Números enterosNúmeros enteros

15 de abril de 2023

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Números EnterosAdición y Sustracción

Raúl Ponce YalicoUniversidad Nacional de Educación

21enmathe.blogspot.com

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Buena temperatura: + 20 ºC

+20

+5000

+7

– 7– 5000

– 20

0

Mucho frío: – 20 ºCSoy rico: tengo +5000 euros

Debo dinero: “tengo” -5000 euros

Los números naturales se consideranenteros positivos.

Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–)

De los números naturales a los enteros

Los números enteros están formados por:enteros positivos,enteros negativos

y el cero

Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo

– 776

– 250

El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar

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1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.

2º. A la derecha del 0 se representa el +1.

3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos.

4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos.

4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos.

PositivosNegativos

Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos:

+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5

Representación de los números enteros

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Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras

Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:

22 2

4 4 4

Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:

+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5 –2 +2

El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.

Se indica así:

Otro ejemplo:

Valor absoluto de un número entero

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Ordenación:

Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo

Se indica escribiéndolo entre barras. Así:

Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha.

,7 7 7 7

0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1

Más grandesMás pequeños

Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.

El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.

Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

13 7 pues , 137 Luego Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

13 7 pues ,137 Así,

Valor absoluto y ordenación de los números enteros

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0 +1 +3+2 +4 +6+5–2 –1

(+2) + (+3) = +5

Para sumar dos números enteros del mismo signo:

1.º Se suman sus valores absolutos.

(–2) + (–3) = –5

2.º Al resultado se añade el signo que tienen.

+2 +3

–4 –3 –1–2 0 +2+1–6 –5

–2–3

(+6) + (+12) = +18(+4) + (+21) = +25

(–4) + (–11) = –15(–17) + (–31) = –48

Suma de enteros del mismo signo

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7

(+12) + (–9) = +3

Para sumar dos números enteros de distinto signo:1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.

(+18) + (–19) = –1

2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado12 euros

Y hemos gastado9 eurosLes quedan 3 euros

Carola y Pablo también hacen sus cuentas ...

Nos han dado18 euros Y hemos gastado

19 euros

Deben 1 euro

¿Les queda o deben dinero?

(Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto).

Suma de números enteros de distinto signo

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Para sumar varios números enteros:1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos.2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido.

Otros ejemplos:

(+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5

(+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17

Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos.

(+100) + (–40) + (–70) + (+50) =

= (+150) + (–110) = +40

Veamos un ejemplo:

(+100) + (+50) + (–40) + (–70) =

Suma de varios números enteros

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4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo.

4 = op.(–4) –4 = op. (+4)

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número

8 6–2 –8 –6–6

–7 –12 7 12

+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5–6

Se llaman opuestos.

Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5

op.(5) = –5

Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos.

2

–5 5 12

a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b)

Opuesto de un número entero

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Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo.

1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5

(+9) – (+5) = 9 – 5 = 4

2º. Como indicador de número negativo: –3

(+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0).

(–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8

(–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4

(+9) – (–5) = 9 + 5 = 14

Algunos ejemplos:

–7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43

El signo – tiene dos significados:

Resta de números enteros

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Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras:1º. Haciendo las operaciones del paréntesis.2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.

9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6

9 – (12 + 3)

Vamos a calcular:

1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:

9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6

2º. También se puede hacer así:

12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8

12 – (10 – 6)

Calculamos ahora:

1º. Operando antes el paréntesis:

Como ves, sale el mismo resultado.

12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8

2º. También se puede hacer así:

Son iguales

El uso del paréntesis

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(a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis).

Otros ejemplos:

Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro.

8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2

(c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis).

8 + (4 – 14)

La expresión: se puede calcular de dos maneras:

1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:

8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 22º. Quitando el paréntesis:

15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5

15 – (12 – 2)

Análogamente: se puede calcular de dos maneras:

1º. Operando antes el paréntesis:

2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5

Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.

Operar con paréntesis