1

BAB V TURUNAN FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 1. Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar 2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah 3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar 4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar dan penafsirannya.

A. Turunan Fungsi 1. Pengertian Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik x dilambangkan dengan f (x) dengan definisi f ( x h) f ( x ) f (x) = lim . Proses mencari f dari f disebut penurunan; dikatakan h 0 h bahwa f diturunkan untuk mendapatkan f . . Contoh 5.1: Carilah turunan fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = x2 + 5 pada x = 3 Jawab: Turunan f pada x = 3 ialah f (3) = limh 0

f (3 h) h(3 h) 2

f (3)

5 (3 2 5) h 0 h 2 9 6h h 5 9 5 = lim h 0 h h(6 h ) = lim h 0 h = lim (6 h) 6

= lim

h

0

Contoh 5.2: Carilah turunan fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = x3 langsung dari definisi. Jawab: ( x h) 3 x 3 x 3 3x 2 h 3xh 2 h 3 x 3 f ( x h) f ( x ) f (x) = lim = lim = lim h 0 h 0 h 0 h h h 2 2 2 h(3 x 3 xh h ) = lim = lim (3x 2 3xh h 2 ) = 3x2 h 0 h 0 h h Contoh 3. Diketahui f(x) = 1/x2. Carilah f (x) langsung dari definisi. Jawab:

1

2

x 2 ( x h) 2 1 1 ( x h) 2 x 2 ( x h) 2 x 2 f ( x h) f ( x ) f (x) = lim = lim = lim h 0 h 0 h 0 h h h 2 2 2 2 h( 2 x h) x ( x 2 xh h ) 2 xh h = lim = lim = lim 2 2 2 2 h 0 h( x h 0 h 0 h( x h) 2 x 2 h( x h) x h) x 2x h 2x h 2x h lim 2 lim 4 = lim 2 2 2 2 h 0 (x h 0 (x h 0 (x h) x 2 xh h ) x 2x3h x 2h 2 )

2x 2 = 3 4 x x

Latihan 1 Gunakan definisi fungsi turunan f (x) = limh 0

f ( x h) h

f ( x)

untuk memeriksa nilai

f (x) untuk tiap-tiap soal di bawah ini. 1. f(x) = 3x ; f (x) = 3 2. f(x) = 5x2 ; f (x) = 10x 3. f(x) = 2x3 ; f (x) = 6x2 2. Turunan Beberapa Fungsi Khusus (i). Turunan fungsi-fungsi konstan Jika f(x) = c, dengan c konstan, maka: 4. f(x) = 2/x2 ; f (x) = - 4/x3 5. f(x) = 1/x ; f (x) = - 1/x2

f (x) = limh

0

f ( x h) h

f ( x)

= limh

c c 0 = lim = lim 0 = 0. 0 h 0 h h 0 h

Turunan fungsi konstan adalah nol. (ii). Turunan xn (n bilangan bulat positif) Untuk n = 1, maka f(x) = x, dan f (x) = limh

0

f ( x h) h f ( x h) h

f ( x)

= limh

( x h) x h = lim 0 h 0 h h( x h) 2 0 h x2

= lim 1 1 .h 0

Untuk n = 2, maka f(x) = x2, dan f (x) = limh

f ( x)

0

= limh

==

limh

0

h( 2 x h) = lim 2 x h h 0 h

2x .( x h) 3 x 3 f ( x h) f ( x ) = lim = h 0 h 0 h h 3 xh 2 h 2 ) = lim (3x 2 3xh h 2 ) = 3x2 h 0 h

Untuk n = 3, maka f(x) = x3 dan f (x) = limlimh

x3

0

3x 2 h 3xh 2 h

h3

x3

= limh

h(3 x 2

0

. Dari uraian di atas diperoleh f(x) f (x) x 1 x2 2x x3 3x2

Bila diperhatikan dengan seksama, tampak pola turunan untuk x4, x5, dan seterusnya, sehingga dapat disimpulkan turunan dari f(x) = xn adalah f (x) = n xn 1

2

3

Kesimpulan tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi turunan sebagai berikut.. ( x h) n x n f ( x h) f ( x ) Misalkan f(x) = xn, maka f (x) = lim = lim h 0 h 0 h h n n n n1 n n2 2 n n n ( x h) n x x h x h ... xh n 1 h 0 1 2 n 1 n n n n! adalah kombinasi k unsur dari n unsur, dengan k k k!(n k )! Selanjutnya f (x) = limh

nx n 1 h ... nxh n 1 h 0 h n 1 lim (nx ... nxh n 2 limh 0

( x h) n x n ( x n nx n 1 h ... nxh n = lim 0 h 0 h h n n 1 n 2 n 1 h h(nx ... nxh h ) = lim = h 0 h h n 1 = nx n-1

1

hn ) xn

=

Jika f(x) = xn, maka f (x) = n xn -1 , dengan n bilangan bulat positif. (iii). Turunan axn (n bilangan bulat positif)a( x h) n ax n = h 0 h a[( x h) n x n ] a[( x h) n x n ] lim . Berdasarkan sifat limit diperoleh lim = h 0 h 0 h h [( x h) n x n ] ( x n nx n 1 h ... nxh n 1 h n ) x n a lim = a lim = h 0 h 0 h h nx n 1 h ... nxh n 1 h n h(nx n 1 ... nxh n 2 h n 1 ) a lim = a lim = h 0 h 0 h h a lim (nx n 1 ... nxh n 2 h n 1 = an x n-1

Misalkan f(x) = axn , a suatu konstanta , maka f (x) = lim

h

0

Jika f(x) = axn, maka f (x) =an xn -1 , dengan n bilangan bulat positif. (iv). Turunan pangkat negative dan rasional dari x

1Untuk n = -1, maka f(x) = x-1 =

1 f ( x h) , dan f (x) = lim h 0 x h

f ( x)

= lim x h h 0 h

1 x =

x ( x h) h 1 ( x h) x ( x h) x 1 lim = lim = lim 2 = = x -2 2 h 0 (x h 0 h 0 h h xh) x 1 f ( x h) f ( x ) Untuk n = -2, maka f(x) = x-2 = 2 , dan f (x) = lim = h 0 h x x 2 ( x h) 2 x 2 ( x 2 2 xh h 2 ) 1 1 ( x h) 2 x 2 ( x 2 2 xh h 2 ) x 2 ( x h) 2 x 2 lim = lim = lim = h 0 h 0 h 0 h h h 2 xh h 2 h( 2 x h) 2 2 2 4 ( x 2 xh h ) x (x 2x3h x 2 h 2 ) ( 2 x h) lim = lim = lim 4 h 0 h 0 h 0 x h h 2x3h x 2 h 2 Dari uraian di atas diperoleh :

2x x4

2 x3

3

4

f(x) f (x)

1/x atau x -2 - 1/x2 atau x-2

1/ x2 atau x 2 - 2/x3 atau 2x 3

Bila dicermati diperoleh pola bahwa turunan dari f(x) = x -3, maka f (x) = -3x -4. Juga bila f(x) = x -4, maka f (x) = -4x -5, dan seterusnya. Dengan demikian bila f(x) = x -n, maka f (x) = -nx n-1, berlaku bagi n bilangan bulat untuk n 0. Jika f(x) = xn, maka f (x) = n x n 1 , dengan n bilangan bulat, n 0. Contoh 5.4 : Diketahui f(x) =

1 . Carilah f (x) : 3x 2

Jawab: f(x) =1 3x 2 2x 3 x 2 32 1

f (x) =

2x 3

3

2 3x 3

Bagaimana bila f(x) = x n dengan n bilangan rasional? 1 x h f ( x h) f ( x ) Misalkan f(x) = x = x 2 , maka f (x) = lim = lim h 0 h 0 h h x h x h x h x x h x ) = lim ( lim ( )( ) = lim ( h 0 h 0 h 0 h h( x h x) h( x h x h xlim (h 0

x

=

x)

) =

1 ( x h x)

) =

1 ( x x)

1 2 x

1 x 2

1 2

Jika f(x) = x n dengan n bilangan rasional, maka f (x) = n x n-1. Contoh 5.55

Diketahui f(x) = x 3 . Carilah f (x) : Jawab:5 Bila f(x) = x , maka f (x) = x 3 35 3

5

1

5 3 x : 3

2

Latihan 2. Carilah turunan dari : 1. x 6. x -1 2. x 4/3 7. x -2 3. x 5/2 8. x -6 4. x 9. 2x -3 5. x 1/3 10. x 4

4

5

3. Sifat-sifat Turunan Fungsi Bila g(x) dan h(x) fungsi-fungsi yang memiliki turunan dan k konstanta, berlaku: (i) Jika f(x) = k g(x) maka f (x) = k g(x) (ii) Jika f(x) = u(x) + v(x) maka f (x) = u(x) + v(x) (iii) Jika f(x) = u(x) - v(x) maka f (x) = u(x) - v(x) (iv) Jika f(x) = u(x).v(x) maka f (x) = u(x)v(x) + u(x)v(x) u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x ) u ( x) (v) Jika f(x) = maka f (x) = v( x) [v( x)] 2

Bukti (i). Jika f(x) = k g(x) maka f (x) = limh

f ( x h) f ( x ) kg( x h) kg( x) = lim = h 0 h h g ( x h) g ( x ) g ( x h) g ( x ) = k lim = k g(x) lim k h 0 h 0 h h0

Bukti (ii)

u ( x h) v( x h) (u ( x) v( x)) = h 0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) (u ( x h) u ( x)) (v( x h) v( x)) = lim = lim lim h 0 h 0 h 0 h h h u(x) + v(x).Jika f(x) = u(x)+v(x) maka f (x) = lim Bukti (iii) serupa dengan bukti (ii). Bukti (iv) Jika f(x) = u(x)+v(x) maka f (x) = limh

u ( x h).v( x h) u ( x).v( x) = h u ( x h).v( x h)) u ( x h).v( x) u ( x h)v( x) u ( x)v( x) = lim h 0 h u ( x h).[v( x h)) .v( x)] [u ( x h) u ( x)]v( x) lim = h 0 h u ( x h).[v( x h)) .v( x)] [u ( x h) u ( x)]v( x) lim = h 0 h u ( x h).[v( x h)) .v( x)] .[u ( x h)) .u ( x)]v( x) lim lim = h 0 h 0 h h [v( x h)) .v( x)] .[u ( x h)) .u ( x)] lim u ( x h) lim v( x) = h 0 h 0 h h [v( x h)) .v( x)] .[u ( x h)) .u ( x)] lim u ( x h) lim lim lim v( x) = h 0 h 0 h 0 h 0 h h u(x)v(x) + u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x).0

Bukti (v) serupa dengan bukti (iv) Contoh 5.6. Carilah turunan dari f(x) = 3x2 + 5x 10 Jawab: f(x) = 3x2 + 5x 10 Misalkan u(x) = 3x2, v(x) = 5x dan w(x) = 10, maka u(x) = 6x, v(x) = 5 dan w(x) = 0 Selanjutnya f(x) = u(x) + v(x) w(x) dan f (x) = u(x) + v(x) w(x) = 6x + 5.

5

6

Contoh 5.7 Carilah turunan f(x) = (3x2 -1)(x4 + 2x) Jawab: Dengan menggunakan sifat (iv) Misalkan u(x) = 3x2 -1 dan v(x) = x4 +2x, maka u(x) = 6x dan v(x) = 4x3 + 2 Jika f(x) = u(x).v(x) maka f (x) = u(x)v(x) + u(x)v(x) sehingga tururnan dari f(x) = (3x2 -1)(x4 +2x) adalah f (x) = 6x(x4+2x)+ (3x2-1)(4x3+2) = 18x+18x-4x-2 Hasilnya sama dengan cara mengalikan dahulu u(x).v(x) yaitu f(x) = (3x2 -1)(x4 +2x) = 3x+6x-x-2x, dan f (x) = 18x+18x-4x-2. Contoh 8 Carilah turunan f(x) =2x 4 x x2 1

Jawab: Dengan menggunakan sifat (iv) Misalkan u(x) = 2x4 x dan v(x) = x2 +1 maka u(x) = 8x3 - 1dan v(x) = 2x. u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x ) u ( x) Jika f(x) = maka f (x) = . v( x) [v( x)] 2 Selanjutnya turunan dari f(x) = f (x) =2x 4 x adalah x2 1 1)(x 2 1) (2 x 4 x)(2 x) 4 x 5 8x 3 x 2 1 = [ x 2 1]2 ( x 2 1) 2

(8x 3

Latihan 3 Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut. 1. x2 + 2x + 3 2. x3 7x2 + 2 1. 4x4 x2 + 9 2. (x 3 + 3x2)(2x 1) 3. (5x2 -7)(3x2 -2x +1) 2 4. 2 5x 1 2x 2 1 5. 3x 5 5x 2 2 x 6 6. 2x 1 7. Jika f(0) = 4, f (0) = -1, g(0) = -3 dan g(0) = 5 Carilah (f-g)(0); (f.g)(0); dan (f/g)(0) 8. Jika f(3) = 7, f (3) = 2, g(3) = 6 dan g(3) = -10 Carilah (f+g)(3); (f.g)(3); dan (f/g)(3)

4. Arti Geometris Turunan a. Gardien Garis singgung Kurva Perhatikan grafik fungsi f pada gambar berikut. Titik A, B, dan C terletak pada grafik f, bila absisnya berturut-turut x1, x2, dan x3, maka koordinat titik A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), dan C(x3, f(x3)). Garis AB memotong grafik f y yA f ( x 2 ) f ( x1 ) memiliki gradien B . Garis AC memotong grafik f memiliki xB x A x 2 x1

6

7

yC y A f ( x3 ) f ( x1 ) . Misalkan selisih absis titik C dan absis titik C sama xC x A x3 x1 dengan h, maka x3 = x1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan f ( x3 ) f ( x1 ) f ( x1 h) f ( x1 ) f ( x1 h) f ( x1 ) x3 x1 ( x1 h) x1 h

gradien

10 8 6

y B

C 4 2

A 1 2 3 4 5

-1

0

x

Gambar 5.1 Jika titik C pada grafik terus digeser mendekati titik A, maka x 3 mendekati x1 atau f ( x1 h) f ( x1 ) sehingga selisihnya yaitu h mendekati 0, ditulis lim dilambangkan h 0 h dengan f (x1) yang memiliki makna gradien garis singgung kurva f di titik A(x1, f(x1)). Contoh 5. 9 : Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x2 -1 di titik x = 2 Jawab: f(x) = x2 -1, maka f(x) = 2x Gradien garis singgung di x = 2 adalah f (2) = 2.2. = 4 b. NotasiLeibniz Fungsi f: x x2 +1 biasa ditulis f(x) = x2 +1, tetapi sering juga ditulis sebagai y 2 2 = x +1 . Jika f(x) = x +1 maka f (x) = 2x, dan bila y = x2 +1 sering ditulis y = 2x. f ( x h) f ( x ) Dari definisi fungsi turunan dari f (x) adalah f (x) = lim , h h 0 h melambangkan perubahan nilai x. Dalam berbagai penerapan kalkulus perlu sekali lambang h sering ditulis sebagai x, sedang perubahan nilai f atau y yang sesuai disebut dilambangkan dengan f atau y. f (x x) f ( x) y Jika y = f (x), maka y = f(x + x) f(x) dan y = lim = lim . x 0 x 0 x x y dy Oleh Leibniz lim ditulis sebagai . x 0 x dx10 8 6 C 4 y y B

y

2

A x 1 2

-1

0

y

3

4

5

x

Gambar 5.2

7

8

Contoh 5.10 Jika C (x) = 100 + 3x x2 , tentukan Jawab: dC = C(x) = 3 -2x dx Tugas 4 1. Tentukan gradien garis singgung f(x) = x2, di titik (1,1). 2. Tentukanlah koordinat titik pada kurva y = x 2 + 4x + 6 sehingga garissinggung kurva di titik itu mempunyai gradien 12 3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva y = x2 + x yang melalui (-1,0). 4. Tentukanlah persamaan garisinggung kurva y = x 1/x2 di titik potong kurva dengan sumbu X 5. Aturan Rantai Jika f(x) = (uov)(x) = u(v(x)), maka f (x) = u(v(x)).v(x) Contoh 11: Carilah f (x) bila f(x) = (2x + 1)3 Jawab: Cara pertama f(x) = (2x + 1)3 = 8x+12x+6x+1, maka f (x) = 24x2 + 24x2 + 6x = 6(8x2+2x +1) = = 6(2x+1)2. Cara kedua Menggunakan sifat (vi) jika f(x) = (uov)(x) = u(v(x)), maka f (x) = u(v(x)).v(x). Untuk f(x) = (2x + 1)3 , misalkan dengan u(x) = x3 dan v(x) = 2x+1, sehingga f(x) = (uov)(x) = u(v(x)). Bila u(x) = x3 maka u(x) = 3x2 dan bila v(x) = 2x + 1 maka v(x) = 2 f (x) = 3(2x + 1)2. 2 = 6(2x + 1)2.

dC dx

Contoh 12: Carilah f (x) bila f(x) = Jawab: f(x) =

x1010

2x 5 102x1 25

x

10

2x

5

10 = ( x

10 )

1 2

f(x) = (uov)(x) dengan u(x) = x dan v(x) = x 10 + 2x 5 -10, maka u(x) = v(x) = 10x9 + 10x41 f (x) = ( x 10 2 2x5

1 x 2

1 2

dan

10 ) (10x9 + 10x4) =

1 2

10x 9 10x 4 2 x10 2 x 5 10

Dengan menggunakan notasi Leibniz, Teorema Aturan Rantai dapat dy dy du dinyatakan sebagai berikut: Jika y = f(u) dan u = g(x), maka y = . dx du dx

8

9

Contoh 13 Carilah y bila y = (2x + 1)3 Jawab: Misalkan v = 2x + 1 maka y = (2x + 1)3 = v3 dy dv dy dy dv 3v 2 dan 2 sehingga 3v 2 .2 dv dx dx dv dx Tugas 5 Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut. 1. f(x) = (3 -2x)5 2. y = (x3 -2x2 +3x +1)11 3. f(x) = (x2 x +1) -7 1 4. y = 2 ( x 3) 9

6v 2

6(2 x 1) 2

B. Karakteristik Grafik Fungsi 1. Kurva Naik dan Kurva Turun Bila suatu kurva dari grafik fungsi digambarkan pada koordinat kartesius, kurva dikatakan naik, bila makin ke kanan kurva makin tinggi, seperti terlihat pada Gambar 5.3. Suatu kurva dikatakan turun bila makin ke kanan kurva makin rendah, seperti pada Gambar 5. 4.10 8 6 4 2 x f f 4 2 y 10 8 6

y

-1

0

1

2

3

-1

0

1

x

2

3

Gambar 5.3

Gambar 5.4

Perhatikan Gambar 5.5., pada interval - < x < -1 kurva naik, pada interval -1 < x < 1 kurva turun, dan pada interval 1 0. Perhatikan Gambar 5.7., pada interval 1 < x < grafik turun dan garis-garis singgungnya membentuk sudut tumpul dengan sumbu x positif, artinya gradien-gradien garis singgung grafik f pada saat kurva f turun adalah negatif. Dengan kata lain, grafik fungsi f turun bila f(x) < 0.

6 4 2

6 4 2 0 -2 -4

-4

-2

0 -2 -4

2 x

4

-4

-2

2 x

4

Gambar 5.6

Gambar 5.7

Contoh 14 Bila f(x) = 2x3 3x2 -12x +7, tentukan dimana grafik f naik dan grafik f turun. Jawab: f(x) = 2x3 3x2 -12x +7 maka f (x) = 6x2 6x -12 Grafik f naik bila f (x) > 0 6x2 6x -12 > 0 x2 x -2 > 0 (x-2)(x+1)>0 Batas-batas interval adalah (x-2)(x+1)= 0 x = 2 dan x = -1 Untuk daerah pada garis bilangan sebelah kiri -1 itu daerah positif (+) atau negatif (-) subsitusikan sembarang bilangan sebelah kiri -1, misalnya -2 diperoleh (-2-2)(-2+1) = (-4)(-1) = 4 positif (+). Untuk daerah pada garis bilangan antara -1 dan 2 itu daerah positif (+) atau negatif (-) subsitusikan sembarang bilangan sebelah kiri di antara kedua bilangan, misalnya 0 diperoleh (0-2)(0+1) = (-2)(1) = -2 negatif (-). Begitu juga untuk memeriksa daerah garis bilangan sebelah kanan 2, ambil bilangan 3, kemudian subsitusikan ke (x-2)(x+1) = (3-2)(3+1) = 1.4 = 4 positif (+) --+++ -1 2 Grafik f naik pada interval garis bilangan yang bertanda positif (+) yaitu, - < x