Lk-1/Sistem persamaan Linier

Valentine day’s Gift

Pada saat saat menjelang perayaan Valentine day, siswa kelas X.9 mengadakan pemesanan bingkisan untuk siswa yang lain. Kelas itu mengadakan 2 macam bingkisan – yaitu paket A dan paket B – Oriza Sativa Gnemonique dapat menjual 10 paket A dan 5 paket B, seadangkan Manihot Benjaminus dapat menjual 10 pake A dan 20 paket B. Mereka masing masing menyetor uang sebesar 100 ribu ripah

dan 175 ribu rupiah. Berapakah harga masingmasing paket ?

Untuk menentukan banyaknya paket yang dijual oleh Gnemonik dan Benjaminus, permasalahan diatas harus diterjemahkan dalam bentuk simbol simbol matematika. Terjemahan dari permasalahan diatas disebut dengan Model Matematika.Akan membantu jika dibuat tabel yang memuat informasi dari peristiwa diatas.

Nama Paket A (harga

x)

Paket B (harga

y)

Uang Persamaan

Gnemonic 10 5 100 10x + 5y = 100Benjaminus 10 20 175 10 x + 20 y =

175Jumlah 20 25

Misalkan x adalah harga paket A dan y harga paket B, maka: x >0 dan y >0Hasil penjualan Gnemonik adalah : 10x + 5y = 100.000 Hasil penjualan manihot adalah : 10x + 20 y = 175.000Persoalan yang ingin dijawab adalah menentukan nilai x dan y

Cobalah untuk menentukan model matematika dari persoalan persoalan dibawah ini !1. Dua bilangan diketahui selisih nya 12 dan jumlahnya 37. Tentukanlah

hasil kali kedua bialangan tersebut!2. Harga 3 buku dan 2 pensil adalah 6000, sedangkan harga 2 buku dan

5 pensil adalah 6250, berapakah harga 10 buku dan 5 pensil?3. Sebuah fungsi linier di rumuskan dengan f(x) = ax + b, Grafik dari

fungsi ini melewati titik (2,5) dan (–1,3) Tentukan f(x)4. Dua buah bilangan mempunyai selisih 15 dan jumlah 55, tentukan

hasil kalinya.5. Perbandingan panjang dan lebar sebuah segi panjang sama dengan 3

di banding 2, jika panjang ditambah 3 dan lebar ditambah 9, maka akan menjadi sebuah bujur sangkar. Tentukan ukuran persegi panjang tersebut.

6. Sebuah bilangan asli terdiri atas 2 angka, nilai kedua bilangan itu ama dengan 8 kali jumlah kedua angkanya. Jika angka puluhan dikurangi angka satuan, hasilnya 5. Tentukanlah bilangan itu!

7. Sebuah fungsi kuadrat dirumuskan f(x) = ax2 + bx + c , grafikmenyamelalui titik (1,3), (2,6) dan (3,13) Tentukan f(x)

8. Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiganya 7. Jika angka ratusabn dikalikan 3 dan angka satuan dikalikan 2, maka jumlah ketiga bilangan tersebut 13. Angka satuan besarnya dua kali angka puluhan. Bilangan tersebut adalah ?

9. Suatu keliling perseghi panjang adalah 56, jika panjang dikurangi 5 dan lebar dikurang I 3, maka luasnya m,enjadi 96. tentukan ukran perseg panjang tersebut.

10. Umur A dibanding umur B sekarang adalah 1:2. Bila sepuluh tahun yang laluperbandingan umur A dan B adalah 1 : 4, maka umur B lima tahun yang akan datang adalah …

11. Seorang pedagang pakain membeli 2 macm pakaian untuk dijual kembali. Baju yang dibeli yaitu 9 potong jenis A dan 5 potong jenis B seharga 80 ribu rupiah. Jika ingin menambah masing masing 3 potong maka uang yang harus di bayarkan adalah 116 rtibu rupiah.

LK-2/ Sistem Persamaan Linier

Penyelesaian Dari Model MatematikaSistem persamaan Linier dua variabel

Persamaan persamaan yang terdapat pada model matematika disebut dengan Sistem persamaan 10x + 5y = 100.000 10x + 20y = 175.000untuk menentukan nilai x dan y, dapat ditentukan dengan berbagai cara :

I. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

A. EliminasiEliminasi berasal dari kata eliminate, bertujuan untuk menghapuskan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan. :

10x + 5y = 100.000 10x + 20y = 175.000 -………………………. …………………….. …………………….………………………. …………………….. …………………….………………………. …………………….. …………………….………………………. …………………….. …………………….

B. SubstitusiSubstitusi dilakukan dengan mengganti salah satu variabel dengan variabel yang lain.10x + 5y = 100.000 maka y = 20.000 – 2x sehingga persamaan kedua menjadi :

10x + (…………………) = 175.000 ………………………. …………………….. …………………….………………………. …………………….. …………………….………………………. …………………….. …………………….………………………. …………………….. …………………….

C. Matriks / Determinan

Penyelesaian dengan cara matriks dilakukan dengan menggunakan konsep determinan yang akan dipelajari dalam materi Matriks.

10x + 5y = 100.00010x + 20y = 175.000

masing masing disebut dengan matriks koefisien, matriks variabel dan

matriks hasil. dengan menggunakan

determinan diatas, perlu dihitung sebagai berikut :

dan dan ,

maka nilai dan

Sebagai latihan cobalah untuk menyelesaiakan soal soal berikut ini !

1. 2x + 3y = 8 dan 3x – y = 1

2. 4x – y = 5 dan 2x + 3y = 13

3. 2(x+y) = x + 3y – 1 dan 3(x-y) + 2 = 3x – 2y

4. x + y + 1 = 0 dan 3x – y – 5 = 0

5. – 2 ½ x + ¾ y – 1 ½ = 0 dan ½ x + 2/3 y – 1 = 0

6. 2/3 (x + y) – ¼ (x – y + 3) = 43/12 dan (3x – y )/5 + (5x + y)/2 = 5

7. 2/x – 3/y + 5 = 0 dan 3/x – 1/y – 3 = 0

8. 4/x + 3/y - 2 = 0 dan 5/x + 1/y

+ 3 = 0

9. Dua bilangan berjumlah 29 dan selisih 5. Tentukan hasil kalinya

000.175

000.100

2010

510

y

x

10. Ukuran suatu persegi panjang adalah 2 : 3. Jika kelilingnya 40. Tentukan luas persegi panjang tersebut.

11. 10 tahun lalu perbandingan umur A dan B adalah 1 : 4. Dua tahun yang akan datang, perbandingan umur mereka adalah 7 : 10 . Tentukan selisih umur mereka sekarang.

12. Sebuah garis lurus melalui titik ( -1, 5) dan (2,11). Tentukan persamaan garis itu !

13. sebuah fungsi lijier, memasangkan 1 dengan 2 dan 4 dengan –3 . Tentukan lah pasangan dari 12.

Tinjauan grafis Sistem Persamaan Linier

Secara grafis sistem persamaan Linier dapat digambarkan sebagai berikut :Dari sistem persamaan Linier berikut : 10x + 5y = 100.000 dan 10x + 20y = 175.000 dapat disederhanakan menjadi 2x + y = 20 dan 2x + 4y = 35 ( dalam ribuan) sehingga jika digambarkan grafik dari fungsi dua fariabel diatas :

Perpotongan kedua garis tersebut yaitu titik (7,5 ; 5) mewakili penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 20 dan 2x + 4y = 35.Ini berarti bahwa harga paket A adalah 7500 dan harga paket B adalah 5000

Gambarkan grafik dari system persamaan berikut ini, dan beri penjelasan tentang arti penyelesaiannya.

2x + 4y = 352x + y = 20

(7,5 ; 5)

14. 3x + 5y – 50 = 0 dan x + 3y – 26 = 0

15. 2x + 3y – 7 = 0 dan 5x – y + 8 = 0

16. 3x + 2y + 8 = 0 dan x – 3y – 1 = 0

17. 4x + 3y – 9 = 0 dan 2x – y – 7 = 0

18. 2x + 5y – 25 = 0 dan x – 3y + 15 = 0

LK-3/ Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier 3 Variabel

Sistem persamaan linier tiga variabel, membutuhkan 3 buah persamaan agar dapat diselesaikan. Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut :

(1) a1x + a2y + a3z = p1

(2) b1x + b2y + b3z = q1

(3) c1x + c2y + c3z = r1

Penyelesaian dari persamaan ini dapat dilakukan dengan cara :1. eliminasi bertingkat

Eliminasi ini dilakukan dengan cara eliminasi dua persamaan , yang menghilangkan variabel yang sama. Sehingga hanya didapat persamaan dengan hanya dua variabel.

(1) a1x + a2y + a3z = p1 (3) c1x + c2y + c3z = r1

(2) b1x + b2y + b3z = q1 (2) b1x + b2y + b3z = q1

………………… (4) ……………………..(5)

(4) ………………………….(5) …………………………. …………………………

2. Substitusi

Substitusi dilakukan dengan mensubstitusikan satu persamaan kedalam dua poersamaan yang lain, sehingga didapat hanya dua persamaaan dalam dua variabel. Langkah selanjutnya dilakukan seperti ketika menyelesaikan persamaan linier dua variable.

Sebagai latihan cobalah untuk menyelesaiakan soal soal berikut ini !

19. x + y + 2 z = 4 dan 2x – y + z = 2 dan x – 3y + z = -1

20. 2x + y + 2z = 9 dan x – 2y + z = 2 dan 3x + y – 2z = 3

21. x – 2y + 3z = 0 dan x + y = 5 dan 2y + 3z = 13

22. 2x – y = 3 dan 3y + z = 6 dan x – z = - 1

23. 1/x + 1/y - 1/z = 1 dan 3/x - 1/y + 1/z = 4 dan 1/x + 3/y

- 2/z = 1

24. 1/x + 1/y = 5 dan 1/x – 2/y = 1 dan 2/y + 1/z = 5

25. 3 Jenis bahan A, B dan C digunakan untuk membuat 3 jenis pupuk. Pupuk Jenis I mengandung ketiga bahan tersebut dalam presentasi yang sama, dengan harga 25 ribu / kg. Jenis II mengandung 1 bagian A dan 2 bagian bahan B dengan haraga 21 ribu rupiah. Jenis III mengandung 2 bagian B dan 1 bagian C seharga 28 ribu / kg. tentukan harga ketiga bahan tersebut.

26. Sebuah fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + c grafiknya melalui titik (1,0), ( - 1, - 6 ) dan (2,9) Tentukan lah f(x).

27. Sebuah lingkaran L : x2 + y2 + ax + by + c = 0 melalui titik titik (-2, 5), (2,5) dan (6,1). Tentukanlah persamaan lingkaran tersebut.

28. Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka, jumlah ketiga angka tersebut 15, Selisih angka terbesr dan terkecil adalah 5, 3 kali angka tengah = 2 kali jumlah lainnya. Tentukan bilangan tersebut.

LK-4/ Sistem Persamaan LinierTrying to hit the target

Lintasan roket berupa parabola, memenuhi fungsi kuadrat. Sedangkan perbedaam posisi ketinggian dapat diwakili dalam bentuk persamaan linier. Andaikan lintasan roket memenuhi persamaan : y=2x2+3x+6 dan perbedaan ketinggian diwakili oleh y=x+18. Tentukan posisi dari target yang ditembak.

System persamaan satu linier satu kuadrat

Sistem persamaan satu linier satu kuadrat dapat diwakili dengan bentuk seperti ini :

Y = ax2 + bx + cY = px + q

Penyelesaian dilakukan dengan menggunakan substitusi linier ke dalam bentuk kuadrat. Sehingga didapat bentuk persamaan kuadrat. Penentukan penyelesaian dilakukan dengan prinsip prinsip peramaan kuadrat. Yaitu :

Faktorisasi Rumus ABC Melengkapkan kuadrat.

Tentukan Himpunan penyelesaian sistim persamaan berikut !

29. y = x2 + x + 1 dan 2y + x – 7 = 0

30. y = 2x2 – 3x – 14 dan 2x + 3y + 1 = 0

31. y = x2 – 4x + 6 dan 2x + y – 1 = 0

32. x2 – 5x + 2 – 4y = 0 dan 2x + 3y – 18 = 0

33. 4x2 + 3x – 2y + 13 = 0 dan 2y – 9x – 11 = 0

Tinjauan grafis

Himpunan penyelesaian dari system persamaan ini di wakili dalam bentuk titik potong antara parabola ( grafik fungsi kuadrat) dan garis lurus (grafik fungsi linier).

Secara umum untuk menentukan grafik dari kedua fungsi tersebut adalah :

Grafik fungsi linier : Menentukan perpotongan dengan sumbu sumbu koordinat

Grafik fungsi kuadrat: Menentukan Perpotongan dengan sumbu sumbu koordinat

o Dengan sumbu X ( berarti y =0)o Dengan sumbu Y ( berarti x=0)

Menentukan perasmaan sumbu simetri

Y=x+18

Y=2x2 + 3x +6

Ttk ptg

o X= - b /2a

Menentukan koordinat titik puncak.o (xp,yp) = ( - b /2a , - D /4a )

Gambarkan grafik dari system persamaan berikut ini !

34. y = x2 – 3x – 10 dan 2x + y - 2 = 0

35. y = x2 – 2x – 8 dan 2x – y - 3 = 0

36. y = 6 – x – x2 dan 3x – y + 30 = 0

37. y = 10 + 2x – x2 dan y – 3x – 4 = 0

38. y = x2 + 3x – 7 dan y + 2x – 7 = 0

MODUL PEMBELAJARANSISTEM PERSAMAAN

(KELAS X)

SPL Dua VariabelSPL Tiga VariabelSP Linier - Kuadrat

DIBUAT, DIKETIK DAN DICOPY SERTA DIBAJAK UNTUK KEPENTINGAN SENDIRIDengan tenaga sendiri, computer sendiri dan tinta pinjaman.

Oya…… satu lagi…… dikerjakan saat tengah malam….!.Yoh. rinto