Función CuadráticaSituaciones que dan origen a funciones

cuadráticas

IntroducciónLas funciones cuadráticas son utilizadas

en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física y Economía. Son útiles  para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresas, y obtener así  información sin necesidad de recurrir a la experimentación.

Un poco de historiaSiglos antes de resolver algebraicamente la

ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distinguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas). Se sabe que los matemáticos babilonios alrededor del 400 a.C y los chinos en el 300 d.C usaban este método para resolver ecuaciones de segundo grado con raíces positivas. En torno al 300 d.C Euclides creó un método geómetrico más general (abstracto).

Situaciones que dan origen a funciones cuadráticasUn terreno rectangular se desea proteger con una

cerca. ¿Cuál es el área máxima que se puede cercar con 110 metros de malla?

TemperaturasSupongamos que la temperatura de un cierto día

de la ciudad de México luego de t horas pasada la medianoche está dada por la función:

T(t) =

¿A qué hora la temperatura fue máxima?

2 014 10

4t t C

ProyectilesSe arroja un objeto verticalmente hacia arriba con

una velocidad de 80m/seg.  Su altura en función del tiempo se puede aproximar por la fórmula:

2( ) 4.9 80f t t t

Una función de la forma: f (x) = a x ² + b x + c

con a, b y c pertenecientes a los reales y a ≠ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.

Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Características de la función cuadrática

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

f(x)= ax2 + bx + c

Características de la función cuadrática

TérminoCuadrático

Término Lineal

Término Independiente

Raíces de la función cuadráticaLas raíces ( o ceros) de

la función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.  Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

SimetríaLa parábola

presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos.

VérticeEl vértice de la parábola está ubicado

sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x se calcula:

2

bx

a

ConcavidadOtra característica es si la parábola es cóncava o

convexa:Si  a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.  

Si  a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.

Ahora ya conoces los elementos que componen a la función cuadrática y algunas de sus aplicaciones.