat O(0,0)
bersudut 090 adalah .... UAN 2008. Aa. 035 yxb. 035 yxc. 035 yxd. 035 yxe. 035 yxPenyelesaian:
),( yx ]90,0[ 0
)','( yx
232 Transformasi geometri
'
'
y
x=
)90cos()90sin(
)90sin()90cos(
y
x
=
)90cos()90sin(
)90sin()90cos(
y
x
=
01
10
y
x
=
x
y
yx ' → 'xy xy ' → 'yx
Jadi persamaan bayangannya adalah:3)'(5' yx
3'5' yx03'5' yx035 yx
Jawaban: d9. Persamaan bayangan garis 0234 xy oleh transformasi yang
bersesuaian dengan matriks
11
10dilanjutkan matriks
11
11
adalah .... UAN 2008.Aa. 0478 yxb. 0278 yxc. 022 yxd. 022 yxe. 0225 yxPenyelesaian:
)','('),( 21 yxpyxp MM
233 Transformasi geometri
'
'
y
x=
11
11
11
10
y
x
=
21
01
y
x
=
yx
x
2
xx ' → 'xx yxy 2' → '2 yxy
'2/12/1 yxy Jadi persamaan bayangannya adalah :
02)'(3)'2/12/1(4 xyx02'3'22 xyx
02'2' yx022 yx
Jawaban: c10. Persamaan bayangan garis 0423 yx karena rotasi dengan pusat
O(0,0) sebesar 2/ adalah .... UAN 2008. Ba. 0432 yxb. 0432 yxc. 0432 yxd. 0423 yxe. 0423 yxPenyelesaian:
)','(),( ]2/,0[ yxyx
'
'
y
x=
)2/cos()2/sin(
)2/sin()2/cos(
y
x
=
)2/cos()2/sin(
)2/sin()2/cos(
y
x
234 Transformasi geometri
=
01
10
y
x
=
x
y
yx ' → 'xy xy ' → 'yx
Jadi persamaan bayangannya adalah :04)'(2)'(3 xy
04'2'3 xy → 0423 xy0432 yx
Jawaban: b11. Lingkaran 16)2()1( 22 yx ditransformasikan oleh matriks
01
10dilanjutkan oleh matriks
10
01. Persamaan lingkaran
tersebut adalah .... UAN 2008. Ba. 0112422 yxyx
b. 0112422 yxyx
c. 0114222 yxyx
d. 0112222 yxyx
e. 0112422 yxyxPenyelesaian:
)','('),( 21 yxpyxp MM
'
'
y
x=
10
01
01
10
y
x
=
01
10
y
x
235 Transformasi geometri
=
x
y
yx ' → 'xy xy ' → 'yx
Jadi persamaan bayangannya adalah :16)2'()1'( 22 xy
164'4'1'2' 22 xxyy
165'2'4'' 22 yxyx
011'2'4'' 22 yxyx → 0112422 yxyxJawaban: e
LATIHAN MANDIRI
236 Transformasi geometri
195 vektor
9. Vektor1. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang dan arah
Misalnya : Jika suatu titik A = ),,( 321 aaa dalam ruang (juga pada
bidang) dan O titik pangkal, maka aOA adalah bektor
posisi dari titik A dan dapat ditulis : aOA =
3
2
1
a
a
a
atau
aOA = ),,( 321 aaa atau aOA = kajaia 321 ,dengan panjangnya adalah
23
22
21 )0()0()0( aaaOA
23
22
21 aaa
2. Vektor dapat dijumlahkan dengan aturan jajar genjang atau aturansegitiga :
OBABOA AB = OAOB
=
0
0
0
0
0
0
3
2
1
3
2
1
a
a
a
b
b
b
=
3
2
1
3
2
1
a
a
a
b
b
b
),,( 321 aaaA
),,( 321 bbbB O
MATERI
196 vektor
=
33
22
11
ab
ab
ab
dengan panjang,
AB 233
222
211 )()()( ababab
OBOA =
0
0
0
3
2
1
a
a
a
+
0
0
0
3
2
1
b
b
b
=
3
2
1
a
a
a
+
3
2
1
b
b
b
=
33
22
11
ba
ba
ba
dan misalkanm adalah sebuah konstanta maka am =
3
2
1
am
am
am
2
ba = cos222
baba
cos2 ba =222
baba
cos =ba
baba
2
222
a
b
c
a + b
197 vektor
jika )( ba c, maka )( ba . c = 0
3. Jika aOA = kajaia 321 dan bOB = kbjbib 321 , dan P
terletak diantara AB dengan perbandingan :
AP : PB =m : n atau
n
m
PB
AP
PBmAPn maka
OP = P =nm
OBmOAn
P =nm
BmAn
4. Jika a =
3
2
1
a
a
a
dan b =
3
2
1
b
b
b
maka a . b = 332211 bababa atau
a . b = ),(cos baba dimana : a = 33
22
21 aaa
b = 33
22
21 bbb
),,( 321 aaaA
),,( 321 bbbB
Pn
m
O
198 vektor
sehingga : ),(cos ba =ba
ba
.
.
Jika ),(cos ba = 1 maka a dan b berimpit searah
Jika ),(cos ba = -1 maka a dan b berimpit berlawanan
Jika ),(cos ba = 0 maka a dan b saling tegak lurus, serta a . b = 0
5. Misalkan vektor c merupakan proyeksi ortogonal vektor a pada vektorb
Proyeksi vektor/proyeksi ortogonal : c = bb
ba.
.2
Proyeksi skalar/panjang proyeksi : c =b
ba .
),,( 321 aaaA
),,( 321 bbbB
O ba,
b
O
a
O
a
O
c
Ob
O
199 vektor
1. Proyeksi vektor a = kji 32 pada vektor b = kji 245 adalah.... UAN 2003
a.
2
4
5
2
1
b.
1
4
2
4
1
c.
2
4
5
5
1
d.
3
2
4
2
1
e.
3
2
4
3
1
Penyelesaian :ilustrasi :
a (1, 2, -3)
c
b (5, -4, 2)
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
200 vektor
misalkan proyeksi a pada b adalah c maka :
c = bb
ba.
.2
= )2,4,5(2)4(5
)2,4,5)(3,2,1(2
222
= )2,4,5(41625
6852
= )2,4,5(45
9
= )2,4,5(5
1
atau
= )2,4,5(5
1
Jawaban : c
2. Jika vektor a =
3
2
1
, b =
1
4
5
, c =
1
1
4
, maka nilai dari a + 2 b - 3 c
= .... UAN 2004
a.
8
12
6
b.
2
12
1
c.
2
13
1
201 vektor
d.
8
13
7
e.
8
11
6
Penyelesaian :
a + 2 b - 3 c =
3
2
1
+ 2
1
4
5
- 3
1
1
4
=
3
2
1
+
2
8
10
-
3
3
12
=
323
382
12101
=
2
13
1
Jawaban : c
3. Diketahui vektor u =
1
1
3
, dan vektor v =
2
2
p , jika proyeksi skalar
vektor u pada vektor v sama dengan setegah vektor v , maka nilai padalah .... UAN 2004a. – 4 atau – 2b. – 4 atau 2
202 vektor
c. 4 atau – 2d. 8 atau – 1e. – 8 atau 1Penyelesaian :
Proyeksi skalar vektor u pada v =2
1v
v2
1=
v
vu .
222 222
1 p =
222 22
2
2
1
1
3
p
p
442
1 2 p =44
262
p
p
2
8 2p=
28
8
p
p
22 88 pp = )8(2 p
228 p = p216 28 p = p216 16822 pp = 0
u (3, -1, 1)
v2
1
v (2, p, 2)
203 vektor
822 pp = 0 ... x ... = - 8)2)(4( pp = 0 ... + ... = 2
4p atau 2pJawaban : b
4. Diketahui A (1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C(7, 5, -3). Jika A, B dan C segaris(kolinier), maka perbandingan AB : BC = .... UAN 2005a. 1 : 2b. 2 : 1c. 2 : 5d. 5 : 7e. 7 : 5Penyelesaian :
B =nm
mCnA
Bnm )( = mCnA
1
3
3
)( nm =
3
5
7
3
2
1
mn
nm
nm
nm
33
33
=
m
m
m
n
n
n
3
5
7
3
2
nm
nm
nm
33
33
=
mn
mn
mn
33
52
7
BA C
3
2
1
1
3
3
3
5
7
m n
204 vektor
pilih salah satu persamaan akan diperoleh nilaim : nnm = mn 33 mm 3 = nn 3m4 = n2
n
m=
4
2
n
m=
2
1
nm : = 2:1Jawaban : a
5. Diketahui titik A(1, -3, 0), B(3, 4, 4) dan C(2, -1, 2). Panjang proyeksivektor AB pada vektor AC adalah .... UAN 2006a. 4b. 5c. 6d. 7e. 8Penyelesaian :
Misalkan panjang proyeksi vektor AB pada vektor AC adalah BCmaka :
BC =AC
ACAB .
AB = )04),3(4,13( = (2, 7, 4)
AC = )02),3(1,12( = (1, 2, 2)
B(3, 4, 4)
C(2, -1, 2)A(1, -3, 0)
205 vektor
BC =AC
ACAB .
=222 221
)2,2,1)(4,7,2(
=441
8142
=9
24
=3
24
= 8Jawaban : e
6. Diketahui a = 6, b = 4 dan ba = 72 . Besar sudut antara vektor a
dan b adalah .... UAN 2006a. 030b. 060c. 090d. 0120e. 0150Penyelesaian :
cos =ba
baba
..2
222
a
b a + b
206 vektor
=4.6.2
)72(46 222
=48
)7.4(1636
=48
2852
=48
24
=2
1
cos = cos 060 = 060 = 0180
060 + = 0180 = 0120
Jawaban : D7. Diketahui segitiga dengan titik A(2, 1, 5), B(-2, 3, 2) dan C(1, 0, 3), besar
sudut BAC = .... UAN 2007.Aa. 030b. 045c. 060d. 090e. 0120Penyelesaian :
AC = (1 – 2, 0 – 1, 3 – 5)
A(2, 1, 5) B(-2, 3, 2)
C(1, 0, 3)
207 vektor
= (- 1, - 1, - 2)
AC = 222 )2()1()1(
= 411 = 6
AB = (- 1 – 2, 3 – 1, 2 – 5)= (- 3, 2, - 3)
AB = 222 )3(2)3(
= 949 = 24
cos =24.6
)2)(2()2)(1()4)(1(
=144
424
=12
6
=2
1
cos = cos 060 = 060
Jawaban : c8. Diketahui segitiga ABC, dengan A(-1, 3, 5), B(-4, 7, 4) dan C(1, -1, 1). Jika
vektor u mewakili AB dan v mewakili AC , maka proyeksi vektor u
pada v adalah .... UAN 2007
a. kji2
1
2
3
b. kji2
12
2
3
c. kji 12126
d. kji 22
208 vektor
e. kji 22 Penyelesaian :
AB = u = (- 4 - (-1), 7 – 3, 4 – 5 )= (- 3, 4, -1)
AC = v = (1 – ( - 3), -1 – 3, 1 – 5)= (4, - 4, - 4)
Jika proyeksi vektor u pada v adalah w maka :
w = vv
vu.
.2
= )4,4,2()4()4(2
)4)(1()4)(4()2)(3(2
222
= )4,4,2(16164
41662
= )4,4,2(36
182
= )4,4,2(36
18
= )4,4,2(2
1
= (-1, 2, 2)= kji 22
Jawaban : d
B(-4, 7, 4)
C(1, -1, 1)A(-1, 3, 5)v
uw
209 vektor
9. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2) dan R(-1, 0, 2). Besarsudut PRQ = .... UAN 2007. Aa. 0120b. 090c. 060d. 045e. 030Penyelesaian :
RP = (0 – (-1), 1 – 0, 4 – 2)= (1, 1, 2)
RP = 222 211
= 411 = 6
RQ = (2 – (-1), - 3 – 0, 2 – 2)= (3, -3, 0)
RQ = 222 0)3(3
= 099 = 18
= 2.9
= 2.9
= 23
Q(2, -3, 2)
P(0, 1, 4)R(-1, 0, 2) θ
210 vektor
cos θ =6.23
)2,1,1)(0,3,3(
=123
033
=32.3
00
=36
0
= 0cos θ = cos 090
θ = 090Jawaban : b
10. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2).Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah .... UAN 2007. Aa. kj
b. ki c. ki
d. kji2
1
e. ji 2
1
Penyelesaian :
Misalkan proyeksi ortogonal AB pada AC adalah BD maka :
B(2, 2, 0)
C(0, 2, 2)A(0, 0, 0)
D
211 vektor
BD = ACAC
ACAB.
.2
AB = (2 – 0, 2 – 0, 0 – 0)= (2, 2, 0)
AC = (0 – 0, 2 – 0, 2 – 0)= (0, 2, 2)
AC = 222 220
= 440 = 8
= 2.4
= 2.4
= 22
BD = )2,2,0(.)22(
0402
= )2,2,0(2.4
4
= )2,2,0(8
4
= )2,2,0(2
1
= (0, 1, 1)= kj
Jawaban : a11. Diketahui vektor a = kjit 32 , b = kjit 52 dan c =
kjtit 3 . Jika vektor ( ba ) tegak lurus c maka nilai ....2 t UAN2008.Aa. – 2 atau 4/3
212 vektor
b. 2 atau 4/3c. 2 atau - 4/3d. 3 atau 2e. – 3 atau 2Penyelesaian :
a = (2t, -1, 3)b = (-t, 2, -5)c = (3t, t, 1)
a + b = (2t – t, -1 + 2, 3 – 5)= (t, 1, - 2)
Karena ba c , maka :( ba ) . c = 0(3t, t, 1)(t, 1, -2)= 0
23 2 tt = 0 ... × ... = - 62233 2 ttt = 0 ... + ... = 1
)22()33( 2 ttt = 0)1(2)1(3 ttt = 0
)1)(23( tt = 0
3
2t atau 1t
untuk 1t t2 = 2(-1)= - 2
untuk3
2t t2 = 2(2/3)
= 4/3Jawaban : a
a
b
c
a + b
213 vektor
12. Diketahui a = (x, 2, 4) dan b = (3, 4, 0) panjang proyeksi vektor a padab adalah 2/5. Nilai 2x = .... UAN 2008.Aa. – 1b. – 2c. – 4d. – 6e. – 8Penyelesaian :
Panjang proyeksi vektor a pada b adalah 2/5 maka :
c =b
ba .
5
2=
222 043
)0,4,3)(4,2,(
x
5
2=
0169
083
x
5
2=
25
83 x
5
2=
5
83 x
2(5) = 5(3x + 8)10 = 15x + 40
- 30 = 15x- 2 = x
Nilai 2x = 2(-2)= - 4
b (0, 2, 2)
a (x, 2, 4) c
214 vektor
Jawaban : c13. Jika vektor a = kjix 84 tegak lurus b = kjxix 322 maka nilaix yang memenuhi adalah .... UAN 2008.Ba. – 2 atau 6b. – 3 atau 4c. – 4 atau 3d. – 6 atau 2e. 2 atau 6Penyelesaian :
a = (x, -4, 8)b = (2x, 2x, -3)Karena a b maka :
a . b = 0(x, -4, 8)(2x, 2x, -3) = 0
2x2 – 8x – 12 = 0x2 – 4x – 6 = 0 ... × ... = - 6(x + 2)(x - 6) = 0 ... + ... = - 4x = - 2 atau x = 6
Jawaban : a
14. Diketahui vektor a =
4
3
2
dan b =
3
0
x
. Jika panjang proyeksi vektor
a pada b adalah 4/5, maka salah satu nilai x adalah .... UAN 2008. Ba. 6b. 4c. 2
a(x, -4, 8)
b(2x, 2x, -3)
215 vektor
d. – 4e. – 6Penyelesaian :
Panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5 maka :
c =b
ba .
5
4=
222 30
)3,0,)(4,3,2(
x
x
5
4=
9
12022
x
x
5
4=
9
1222
x
x
4( 92 x ) = 5(-2x + 12)
94 2 x = - 10x + 60
22 94 x = 26010 x
)9(16 2 x = 100x2 – 1200x + 360016x2 + 144 = 100x2 – 1200x + 3600
0 = 84x2 – 1200x + 3456 atau7x2 - 100x + 288 = 0 ... × ... = 20167x2 - 28x - 72 x + 288 = 0(7x2 - 28x) – (72 x - 288) = 07x(x – 4) – 72( x - 4)= 0(7x - 72)(x – 4) = 0
727 x = 0 atau 4x = 0
b (x, 0, 3)
a (- 2, 3, 4) c
216 vektor
7
72x 4x
Jawaban : b
15. Diketahui vektor a dan b dengan a = 3, b = 5 dan ba = 19 .
Besar sudut antara vektor a dan b adalah ....a. 1350
b. 1200
c. 900
d. 750
e. 600
Penyelesaian :
ba = 19 )( ba = 19
ba = 19
a + b = 19
cos θ =ba
baba
..2
222
= 5.3.2
1953 22
=5.6
19259
=30
15
=2
1
cos θ = cos 600
θ = 600
Jawaban : e
217 vektor
LATIHAN MANDIRI
218 vektor
253 Ruang dimensi tiga
Standar KompetensiLulusan (SKL) III
: Memahami sifat-sifat dan aturan geometridalam menentukan kedudukan titik, garisdan bidang, jarak dan sudut.
Ruang LingkupMateri (RLM)
: Ruang Dimensi Tiga
Operasional RLM : Jarak Sudut
(jarak dan sudut yang sederhana)
PEMETAAN SKL
254 Ruang dimensi tiga
1. Bagian-bagian bangun ruang
a. Sisi : ABEF, CDGH, ABCD, EFGH, ADHE, BCFGb. Rusuk : AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, ADALAH, BC, FG, EHc. Titik sudut : A, B, C, D, E, F, G, Hd. Diagonal ruang : AG, BH, CE, DFe. Diagonal bidang : AH, DE, BG, CF, AC, BD, EG, FH, AF, BE, CH, DG
2. Bentuk-bentuk bangun ruanga. Kubus
Panjang diagonal bidang : 2s
Panjang diagonal ruang : 3sLuas permukaan : 6 Luas alasVolume : 3s
MATERI
255 Ruang dimensi tiga
b. BalokLuas permukaan = )()()(2 tltplp Volume = tlp
c. Limas adalah bangun ruang dengan bentuk alas segi – n dansejumlah sisi tegak berupa segi tiga.Luas permukaan = Luas alas + tegaksisiluas
Volume =3
1Luas alas
d. Kerucut adalah bangun limas yang alasnya berbentuk lingkaranLuas permukaan = Luas alas + luas selimutLuas selimut = rsVolume = Luas alas tinggi
= tr 2
3
1
256 Ruang dimensi tiga
e. Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang (alasdan atap) yang sama, dan saling sejajar.Luas permukaan = 2 luas alas + luas bidang tegakVolume = luas alas tinggi
f. TabungLuas permukaan = 2 × Luas alas + Luas selimutLuas selimut = keliling lingkaran × tinggi
= rt2Volume = luas alas × tinggi
= tr 2
257 Ruang dimensi tiga
g. BolaLuas permukaan = 24 r
Volume = 3
3
4r
3. Kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruanga. Jarak Jarak antara dua titik
Jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan bidang
258 Ruang dimensi tiga
Jarak antara dua garis yang sejajar
Jarak antara dua garis yang bersilangan
Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
Jarak antara dua bidang yang sejajar
259 Ruang dimensi tiga
b. Proyeksi Proyeksi titik pada garis
B adalahproyeksi titik Apada garis g
Proyeksi titik pada bidang'AB adalah proyeksi
dari AB pada bidangPQRS
c. SudutSudut antara garis dan bidang
Titik B’ adalah proyeksititik B pada bidangPQRS dan 'AB adalahproyeksi dari AB padabidang PQRS, maka (g, bidang PQRS) = (BA,AB’)
4. Segi tiga sebarang dan lingkarana. Aturan sinus
∆ ADC, sin A =AC
CD↔ CD = b sin A .......................... 1)
260 Ruang dimensi tiga
∆ BCD, sin B =BC
CD↔ CD = a sin B .......................... 2)
Dari 1) dan 2)
a sin B = b sin A (BA sinsin
1 )
BA
Ab
BA
Ba
sinsin
sin
sinsin
sin
B
b
A
a
sinsin .......................... 3)
∆ ABE, sin A =AB
BE↔ BE = c sin A .......................... 4)
∆ BCE, sin C =BC
BE↔ BE = a sin C .......................... 5)
Dari 4) dan 5)
c sin A = a sin C (CA sinsin
1 )
CA
Ca
CA
Ac
sinsin
sin
sinsin
sin
A
a
C
c
sinsin .......................... 6)
Dari 3) dan 6)
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
b. Aturan cosinus
Misalnya AD = x maka BD = c – x
A B
C
D c
b a
c-xx
261 Ruang dimensi tiga
∆ ACD, AD2 = AC2 – AD2
= b2 – x2 ............. 1)∆ BCD, AD2 = BC2 – BD2
= a2 – (c – x)2
= )2( 222 xcxca = 222 2 xcxca ............. 2)
Dari 1) dan 2)b2 – x2 = 222 2 xcxca
b2 = cxca 222 ataua2 = cxcb 222 .......... 3)
∆ ADC, cos A =AC
AD
b
xA cos
xAb cos .......... 4)Dari 3) dan 4)
a2 = b2 + c2 – 2c(b cos A)= b2 + c2 – 2bc cos A
Dengan cara yang sama akan diperoleh :
c. Lingkaran Keliling lingkaran = r2
Luas lingkaran = 2r
Panjang busur AB = r
2360
Luas juring AOB = 2
360r
a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C
262 Ruang dimensi tiga
1. Diketahui segi tiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm, dan BCA=1200. Keliling segi tiga ABC = .... ?a. 14 cmb. 15 cmc. 16 cmd. 17 cme. 18 cmPenyelesaian:
Cabbac cos2222 0222 120cos5..257 xx
xx 52549 2 xx 524 2
02452 xx(x – 8)(x – 3) = 0
8x atau 3xKarena jarak selalu positif, maka dipilih 3xKeliling = 5 + 7 + 3
= 15Jawaban: b
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tegakEH, maka jarak titik P ke garis CF adalah .... UAN 2003a. 20
b. 18
c. 14
d. 12
A B
C
b=5
c=7
a=x1200
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
263 Ruang dimensi tiga
e. 8Penyelesaian:
Jawaban: b
264 Ruang dimensi tiga
3. Pada kubus ABCD. EFGH, α adalah sudut antara bidang ACF danABCD. Nilai sin α = .... UAN 2003
a. 34
1
b. 63
1
c. 24
1
d. 33
1
e. 32
1
Penyelesaian:
Pandang segi tiga BFP
265 Ruang dimensi tiga
4. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A =600. Panjang sisi BC = .... UAN 2004a. cm192
b. cm193
c. cm194
d. cm292
e. cm293Penyelesaian :
266 Ruang dimensi tiga
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A= 100 + 36 – 2(10)(6) cos 600
= 136 – 120 cos 60= 136 – 120 (1/2)= 136 – 60= 76
a = 76
= 194= 194 = 192
Jawaban : a5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. k adalah
titik tengah rusuk ADALAH. Jarak titik k ke garis HC adalah .... UAN2004a. 64
b. 36
c. 24
d. 46
e. 56Penyelesaian :
267 Ruang dimensi tiga
Pandang segi tiga kCHHC = 212
Hk = kC = 22 CDkD
= 22 126 = 180
= 56
Ht = CT = CH2
1
= 2122
1
= 26
kt = 22 CtkC
= 22 )26()56(
= 72180 = 36
Jawaban : b6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi
DE pada bidang BDHF adalah .... UAN 2004a. 22
b. 62
c. 24
d. 64
e. 28Penyelesaian :
268 Ruang dimensi tiga
Pandang segitiga DEPEG = DE = 28 EP = )(
2
1EG
= )28(2
1
= 24
DP = 22 EPED
= 22 )24()28(
= )2.16()2.64(
= 32128 = 96
= 64Jawaban : d
7. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya samapanjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah …. UAN 2004a. 150
b. 300
c. 450
d. 600
e. 750
Penyelesaian :
269 Ruang dimensi tiga
Pandang segitiga ATC, dan misalkanrusuknya adalah x
AC = BD = 2xCos A =
ct
atc
2
222
=2..2
)2( 222
xx
xxx
=2
2
22
2
x
x
=2
1
= 22
1
Cos A = cos 450
A = 450
Jawaban : c8. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal
tersebut melanjutkan perjalanan dengan arah 300 sejauh 60 mil.Jarak terhadap posisi saat kapal berangkat adalah …. UAN 2005a. 3710 mil
b. 730 mil
c. )225(30 mil
d. )325(30 mil
e. )325(30 milPenyelesaian :
270 Ruang dimensi tiga
∟ B = 900 + 300
= 1200
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B= 602 + 302 – 2.60.30 cos 120= 3600 + 900 – 3600 (-1/2)= 4500 + 1800= 6300
b = 6300
= 7.900
= 730Jawaban : b
9. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terhadapbola luar dinyatakan dengan B1 dan bola dalam dinyatakan denganB2. Perbedaan volum bola B1 dan volum bola B2 adalah … UAN 2005a. 1:33
b. 1:32
c. 1:3
d. 1:33
e. 1:23Penyelesaian :
271 Ruang dimensi tiga
TR = a√3TQ = a√2
DO = ½ a√3OM = ½ a
323
4
313
4
2
1
r
r
VB
VB
=3
21
34
32
13
4
)(
)3(
a
a
=
3
3
)1(
3
=1
33
Jawaban : a10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan T
pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah …. UAN2005a. ½ cm
b. 33
1cm
c. 32
1cm
d. 1 cm
e. 33
2cm
Penyelesaian :
272 Ruang dimensi tiga
Pandang segitiga ABTa2 = b2 + t2 – 2bt cos A
= 12 + (√3)2 – 2.1. √3 cos 900
= 1 + 3 - 2√3(0)= 4
a = 2
oA =BT
ATAB.
= 32
1
Jawaban : c11. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q
masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Sudut antaraBD dan bidang BPQE adalah α. Nilai tan α = …. UAN 2005
a. 28
3
b. 24
3
c. 2
d. 22
3
e. 1Penyelesaian :
273 Ruang dimensi tiga
Pandang segitiga BDQ
Jawaban : e12. Suatu lahan berbentuk segitiga dibatasi oleh tonggak A, B dan C. Jika
jarak tonggak A dan C = 12 m, jarak tonggak B dan C = 16 m danbesar sudut ACB = 600, maka jarak tonggak A dan B adalah …. UAN2006a. 134 cm
b. 154 cm
c. 194 cm
d. 314 cm
e. 374 cmPenyelesaian :
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C= 162 + 122 – 2.16.12. cos 600
= 256 + 144 – 192
274 Ruang dimensi tiga
= 208c = 4√13Jawaban : a
13. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika α adalah sudutantara bidang AFH dan bidang CFH, maka cos α = …. UAN 2006
a. 23
2
b. 23
1
c.3
1
d. 23
1
e.3
1
Penyelesaian :
Pandang segitiga AOCAC = AH = AF = FH = CH = CF =4√2OF = ½ FH = ½ (4√2) = 2√2
AO = OC = 22 OFAF =
22 )22()24(
= 24= 2√6
Cos O =ab
oba
2
222
=
)62)(62(2
)24()62()62( 222
=24.2
322424
275 Ruang dimensi tiga
=48
16
=3
1
Jawaban : c14. Diketahui kubus ABCD.EFGH
Jarak bidang AFH dan BDG adalah …. UAN 2007. Ba. 4√2 cmb. 4√3 cmc. 6√2 cmd. 6√3 cme. 8√3 cmPenyelesaian :
Jarak antara bidang AHF dan BDG adalah : CE3
1
CE = 12√3 ↔ t = 3123
1
= 34Jawaban : b
15. Pada suatu kubus ABCD.EFGH, besar sudut antara garis AH danbidang BDHF adalah …. UAN 2007.Ba. 150
b. 300
c. 450
d. 600
e. 900
276 Ruang dimensi tiga
Penyelesaian :
Pandang segitiga ACH & APH:AC = AH = CH = x2AP = DP = ½ AC
= ½ x2
sin H =AH
AP
=2
221
x
x
= ½sin H = sin 300
H = 300
Jawaban : b16. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 40
mil dengan arah 300 dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkanke pelabuhan C sejauh 60 mil dengan arah 1500 dari B. Jarakterdekat dari pelabuhan A dan C adalah .... UAN 2007.Ba. 220 milb. 320 mil
c. 520 mil
d. 720 mil
e. 1120 mil
277 Ruang dimensi tiga
Penyelesaian:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B= 602 + 402 – 2.60.40 cos 60= 3600 + 1600 – 4800 (1/2)= 5200 – 2400= 2800
b = 2800
= 7.400
= 720Jawaban: d
17. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jarak adalahsudut antara CG dengan bidang BDG, maka tan = .... UAN 2008.Aa. 22/1
b. 32/1
c. 2
d. 3
e. 62/1Penyelesaian:
278 Ruang dimensi tiga
Pandang segitiga CGPAC = a2PC = ½ AC
= ½ a2tan =
a
a 22/1
= ½2Jawaban: a
18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm. Jarak titikA ke garis FH adalah .... UAN 2008.Aa. 23 cm
b. 62
3cm
c. 32
3cm
d. 22
3cm
e. 3/2 cmPenyelesaian:
Pandang segitiga AFHHF = AF = AH = 32FP = HP = ½ HF
= 3/2 2
cos F =23
223
=2
1
cos F = cos 600
F = 60
sin F =AF
AP
AP = 32 sin 600
= 32( ½ 3)= 3/2 6
Jawaban: b
279 Ruang dimensi tiga
19. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 600 danABM = 750. Maka AM = .... UAN 2008.Aa. 150 (1 + 3 ) cmb. 150 (2 + 3 ) cmc. 150 (3 + 3 ) cmd. 150 (2 + 6 ) cme. 150 (3 + 6 ) cmPenyelesaian:
MAB + ABM + AMB = 1800
600 + 750 + AMB = 1800
2350 + AMB = 1800
AMB = 450
sin 750 = sin (450 + 300)= sin450cos 300 + cos
450sin300
=
21
21
21
21 .23.2
= 26 41
41
= )26(41
A
a
M
m
B
b
sinsinsin
M
m
B
b
sinsin
00 45sin
300
75sin
b
2
300
)26( 21
41
b
b.221 =
300. )26(41
b =2
)26(75
21
=
2
)26(150
=
2
2
2
)26(150
=
2
)412(150
= )232(75 = 75.2(3 + 1)= 150 (3 + 1)
280 Ruang dimensi tiga
Jawaban: a20. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD jika panjang AB = 10
cm, dan TA = 53 cm, maka nilai tangen sudut antara garis TAdengan bidang ABCD adalah .... UAN 2008.Ba. 1/3b. ½c. 1/3 3d. 1/2 2e. 1/2 6Penyelesaian:
AC = 10 2OA = ½ AC
= ½ (10 2)= 5 2
TO = 22 AOTA
= 22 )25()35(
= 5075 = 25= 5
tan A =AO
TO
=25
5
=2
1
= 22
1
Jawaban: d21. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik
H dan garis AC adalah .... UAN 2008.Ba. 83 cmb. 82 cmc. 46 cm
281 Ruang dimensi tiga
d. 43 cme. 42 cmPenyelesaian:
Pandang segitiga ACHAH = CH = AC = 82AO = OC = ½ AH
= ½ (82)= 42
OH = 22 AOAH
= 22 )24()28(
= 32128 = 96=46
Jawaban: c
282 Ruang dimensi tiga
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudutantara diagonal AG dan bidang alas ABCD adalah , maka sin adalah ....
a. 32
1
b. 22
1
c. 33
1
d. ½
e. 23
1
2. Pada limas beraturan T.ABCD diketahui AB = 12 cm, TD = 10 cm danP adalah titik tengah AB. Nilai cos TPD = ....
a. 510
1
b. 510
2
c. 510
3
d. 510
7
e. 510
9
3. Diketahui PQR dengan sudut P = 150, R = 300 dan PQ = 4 cm.Panjang sisi PR = .... cma. 43b. 42c. 23d. 22e. 2
LATIHAN MANDIRI
283 Ruang dimensi tiga
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudutantara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah , maka sin adalah ....
a. 32
1
b. 22
1
c. 33
1
d. ½
e. 23
1
5. Diketahui ABC dengan A = 450, B = 300 dan BC = 5 cm.Panjang sisi AB = .... cma. )13(25
b. )13(2
5
c. )13(2
5
d. )13(2
e. )13(2
284 trigonometri
Standar KompetensiLulusan (SKL) IV
: Memahami konsep perbandingan, fungsi,persamaan dan identitas trigonometri,melakukan manipulasi aljabar untuk menyusunbukti serta menggunakannya dalam pemecahanmasalah.
Ruang LingkupMateri (RLM)
: Trigonometri
Operasional RLM : Aturan sinus dan kosinus Rumus jumlah dan selisih dua sudut Rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan
tangen Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri
PEMETAAN SKL
285 trigonometri
A. Hubungan sinus, kosinus dan tangen, secan, cosecan dan cotangen
1. sin =r
y y = r sin
2. cos =r
x x = r sin
3. tan =x
y tan =
cos
sin
r
r tan =
cos
sin
4. sec =x
r sec =
cosr
r sec =
cos
1
5. cosec =y
r cosec =
sinr
r cosec =
sin
1
6. cotan =y
x cotan =
sin
cos
r
r cotan =
sin
cos
7. Phytagoras : 222 ryx 22 )sin()cos( rr = r2
r2 cos2 + r2 sin2 = r2
r2 (cos2 + sin2 ) = r2
cos2 + sin2 =2
2
r
r
sin2 + cos2 = 1
ry
x
demi SINsami COSdesa TANGEN
MATERI
286 trigonometri
8. Sec2 =2cos
1
9. Cosec2 =2sin
1
10. sin2 + cos2 = 1
2cos
1
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sin
2
2
cos
11
cos
sin
22 sec1tan B. Menghitung panjang sisi dan luas segitiga sebarang
1. Aturan sinus :C
c
B
b
A
a
sinsinsin
2. Aturan cosinus :a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C
3. Luas segitiga :½ ab sin C
b
A B
C
a
c
287 trigonometri
L = ½ bc sin A½ ac sin B
C. Rumus-rumus trigonometri1. Jumlah dan selisih dua sudut cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
tan (A + B) =A
BA2tan1
tantan
tan (A – B) =A
BA2tan1
tantan
2. sudut ½ A
sin ½ A = 2
cos1 A
= A212cos1
cos ½ A = 2
cos1 A
= A212cos1
tan ½ A =A
A
cos1
cos1
=A
A
cos1
sin
=A
A
sin
cos1
288 trigonometri
3. Sudut rangkap sin 2A = 2 sin A cos A cos 2A = cos2 A – sin2 A
= 2 cos2 A – 1= 1 – 2 sin2 A
4. Perkalian sinus dan kosinus 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
5. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus cos A + cos B = 2 cos 2
1 (A + B) cos 21 (A – B)
cos A – cos B = – 2 sin 21 (A + B) sin 2
1 (A – B)
sin A + sin B = 2 sin 21 (A + B) cos 2
1 (A – B)
sin A – sin B = 2 cos 21 (A + B) sin 2
1 (A – B)D. Grafik fungsi trigonometri
1. )(cos)( bkxaxf 2. )(sin)( bkxaxf
Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri digunakan langkah –langkah sebagai berikut: Gambar grafik xy cos atau xy sin Kalikan semua ordinatnya dengan k Menentukan periode grafik: Untuk sinus dan cosinus : 2 atau 3600
Untuk tangen : atau 1800
Nilai maksimum, jika cos (x - ) = 1
289 trigonometri
k cos (x - )fmaks = k(1) atau k (-1)fmin = k (1) atau k (-1)
Amplitudo (panjang gelombang) = ½ (fmaks – fmin)E. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri
1. Persamaan trigonometria. Persamaan dasar trigonometrib. Persamaan yang dapat difaktorkanc. Persamaan yang berbentuk cxbxa sincos
Dapat dirubah menjadi : k cos (x - ) = c
Dengan k = 22 ba
tan =a
b dapat dicari
2. Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan : Cara menggambar grafik Menggunakan garis bilangan
290 trigonometri
F. Tabel Trigonometri
291 trigonometri
1. Diketahui A adalah sudut lancip dan cos ½ A =x
x
2
1. Nilai sin A adalah
.... UAN 2003
a.x
x 12
b.12 x
x
c. 12 x
d. 12 x
e.x
x 12
Penyelesaian :
sin ½ A =2
cos1 A
= A212cos1
Dengan :
cos ½ A =x
x
2
1
cos2 ½ A =x
x
2
1
jadi :
sin ½ A =x
x
2
11
sin 2A = 2 sin A cos Asin A = 2 sin ½ A cos ½ A
= 2
x
x
x
x
2
1
2
1
= 2
x
x
x
x
2
1
2
1
= 2
2
2
4
1
x
x
= 2
x
x
2
12
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
292 trigonometri
=x
xx
2
)1(2
=x
xx
2
12
=x
x
2
1
=x
x 12
Jawaban : a2. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos3sin 00 xx ,
3600 x adalah .... UAN 2003a. {15, 285}b. {75, 165}c. {105, 195}d. {165, 225}e. {195, 285}Penyelesaian :
00 cos3sin xx = 200 sincos3 xx = 2
a cos x + b sin x = c
k = 22 1)3( = 2
tan =3
1
)(
)(
)cos(
)sin(
x
ykuadran ii
= 33
1
= 1500
2 cos (x – 1500) = 2
cos (x – 1500) = 22
1
a = 3b = 1
c = 2
293 trigonometri
cos (x – 1500) = cos 450 atau cos (x – 1500) = cos 3150
(x – 1500) = 450 + k.3600
x = 1500 450 + k.3600
= 1500 + 450 + k.3600
= 1950 + k.3600 atau= 1500 – 450 + k.3600
= 1050 + k.3600
untuk k = 0x = 1950 atau x = 1050
untuk k = 1x = 5550 atau x = 4650
(x – 1500) = 3150 + k.3600
x = 1500 3150 + k.3600
= 1500 + 3150 + k.3600
= 4650 + k.3600 atau= 1500 – 3150 + k.3600
= - 1650 + k.3600
untuk k = 0x = 4650 atau x = -1650
untuk k = 1x = 8250 atau x = 1950
Karena 0 < x < 360 maka, x yang memenuhi adalah :x = 105 dan x = 195jadi HP = { 105, 195}Jawaban : c
3. Nilai sin 450 cos 150 + cos 450 sin 150 = .... UAN 2004a. ½b. ½ 2c. ½ 3d. 1/3 2e. 3Penyelesaian :sin A cos B + cos A sin B = sin (A + B)sin 450 cos 150 + cos 450 sin 150 = sin (450 + 150)
= sin 600
= ½ 3Jawaban : c
4. Persamaan fungsi grafik di bawah ini adalah .... UAN 2004
294 trigonometri
a. )(cos2 61 xy
b. )(cos2 61 xy
c. )(cos2 31 xy
d. )(cos2 32 xy
e. )(cos2 31 xy
Penyelesaian :
Garfiknya berbentuk y = a cos (kx + b)Dimana : a = 2 dan periodenya ⅓ maka, persamaan grafiknya adalah y =2 cos (x + ⅓)Jawaban : c
5. Penyelesaian pertidaksamaan sin (x – 450) > ½ 3 untuk 3600 xadalah .... UAN 2004a. 75 < x < 105b. 75 < x < 165c. 105 < x < 165d. 0 < x < 75 atau 165 < x < 360e. 0 < x < 105 atau 165 < x < 360Penyelesaian :sin (x – 45) > ½ 3sin (x – 45) > sin 60 atau sin (x – 45) > sin 120
295 trigonometri
Karena 3600 x maka x yang memenuhi adalah :
Titik uji :Untuk interval x < 105x = 90 sin (90 – 45) > ½ 3
sin 45 > ½ 3½ 2 > ½ 3 tidak memenuhi
Untuk interval 105 < x < 165x = 135 sin (135 – 45) > ½ 3
sin 90 > ½ 31 > ½ 3 memenuhi
Untuk interval x > 165x = 180 sin (180 – 45) > ½ 3
sin 135 > ½ 3½ 2 > ½ 3 tidak memenuhi
Jadi daerah yang memenuhi adalah 105 < x < 165atausin (x – 45) > ½ 3sin (x – 45) > sin 60 atau sin (x – 45) > sin 120
165105
296 trigonometri
60 < x – 45 < 120105 < x < 165Jawaban : c
6. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2sin6 00 xx untuk3600 x adalah .... UAN 2004
a. {15,105}b. {75,345}c. {15,195}d. {105,345}e. {75,195}Penyelesaian :
00 cos2sin6 xx = 200 sin6cos2 xx = 2
a cos x + b sin x = c
k = 22 )6()2(
= 62 = 22
tan =2
6
)(
)(
)cos(
)sin(
x
ykuadran i
=2
12
a = 2
b = 6c = 2
297 trigonometri
=2
32
= 3 = 600
22 cos (x – 600) = 2
cos (x – 600) =22
2
cos (x – 600) = 22
1
cos (x – 600) = cos 450 atau cos (x – 600) = cos 3150
Karena 0 < x < 360 maka, x yang memenuhi adalah :x = 15 dan x = 105jadi HP = { 15, 105 }Jawaban : a
7. Nilai x yang memenuhi persamaan031cos.sin2cos32 2 xxx , untuk 00 3600 x adalah ....
UAN 2005a. 150, 300, 900, 2700
b. 150, 300, 2700, 3200
c. 300, 900, 2100, 2700
d. 300, 900, 3200, 3600
e. 300, 900, 2700, 3600
298 trigonometri
Penyelesaian :31cos.sin2cos32 2 xxx = 0
1cos.sin23cos32 2 xxx = 0
12sin)1cos2(3 2 xx = 0
12sin2cos3 xx = 0
xx 2sin2cos3 = -1a cos x + b sin x = c
k = 22 )1()3(
= 13= 2
tan =3
1
)(
)(
)cos(
)sin(
x
ykuadran iv
= 33
1
= 3000
2 cos (2x – 3000) = -1
cos (2x – 3000) =2
1
cos (2x – 3000) = cos 1200 atau cos (2x – 3000) = cos 2400
a = 3b = -1c = -1x = 2x
299 trigonometri
Karena 00 3600 x maka, x yang memenuhi adalah :x = 300, x = 900, x = 2100, dan x = 2700
jadi HP = {300, 900, 2100,2700}Jawaban : c
8. Nilai dari cos 4650 – cos 1650 adalah .... UAN 2006
a. 22
1
b. 32
1
c. 3
d. 62
1
e. 6
300 trigonometri
Penyelesaian :cos A – cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)cos 4650 - cos 1650 = -2 sin ½ (4650+1650) sin ½ (4650 – 1650)
= -2 sin ½ (6300) sin ½ (3000)= -2 sin 3150 sin 1500
= -2
2
12
2
1
= 22
1
Jawaban : a
9. Nilai dari00
00
15cos75cos
15sin105sin
adalah .... UAN 2007.B
a. 3b. -1c. ½d. ½ 3
e. 3
Penyelesaian :sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)cos A – cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)
00
00
15cos75cos
15sin105sin
=)1575(sin)1575(sin2
)15105(sin)15105(cos200
2100
21
002100
21
=)60(sin)90(sin2
)90(sin)120(cos20
210
21
0210
21
=00
00
30sin45sin2
45sin60cos2
301 trigonometri
=2
1
21
= -1
Jawaban : b10. Nilai dari cos 400 + cos 800 + cos 1600 = .... UAN 2007.A
a. 22
1
b. – ½c. 0d. ½
e. 22
1
Penyelesaian :cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)cos 400 + cos 800 + cos 1600 = 2 cos ½ (400 + 800) cos ½ (400 – 800) + cos1600
= 2 cos ½ (1200) cos ½ ( – 400) + cos 1600
= 2 cos 600 cos (– 200) + cos 1600
= 2 cos 600 cos 200 + cos 1600
= 2 (½ ) cos 200 + cos 1600
= cos 200 + cos 1600
= 2 cos ½ (200 + 1600) cos ½ (200 – 1600)= 2 cos ½ (1800) cos ½ ( – 1400)= 2 cos 900 cos (– 700)= 2 . (0) . cos 700
= 0Jawaban : c
11. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x0 + 7 sin x0 – 4 = 0,3600 x adalah .... UAN 2008.A
a. {240,300}b. {210,330}c. {120,240}d. {60,120}
302 trigonometri
e. {30,150}Penyelesaian :cos 2x0 + 7 sin x0 – 4 = 01 – 2 sin2 x0 + 7 sin x0 – 4 = 0- 2 sin2 x0 + 7 sin x0 – 3 = 02 sin2 x0 – 7 sin x0 + 3 = 0
mis: sin x0 = p maka,
2p2 – 7p + 3 = 0 ... x ... = 62p2 – p – 6p + 3 = 0 ... + ... = - 7(2p2 – p) + (– 6p + 3) = 0p(2p – 1) – 3(2p – 1) = 0(p – 3)(2p – 1) = 0p = 3 dan p = ½sin x0 = 3 dan sin x0 = ½tdk memenuhi sin x0 = sin 300 atau
sin x0 = sin 1500
x0 = 300 k.3600
x = 30 + k.360 ataux = 300 - k.3600
untuk k = 0x = 30 atau x = 30untuk k = 1x = 390 atau x = -330
x0 = 1500 k.3600
x = 150 + k.360 ataux = 150 - k.360untuk k = 0x = 150 atau x = 150untuk k = 1x = 510 atau x = - 210
Karena 3600 x , maka nilai x yang memenuhi adalah 30, 150Jadi Hp = {30, 150}Jawaban : e
12. Nilai dari cos 1950 + cos 1050 adalah .... UAN 2008.A
a. 62
1
b. 32
1
303 trigonometri
c. 22
1
d. 0
e. 62
1
Penyelesaian :cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)cos 1950 + cos 1500 = 2 cos ½ (1950 + 1500) cos ½ (1950 – 1500)
= 2 cos ½ (3000) cos ½ ( 900)= 2 cos 1500 cos 450
= 2
2
2
13
2
1
= 62
1
Jawaban : e13. Nilai cos 750 adalah .... UAN 2008.A
a. 264
1
b. 264
1
c. 262
1
d. 262
1
e. 233
1
Penyelesaian :cos 750 = cos (450 + 300)
= cos 450 cos 300 – sin 450 sin 300
=
2
12
2
13
2
12
2
1
304 trigonometri
= 24
16
4
1
= 264
1
Jawaban : b14. Himpunan penyelesaian dari cos 2x0 + 7 sin x0 + 3 = 0, 3600 x
adalah .... UAN 2008.Ba. {0,90}b. {90,270}c. {30,130}d. {210,330}e. {180,360}Penyelesaian :cos 2x0 + 7 sin x0 + 3 = 01 – 2 sin2 x0 + 7 sin x0 + 3 = 0- 2 sin2 x0 + 7 sin x0 + 4 = 02 sin2 x0 – 7 sin x0 - 4 = 0
mis: sin x0 = p maka,2p2 – 7p - 4 = 0 ... x ... = - 82p2 + p – 8p - 4 = 0 ... + ... = - 7(2p2 + p) + (– 8p - 4) = 0p(2p + 1) – 4(2p + 1) = 0(p – 4)(2p + 1) = 0p = 4 dan p = -½sin x0 = 4 dan sin x0 = -½tdk memenuhi, sin x0 = sin 2100 atau sin x0 = sin 3300
305 trigonometri
Karena 3600 x , maka nilai x yang memenuhi adalah 210, 330Jadi Hp = {210, 330}Jawaban : d
15. Nilai dari sin 1050 + sin 150 adalah .... UAN 2008.B
a. 62
1
b. 32
1
c. 22
1
d.2
1
e. 63
1
Penyelesaian :sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)sin 1050 + sin 150 = 2 sin ½ (1050 + 150) cos ½ (1050 - 150)
= 2 sin ½ (1200) cos ½ (900)= 2 sin 600 cos 450
= 2
2
2
13
2
1
= 62
1
Jawaban : a16. Jika tan = 1 dan tan = 1/3 dengan dan sudut lancip, maka sin ( -) = .... UAN 2008.B
a. 53
2
b. 55
1
306 trigonometri
c.2
1
d.5
2
e.5
1
Penyelesaian :
tan = 1 tan =3
1
sin = 22
1sin = 10
10
1
cos = 22
1cos = 10
10
3
sin ( - ) = sin cos - cos sin
=
10
10
12
2
110
10
32
2
1
= 2020
120
20
3
= 2020
13
= 52.20
2
= 55
1
Jawaban : b
307 trigonometri
LATIHAN MANDIRI
308 trigonometri
327 diferensial
2. Diferensial (Turunan)
x
y
=aha
afhafh
)(
)()(lim
0
)(' af =aha
afhafh
)(
)()(lim
0
y' = f’(x) =dx
dy=
dx
df=
h
xfhxfh
)()(lim
0
A. Turunan fungsi aljabar1. f(x) = k f’(x) = 02. f(x) = x f’(x) = 13. f(x) = xn f’(x) = nxn-1
4. f(x) = axn f’(x) = anxn-1
B. Operasi aljabar fungsi turunan1. y = u v y' = u’ v’2. y = u . v y' = u’v + v’u
3. y =v
uy' =
2
''
v
uvvu
y
x
∆y = f (a + h) – f (a)
f (a + h)
f(t)
a + ha
f (a)∆x = (a + h) – a
MATERI
328 diferensial
C. Turunan fungsi trigonometri1. y = sin x y' = cos x2. y = cos x y' = - sin x3. y = tan x y' = sec2 x4. y = sec x y' = sec x tan x5. y = cosec x y' = - cosec x cot x6. y = cot x y' = cosec2 x
D. Aturan rantai1. )()'( xgfo = f’(g(x)).g’(x)
dx
dy=
dx
du
du
dy '' 1unuy n
2. )()'( xhgf oo = f’(g(h(x))).g’(h(x)).h’(x)
dx
dy=
dx
dv
dv
du
du
dy
Suatu fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum jika, turunanpertama adalah nol
E. Persamaan garis singgung menggunakan konsep turunanPersamaan garis singgung pada kurva y = f(x) melalui titik (a, f(a)) adalah y– f(a) = f (a)(x – a)
sin x
cos x
- sin x
- cos x
329 diferensial
1. Suatu garis menyinggung kurva 523 23 xxxy di titik T (1, -3).Persamaan garis singgung tersebut adalah .... UAN 2003a. y = 5x – 7b. y = 5x – 10c. y = 7x – 3d. y = 7x – 5e. y = 7x – 10Penyelesaian :
523)( 23 xxxxf
263)(' 2 xxxf7)1(' f
Karena m = f’(1) maka, m = 7Jadi persamaan garis singgungnya adalah :y – (- 3) = 7 (x – 1)y + 3 = 7x – 7y = 7x – 10Jawaban : e
m = f’(x)
(x, y)
y = f(x)
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
330 diferensial
2. Diketahui g(x) =)(
32
xf
x , f’ adalah turunan pertama dai f dan g’ adalah
turunan pertama dari g. Jika f(1) = f’(1) = 1 maka, g’(x) = .... UAN 2003a. -3b. -1c. 1d. 3e. 4Penyelesaian :
g (x) =)(
32
xf
x g’ (x) =
2)(
)(')32()(2
xf
xfxxf
f (x) = f’(x) = 1 g’ (1) = 2)1(
)1(')3)1(2()1(2
f
ff
=2)1(
)1)(1()1(2
= 3Jawaban : d
3. suatu peluru ditembakan ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskanoleh h(t) = 40t – 5t2 (dalam meter). Tinggi maksimum yang dapatditempuh oleh peluru tersebut adalah .... UAN 2004a. 75 meterb. 80 meterc. 85 meterd. 90 metere. 95 meterPenyelesaian :h(t) = 40t – 5t2 h’(t) = 0
40 – 10t = 040 = 10t4 = t
h(4)= 40 (4) – 5 (4)2
= 160 – 80= 80 meter
Jawaban : b
331 diferensial
4. Turunan pertama dari fungsi5
5)(
x
xxf adalah .... UAN 2004
a.2)5(
10
x
b.2)5(
5
x
c.2)5(
10
x
d.2)5(
5
x
e.2)5(
10
xPenyelesaian :
f (x)=5
5
x
x f’(x) =
2)5(
)5(1)5(1
x
xx
=2)5(
55
x
xx
=2)5(
10
xJawaban : c
5. Turunan pertama dari y = cos2 (2x - ) adalah .... UAN 2004a. -2 sin (4x - 2)b. - sin (4x - 2)c. -2 sin (2x - ) cos (2x - )d. 4 sin (2x - )e. 4 sin (2x - ) cos (2x - )Penyelesaian :y = cos2 (2x - )
= { cos (2x - )}2
Misalnya :u = cos v y = u2
332 diferensial
v = 2x -
du
dy= u2 )2cos(2 x
du
dy
dv
du= - sin v )2sin( x
dv
du
dx
dv= 2
dx
dy=
dx
dv
dv
du
du
dy
= )2()2sin()2cos(2 xx= - 2 {2 cos (2x - ) sin (2x - )}= - 2 {2 sin (2x - ) cos (2x - )}= - 2 {sin 2(2x - )}= - 2 sin (4x - 2)
Jawaban : a6. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar di
bawah ini.
Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah .... UAN2005
a. 16 mb. 18 mc. 20 md. 22 me. 24 mPenyelesaian :Panjang kawat sama dengan keliling persegi panjangKeliling persegi panjang = 120 m
lp 43 = 120l4 = p3120
p
l
l
333 diferensial
l =4
3120 p
Mis, luas persegi panjang adalah L(p)lppL 2)(
)4
3120(2
pp
)3120(2
1pp
)( pL 2
2
360 pp
Maksimum artinya turunan pertamanya harus = 0L ‘(p) = 0
60 – 3p = 060 = 3p20 = p
Jawaban : c7. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam
x jam, dengan biaya perjam )120
8004(x
x ratusan ribu rupiah. Agar
biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu .... UAN2005a. 40 jamb. 60 jamc. 100 jamd. 120 jame. 150 jamPenyelesaian :Biaya total = biaya perjam dikalikan dengan waktuMis : biaya total = B(x)
)(xB = xx
x )120
8004(
= 1208004 2 xxBiaya minimum untuk maksimumkan waktu jika turunan pertamanya = 0
B’(x) = 0
334 diferensial
8x – 800 = 08x = 800
x = 100Jawaban : c
8. Suatu peluru ditembakan vertikal ke atas dengan kecepatan V0 m/t.Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi h(t) = 5 + 20t – 5/4t2. Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah .... UAN2006a. 75 mb. 85 mc. 145 md. 160 me. 185 mPenyelesaian :
Misalkan volumenya V(x) = p l t= (40 – 2x)(25 – 2x)(x)= (1000 - 80x - 50x + 4x2)(x)= 1000x – 130x2 + 4x3
Maksimum berarti : V’(x) = 01000 – 260x + 12X2 = 03x2 - 65x + 250 = 0 ... ... = 7503x2 - 15x – 50x + 250 = 0 ... + ... = - 65(3x2 – 15x) - (50x – 250) = 03x(x – 5) - 50(x – 5) = 0(3x – 50)(x – 5) =0x = 50/3 dan x = 5
Jawaban : b
335 diferensial
9. Turunan dari f(x) = 3 22 )53(cos xx adalah f’(x) = .... UAN 2005a. 2/3 cos -1/3 (3x2 +5x) sin (3x2 + 5x)b. 2/3 (6x + 5) cos -1/3 (3x2 +5x)c. - 2/3 cos -1/3 (3x2 +5x) sin (3x2 + 5x)
d. - 2/3 (6x + 5) tan (3x2 +5x) 3 22 )53(cos xx
e. 2/3 (6x + 5) tan (3x2 +5x) 3 22 )53(cos xx Penyelesaian :
f (x)= 3 22 )53(cos xx
= 31
)53(cos 22 xx
= 31
22 )53cos( xx
= 32
)53cos( 2 xx Misalkan, u = cos (3x2 + 5x) f(x) = u2/3
u = cos v v = 3x2 + 5x
du
dy= 3
1
3
2 u 3
1
)53cos(3
2 2 xxdu
dy
dv
du= - sin v )53sin( 2 xx
dv
du
dx
dv= 6x + 5
dx
dy=
dx
dv
dv
du
du
dy
= )56))(53sin(()53cos(3
2 22 31
xxxxx
=31
)53cos(
))53sin()(56(3
2
2
2
xx
xxx
=31
)53cos(
))53(sin()56(
3
22
2
xx
xxx
336 diferensial
Jawaban : d10. Turunan pertama dari y = (x - 3)(4x - 1)1/2 adalah y’ = .... UAN 2006
a.14
2
x
b.14
52
x
x
c.14
76
x
x
d.142
3
x
x
e.142
52
x
x
Penyelesaian :y = (x – 3)(4x – 1)1/2
misalkan, u = x – 3 u’ = 1v = (4x – 1)1/2
misalkan, w = 4x – 1
v = w1/2 v’ = '.2
121
ww
= )4()14(2
121x
= 2 (4x – 1)-1/2
y’ = u’v + v’u= 1(4x – 1)1/2 + 2 (4x – 1)-1/2 (x – 3)
=14
)3(214
x
xx
=14
6214
x
xx
=14
6214
x
xx
337 diferensial
=14
76
x
x
Jawaban : c11. Salah satu persamaan garis singgung kurva y = x2 + x – 11 di titik yang
berordinat 1 adalah .... UAN 2006a. y = 7x – 2b. y = 7x – 4c. y = 7x – 12d. y = 7x – 20e. y = 7x – 22Penyelesaian :Ordinat 1 artinya y = 1y = x2 + x – 111 = x2 + x – 110 = x2 + x – 12 ... ... = - 120 = (x + 4)(x – 3) ... + ... = 1x = - 4 dan x = 3 (- 4, 1) dan (3, 1)gradien dari y = x2 + x – 11 adalah :
m = y’ = 2x + 1untuk (- 4, 1) m = 2(- 4) + 1 y – 1 = -7(x – (-4))
= -8 + 1 y – 1 = -7x + 28= - 7 y = -7x + 29
Untuk (3,1) m = 2(3) + 1 y – 1 = 7(x – 3)= 6 + 1 y – 1 = 7x - 21= 7 y = 7x - 20
Jawaban : d12. turunan dari y = cos3 (3 -2x) adalah y’ = .... UAN 2007.B
a. 3 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x)b. - 3 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x)c. 6 cos (3 -2x) sin2 (3 -2x)d. - 6 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x)e. 6 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x)Penyelesaian :y = cos3 (3 -2x) y = {cos(3 -2x)}3
misalkan, u = cos v, v = 3 -2x
338 diferensial
y = u3 23udu
dy )23(cos3 2 x
du
dy
u = cos v vdv
dusin )23sin( x
dv
du
v = 3 -2x 2dx
dv
dx
dy=
dx
dv
dv
du
du
dy
= 3 cos2 (3 -2x)(- sin (3 -2x))(-2)= 3 cos2 (3 -2x) 2 sin (3 -2x)= 6 sin (3 – 2x) cos2 (3 – 2x)
Jawaban : e13. Perhatikan gambar !
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapau maksimum jikakoordinat titik R adalah .... UAN 2007.Ba. (1, 2/5)b. (1, 5/2)c. (5/2, 1)d. (1/2, 15)e. (1/2, 15/4)Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y,sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan
339 diferensial
pqpyqx dan luas persegi panjang adalah xy seperti terlihat padagambar di bawah ini :
Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah 5x + 2y
= 10 2y = 10 – 5x atau y =2
510 xdan misalkan luas persegi panjang
xyxL )( . Jika y =2
510 xdisubstitusi ke dalam persamaan
xyxL )( akan diperoleh :
)(xL = x2
510 x
=2
510 2xx
= 2
2
55 xx
Maksimum jika L’(x) = 05 – 5x = 0
5 = 5x1 = x
y =2
510 x
=2
510
= 5/2Jawaban : b
340 diferensial
14. Jika f(x) = sin2 (2x + /6), maka nilai dari f’(0) = .... UAN 2007. Aa. 32b. 2c. 3
d. 32
1
e. 22
1
Penyelesaian :f(x) = sin2 (2x + /6) f(x) = {sin(2x + /6)}2
misalkan u = sin v v = 2x + /6
f’(x) = u2 du
dy= 2u
du
dy= 2 sin (2x + /6)
u = sin v dv
du= cos v
dv
du= cos (2x + /6)
v = 2x + /6 dx
dv= 2
dx
dy=
du
dy
dv
du
dx
dv
= 2 sin (2x + /6). cos (2x + /6). 2= 2 {2 sin (2x + /6). cos (2x + /6)}= 2 {sin 2 (2x + /6)}
f’(x) = 2 sin (4x + /3)f’(0) = 2 sin (4(0) + /3)
= 2 sin /3= 2 sin 600
= 2
3
2
1
= 3Jawaban : c
341 diferensial
15. Perhatikan gambar !
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapau maksimum jikakoordinat titik M adalah .... UAN 2007.Aa. (2, 5)b. (2, 5/2)c. (2, 2/5)d. (5/2, 2)e. (2/5, 2)Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y,sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan
pqpyqx dan luas persegi panjang adalah xy seperti terlihat padagambar di bawah ini :
342 diferensial
Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah 5x + 4y
= 20 4y = 20 – 5x atau y = x4
55 dan misalkan luas persegi panjang
xyxL )( . Jika y = x4
55 disubstitusi ke dalam persamaan xyxL )(
akan diperoleh :
)(xL = x
x
4
55
= 2
4
55 xx
Maksimum jika L’(x) = 0
x2
55 = 0
5 = x2
5
10 = 5xx = 2
y = x4
55
= )2(4
55
=2
55
=2
510
=2
5
Jadi maksimum jika M(2, 5/2)Jawaban : b
343 diferensial
16. Diketahui f(x) =12
32
x
x. Jika f’(x) menyatakan turunan pertama f(x),
maka f(0) + 2 f’(0) = .... UAN 2008. A
a. - 10b. – 9c. – 7d. – 5e. – 3Penyelesaian :
f(x) =12
32
x
x f(0) =
1)0(2
3)0( 2
=1
3
= 3misalkan, u = x2 + 3 u’=2x
v = 2x + 1 v’ = 2
f’(x) =2
''
v
uvvu
=2
2
)12(
)3(2)12(2
x
xxx
=2
22
)12(
6224
x
xxx
=2
2
)12(
622
x
xx
f’(0)=2
2
)1)0(2(
6)0(2)0(2
=2)10(
600
= - 6f(0) + 2 f’(0) = 3 + 2 (- 6)
344 diferensial
= 3 – 12= - 9
Jawaban : b17. Suatu proyek direncanakan selesai dalam waktu x hari dan akan menelan
biaya (3x +x
1200- 60) ribu rupiah. Waktu yang dibutuhkan untuk proyek
tersebut agar biayanya minimum adalah .... UAN 2008.Aa. 10 harib. 20 haric. 30 harid. 60 harie. 80 hariPenyelesaian :
Biaya perhari = (3x +x
1200- 60) ribu rupiah
Waktu = x hariBiaya total B(x) = waktu . biaya perhari
= x (3x +x
1200- 60)
= 3x2 + 1200 – 60x atau= 3x2 – 60x + 1200
Meminimumkan biaya, artinya memaksimumkan waktu :Maksimum jika B’(x) = 0
6x – 60 = 06x = 60
x = 10Jawaban : a
18. Turunan pertama dari y =4
1sin 4x adalah y’ = .... UAN 2008.A
a. – cos 4x
b.16
1 cos 4x
c.2
1 cos 4x
345 diferensial
d. cos 4x
e.16
1cos 4x
Penyelesaian :
y =4
1sin 4x
misalkan,
y =4
1u
du
dy=
4
1
u = sin v dv
du= cos v
dv
du= cos 4x
v = 4x dx
dv= 4
dx
dy=
du
dy
dv
du
dx
dv
=4
1(cos 4x)(4)
=4
1(4) (cos 4x)
= cos 4xJawaban : d
19. Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), makanilai f’(3) = .... UAN 2008.Ba. 85b. 101c. 112d. 115e. 125Penyelesaian :
f(x) = 3x3 + 4x + 8f’(x) = 9x2 + 4f’(3) = 9(3)2 + 4
= 9 (9) + 4
346 diferensial
= 81 + 4= 85
Jawaban : a20. Turunan pertama y = cos (2x + 1) adalah y’ = .... UAN 2008.B
a. – sin (2x + 1)b. – 2 sin (2x + 1)
c.2
1sin (2x + 1)
d. Sin (2x + 1)e. 2 sin (2x + 1)Penyelesaian :y = cos (2x + 1)misalkan u = cos v v = 2x + 1
y = udu
dy= 1
u = cos vdv
du= - sin v
dv
du= - sin (2x + 1)
v = 2x + 1dx
dv= 2
dx
dy=
du
dy
dv
du
dx
dv
= 1{- sin (2x + 1)}{2}= 2{- sin (2x + 1)}= - 2 sin (2x + 1)
Jawaban : b
347 diferensial
1. Pak bambang akan memagari kandang ayam berbentuk persegi panjangyang terletak di samping tembol rumahnya seperti pada gambar di bawahini. Pagar kawat yang tersedia 100 m dan pada sisi tembok tidak diberipagar. Ukuran luas kandang yang maksimum adalah ....a. 725 m2
b. 659 m2
c. 625 m2
d. 500 m2
e. 450 m2
2. Sehelai karton akan dibentuk kotak ABCD.EFGH tanpa tutup, dengan alasABCD persegi. Jika semua jumalh luasnya sama dengan 432 cm2, makavolume kotak terbesar adalah ....a. 432 cm3
b. 649 cm3
c. 720 cm3
d. 864 cm3
e. 972 cm3
3. Jika f(x) = 3 2 )23(sin x maka turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) =....
a.3 )23sin(
)23cos(
x
x
b.3 )23sin(2
)23cos(
x
x
c.3 )23sin(3
)23cos(
x
x
d.3 )23sin(
)23cos(2
x
x
e.3 )23sin(3
)23cos(2
x
x
LATIHAN MANDIRI
348 diferensial
4. Turunan pertama dari f(x) =1
12
x
xadalah f’(x), maka nilai f’(2) adalah ....
a. 4b. 2c. 1d. – 1e. – 2
5. Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 – 9x2 + 5x – 2 di titik yangberabsis 1 adalah ....a. x + 7y + 3 = 0b. x + 7y - 3 = 0c. 7x - y + 3 = 0d. 7x + y - 3 = 0e. 7x + 7y + 3 = 0
6. Diketahui fungsi f(x) = (x + sin 3x) dan g(x) = x2. Jika u(x) = g(f(x)), makaturunan pertama dari u(x) adalah u’(x) = ....a. 2 (x + sin 3x + 3x sin 3x + 3 sin2 3x)b. 2x + 2 sin 3x + 6x cos 3x + 3 sin 6xc. 2x + 6 sin 3x + cos 3xd. 2(x + sin 3x + 3 sin 3x + sin2 3x)e. 2x + 6 sin 3x + 3x cos 3x + sin 3x cos 3x
7. Garis singgung pada parabola y = x2 – 4 yang tegak lurus pada garis y = x +3 dan memotong sumbu y di titik ....a. (0, -13/4)b. (0, -15/4)c. (0, -17/4)d. (0, -19/4)e. (0, -21/4)
354 integral
4. Integral tak tentu & integral tertentu dari fungsi aljabar & fungsitirgonometriA. Integral tak tentu f(x) dx = F(x) + c dx = x + c a dx = a dx = ax + c
axn dx = cxn
a n
1
1 {f(x) g(x)} dx = f(x) dx g(x) dx
B. Integral tertentu
)()()()( aFbFxFdxxf ba
b
a
a
b
b
adxxfdxxf )()(
a
adxxf 0)(
c
b
b
a
c
adxxfdxxfdxxf )()()( , dengan a < b < c
b
a
b
adxxfkdxxkf )()(
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()(
MATERI
355 integral
C. Integral fungsi trigonometri sin x dx = - cos x + c cos x dx = sin x + c sec2 x dx = tan x + c sec x tan x dx = sec x + c cosec x cotan x dx = - cosec x + c
sin (ax + b) dx =a
1 cos (ax + b) + c
cos (ax + b) dx =a
1sin (ax + b) + c
D. Integral substitusi f(x) dx = u du = F(x) + cJika u = g(x), maka f(g(x)).g’(x) dx = F(g(x)) + c
E. Integral parsial u dv = uv - v du
F. Integral tanzalinJika fungsi u turunannya mencapai nol dan integral dari dv ada maka,dapat diselesaikan dengan cara tanzalin.
356 integral
1. Hasil dari 20
2 )sin(cos
dxxx = .... UAN 2003
a. 1/3b. ½c. 1/3 d. ½ e. Penyelesaian :
20cos
x sin2 x dx
Misalkan :u = sin x du = cos x dx
20
2sin
x cos x dx = 20
2
u du
=2
0
3
3
1
u
=2
0
3sin3
1
x
= 203)(sin3
1
x
= 33 )0sin()2/sin(3
1
= 33 )0()1(3
1
=3
1
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
357 integral
Jawaban : a
2. 2
1sin
xx dx = .... UAN 2003
a. Sin x2 + cb. Cos x + cc. Sin 1/x + cd. Cos 1/x + c
e. Cos x2 + cPenyelesaian :
2
1sin
xx dx
Misalkan :
u = sinx
1 u = sin x-1
du =2
1
x dx du = - x-2 dx
- du = x-2 dx sin x-1 x-2 dx = u( – du)
= - u du= - sin x-1d(x-1)= - (- cos x-1) + c= cos x-1 + c
= cosx
1+ c
Jawaban : d3. x2 cos x dx = .... UAN 2003
a. x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + cb. x2 sin x - 2x cos x – 2 sin x + cc. x2 sin x - 2x cos x + 2 sin x + c
358 integral
d. x2 cos x + 2x cos x – 2 cos x + ce. x2 cos x - 2x cos x – 2 cos x + cPenyelesaian : x2 cos x dxmisalnya :u = x2 du = 2xdv = cos x dx v = dv
= cos x dx= sin x
x2 cos x dx = u dv= uv - v du= x2 (sin x) - sin x 2x dx= x2 (sin x) - 2x sin x dx
misalkan :u = 2x du = 2dv = sin x dx v = dv
= sin x dx= - cos x
2x sin x dx = 2x(- cos x) - - cos x 2 dx= - 2x cos x - (- 2 cos x dx)= - 2x cos x + 2 cos x dx= - 2x cos x + 2 cos x dx= -2x cos x + 2 ( sin x) + c= - 2x cos x +2 sin x + c= x2 sin x – (- 2x cos x +2 sin x) + c= x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + c
Atau dengan cara tanzalin :
X2 cos x dx2x20
Sin x- cos x- sin x
Tanda+-+
359 integral
= x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + cJawaban : a
4. Nilai dari 603cos7sin4
dxxx = .... UAN 2004
a. -3/20b. -13/10c. -5/7d. 13/10e. 17/20Penyelesaian :
603cos7sin4
dxxx
= 2 603cos7sin2
dxxx 2 sin A cos B = sin (A + B) sin (A - B)
= 2 60)4sin10(sin
dxxx
= 2 { 6010sin
dxx + 604sin
dxx }
= 26
0
4cos4
110cos
10
1
xx
= - 26
0
4cos4
110cos
10
1
xx
= - 2
)0(4cos
4
1)0(10cos
10
1
64cos
4
1
610cos
10
1
= - 2
0cos
4
10cos
10
1
3
2cos
4
1
3
5cos
10
1
= - 2
0cos
4
10cos
10
1120cos
4
1300cos
10
1
360 integral
= - 2
)1(
4
1)1(
10
1
2
1
4
1
2
1
10
1
= - 2
4
1
10
1
8
1
20
1
= - 2
40
104
40
52
= - 2
40
14
40
3
= - 2
40
17
=20
17
Jawaban : e5. Hasil dari 16 (x + 3) cos (2x - ) dx = .... UAN 2004
a. 8 (2x + 6) sin (2x - ) + 4 cos (2x - ) + cb. 8 (2x + 6) sin (2x - ) - 4 cos (2x - ) + cc. 8 (x + 3) sin (2x - ) + 4 cos (2x - ) + cd. 8 (x + 3) sin (2x - ) - 4 cos (2x - ) + ce. 8 (x + 3) cos (2x - ) + 4 sin (2x - ) + cPenyelesaian : 16 (x + 3) cos (2x - ) dx = 16 (x + 3) cos (2x - ) dx
(x + 3) cos (2x - ) dx10
½ Sin (2x- )¼ cos (2x- )
Tanda+-
= 16 (x + 3) cos (2x - ) dx= 16 [(x + 3) ½ sin (2x - ) + ¼ cos (2x - )] + c= 16 [ ½ (x + 3) sin (2x - ) + ¼ cos (2x - )] + c= 8 (x + 3)sin (2x - ) + 4 cos (2x - )] + c
361 integral
Jawaban : c6. Hasil dari cos5 x dx = .... UAN 2005
a. -1/6 cos6 x sin x + cb. 1/6 cos6 x sin x + cc. - sin x + 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + cd. sin x - 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + ce. sin x + 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + cPenyelesaian : cos5 x dx = cos4 x cos x dx
= ( cos2 x)2 cos x dx= (1 – sin2 x)2 cos x dxmisalkan :u = sin x du = cos x dx= (1 – sin2 x)2 d(sin x)= (1 – 2 sin2 x + sin4 x) d(sin x)= sin x - ⅔ sin3 x + ⅕ sin5 x + c
Jawaban : d
7. Hasil dari dxxx 1
0
2 133 = .... UAN 2005
a. 7/2b. 8/3c. 7/3d. 4/3e. 2/3Penyelesaian :
dxxx 1
0
2 133 = dxxx 1
02
12 133
= dxxx 3131
02
12
misalkan :u = 3x2 + 1 du = 6x dx
3x dx = ½ du
362 integral
= duu2
11
0
2
1
= duu1
0
2
1
2
1
= ½ [ ⅔u3/2 ] 10
= ⅓ [u3/2] 10
= ⅓ [u1/2+2/2 ] 10
= ⅓ [u1/2u ] 10
= ⅓ [ u . u ] 10
= ⅓ [ 13 2 x . (3x2 + 1) ]10
= ⅓ [{ 1)1(3 2 . (3(1)2 + 1)} - { 1)0(3 2 . (3(0)2 + 1)} ]
= ⅓ [{ 4 . (4)} - { 1 . (1)} ]= ⅓ [{2(4)} - {1 (1)} ]=⅓ [8 - 1]=⅓(7)= 7/3Jawaban : c
8. Nilai 20sin2cos
dxxx = .... UAN 2006
a. – 2/3b. – 1/3c. 0d. 1/3e. 2/3Penyelesaian :
20sin2cos
dxxx 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
Cos A sin B = ½ [sin (A + B) – sin (A – B)]= ½ [sin (2x + x) – sin (2x – x)]
363 integral
= ½ [sin 3x – sin x]
= 2
0sin3sin
2
1
dxxx
= 2
0sin3sin
2
1
dxxx
=2
1 2
0
cos3cos3
1
xx
=2
1
)0cos()0(3cos
3
1
2cos
23cos
3
1
=2
1
0cos0cos
3
1
2cos
2
3cos
3
1
=2
1
1)1(
3
10)0(
3
1
= ½ [(0) – (- ⅓ + 3/3)]= ½ [0 – (⅔)]= ½ (-⅔)= - ⅓Jawaban : b
9. Diketahui 50)4)(23(1
t
dppp . Nilai 3t = .... UAN 2007. B
a. 12b. 9c. 6d. 3e. 2Penyelesaian :
t
dppp1
)4)(23( = 50
t
dpppp1
2 )28312( = 50
364 integral
t
dppp1
2 )8103( = 50
tppp 123 85 = 50
{t3 + 5t2 – 8t} – {13 + 5(1)2 – 8(1)} = 50(t3 + 5t2 – 8t) – (1 + 5 – 8) = 50
t3 + 5t2 – 8t – (- 2) = 50t3 + 5t2 – 8t + 2 = 50t3 + 5t2 – 8t - 48 = 0
faktor dari 48 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48karena f(3) = 0 maka, faktornya adalah t = 3jadi nilai 3t = 3.3
= 9Jawaban : b
10. Diketahui 3 2 )123(a
dxxx = 25. Nilai dari ½ a = .... UAN 2007 A
a. – 4b. – 2c. – 1d. 1e. 2Penyelesaian :
3 2 )123(a
dxxx = 25
323axxx = 25
{33 + 32 + 3} – {a3 + a2 + a} = 25{27 + 9 + 3} – a3 - a2 - a = 2539 – a3 - a2 - a = 2514 – a3 - a2 - a = 0a3 + a2 + a – 14 = 0
faktor dari 14 adalah : 1, 2, 7, 14karena f(2) = 0 maka, faktornya adalah a = 2jadi nilai½ a = ½ (2)
= 1
365 integral
Jawaban : d
11. Hasil dari 0
1
532 )2( dxxx = .... UAN 2008 A
a. 85/3b. 75/3c. 63/18d. 58/18e. 31/18Penyelesaian :
0
1
532 )2( dxxx
misalkan :
0
1
253 )2( dxxx
u = x3 + 2 du = 3x2 dxx2 dx = ⅓ du
0
1
5u ⅓ du = ⅓ 0
1
5u du
= ⅓ [⅙u6] 01
= 1/18 [u6] 01
= 1/18 [(x3 + 2)6] 01
= 1/18 [{(03 + 2)6} – {((-1)3 + 2)6}]= 1/18 [(0 + 2)6 – (-1 + 2)6]= 1/18 [26 – 16]= 1/18 [64 – 1]= 1/18 [63]= 63/18
Jawaban : c12. Hasil dari cos2 x sin x dx adalah .... UAN 2008 A
a. ⅓ cos3 x + cb. - ⅓ cos3 x + cc. - ⅓ sin3 x + cd. ⅓ sin3 x + c
366 integral
e. 3 sin3 x + cPenyelesaian : cos2 x sin x dxmisalnya :u = cos x du = - sin x dx
sin x dx = - du cos2 x sin x dx = u2 – du
= - u2 du= - [⅓u3] + c= - [⅓cos3 x] + c= - ⅓ cos3 x + c
Jawaban : b13. Hasil dari sin2 x cos x dx = .... UAN 2008 A
a. ⅓ cos3 x + cb. - ⅓ cos3 x + cc. - ⅓ sin3 x + cd. ⅓ sin3 x + ce. 3 sin3 x + cPenyelesaian : sin2 x cos x dxmisalnya :u = sin x du = cos x dx sin2 x cos x dx = u2 du
= [⅓u3] + c= [⅓ sin3 x] + c= ⅓ sin3 x + c
Jawaban : d
14. Hasil dari 4
1
23 dxx = .... UAN 2008 B
a. 56 ½b. 58 ½c. 60 ½d. 62 ½e. 64 ½
367 integral
Penyelesaian :
4
1
23 dxx =
4
1
2 96)( dxxx
= 4
196 dxxx
=
4
1
2
1
96 dxxx
=4
1
2
32 94
2
1
xxx
=
)1(9)1(4)1(2
1)4(9)4(4)4(
2
1 2
3
2
32
=
)1(9)1(4)1(2
1)4(9)2(4)16(
2
1 2
322
32
=
)1(9)1(4)1(
2
1)4(9)2(4)16(
2
1 33
=
94
2
136328
= (76) -
2
27
=2
27152
=2
125
= 62 ½Jawaban : d
15. Sebuah kurva y = f(x) melalui titik A(2, 0). Jika persamaan gradien di titik A
adalahdx
dy= 2x - 4 maka, persamaan kurva tersebut adalah ....
368 integral
a. f(x) = x2 - 4x – 4b. f(x) = x2 - 4x + 4c. f(x) = x2 + 4x – 4d. f(x) = x2 + 4x + 4e. f(x) = - x2 - 4x + 4Penyelesaian :
dx
dy= 2x - 4
dy = (2x – 4) dx dy = (2x – 4) dxy = x2 – 4x + ckurva melalui titik A(2, 0) artinya0 = (2)2 – 4(2) + c0 = 4 – 8 + c0 = - 4 + c4 = cMaka y = x2 – 4x + 4Jawaban : b
16. Apabila gradien kurva f yang melalui titik (1, 1) diketahui f’(x) = 6x2 + 4,maka rumus fungsi f tersebut adalah ....a. f(x) = -2x3 + 4x + 5b. f(x) = -2x3 + 4x – 5c. f(x) = 2x3 + 4x + 5d. f(x) = 2x3 + 4x – 5e. f(x) = 2x3 - 4x – 5Penyelesaian :f’(x) = 6x2 + 4
dx
dy= 6x2 + 4
dy = (6x2 + 4) dx dy = (6x2 + 4) dxy = 2x3 + 4x + ckurva melalui titik A(1, 1) artinya
369 integral
1 = 2(1)3 + 4(1) + c1 = 2 + 4 + c1 = 6 + c- 5 = cMaka y = 2x3 + 4x - 5Jawaban : d
17. Diketahui kecepatan suatu benda ialah v(t) = 6t2 – 8t dan posisi bendapada jarak – 5 untuk t = 0, maka rumus fungsi dari s(t) = ....a. s(t) = 2t3 + 4t2 + 5b. s(t) = 2t3 + 4t2 – 5c. s(t) = 2t3 - 4t2 – 5d. s(t) = 2t3 - 4t2 + 5e. s(t) = 2t3 - 4t2 – 5Penyelesaian :v(t) = 6t2 – 8t
v = s/t v(t) =dt
ds
dt
ds= 6t2 – 8t
ds = (6t2 – 8t) dt ds = (6t2 - 8t) dts = 2t3 - 4t2 + cposisi benda pada jarak – 5 untuk t = 0 artinya- 5 = 2(0)3 - 4(0)2 + c- 5 = 0 - 0 + c- 5 = 0 + c- 5 = cMaka s = 2t3 – 4t2 - 5Jawaban : c
370 integral
1.
dx
xx
x
4
22
= ....
a. (x2 + 4x)3/2 + cb. x2 + 4x + cc. (x2 + 4x)2/3 + cd. (x2 + 4x)1/2 + ce. (x2 + 4x)-1/2 + c
2. Nilai dari 403cos5cos
xdxx adalah ....
a. ¼b. ½c. 2/3d. 1e. 3/2
3. Diketahui t
dppp1
2 3)563( . Nilai 3t = ....
a. 2b. 6c. 9d. 12e. 15
4. 4
0....)cos3sin7(
dxxx
a. 227 b. 247 c. 247 d. 227 e. 223
LATIHAN MANDIRI
371 integral
5. Hasil dari 3 sin (5x + 2) dx = ....a. – 3/5 cos (5x + 2) + cb. 5/3 cos (5x + 2) + cc. 3/5 cos (5x + 2) + cd. – 5/2 cos (5x + 2) + ce. 2/5 cos (5x + 2) + c
6. Hasil dari x2 sin x dx = ....a. x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + cb. x2 cos x + 2x sin x - 2 cos x + cc. - x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + cd. - x2 cos x + 2x sin x - 2 cos x + ce. - x2 cos x - 2x sin x - 2 cos x + c
7. Persamaan polinom yang melalui (6, 4) menyinggung garis f”(x) = 2 (x - 1)dan titik tersebut sejajar dengan garis x + y – 3 = 0 adalah ....f(x) = 1/3x3 – x2 – 25x + 118
8. Gradien garis singgung disembarang titik pada suatu kurva ditentukanoleh rumus y’ = 3x2 – 6x + 2. Jika kurva tersebut melalui titik (1, - 5), makapersamaan kurvanya adalah ....y = x3 – 3x2 + 2x - 5
309 Limit fungsi
Standar KompetensiLulusan (SKL) V
: Memahami kosep limit, turunan dan integraldari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri,serta menerapkannya dalam pemecahanmasalah.
Ruang LingkupMateri (RLM)
: Kalkulus
Operasional RLM : Limit fungsi aljabar dan fungsitrigonometri
Turunan fungsi Nilai ekstrim dan aplikasinya Integral tak tentu dan integral tertentu
dari fungsi aljabar dan fungsitrigonometri
Luas daerah dan volum benda putar,fungsi aljabar yang sederhana
PEMETAAN SKL
310 Limit fungsi
1. LimitA. Limit fungsi aljabar
1. Hasil yang harus dihindari dalam penyelesaian limit adalah :
0
0,
, , , 0 , 00 , 0 , a (hasilnya tidak tentu)
2. Untuk menghindarinya digunakan : Metode pemfaktoran
Mis,)(
)(lim
xg
xfax
=)(
)(
ag
af
=0
0, maka dapat difaktorkan menjadi
)(
)(lim
xg
xfax
=)().(
)().(lim
xqax
apaxax
=)(
)(lim
xq
apax
, dengan p(a)0 dan q(a)0
Mengalikan dengan faktor lawan
Mis,)(
)(lim
xg
cxfax
=)(
)(
ag
caf
=0
0, dikalikan faktor lawannya
)(
)(lim
xg
cxfax
=cxf
cxf
xg
cxfax
)(
)(
)(
)(lim
Mis,cxg
xfax )(
)(lim =
cag
af
)(
)(
=0
0, dikalikan faktor lawannya
MATERI
311 Limit fungsi
cxg
xfax )(
)(lim =
cxg
cxg
cxg
xfax
)(
)(
)(
)(lim
3. Limit fungsi aljabar ( x ) Membagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut
Misalkan,
)(
)(lim
xg
xfx
=)()(
)()(
xgdaritertinggipangkatdengandibagixg
xfdaritertinggipangkatdengandibagixf
Mengalikan dengan faktor lawanMisalkan,
)()(lim xgxfx
=
)()(
)()()()(lim
xgxf
xgxfxgxf
x
catatan 0lim nx x
a
B. Teorema limit )(lim xf
ax= k
)()(lim xgxfax
= )(lim xfax
)(lim xgax
)()(lim xgxfax
= )(lim xfax
)(lim xgax
)(
)(lim
xg
xfax
=)(lim
)(lim
xg
xf
ax
ax
)(.lim xfcax
= c . )(lim xfax
nax
xf )(lim
= nax
xf )(lim
n
axxf )(lim
= n
axxf )(lim
,
dengan 0)(lim
xfax
, untuk n bilangan genap
312 Limit fungsi
C. Limit fungsi trigonometri
x
xx
sinlim
0=
x
xx sinlim
0= 1
x
xx
tanlim
0=
x
xx tanlim
0= 1
x
xx tan
sinlim
0=
x
xx sin
tanlim
0= 1
Dari ketentuan di atas diperoleh :
bx
axx
sinlim
0=
bx
axx sinlim
0=
b
a
bx
axx
tanlim
0=
bx
axx tanlim
0=
b
a
bx
axx tan
sinlim
0=
bx
axx sin
tanlim
0=
b
a
313 Limit fungsi
1. Nilai dari )52()12)(52(lim
xxxx
= .... UAN 2003
a. 2b. 3c. 7d. 9e. 14Penyelesaian : )52()12)(52(lim
xxxx
= 22 )52(51024lim
xxxxx
= 25204584lim 22
xxxxx
=25204584
2520458425204584lim
22
2222
xxxx
xxxxxxxx
x
=
25204584
2520458425204584lim
22
2222
xxxx
xxxxxxxxx
=
25204584
25204584lim
22
22
xxxx
xxxxx
=25204584
3012lim
22
xxxx
xx
=
222
2
222
2 25204584
3012lim
xxx
xx
xxx
xx
xxx
x
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
314 Limit fungsi
=22
25204584
3012lim
xxxx
xx
=004004
012
=44
12
=22
12
=4
12
= 3Jawaban : b
2.)tan()(2
lim
xx
xx
= .... UAN 2003
a. ½b. ¼c. 2/4d. ⅓e. ⅖Penyelesaian :
)tan()(2lim
xx
xx
=
x
x
x
xx
x
xtan2
lim
=11.2
1lim
x
315 Limit fungsi
=3
1
Jawaban : d
3.
82
3
4
2lim
222 xxxx= .... UAN 2004
a.12
7
b.4
1
c.12
1
d.24
1
e. 0Penyelesaian :
82
3
4
2lim
222 xxxx
=
)4)(2(
3
)2)(2(
2lim
2 xxxxx
=
)4)(2)(2)(2(
)2)(2(3)4)(2(2lim
2 xxxx
xxxxx
=
)4)(2)(2)(2(
)2(3)4(2)2(lim
2 xxxx
xxxx
=
)4)(2)(2(
6382lim
2 xxx
xxx
=
)4)(2)(2(
2lim
2 xxx
xx
316 Limit fungsi
=
)4)(2)(2(
)2(lim
2 xxx
xx
=
)4)(2(
1lim
2 xxx
=)42)(22(
1
=)6)(4(
1
=24
1
Jawaban : d
4. Nilai
103
)2sin()6(lim
22 xx
xxx
= .... UAN 2004
a. 43
b. 74
c. 52
d. 0e. 1Penyelesaian :
103
)2sin()6(lim
22 xx
xxx
=
)5)(2(
)2sin()6(lim
2 xx
xxx
=
)2(
)2sin(
5
)6(lim
2 x
x
x
xx
317 Limit fungsi
=
5
6lim
2 x
xx
=52
62
=7
4
Jawaban : b
5. Nilai darixx
xx 2121
4lim
0 = .... UAN 2005
a. -2b. 0c. 1d. 2e. 4Penyelesaian :
xx
xx 2121
4lim
0
=xx
xx
xx
xx 2121
2121
2121
4lim
0
=
)21()21(
21214lim
0 xx
xxxx
=
x
xxxx 4
21214lim
0
= xxx
2121lim0
= - xxx
2121lim0
= -1 0101
= -1 11 = -1 (1 + 1)
318 Limit fungsi
= -1 (2)= -2Jawaban : a
6. Nilai dari30 2
2cos3sin3sinlim
x
xxxx
= .... UAN 2005
a. ½b. ⅔c. 3/2d. 2e. 3Penyelesaian :
30 2
2cos3sin3sinlim
x
xxxx
=30 2
)2cos1(3sinlim
x
xxx
=
3
2
0 2
)sin21(13sinlim
x
xxx
=3
2
0 2
)sin2(3sinlim
x
xxx
=3
2
0
)(sin3sinlim
x
xxx
=x
x
x
x
x
xx
sin.
sin.
3sinlim
0
=x
xx
3sinlim
0
= 3.3
1.
3sinlim
0 x
xx
= 3.3
3sinlim
0 x
xx
= 3lim0x
319 Limit fungsi
= 3Jawaban : e
7. Nilai6
4223lim
6
x
xxx
= .... UAN 2006
a. -1/4b. -1/8c. 0d. 1/8e. ¼
Penyelesaian :
6
4223lim
6
x
xxx
=4223
4223
6
4223lim
6
xx
xx
x
xxx
= 4223)6(
)42()23(lim
6
xxx
xxx
= 4223)6(
6lim
6
xxx
xx
= 4223
1lim
6 xxx
= 4)6(22)6(3
1
=1616
1
=44
1
=8
1
320 Limit fungsi
Jawaban : d
8. Nilai8
4lim
3
2
2
x
xx
= .... UAN 2007.B
a. 1/3b. ½c. 1d. 3/2e. 2Penyelesaian :
8
4lim
3
2
2
x
xx
=)42)(2(
)2)(2(lim
22
xxx
xxx
=)42(
)2(lim
22
xx
xx
=)4)2(22(
)22(2
=444
4
=12
4
=3
1
Jawaban : a
9. Nilaix
xxx 2cos21
tanlim
0 = .... UAN 2007.B
a. -1b. - ½c. 0d. ½
321 Limit fungsi
e. 2Penyelesaian :
x
xxx 2cos21
tanlim
0
=)sin21(1
tanlim
20 x
xxx
=x
xxx 20 sin2
tanlim
=)sin(sin2
tanlim
0 xx
xxx
=x
x
x
xx sin
tan
sinlim
2
10
=2
1
Jawaban : d
10.154
6lim
2
3
x
xxx
= .... UAN 2007.A
a. -8b. -6c. 6d. 8e. ∞Penyelesaian :
154
6lim
2
3
x
xxx
=154
154
154
6lim
2
3
x
x
x
xxx
=
)15(16
154)2)(3(lim
3
x
xxxx
322 Limit fungsi
=
155
154)2)(3(lim
3
x
xxxx
=
)3(5
154)2)(3(lim
3
x
xxxx
=
5
154)2(lim
3
xxx
= 154)2(lim5
13
xxx
= 1154)23(5
1
= 164)5(5
1
= 8)5(5
1
= - 8Jawaban : a
11. Nilai)tan(
2cos1lim
210 xx
xx
= .... UAN 2007. A
a. -4b. -2c. 1d. 2e. 4Penyelesaian :
)tan(
2cos1lim
210 xx
xx
=)tan(
)sin21(1lim
21
2
0 xx
xx
323 Limit fungsi
=)tan(
sin2lim
21
2
0 xx
xx
=)tan(
sinsin2lim
210 xx
xxx
=)tan(
sinsinlim2
210 x
x
x
xx
= )2(2
1
)tan(
sinlim2
210 x
xx
= )2(tan
sinlim2
0 x
xx
=x
xx tan
sinlim4
0
= 4Jawaban : e
12. Nilai dari3
98lim
2
9
x
xxx
= .... UAN 2008.A
a. 27b. 30c. 40d. 60e. 70Penyelesaian :
3
98lim
2
9
x
xxx
=3
3
3
98lim
2
9
x
x
x
xxx
= 9
398lim
2
9
x
xxxx
324 Limit fungsi
=
9
3)1)(9(lim
9
x
xxxx
= 3)1(lim9
xxx
= 39)19( = 33)10( = (10)(6)= 60Jawaban : d
13. Nilai dari2
4lim
3
2
x
xxx
= .... UAN 2008.B
a. 32b. 16c. 8d. 4e. 2Penyelesaian :
2
4lim
3
2
x
xxx
=2
)2)(2(lim
2
2
x
xxxx
= )2(lim 2
2xx
x
= )2(222 = 4 + 4= 8Jawaban : c
325 Limit fungsi
1. Nilai darix
xxx 2
11lim
0
= ....
a. ½b. 1c. 0d. -1e. – ½
2. Nilai dari ....sin
sin3sinlim
0
xx
xxx
a. -4b. -2c. 0d. 2e. 4
3. Nilai dari ....88
lim0
x
xxx
a. 24
1
b. 24
1
c. 22
1
d. 22
1
e. 2
LATIHAN MANDIRI
326 Limit fungsi
4. Nilai dari ....tan3
cos5coslim
0
xx
xxx
a. 4b. 3c. 2d. 0e. - 4
5. Nilai ....2cos4cos
2cos1lim
0
xx
xx
a. 4b. 3c. 0d. -1/3e. -1/4
6. Nilai ....82
73lim
2
2
4
xx
xx
a. -2/9b. -1/8c. -2/3d. 1e. 2
349 Nilai ekstrim & aplikasinya
3. Nilai ekstrim dan aplikasinyaA. Fungsi naik dan fungsi turun
Syarat yang berkaitan dengan fungsi naik dan turunJika f adalah fungsi yang kontinu dan diferensiable pada interval (a, b)maka : Fungsi naik, jika f’(x) > 0 Fungsi turun, jika f’(x) < 0
B. Nilai stasionerNilai stasioner adalah titik yang konstan, artinya mempunyai nilai fungsiyang tidak naik maupun turun dengan syarat : f’(x) = 0
C. Kecekungan fungsiKecekungan suatu fungsi ditentukan oleh : f”(x) > 0 cekung ke atas f”(x) < 0 cekung ke bawah
MATERI
350 Nilai ekstrim & aplikasinya
1. Nilai maksimum dari f(x) = 2x3 + 5x2 – 4x dalam interval - 3 x - 1adalah ....a. 28b. 27c. 19d. 12e. 7Penyelesaian :f(x) = 2x3 + 5x2 – 4xstasioner : f’(x) = 06x2 + 10x – 4 = 03x2 + 5x – 2 = 0 ... x ... = - 63x2 + 6x – x – 2 = 0 ... + ... = 5(3x2 + 6x) – (x + 2) = 03x (x + 2) – (x + 2) = 0(3x – 1)(x + 2) = 0
3
1x dan x = - 2
Nilai maksimum :f(- 2) = 2(-2)3 + 5(-2)2 – 4(-2)
= 2(- 8) + 5(4) + 8= - 16 + 20 + 8= 12
Jawaban : D
Tidak dalam interval
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
351 Nilai ekstrim & aplikasinya
2. Interval fungsi turun dari f(x) = x3 – 3x2 – 9x – 7 adalah ....a. x < - 1 atau x > 3b. x < 1 atau x > 3c. – 1 < x < 3d. 1 < x < 3e. – 3 < x < - 1Penyelesaian :f(x) = x3 – 3x2 – 9x – 7syarat fungsi turun : f’(x) < 03x2 – 6x – 9 < 0x2 – 2x – 3 < 0 ... x ... = - 3(x + 1)(x - 3)< 0 ... + ... = - 2x = - 1 dan x = 3
x < - 1 x = - 2 (-2)2 – 2(-2) - 3 < 04 + 4 – 3 < 05 < 0 tidak memenuhi
- 1 < x < 3 x = 0 02 – 2(0) - 3 < 00 + 0 – 3 < 0- 3 < 0 memenuhi
x > 3 x = 4 42 – 2(4) - 3 < 016 – 8 – 3 < 05 < 0 tidak memenuhi
Jadi interval yang memenuhi adalah – 1 < x < 3Jawaban : C
3. Grafik fungsi f(x) = x3 + ax2 + bx + c hanya turun pada interval – 1 < x < 5.Nilai a + b = ....a. – 21b. – 9c. 9d. 21e. 24
- 1 3x > 3x < - 1 - 1 < x < 3
352 Nilai ekstrim & aplikasinya
Penyelesaian :f(x) = x3 + ax2 + bx + cf’(x) = 3x2 + 2ax + b interval – 1 < x < 5f’(- 1) = 3(-1)2 + 2a(-1) + b
= 3 – 2a + b- 3 = - 2a + b .................... 1)
f’(5) = 3(5)2 + 2a(5) + b= 75 + 10a + b
- 75 = 10a + b .................... 2)Dari 1) dan 2) diperoleh:- 3 = - 2a + b- 75= 10a + b -72 = - 12a
- 6 = a- 3 = 12 + b- 15= b
a + b = - 6 + (- 15)= - 6 – 15= - 21
Jawaban : A
353 Nilai ekstrim & aplikasinya
LATIHAN MANDIRI
354 Nilai ekstrim & aplikasinya
372 Luas daerah & volume benda putar
5. Luas Daerah & Volum Benda PutarA. Luas Daerah
373 Luas daerah & volume benda putar
B. Volum benda putar1. Volume kurva yang diputar mengelilingi sumbu x
2. Volume kurva yang diputar mengelilingi sumbu y
3. Volume dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu x
374 Luas daerah & volume benda putar
V = b
adxyy 2
22
1
= dxxfxfb
a 22
21 )()(
4. Volume dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu y
V = d
cdyxx 2
22
1
= dyyfyfd
c 22
21 )()(
375 Luas daerah & volume benda putar
1. Jika f(x) = (x – 2)2 – 4 dan g(x) = - f(x), maka luas daerah yang dibatasi olehkurva f dan g adalah .... UAN 2003
a.3
210 satuan luas
b.3
121 satuan luas
c.3
222 satuan luas
d.3
242 satuan luas
e.3
145 satuan luas
Penyelesaian :f(x) = (x – 2)2 – 4
= x2 – 4x + 4 – 4= x2 – 4x .................. 1)
g(x) = - f(x)= - (x2 – 4x)= - x2 + 4x .................. 2)
Ilustrasi :g(x) - f(x) = (- x2 + 4x) – (x2 – 4x)f(x) = -x2 + 4x – x2 + 4x
= - 2x2 + 8xTitik potong sumbu x, y = 00 = - 2x2 + 8x0 = - 2x (x – 4)0 = - 2x dan 0 = x – 40 = x 4 = x (0, 0) dan (4, 0)Titik potong sumbu y, x = 0y = - 2(0)2 + 8(0)
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
376 Luas daerah & volume benda putar
= 0 (0, 0)
dxxfxg 4
0)()( atau f(x) = x2 + 4x a = 1, b = 4, c = 0
= dxxxxx 4
0
22 )4()4(
377 Luas daerah & volume benda putar
2. Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 ≤ x ≤ dan sumbu x. Jika daerahD diputar 3600 terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang terjadiadalah .... UAN 2003a. 2 satuan luasb. ½ satuan luasc. ½ 2 satuan volumd. satuan volume. ½ satuan volumPenyelesaian :Ilustrasi :y = sin x
V =
0
2)( dxxf
=
0
2sin dxx cos 2x = 1 – 2 sin2 x
=
0
2sin dxx 2 sin2 x = 1 – cos 2x
=
0 2
2cos1dx
xsin2 x =
2
2cos1 x
=
0
2cos12
1dxx
=
0
2cos12
1dxx
378 Luas daerah & volume benda putar
=
0
2sin2
1
2
xx
=
)0(2sin
2
102sin
2
1
2
=
)0(
2
10)0(
2
1
2
= 02
= 2
=2
2
Jawaban : C3. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x – 3, garis
5x – 3y – 5 = 0, dan sumbu x adalah .... UAN 2004
a.6
16 satuan luas
b.6
15 satuan luas
c.3
24 satuan luas
d.3
23 satuan luas
e.6
52 satuan luas
Penyelesaian :Ilustrasi :y = x2 – 2x – 3 5x – 3y – 5 = 0 5x – 3y = 5titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 0
379 Luas daerah & volume benda putar
x2 – 2x – 3 = 0 ... x ... = - 3 5x = 5(x + 1)(x – 3) = 0 ... + ... = - 2 x = 1 (1, 0)x = - 1 dan x = 3 (-1,0) dan (3, 0) titik potong sumbu y, x = 0 titikpotong sumbu y, x = 0y = (0)2 – 2(0) – 3 -3y = 5
= - 3(0, -3) y = - 5/3(0, -5/3)titik potong kedua grafik diperoleh dengan cara :5x – 3y – 5 = 0 5x – 5 = 3y
3
5
3
5x = y
y1 = y2
x2 – 2x – 3 =3
5
3
5x
3(x2 – 2x – 3) = 5x – 53x2 – 6x – 9 = 5x – 53x2 – 11x – 4 = 0 ... x ... = - 12
3x2 – 12x + x – 4 = 0 ... + ... = - 11(3x2 – 12x) + (x – 4) = 03x(x – 4) + (x – 4) = 0(3x + 1)(x – 4) = 0x = - 1/3 dan x = 4
untuk x = -1/3 y =3
5
3
1
3
5
untuk x = 4 y =
3
54
3
5
=3
5
9
5
=
3
520
=9
155 =
3
15
=9
20 (-1/3, -20/9) = 5 (4, 5)
380 Luas daerah & volume benda putar
Luas II = L - Luas I
= ½ (3)(5) - 4
3
2 )32( dxxx
= ½ (15) -4
3
23 33
1
xxx
= 15/2 -
)3(3)3()3(
3
1)4(3)4()4(
3
1 2323
= 15/2 -
99
3
271216
3
64
= 15/2 -
93
8464
= 15/2 -
3
2720
=3
7
2
15
=6
1445
=6
31
381 Luas daerah & volume benda putar
=6
15
Jawaban : b
4. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah .... UAN 2005
a.2
14 satuan luas
b.6
15 satuan luas
c.6
55 satuan luas
d.6
113 satuan luas
e.6
130 satuan luas
Penyelesaian :Grafik parabol Grafik liniermemotong sumbu x di (-1, 0) dan (1, 0) memotong sumbu x di (5, 0)y = a (x + 1)(x - 1) melalui (0, -1) memotong sumbu y di (0, 5)- 1 = a (1)(-1) 5x + 5y = 25- 1 = - a x + y = 51 = a y = 5 – xy = 1 (x + 1)(x - 1)y = 1(x2 – x + x – 1)y = x2 – 1perpotongan kedua grafik adalah :y1 = y2
x2 – 1 = 5 – xx2 + x – 6 = 0 ... x ... = -6(x + 3)(x – 2) = 0 ... + ... = 1x = - 3 dan x = 2untuk x = - 3 maka y = 8 (-3, 8)untuk x = 2 maka y = 3 (2, 3)
382 Luas daerah & volume benda putar
Luas total = Luas I + Luas II
= 2
1
2 )3)(3(2
1)1( dxx
=2
9
3
12
1
3
xx
=2
91)1(
3
12)2(
3
1 33
=2
91
3
12
3
8
=2
9
3
2
3
2
=2
9
3
=3
278
=6
35
=6
55
Jawaban : c
383 Luas daerah & volume benda putar
5. Perhatikan gambar berikut iniLuas yang diarsir pada gambar adalah .... UAN2006a. 1/3 satuan luasb. 1/2 satuan luasc. 5/6 satuan luasd. 7/6 satuan luase. 4/3 satuan luas
Penyelesaian :Perpotongan kedua grafik adalah :y1 = y2
x2 – 4x + 4 = xx2 – 5x + 4 = 0 ... x ... = 4(x-1)(x-4) = 0 ... + ... = -5x = 1 dan x = 4untuk x = 1 maka y = 1untuk x = 4 maka y = 4grafik y = x2 – 4x + 4 memotong sumbu x di :memotong sumbu x, maka y = 0x2 – 4x + 4 = 0 ... x ... = 4(x -2)(x -2)= 0 ... + ... = -4x = 2
Luas total = Luas I + Luas II
384 Luas daerah & volume benda putar
= 2
1
2 )44()1)(1(2
1dxxx
=2
1
23 423
1
2
1
xxx
=
)1(4)1(2)1(
3
1)2(4)2(2)2(
3
1
2
1 2323
=
42
3
188
3
8
2
1
=3
7
3
8
2
1
=3
1
2
1
=6
23
=6
5
Jawaban : c6. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x2
diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah .... UAN 2007.Ba. 3/5 satuanb. 4/15 satuanc. 1/15 satuand. 2/15 satuane. 1/5 satuanPenyelesaian :Titik potong kedua grafik adalah :y1 = y2
x = x2
- x2 + x = 0x2 – x = 0
385 Luas daerah & volume benda putar
x(x – 1) = 0x = 0 dan x = 1
V = b
adxyy )( 2
221
= 1
0
222 ))(( dxxx
= 1
0
42 )( dxxx
= 1
0
53
5
1
3
1
xx
=
5353 )0(
5
1)0(
3
1)1(
5
1)1(
3
1
=
5
1
3
1
=
15
35
=15
2
Jawaban : d7. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabol y = x2 + 1 dan garis y = - x
+ 3 adalah .... UAN 2007. Ba. 11 ½ satuan luasb. 6 satuan luasc. 5 ½ satuan luasd. 5 satuan luase. 4 ½ satuan luasPenyelesaian :Grafik parabol grafik linierTidak berpotongan dengan sumbu x Titik potong sumbu x, y = 0
- x + 3 = 03 = x
Titik potong sumbu y, x = 0 Titik potong sumbu y, x = 0y = (0)2 + 1 y = - 0 + 3
386 Luas daerah & volume benda putar
y = 1 y = 3titik potong kedua grafik adalah :y1 = y2
x2 + 1 = - x + 3x2 + x – 2 = 0 ... x ... = - 2(x + 2)(x - 1) = 0 ... + ... = 1x = - 2 dan x = 1untuk x = - 2 maka y = - 2untuk x = 1 maka y = 1
Jawaban : e
387 Luas daerah & volume benda putar
8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah ....UAN 2007.Aa. 54 satuan luasb. 32 satuan luas
c.6
520 satuan luas
d. 18 satuan luas
e.3
210 satuan luas
Penyelesaian :Grafik kuadrat Grafik liniery = x2 x + y = 6titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 00 = x2 x + 0 = 60 = x x = 6Titik potong sumbu y, x = 0 Titik potong sumbu y, x = 0y = (0)2 0 + y = 6y = 0 y = 6
Titik potong kedua grafik adalah :y = x2 dan x + y = 6 y = - x + 6y1 = y2
- x + 6 = x2
- x2 – x + 6 = 0x2 + x – 6 = 0 ... x ... = -6
388 Luas daerah & volume benda putar
(x + 3)(x - 2) = 0 ... + ... = 1x = - 3 dan x = 2
Luas= dxyyb
a)( 21
= b
dxxx3
2 )()6(
= 2
3
2 )6( dxxx
=2
3
23 62
1
3
1
xxx
=
)3(6)3(
2
1)3(
3
1)2(6)2(
2
1)2(
3
1 2323
=
18
2
9912
2
4
3
8
=
2
9910
3
8
=
6
2754
6
6016
=
6
81
6
44
=6
125
=6
520
atauy1 = y2
- x + 6 = x2
- x2 – x + 6 = 0; a = -1, b = -1, c = 6D = (-1)2 – 4 (-1)(6)
= 1 + 24
389 Luas daerah & volume benda putar
= 25
Luas =26a
DD
=)1(6
)5(25
=6
520
Jawaban : c9. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = - x2 + 4 dan y = -
2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah .... UAN 2007.Aa. 8 satuan volumeb. 13/2 satuan volumec. 4 satuan volumed. 8/3 satuan volumee. 5/48 satuan volume
Penyelesaian :y = - x2 + 4 y = -2x + 4titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 00 = - x2 + 4 0 = -2x + 4x2 = 4 2x = 4x = 2 (-2,0) dan (2,0) x = 2 (2,0)titik potong sumbu y, x = 0 titik potong sumbu y, x = 0y = (0)2 + 4 y = -2(0) + 4y = 4 (0,4) y = 4 (0,4)
perpotongan kedua grafik adalah :y1 = y2
-2x + 4 = -x2 + 4x2 – 2x = 0x(x – 2) = 0x = 0 dan x = 2untuk x = 0 maka, y = 4 (0,4)
390 Luas daerah & volume benda putar
untuk x = 2 maka, y = 0 (2,0)
y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4x2 = 4 – y 2x = 4 – y
x = y4 x =2
4 y
x = y2
12
Diputar mengelilingi sumbu y maka,
V = dyyfyfb
a 22
21 ))(())((
=
4
0
22
2
1
2
12)4( dyyy
= dyyyy
4
0
22
4
124)4(
=
4
0
2
4
1244 dyyyy
=
4
0
2
4
1dyyy
391 Luas daerah & volume benda putar
= 4
0
32
12
1
2
1
yy
=
3232 )0(
12
1)0(
2
1)4(
12
1)4(
2
1
=
3
168
=
3
1624
=
3
8
=3
8
Jawaban : d10. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 – 6x + 5, sumbu x, x = 2 dan
x = 4 adalah .... UAN 2008.A
a.3
26 satuan luas
b.3
17 satuan luas
c.3
111 satuan luas
d.3
226 satuan luas
e.3
244 satuan luas
Penyelesaian :y = x2 – 6x + 5titik potong sumbu x, y = 0x2 – 6x + 5 = 0 ... x ... = 5
392 Luas daerah & volume benda putar
(x – 1)(x – 5) = 0 ... + ... = -6x = 1 dan x = 5titik potong sumbu y, x = 0y = (0)2 – 6(0) + 5y = 5
Luas = 4
2
2 )56( dxxx
=4
2
23 533
1
xxx
=
)2(5)2(3)2(
3
1)4(5)4(3)4(
3
1 2323
=
1012
3
82048
3
64
=
3
68
3
8364
=
3
2
3
20
=
3
20
=3
22
393 Luas daerah & volume benda putar
=3
17
Jawaban : b
11. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 1, x = 3 dan sumbu x diputarmengelilingi sumbu x sejauh 3600, maka volume benda putar yang terjadiadalah .... UAN 2008.A
a.3
24 satuan volume
b.3
16 satuan volume
c.3
28 satuan volume
d.3
210 satuan volume
e.3
112 satuan volume
Penyelesaian :y = 4 – xtitik potong sumbu x, y = 00 = 4 – xx = 4titik potong sumbu y, x = 0y = 4 – 0y = 4
394 Luas daerah & volume benda putar
V = 3
1
2)4( dxx
= 3
1
2 )816( dxxx
= 3
1
32
3
1416
xxx
=
3232 )1(
3
1)1(4)1(16)3(
3
1)3(4)3(16
=
3
141693648
=
3
3721
=
3
3763
=
3
26
395 Luas daerah & volume benda putar
=3
26
=3
28
Jawaban : c12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 4x, sumbu x, garis x = 1 dan
x = 3 adalah .... UAN 2008.B
a.3
23 satuan luas
b.3
15 satuan luas
c.3
17 satuan luas
d.3
19 satuan luas
e.3
210 satuan luas
Penyelesaian :y = -x2 + 4xtitik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu y, x = 00 = -x2 + 4x y = -(0)2 + 4(0)0 = -x(x - 4) y = - 0 + 00 = -x dan 0 = x – 4 y = 00 = x dan 4 = xtitik potong sumbu y, x = 0y = -(0)2 + 4(0)y = - 0 + 0y = 0
396 Luas daerah & volume benda putar
L = dxxx 3
1
2 )4(
=3
1
23 23
1
xx
=
2323 )1(2)1(
3
1)3(2)3(
3
1
=
2
3
1189
=
3
59
=3
527
=3
22
=3
17
Jawaban : c13. Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, dan garis x = 3, diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadiadalah .... UAN 2008.Ba. 36 satuan volume
397 Luas daerah & volume benda putar
b. 54 satuan volumec. 63 satuan volumed. 72 satuan volumee. 81 satuan volumePenyelesaian :y = x + 3titik potong sumbu x, y = 00 = x + 3- 3 = xTitik potong sumbu y, x = 0y = 0 + 3y = 0titik potong kurva y = x + 3 dan garis x = 3 adalahy = 3 + 3y = 6 (3, 6)
V = 3
3
2)3( dxx
= 3
3
2 )96( dxxx
398 Luas daerah & volume benda putar
= 3
3
23 933
1
xxx
=
)3(9)3(3)3(
3
1)3(9)3(3)3(
3
1 2323
=
27
2
27927
2
279
=
2
2736
2
2736
=
2
2772
2
2772
=
2
45
2
99
=
2
144
= 72 Jawaban : d
399 Luas daerah & volume benda putar
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 3x – 2 adalah ....
a.6
1satuan luas
b.2
1satuan luas
c.6
52 satuan luas
d. 3 satuan luas
e.6
54 satuan luas
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 2xdan y = x2 diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y adalah ....
a.3
11 satuan volume
b.3
22 satuan volume
c.15
44 satuan volume
d.3
113 satuan volume
e.5
117 satuan volume
LATIHAN MANDIRI
400 Luas daerah & volume benda putar
3. Luas daerah yang diarsir sama dengan ....
4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva x2 +y2 = 9 dan garis x + y = 3 diputar 3600 mengelilingi sumbu x adalah ....a. 9 satuan volumeb. 12 satuan volumec. 18 satuan volumed. 21 satuan volumee. 27 satuan volume
5. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = -3x dan parabol y = -3x2 – 6xadalah ....a. 3/2b. 1c. ½d. ¼e. 1/5
6. Daerah yang dibatasi oleh y = x2, y = 1, y = 3 dan sumbu y, diputarmengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terjadi adalah ... satuanvolumea. 5,5 b. 4,5 c. 4 d. 3,5 e. 2,5
401 peluang
Standar KompetensiLulusan (SKL) V
: Mampu mengolah, menyajikan, menafsirkandata dan menggunakan kaidah pencacahan,permutasi, kombinasi dan peluang kejadianserta mempu menerapkan dalampemecahan masalah.
Ruang LingkupMateri (RLM)
: Peluang dan Statistik
Operasional RLM : Peluang Permutasi Kombinasi Peluang kejadian
(tidak termasuk kejadian bersyarat)Statistik Penyajian data dalam bentuk tabel,
diagram grafik (termasuk ogive) Ukuran pemusatan, ukuran letak dan
ukuran penyebaran yang sederhana
PEMETAAN SKL
402 peluang
1. PeluangA. Kaidah pencacahan
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadianberikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadiantersebut dapat terjadi dalam (p q) cara.Faktorialn ! = n n – 1 n – 2 n – 3 ... 3 2 1dengan 0 ! = 1
1 ! = 1B. Permutasi Banyak permutasi (susunan terurut) r unsur dari n unsur adalah
)!(
!
rn
nPrn , n r
Permutasi beberapa unsur yang samaBanyak susunan dari n unsur dengan p unsur yang sama, q unsur yangsama dan seterusnya adalah
!!
!, qp
nP qpn
Permutasi siklis untuk menghitung susunan berbeda yang tempatkansecara melingkar
)!1( nPsiklisn
C. KombinasiBanyak kombinasi (susunan) r unsur dari n unsur adalah
!)!(
!
rrn
nCrn , n r
D. Peluang suatu kejadianPeluang suatu kejadian (misalnya kejadian A) adalah
MATERI
403 peluang
)(
)()(
Sn
AnAP , dengan P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyak anggota himpunan An(B) = banyak anggota himpunan B
E. Kisaran nilai peluang (0 ≤ P(A) ≤1)F. Frekuensi harapan Frekuensi harapan suatu kejadian (misalnya kejadian A) adalah
Fh(A) = P(A) nDengan Fh(A) = frekuensi harapan kejadian A
P(A) = peluang kejadian An = banyaknya percobaan
Peluang komplemen kejadian (misalnya kejadian A) adalahP(Ac) = 1 – P(A)Dengan P(Ac) = peluang komplemen kejadian A
P(A) = peluang kejadian AG. Peluang kejadian majemuk Peluang gabungan dua kejadian
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)Dengan P(AB) = peluang gabungan A atau B
P(A) = peluangan kejadian AP(B) = peluangan kejadian BP(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadi
Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepasP(AB) = P(A) + P(B)Dengan P(AB) = peluang gabungan A atau B
P(A) = peluangan kejadian AP(B) = peluangan kejadian B
Peluang kejadian yang saling bebas (stokastik)P(AB) = P(A) P(B)Dengan P(A) = peluangan kejadian A
P(B) = peluangan kejadian BP(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadi
Peluang kejadian bersyarat (peluang kejadian A setelah B terjadi)
404 peluang
P(AB) =)(
)(
BP
BAP
Dengan P(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadiP(AB) = peluang irisan kejadian A dan BP(B) = peluang kejadian B
Peluang pengambilan tanpa pengembalianP(AB) = P(A) P(BA)Dengan P(BA) = peluang kejadian B setelah A terjadi
P(AB) = peluang irisan kejadian A dan BP(B) = peluang kejadian B
405 peluang
1. Dua buah dadu dilempar undi bersama – sama. Peluang munculnya matadadu 9 atau 10 adalah .... UAN 2003
a.36
5
b.36
7
c.36
8
d.36
9
e.36
11
Penyelesaian :
Misalnya, A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 9B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 10
A = {(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)} n(A) = 4B = {(6,4),(5,5),(4,6)} n(A) = 3S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
406 peluang
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) n(S) = 36
P(A) =)(
)(
Sn
An
=36
4
P(B) =)(
)(
Sn
Bn
=36
3
P(AB) = P(A) + P(B)
=36
3
36
4
=36
7
Jawaban : b2. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola merah
dan 6 bola kuning. Dari masing – masing kotak diambil sebuah bolasecara acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama adalah ....UAN 2003a. 1/8b. 5/16c. 7/16d. 9/16e. 7/8Penyelesaian :5 M3 K 1
2 M6 K 1
407 peluang
I IIMisalnya : A = kejadian terambilnya bola merah pada kotak I dan kotak II
B = kejadian terambilnya bola kuning pada kotak I dan kotakIIKejadian A : Kejadian B :Kotak I n(S) = 8 Kotak I n(S) = 8
n(A)= 5 n(A)= 3
P(A)=8
5P(A)=
8
3
Kotak II n(S)= 8 Kotak II n(S)= 8n(B)= 2 n(B)= 6
P(B)=8
2P(B)=
8
6
P(AB) = P(A) P(B) P(AB) = P(A) P(B)
=8
2
8
5 =
8
6
8
3
=32
5=
32
9
Peluang keduanya merah atau kuning adalah :P(AB) = P(Im, IIm) + P(Ik,IIk)
=32
9
32
5
=32
14
=16
7
Jawaban : c3. Dua dadu dilambungkan bersama – sama. Peluang muncul mata dadu
pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah .... UAN 2004a. 5/36b. 4/36
408 peluang
c. 3/36d. 2/36e. 1/36Penyelesaian :Misalnya A = kejadian muncul mata dadu 3 pada dadu I
B = kejadian muncul mata dadu 5 pada dadu IIDadu I n(S) = 6
n(A)= 1
P(A)=6
1
Dadu II n(S)=6n(B)=1
P(B)=6
1
P(AB) = P(A) P(B)
=6
1
6
1
=36
1
Jawaban : e4. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola kuning. Dari
dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak. peluang terambil 2 bolamerah dan 1 bola biru adalah .... UAN 2005a. 1/10b. 5/36c. 1/6d. 2/11e. 4/11Penyelesaian :
5 M4 B3 K
3
409 peluang
Misalnya A = kejadian terambilnya 2 bola merah pada pengambilanpertama
B = kejadian terambilnya 1 bola biru pada pengambilan keduan(S) = 12
P(AB) =312
1425
C
CC
5C2 =!2)!25(
!5
4C1 =
!1)!14(
!4
12C3 =
!3)!312(
!12
=!2!3
!5=
!1!3
!4=
!3!9
!12
=12
45
= 4 =123
101112
= 10 = 220
P(AB) =312
1425
C
CC
=220
410
=22
4
=11
2
Jawaban : d5. Dari butir telur yang dijual terdapat 2 butir yang busuk. Ibu membeli 2
butir telur tampa memilih. Peluang ibu mendapat 2 butir telur yang baikadalah .... UAN 2006a. 9/45b. 11/45c. 14/45d. 18/45e. 28/45
410 peluang
Penyelesaian :Misalnya A = kejadian terambil 2 butir telur yang baik
P(A) =210
28
C
C
8C2 =!2)!28(
!8
10C2 =
!2)!210(
!10
=!2!6
!8=
!2!8
!10
=12
78
=12
910
= 28 = 45
P(A) =210
28
C
C
=45
28
Jawaban : e6. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar undi bersama – sama
sebanyak satu kali. Peluang munculnya bilangan prima pada dadu dangambar pada uang logam adalah .... UAN 2007.Ba. 1/12b. ¼c. 1/3d. ½e. 2/3Penyelesaian :Misalnya A = kejadian muncul bilangan prima pada dadu
B = kejadian muncul sisi gambar pada uang logamDadu : n(S) = 6
A = {1,2,3,5} n(A)= 4
P(A) =6
4
411 peluang
uang logam : n(S)=2n(B)=1
P(B) =2
1
P(AB) = P(A) P(B)
=2
1
6
4
=3
1
Jawaban : c7. Dalam kantong I terdapat 5 klereng merah dan 3 klereng putih, dalam
kantong II terdapat 4 klereng merah dan 6 klereng hitam. Dari setiapkantong diambil 1 klereng secara acak. peluang terambilnya klereng putihdari kantong I dan klereng hitam dai kantong II adalah .... UAN 2007.Aa. 39/40b. 9/13c. ½d. 9/20e. 9/40Penyelesaian :
I IIMisalnya A = kejadian terambilnya klereng putih dari kantong I
B = kejadian terambilnya klereng hitam dari kantong IKantong I n(S) = 8
n(A)= 3
P(A)=8
3
Kantong II n(S) = 10n(B)=6
5 M3 P 1
4 M6 H 1
412 peluang
P(B)=10
6
P(AB) = P(A) P(B)
=10
6
8
3
=40
9
Jawaban : e8. Pada pelemparan undi sebuah dadu, A adalah kejadian muncul angka
lebih dari 4 dan B adalah kejadian muncul angka kurang dari 2. Peluangkejadian A atau B adalah .... UAN 2008.Aa. 1/6b. 1/3c. ½d. 3/5e. ¾Penyelesaian :S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6A = kejadian muncul angka lebih dari 4A = {5,6} n(A) = 2
P(A) =6
2
B = kejadian muncul angka kurang dari 2B = {1} n(B) = 1
P(B) =6
1
P(AB) = P(A) + P(B)
=6
1
6
2
=6
3
413 peluang
=2
1
Jawaban : c
9. Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali.Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah .... UAN2008.Ba. ½b. ¼c. 1/6d. 1/8e. 1/12Penyelesaian :n(S) = 36Misalnya A = kejadaian muncul jumlah mata dadu 9
A = {(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)} n(A) = 4
P(A) =36
4
B = kejadian muncul jumlah mata dadu 11B = {(6,5),(5,6)} n(B) = 2
P(B) =36
2
P(AB) = P(A) + P(B)
=36
2
36
4
=36
6
=6
1
Jawaban : c
414 peluang
10. Dari angka 1,2,3,4,5,6 akan dibentuk bilangan yang terdiri dai 3 angkadengan tidak ada angka berulang. Banyaknya bilangan tersebut adalah ....UAN 2008.Aa. 18b. 20c. 90d. 120e. 216Penyelesaian :
x x atau 6P3 =)!36(
!6
6 x 5 x 4 = 120 =!3
!6
= 456 = 120
Jawaban : d11. Pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, sekertaris dan bendahara akan
dipilih dari 8 orang calon. Banyaknya cara untuk memilih pengurus OSIStersebut adalah .... UAN 2008.A bahasaa. 336b. 260c. 240d. 220e. 210Penyelesaian :
8P3 =)!38(
!8
=!5
!8
= 8 x 7 x 5= 336
Jawaban : a
.... .... ....
415 peluang
12. Tiga keping uang dilempar undi bersama – sama satu kali. Peluangmunculnya paling sedikit 1 sisi gambar adalah .... UAN 2008.A bahasaa. 1/8b. ¼c. ½d. ¾e. 7/8Penyelesaian :S = GGG,GGA,GAA,GAG,AAA,AAG,AGG,AGAA = GGG,GGA,GAA,GAG,AAG,AGG,AGAn(S) = 8n(A) = 7
P(A) =8
7
Jawaban : e13. Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola putih, kotak B berisi 5 bola merah
dan 3 bola putih. Dari masing – masing kotak diambil sebuah bola, makapeluang yang terambil bola putih dari kotak A dan bola merah dari kotakB adalah .... UAN 2008.A bahasaa. 31/40b. 2/5c. 3/8d. 3/20e. 5/40Penyelesaian :
A BMisalnya A = kejadian terambilnya bola putih dari kotak A
B = kejadian terambilnya bola merah dari kotak BKantong I n(S) = 5 Kantong II n(S) = 8
n(A)= 3 n(B)=5
2 M3 P 1
5 M3 P 1
416 peluang
P(A)=5
3P(B)=
8
5
P(AB) = P(A) P(B)
=8
5
5
3
=8
3
Jawaban : c14. Seorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada.
Banyak cara peserta memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah ....UAN 2008.A bahasaa. 210b. 220c. 230d. 5.040e. 5.400
Penyelesaian :
10C6 =!6)!610(
!10
=!6!4
!10
=1234
78910
= 210Jawaban : a
15. Banyaknya susunan huruf – huruf pada kata “ANDALAN” adalah .... TryOut 2008 NTTa. 210b. 420c. 840d. 2520
417 peluang
e. 5040Penyelesaian :
7P3+2 =!2!3
!7
=12
4567
= 420Jawaban : b
16. Di dalam sebuah kotak ada 9 tiket yang diberi nomor 1 sampai dengan 9.Apabila 2 tiket diambil secara acak tanpa pengembalian maka, peluangterambilnya 1 ganjil dan 1 genap adalah .... UAN Try Out 2008 NTTa. 6/18b. 5/18c. 4/18d. 3/18e. 2/18
Penyelesaian :
MisalnyaA = kejadian terambilnya 1 genap pada pengambilan pertamaB = kejadian terambilnya 1 ganjil pada pengambilan kedua
n(S) = 9n(A)= 5
P(A)=9
5
n(B)= 4n(S)= 8
5 Ganjil4 Genap
11
418 peluang
P(BA) =)(
)(
Sn
Bn
=8
4
=2
1
P(AB) = P(A) P(BA)
=2
1
9
5
=18
5
Jawaban : b
419 peluang
1. Banyaknya susunan huruf – huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata“STATISTIK” adalah ....a. 604.800b. 100.800c. 84.600d. 76.800e. 75.800
2. Dari 8 tangkai bunga yang berbeda – beda warnanya akan dibentukrangkaian bunga yang terdiri dari 3 warna berbeda. Banyak caramenyusun rangkaian bunga berbeda tersebut adalah ....a. 24b. 56c. 72d. 112e. 336
3. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang logam dilempar undi satu kalisecara bersama – sama. peluang untuk memperoleh sisi gambar padamata uang logam dan bilangan ganjil pada dadu adalah ....a. 1/12b. 1/6c. 1/4d. 1/3e. 1/2
LATIHAN MANDIRI
420 peluang
4. Sebuah kotak berisi 3 bola merah dan 5 bola putih. Dari kotak itu diambil1 bola berturut – turut dua kali tanpa pengembalian bola pertama kedalam kotak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah ....a. 15/64b. 9/64c. 20/56d. 15/56e. 6/56
5. Dari 12 orang siswa terdiri dari 7 pria dan 5 wanita akan dibentuk sebuahteam yang beranggotakan 3 orang. Peluang terbentuknya sebuah teamyang terdiri dari sekurang – kurangnya 1 siswa wanita adalah ....a. 7/44b. 21/44c. 9/44d. 30/44e. 37/44
6. Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jikasoal nomor 3,5 dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya dimintamengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka banyak cara seorangpeserta memilih soal yang dikerjakan adalah ....a. 14b. 21c. 45d. 66e. 2520
420 Statistik
2. StatistikA. Data Tunggal
1. Rata – rata / meanRata – rata suatu data diperoleh dengan :
n
xx i
2. MedianMedian adalah nilai tengah data
Untuk n ganjil :2
1
nMe ,
Untuk n genap :2
nMe
3. Modus adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang frekuensinyalebih besar
4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data menjadi empat bagian yangsama besar
Qi = ni
45. Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil
R = xmax – xmin
6. Jangkauan antar kuartilH = Q3 – Q1
7. Simpangan kuartilQd = ½ H
= ½ (Q3 – Q1)8. Simpangan rata – rata
SR =n
xx
9. Ragam (variansi)
MATERI
421 Statistik
S =
n
xx2
10. Simpangan baku
S = 2sB. Data Berkelompok
1. Rata – rata / meanRata – rata suatu data diperoleh dengan :
i
ii
f
fxx
2. Median adalah nilai tengah data, dimana letak kelas medianditentukan oleh ½n
cf
fnTbMe
km
skm
2
1
dimana :Tb = Bb – 0,5Ta = Ba + 0,5C = Ta – Tb
skmf = frekuensi kumulatif sebelum kelas medianfkm = frekuensi kelas median
3. Modus adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang frekuensinyalebih besar
cdd
dTbMo
21
1
dimana :Tb = Bb – 0,5Ta = Ba + 0,5C = Ta – Tbd1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
422 Statistik
d2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data menjadi empat bagian yang
sama besar
cf
fni
TbQkk
skk
i
4
dimana :Tb = Bb – 0,5Ta = Ba + 0,5C = Ta – Tb
skkf = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartilfkk = frekuensi kelas kuartil
5. Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecilR = xmax – xmin
6. Jangkauan antar kuartilH = Q3 – Q1
7. Simpangan kuartilQd = ½ H
= ½ (Q3 – Q1)8. Simpangan rata – rata
SR =n
xxf i
9. Ragam (variansi)
S = n
xxf i
2
10. Simpangan baku
S = 2sCatatan :penyejian data dapat berupa diagram lingkaran, diagram garis, diagrambatang, ogive dan tabel distribusi frekuensi.
423 Statistik
1.
Diagram di atas menyajikan data berat badan (dalam Kg)dari 40 siswa,modusnya adalah .... UAN 2003a. 46,1b. 46,5c. 46,9d. 47,5e. 48,0Penyelesaian :Data dapat disajikan dalam tabel sebagai berikut,
Kelas modus 45 – 49Tb = 45 – 0,5
= 44,5Ta = 49 + 0,5
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
424 Statistik
= 49,5C = 49, 5 – 44,5
= 5d1 = 12 – 6
= 6d2 = 12 – 8
= 4
Mo = cdd
dTb
21
1
= 546
65,44
= 510
65,44
= 35,44 = 47,5
Jawaban : d2. Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8 adalah .... UAN 2003
a. 2 ½b. 3c. 3 ½d. 4e. 4 ½Penyelesaian :Urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar seperti berikut :2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14
Q2 =2
86 Q1 =
2
43Q3 =
2
129
= 7 =2
7=
2
21
Q1 Q2 Q3
425 Statistik
Simpangan kuartil :½ H= ½ (Q3 – Q1)
= ½
2
7
2
21
=
2
14
2
1
=2
7
= 3 ½Jawaban : c
3. Modus dari data pada gambar di bawah ini adalah .... UAN 2004
a. 25,5b. 25,8c. 26d. 26,5e. 26,6
426 Statistik
Penyelesaian :Data dapat disajikan dalam tabel
Ta = 25 – 0,5= 24,5
Tb = 29 + 0,5= 29,5
C = 29,5 – 24,5= 5
d1 = 16 – 14= 2
d2 = 16 – 8= 8
Mo = cdd
dTb
21
1
= 582
25,24
= 510
25,24
= 15,24 = 25,5
Jawaban : a
427 Statistik
4.
Nilai rataan dari data pada diagram di atas adalah .... UAN 2005a. 23b. 25c. 26d. 28e. 30Penyelesaian :Data di atas dapat disajikan dalam diagram tabel sebagai berikut
Rata – rata :
x =
i
ii
f
fx
428 Statistik
=50
1250
= 25Jawaban : b
5. Perhatikan gambar berikut !
Nilai ulangan matematika dari suatu kelas dengan histogram seperti padagambar. Median nilai tersebut adalah .... UAN 2006a. 64,5b. 65c. 65,5d. 66e. 66,5Penyelesaian :
Kelas median diperoleh dari½ n = ½ (40)
= 20Ta = 69 + 0,5
429 Statistik
= 69,5Tb = 65 – 0,5
= 64,5C = 69,5 – 64,5
= 5fskm = 18fkm = 10
Me = cf
fnTb
km
skm
2
1
= 510
18205,64
= 510
25,64
= 64,5 + 1= 65,5
Jawaban : c6. Perhatikan tabel berikut !
Berat (kg) Frekuensi0 – 9 5
10 – 19 1520 – 29 3030 – 39 4040 – 49 3050 – 59 1560 – 69 5
Nilai median data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2007.Ba. 31,72 kgb. 33,50 kgc. 34,50 kgd. 35,40 kg
430 Statistik
e. 54,50 kgPenyelesaian :
Berat (kg) fi fk
0 – 9 5 510 – 19 15 2020 – 29 30 5030 – 39 40 9040 – 49 30 12050 – 59 15 13560 – 69 5 140
Kelas median diperoleh dari½ n = ½ (140)
= 70Ta = 39 + 0,5
= 39,5Tb = 30 – 0,5
= 29,5C = 39,5 – 29,5
= 10fskm = 50fkm = 40
Me = cf
fnTb
km
skm
2
1
= 1040
50705,29
= 1040
205,29
= 29,5 + 5= 34,5
Jawaban : c
Kelas median
431 Statistik
7. Perhatikan tabel berikut !Berat (kg) Frekuensi
31 – 36 437 – 42 643 – 48 949 – 54 1455 – 60 1061 – 66 567 – 72 2
Modus data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2007.Aa. 49,06 kgb. 50,20 kgc. 50,70 kgd. 51,33 kge. 51, 83 kgPenyelesaian :
Berat (kg) fi fk
31 – 36 4 437 – 42 6 1043 – 48 9 1949 – 54 14 3355 – 60 10 4361 – 66 5 4867 – 72 2 50
Ta = 54 – 0,5= 53,5
Tb = 49 + 0,5= 49,5
C = 49,5 – 53,5= 6
d1 = 14 – 9= 5
d2 = 14 – 10= 4
Kelas modus
432 Statistik
Mo = cdd
dTb
21
1
= 645
55,49
= 69
55,49
= 49,5 + 3, 33= 51,83
Jawaban : e8. Perhatikan data berikut !
Berat badan Frekuensi50 – 54 555 – 59 660 – 64 765 – 69 1070 – 74 875 – 79 4
Kurtil atas dari data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2008.Aa. 69,50b. 70,00c. 70,50d. 70,75e. 71,00Penyelesaian :
Berat badan fi fk
50 – 54 5 555 – 59 6 1160 – 64 7 1865 – 69 10 2870 – 74 8 3675 – 79 4 40
Kelas Q3
433 Statistik
Kelas Q3 diperoleh dari¾n = ¾ (40)
= 30Ta = 74 + 0,5
= 74,5Tb = 70 – 0,5
= 69,5C = 74,5 – 69,5
= 5fskQ3 = 28fkQ3 = 8
Me = cf
fni
Tbi
i
kQ
skQ
4
= 58
28305,69
= 58
25,69
= 69,5 + 1,25= 70,75
Jawaban : d9. Diagram lingkaran berikut menyatakan banyak banyak siswa yang
menyenangi mata pelajaran di sebuah kelas yang terdiri dari 40 orangsiswa. Banyak siswa yang menyenangi mata pelajaran bahasa Inggris danbahasa asing adalah .... UAN 2008.A Bahasaa. 4 siswab. 10 siswac. 12 siswad. 14 siswae. 16 siswa
434 Statistik
Penyelesaian :
Siswa yang menyukai B. Indonesia adalah 40% dari 40 orang artinya
1640100
40 orang
AOD = 036040
16
= 1440
AODCODBOCAOB = 3600
AOB + BOC + 900 + 1440 = 3600
AOB + BOC = 1260
Misalkan x adalah banyaknya siswa yang menyenangi mata pelajaran B.Inggris dan B. Asing maka,
00 12636040
x
09x = 1260
x0 = 140
x = 14Jawaban : d
435 Statistik
10. Rata – rata dari x, 62, 74, 83, 2x, 85, 60 adalah 73. Nilai x adalah .... UAN2008. A Bahasaa. 45b. 47c. 49d. 90e. 98Penyelesaian :
x =n
xi
73 =7
60852837462 xx
511 = 3643 x147 = 3x49 = xJawaban : c
11. Rata – rata upah 10 orang pekerja Rp 70.000,00 perhari. Jika upah ketuakelompok pekerja itu juga dihitung maka rata – ratanya menjadi Rp71.000,00. Upah ketua kelompok pekerja itu perhari adalah .... UAN 2008.A Bahasaa. Rp 78.000,00b. Rp 79.000,00c. Rp 80.000,00d. Rp 80.500,00e. Rp 81.000,00Penyelesaian :
1x =10
10
1i
ix
70.000 =10
10
1i
ix
436 Statistik
700.000 =
10
1iix
2x =11
10
1
i
i xx
71.000=11
000.700 x
781.000= x000.70081.000= x
Jawaban : e
437 Statistik
1.
Diagram lingkaran di atas menunjukkan banyaknya pelajar suatu sekolahyang memilih jurusan IPA, IPS dan BAHASA dari 400 siswa. Banyaknyapelajar yang memilih jurusan IPA adalah ....a. 10 orangb. 40 orangc. 120 orangd. 240 orange. 360 orang
2.
Rataan hitung dari data pada histogram di atas adalah 10. Nilai n yangmemenuhi adalah ....
Bahasa1080
IPAIPS2160
LATIHAN MANDIRI
438 Statistik
a. 4b. 5c. 6d. 7e. 8
3. Nilai ujian bahasa Indonesia siswa suatu kelas tercatat sebagai berikut,Nilai Frekuensi
81 – 85 886 – 90 1291 – 95 18
96 – 100 14Modus dari data pada tabel di atas adalah ....a. 92,50b. 92,75c. 93,50d. 93,75e. 94,50
4. Median dari data pada tabel di bawah ini adalah ....Nilai Frekuensi
19 – 27 428 – 36 637 – 45 846 – 54 1055 – 63 664 – 72 373 – 81 3
a. 46,3b. 46,8c. 47,1d. 47,3e. 47,8
439 Statistik
5. Simpangan baku dari data 7, 5, 9, 8, 6 adalah ....a. 2b. 2c. 5
d. 10e. 10
6. Perhatikan tabel berikut !
Nilai Frekuensi1 – 10 4
11 – 20 821 – 30 1231 – 40 1641 – 50 1051 – 60 761 – 70 3
Nilai kuartil atas (Q3) dari data pada tabel tersebut adalah ....a. 68,5b. 50,5c. 47,5d. 45,5e. 33,5