BAB 1

PENDAHULUAN HITUNG VEKTOR

BESAR SKALA hanya memiliki besar. Contoh besaran skala yang khas

adalah jumlah siswa dalam kelas, banyaknya gula dalam tempat gula, harga

sebuah rumah dan lain sebagainya.

Karena besaran skala adalah bilangan belaka, maka cara penjumlahannya

sama dengan cara penjumlahan bilangan. Dua kelereng dalam saku kiri ditambah

tujuh kelereng dari saku lain adalah sembilan kelereng.

BESAR VEKTOR selain memiliki besar memiliki arah pula. Misalnya,

vektor perpindahan (vektor displacement) dapat berupa perubahan kedudukan dari

suatu tempat ke tempat yang lain sejauh 2 cm dalam arah x dari tempat pertama.

Contoh lain : tali yang diikatkan pada tiang, jika ditarik ke arah Utara

menimbulkan gaya yang bersifat vektor (vektor force) pada tiang itu sebesar 20

N, arah ke Utara. Satu Newton = 0,225 pound (1 N = 0,225 lb). Begitu pula, mobil

yang menuju ke selatan dengan laju 40 km/jam memiliki kecepatan vektor (vektor

velocity) sebesar 40 km/jam, arah ke selatan.

Besaran vektor dapat digambarkan sebagai anak panah, dimana panjang

anak panah menunjukkan besar vektor (2 cm, 20 N, 40 km/jam), dan arah anak

panah menunjukkan arah besaran vektor.

Apabila dicetak, vektor dinyatakan dengan cetak tebal, misalnya F. Dalam

tulisan, vektor seringkali ditulis sebagai dan

RESULTAN. Beberapa vektor sejenis, misalnya vektor gaya, adalah suatu vektor

yang mempunyai akibat yang sama dengan akibat semua vektor itu.

PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA GRAFIS METODE POLIGON:

Pada cara ini resultan sejumlah vektor diperoleh dengan menggambarkan anak

panah-anak panah vektor secara sambung menyambung dengan memperhatikan

panjang maupun arah anak panah yang bersangkutan. Ekor anak panah yngsatu

diimpitkan dengan ujung anak panah yang mendahuluinya, seperti diperlihatkan

dalam Gambar 1-1.

Resultan vektor-vektor ini dinyatakan dengan anak panah yang ekornya

adalah ekor anak panah pertama dan ujungnya adalah ujung anak panah pertama

dan ujungnya adalah ujung anak panah terakhir yang ditambahkan.

METODE JAJARAN GENJANG untuk

menjumlahkan dua buah vektor: Resultan dua vektor

yang berpotongan adalah diagonal jajar genjang

dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi jajaran

genjang. Lihat Gambar 1-2. Arah resultan adalah

menjauhi titik awal kedua vektor.

PENGURANGAN VEKTOR: untuk

mengurangkan vektor B dasri vektor A, balikkanlah

arah B dan jumlahkan terhadap vektor A, sehingga

A – B = A + (-B).

FUNGSI TRIGONOMETRI diperoleh dengan

memperhatikan segitiga siku-siku. Dengan mengacu

pada gambar 1-3, didefinisikan bahwa:

sin sin sin

fungsi-fungsi ini kerap digunakan dalam bentuk :

o = h sin a = h cos o o = a tan

KOMPONEN VEKTOR adalah nilai vektor tersebut dalam arah tertentu. Sebagai

contoh, komponen x suatu perpindahan adalah perpindahan sejajar sumbu x sesuai

vektor perpindahan tersebut. Suatu vektor dapat dipandang sebagai resultan

vektor-vektor komponennya dalam arah-arah tertentu. Kebiasaan yang ternyata

sangat berguna, adalah dengan menguraikan vektor dalam komponen-komponen

yang saling tegaklurus (komponen siku-siku).

PENJUMLAHAN KOMPONEN VEKTOR : Penjumlahan beberapa vektor dapat

dicapai dengan menjumlahkan komponen-komponennya : setiap vektor diuraikan

menjadi komponen x, y dan z, dengan catatan bahwa komponen dengan arah

negatif, diberi tanda negatif pula. Maka komponen Rx vektor resultan adalah

jumlah aljabar semua komponen x. demikian pula komponen y dan komponen z

vektor resultan. Dengan mengetahui komponen-komponennya, maka besar vektor

resultasn R adalah :

R

Untuk vektor dalam dua dimensi, sudut =

VEKTOR SATUAN i, j, dan k masing-masing ditetapkan terhadap sumbu-sumbu

x, y dan z. suatu vektor 3i menyatakan adanya vektor tiga satuan pada arah +x,

sedangkan – 5k menyatakan adanya vektor lima satuan pada arah –z. vektor R

yang mempunyai komponen-komponen x, y, dan z masing-masing berupa Rx, Ry,

dan Rz, dapat dituliskan sebagai R = Rxi + Ryj + Rzk.

Kadang-kadang digunakan dan sebagai pengganti i, j dan k.

Soal-soal yang Dipecahkan

1-1 Dengan memakai grafik, carilah resultan kedua vektor perpindahan berikut :

2m pada 40° dan 4 m pada 127 °, sudut-sudut ini dihitung terhadap sumbu x

positif, sebagaimana mestinya.

Tentukan sumbu x-y seperti tampak pada Gambar 1 – 4, dan gambarlah

kedua vektor itu (pindahkan besar masing-masing) secara sambung-

menyambung. Perhatikan bahwa semua sudut diukur terhadap sumbu x

positif. Vektor resultan R, adalah anak panah antara titik awal dan titik

akhir. Besar R diperoleh dengan mengukur panjang anak panah : 4,6 m.

dengan menggunakan mistar busur sudut ternyata 101°. Perpindahan

resultan adalah 4,6 m pada 101°.

1-2 Carilah komponen x dan y vektor perindahan 25 m pada 210°.

Lihat gambar 1 – 5 : komponen x = -25 cos 30° = -21,7

komponen y = -25 sin 30° = 12,5

Perhatikan benar-benar bahwa kedua komponen itu berarah negatif, maka

harus diberi tanda negatif pula.

Di dalam perhitungan diatas, komponen-komponen tersebut seharusnya

ditulis

- (25 m) cos 30° - (25 m) sin 30°

Akan tetapi, satuan besaran yang bersangkutan sering tidak

dicantumkan untuk menghemat ruang tulis.

Selesaikan Soal 1-1 dengan memakai komponen siku-siku.

Gambar 1 – 5

Setiap vektor diuraikan dalam komponennya yang saling tegak lurus

seperti yang terlihat pada Gambar 1-6(a) dan (b). [Vektor aslinya diberi

tanda II untuk menunjukkan bahwa vektor tersebut telah diganti dengan

kedua komponennya]. Komponen vektor resultan adalah :

Rx = 1,53 – 2,41 = -0,88 m Ry = 1,29 + 3,19 = 4,48 m

Perhatikan bahwa komponen yang berarah negatif harus diberi tanda minus.

Resultannya terlihat pada Gambar 1-6(c), nyata bahwa :

tan =

Maka = 79°, hingga = 180° - = 101°.

Carilah jumlah dua vektor gaya berikut dengan metode jajaran

genjang : 30 N pada 30° dan 20 N pada 140°.

Kedua vektor gaya diperhatikan pada Gambar 1-7(a). Kita bentuk

jajaran genjang dengan kedua gaya itu sebagai sisinya, lihat Gambar 1-7 (b).

resultannya R, adalah jajaran genjang. Dengan pengukuran, kita

mendapatkan R adalah 30 N pada 72°.

Gambar 1-7

1-5 Empat gaya sebidang bekerja pada sebuah benda dan berpotongan di titik O

seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1-8 (a). carilah resultan gaya secara

grafik.

Gambar 1-8

Dari titik O keempat vektor ditarik seperti tampak pada Gambar 1-

8(b). ekor vektor yang satu diimpitkan dengan ujung vektor sebelumnya.

Maka anak panah yang ditarik dari titik O ke titik ujung vektor terakhir

adalah vektor resultan.

Kita ukur R dari skala gambar pada Gambar 1-8(b) dan kita peroleh

bahwa R = 119 N. dengan mistar busur sudut α didapatkan 37°. Maka R

membentuk sudut = 180° - 37° = 143° dengan sumbu x positif. Resultan

gaya-gaya itu adalah 119 N pada sudut 143°.

1-6 Lima gaya sebidang seperti yang tampak pada Gambar 1-9(a) bekerja pada

sesuatu obyek. Tentukan resultan kelima gaya itu.

Gambar 1 - 9

(1) Tentukan komponen x dan y setiap gaya sebagai berikut :

Gaya Komponen x Komponen y

19 N 19.0 0

15 N 15 cos 60° = 7.5 15 sin 60° = 13.0

16 N -16 cos 45° = 1-33 16 sin 45° = 11.3

11 N -11 cos 30° = -9.5 -11 sin 30° = -5.5

22 N 0 -22.0

Perhatikan tanda + dan – yang menunjukkan arahnya.

(2) Komponen vektor R adalah Rx = Fx dan Ry = Fy, dimana Fx

berarti “jumlah semua komponen gaya dalam arah x”. dengan

demikian.

Rx = 19,0 + 7,5 – 11,3 – 9,5 + 0 = +5,7 N

Ry = 0 + 13,0 + 11,3 – 5,5 – 22,0 = -3,2 N

(3) Besar gaya resultan adalah :

= 6,5 N

(4) Akhirnya, kita gambarkan resultan tersebut seperti tampak pada

Gambar 1-9(b) dan tentukanlah sudutnya. Nyata bawah :

tan = = 0,56

hingga = 29°. Maka = 360° - 29° = 331°. Jadi gaya resultan adalah

6,5 N pada arah 331° (atau – 29°).

1-7 Selesaikan Soal 1-5 dengan cara penjumlahan komponen vektor.

Vektor-vektor dan komponen-komponennya :

Gaya Komponen x Komponen y

80 80 0

100 100 cos 45° = 71 100 sin 45° = 71

110 -110 cos 30° = -95 110 sin 30° = 55

160 -160 cos 20° = -150 -160 sin 20° = -55

Perhatikan tanda masing-masing komponen.

Rx = ∑Fx = 80 + 71 – 95 – 150 = - 94N

Ry = ∑Fy = 0 + 71 – 55 –55 = 71 N

Pada Gambar 1 – 10 tampak resultan ini, dan

kita lihat bawah :

R = 118 N

Selanjutnya, tan α = 71/94, maka α = 37°. Akibatnya gaya resultan adalah

118 N pada sudut 180° - 37° = 143°.

1-8 Gaya N 100 membentuk sudut dengan

sumbu x, dan komponen y-nya adalah 30 N.

Tentukan komponen x gaya itu; tentukan

pula .

Perhatikan Gambar 1-11. Kita Fx dan .

Kita tahu bahwa :

sin = = 0,30

Gambar 1-10

Gambar 1-11

selanjutnya, tan α = 71/94, maka α = 37° dan

gaya resultan adalah 118 N pada sudut 180° -

37° = 143°.

1-9 Sebuah tali yang terikat pada kereta ditarik dengan gaya sebesar 60 N. tali

membentuk sudut 40° dengan permukaan tanah. (a) Hitunglah besar gaya

datar yang dialami kereta. (b) hitung juga gaya angkat pada kereta.

Nyata dari Gambar 1-12 bahwa gaya 60 N mempunyai komponen 39 N

dan 46 N. maka (a) gaya tarik pada kereta dalam arah datar adalah 46 N dan

(b) gaya angkat adalah komponen vertikalnya yakni 39 N.

Gambar 1-12 Gambar 1-13

1-10 Mobil dengan berat w diparkir di atas galangan yang mempunyai

kemiringan terhadap permukaan tanah. Tentukan gaya tegak lurus yang

diperlukan agar galangan tidak ambruk/dapat menahan berat mobil.

Seperti tampak pada Gambar 1-13 berat mobil w adalah gaya yang

bekerja pada mobil dalam arah vertikal ke bawah. Gaya w kita uraikan

dalam arah sejajar dan tegaklurus galangan. Maka galangan harus dapat

menahan gaya w cos .

1-11 Nyatakan gaya-gaya dalam Gambar 1-6(c), 1-9 (b), 1 – 10 dan 1 – 12 dalam

bentuk R = Rxi + Ryj + Rzk. Mengingat bahwa tanda-tanda plus dan minus

harus digunakan untuk memperlihatkan arah pada :

Untuk Gambar 1-6(c) : R = -0,88i + 4,48j

Untuk Gambar 1-98(b) : R = -5,71 – 3,2j

Untuk Gambar 1 – 10 : R = -94i + 71j

Untuk Gambar 1 – 12 : R = 461 + 39j

Tiga buah gaya yang bekerja pada sebuah partikel dinyatakan sebagai

berikut F1 = 20i – 36j + 73k N. F2 = -171 + 21j – 46k N, dan F3 = -12kN.

Carikanlah resultannya dalam bentuk komponen. Cari juga besarnya

resultan tersebut.

Kita ketahui bahwa :

Rx = ∑Fx = 20 – 17 + 0 = 3 N

Ry = ∑Fy = -36 + 21 + 0 = -15 N

Rz = ∑Fz = 73 + 46 + 12 = 15 N

Berhubung R = Rxi + Ryj + Rzk, kita peroleh :

R = 3i – 15j + 15k

Sesuai teori Pythagoras tiga dimensi, maka :

R =

Gambarkan penjumlahan dan pengurangan antara vektor A, B dan C yang

tampak pada Gambar 1 – 14 : (a) A + B; (b) A + B + C; (c)A – B; (d)A + B

– C.

Perhatikan Gambar 1-14(a) s/d (d). Pada gambar (c) : A – B = A + (-B);

yakni untuk mengurangkan B dari A, balikkanlah arah B untuk kemudian

ditambahkan pada A. demikian pula di (d), A + B – C = A + B + (-C),

dimana besar – C adalah sama dengan besar C, tetapi arahnya berlawanan.

Gambar 1-14

1-14 Bila A = -12i + 25j + 13k dan B = -3j +7k, berapakah resultannya bila A

dikurangi dari B. Dari segi pendekatan matematis murni, kita memperoleh :

B – A = (- 3j + 7k) – (-12i + 25j + 13k)

= -3j + 7k + 12i – 25j – 13k = 12i – 28j – 6k

Perhatikan bahwa 12i – 25j – 13k adalah A dengan arah terbalik. Karena itu

pada pokoknya, kita mendapatkan A dengan arah terbalik dan ditambahkan

pada B.

1-15 Di atas air danau yang tenang perahu dapat bergerak dengan laju 8 km/jam.

Di atas air sungai yang mengalir perahu dapat melaju dengan kecepatan 8

km/jam relatif terhadap air sungai. Jika kecepatan air sungai adalah 3

km/jam, berapakah kecepatan perahu terhadap seorang pengamat yang diam

di tepi? (a) bila perahu melawan arus ?(b) Bila perahu bergerak searah

dengan arus?

(a) Jika seandainya air sungai tidak mengalir, laju perahu terhadap

pengamat adalah 8 km/jam. Tetapi perahu oleh air dihanyutkan dengan

laju 3 km/jam dalam arah yang berlawanan dengan arah laju perahu.

Maka laju perahu itu adalah 8 – 3 = 5 km/jam terhadap pengamat di

tepi.

(b) Dalam hal ini, air sungai menghanyutkan perahu dalam arah yang sama

dengan arah geraknya. Maka lajunya adalah 8 + 3 = 11 km/jam

terhadap pengamat di tepi.

1-16 Pesawat terbang dengan laju 500 km/jam ke arah Timur, sedangkan angin

meniup ke arah Selatan dengan kecepatan 90 km/jam. Tentukan laju dan

arah kecepatan pesawat relatif terhadap bumi.

Kecepatan resultan pesawat adalah jumlah kecepatan sebesar 500

km/jam arah Timur dan kecepatan 90 km/jam arah Selatan. Kedua

kecepatan ini merupakan komponen dari vektor kecepatan yang sedang

ditentukan : lihat Gambar 1 – 15. Maka.

R = = 508 km/jam, dan

tan α = = 0,180 maka α = 10,2°

Jadi kecepatan pesawat itu relatif terhadap bumi adalah 508 km/jam pada

10,2° arah Tenggara.

Gambar 1-15 gambar 1-16

1-17 Perhatikan kembali pesawat dalam Soal 1 – 6 diatas. Dengan angin yang

sama, dalam arah manakah pesawat harus diterbangkan pilotnya agar arah

geraknya tepat ke arah Timur menurut pengamat di bumi?

Kecepatan pesawat terhadap bumi adalah resultan kecepatannya sendiri

dan kecepatan angin. Lihat Gambar 1-16. Perhatikan bahwa kecepatan ini

memang berarah tepat ke Timur. Nyata bahwa sin = 90/500, maka =

10,4°. Jadi pesawat harus diterbangkan dalam arah 10,4° Timurlaut.

Berapakah laju pesawat dalam arah tepat Timur? Dari Gambar 1-16

dapat dilihat bahwa laju ini adalah R = 500 cos = 492 km/jam.

Soal-soal Tambahan

1-18 Serangga berturut-turut bergerak 8,0 cm ke arah timur, 5,0 cm ke arah

Selatan, 3,0 ke arah Barat dan 4,0 cm ke arah Utara. (a) Berapa jauhkan

dalam arah Utara dan Timur serangga itu telah bergerak dihitung dari titik

awal geraknya? (b) Tentukan vektor perpindahan serangga secara grafik

maupun secara aljabaran.

Jawab : (a) 5,0 cm Timur; - 1,0 cm. Utara ;(b) 5,10 cm pada 11,3° Tenggara.

1-19 Carilah komponen-komponen x dan y dari pergeseran-pergeseran

(displacement) berikut pada bidang xy (a) 300 cm pada 127° dan (b) 500 cm

pada 220°.

Jawab : (a) -180 cm, 240 cm; (b) – 383 cm, -321 cm

1-20 Pada suatu benda bekerja dua gaya : 100 N pada 170° dan 100 N pada 50°.

Tentukan resultannya.

Jawab : 100 N pada 110°

1-21 Dimulai dari titik asal sistem koordinat, pergeseran-pergeseran berikut

terjadi di bidang xy (pergeseran-pergeseran adalah coplanar atau terletak

pada satu bidang) : 60 mm pada arah +y, 30 mm pada arah –x, 40 mm pada

150° dan 50 mm pada 240°. Carilah resultan pergeseran baik secara grafik

maupun aljabar.

Jawab : 97 mm pada 158°

1-22 Hitunglah secara aljabar resultan dari gaya-gaya coplanar berikut 100 N

pada 30°, 141, 4N pada 45° dan 100 N pada 240°. Periksalah hasil anda

secara grafis.

Jawab : 151 N pada 25°

1-23 Hitung secara aljabar resultan kelima perpindahan koplanar berikut : 20 m

pada 30°, 40 m pada 120°, 25 m pada 180°, 42 m pada 270°, dan 12 m pada

315°. Bandingkan dengan hasil perhitungan secara grafik.

Bab 2

Gerak yang Dipercepat Beraturan

LAJU adalah besaran skalar. Bila benda memerlukan waktu t untuk menempuh

jarak d, maka :

laju rata-rata =

KECEPATAN adalah besaran vektor. Jikalau benda dalam waktu t mengalami

perpindahan s, maka :

Arah vektor kecepatan adalah sama dengan arah vektor perpindahan. Satuan

kecepatan (dan laju) adalah satuan jarak dibagi satuan waktu. Yang sering dipakai

adalah satuan m/s, atau km/jam,

PERCEPATAN adalah besaran yang menyatakan perubahan kecepatan terhadap

waktu, yakni :

Di sini vo adalah kecepatan awal vf kecepatan akhir, dan t adalah waktu yang

diperlukan agar perubahan kecepatan itu terjadi. Satuan percepatan adalah satuan

kecepatan dibagi satuan waktu. Secara umum contohnya adalah (m/s)/s (atau

m/s²) dan (km/jam)/s (atau km/jam –s).

Perhatikan bahwa percepatan merupakan besaran vektor. Percepatan mempunyai

arah vf – vo, yaitu perubahan dalam kecepatan.

GERAK LURUS YANG DIPERCEPAT BERATURAN adalah gerak yang

sangat penting pada gerak ini vektor percepatan adalah tetap, dan searah dengan

arah vektor perpindahan. Dengan demikian, arah vektor perpindahan, vektor v dan

a dapat dinyatakan dengan tanda + atau -. Apakah perpindahan diberi lambang x

(bertanda positif jika arahnya positif, dan negatif, jika arahnya negatif), gerak

lurus yang dipercepat beraturan ini dapat dilukiskan dengan lima persamaan

gerak berikut ini :

x =

=

a =

= + 2ax

x = +

x sering diganti dengan huruf y atau s, dan kadang-kadang kecepatan akhir vf

ditulis v saja.

ARAH ADALAH PENTING, dan suatu arah positif haruslah dipilih bila

menganalisis gerakan pada garis salah satu dari kedua arah dipilih. Bila

dalam suatu perpindahan (pergeseran), kecepatan atau percepatan terjadi

dengan arah berlawanan, maka perpindahan itu harus sering ditetapkan

sebagai negatif.

KECEPATAN SESAAT adalah kecepatan rata-rata apabila selang waktu

mendekati nol. Untuk semua selang waktu yang cukup kecil, perpindahan

akan terjadi sepanjang garis lurus, misalnya sumbu x. Jadi, jika benda

mengalami perpindahan x dalam waktu t, maka :

v = kecepatan sesaat =

Lambang lim x/t harus dihitung untuk selang waktu t yang mendekati

nol.

INTERPRETASI GRAFIS dari gerak sepanjang garis lurus (sumbu x)

adalah sebagai berikut :

* Kecepatan sesaat benda pada saat tertentu adalah kemiringan grafik x

terhadap t pada saat tersebut.

* Percepatan sesaat benda pada saat tertentu adalah kemiringan grafik v

terhadap t pada saat tersebut.

* Pada gerak lurus beraturan, grafik x terhadap t merupakan garis lurus.

Pada gerak lurus berubah beraturan grafik v terhadap t merupakan garis

lurus.

PERCEPATAN AKIBAT GRAVITASI (g). Benda yang bergerak di bawah

pengaruh gaya berat mengalami percepatan g, yakni percepatan gravitasi

yang arahnya vertikal ke bawah. Di bumi, g = 9,8 m/s² (=32,2 ft/s²). Nilai ini

diberbagai tempat sedikit agak berbeda pula. Di bulan percepatan jatuh

bebas adalah 1,6 m/s².

SOAL GERAK PELURU menjadi mudah kalau gesekan udara diabaikan.

Maka gerak ini hanya diperkirakan terdiri dari dua komponen gerak : gerak

horisontal dengan a = 0 dan vf = vo = (yakni kecepatan tetap) dan gerak

vertikal dengan a = 9,8 m/s² ke arah bawah.

Soal-soal yang Dipecahkan

4-1 Ubah laju 0,200 cm/s menjadi km/tahun

0,200 =

4-2 Seorang pelari menempuh satu putaran sepanjang 200 m dalam waktu 25

detik. (a) Berapakah laju rata-ratanya? (b) Berapakah kecepatan rata-

ratanya?

(a) Dari definisi :

Laju rata-rata = = 8,00 m/s

(b) Karena titik akhir lintasan berimpit dengan titik awalnya, maka vektor

perpindahan pelari itu adalah nol. Hingga

4-3 Benda yang mula-mula diam dipercepat dengan percepatan 8 m/s² dan

menempuh garis lurus. Tentukan (a) laju pada akhir detik ke-5; (b) laju rata-

rata dalam selang waktu 5 detik pertama; (c) jarak yang ditempuh dalam 5

detik tersebut.

Kita hanya memperhatikan gerak selama 5 detik pertama. Pada gerak

ini diketahui bahwa vo = 0, t = 5 s, a = 8 m/s². Karena gerak ini adalah gerak

yang dipercepat beraturan, maka kelima persamaan gerak di atas dapat

digunakan :

(a) vf = vo + at = 00 (8 m/s²) (5 s) = 40 m/s

(b) = m/s = 20 m/;s

(c) x =

atau x =

4-4 Laju sebuah truk bertambah secara teratur dari 15 km/jam menjadi 60

km/jam dalam waktu 20 detik. Carilah (a) laju rata-rata, (b) percepatan, (c)

jarak yang ditempuh, dalam satuan meter dan detik.

Pada gerak selama 20 detik ini berlaku :

vo = = 4,17 m/s

vf = 60 km/jam = 16,7 m/s

t = 20 s

(a) = m/s = 10,4 m/s

(b) a = = = 0,63 m/s²

(c) x = = (10,4 m/s) (20 s) = 208 m

4-5 Benda bergerak dalam arah x, dan grafik x

terhadap t terlihat pada Gambar 4-1. Dapatkan

kecepatan sesaat benda di titik A dan B.

Berapakah kecepatan rata-rata benda itu?

Berapakah percepatannya ?

Kecepatan adalah kemiringan x/t dari

garis singgung, pada grafik x terhadap t, di suatu

titik. Dalam soal ini garis singgung pada garis

lurus adalah garis lurus itu sendiri. Perhatikan

segitiga di titik A :

= 0,50 m/det

Yang juga adalah kecepatan di titik B dan di

semua titik-titik lain garis lurus tersebut. Maka

a = 0 dan x = vx = 0,50 m/det.

4-6 Gerakan sebuah benda pada sumbu x dilukiskan secara grafis pada Gambar

4-2. Lukiskan dan jelaskan pada gerakan tersebut.

Kecepatan benda tersebut setiap saat adalah sama dengan sudut

kemiringan (slope) dari garis grafik pada titik yang sesuai dengan saat itu.

Berhubung sudut kemiringan adalah nol dari t = 0 detik, benda tersebut

berada dalam keadaan diam selama selang waktu tersebut. Pada t = 2 detik

benda mulai bergerak kearah +x dengan kecepatan konstan (sudut

kemiringan adalah positif dan konstan). Untuk selang waktu t = 2 detik

hingga t = 4 detik.

v = sudut kemiringan =

= 1,50 m/det

Gambar 4-7 Gambar 4-8

Selama selang waktu t = 4 detik hingga t = 6 detik, benda tersebut

dalam keadaan diam; sudut kemiringan dari grafis adalah nol dan x tidak

berubah untuk selang waktu tersebut. Dari t = 6 detik hingga t = 10 detik

dan juga melampaui waktu tersebut, benda itu bergerak ke arah –x; sudut

kemiringan dan kecepatan adalah negatif. Kita memperoleh :

= sudut kemiringan = = 1,25 m/s

4-7 Gerakan vertikal dari sudut benda dilukiskan secara grafis pada Gambar 4-3.

Uraikan gerakan tersebut secara kualitatif, dan carilah kecepatan sesaat pada

titik A, B dan C.

Mengingat bahwa kecepatan sesaat dinyatakan oleh sudut kemiringan

dari garis grafik, kita lebih bahwa benda tersebut bergerak paling cepat pada

t = 0. Bila garis lengkung tersebut naik, ia menjadi lebih pelan dan akhirnya

berhenti pada B. (sudut kemiringan di sini adalah nol). Sesudah itu garis

lengkung tersebut mulai turun dan benda itu kecepatannya bertambah terus.

Pada titik A, kita dapati

vA = sudut kemiringan = = 2,25 m/s

kecepatan di A adalah positif, sehingga arahnya adalah +y. Pada titik – titik

B dan C.

uB = sudut kemiringan = 0 m/s

uC = sudut kemiringan = = 1,15 m/s

Berhubung hasil ini negatif, kecepatan di C adalah dengan arah –y.

4-8 Bola jatuh bebas dari ketinggian 50 m. (a) Berapakah laju bola sesaat

sebelum sampai di tanah? (b) Berapa waktu yang diperlukan bola untuk

mencapai tanah?

Dengan mengabaikan gesekan udara, bola itu bergerak dipercepat

beraturan hingga sampai di tanah. Percepatan yang dialaminya adalah 9,8

m/s² ke bawah. Dengan mengambil arah ke bawah sebagai arah positif,

maka :

y = 50 m a = 9,8 m/s² vo = 0

(a) + 2ay = 0 + 2(9,8 m/s²) (50 m) = 980 m²/s²

maka vf = 31,3 m/s

(b) Karena a = (vf – vo) / t,

maka t = = 3,19 s

(Jika kita mengambil arah ke atas sebagai positif, bagaimana Anda

menghitung perubahan ini?)

4-9 Seorang pemain ski dari keadaan diam meluncur ke bawah sejauh 9 m

dalam waktu 3 detik. Setelah berapa lama orang itu mencapai kecepatan 24

m/s? Anggaplah orang itu mengalami percepatan tetap.

Pertama-tama kita harus tentukan dahulu percepatan yang dialami

pemain ski itu. Ini dapat kita peroleh dengan memakai data mengenai

geraknya selama 3 detik itu. Di sini berlaku : t = 3 s, vo = 0, dan x = 9 m.

maka, karena x = vot + ½ at², diperoleh :

a = = 2 m/s²

Hingga a ini kita gunakan dalam gerak dari titik semula hingga titik di

mana v = 24 m/s. Di sini vo = 0, vf = 24 m/s, a = 2 m/s². Dari vf = vo + at

diperoleh :

t = = = 12 s

4-10 Bis yang bergerak dengan laju 20 m/s mulai mengurangi kecepatannya

sebanyak 3 m/s setiap detik. Berapakah jarak yang ditempuhnya sebelum

sama sekali berhenti?

Tetapkan arah gerak menjadi x positif. Di sini berlaku : vo = 20 m/s, vf =

0 m/s, a = -3 m/s². Perhatikan bahwa bis itu tidak dipercepat dalam arah

positif, melainkan diperlambat dalam arah itu, maka percepatannya bertanda

negatif (perlambatan). Dengan memakai rumus

kita dapatkan :

x = = 66,7 m

4-11 Mobil dengan laju 30 m/s mengalami perlambatan hingga dalam waktu 5

detik lajunya tinggal 10 m/s. Tentukan (a) percepatan dan (b) jarak yang

ditempuh mobil dalam detik ketiga.

(a) Dalam selang waktu 5 detik : t = 5 s; vo c= 30 m/s, vf = 10 m/s; Dari vf =

vo + at diperoleh

a = = -4 m/s²

(b) x = (jarak tempuh selama 3 detik) – (jarak tempuh selama 2 detik)

= (vot3 + at ) - (vo2 + at )

= vo(t3 – t2) + a (t - t )

Dengan mengetahui vo = 30 m/s,

a = 4 m/s², t2 = 2s, t3 = 3s diperoleh x = (30 m/s) (1 s) – (2 m/s²) (5

s²) = 2,0 m

4-12 Kecepatan kereta api berkurang beraturan dari 15 m/s hingga menjadi 7 m/s

dalam jarak 90 m. (a) Tentukan percepatan, (b) Hitung jarak yang masih

dapat ditempuh kereta api itu sebelum berhenti, dengan anggapan

percepatannya tetap.

Marilah kita tetapkan arah geraknya menjadi arah x positif.

(a) Disini vo = 15 m/s, vf = 7 m/s, x = 90 m. Dari 2ax diperoleh

:

a = -0,98 m/s²

(b) Sekarang berlaku vo = 7 m/s, vf = 0, a = 0,98 m/s². Maka dari

+ 2ax

diperoleh

x =

4-13 Batu dilempar vertikal ke atas dan mencapai titik tertinggi 20 m. hitung laju

semulanya.

Misalnya arah ke atas kita ambil positif. Kecepatan batu adalah nol

pada titik tertingginya. Maka vf = 0, y = 20 m, a = -9,8 m/s² (tanda minus ini

disebabkan karena gravitasi selalu ke bawah, sedangkan arah ke arah atas

sudah ditentukan sebagai arah positif). Dengan memakai hubungan

diperoleh :

vo = = 19,8 m/s

4-14 Batu dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan 20 m/s,

dan ditangkap kembali sewaktu turun di titik 5,0 m di atas

titik awalnya : (a) Hitunglah kecepatan batu pada saat

ditangkap. (b) Hitung juga waktu perjalanan batu.

Lihat Gambar 4-4. Ambillah arah ke atas sebagai arah

positif. Selama perjalanan, dari saat batu dilempar sampai

ditangkap, berlaku bahwa vo = 20 m/s,y = +5 m

(perhatikan tandanya), a = -9,8 m/s².

(a) Dari diperoleh

(20 m/s)² + 2(-9,8 m/s²) (5 m) = 302 m²/s²

= ± = -17,4 m/s

Disini dipakai tanda negatif mengingat arah batu pada saat ditangkap

adalah ke bawah.

(b) Dari a – (vf – vo)/ t diperoleh

t = = 3,8 s

perhatikan bahwa vf harus diberi tanda negatif.

4-15 Di bulan sebuah bola yang dilempar vertikal ke atas, setelah 4 detik kembali

ke tempat semulanya. Percepatan terhadap gravitasi adalah 1,60 m/s² ke

bawah. Berapakah kecepatan awalnya ?

Ambil arah ke atas sebagai arah positif. Dari awal sampai akhir berlaku

y = 0, a = -1,60 m/s², t = 4 s. Perhatikan bahwa titik akhir dan awal

berimpitan hingga perpindahan bola itu adalah nol. Dari y = vot + ½ at²

diperoleh

t = = 3,8 s

Perhatikan bahwa vf harus diberi tanda negatif.

4-15 Di bulan sebuah bola yang dilempar vertikal ke atas, setelah 4 detik kembali

ke tempat semulanya. Percepatan terhadap gravitasi adalah 1.60 m/s² ke

bawah. Berapakah kecepatan awalnya?

Ambil arah ke atas sebagai arah positif. Dari awal sampai akhir berlaku

y = 0, a = -1,60 m/s², t = 4s. Perhatikan bahwa titik akhir dan awal

berimpitan hingga perpindahan bola itu adalah nol. Dari y = vot + ½ at²

diperoleh :

0 = vo(4s) + (-1,60 m/s²) (4s)²

Maka vo = 3,20 m/s

4-16 Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dengan kecepatan 35 m/s. dengan

mengabaikan gesekan udara, (a) hitunglah ketinggian maksimum yang

dapat dicapai, (b) waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian itu, (c)

kecepatan sesaat pada akhir detik ke-30. (d) Bila bola itu mencapai

ketinggian 100 m?

Ambillah arah ke atas sebagai arah positif. Pada titik tertinggi

kecepatannya adalah nol.

(a) Dari = + 2ay, karena g = 1,6 m/s2 pada bulan, maka

0 = (35 + s)2 + 2(-1,6 m/s2)y atau y = 383 m

(b) Dari vf = vo + at kita dapatkan

0 = 35/s + ( - 1,6 m/s2)t atau t = 21,9 s

(c) Dari vf = vo + at kita dapatkan

vf = 35 m/s + ( - 1,6 m/s2) (30 s) atau vf = - 13,0 m/s

karena vf negatif dan kita mengambil arah ke atas positif, maka

kecepatannya turun ke bawah. Tanda negatif di sini. Berarti pada saat t

= 30 s, bola sedang turun.

(d) Dari y = vot + ½ at2 kita dapatkan

100 m = ( 35m/s) t + ½ ( - 1,6 m/s2)t2 atau 0,80t2 – 35 t + 100 = 0

Dengan memakai rumus akar persamaan kuadrat

Diperoleh t = 3,1 s dan 40,6 s. Pada saat t = 3,1 s. bola berada pada

ketinggian 100 m dan sedang naik; pada saat t = 40,6 s bola berada

pada ketinggian yang sama namun sedang turun.

4-17 Benda dilepas dari balon pada ketinggian 300 m; pada saat itu balon sedang

naik dengan laju 13 m/s. (a) Tentukan titik tertinggi yang dicapai benda

yang dilepas itu; (b) Tentukan pula ketinggian dan kecepatan benda 5 detik

setelah dilepas; (c) Setelah berapa detik sesudah dilepas benda mencapai

bumi?

Kecepatan awal benda pada saat dilepas adalah sama dengan kecepatan

balon, yakni 13 m/s arah vertikal ke atas. Mari kita tentukan arah ke atas

sebagai arah positif dan y = 0 di tempat pelepasan.

(a) Pada titik tertinggi kecepatan benda vf =0, hingga dari rumus

diperoleh

0 = (13 m / s)² + 2 (-9,8 m/s²) y atau y = 8,6 m

Kedudukan tertinggi benda adalah 300 + 8,6 = 308,6 m.

(b) Anggaplah ketinggian benda pada akhir t = 5 detik adalah titik akhir y.

maka dari rumus y = vot + at² diperoleh :

Y = (13 m/s) (5 s) + (-9,8 m/s²) (5 s)² = -57,5 m

Berarti bahwa ketinggiannya dihitung dari permukaan bumi adalah 300 – 58

= 242 m. dari persamaan vf = vo + at dapat diperoleh

vf = 13 m/s + (-9,8 m/s²) (5 s) = - 36 m/s.

atau 4,9 t² - 13 t – 300 = 0. Rumus kuadrat menghasilkan t = 9,3 det dan -6,6

det. Hanya waktu positif yang mempunyai arti Fisika, sehingga jawaban

yang kita perlukan adalah 9,3 det. Kita dapat saja menghindari rumus

kuadrat dengan mulai menghitungkan vf.

+ 2as menghasilkan = (13 m/s)² + 2 (-9,8 m/s)² (- 300 m)

sehingga vf = ± 77,8 m/s. Maka dengan menggunakan nilai negatif untuk vf

(mengapa?) dalam vf = vo + at memberikan t = 9,3 det.

4-18 Seperti tampak pada Gambar 4-5 peluru ditembakkan dalam arah datar

dengan kecepatan 30 m/s dari puncak bukit terjal setinggi 80 m. (a) Berapa

waktu diperlukan untuk mencapai tanah ? (b) Pada jarak berapakah dihitung

dari kaki bukit terjal peluru mencapai tanah? (c) Berapakah kecepatannya

saat itu ?

(a) Gerak dalam arah vertikal dan horisontal

adalah dua gerak yang lepas satu dari

yang lain. Perhatikan dahulu gerak

dalam arah vertikal. Ambillah arah ke

atas sebagai arah positif. Maka

y = voyt + ayt²

menjadi -80 m = 0 + ½ (-9,8 m/s²) t², maka t = 4,04 s. Perhatikan bahwa

kecepatan awal tidak memiliki komponen dalam arah vertikal, hingga vo

= 0 dalam arah ini.

(b) Sekarang, perhatikanlah gerak dalam arah horisontal. Disini, a = 0,

maka vx = ox = vfx = 30 m/s. Dengan memakai t = 4,04 s diatas,

didapatkan :

x = xt = (30 m/s) (4,04 s) = 121 m

(c) Kecepatan akhir komponen horisontalnya adalah 30 m/s. Tetapi

komponen vertikalnya pada saat t = 4,04 s harus dihitung dengan rumus

vfy = coy + ayt atau

vxy = 0 + (-9,8 m/s²) (4,04 s) = -40 m/s

Resultan kedua komponen ini dinyatakan sebagai v pada Gambar 4-5 di

atas. Maka

v = = 50,0 m/s

dan sudut adalah tan = 40/30 atau = 53°

4-19 Seorang penerbang menerbangkan pesawatnya dengan kecepatan 15 m/s

dalam arah datar pada ketinggian 100 m. lihat Gambar 4-6. Berapa meter di

depan sasaran karung beras harus dilepas agar karung tepat mengenai

sasarannya ?

Dengan memakai cara seperti pada 4-18 kita pakai persamaan

dari persamaan ini diperoleh.

atau t=4,52 s

Dengan persamaan xt diperoleh (15 m/s) ( 4,52 s) = 68 m.

Jadi 68 m di depan sasaran, karung harus dilepas.

Gambar 4-6 Gambar 4-7

4-20 Bola tenis dilempar dengan kecepatan awal 100 m/s yang membentuk sudut

30o ke atas. Lihat gambar 4-7. Berapa jauh dari titik awal, bola akan

mencapai ketinggian semula?

Dalam soal ini bagian vertikal dipisahkan dari bagian horisontal.

Dengan arah ke atas dihitung positif diperoleh.

Dalam arah vertikal y = 0 sebab bola kembali ke ketinggian semula. Maka

atau

Hingga t = 10.2 s

Dalam arah mendatar xt = (86,6 m/s) maka

X = x t = (86.6 m/s) (10,2 s) = 884 m.

4-21 Seperti tampak pada gambar 4-8

sebuah bola dilempar dari atap

bangunan ke arah bangunan lain sejauh

50 m dari bangunan pertama.

Kecepatan awal 20 m/s pada sudut 40o.

dimana (di atas atau di bawah

ketinggian semula) bola akan mengenai

bangunan yang lebih tinggi itu/

Kita peroleh

Perhatikan gerak dalam arah data. Untuk gerak ini berlaku

x = 15.3 m/s

Dari persamaan x = xf diperoleh

50 m = (15,3 m/s) t atau t = 3,27 s

Untuk gerakan vertikal, dengan arah ke bawah sebagai arah positif :

= (-12,9 m/s) (3,27 s) +

Jarak y positif, maka bola mengenai bangunan 105 di bawah ketinggiannya

semula

4-22 (a) Tentukan jarak tembak meriam yang

memuntahkan peluru dengan kecepatan

awal pada sudut elevasi (b)

Tentukan sudut elevasi meriam yang

pelurunya berkecepatan awal 120 m/s

dapat mengenai sasaran sejauh 1300 m

ada ketinggian yang sama (lihat gambar

4-9).

(a) Misalkan waktu yang diperlukan peluru adalah t maka x = atau t =

Perhatikan gerak dalam arah vertikal saja : ambilah arah ke atas sebagai

arah positif. Pada saat t = . Tetapi telah ditentukan

. Dari sini diperoleh . Tetapi telah

ditentukan maka

atau

Dengan mengingat bahwa cos = sin , diperoleh

Jarak tembak maksimum dicapai pada = 45°, karena dengan demikian 2

bernilai maksimum, yakni 1, kalau 2 = 90° atau = 45°.

(b) Dari hasil di atas :

sin 2 =

Maka, 2 = arcsin 0,885 = 62° atau = 31°

Soal-soal Tambahan

4.23 Speedometer mobil pada saat berangkat menunjukkan 22 687 km pada

saat tiba kembali menunjukkan 22 791 km. Waktu bepergian 4 jam.

Hitunglah laju rata-rata mobil alam satuan km/jam; m/s.

Jawab : 26 km/jam; 7,2 m/s.

4.24 Mobil berjalan selama 4 menit dengan laju 25 km/jam, kemudian selama 8

menit dengan laju 50 km/jam dan akhirnya selama 2 menit dengan laju 20

km/jam. Tentukan (a) jarak total yang ditempuh dinyatakan dalam km, dan

(b) kecepatan rata-rata selama perjalanan itu dinyatakan dalam m/s.

Jawab : (a) 9 km; (b) 10,7 m/s.

4.25 Seorang pelari dalam waktu 50 detik dapat menempuh 1,5 lap. (1 lap = 1

kali keliling lapangan). Diameter lintasan 40 m dan kelilingnya 126 m.

tentukan (a) laju rata-rata pelari; (b) besar kecepatan rata-ratanya.

Jawab : (a) 3,78 m/s; (b) 0,80 m/s.

4.26 Data berikut melakukan posisi suatu benda sepanjang sumbu x sebagai

fungsi dari waktu. Gambarkanlah data tersebut dan carilah kecepatan

sesaat dari benda tersebut pada (a) t = 5,0s, (b) 16,0 s.

Jawab : (a) 0,018 m/s; (b) 0 m/s (c) –0.013 m/s.

t,s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

x, cm 0 4,0 7,8 11,3 14,3 16,8 18,6 19,7 20,0 19,5 18,2 16,2 13,5 10,3 6,7

4.27 Untuk benda yang geraknya dijelaskan dalam soal 4-26, carilah

kecepatannya pada waktu berikut : (a) 3,0 s, (b) 10,0 s, dan (c) 24,0 s.

Jawab : (a) : 1,9 cm/s; (b) 1,0 m/s; (c) –0,83 m/s.

4.28 Untuk benda yang gerakannya dilukiskan pada Gambar 4-3,carilah

kecepatan sesaatnya pada waktu berikut : (a) 1,0 s, (b) 4,0 s, (c) 10,0 s.

Jawab : (a) 3,3 m/s; (b) 1,0 m/s; (c) –0,83 m/s.

4.29 Benda bergerak lurus dipercepat beraturan dengan kecepatan awal 8 m/s.

Dalam waktu 40 detik benda menempuh jarak 640 m. dalam selang waktu

40 detik ini (a) berapakah kecepatan rata-rata benda? (b) berapa pula

kecepatan akhirnya? Dan (c) berapa percepatannya?

Jawab : (a) 3,3 m/s; (b) 24 m/s; (c) 0,40 m/s.

4.30 Dari keadaan diam sebuah truk berjalan dengan percepatan tetap sebesar 5

m/s2. Tentukan laju dan jarak yang ditempuh truk itu 4 detik setelah

berangkat.

Jawab : 20 m/s; 40m.

4.31 Sebuah kotak menggeser diatas bidang miring dengan percepatan tetap.

Kalau kotak itu mula-mula diam dan dalam waktu 3 detik dapat mencapai

laju 2,7 m/s, tentukan (a) percepatan dan (b) jarak yang ditempuh dalam 6

detik pertama.

Jawab : (a) 0,90 m/s2; (b) 16,2 m.

4.32 Antara dua pos penjagaan sejauh 30 m satu dari yang lain, sebuah mobil

bergerak dengan percepatan yang tetap. Pada pos pertama laju mobil

adalah 5,0 m/s dan mobil memerlukan waktu 4,0 detik agar sampai di pos

kedua. Berapakah percepatan mobil, dan berapa pula lajunya setibanya di

pos kedua?

Jawab : 1,25 m/s2; 10 m/s.

4.33 Kecepatan mobil bertambah secara beraturan dari 6,0 m/s menjadi 20 m/s.

dalam waktu itu mobil menempuh jarak 70 m. berapakah percepatan

mobil, dan berapa pula waktu yang diperlukannya?

Jawab : 2,6 m/s2; 5,4 s.

4.34 Dari keadaan diam pesawat dapat mengudara setelah menempuh jarak 600

m dalam waktu 12 detik. Tentukanlah (a) percepatan pesawat; (b) laju

pada akhir waktu 12 detik itu; (c) jarak yang ditempuh dalam detik ke-12.

Jawab : (a) 8,3 m/s2; (b) 100 m/s; (c) 96m.

4.35 Kereta api dengan laju 30 m/s dapat dihentikan dalam waktu 44 detik.

Tentukan pencapaian yang dialaminya. Tentukan pula jarak yang

ditempuh kereta antara saat mulai direm hingga berhenti sama sekali

(Jarak ini disebut “stroping distance”).

Jawab : -0,68 m/s2; 660m.

BAB 3

HUKUM-HUKUM NEWTON

MASSA benda adalah ukuran kelembahannya, sedangkan kelembanan (inertia)

adalah kecenderungan benda yang mula-mula diam untuk tetap diam, dan benda

yang mula-mula bergerak, tetap melanjutkan geraknya. Tanp amengalami

perubahan vektor kecepatan.

KILOGRAM BAKU adalah suatu benda yang massanya ditentukan menjadi satu

kilogram. Massa benda-benda lain diperoleh dengan membandingkannya terhadap

massa ini. Satu gram massa adalah sama dengan 0,0001 kg.

GAYA adalah tarikan atau dorongan pada benda. Ia merupakan vektor, yang

mempunyai besaran dan arah.

GAYA RESULTAN pada suatu benda menyebabkan benda tersebut mendapatkan

percepatan dalam arah gaya itu. Percepatan yang timbul berbanding lurus dengan

gaya, tetapi berbanding terbalik dengan masa benda.

NEWTON adalah satuan gaya dalam SI (Sistem Internasional). Satu Newton (1

N) adalah gaya resultan yang memberi percepatan 1 m/s² pada masa 1 kg. satuan

gaya yang disebut dyne adalah 10-5 N. satuan gaya pon adalah 4,45 N.

HUKUM KE-1 NEWTON. Jika gaya resultan pada benda adalah nol, maka

vektor kecepatan benda tidak berubah. Benda yang mula-mula diam akan tetap

diam; benda yang mula-mula bergerak akan tetap bergerak dengan kecepatan

yang sama. Benda hanya akan mengalami suatu percepatan jika padanya bekerja

suatu gaya resultan yang bukan nol. Hukum ke-1 ini sering disebut Hukum

Kelembaman (inertia law).

HUKUM KE-2 NEWTON : Bila gaya resultan F yang bekerja pada suatu benda

dengan masa m tidak sama dengan nol, maka benda tersebut mengalami

percepatan ke rah yang sama dengan gaya. Percepatan a berbanding lurus dengan

gaya dan berbanding terbalik dengan masa benda. Dengan F dalam Newton, m

dalam kilogram, dan a dalam m/(detik)² perbandingan ini dapat ditulis sebagai

suatu persamaan :

a = atau F = ma

Bila persamaan ini atau yang lainnya yang diturunkan dari persamaan ini

digunakan, maka F, m dan a harus menggunakan satuan-satuan gaya yang benar.

Percepatan a mempunyai arah yang sama dengan F.

Persamaan vektor F = ma dapat ditulis dalam suku-suku komponen-

komponen seperti,

dimana gaya-gaya adalah komponen-komponen dan gaya external yang bekerja

pada benda.

HUKUM KE -3 NEWTON : Setiap gaya yang diadakan pada suatu benda,

menimbulkan gaya yang lain yang sama besarnya dengan gaya tadi, namun

berlawanan arah. Gaya reaksi ini dilakukan benda pertama dan benda yang

menyebabkan gaya. Hukum ini dikenal sebagai hukum aksi dan reaksi. Perhatikan

benar-benar bahwa gaya aksi dan gaya reaksi bekerja pada benda yang berbeda.

HUKUM GRAVITASI UMUM : Dua benda dengan masa m dan m1 saling tarik

menarik dengan gaya yang sama besar, namun berlawanan arah, dan bekerja pada

benda yang berbeda. Kalau massa itu berupa massa titik (atau benda yang

menunjukkan simetri bola) gaya tarik tersebut diberikan oleh :

F = G

dimana r adalah jarak antara titik pusat kedua massa dan G = 6,67 x 10-11 N-m²

bila F dalam Newton m dan m1 dalam kilogram dari r dalam meter.

BERAT BENDA adalah gaya tarik gravitasi yang dialami benda. Di bumi, berat

adalah gaya tarik bumi pada benda. Berat bersatuan Newton (dalam SI) dan pon

(dalam Sistem Inggris).

HUBUNGAN ANTARA MASSA DAN BERAT : Suatu benda dengan massa

yang jatuh secara bebas ke bumi hanyalah dipengaruhi oleh satu gaya, yaitu gaya

tarik bumi atau gaya gravitasi, yang kita sebut berat w dari benda. Karena itu F =

ma memberikan kita hubungan F= w, a = g dan m; jadi w = mg. berhubung g =

9,8 m/s² di bumi, maka 1 kg benda beratnya 9,8 N di bumi.

ANALISIS DIMENSi : Semua besaran mekanis, seperti percepatan dan gaya

dapat dinyatakan dalam tiga dimensi dasar. Panjang L, massa M dan waktu T.

Misalnya percepatan adalah suatu panjang (suatu jarak) di bagi dengan (waktu)² ;

kita sebut ia berdimensi L/T², yang kita tulis sebagai [LT-1]. Dimensi-dimnesi dari

volume atau isi adalah [L3], dan dari kecepatan adalah [LT-1]. Berhubung gaya

adalah massa dikalikan dengan percepatan, dimensi-dimensinya adalah [MLT-2].

Dimensi-dimensi sangat membantu dalam memeriksa persamaan-persamaan,

karena setiap bagian dari persamaan harus mempunyai dimensi yang sama,

misalnya dimensi-dimensi persamaan adalah …

s = vot + at²

Sehingga setiap bagian mempunyai dimensi-dimensi panjang. Ingat, semua

bagian dari suatu persamaan harus mempunyai dimensi yang sama. Sebagai

contoh, sebuah persamaan tidak mungkin mempunyai volume [L3] lalu

ditambahkan pada luas [L2], atau suatu gaya [MLT-2] dikurangi suatu kecepatan

[LT-1]; bagian-bagian tersebut tidak mempunyai dimensi yang sama.

OPERASI MATEMATIK DENGAN SATUAN; Pada setiap operasi matematik

operasi tidak dikenakan pada bilangan-bilangan saja, melainkan juga pada

satuannya (misalnya lb, cm, fi3, ml/jam,m/s²).

Besaran yang satu tidak ditambahkan atau dikurangkan dari besaran yang

lain kecuali apabila besaran itu mempunyai satuan (maupun dimensi) yang sama.

Sebagai contoh, dalam menjumlahkan 5 m (panjang) pada 8 cm (panjang), kita

harus mengubah m ke cm atau m dulu. Lain halnya dengan perkalian dan bagi; di

sini besaran apa saja dapat dikombinasikan. Dalam pada ini bilangan maupun

satuannya mengalami operasi yang sama. Jadi :

(1) 6 m² + 2 m² = 8 m² (m² + m² m²)

(2) 5 cm x 2 cm² = 10 cm3 (cm x cm² = cm3)

(3) 2 m3 x 1500 = 3000 kg (m3 x = kg)

(4) 2 s x 3 = 6 ( s x = )

(5) = 5 cm3 (

Soal-soal yang dipecahkan

5-1 Carilah berat benda yang massanya (a) 3 kg, (b) 200 g.

Hubungan umum antara massa m dan berat w adalah w = mg. dalam

hubungan ini, m dinyatakan dalam kilogram, g dan m/s², dan w dalam

Newton. Diperoleh g = 9,8 m/s². percepatan disebabkan gaya gravitasi di

sesuatu tempat adalah berbeda dari percepatan gravitasi di tempat yang

lain.

(a) w = (3 kg) (9,8 m/s²) = 29,4 kg m/s² = 29,4 N

(b) w = (0,20 kg) (9,8 m/s²) = 1,96 N

5-2 Sebuah benda 20 kg yang bergerak di pengaruhi gaya resultan dari 45 N

dengan arah –x. Carilah percepatan benda tersebut.

Kita manfaatkan hukum kedua dalam bentuk komponen F2 = max dengan

Fx = -45 N dan m = 20 kg.

Maka :

Dimana kita gunakan kenyataan 1 N = 1 kg m/s2. Berhubung gaya pada

benda itu mempunyai arah –x, maka percepatannya pun mempunyai arah

yang sama.

5.3 Sebuah benda 5,0 kg akan diberikan percepatan ke atas sebesar 0,3 m/s2 oleh

sebuah tali yang menariknya lurus ke atas. Berapakah tegangan di tali ?

Gambar benda-bebasnya digambarkan pada gambar 5.1. Tegangan

pada tali adalah T, dan berat benda w = mg (5,0 kg) (9,8 m/s2) = 49 N.

dengan menggunakan Fy = may ke atas diambil sebagai positif, kita

diperoleh

T – mg = may atau T – 49 N = (5,0 kg) (0,30 m/s2).

dan T = 50,5 N. Sebagai alat pemeriksaan, kita lihat bahwa T lebih besar

dari w sesuai dengan keadaan bila benda akan mengalami percepatan ke

atas.

Gambar 5.1 Gambar 5.2

5-4 Sebuah kotak 60 kg bergerak secara horizontal karena dipengaruhi gaya

sebesar 140 N. kotak itu bergerak dengan kecepatan tetap. Berapakah

koefisien gesekan antara lantai dan kotak ?

Gambar benda-bebas untuk kota adalah pada Gambar 5-2.

Berhubungan kotak tersebut tidak bergerak ke atas maupun ke bawah, maka

ay = 0 sehingga,

Fy = may menghasilkan FN – mg = (m) (0 m/s2)

dan dari sini kita peroleh bahwa FN = mg = (60 kg) (9,8 m/s2) = 588 N.

Selanjutnya, berhubung kotak itu bergerak horizontal dengan kecepatan

konstan, ax = 0 sehingga,

Fy = may menghasilkan 140 N - f = 0.

y

x

T

w=mg

Gesekan

Fn

140 N

mg

Dimana gaya gesekan adalah f = 140 N, maka kita peroleh

5-5 Gaya tunggal yang bekerja pada benda komponennya Fx = 20 N dan Fy = 30

N. Berapakah percepatannya? Massa benda 5 kg.

=

=

Kedua komponen percepatan ini tampak pada Gambar 5-3.

Jelas bahwa

dan = arctan (6/4) = 56o.

5-6 Benda 600 N akan diberi percepatan sebesar 0,70 m/s2. Berapakah gaya

yang diperlukan ?

misalkan berat diatas adalah berat di bumi, dengan rumus w = mg diperoleh.

=

Dengan mengetahui massa benda (61 kg) dan percepatan yang diinginkan

(0,70 m/s2) gaya yang di perlukan adalah F = ma = (61 kg) (0,70 m/s2) =

43N.

5-7 Sebuah gaya tetap bekerja pada sebuah benda 5 kg dan karenanya kecepatan

benda turun dari 7 m/s menjadi 3 m/s dalam waktu 3 detik. Berapakah gaya

itu?

Kita harus menemukan dahulu percepatan benda, yang adalah tetap, sebab

gayanya diketahui adalah tetap. Dari bab 4 :

ax = 4 m/s2

Ay = 6 m/s2a

dengan rumus F = ma, di mana m = 5 kg, diperoleh F = (5 kg) (-1,33 m/s) =

-6,7 N. minus disini berarti bahwa gaya itu berupa suatu hambatan, jadi

berlawanan arah dengan arah gerak.

5-8 Sebuah balok 400 g dengan kecepatan awal 80 cm/s meluncur diatas meja

melawan gaya gesekan dari 0,70 N (a) Berapa jauhkah ia akan meluncur

sebelum berhenti? (b) Berapa koefisien gesekan antara balok dan bagian

atas meja ?

(a) Kita ambil arah gerakan sebagai positif. Gaya tidak seimbang satu-

satunya yang bekerja pada balok adalah gaya gesekan, -0,70 N, maka

F = ma menjadi -0,70 N = (0,400 kg) (a).

dimana a = 1,75 m/s2. (Perhatikan bahwa m selalu dalam

kilogram). Untuk mencari jarak dimana balok meluncur, kita ketahui o =

0,80 m/s, f = 0 dan a = 1,75 m/s2.

(b)Berhubung gaya-gaya vertikal pada balok harus saling meniadakan, gaya

meja ke atas FN harus sama besar dengan berat mg dari balok. Maka

5-9 Sebuah mobil 600 kg melaju di atas jalan datar pada 30 m/s. (a) Gaya

hambatan tetap berapakah akan berhasil menghentikannya dalam jarak 70

m? (b) Berapakah nilai minuman koefisien gesek antara ban dan permukaan

jalan agar hal ini tercapai ?

(a)Mula-mula, kita harus temukan percepatan yang dialami mobil. Ini kita

peroleh dari persamaan geraknya. Karena diketahui bahwa o = 30 m/s. f

= 0 dan x = 70 m, dengan memakai , 2ax diperoleh :

(b)Gaya diatas adalah gaya gesek antara ban dan permukaan jalan. Maka

besar gaya gesek pada ban adalah f= 0860 N. koefisien gesekan = f/FN

disini FN adalah gaya normal. Dalam soal ini permukaan jalan menekan

pada mobil dengan gaya sebesar berat mobil, hingga :

FN = w = mg = (600 kg) (9,8 m/s2) = 5900 N.

Maka

Agar mobil itu dapat dihentikan dalam jarak 70 m koefisien gesek

sekecil-kecilnya harus 0,66.

5-10 Sebuah lok 8000 kg yang menarik kereta api 40.000 kg pada pelataran yang

datar dapat menimbulkan percepatan a1 = 1,20 m/s2. Sedangkan lok itu

dipasang pada kereta api 16.000 kg berapakah percepatan yang dihasilkan?

Dengan gaya tarik yang sama, percepatan yang timbul adalah

berbanding terbalik dengan massa total. Maka :

5-11 Sesuai Gambar 5-4 (a), sebuah benda dengan massa m ditahan oleh tali.

Berapakah tegangan pada tali bila benda tersebut (a) diam, (b) bergerak

dengan kecepatan konstan, (c) mengalami percepatan ke atas dengan

percepatan a = 3 g/2 dan (d) percepatan ke bawah dengan a = 0,75 g.

Dua buah gaya bekerja pada benda : tegangan T ke atas dan ke bawah

gaya gravitasi atau gaya berat mg. Keduanya dapat dilihat pada gambar

benda bebas (free body) pada gambar 5-4 (b). kita ambil gaya ke atas

sebagai arah positif dan tulis Fy = may untuk setiap keadaan.

(a) ay = 0: T-mg=may=0 atau T = mg

(b) ay = 0: T-mg=may=0 atau T = mg

(c) ay = 3g/2 : T-mg=m(3g/2) atau T = 2,5 mg

(d) ay = -3g/4: T-mg=m(-3g/4) atau T = 0,25 mg

Perhatikan bahwa tegangan di tali lebih kecil dari mg di bagian (d), hanya

dalam keadaan ini benda tersebut mempunyai percepatan ke bawah.

Dapatkah Anda jelaskan mengapa T = 0 bila ay = -g?

Gambar 5-4

5-12 Sebuah mobil 700 kg mogok di jalan yang datar. Kabel mobil derek yang

dipakai untuk menyeretnya akan putus jika tegangan di dalamnya melebihi

1.500 N. Maka berapakah percepatan sebesar-besarnya yang dapat diterima

mobil mogok dari mobil derek itu ?

Gaya-gaya yang bekerja pada mobil ditunjukkan Gambar 5-5.

Yang berperan adalah komponen x, sebab komponen y saling meniadakan.

Fx = max menjadi 1500 N = (700 kg) a

maka a = 2,14 m/s2.

5-13 Sebuah kabel peluncur hanya dapat menahan tegangan 30 N. seorang yang

beratnya 45 kg pada ujung kabel diturunkan dengan menurunkan kabel itu.

Hitunglah percepatan minimum yang dialami orang itu.

Berat orang w = mg =(45 kg) (9,8 m/s2) = 441 N. karena kabel hanya

dapat menahan 300 N, terdapat gaya resultan (sisa) 441 N – 300 N = 141 N.

maka a minimum :

(a)(b)

mg

T

5-14 Sebuah kotak 70 kg digeserkan oleh gaya 400 N. lihat Gambar 5-6.

Koefisien gesekan antara kotak dan lantai jika kota bergerak adalah 0,50.

Berapakah percepatan kotak itu ?

Nyata bahwa dalam arah y ada keseimbangan :

FN = mg = (70 kg) (9,8 m/s2) = 686 N

Gaya gesek f dapat dihitung dari rumus :

F = FN = (0,50) (686 N) = 343 N

Dari Fx = mcx dengan arah positif = arah gerak kotak :

400 N – 343 N = (70 kg) (a) maka a = 0,81 m/s2.

5-15 Sebuah kotak 70 N ditarik gaya 400 N dengan sudut 30o. Kalau koefisien

gesek adalah 0,50, tentukan percepatan kotak itu.

Karena kotak itu tidak meningkatkan lantai, maka Fy = may = 0. Dari

Gambar 5-7 tampak

FN + 200 N – mg = 0.

Karena mg = (70 kg) (9,8 m/s2) = 686 N, maka FN =

486 N. Selanjutnya kita mencari gaya gesek pada

kontak tadi :

f = FN = (0,50) (486 N) = 243 N

Dalam arah x berlaku Fx = max atau (346-243) N =

(70 kg) (ax), maka ax = 1,47 m/s2. Gambar 5-7

5-16 Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 20 m/s sepanjang jalan horizontal

dan mendadak mobil tersebut sehingga akan berhenti. Berapakah jarak

terpendek dimana mobil tersebut dapat dihentikan bila koefisien antara ban-

ban mobil dan ialah adalah 0,90? Misalkan bahwa ke empat roda direm

dengan cara yang sama.

Gaya gesekan pada satu roda, sebutkan saja roda 1, adalah :

f1= FN = = w1

mg FN

400 Nf

mg FN

f30o 200 N

346 N

400 N

dimana w1 adalah berat yang ditanggung oleh roda 1. Kita peroleh gaya

gesekan total f dengan menambahkan hasil perkalian diatas untuk keempat

buah roda:

f = w 1 + w2 + w3 + w4 = (w1 + w2 + w3 + w4) = w.

dimana w adalah berat total dari mobil (perhatikanlah bahwa

kita misalkan pengereman pada setiap roda adalah optimal). Gaya gesekan ini

adalah satu-satunya gaya yang tidak seimbang pada mobil (kita abaikan

gesekan angin dan semacamnya). Kita tulis F = ma untuk mobil dengan

menggantikan F dengan – w diperoleh - w dimana m adalah massa mobil

dan arah positif diambil arah gerak.

Tetapi w = mg, sehingga percepatan mobil

adalah :

Kita akan temukan berapa jauh mobil berjalan sebelum berhenti dengan

memecahkan sebuah soal tentang gerakan. Dengan mengetahui bahwa :

o = 20 m/s, f = 0, dan a = -8,8 m/s2

Kita temukan dari bahwa x =

Bila keempat roda tersebut tidak mengerem secara optimal, jarak penghentian

akan lebih panjang.

5-17 Gaya 400 N mendorong sebuah kotak 25 kg diatas lantai kasar yang

mendatar (lihat Gambar 5-8). Dalam waktu 4 detik kotak itu yang mula-

mula diam dapat mencapai kecepatan 2,0 m/s. berapakah koefisien gesek

antara kotak dan lantai ?

kita cari dahulu f dari persamaan F = ma, sedangkan a dapat kita ketahui

dari persamaan gerak. Diketahui bahwa vo = 0, vf = 2 m/s, dan t = 4 s. dari

vf = vo + at diperoleh :

dari persamaan Fx = max, dengan ax = 0,50 m/s2, diperoleh (lihat

Gambar 5-8)

257 N –f = (25 kg) (0,50 m/s2)

Maka f = 245 N.

Kemudian kita pakai Berapakah FN? Karena kotak itu tidak pernah

meninggalkan lantai, berlaku Fy = may = 0 atau FN – 306 N –(25) (9,8)

N=0 atau FN = 551 N, maka

5-18 Sebuah benda 20 kg berada di atas bidang miring : lihat Gambar 5-9.

Koefisien gesek kinetik antara kotak dan bidang adalah 0,30. Tentukan

percepatan yang dialami benda itu waktu menggeser ke bawah.

Pada soal-soal bidang miring lazim diambil sumbu x-y seperti terlihat pada

gambar. Percepatan yang dicari, dapat ditentukan dari persamaan Fx =

max. marilah kita tentukan gaya gesek f dahulu.

Fx = may = 0 menghasilkan FN – 0,87 mg = 0 atau

FN = (0,87) (20 kg) (9,8 m/s2) = 171 N

Karena f = FN = (0,30) (171 N) = 51 N.

Dari Fx = max diperoleh

f-0,5 mg = max atau 51 N – (0,5) (20) (9,8) N = (20 kg) (ax)

maka ax = -2,35 m/s2. Percepatan gerak turun N itu adalah 2,35 m/s2.

5-19 Dibawah pengaruh gaya 500 N benda 25 kg ternyata dapat menggeser ke

atas dengan percepatan 0,75 m/s2. (Lihat Gambar 5-10). Berapakah

koefisien gesek antara benda dan bidang miring itu ?

Semua gaya dan komponennya tampak pada Gambar 5-10. Perhatikan benar

cara memiliki letak sumbu x dan y. karena benda itu bergerak keatas, maka

gaya gesek yang merupakan hambatan, berarah ke bawah.

Mula-mula f dicari dari persamaan Fx = max. dari gambar 5-10 nyata

bawah.

383 N –f – (0,64) (25) (9,8) N = (25 kg) (0,75 m/s2)

maka f = 207 N.

kita juga harus menentukan FN. Dari hubungan Fy = may = 0, diperoleh

FN – 321 N – (0,77) (25) (9,8) N = 0 atau FN = 510 N

Maka

5-20 Dua buah balok, dengan massa m1 dan m2, didorong oleh sebuah gaya P

seperti pada Gambar 5-11. Koefisien gesek antara setiap balok dan meja

adalah 0,40. (a) Berapakah nilai P jika balok-balok mendapatkan percepatan

sebesar 200 cm/s2? (b) Berapakah besar gaya yang ditimbulkan m1 pada

my? gunakanlah.

Gaya-gaya gesekan pada balok-balok adalah f1 = 0,4 m1g dan f2 =

0,4. Kita ambil kedua buah balok dalam kombinasi sebagai tujuan

pembicaraan; gaya-gaya horizontal dari luar (external) pada benda-benda

adalah P1, f1, f2. Walaupun kedua buah balok saling mendorong, dorongan-

dorongan tersebut adalah gaya-gaya dari dalam (internal); gaya-gaya

tersebut tidak merupakan bagian dari gaya-gaya luar yang tidak seimbang

pada benda dua massa tersebut.

Fx = max menjadi P – f1- f2 = (m1 + m2) ax

(a)Dengan menemukan P dan menggantikan nilai-nilai yang diketahui, kita

peroleh

P = 0,4 (m1 + m2) + (m1 + m2) ax = 3,14 N + 1,60 N = 4,74 N1

(b)Sekarang tinjau balok m2 sendiri. Gaya-gaya yang bekerja pada arah x

adalah gaya pada balok m1 yang bekerja padanya (yang kita nyatakan

dengan Fb) dan gaya gesekan yang memperlambat, yaitu f2 = 0,4 m2g.

sehingga untuk itu

Fx = max menjadi Fb – f2 = m2ax

kita ketahui bahwa ax = 2,0 m/s2 sehingga

Fb = f2 + m2ax = 1,96 N + 1,00 N = 2,96 N

5-21 Tali dipasang pada katrol tanpa gesekan. Pada kedua ujungnya

digantungkan massa 7 kg dan 9 kg. Lihat Gambar 5-12. Yang menunjukkan

mesin Atwoot. Tentukan percepatan yang dialami kedua massa itu.

Tentukan pula tegangan dalam tali.

Karena gesekan dalam katrol diabaikan, maka tegangan dalam kedua

ujung tali adalah sama. Gambar 5-12 menunjukkan gaya-gaya yang bekerja

pada masing-masing massa.

Dalam soal-sial di mana benda terikat pada tali, kerpakali arah gerak

diambil sebagai arah positif. Disini arah keatas adalah positif untuk massa 7

kg, dan untuk massa 9 kg arah positif adalah arah turun (dengan demikian

percepatan akan positif untuk kedua massa itu). Karena tali dianggap tidak

mulur, percepatan kedua massa adalah sama. Dengan mengetrapkan rumus

Fy = may pada masing-masing massa diperoleh :

T – (7) (9,8) N = (7 kg) (a) dan (9) (9,8) N –T = (9 kg) (a)

Setelah dijumlahkan : (9-7) (9,8) N = (16 kg) (a) atau a = 1,23 m/s2. Harga

ini, jika dimasukkan dalam masing-masing persamaan di atas, akan

menghasilkan T = 77 N.

5-22 Pada Gambar 5-13 diketahui bahwa koefisien gesek antara benda dan meja

adalah 0,20, massa mA = 25 kg dan mB = 15 kg. Berapa jauh B akan turun

dalam waktu 3 detik setelah dilepas ?

Benda A tidak bergerak dalam arah vertikal, maka gaya normal

padanya adalah :

FN = mAg = (25 kg) (9,8 m/s2) = 245 N

Hingga

f = FN = (0,20) (245 N) = 49 N

Selanjutnya, percepatan sistem harus dicari dahulu. Untuk itu kita terapkan

rumus F = ma pada masing-masing benda. Dengan mengambil arah gerak

sebagai arah positif :

T – f = mAg atau T – 49 N (25 kg) (a)

Dan

mBg – T = mBa atau –T+ (15) (9,8) N = (15 kg) (a)

Besaran T dapat dieliminasi dengan menjumlahkan kedua persamaan. Kita

peroleh a = 2,45 m/s2. Persoalan sekarang adalah persoalan kinematika

dengan a = 2,45 m/s2. vo = 0 dan t = 3 detik :

B jatuh sejauh 11,0 m dalam tiga detik pertama.

5-23 Disamping gaya T, gaya tarik data berapakah diperlukan pada benda A agar

ia bergerak ke kiri dengan percepatan 0,75 m/s2? Diketahui = 0,20, mA =

25 kg, mB = 15 kg.

Pada Gambar 5-13 gaya tarik P harus digambarkan bekerja pada

benda A ke kiri, sedangkan arah gaya gesek f harus dibalik : f menuju ke

kanan, karena benda bergerak ke kiri. Seperti halnya pada soal 5-22 disini f

= 49 N.

Rumus F = ma kita terapkan pada kedua benda, kemudian

disubstitusikan dalam persamaan pertama untuk mendapatkan gaya P.

hasilnya : 226 N.

5-24 Koefisien gesek statik antara p eti dan lantai truk adalah 0,60. Agar peti

tidak menggeser, berapakah percepatan maksimum truk ?

satu-satunya gaya horizontal yang dialami peti adalah gaya gesek.

Kalau peti tepat pada saatnya akan menggeser berlakulah f = sw, dengan w

adalah berat peti.

Kalau gerak truk dipercepat, gaya gesek diatas haruslah memberi

percepatan yang sama pada peti, jika tidak demikian peti dan truk akan

memiliki percepatan yang berbeda, berarti akan bergerak satu terhadap yang

lain. Apabila peti tepat pada saatnya bergeser, berikut Fx = max, yang

apabila diterapkan pada peti menjadi f = max. Jika peti tepat akan bergeser f

= sw, tekanan sw = max. Karena w = mg.

(0,60) (9,8 m/s2) = 5,9 m/s2.

Yang merupakan percepatan maksimum tanpa pergeseran.

5-25 Benda A dan B bermassa sama : 40 kg. Kedua benda menggeser dengan

koefisien gesek = 0,15 . Hitung percepatan benda dan tegangan dalam tali

penghubung.

Dari rumus f = FN = diperoleh fA = (0,15)(mg) dan fB = (0,15)(0,87 mg)

Dengan m = 40 kg maka fA = 59 N dan fB = 51 N.

Dengan rumus Fx = max diterapkan pada masing-masing benda,

diperoleh (dengan arah gerak diambil sebagai arah positif) :

T – 59 N = (40 kg) (a) dan 0,5 mg T – 51 N = (40 kg) (a)

Dari kedua persamaan ini diperoleh a = 1,08 m/s2 dan T = 102 N.

5-26 Pada sistem yang ditunjukkan Gambar 5-15 (a), gaya F mempercepat balok

m1 ke arah kanan. Berapakah percepatannya dinyatakan dalam F dan

koefisien gesek pada permukaan-permukaan singgung (contract surfaces)?

Gaya-gaya horizontal pada balok-balok dinyatakan pada Gambar 5-15

(b) dan (c). Balok m2 ditekan pada m1 oleh beratnya m2g. Ini adalah gaya

normalnya di mana m1 dan m2 saling menyentuh, sehingga gaya gesekan

disana adalah f = m2g. tetapi dipermukaan bawah m2 gaya normal adalah

(m1 + m2)g. Jadi, f1 = (m1 + m2)g. kita tulis sekarang Fx = max untuk

setiap balok, dengan mengambil arah gerakan sebagai arah positif :

T - m2g = m2a dan F – T - m2g - (m1 + m2) g = m1a

Kita dapat menghilangkan T dengan menambahkan kedua buah persamaan

untuk memperoleh

F – 2m2g - (m1 + m2)(g) = (m1 + m2) (a)

Sehingga

Gambar 5-15

5-27 Di sistem pada gambar 5-16, gesekan dan massa dari katrol keduanya dapat

diabaikan. Berapakah percepatan dari m2 jika m1 = 300 g, m2 = 500 g, dan

F = 1,50 N?

Perhatikan bahwa m1 percepatannya dua kali lipat m2 (ketika katrol

menempuh jarak d, m1, menempuh jarak 2d). perhatikan juga bahwa

tegangan T1 di tali yang menarik m1, adalah setengah memberitahukan kita

bahwa hal itu terjadi karena massa dari katrol adalah nol). Dengan menulis

Fx = max untuk setiap massa, kita peroleh :

T1 = (m1) (2a) dan F – T2 = m2a

Tetapi kita ketahui bahwa T1 = ½ T2 dan dengan demikian persamaan

pertama menghasilkan T2 = 4 m1a. dengan pengertian atau substitusikan

pada persamaan kedua kita peroleh

F = (4 m1 + m2) (a) atau

5-28 Berat badan A dan B pada Gambar 5-17 adalah 200 N dan 300 N. katrol P1

dan P2 dianggap tidak bermassa dan tidak mengalami gesekan. P21

tertambat pada dinding, namun P2 dapat bergerak naik turun. Tentukan

tegangan T1 dan T2 dan percepatan masing-masing benda.

Jelas bahwa benda B akan naik, sedangkan benda A akan turun.

Perhatikan katrol P2. Gaya-gaya yang bekerja padanya adalah tegangan 2T2

ke atas dan tegangan T1 ke bawah. Maka T1 = 2T2 (benda yang tidak

mempunyai kelembaman meneruskan tegangan). Gaya yang menarik B ke

atas adalah dua kali lebih besar daripada gaya yang menarik A ke atas.

Misalkan percepatan A adalah a (ke bawah), maka percepatan B

adalah a/2 ke atas (mengapa demikian?)

Dengan arah gerak diambil positif persamaan Fy = may untuk masing-

masing benda menghasilkan

T1 – 300 N = (mB) (1/2 a) dan 200 N – T2 = mAa

Ingat bahwa m = w/g, maka mA = (200/9,8) kg dan mB = (300/9,8) kg. Juga

T1 = 2T2. Substitusikan ini ke dalam kedua persamaan diatas, maka T1, T2

dan a dapat ditentukan. Hasilnya :

T1 = 327 N T2 = 161 N a = 1,78 m/s2.

5-29 Tentukan massa bumi yang berbentuk bola dengan R = 6370 km.

Misalkan M adalah massa bumi, dan m massa sesuatu benda

dipermukaan bumi. Berat benda itu mg, yang tak lain adalah gaya tarik

bumi pada benda itu, jadi sama dengan C (Mm) / r2, dimana adalah jari-jari

bumi. Jadi

mg = G

maka

M =

Soal-soal Tambahan

5-30 Sebuah gaya bekerja pada sebuah benda 2 kg hingga benda itu mendapat

percepatan 3 m/s2. Berapakah percepatan yang timbul seandainya gaya

tersebut diatas bekerja pada benda itu dengan massa (a) 1 kg? (b) 4 kg? (c)

Berapakah gaya itu ?

Jawab : (a) 6 m/s2; (b) 1,5 m/s2; (c) 6N.

5-31 Sebuah benda bermassa 300 g. (a) Berapakah beratnya di bumi? (b)

Berapakah beratnya di bulan? (c) Berapakah percepatannya di bulan jika,

sebuah gaya resultante 0,50 N bekerja padanya ?

Jawab : (a) 2,94 N; (b) 0,300 kg; (c) 1,67 m/s2

5-32 Sebuah kereta 200 kg ditarik dengan kabel mendatar. Tegangan dalam kabel

500 N. kalau kereta itu mula-mula diam, (a) berapa waktu diperlukan agar

kecepatan mencapai 8 m/s? (b) Berapa jarak yang telah ditempuh dalam

waktu itu?

Jawab : (a) 3,2 s; (b) 12,8m.

5-33 Sebuah mobil 900 kg melaju di atas jalan datar dengan kecepatan 20 m/s.

mobil itu direm dengan gaya konstan. Berapa besarkah gaya rem ini apabila

dikehendaki mobil itu dapat dihentikan dalam jarak 30 m? (Petunjuk :

tentukan dahulu perlambatannya.

Jawab : 6000 N.

BAB 4 Usaha, Energi, Daya

USAHA (work) yang dilakukan gaya F didefinisikan sebagai berikut. Pada

gambar 6-1 tampak gaya F bekerja pada sebuah benda, yang karenanya

mengalami perpindahan s. Komponen F dalam arah s adalah F cos θ. Usaha yang

dilakukan gaya F didefinisikan sebagai komponen F dalam arah perpindahan

dikalikan dengan perpindahannya.

Perhatian bahwa θ adalah sudut antara vektor gaya dan vektor perpindahan. Tetapi

jikalau F dan s berlawanan arah, maka cos θ = cos 180o = -1, dan W = -Fs, yakni

negatif. Gaya seperti gesekan seringkali menghambat gerak benda, dan

berlawanan arah dengan perpindahan. Dalam hal demikian, gaya melakukan gaya

negatif.

SATUAN USAHA di dalam SI adalah newton-meter , yang disebut joule (J).

Satu joule adalah usaha yang dilakukan dengan gaya 1N yang memindahkan

benda sejauh 1m searah dengan gaya. Satuan lain yang kadang-kadang digunakan

untuk usaha adalah erg, dimana = 10-7 J, dan foot-pon (ft-lb) dimana 1 ft - lb =

1.355 J.

ENERGI adalah kemampuan benda tersebut melakukan usaha. Jumlah energi

yang diberikan sama dengan usaha yang dilakukan. Lebih lanjut, jika suatu benda

melakukan usaha, maka benda tadi akan kehilangan energi yang sama dengan

usaha yang dilakukannya. Karena energi dan usaha dapat dikonversikan dalam

cara ini, mereka mempunyai satuan yang sama yakni joule. Dengan demikian,

energi dan juga usaha merupakan besaran saklar. Jelasnya, suatu benda yang

mampu melakukan usaha tentu akan mengeluarkan energi.

ENERGI KINETIK (EK) sebuah benda adalah kemampuan benda tersebut

melakukan usaha karena bergerak. Jika benda yang bermassa m mempunyai

kecepatan v maka energi kinetik translasinya adalah

2

Jika m dinyatakan dalam kg dan v dinyatakan dalam m/s maka satuan unit EK

adalah joule.

ENERGI POTENSIAL GRAVITASI (EPG) sebuah benda adalah kemampuan

benda tersebut melakukan usaha karena kedudukannya dalam medan gravitasi.

Jikalau massa m jatuh bebas sejauh h, benda itu dapat melakukan usaha sebanyak

mgh. EPG benda didefinisikan terhadap sesuatu permukaan nol yang sembarang,

kerapkali permukaan bumi. Jika benda pad h di atas permukaan nol (atau

permukaan acuan), maka energi potensial gravitasinya.

Di mana g adalah percepatan gravitasi. Perhatikan bahwa mg dalam rumus di atas

adalah berat benda. Satuan EPG adalah J apabila m dinyatakan dalam kg, g dlam

m/s2 , dan h dalam m.

KEKEKALAN ENERGI : Energi tidak dapat diciptakan begitu saja, juga tidak

dapa dimusnahkan begitu saja, energi hanya dapat berubah bentuk energi yang

satu ke bentuk yang lain. (Di sini tersirat bahwa massa adalah sesuatu bentuk

energi. Dalam “keadaan biasa” perubahan massa menjadi energi dan sebaliknya,

seperti diramalkan Teori Relativitas, boleh dilupakan. Topik ini dibahas bab 42.

KONSERVASI USAHA-ENERGI : Bila gaya melakukan usaha pad suatu

benda, energi benda itu akan naik karenanya (atau turun jika usaha negatif). Bila

benda melepaskan energi dalam bentuk apapun benda harus mengalami suatu

kenaikan energi sama besar dalam bentuk yang lain. Atau benda harus melakukan

sejumlah usaha.

DAYA adalah cepatnya usaha yang dilakukan

Di sini “kecepatan’’ harus diartikan komponen kecepatan bend dalam arah gaya

yang bekerja padanya. Nyata bahwa kita juga dapat mengalikan kecepatan dengan

komponen gaya dlam arah kecepatan. Dalam SI, satuan daya adalah watt (w),

yakni 1 w = 1 J/s.

Satuan daya lain yang sering dipakai (tidak akan dipakai dalam persamaan

dasar) adalah tenaga kuda 1 tenaga kuda = 1 hp = 746 w.

KILOWATT JAM (kwh) adalah satuan usaha atau kerja. Jika gaya melakukan

gaya usaha J/s (daya 1 kwh) maka dalam waktu 1 jam gaya itu melakukan usaha

sebanyak 1 kwh :

Soal-Soal Yang Dipecahkan

6-1 : Pada gambar 6-1, kita anggap bahwa bend ditarik sepanjang jalan oleh

sebuah gaya 75 n dengan arah 28o dari garis horizontal. Berapakah kerja

atau usaha yang dilakukan gaya untuk menarik bend sepanjang 8 m?

Usaha = (75 N)( cos 28o)( 8 m) = 530 J

Gambar 6 – 1

FF

F cos θs

6-2 : Sebuah benda dengan gerakan 30o di atas

bidang miring (lihat gambar 6-2)

bergerak ke atas karena padanya bekerja

beberapa gaya , tiga di antaranya

tergambar di sebelah : F1 sebesar 4 n

arah datar F2 tegak lurus bidang miring

sebesar 20 N, F3 sebesar 30 N sejajar

bidang miring. Hitunglah usaha yang

dilakukan masing-masing gaya kalau

benda berpindah 80 cm ke atas.

Komponen F1 sejajar arah perpindahan adalah F1 cos 30o = (40 N) (0, 866) =

34,6

Maka usaha yang dilakukan F1 adalah (34,6 N) (0,80 m) = 28 J (perhatikan bahwa

perpindahan harus dinyatakan dalam meter).

F2 ternyata tidak melakukan usaha apapun, karena gaya ini tidak mempunyai

komponen dalam arah perpindahan.

Komponen gaya F3 dalam arah perpindahan adalah 30 N, maka usaha yang

dilakukannya adalah (30 N) (0, 80 m) = 24 J.

6-3 : Sebuah benda 300 g, meluncur sepanjang 80 m cm di atas meja

horisontal. Berapakah usaha yang dilakukan pada benda tersebut oleh

gaya gesekan yang diperoleh dari meja bila koefisien gesekan adalah 0,

20?

Kita pertama mencari gaya gesekan, berhubungan gaya normalnya sama

dengan berat benda,

f = uFN = (0,20) (0, 300 kg) (9,8 m/s2) = , 588N)

Usaha = fs cos 180o = (0,588 N) ( 0, 80 m) ( -1) = - 0,470 J

Usaha adalah negatif karena gesekan mengurangi kecepatan benda :

dengan demikian energi kinetik (tenaga gerak) dari benda menjadi lebih

kecil.

Gambar 6-2

Kalau sebuah benda kita angkat, kita melakukan usaha melawan gaya

tarik bumi. Berapakah usaha itu kalau sebuah benda 3 kg kita angkat cm?

Agar benda 3 kg dapat diangkat dengan kecepatan tetap, kita harus

mengadakan gaya ke atas yang sama besarnya dengan berat benda. Usaha

gaya inilah yang dimaksud dengan istilah usaha melawan gravitasi.

Karena gaya gesek adalah mg, dengan m adalah massa benda, kita

peroleh

Usaha = (mg) (h) (cos θ) = (3 x 9,8 N) (0,40 m) (1) = 0, 470 J

Usaha adalah negatif karena gesekan mengurangi kecepatan benda,

dengan demikian energi kinetik (tenaga gerak) dari benda menjadi lebih

kecil.

6-4 : Kalau sebuah benda kita angkat, kita melakukan usaha melawan gaya

tarik bumi. Berapakah usaha itu kalau sebuah benda 3 kg kita angkat 40

cm?

Agar benda 3 kg dapat diangkat dengan kecepatan tetap, kita harus

mengadakan gaya ke atas yang sama besarnya dengan berat benda. Usaha

gaya inilah yang dimaksud dengan istilah usaha melawan gravitasi.

Karena gaya gesek adalah mg adalah massa benda, kita peroleh

Usaha = (mg) (h) (cos θ) = (3x 9,8 N) ( 0, 40) (1) = 11,

Jelasnya, usaha melawan gaya tarik bumi (gravitasi) dalam pergeseran

benda bermassa m yang melalui jarak vertikal h adalah mgh.

6-5 : Berapakah besar usaha yang dilakukan pada sebuah benda oleh gaya

yang menahannya ketikan benda diturunkan sepanjang jarak vertikal h?

berapa banyak usaha yang dilakukan gaya berat ( gaya gravitasi) padanya

dalam proses yang sama?

Gaya yang menahan adalah mg, di mana m adalah massa dari benda.

Arahnya ke atas sedangkan pergeseran ke bawah. Jadi, usaha yang

dilakukan adalah

Fs cos θ = (mg) (h) (cos 180o) = - mgh

Gaya gravitasi yang bekerja pada benda adalah mg, tetapi arahnya ke

bawah dengan arah yang sama dengan pergeseran. Usaha yang dilakukan

pada benda oleh gaya gravitasi adalah

Fs cos θ = (mgh) (h) (cos 0o) = mgh

6-6 : Sebuah tangga panjang 3,0 m , berat 200 N, pusat beratnya 120 cm dari

ujung tengah bawah. Pada ujungnya yang lain terdapat benda seberat 50

N. tangga terletak di tanah. Berapakah usaha yang diperlukan untuk

mengangkat tangga hingga berdiri tegak?

Usaha untuk melawan gaya berat ini atas dua bagian : usaha untuk

mengangkat pusat gravitasi ( = pusat massa tangga) setinggi 120 cm dan

usaha untuk mengangkat beban pada ujung tangga setinggi 30. Maka

Usaha = ( 200 N) (I, 20m) + (50 N) (3 m) = 390 J

6-7 : Hitunglah usaha yang diperlukan agar pompa dapat memompakan 600

liter minyak ke dalam tangki setinggi 20 m. satu cc minyak massanya

0,82 gram. Satu liter adalah 1000cm3.

Usaha yang diperlukan :

Usaha = (mg) (h) = [(492) (9,8) N] (20 m) = 96 400 J

6-8 : Sebuah benda bermassa 2 kg jatuh sejauh 400 cm. (a) Hitung usaha yang

dilakukan gaya gravitasi pada benda itu. (b) Energi potensial gravitas

(EPG) benda itu berkurang, berapa berkurangnya?

Bumi menarik benda dengan gaya mg, sedangkan perpindahan yang

terjadi adalah 4 m dalam arah gaya. Maka usaha yang dilakukan gaya

gravitasi adalah

(mg) (4 m) = [(2) (9,8) N] ( 4m) = 78 J

Perubahan EPG benda itu adalah mghf – mgho dengan ho, dan hf

adalah ketinggian semula dan terakhir benda itu dihitung terhadap

sesuatu permukaan acuan. Maka

Perubahan EPG = mghf – mgho = mg (hf – ho ) = [ {2) (9,8) N ] (- 4m) = - 78 J

EPG yang hilang (berkurang) adalah 78 J

6-9 : Sebuah benda 0,20 kg terletak di atas lantai licin. Pada benda itu bekerja

gaya sebesar 1, 50 N dalam arah datar. Setelah benda itu menempuh 30

cm berapakah lajunya?

Usaha yang dilakukan gaya pada benda itu menghasilkan penambahan

energi kinetik dalam jumlah yang sama.

Usaha yang dilakukan = (EK) akhir – (EK)awal atau Fs cos 0o =

Setelah disubtitusi harga-harga yang diketahui = (1,50 N) (0,30 m) =

2 atau = 2,1 m/s.

6-10 : Sebuah benda 0,50 kg bergeser di atas meja dengan kecepatan mula

sebesar 20 cm/s. dan setelah 7 cm benda berhenti. Berapakah gaya gesek

yang dialaminya (anggaplah konstan).

Energi kinetik dari balok berkurang karena terjadi perlambatan dan

gaya gesekan. Berarti

Perubahan pada energi kinetik dari balok = usaha yang dilakukan pada

balok oleh gaya gesekan

Berhubung gaya gesekan pada balok berlawanan arah dengan pergeseran,

maka cos θ = - 1, dengan menggunakan = 0, = 0, 20 m/s , dan s =

0,70 m, kita peroleh :

Berhubung gaya gesekan pada balok berlawanan arah dengan pergeseran,

maka cos θ = -1. Dengan menggunakan = 0, = 0, 20 m, kita peroleh

= dimana

6-11 : Sebuah mobil yang berjalan dengan kecepatan 15 m/s dihentikan dengan

jarak 2,0 m, Gaya F yang dihasilkan tumpukan sampah. Berapakah besar

gaya rata-rata yang dihasilkan sabuk pengaman mobil kepada

penumpang 90 kg ketika mobil dihentikan?

Kita misalkan bahwa sabuk pengaman menghentikan penumpang

berlawanan dalam 2,0 m. gaya F yang dihasilkan bekerja jarak 2 m dan

mengurangi energi kinetik (tenaga gerak) dari penumpang menjadi nol,

jadi!

Perubahan dalam energi kinetik penumpang = usaha yang dilakukan oleh F

(F) (2,0 m) (-1)

Dimana cos θ = -1 karena gaya yang menahan penumpang berlawanan

arah dengan pergeseran. Memecahkan soal, kita dapati F = 5,06 kN.

6-12 : Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 20 m/s ke atas.

Berapa ketinggian yang dicapai kalau kecepatannya tinggal 8,0 m/s?

gesekan udara boleh diabaikan.

Perubahan KE + Perubahan EPG = 0

- + (mg) (

Kita ingin mencari dengan mengerjakan sedikit secara aljabar,

kita peroleh

= -

6-13 : Pada suatu mesin Atwood (lihat soal 5.21) kedua massa adalah 800 g dan

700 g. sistem tersebut dilepaskan dari keadaan diam. Berapakah

kecepatan gerak 800 g massa sesudah ia jatuh 120 cm?

Massa 700 g tersebut naik 120 cm sedangkan massa 800 g turun 120

cm. sehingga perubahan total dalam energi potensial gravitasi (EPG) atau

gravitational potensial energi adalah :

Perubahan EPG = (0,70 kg) (9,8 m/s2) (1,20 m) – (0,80 kg) (9,8 m/s2)

(1,20 m) = - 1,18 J berarti kerugian EPG. Karena kekekalan energi, maka

energi kinetik dari massa-massa haus bertambah dengan 1, 18 J, karena

itu,

Perubahan EK = 1,18 J =

sistem ini mulai dari

keadaan diam, sehingga = 0. Kita pecahkan persamaan di atas untuk

dan kita peroleh = 1,25 m/s.

6-14 : Sebutir manic-manik dapat menggeser tanpa gesekan berarti melalui

kawat (lihat gambar 6-3). Kalau laju di titik A adalah 200 cm/s. (a)

berapakah laju dititik B (b)? di titik c?

Gambar 6-3

Kita mengetahui bahwa konversi energi berlaku disini, dengan demikian dapat

kita tulis

Perubahan EK + perubahan EPG = 0

a. Di sini :

b. Di sini :

6-15 : Misalkan butir manic-manik pada gambar 6.3 mempunyai massa 15 g

dan kecepatan 2,0 m/s di A, dan ia berhenti ketika mencapai titik C.

panjang kawat dari A ke C adalah 250 m. berapakah besar gaya gesekan

rata-rata yang menentang gerakan butiran tersebut?

Bila butiran tersebut bergerak dari A ke C, ia mengalami perubahan pada

energi totalnya : ia kehilangan EK dan EPG. Perubahan energi total

tersebut adalah sama dengan usaha yang dilakukan pada butiran tersebut

oleh gaya gesekan. Sehingga

Perubahan EPG + perubahan EK = usaha yang dilakukan gaya gesek

Perhatikan bahwa cos 𝜃 = -1, vc = 0, vA = 2,0 m/s, hc – hA = 0,30 m,s =

2,50 m, dan m = 0,015 kg. dengan menggunakan nilai-nilai ini, kita

peroleh bahwa f = 0,0296 N.

6-16 : Mobil 1200 kg menggelinding bebas dengan kemiringan 30o seperti pada

gambar 6-4. Pada saat mobil berkecepatan 12 m/s, sopir mulai

menginjak rem. Berapakah besar gaya rem F (yang tetap dan berarah

sejajar permukaan miring) agar mobil dapat berhenti dalam jarak 100 m?

Perubahan pada energi total dari mobil (EK + EPG) sama dengan

usaha yang dilakukan mobil itu oleh gaya pengereman F. usaha ini

adalah Fs cos 180o karena F menghambat gerakan mobil. Kita peroleh

Di mana m : 1200 kg

vf : 0

vo : 12 m/s

: 100 sin 30o m

s : 100 m

Dengan nilai ini, persamaan tersebut memberikan F = 6,7 kN

Gambar 6-4 Gambar 6-5

6-17 : Sebuah bola di ujung sebuah tali 180 cm berayun sebagai bandul sebagai

mana gambar 6-5 kecepatan bola adalah 400 m/s ketika melewati posisi

terendah. (a) Hingga ketinggian h berapakah di atas posisi ini, bola

tersebut akan naik sebelum berhenti? (b) sudut berapakah terhadap garis

vertikal akan dibuat bandul tersebut?

a. Gaya tarik tali pada bola selalu tegak lurus terhadap gerakan bola, dan

karena itu tidak ada usaha yang dilakukan pada bola. Jadi, energi total

dari bola akan konstan, ia kehilangan EK tetapi memperoleh jumlah

sama EPG. Berarti perubahan EK + perubahan EPG = 0

b. Dari gambar 6-5,

Kita peroleh 𝜃 = 56, 9o

6-18 : Sebuah balok 500 g ditembakkan naik lereng sesuai Gambar 6-6 dengan

kecepatan awal 200 cm/s seberapa jatuh balok itu akan naik lereng, jika

koefisien gesekan antara balok dan permukaan lereng adalah 0,15?

Gambar 6-6

Mula-mula kita cari gaya gesekan pada balok sebagai

)

Ketika balok meluncur naik lereng sebuah jarak D, ketinggiannya

bertambah D sin 25o karena perubahan energi dari balok sama dengan

usaha yang dilakukan padanya oleh gaya gesekan, maka kita peroleh.

Perubahan EK + perubahan EPG = fD cos 180o

25o

Kita hitung f di atas, dan kita ketahui bahwa = 2,0 m/s dan = 0.

Perhatikan bahwa massa baik dalam hal ini terhapus (tapi hanya f yang

dinyatakan sebagai fungsi dari massa tersebut). Pengganti atau subsitusi

menghasilkan D = 0,365 m.

6-19 : Sebuah kereta api 60.000 kg ditarik gaya 3000 N di atas rel yang

miringnya 1% (untuk setiap jam horisontal 100 m. kereta api akan

mendaki sejauh 1 km). kereta api mengalami gesekan 4000 kalau

kecepatan mulanya 12 m/s, berapakah jarak s yang harus ditempuh kereta

api sebelum kecepatannya tinggal 9 m/s?

Perubahan energi total kereta api disebabkan oleh gaya gesekan dan alat

penarik kereta api

Perubahan EK + perubahan EPG = Wpenarik + Wgesek

Dari sini diperoleh s = 275 m.

6-20 : Dalam iklan disebut bahwa mobil tertentu (yang massanya 1200 kg) dari

keadaan diam dapat mencapai kecepatan 25 m/s dalam waktu 8,0 s.

berapakah daya rata-rata mesin mobil itu? Anggap tak ada gesekan.

Usaha yang diperlukan untuk menggerakkan mobil :

Usaha yang dilakukan = perubahan EK =

Waktu yang diperlukan untuk mencapai usaha ini 8 s. maka

Apabila daya dikehendaki dalam satuan hp, maka

6-21 : Mesin dengan daya 0,25 hp dipakai untuk mengangkat beban dengan

kecepatan 5,0 m/s yang tetap. Berapakah beban yang dapat diangkat?

Daya yang dihasilkan mesin adalah 0,25 hp = 186,5 w. pada kecepatan

tersebut di atas. Maka dalam waktu 1 detik beban mg dapat diangkat

setinggi 0,050 m. karena itu usaha yang dilakukan dalam waktu 1 detik =

(berat) (perubahan tinggi yang dicapai dalam waktu 1 detik) = (mg)

(0,050 m).

Menurut definisi, daya = usaha/waktu, maka

Dengan g = 9,8 m/s2, maka m = 381 kg, jadi mesin tersebut mampu

mengangkat beban 380 kg dengan kecepatan tersebut diatas.

6-22 : Ulangi soal 6-20 bila data tersebut digunakan pada mobil yang naik

lereng gunung 20 o.

Usaha harus dilakukan untuk mengangkut mobil dan memberikan

percepatan :

Usaha yang dilakukan = perubahan EK + perubahan EPG

=

Di mana = s sin 20o dan s adalah jarak total yang ditempuh oleh

mobil pada 8 s yang ditinjau pada soal 6-20. Kita mengetahui = 0,

= 25 m/s, dan t = 8s, kita peroleh.

Maka

Usaha yang dilakukan =

6-23 : Muatan gandum akan dibongkar dri palka kapal dengan mesin

“elevator”. Alat ini dapat mengangkat gandum setinggi 12 m sebanyak

2,0 kg setiap detik, untuk kemudian dijatuhkan dengan kecepatan 3,0

m/s. mesin dengan hp berapakah sedikit-dikitnya dapat mengerjakan ini/

Daya dihasilkan oleh motor anda

Massa yang diangkut/dipindahkan per detik, m/t, adalah 2 kg/s. dengan

menggunakan nilai, kita peroleh daya sama dengan 244 w atau 0,327 hp.

Soal-Soal Tambahan

6-24 : Sebuah gaya 3 N bekerja pada sebuah benda yang berpindah 12 m dalam,

arah gaya. Berapakah usaha yang dilakukan gaya itu ?

Jawab : 36 J

6-25 : Sebuah benda 4 kg diangkat setinggi 1,5 m, (a) berapakah usaha yang

telah dikeluarkan melawan gaya gravitasi? (b) dan berapakah itu

seandainya benda itu diturunkan?

Jawab : (a) 58,8 J, (b) – 58,8 J

BAB 1

BESARAN DAN SATUAN

Besaran pokok adalah besaran standard. Sedangkan besaran turunan adalah

besaran yang diturunkan dari besaran pokok. Besaran – besaran yang dimaksud

adalah besaran – besaran fisika.

Besaran Pokok Satuan Simbol

Panjang meter m

Massa kilogram kg

Waktu detik s

Arus listrik Ampere A

Intemsitas cahaya Candela Cd

Jumlah zat mole mol

Sudut radian rad

Contoh besaran turunan :

Kecepatan ms-1

Percepatan ms-2

Gaya kg m s-2

Luas m2

Volume m3

Frekuensi s-1

Kecepatan sudut rad s-1

Tekanan Pa = N m-2

Kerja, energy, kuantitas panas J = N m

Daya W = J s

Densitas kg m-3

Di bawah ini ada beberapa konversi untuk satuan panjang :

1 in = 25.4 mm 1 m = 39.37 in

1 ft = 0.3048 m 1 lb = 0,514 kg

1 yd = 0.914 m 1 galon = 3,7 liter

1 mi = 1.61 km

SISTEM MATRIK DALAM SI

1018 exa E 10-1 desi

1015 peta P 10-2 senti

1012 tera T 10-3 mili

109 giga G 10-6 mikro

106 mega M 10-9 nano

103 kilo k 10-12 piko

102 hekto ha 10-15 femto

101 deka da 10-18 ato

Contoh soal :

1. Gulungan kawat tembaga total panjangnya 60 m . Seorang teknisi listrik

membutuhkan 200 ft kawat tembaga untuk gulungan sebuah trafo. Apakah

teknisi tersebut mempunyai cukup kawat ?

Jawab :

Konversikan 60m ke ft

1 m = 3,281 ft

1 m = 39,37 in

1 ft = 12 in

60 m x 39,37 in/1m x 1 ft/12 in = 60 . 39,37/12 ft = 197 ft

Jika pekerjaan membutuhkan 200 ft , maka 60 m gulungan kawat tembaga

tidak cukup .

2. Konversikan 60 mi/h ke ft / s !

Jawab :

1 mil = 5280 ft

1 h = 3600 s

Maka

60 mil/h x 1 h/3600 s x 5280/mil = 60 x 5280/3600 ft / s

DIMENSI

Suatu besaran dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila memiliki dimensi yang

sama. Setiap suku dalam persamaan fisika harus memiliki dimensi yang sama.

Perioda ayunan sederhana T dinyatakan dengan rumus berikut ini :

yang mana l panjang tali dan g percepatan gravitasi dengan

satuan panjang per kwadrat waktu. Tunjukkan bahwa per-

samaan ini secara dimensional benar !

Jawab :

Dimensi perioda = T

Dimensi panjang = M

Dimensi percepatan gravitasi = LT-2 ; 2 = tidak berdimensi

Maka :

Latihan Soal – Soal :

1. Konversikan satuan – satuan berikut ini :

a. 29,4 cm ke m

b. 350 mi/h ke f/s

c. 60a ft ke mile

d. 1220 in ke m

e. 4400 ft3/h ke m3/s

f. 3,98 x 10-10 g ke nano gram

2. Tangki berbentuk silindris dengan diameter 35 cm dan tinggi 90 cm.

Hitung volume dalam cm3 dan liter.

3. Mesin mobil VW dengan silider piston dengan diameter 77 mm. Jika

langkah piston 6,4 cm. Berapakah volume mesin ?

4. Bahan bakar bensin dengan berat 5,6 lb/gal. Berapa kilogram bensin dalam

satu liter ?

5. Buktikan dimensi dari persamaan-persamaan berikut ini :

a. S = Vot + ½ at2

b. 2as = Vf2 – Vo2

c. Vf = Vo + at2