El Cubo de Rubik

43.252.003.274.489.856.000Razones o más para quererlo

© Javier Santos , 1998

A Rufo , mi perro, que prefiere una pelota al cubo.

el ocho tumbado http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hall/3964/corrEosantos.j@euskalnet.net

© Javier Santos , 1998

Indice

1. Conceptos Básicos2. Algoritmo &3. Otros Cubos

1Conceptos Básicos

Recuerdo las clases de manualidades con plastilina. La primera práctica consistía en hacer una masa amorfa, puede parecer fácil pero a mí me resultaba imposible, el resultado siempre era un cubo. Lo intentaba una y otra vez, pero nada ....... un cubo.Suspendí y trabajé muy duro, conseguía hacer un tetraedro, el dodecaedro no me salía mal, el cubo no hacía falta que practicase, pero sobre todo practiqué para conseguir una masa amorfa. En la prueba de recuperación volvieron a pedirme que hiciese una masa amorfa, me lo temía. Lo intenté de todos los modos posibles, pero nada ...... un cubo. A veces conseguía deformarlo un poco, pero no se como volvía a la forma de cubo. Por fin, conseguí aplastar un poco un vértice y algún pequeño arañazo, suponía que no iba a ser suficiente pero era lo máximo que conseguía. Lo cogí y me dirigía a la mesa del profesor para entregarlo y...... se me cayó al suelo y por fin, la masa amorfa.Esta experiencia me ha resultado muy positiva y confirma que la constancia es una de las bases del éxito.

IntroducciónDescripciónObjetivoNomenclatura de MovimientosOperadoresDiseño de OperadoresConvenio de ColoresCapasDesmontajeOrdenado, Colocado, OrientadoNúmero de Estados y Restricciones¿ Qué es un Algoritmo?Tipos de Algoritmo

IntroducciónRecuerdo mi primer Cubo de Rubik, los primeros algoritmos de libros y revistas, fueron la escuela para los conceptos básicos de este tipo de puzzles denominado Movimientos Secuenciales.La información de esta página es básicamente una recopilación de toda la información recogida, contada con más o menos acierto y algunas aportaciones personales.

DescripciónEl Cubo de Rubik podemos considerarlo como un cubo de orden 3 ( 3x3x3) .En la figura 1, podemos verlo en el estado ordenado, cada cara del cubo es de un color.El puzzle dispone de un mecanismo interno que permite girar las caras.Después de unos giros, el cubo presenta un estado caótico. Figura 2.

Figura 1. Estado Ordenado Figura 2. Estado Caótico

El Cubo de Rubik podemos considerarlo en principio compuesto por 27 cubos unitarios o piezas.Al desmontarlo (ver el apartado Desmontaje ) comprobamos que no existe el cubo unitario central y contiene una cruceta, que es el sencillo e ingenioso sistema que permite las posibilidades de giro del puzzle.

Comprobamos que existen 3 tipos de piezas:Vértices (8), Aristas (12) y Centros (6).Se distinguen por su posición relativa en el cubo.Los vértices y aristas si tienen realmente forma de cubo, con una particular pestaña de sujeción. Los centros son en realidad medios cubos y están sujetos mediante un eje a la cruceta central, con posibilidad de giro. Sujetan las pestañas del resto de las piezas.

Figura 3. Tipos de Piezas

Podemos comprobar un detalle importante, que las piezas sólo tienen pegatinas de colores en las caras visibles inicialmente.Podemos distinguirlas fácilmente por el número de colores.Respectivamente 3,2 y 1.Cuando me refiera a la cara de un cubo unitario o pieza, lo indicaré del modo cara - vértice.

ObjetivoEl objetivo del cubo es poner un poco de orden en el caos.

Tenemos que conseguir ordenarlo como en la Figura 1.

Nomenclatura de MovimientosEl movimiento básico de Cubo de Rubik es el giro 90º de una cara.Para describir los movimientos utilizaré la nomenclatura más habitual en castellano.Denominaremos a las caras por una letra representativa. ( En Mayúsculas y negrita )

Izquierda Derecha

Frente aTrás

Arriba aBajo

Figura 4. Denominación de las caras.

Consideraremos el giro de 90º en Sentido Horario como positivo, lo indicaremos simplemente con la letra de la cara. Por ejemplo A, par indicar la cara ArribaCuando sea en sentido AntiHorario lo consideraremos negativo, le añadiremos un apóstrofe ´ . Por ejemplo A´ .En algunos casos se gira 180º (media vuelta), le añadiremos un 2, intentando indicar que es el doble del giro básico. Por ejemplo A2 .No es complicado acostumbrarse al determinar el giro positivo de las caras F, A , D: Pero cuidado con el resto de las caras, el consejo que os indico parece obvio .... y lo es, poner un reloj en la cara.Comprueba como al girar A y luego B parece que giran en sentido contrario.

OperadoresPara ordenar el cubo se utilizan secuencias de movimientos que realizan alguna misión, las denominaré Operadores. Por ejemplo:

Intercambiador de Aristas Opuestas( D T A T´ A´ D´ ) A´ ( I´ A´ T´ A T I )

Cuando una secuencia tiene paréntesis, suele tener dos utilidades:En el caso anterior, los utilizo para agrupar los movimientos y sean más fáciles de recordar.En otros casos tienen un número detrás, que indica el número de repeticiones de los movimientos contenidos en el paréntesis. Por ejemplo:

Operador Girador de Vértices +( F B F´ B´ )2

Uno de los Operadores del Algoritmo contiene también corchetes, es el sistema que utilizo para indicar repeticiones anidadas.

Doble Intercambiador de Vértices Diagonal[ ( A2 D2)3 A ]2

Por si hay alguna duda, ( A2 D2) se repite 3 veces y luego A . Todo se repite 2 veces.

Diseño de OperadoresNo entra dentro de los objetivos de este estudio el diseño de operadores, pero indicaré unos conceptos básicos.Flip -FlopSe suele denominar Flip -Flop a los operadores obtenidos mediante dos giros básicos, una vez en cada sentido.Por ejemplo:Operador Girador de Vértices +( F B F´ B´ )2

Operador InversoSi hemos diseñado un operador que realizar un ciclo en un sentido, podemos obtener el operador inverso, es decir que realice el ciclo en sentido inverso, si realizamos los giros empezando por el final y en sentido contrario.Por ejemplo:

3-ciclo de Vértices Horario( F´ A T A´ ) ( F A T´ A´ )

3-ciclo de Vértices AntiHorario( A T A´ F´ ) ( A T´ A´ F )

Convenio de ColoresPara el diseño de los gráficos he utilizado mi cubo, tiene la siguiente distribución de colores:

Frente AzulArriba BlancoDerecha AmarilloAtrás VerdeAbajo RojoIzquierda Naranja

Durante el Algoritmo me referiré a los colores, ya que resulta más cómodo que referirse al nombre de las caras.Cuando manipulamos el cubo y se desordena, las caras aparecen multicolores. Pero como las piezas centro siempre de mantienen fijas en su cara, podemos indicar que la pieza centro determina el color de una cara, aunque esté multicolor.

CapasCon el cubo ordenado, giramos la cara Arriba A y aBajo B, pero sólo unos pocos grados en cualquier sentido.Podemos considerar el cubo dividido en tres niveles, que suelen denominarse Capas.Las denominaremos: Superior, Intermedia, Inferior.En realidad cuando decimos que giramos la cara Arriba, giramos 9 piezas y las Aristas y Vértices tienen colores en las caras laterales del cubo.Algunos consideran también como movimiento básico el giro de la capa Intermedia y en general el giro de la fila o columna central de una cara.No añaden nuevas posibilidades de giro, el giro de la capa intermedia en sentido horario,es equivalente a A´ B, y cambiar la orientación general del cubo, situando la cara azul al Frente.Creo que la discusión llegó hasta aspectos filosóficos, no me resisto a citar un argumento contundente que aproximadamente decía:Consideremos al cubo como un Sándwich. Las capas Superior e Inferior son el pan y la capa Intermedia el jamón.Si deseamos girar el jamón, ¿ Cuantos girarían las dos rodajas de pan ?En cubos de mayores dimensiones, 4 y 5, parece que si deben considerarse como giros básicos los de las capas intermedias. ( Ver en Capítulo Otros Cubos, Otras Dimensiones )

Desmontaje

Para desmontar El Cubo de Rubik tenemos que realizar el siguiente proceso:

Giramos la cara Arriba 45º. La clave en caso de la figura 5 es la arista blanca -azul.

Podemos desmontarla haciendo palanca con un objeto con forma de cuña. Ahora podemos desmontar los dos vértices adyacentes. Se desmonta la arista azul -amarilla y el vértice inferior. Después el resto de la cara Arriba y por último el resto de piezas.

Figura 5. Desmontaje

El montaje lo realizaremos en sentido inverso.La arista blanca -azul, que es la última pieza la encajaremos a presión.Es conveniente que montemos las piezas dejando ordenado el cubo. En caso contrario puede que lo montemos en un estado que no permite ordenar adecuadamente el cubo. ( Ver el apartado de Número de Estados y Restricciones)El proceso de desmontaje y ordenación es lo que denomino Algoritmo Lento.Espero que aunque inicialmente te resulte más rápido, llegue a ser realmente el Algoritmo lento.

Ordenado, Colocado, OrientadoPodemos considerar que el cubo tiene unas posiciones huecas o cubiculos y cada vez que giramos una cara, las piezas cambian de cubiculo y se mezclan.Es importante destacar que cada tipo de pieza (arista, vértice) cambia a un cubiculo del mismo tipo.Supongamos que el cubo está revuelto como en la figura 2.Es posible que una pieza, por ejemplo un vértice esté exactamente como en su cubiculo inicial, diremos que está ordenado.También es posible que esté es su cubiculo inicial, pero no esté exactamente igual, los colores no están con la misma orientación, diremos entonces que está colocado simplemente. Además podemos decir que está mal orientado o girado. En el caso de aristas prefiero el término volteada.En la figura 2, el vértice blanco - azul - amarillo, está colocado y además girado.En los algoritmos de resolución, en las fases finales, no suele ordenarse directamente las piezas, se suele realizar en dos subfases: colocación y orientación. ( y a veces al revés)

Número de Estados y RestriccionesNúmero de EstadosPodemos calcular el número de estados o configuraciones que puede tener el Cubo de Rubik. El número de estados según mi criterio no es un índice exacto de la dificultad de un puzzle.

Suele influir mucho más el número de piezas afectadas por el giro básico. En el cubo es más de un 1/3, por lo que tiene cierta dificultad.También influye que existan varios tipos de piezas.

Permutaciones y Orientaciones de CentrosDesmontamos el cubo, comprobamos que las piezas centro están fijas en su cubiculo. Sólo pueden girar. Pero como están coloreadas de modo uniforme, no se puede distinguir el giro.Analizaremos la orientación de los centros en el capítulo Otros Cubos, Otros ColoreadosPuede parecer que si giramos la capa Intermedia, los centros cambian de cubiculo, pero en realidad no cambian su posición relativa. Sólo ha cambiado la orientación general del cubo.Podemos considerar los centros con el mecanismo de giro como una estructura fija.Para calcular el número de estados o configuraciones que puede tener el Cubo de Rubik podemos empezar por calcular de cuantas maneras podemos montar las piezas aristas y vértices en sus cubiculos correspondientes.

Permutaciones y Orientaciones de AristasHay 12 aristas, luego son las permutaciones de 12 piezas, 12! Cada arista puede alojarse con 2 orientaciones posibles, entonces multiplicamos por 212 .

Permutaciones y Orientaciones de VérticesHay 8 vértices, luego son las permutaciones de 8 piezas, 8!Cada vértice puede alojarse con 3 orientaciones posibles, entonces multiplicamos por 38 .

Multiplicando ambas cantidades calculamos que lo podemos montar de aproximadamente 5x 1020 maneras diferentes o estados.

RestriccionesPara el cálculo del número de estados, hemos considerado que son posibles todos los estados.Pero si partimos del estado ordenado, no es posible alcanzar todos los estado mediante los giros básicos. Existen estados que no se pueden alcanzar, decimos que El Cubo de Rubik tiene restricciones.Las restricciones de orientación no son complicadas de indicar, pero si de demostrar. Así que las indicaré sin demostración.

Restricciones en el Volteo de AristasEl número de aristas volteadas tiene que ser par.Por ejemplo, no puede presentarse una configuración con una sola arista volteada.Esta restricción es importante para diseñar operadores. Habitualmente se voltean por parejas.Esta restricción tiene un factor 2, es decir divide el número de estados calculados por 2.

Restricciones en el Giro de VérticesEl giro que pueden tener los vértices también tiene restricciones.Las explicaré con la analogía con las partículas elementales Quark, indicada por Solomon w. Golomb.Los Quark son unas partículas elementales que tienen carga 1/3 y su antipartícula AntiQuark tiene carga -1/3. Podemos denominar a un vértice girado 120º Quark y el girado en sentido contrario AntiQuark.Las restricciones que tienen los Quark, son exactamente las mismas que los vértices.No pueden existir en la naturaleza Quark aislados, siempre están agrupados con carga entera.Es decir pueden aparecer:Un Quark y un AntiQuark y se denomina Mesón.Tres del mismo tipo y se denomina Barión.

Esta restricción tiene un factor 3. En las portadas suele aparecer el cubo con un Quark, puede parecer una configuración imposible, pero oculto en el vértice opuesto puede haber un AntiQuark. Figura 6.

Figura 6. Un Quark

Restricciones en el Intercambio de PiezasExiste una última restricción que afecta al número de intercambios de piezas, vértices y aristas.Supongamos el cubo ordenado.Cuando giramos una cara, los 4 vértices se trasladan, formando lo que se denomina un ciclo.Si pudiéramos intercambiar dos vértices cualesquiera libremente, son suficientes 3, intercambios para volverlos a ordenar. Siempre es uno menos que el número de piezas del ciclo.Lo importante es la paridad, impar. Independientemente de la estrategia para ordenarlos, que puede que utilice más intercambios, la paridad no cambia.Es un principio importante de la teoría de grupos que se utiliza en este tipo de puzzles.Cuando giramos otra cara, se incrementa el número de intercambios en un número impar, y el total pasa a ser par. No importa que la cara girada vuelva a trasladar vértices ya trasladados.Lo mismo ocurre con las aristas. Lo importante es que ambos tipos de piezas tienen la misma paridad de intercambios en cualquier configuración posible.Supongamos que tenemos ordenadas todas las aristas, paridad par, entonces los vértices tienen la misma paridad, no es posible que queden sólo dos vértices intercambiados.Esta restricción tiene un factor 2.Podría existir una restricción más fuerte, como ocurre en el Megaminx, ( Ver en Capítulo Otros Cubos, Otros Poliedros ), que es una generalización del Cubo de Rubik, sobre un dodecaedro.En el Megaminx, el giro básico mueve en ciclo 5 aristas y 5 vértices, ambos tendrán la misma paridad, pero como el giro básico tiene paridad par, nunca pueden existir dos piezas del mismo tipo intercambiadas, independientemente del estado del otro tipo de piezas.

Restricciones TotalesEn total los factores de restricción son 2x3x2, el número de estados posibles el calculado inicialmente sin restricciones dividido por 12.El Cubo de Rubik puede alcanzar 43.252.003.274.489.856.000 estados posibles. Aproximadamente 4,3 x 1019 .

¿ Qué es un Algoritmo ?Para ordenar el cubo se necesita un sistema de resolución, es lo que se denomina Algoritmo.Para conseguir ordenar un puzzle, lo primero es el análisis de restricciones y determinar que operadores se necesitan para resolverlo.Después se necesitan una serie de instrucciones que determinen que operador necesitamos utilizar en cada momento, es decir diseñar un algoritmo.

Tipos de AlgoritmoLa mayoría de los Algoritmos son de tipo progresivo, es decir van ordenando de modo progresivo el cubo.Habitualmente se realiza por capas, es necesario que en cada fase no se desordene lo conseguido.El primer algoritmo que utilicé era progresivo pero ordenaba primero las aristas y luego los vértices.El Algoritmo más eficiente sería el que emplease el mínimo número de giros, es lo que se denomina Algoritmo de Dios. No se como están las investigaciones sobre el tema.

Un tipo curioso de algoritmo basado en la teoría de grupos fue desarrollado por Morwen B. y Thistethwaite. Tienen la propiedad de no parecer que se este ordenado progresivamente.

2Algoritmo &

El algoritmo propuesto es una mezcla de varios sistemas y algunas aportaciones personales.La estructura es la típica de un algoritmo por capas. Cada capa puede tener varias fases.

1. Primera Capa1.1 Ordenación de Aristas1.2 Ordenación de Vértices

2. Capa Intermedia

3. Ultima Capa3.1 Ordenación de Aristas

3.1.1. Orientación de Aristas3.1.2. Colocación de Aristas

3.2 Ordenación de Vértices3.2.1. Colocación de Vértices3.2.2 Ordenación de Vértices

1.Primera CapaLa primera capa a ordenar es la superior.Podemos elegir cualquier cara como superior.Para seguir un convenio de colores, supongamos que es la blanca.El color de la cara está definido por el color del centro.Recuerda que además de formar la cara superior blanca, las caras laterales de las piezas deben coincidir con el color de su cara.Esta fase consta de dos subfases: Ordenación de Aristas Ordenación de Vértices

La primera capa también necesita un Algoritmo de resolución, aunque no necesitamos operadores largos.

1.1 Ordenación de Aristas

El objetivo de esta fase es ordenar las aristas de la cara blanca.El aspecto del cubo será como el de la figura.Formaremos una cruz blanca.Las aristas se ordenan una a una.Cuando ordenamos una arista, tenemos que conseguir que no se desordenen las aristas ya ordenadas. Supondremos entonces que ya están ordenadas 3 aristas y falta la última, la arista intersección de las caras Arriba - Frente, según el convenio de color, blanca - azul.

En los gráficos, las piezas o caras coloreadas en gris indican que puede ser cualquier color.

Empecemos a mirar el cubo.

¿ Dónde está la arista a ordenar, blanca - azul ?Existen 3 posibilidades, según la capa.El caso básico es que esté en la capa inferior.Si no está la trasladaremos previamente.

Capa InferiorEs el caso básico.Giramos la cara aBajo, hasta situar la arista a ordenar en el cubiculo de la cara Frente, debajo del destino.Hay dos posibilidades según la orientación de la arista a ordenar.Realizamos el operador correspondiente, según las figuras.

D2 B D F´ D´

Capa Intermedia

La idea es trasladarla a la capa inferior, que es el caso básico.Entonces se soluciona como caso anterior.Solucionaremos el caso de la figura, en la que es necesario mantener una arista ya ordenada. Al trasladarla a la capa inferior, intentaremos que la cara - arista blanca quede en la cara aBajo, que es caso más fácil.

T´ B2 T

Capa SuperiorPuede ocurrir que la arista a ordenar ya esté la capa superior, pero mal orientada o colocada.Seguimos la misma idea, trasladarla a la capa inferior, que es el caso básico.Veamos los dos problemas.

Mal Orientada Mal Colocada

B2 D2

1.2 Orientación de Vértices

El objetivo de esta fase es ordenar los vértices.El aspecto del cubo será como el de la figura.Con esta fase terminamos de ordenar la primera Capa.Los vértices se ordenan uno a uno.Cómo la cara Arriba es blanca, son los vértices que tienen una de sus cara-vértice blanca.Supongamos que quiere ordenar el vértice intersección de las caras Arriba - Frente - Derecha. Según el convenio de color, blanco -azul - amarillo.

¿ Dónde está el vértice a ordenar?Existen 2 posibilidades según la capa.

Capa InferiorEs el caso básico.Giramos la cara aBajo, hasta situar el vértice a ordenar en el cubiculo debajo de su destino.Hay 3 posibilidades, según la orientación del vértice.Nos fijamos en la cara - vértice blanca y realizamos el operador correspondiente.

F B F´ D´ B´ D D´ B2 D B D´ B´ D

(Observa como el caso 3º se soluciona reduciéndolo al caso 2º)

Capa SuperiorSi el vértice a ordenar ya está en la capa superior, pero mal orientado o colocado, lo trasladaremos a la capa inferior, que el caso básico.No es necesario un operador especifico. Podemos trasladar un vértice cualquiera de la capa inferior al cubiculo que ocupa el vértice a ordenar y este se traslada automáticamente a la capa inferior.

Mal Orientado Mal Colocado

2. Capa Intermedia

Una vez que hemos conseguido ordenar la Capa Primera, volteamos el cubo, la ponemos como capa inferior. La idea es conseguir mejor visibilidad para ordenar el resto del cubo.Reconozco que puede ser poco didáctico, pero el hombre es un animal de costumbres.El Objetivo de esta fase es ordenar la capa intermedia. El aspecto del cubo será como el de la figura. Sólo tiene aristas, no tiene vértices.Las aristas se ordenan una a una.

Supongamos que queremos ordenar la arista amarilla, azul¿ Dónde está la arista a ordenar?Existen dos posibilidades según la capa.El caso básico es que esté en la capa intermedia.Si no está, la trasladaremos previamente.

Capa SuperiorEs el caso básico.Hay dos posibilidades según la orientación de la arista.Nos fijamos en el color de la cara - arista que está en un lateral (el que no está en la cara Arriba). Giramos la cara Arriba hasta que el color de la cara - arista lateral coincida con el color de la pieza central.Orientamos el cubo de modo que la arista ordenar quede en la cara Frente.Nos fijamos en las dos posibilidades y realizamos el operador correspondiente.

( A´ I´ A I ) ( A F A´ F´ ) ( A D A´ D´ ) ( A´ F´ A F )

Nota. Estos operadores no destruyen la capa inferior ni lo ordenado en la capa intermedia.No son intercambiadores de aristas, la arista de la capa intermedia que ocupa el cubiculo de arista a ordenar se traslada a otro cubiculo de la capa superior, concretamente Arriba -aTrás.También se producen otros "efectos secundarios" en los vértices de la capa superior, que no son importantes ya que está desordenada.

Capa IntermediaSi la arista a ordenar ya está en la capa intermedia, pero está mal orientada o colocada, se traslada a la capa superior, que es el caso básico.No es necesario un operador especifico. Podemos trasladar una arista cualquiera de la capa superior al cubiculo que ocupa la arista a ordenar y esta se traslada automáticamente a la capa superior.

3. Ultima Capa En esta fase se ordena la Ultima Capa.El cubo quedará totalmente ordenado.Consta de dos subfases en la primera se ordenan las aristas y en la segunda los vértices.

3.1 Ordenación de Aristas

En esta fase se ordenarán las aristas de la última capa.Formaremos una cruz roja, de modo similar a la primera capa.Se realiza en dos subfases, en la primera se orientan y en la segunda se colocan en su posición adecuada.

3.1.1 Orientación de AristasEn esta subfase se orientan las aristas. Es decir si la cara Arriba es roja, tenemos que conseguir una cruz roja, pero no importa que las aristas estén colocadas adecuadamente.El aspecto del cubo será como el de la figura.

Nos fijamos en las aristas que están bien orientadas, es decir tienen color rojo en la cara Arriba.¿ Cuantas aristas están bien orientadas?Existen 3 posibilidades:TodasPasamos a la siguiente subfaseDosExisten dos posibilidades, según la colocación relativa:Adyacentes, Opuestos.Realizamos el Operador Volteador correspondiente

Operador Volteador AdyacenteF A D A´ D´ F´

Operador Volteador OpuestoF D A D´ A´ F´

NingunaSe reduce al caso anterior.Realizamos cualquiera de los Operadores Volteadores anteriores, y conseguimos dos aristas bien orientadas.(Posteriormente se utiliza el otro Operador Volteador)

3.1.2 Colocación de AristasEn esta subfase colocaremos las aristas de la última capa en su posición adecuada.El aspecto del cubo será el de la figura.

¿ Cuantas aristas están colocadas?Podemos reducir los estados posibles a dos posibilidades.Giramos la cara Arriba, hasta que 2 aristas al menos queden situadas.

TodasPasamos a la siguiente subfase.

DosExisten dos posibilidades, según la posición relativa:Adyacentes, Opuestos.Realizamos el Operador Intercambiador de Aristas correspondiente.

Intercambiador de Aristas AdyacentesA D A D´ A D A2 D´

Intercambiador de Aristas Opuestas( D T A T´ A´ D´ ) A´ ( I´ A´ T´ A T I )

3.2 Ordenación de Vértices

En esta subfase se ordenarán los vértices de la última capa.Se realiza en dos subfases, en la primera se colocan y en la segunda se orientan adecuadamente.

3.2.1 Colocación de VérticesEn esta subfase se colocan los vértices de la última capa. No importa que estén orientados adecuadamente.El aspecto del cubo será similar al de la figura. Los vértices están en su posición, pero algunos están mal orientados.

¿ Cuantos vértices están colocados?Existen 3 posibilidades:

TodosPasamos a la siguiente subfase

UnoOrientamos el cubo de modo que el vértice colocado quede como en las figuras de los operadores.Los vértices están formando un 3-ciclo. Existen dos posibilidades, según el sentido.Nos fijamos en sentido y realizamos el Operador 3-ciclo de Vértices correspondiente.

3-ciclo de Vértices Horario( F´ A T A´ ) ( F A T´ A´ )

3-ciclo de Vértices AntiHorario( A T A´ F´ ) ( A T´ A´ F )

NingunoSe reduce al caso anterior.Realizamos cualquiera de los Operadores 3-ciclo de Vértices anteriores, y conseguimos colocar un vértice.

También se puede resolver directamente.Cuando no hay ningún vértice colocado, hay un doble intercambio.Existen dos posibilidades:Paralelos o diagonal.Nos fijamos en el tipo de intercambio y realizamos el Operador Doble Intercambiador de Vértices correspondiente.

Doble Intercambiador de Vértices ParalelosF ( D A D´ A´ )3 F´

Doble Intercambiador de Vértices Diagonal[ ( A2 D2)3 A ]2

3.2.2 Orientación de Vértices

El objetivo de esta subfase es orientar adecuadamente los vértices de la última capa.El aspecto del cubo será el de la figura. Como terminamos de ordenar la capa 3, el cubo estará totalmente ordenado.

Los vértices se orientan uno a uno.El sistema de orientación es único, de todos modos podemos hacernos la pregunta habitual.Nos fijamos en los vértices que están bien orientados, es decir los que tienen la cara roja en la cara Arriba.¿ Cuantos vértices están bien orientados ?Existen 4 posibilidades:

TodosPasamos a la siguiente subfase.

UnoHay 3 vértices girados en el mismo sentido. Se denomina un Barión.Existen dos posibilidades, según el sentido.

DosHay 2 vértices girados en sentido contrario. Se denomina un Mesón.

NingunoLos vértices están girados dos en cada sentido.

Veamos el proceso de orientación de vértices: Durante el proceso no cambiar la orientación general de cubo, es decir si la cara Frente es amarilla, no debe moverse del frente.

Mediante giros de la cara Arriba, situar el vértice que deseamos orientar en el cubículo Frente -Arriba - Derecha.

Nos fijamos en la posición de la cara-vértice roja (El color de la cara Arriba) y realiza el Operador Girador de Vértices correspondiente.

Operador Girador de Vértices +( F B F´ B´ )2

Operador Girador de Vértices -( B F B´ F´ )2

Momentáneamente las capas inferiores se destruyen, no te pongas nervioso y continúa.Pero recuerda que no debes cambiar la orientación general del cubo. Repetimos este proceso para el resto de los vértices a orientar.Cuando todos los vértices estén bien orientados, las capas inferiores estarán de nuevo ordenadas.Falta girar la cara de Arriba hasta ajustarla.

3Otros Cubos

Hay otros cubos, pero están en este

IntroducciónOtros ColoreadosAlgoritmo Otros Coloreados &Otras FormasOtras DimensionesOtros Poliedros

Introducción

No me siento capacitado para hablar de cronología, pero parece que El Cubo de Rubik no fue la primera patente de este tipo de puzzles tridimensionales, pero lo importante es queanimó a realizar versiones, generalizaciones y nuevos diseños.Según parece algunos de estos diseños ya estaban en la mente de aficionados y el éxito del cubo, propició que sus diseñadores lo patentasen y no tuvieran problemas de comercialización.Puedes consultar la página DOMAIN OF THE CUBE de Mark Longridge , la sección Cube Notes. http://web.idirect.com/~cubeman/

Es importante destacar que pueden existen puzzles de aspecto exterior idéntico y tengan otro mecanismo interno. Parece que fue el caso de Terutoshi Ishige, que patentó un cubo 3x3x3 ,con las mismas posibilidades de giro.Es posible incluso que aunque el aspecto exterior sea idéntico tengan diferentes posibilidades de giro. Es el caso de la serie de puzzles sobre el tetraedro de Uwe Mèffert.

Hay una interesante página Twisty Puzzles de David Byrden, contiene de simuladores de puzzles. http://byrden.com/puzzles/Puedes manejar puzzles que existen físicamente y otros que sólo existen simulados.Y por último, si quieres manipular puzzles de Rubik, visita la página de Raymond Penners,http://raymondp.cobweb.nl/rubik/index.html

Otros Coloreados

En el capítulo de Conceptos Básicos indicamos que los centros de las caras sólo tienen la posibilidad de girar en su cubiculo.No se puede distinguir su giro, debido a que los centros están coloreados de modo uniforme.Si coloreamos el centro de forma adecuada podemos distinguir su giro.En la figura 1, se muestra un coleado en diagonal de 12 colores. Para ordenarlo hay que tener en cuenta el giro de los centros, y por ahora nos sabemos resolverlo.Si nos fijamos en el diseño, las aristas son monocolores, por lo tanto no es necesario controlar el volteo.Stan Isaacs diseñó un coloreado similar al de la figura 2. En su diseño los vértices son todos grises, anulando totalmente el control de los vértices. El objetivo es conseguir un puzzle idéntico en la esencia al Octaedro de Uwe Mèffert.El diseño de la figura 2, tiene los vértices monocolores, por lo tanto no es necesario controlar el giro, pero sí la colocación.

Figura 1. Coloreado Diagonal Figura 2. Coloreado de Stan Isaacs

No es complicado realizar un diseño que tengamos que controlar todas las colocaciones y orientaciones. Podemos convertir el cubo en un auténtico puzzle de figuras, un dibujo en cada cara.Supongo que no estarás dispuesto a estropear tu cubo, así que te propongo mi diseño con unas pegatinas superpuestas. Lo denomino Sierpe.En las caras no visibles, la sierpe avanza en zigzag, por las caras aTrás, Bajo, Izquierda y por último se cierra en la cara Frente.

Figura 3. Sierpe de Javier Santos

Si las aristas están ordenadas, sólo cuando la sierpe avanza, el centro está bien orientado.Explicaré con este diseño como orientar los centros, en el apartado.

Número de Estados y RestriccionesNúmero de EstadosPodemos calcular el número de estados o configuraciones que puede tener el Cubo de Rubik con los centros con orientación distinguible.Si son posibles todas las orientaciones, cada vértice puede tener 4 orientaciones, así que pueden estar de 46 estados.Para calcular el número de estados total, multiplicaríamos el número de estados del cubo básico por este factor.

Restricciones Pero las orientaciones de vértices tienen una restricción factor 2, es decir sólo es posible la mitad de los estados.Veamos una sencilla demostración.Nos fijamos en lo que ocurre cuando realizamos un giro básico de una cara.Se realiza un giro de 90º de la pieza centro en el sentido de giro. Consideremos un giro de 90º de un centro como el giro unitario. Paridad Non.Sabemos que en las aristas y vértices se produce un número impar de intercambios. Paridad Non.Por lo tanto los giros de centros y por otro lado los intercambios de aristas y vértices tienen la misma paridad.Si el cubo está ordenado, excepto los centros, la paridad de los giros de los centros debe ser Par.Es decir, si el cubo estuviera con 5 centros bien orientados, el 6º sólo podría estar bien ordenado o girado 180º .

No creas que todo son complicaciones, se han diseñado cubos monocolores....... para impacientes.

Figura 4. Cubo Azul

Puedes conseguir un diseño similar en negro, quitando las pegatinas.Aprovechando la ocasión puedes ordenarlo, es lo que denomino Algoritmo por cambio de Pegatinas.

Algoritmo Otros Coloreados &IntroducciónEl Algoritmo propuesto para ordenar el cubo con las piezas centrales con orientación distinguible empieza ordenando el cubo sin preocuparnos de las piezas centrales.Podéis criticar el diseño del algoritmo, que es propio. Los Operadores tienen otro padre.Me decido por utilizar un número mínimo de operadores, básicamente se pueden utilizar dos:Uno que gire una cara 180º y otro que gire dos caras adyacentes 90º en cada sentido.Se pueden utilizar más operadores, que pueden acortar el número de giros.Realizaremos la ordenación de las piezas centrales en 3 fases:

Fase 1 Cara InferiorFase 2 Caras intermediasFase 3 Cara superior

Fase 1Localizamos una pieza central que esté bien orientada y la colocamos como inferior.Si no existe ninguna pieza central bien orientada, necesitamos orientar una cualquiera como se indica en la Fase 2.

Fase 2En la Fase 2 se orienta las piezas centrales intermedias.Las piezas centrales se orientan una a una.Nos fijamos en el giro adecuado y realizamos el Operador Girador de Centros correspondiente.

Girador de Centros +( A´ F T´ D´ I A B´ F A´ B D I´ F´ T )

Girador de Centros -( F T D´ I A B´ F´ A´ B D I´ F´ T A )

Girador de Centros 180º(F D I F2 D´ I´ )2

No nos preocupamos por los "efectos secundarios" en la cara superior, la ordenaremos en la siguiente fase.

Podríamos utilizar solamente el primer operador Girador + de Centros para solucionar todos los casos. La idea es repetirlo hasta que la pieza central quede bien orientada.

Fase 3.En la Fase 3 se orienta la pieza central superior.Sólo puede tener dos orientaciones:Bien OrientadaSe terminan los problemas.

Girada 180ºRealizamos el Operador Girador de Centros180º.

Girador de Centros 180º(A D I A2 D´ I´ )2

Se trata del mismo operador de la Fase 2, pero cambiando la orientación general del cubo.

Otras FormasHay otros puzzles, que tienen diferente forma, pero en esencia son idénticos.

InflandoEn la figura 1, está el Cubo Esfera. Bonita contradicción, entre los expertos no tienen problema en denominar a este puzzle como cubo.Si nos fijamos es un cubo "inflado" y el mecanismo interno puede ser idéntico.El coloreado es similar al cubo básico, los centros monocolores.

Figura 1. Esfera

Con un coloreado con forma de globo terráqueo conseguiremos una versión con control de los giros de los centros.A diferencia del cubo, cuando se gira una "cara", a mitad de un giro, la esfera no pierde su forma, y las piezas no dejan ver sus caras interiores.

BiselandoExisten bastantes puzzles que se consigue biselando cubo. Octaedros, Diamante, Prisma Octogonal...No es complicado diseñar un puzzle biselado basado en el cubo, Mi aportación es el poliedro denominado Rombicuboctaedro.EL coloreado de la figura es equivalente al del cubo, pero admite otros más interesantes.

Figura 2. Rombicuboctaedro

Aunque no tienen excesivo interés aparente, ya que en esencia son idénticos al cubo, pueden tener algunas curiosidades.El único que he manipulado es el Prisma Octogonal, figura 3, se consigue biselando las aristas laterales de cubo El coloreado habitual es que los biseles sean monocolores y que no tenga ninguna relación con los colores de las antiguas caras laterales. Podemos decir que es independiente.

Figura 3. Prisma Octogonal

Veamos algunas curiosidades del puzzle.Hay dos tipos de piezas aristas intermedias, las de los biseles son monocolores. El resto de aristas se mantienen igual bicolores.Todas las piezas vértice están biseladas. Los vértices no plantean ninguna novedad esencial, aunque sólo tienen dos colores, pueden orientarse de 3 modos.

A diferencia del cubo, cuando se gira una "cara", el Prisma Octogonal pierde su forma.Los giros de los vértices y las aristas biseladas le convierten en un puzzle difícil de coger.El Prisma Octogonal puede solucionarse mediante el Algoritmo similar al propuesto para el cubo.Pero lo más importante es los problemas que ocasiona los dos tipos de aristas y los biseles de colores independientes.Las aristas monocolores no necesitan voltearse, pero cuidado. Sabemos que el número de aristas volteadas debe ser par, en el Prisma Octogonal, puede que veamos configuraciones con una sola arista bicolor volteada. El secreto está en que tenemos que voltear también una arista monocolor cualquiera.Los biseles de colores independientes no son ninguna ventaja, parece que podemos elegir libremente su colocación y no es cierto, hay una restricción oculta.Si consideramos el bisel como una pieza, respecto de la configuración ordenada sólo se pueden alcanzar configuraciones con un número par de intercambios de biseles. No es posible alcanzar una configuración que tiene un número impar de intercambios, por ejemplo dos biseles intercambiados. Es equivalente un intercambiando de aristas y dos intercambios de vértices. Recuerda que en cubo hay una importante restricción que indica que los intercambios de vértices y aristas tienen la misma paridad.Supongamos entonces que elegimos una configuración de biseles con un intercambio respecto del original. ¿ Qué puede ocurrir ?Al intentar ordenar tendremos configuraciones aparentemente imposibles.Puede presentarse básicamente dos casos:El Prisma queda solamente con dos vértices intercambiados.Imposible de ordenar, lo que ocurre es que los vértices ya están colocados y necesitamos intercambiar los otros dos vértices aparentemente bien colocados y las aristas del bisel. Es decir hemos intercambiado el bisel.Más claro parece cuando sólo quedan dos aristas biseladas intercambiadas. Imposible de ordenar, lo que ocurre es que realmente las tenemos que considerar colocadas y realizar dos intercambios con los vértices correspondientes de su bisel. Pero puede ocurrir que sean dos aristas cualesquiera las que queden intercambiadas. Es un caso habitual si utilizas un algoritmo por capas y en la última capa ordenas primero los vértices.

AplastandoSupongamos que en el cubo sólo manipulamos las caras Arriba y Derecha.Esta restricción puede lograrse colocando unas pegatinas cuadradas 2x2 colocadas en las caras Frente y aTrás y unas pegatinas rectangulares 2x3 en las caras Izquierda y aBajo. Es decir, el efecto es que se forma un bloque 2x2x3.Figura 4.Como supongo que no tiene nombre, lo denominaré Dubo.Este puzzle tendría que estar en el apartado Bloqueando, pero me sirve de introducción.

Figura 4. Dubo

No creas que sabiendo ordenar el cubo sabes ordenar directamente el Dubo.Los operadores que utilices sólo pueden utilizar las dos caras.Resulta curioso y hasta cierto punto contradictorio, tiene menos estados pero puede resultar más complicado de encontrar operadores.¿ El Dubo es un puzzle tridimensional ?Si pudiéramos poner en un mismo plano las dos caras conservando las posibilidades de giro, parece que tendríamos que decir que es un puzzle bidimensional.Resulta que este tipo de puzzles ya existe. Figura 5No tengo claro la cronología de este tipo puzzle. Creo es posterior al cubo, propuesto por Douglas A. Engel, según un artículo de Investigación y Ciencia de A.K. Dewdney, aunque yo había visto puzzles basados en la misma idea, incluso más complejos.

Figura 5. Turn Stile

Existen diferentes coloreados, nos fijamos en el de la figura, que se comercializa con el nombre de Turn Stile. No resulta el más didáctico, ya que no permite distinguir bien las piezas inicialmente.El puzzle consta de dos círculos con intersección. Cada circulo tiene una serie de piezas.Podemos girar cada uno de los círculos y las piezas se van mezclando.Los círculos son similares a las caras del cubo.Existen dos tipos de piezas, unas con forma de triángulo inflado, que se corresponde con los vértices y unos rectángulos desinflados, que se corresponde con las aristas.En la figura, la intersección es amarilla y son 3 piezas, dos vértices y una arista en el centro.Exactamente como en el cubo.La diferencia con el cubo es que cada círculo tiene 6 vértices y 6 aristas. Es debido al diseño plano, es necesario que las caras sean circulares.Los giros básicos son de 60º.

El Magic8, que puede datar del 1890, figura 6. consta de dos circuitos circulares secantes que forman un "8" y contienen bolas. Las bolas se deslizan por el circuito y se mezclan las situadas en la intersección.También admite diferentes coloreados, el más complicado sería las bolas numeradas.Podemos comprobar que están basados en la misma idea.

Figura 6. Magic8

Creo que no existe ninguna duda en que el Magic8 es bidimensional.No me resulto complicado diseñar el Magic8 sobre una esfera. Lo denominé iESFERA.En la iESFERA, las intersecciones de los aros se producen en dos fichas diametralmente opuestas, a diferencia del Magic8. El diseño completo de la iESFERA es añadiendo un tercer aro, perpendicular a ambos. En la prehistoria de la informática diseñé un simulador para la iESFERA con dos circuitos.Puedes descargar el simulador en mi página de Movimientos Secuenciales.

Figura 7. iESFERA

¿ Es la iESFERA un puzzle tridimensional ?Quizás no nos pongamos de acuerdo, y la clave es que tendríamos primero que definir que se considera un puzzle tridimensional.El cubo de Rubik podemos considerarlo como un puzzle compuesto por círculos o circuitos de piezas con intersecciones, si nos fijamos en la versión esférica es más evidente. El movimiento básico de girar una cara, es idéntico al de deslizar las piezas por el circuito.Supongamos que diseñamos un Cubo Esfera sobre la superficie de la Tierra, con esta idea de circuitos. Con un poco de esfuerzo haríamos girar las piezas. No creo que tuviéramos la sensación de que el puzzle es tridimensional.Algunos defienden que es bidimensional, ya que las piezas se mezclan sobre la superficie. No hay intercambios de piezas del tipo dentro - fuera.

Grabiel Iorente ha trabajado con este tipo de puzzles con diseños 2D y algunos 3D.Los puzzles 2D compuestos por círculos con intersecciones tienen el aspecto de mosaico regulares. El puzzle de la figura 8, lo denomina La Parrilla.

Figura 8 La parrilla.

Rodolfo Valerias ha trabajado en una serie de Juegos de Ordenación Planos. Ha diseñado un simulador para JOP-2. Un puzzle que en la configuración básica es un cuadrado de 4x4, con posibilidad de realizar movimientos cíclicos de 4 piezas de un cuadrado 2x2.Tiene opciones para modificar el tamaño del puzzle, restricciones en los movimientos, controlar la orientación de las piezas y autoresolución. Puedes descargar el simulador en su página Heureka.http://usuarios.iponet.es/rodoval/heureka

Figura 9. JOP-2

He realizado algunos diseños, una idea interesante consta de 6 círculos alrededor de uno de igual tamaño.En el diseño básico, cada círculo tiene dos piezas y puede girar de modo independiente. Se puede incrementar el número de piezas a valores pares.Para mezclar las piezas es necesario el giro del círculo central que mueve todas las piezas interiores.

Figura 10. Circunloquio

Independientemente, buscando ideas en sólidos diferentes, diseñe un puzzle tridimensional con forma de Toro o Donut, con piezas semicilindricas.Dispone de dos tipos de movimientosSe pueden girar cada cilindro independientemente y se puede girar la mitad del Donut.Se necesitan unas piezas de ajuste.Me di cuenta que los puzzles eran idénticos en la esencia.

La idea es tan bonita como sencilla y hace unos años la he visto en el mercado con el nombre comercial de Meeting Colors y en la publicidad aparece como una pulsera.Tiene 4 piezas por cilindro.Hay que tener cuidado en alinear bien las piezas, ya que tiende a bloquearse.

Figura 11. Meeting Colors

De todos modos, mis análisis fueron mas allá, nos fijamos en la superficie correspondiente al giro de medio Donut, es una arandela. Si la cortamos y la unimos del revés mentalmente, podemos conseguir una Banda de Moebius. Una superficie de una sóla cara. Ahora no hay mitad del donut y todas las piezas de mueven en ciclo.Se permite también el otro giro básico, girar un cilindro.Con un número suficiente de piezas es posible crear el puzzle físicamente, aunque pueden existir problemas de bloqueo.Este interesante puzzle, no es tan interesante, investigalo.

BloqueandoEn el Mundo Científico, publicó un articulo sobre la nueva generación de puzzles, tras el cubo de Rubik. Raoul Raba presentaba algunos diseños planos basados en el cubo de Rubik.Uno era básicamente 3 caras adyacentes aplastadas, por ejemplo Frente Arriba Derecha y el aspecto es exactamente igual que el propuesto por Engel, pero con un circulo más.Los 3 círculos tienen como intersección un vértice.También puede simularse en el cubo, bloqueando el resto de las caras con pegatinas cuadradas 2x2, ajustadas al vértice Izquierdo - aTrás - aBajo.Es decir, el efecto es que se forma un bloque cúbico 2x2x2.

Es interesante el diseño del Bicubo, figura 12, que puede simularse sobre un cubo de Rubik.

Figura 12. Bicubo

Sólo se manipulan las 3 caras visibles en la figura.La pieza intersección es un vértice, el resto son prisma 1x1x2 formados por dos piezas y unidos por pegatinas de tamaño 2x1, se forman 4 piezas dobles por cara.La parte no visible está formada por un cubo 2x2x2 queda bloqueado por pegatinas 2x2.El Bicubo es un puzzle complicado, el tamaño doble de las piezas provoca que el puzzle se pueda bloquear en ciertos movimientos.Los operadores tienen que tener en cuenta que no siempre las piezas están en la misma distribución.

Otras DimensionesEl Cubo de Rubik, 3x3x3 , podemos decir que es de orden o dimensión 3, entendiendo por dimensión el número de cubos unitarios de un lado del cubo.Existen cubos de otras dimensiones, 2, 4, 5. Los nombres tienen varias denominaciones. Yo no me complico y les denomino CuboN, siendo N la dimensión. No tengo claro la cronología de los puzzles, parece que el Cubo2 fue el primero en patentarse, antes que el Cubo de Rubik 3x3x3.Rubik también patentó posteriormente un cubo 2x2x2. Tengo que suponer que los mecanismos internos son diferentes.Los nombres habituales y su diseñador son:

2 MiniCubo, Larry Nichols4 La venganza de Rubik, Peter Sebesteny5 El cubo del Profesor o Rubik's Wahn, Udo Krell

Figura 1 Minicubo Figura 2 La venganza de Rubik Figura 3.El cubo del Profesor

El Cubo4 es complicado de encontrar, hubo hasta una subasta en la red.

Personalmente, el que más me gusta es el Cubo2. Tiene un encanto especial con todas las piezas iguales.Puede simularse sobre un Cubo3. (También en cualquiera de los superiores).Podemos colorear las piezas Centro y Arista de gris, como la figura4.

Figura 4. Cubo2

Se demuestra indirectamente que si sabemos resolver el Cubo3, podemos resolver el Cubo2.Se puede utilizar el Cubo 3 incluso para diseñar el Cubo2 con el mismo aspecto exterior. Necesitas fabricar unas piezas con tres paredes de un cubo, como los colores visibles de los vértices, pero de mayor tamaño.Tenemos que pegarlas encima del vértice correspondiente, pero con una base que las deje a cierta distancia, para que al girar una cara, no choquen con las aristas y centros.

Rubik diseño un paralelepípedo de dimensiones 3x3x2, que denomina Dominó Mágico.Los cubos unitarios tienen puntos como media ficha de dominó.Los giros básicos son idénticos al cubo cuando se gira una capa cuadrada, pero de 180º cuando se gira una capa rectangular.El Dominó Mágico puede considerarse como 2/3 del Cubo.

¿ Puede diseñarse un puzzle menor ?

Bueno.... menor en el tiempo, diseñe un puzzle megalítico, está compuesto por menhires, con forma de paralelepípedo 1x1x3 , con cada cara pintada de un color.El puzzle consta de 9 menhires en disposición 3x3. Forman un cubo 3x3x3En la posición ordenada todos los menhires tienen la misma orientación y el cubo tiene cada cara de un color.El movimiento básico es girar 180º cualquier fila o columna, de modo que se deslice paralela a las filas o columnas adyacentes.

Figura 5. Crónlech

Lo denomino Crónlech, en honor a la disposición de los menhires. Todavía se está estudiando el verdadero significado o utilidad de estos monumentos megalíticos, ¿Religioso? ¿Astronómico?.Espero que no tardes tanto en analizarlo, es un puzzle fácil. Puede que el Algoritmo de Dios sea fácil de encontrar en este ambiente, pero confórmate con un algoritmo prácticoEn el Crónlech existen 3 tipos de menhires, según su posición relativa en el puzzle, nos fijamos en la cara de arriba:Menhir central, es el que está en el centro del cuadrado, hay 1.Menhir esquina, son los que están en las esquinas del cuadrado, hay 4.Menhir Medio, son los que están en medio de las caras laterales, hay 4.

Empieza analizando que efectos se producen al realizar un giro básico.¿ Qué no tienes menhires ?¡ aTIZA ! . Este era otro de los nombres posibles para este puzzle blando, puedes utilizar 9 TIZAS para analizarlo.¿ Todavía no te has dado cuenta que puede simularse con el cubo ?Se consigue con pegatinas 1x3 y se pegan verticales en las caras laterales del cubo.Cada menhir está compuesto por 3 piezas unitarias del cubo.El menhir central es tan particular como lo son las piezas centrales en el cubo.Crónlech podemos considerarlo del tipo Bloqueando.Con poco de cuidado, no es necesario utilizar pegatinas, el movimiento básico del Crónlech, girar 180º cualquier fila o columna, es equivalente en la terminología del cubo a realizar solamente giros de 180º de las caras laterales del cubo y también es posible girar 180º las capas intermedias verticales.

... y por último, se comporta como si el cubo fuese de una sola capa, un prisma 3x3x1. Tenemos 1/3 de cubo.Crónlech es un puzzle fácil, pero como suelo indicar en mis notas..... es mío.No quiero decir que hay sido el primero en tener esta idea tan sencilla, con los millones de aficionados que hay a este tipo de puzzles, es casi seguro que otros han tenido la misma idea.Lo interesante, es que se te haya ocurrido.

Todo este circunloquio, para indicar que he visto en la lista de Mark Longridge Rubik's Layer (3x3x1), no tengo claro si es una idea o un puzzle.

¿ Cuantos estados diferentes tiene ?Quizás te sorprenda, sólo tiene 192 estados y no se me olvida indicar millones.

Otros Poliedros

El Cubo de Rubik se considera un puzzle de forma de cubo con giros centrados en las caras, es decir que se giran las caras del poliedro.Creo que la primera generalización fue realizar el mismo diseño en un dodecaedro.EL nombre del puzzle es Megaminx, diseñado por Kersten Meier y Ben Halpern.

Figura1. Megaminx

Anteriormente y de modo independiente habían diseñado El Tetraedro, pero con un mecanismo un poco burdo.Parece ser que Uwe Mèffert tenía unos diseños de Tetraedro más precisos, eran anteriores al cubo y fue uno de los diseñadores que aprovecharon el éxito del cubo para comercializarlo con el nombre de Pyraminx. Fue el primer puzzle que conseguí después del Cubo. En el Tetraedro ( lo siento, pero me cuesta denominarlo Pyraminx ), puede considerarse que se giran las caras y permanece fijo el vértice opuesto, pero parece más correcto considerar que es un puzzle con giros centrados en los vértices

Figura 2. Tetraedro

Tiene unas piezas que denomino supervértices que pueden girar libremente, es un giro de un nivel, sin que se mezclen las aristas. Los supervértices están fijos a un tipo de pieza que denomino subvértice, donde se apoyan. Al conjunto de piezas supervértice y subvértice lo denomino vértice.El vértice es el equivalente a la pieza Central del Cubo de RubikPara mezclar las aristas es necesario realizar un giro de dos niveles, es decir girar un vértice y se giran 3 aristas.Si no lo has manipulado y ......desmontado, es complicado de entender inicialmente.Después de manipular el cubo durante años, el giro del Tetraedro resultaba extraño y la muñeca se resistía a realizarlo correctamente.

Posteriormente Uwe Mèffert diseño un tetraedro que añade otras posibilidades de giro, que denomina Master Pyraminx. Permite además girar 180º alrededor de una arista, todas las piezas entre sus dos vértices.

Otros Giros

Existen otros puzzles con aspecto exterior de cubo que disponen de otras posibilidades de giro. Tony Durham diseño el Skewb, figura 1.Tiene un curioso giro básico, gira la mitad del cubo de modo segado. La sección de giro es un hexágono.Desconozco si llegó a realizar un prototipo o ideó el mecanismo interno, pero se puso en contacto con Mèffert para el desarrollo y lo denominó Pyraminx Cube.

Figura 1. Skewb

El Dino Cube, figura 2, es el puzzle que mayor desilusión me ha producido. No es que sea malo. Tiene forma de cubo, Tiene 12 piezas iguales.Los giros están centrados en los vértices, moviendo 3 piezas.

Figura 2. Dino Cube

El coloreado de la figura es el habitual, con una cara de cada color (H).También admite otros coloreados, por ejemplo las 3 piezas de un vértice monocolores idénticas ( I), en total son 4 colores

David Byrden tiene un simulador en su página.Mark Longridge lo recogeA Rubik's Cube ChronologyMay 16, 1995 First mention of Rubik's Dino Cube in cube-lovers Ranking the Puzzles by Number of Combinations

Nº Name Combinations Mechanism

25. Dino Cube #1 (H) 1.9*10^7 Erno Rubik?? 31. Dino Cube #2 ( I ) 4.2*10^4 Erno Rubik??

Este puzzle ha sido comercializado antes del 1995, pero no entiendo la falta de información.Parece que es complicado encontrar uno, estaría muy agradecido sobre cualquier información sobre la empresa que lo comercializa y el puzzle en general.

La desilusión no es porque el puzzle sea malo.Este puzzle lo diseñe en el año 1984.En aquél momento no se me ocurrió otro nombre que El Cubo de Javik.No lo había visto en ningún catálogo durante estos años, eso me ilusionaba, pero me extrañaba ya que es un puzzle sencillo de diseñar.Construí un prototipo muy rudimentario para comprobar que funcionaba.Realicé un simulador con mi primer ordenador ZX Spectrum 48K.No lo patenté, resultaba excesivamente caro, y aun estoy arrepentido.El Dino Cube es un puzzle relativamente fácil, es posible solucionarlo por niveles y sólo necesita operadores para la última fase de ordenación de la cara superior.

La dificultad es similar al Tetraedro, y es que en fondo el Dino Cube es un híbrido entre Cubo y Tetraedro, y por cuestiones de genética tiene el aspecto del cubo y el carácter del Tetraedro.

Veamos el cálculo del número de estados posibles.En principio tiene 12 piezas iguales, para calcular las permutaciones es necesario fijar una, para fijar la orientación general del cubo, entonces 11!.Un giro básico mueve 3 en ciclo, el número de intercambios tiene paridad par. No son posibles los estados con un número impar de intercambios.Esta restricción tiene factor 2.Lo más curioso del puzzle es una propiedad que pasa inadvertida inicialmente, las piezas no pueden voltearse. Es decir, una pieza después de pasearse por todo el cubo, siempre llega a su posición inicial con la misma orientación.Entonces las orientaciones no incrementan número de estados.El numero total de estados es aproximadamente 1.99*10^7.

Un curioso puzzle es Square1, figura 3 en España se ha comercializado como Super Cubix, diseñado por Vojtech Kopsky

Figura 3. Square 1

El Super Cubix consta de 3 capas:La capa intermedia tiene sólo dos piezas y nunca abandonan la capa. Podemos considerarlo como un subpuzzle. Se comprueba que es fácil de solucionar.Las capas extremas son idénticas, constan de 8 piezas, 4 aristas y 4 vértices.Los vértices tienen un ángulo doble que las aristas.Dispone de dos tipos de movimientosGiro de las capas extremas, el giro básico es un paso de arista, 30º.Giro sesgado de medio cubo 180º.El giro sesgado y los dos tipos de piezas básicos hacen que el Square1 pierda la forma de cubo al manipularse, y si se manipula aleatoriamente tiende a bloquearse.

No es un puzzle demasiado original, podemos considerarlo una variante del Masteball, diseñado por Geza Gyovai. Figura 4.

Figura 4. MasterBall

Hemos indicado que la capa central podemos considerarla como un subpuzzle, por lo tanto queda solamente las capas extremas.Si el puzzle fuese de un cilindro, o una esfera, el giro sesgado sería diametral y además no perdería nunca la forma básica. Es solamente una cuestión estética.Si disponemos de un Masteball de 12 piezas por capa, podemos simular un Square1, utilizando solamente 2 capas y pegando adecuadamente dos piezas adyacentes para conseguir alternar piezas simples y doblesSquare1 aporta esta sencilla idea, que provoca bastantes complicaciones, por lo que hay que reconocer su mérito.