EL AREA EN EL EJE X

AREA EN EL EJE Y

CALCULAR EL AREA DE LA SIGUIENTE GRAFICA UTILIZANDO INTEGRALES ITERADAS DOBLES

SOLUCION:

UTILIZAREMOS CUALQUIER POSICION, ES DECIR, PODEMOS TOMAR INTEGRALES YA SEA POR DX O DY. LO

TOMAREMOS POR DY:

𝑐

𝑑

ℎ1 𝑦

ℎ2 𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

Y COMO TIENE FUNCIONES CONSTANTES, TOMAREMOS ℎ1 𝑦 = 0 Y ℎ2 𝑦 = 8 EN DONDE LOS LIMITES

CON RESPECTO A “Y” SERAN 𝑐 = 0 Y 𝑑 = 3

𝑐

𝑑

ℎ1 𝑦

ℎ2 𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0

3

0

8

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0

3

𝑥8

0𝑑𝑦 =

0

3

8 − 0 𝑑𝑦 = 8 0

3

𝑑𝑦 = 8 𝑦3

0= 8 3 − 0

= 8 3 = 24

POR LO TANTO LA FIGURA TIENE UN ÁREA DE:

𝑐

𝑑

ℎ1 𝑦

ℎ2 𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0

3

0

8

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 24 𝑈2

HALLAR EL AREA DE LA SIGUIENTE FIGURA UTILIZANDO INTEGRALES ITERADAS DOBLES

SOLUCION:

PARA ESTO, VEMOS QUE ES PODEMOS TOMAR LA FORMULA DEL AREA EN EL EJE X:

𝑎

𝑏

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥

Y LAS FUNCIONES SERAN 𝑔1 𝑥 = 0 DEBIDO A QUE ESTA TOPANDO EN ELE EJE DE LAS X Y 𝑔2 𝑥 = 4 − 𝑥2,

EN DONDE LOS LIMITES SERAN 𝑎 = 0 Y 𝑏 = 2

𝑎

𝑏

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0

2

0

4−𝑥2

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0

2

𝑦4 − 𝑥2

0𝑑𝑥 =

0

2

4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 4𝑥 −𝑥3

3

2

0

= 4 2 −8

3− 0 = 8 −

8

3=16

3

POR LO TANTO SU AREA ES:

𝑎

𝑏

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0

2

0

4−𝑥2

𝑑𝑦𝑑𝑥 =16

3𝑈2

ENCONTRAR EL AREA DE LA SIGUIENTE FIGURA UTILIZANDO INTEGRALES ITERADAS DOBLES

(1,0)

SOLUCION

POR LA FIGURA DEL AREA EN EL EJE X, UTILIZAREMOS LA SIGUIENTE INTEGRAL

𝑎

𝑏

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥

Y LAS FUNCIONES SERAN 𝑔1 𝑥 = 𝑥 + 2 Y 𝑔2 𝑥 = 4 − 𝑥2 EN DONDE LOS LIMITES SERAN 𝑎 = −2 Y 𝑏 = 1

𝑎

𝑏

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥 = −2

1

𝑥+2

4−𝑥2

𝑑𝑦𝑑𝑥 = −2

1

𝑦4 − 𝑥2

𝑥 + 2𝑑𝑥

= −2

1

4 − 𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = −2

1

−𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =

−𝑥3

3−𝑥2

2+ 2𝑥

1

−2= −

1

3−1

2+ 2 − −

−2 3

3−−2 2

2+ 2 −2

= −1

3−1

2+ 2 −

8

3−4

2− 4 = −

1

3−1

2+ 2 −

8

3+4

2+ 4 = −

9

3+3

2+ 6

= −9

6+ 6 =

27

6=9

2

POR LO TANTO EL RESULTADO FINAL ES:

𝑎

𝑏

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥 = −2

1

𝑥+2

4−𝑥2

𝑑𝑦𝑑𝑥 =9

2𝑈2

MEDIANTE LOS SIGUIENTES DATOS, ENCUENTRA EL VALOR DE ESO UTILIZANDO INTEGRALES ITERADAS DOBLES:

𝑥 + 𝑦 = 2, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0

SOLUCION: PARA ESTOS CASOS COMENZAREMOS DESPEJAR Y PARA LA ECUACION QUE NOS DA EL PROBLEMA, ES

DECIR:

𝑥 + 𝑦 = 2

𝑦 = 2 − 𝑥

𝑦 = 2 − 𝑥 2

AL UTILIZAR LA FUNCION Y SOLO NECESITAMOS LOS LIMITES CON RESPECTO AL EJE X Y PARA ELLO SE REALIZA LO

SIGUIENTE:

𝑥 + 𝑦 = 2 𝑆𝐼 𝑦 = 0 → 𝑥 = 4

POR LO TANTO, LOS LIMITES INFERIOR Y EXTERIOR QUE SE UTILIZARAN SON:

𝑔1 𝑥 = 0 Y 𝑔2 𝑥 = 2 − 𝑥 2

𝑎 = 0 Y 𝑏 = 4

EN DONDE SUSTITUYENDO EN LA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA EN EL EJE X, SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL:

𝑎

𝑏

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0

4

0

2− 𝑥2

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0

4

𝑦2 − 𝑥 2

0𝑑𝑥 =

0

4

2 − 𝑥 2 𝑑𝑥

= 0

4

4 − 4 𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑥 −8 𝑥

32

3+𝑥2

2

4

0= 4 4 −

8 432

3+42

2− 0

= 16 −8

38 +

16

2= 16 −

64

3+ 8 = 24 −

64

3=8

3

POR LO TANTO, SU TRANFORMACION MEDIANTE FUNCION Y LIMITES DADOS VA PERTENECIENDO AL VALOR:

𝑎

𝑏

𝑔1 𝑥

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0

4

0

2− 𝑥2

𝑑𝑦𝑑𝑥 =8

3

BIBLIOGRAFIAS

• LARSON, HOSTETLER Y EDWARDS, “CALCULO DE VARIAS VARIABLES-MATEMATICAS 3”, EDITORIAL MC

GRAW HILL, 2009, 352 PAGS.

• W. SWOKOWSKI, EARL, “CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA”, SEGUNDA EDICION, E.U.A, 1097 PAGS.