Laser a Semiconduttore

A. A. 2007-08

Studente: Francesco Coppola

Corso: Elettronica Quantistica

IntroduzioneNel caso dei Laser a semiconduttori in cui non si può più parlare di funzioni d’onda relative a singoli atomi, come nel caso dei laser tradizionali, ma si deve parlare in termini di un’unica funzione d’onda relativa a tutto il cristallo, o, meglio, di una funzione d’onda determinata dal potenziale prodotto dalla presenza di tutti gli atomi del reticolo.

dove uk(r) e’ una funzione che presenta la periodicità spaziale del reticolo cristallino e k è il vettore d’onda dell’elettrone, legato all’impulso dalla relazione di De Broglie : p=hk. Sostituendo tale espressione nella equazione di Schroedinger e risolvendola, si trova che gli autovalori dell’energia degli elettroni, E, sono funzione di k , e cadono all’ interno di bande permesse.

Gli elettroni esterni degli atomi di un materiale semiconduttore intrinseco, infatti, sono delocalizzati sull’ intero cristallo. Le corrispondenti funzioni d’ onda possono essere scritte come (funzioni d’onda di Block) :

Per cui risultano di interesse solamente la banda di energia più alta occupata da elettroni, banda di valenza, e la prima banda permessa di energia superiore, banda di conduzione.

Si dimostra che il numero di stati per ciascuna banda è dell’ordine del numero totale di atomi nel semiconduttore. Poiché tale numero è normalmente molto grande i livelli energetici in ogni banda sono molto fittamente spaziati, tanto da non essere risolvibili singolarmente.

La presenza di una struttura a bande per le energie degli elettroni e’ dovuta al fatto che nel cristallo gli atomi si trovano strettamente impacchettati l’ uno rispetto all’ altro tanto che l’ interazione tra atomi vicini non e’ più trascurabile:

La mutua interazione tra tutti gli atomi del cristallo modifica la struttura dei livelli energetici dei singoli atomi identici in modo che i livelli omologhi dei vari atomi, degeneri per il sistema globale, si separano leggermente dando origine alle bande.

Nella approssimazione parabolica di banda, dunque l’elettrone viene, cioè, considerato come se fosse una particella libera di impulso p = h k e i dettagli del sistema quantistico vengono ricondotti a comparire nel valore di Eg e delle masse effettive me di ciascuna banda.

Approssimazione Parabolica delle Bande

Approssimando la relazione che lega E e k con una parabola (approssimazione parabolica di banda), Allora l’ andamento delle bande di valenza e di conduzione al variare di k può essere rappresentato come:

La differenza tra il massimo valore di energia della banda di valenza e il minimo valore di energia della banda di conduzione, indicata con Eg , prende il nome di ampiezza della banda di energie proibite

Approssimazione Parabolica delle Bande

1

m *

1

h2

d 2E

dk2

k0

Si definisce una massa efficace m* determinata dalla

curvatura delle bande

con me che rappresenta la massa effettiva dell’elettrone in corrispondenza del livello di energia massima per la banda di valenza e in corrispondenza del livello di energia minima per la banda di conduzione cioè:

la relazione tra energia e impulso dell’ elettrone e’ del tipo:

Considerando, un cristallo reale di dimensioni finite, in particolare un parallelepipedo rettangolo di lati Lx, Ly, Lz, si trova che per le componenti del vettore k devono valere condizioni al contorno per cui k· r = 2π sulla dimensione del cristallo, ovvero:

con i = 1, 2, 3 ed l numero intero

Approssimazione Parabolica delle Bande

Relazione di dispersione approssimataPoiché siamo interessati alle transizioni vicine al minimo della banda di conduzione e al massimo della banda di valenza possiamo usare un’approssimazione parabolica della relazione di dispersione.

cc m

kEE

2

22

E Ev 2k 2

2mv

In banda di conduzione:

In banda di valenza :

Densità degli stati permessi Dall’elettronica dello stato solido sappiamo che la densità degli stati energetici permessi nelle bande di conduzione e di valenza vale :

N E c E 2mc

32

2 23E Ec

12

N E v E 2mv

32

2 23Ev E

12

conduzione

valenza

Distribuzione di Fermi-Dirac

Di solito si usano espressioni approssimate di F(E):

F(E) exp (E EF )/ kT per (E EF ) 3kT

F(E) 1 exp (EF E)/ kT per (E EF) 3kT

•F(E)= probabilità che il livello E sia occupato da un elettrone•EF = livello di Fermi = energia per la quale la probabilità di trovare un elettrone è 0,5. •1-F(E) = probabilità di occupazione di una lacuna.

F(E) 1

1 eE EF

kT

k cos t. di Boltzmann 1,38066 10 23 J

KT temperatura in gradi Kelvin

Concentrazione di portatoriNumero di portatori per unità di volume = Densità di stati di energia permessi N(E) probabilità di occupazione (distribuzione di Fermi-Dirac) F(E)

n n(E)dE N(E)F(E)dE

n NC exp EC EF

kT

p NV exp EF EV

kT

p p(E)dE N(E) 1 F(E) dE

elettroni

lacune

Semiconduttore intrinsecoPer un semiconduttore privo di impurità ovvero intrinseco: n =p = ni

EF Ei EC EV

2 kT

2ln

NV

NC

np ni2 NC NV exp

Eg

kT

legge dell' azione di massa

da cui ni NC NV exp Eg

2kT

ove Eg EC EV

Semiconduttore EstrinsecoQuando un semiconduttore viene drogato con impurità si dice estrinseco.

Se i donori sono tutti ionizzati: n = ND

Se gli accettori sono tutti ionizzati: p = NA

EC EF kTlnNC

ND

EF EV kTlnNV

NA

Al crescere del drogaggio il livello di Fermi siavvicina alla banda di conduzione.

Al crescere del drogaggio il livello di Fermi si avvicina alla banda di valenza. Quando un semiconduttore viene drogato con una elevata concentrazione di impurità (≈1020 atomi/cm3) il livello di Fermi può cadere in una delle due bande. Il semiconduttore si dice degenere.

Semiconduttori a Gap Diretto ed Indiretto

Semiconduttori a gap diretto, sono quelli per i cui il massimo della banda di valenza e il minimo della banda di conduzione in uno schema tipo quello della figura a sinistra corrispondono allo stesso valore di k.Sono quelli che presentano le proprietà ottiche migliori.

Semiconduttori a gap indiretto o inverso, per i quali questo non avviene, non sono rilevanti come materiali laser, perchè per essi le transizioni più probabili tra livelli delle bande sono di tipo non radiativo.

Le transizioni di elettroni dalla banda di conduzione a quella di valenza che non comportano una variazione del vettore d’ onda k sono di tipo radiativo , infatti la variazione di k dovuta alla emissione del fotone, pari al numero d’ onda del fotone visibile stesso, e’ trascurabile rispetto al valore di k per gli elettroni del cristallo. Le transizioni che comportano una variazione di k sono, invece, di tipo non radiativo . Nel caso di semiconduttori a gap inverso queste ultime sono pi`u probabili rispetto a quelle radiative.

Semiconduttori a Gap Diretto

Tra i vari semiconduttori a gap diretto, consideriamo solo quelli composti da elementi dei gruppi III e V della tavola periodica, come GaAs, InGaAs, AlGaAs o InGaAsP.

Per tali composti esistono tre diversi tipi di bande di valenza:

• la banda delle heavy hole (hh), • la banda delle light hole (lh) • la banda di split-off.

Esse differiscono per il valore di me che gli elettroni manifestano in ciascuna di esse:

Esempio per il GaAs :• m0 massa a riposo dell’ elettrone• mhh = 0.46 m0 • mlh = 0.08 m0

• msp risulta ancora minore.

Elementi e composti semiconduttoriQuesto comporta una disposizione dei livelli energetici delle bande del tipo di quella indicata in figura :

La banda di spin off viene abbassata a causa della interazione di spin-orbita degli elettroni, per cui è sempre riempita di elettroni e non partecipa alle transizioni radiative e non radiative.

Fenomeni radiativi nei semiconduttoriFenomeni radiativi di assorbimento ed emissione di luce nei semiconduttori sono legati a fenomeni da generazione e ricombinazione di elettroni e lacune.

I fenomeni radiativi sono dipendenti dai diagrammi a bande dei semiconduttori.

A temperatura ambiente alcuni legami sono spezzati pertanto vi sono elettroni disponibili per la conduzione ed il loro stato energetico risulta essere in banda di conduzione.

I posti nel legame lasciati dagli elettroni sono vacanze, dette lacune, a cui corrisponde una carica positiva uguale a quella dell’elettrone, pertanto possono essere considerate come particelle.

Ricombinazioni Non Radiative

L’ intrappolamento di portatori di carica da parte delle impurità del cristallo, [deep-trap recombination], che corrisponde alla transizione di un elettrone da “livelli soprannumerari” della banda di conduzione, introdotti dalle impurezze, a livelli della banda di valenza, con cessione al reticolo dell’ eccesso di energia.

Tali transizioni sono favorite ad elevate concentrazioni di drogaggio e, comunque, la loro frequenza e’ proporzionale a Ne.

Dominate nei semiconduttori a bandgap stretto, nei quali transizioni non radiative possono avvenire per ricombinazione diretta di elettroni non intrappolati e lacune.In questo caso l’eccesso di energia di ricombinazione viene ceduto ad terzo portatore che viene eccitato ad un livello più elevato della stessa banda. Tale processo prende, appunto, il nome di ricombinazione Auger. Per esso può essere definita una vita media nel modo seguente:

I processi non radiativi, indesiderati in strutture pensate come sorgenti luminose avvengono secondo due meccanismi dominanti:

•la ricombinazione per effetto Auger :

• la ricombinazione per intrappolamento :

Interazione luce materia nei semiconduttori

fc E2 1 exp E2 E fc kBT 1

fv E1 1 exp E1 E fv kBT 1

ove Efc e Efv sono i livelli di Fermi nella banda di conduzione e di valenza. All’equilibrio termico: Efc = Efv = Ef

La probabilità di occupazione degli elettroni nelle bande è data dalla distribuzione di Fermi-Dirac:

Nei semiconduttori i tassi di assorbimento e di emissione spontanea dipendono dalle bande di energia degli elettroni .Le transizioni radiative avvengono solo se lo stato E2 è occupato e lo stato E1 è vuoto.

Tassi di emissione e assorbimento nei semiconduttoriIl tasso di emissione spontanea a frequenza w R(w) deve tener conto di tutti i contributi di tutte le possibili transizioni tra le due bande purché si abbia conservazione di energia e di momento:

R spon A E1 ,E2 fc E2 1 fv E1 cv dE2Ec

cv

2mr 32

2h2 2 h Eg 12

mr mc mv

mc mv

Densità congiunta degli stati = numero di stati energetici per unità di volume e di frequenza che possono interagire con il fotone.

R stim B E1 ,E2 fc E2 1 fv E1 cv ph dE2Ec

Rabs B E1,E2 fv E1 1 fc E2 cv phdE2Ec

Rstim Rabs fc E2 fv E1 E fc E fv E2 E1 Eg

La condizione di inversione di popolazione implica:

massa ridotta

In entrambi i casi la radiazione emessa è:

• coerente nello spazio e nel tempo• altamente monocromatica (banda della radiazione ottica molto stretta)• un fascio di luce altamente direzionale

Differenze importanti:• Nei laser convenzionali la transizione quantica avviene tra livelli discreti di energia, mentre nei laser a

semiconduttore le transizioni sono associate alle proprietà della bande del materiale, che può essere scelto per produrre la lunghezza d’onda desiderata.

• Un laser a semiconduttore è molto compatto (dimensioni dell’ordine delle centinaia di µm). • Inoltre dato che la regione attiva è molto sottile (1µm o meno), la divergenza del fascio laser è

considerevolmente più grande rispetto ad un laser convenzionale a causa della diffrazione. • In un laser a giunzione p-n, si possono ottenere anche modulazioni ad alta frequenza grazie al breve

tempo di vita medio dei fotoni.• Mentre le cavità ottiche dei laser a gas sono a simmetria quasi cilindrica e pertanto il fascio di uscita è

quasi gaussiano caratterizzato da una sezione, nel piano normale alla direzione di propagazione, quasi circolare. I diodi laser hanno una cavità e il mezzo attivo con una sezione normale di forma rettangolare pertanto il fascio laser prodotto, risulta essere astigmatico e con una sezione, nel piano normale alla direzione di propagazione, di forma ellittica.

• I semiconduttori offrono maggiore varietà di lunghezze d’onda di emissione.

Laser a semiconduttore e laser convenzionali

Laser a semiconduttore: guadagno ottico

E(z) = ampiezza del campo elettrico dell’onda piana che si propaga nel semiconduttore.

d z dz

g z

(z) flusso di fotoni fotoni

cm 2 s

I

h

I E z 2

2

z 0 exp g z

g R stim Rabs

E fc E fv Eg N N T

L’inversione di popolazione di elettroni rende possibile l’emissione stimolata: NT= densità di portatori alla trasparenza

Per cui supera quella condizione avremo un guadagno ottico g(w) proporzionale:

Cioè Tale Che:

Con

Valendo la seguente relazione empirica:

gp N g N NT

Si può, dunque, affermare che i parametri fondamentali per il funzionamento come laser di un materiale semiconduttore sono il guadagno g come funzione della differenza N− Ntr , il valore della stessa densità di trasparenza, Ntr , e la vita media di decadimento spontaneo, τ , dovuto sia a processi radiativi che non radiativi che producono una ricombinazione elettrone-lacuna, ovvero una transizione spontanea di elettroni dalla banda di conduzione a quella di valenza.

La possibilità di ottenere una inversione di popolazione dipende, infatti, dal tempo per il quale gli elettroni iniettati nella banda di conduzione vi permangono prima di ritornare ad occupare stati liberi della banda di valenza.

Il valore della vita media dipende dalla concentrazione degli elettroni nella banda di conduzione, N c secondo la legge:

per processi di decadimento radiativo, dove B è un opportuno coefficiente costante (Coefficiente di Einstein) .

Inversione di popolazione in un semiconduttore

Diodo Laser

La struttura più semplice che costituisce un oscillatore laser ossia :

Può essere una semplice giunzione pn polarizzata direttamente inserita all’interno di una cavità del tipo Fabry –Perot costituita dalle pareti stesse del diodo.

Una modo molto semplice di ottenere l’ inversione di popolazione consiste nell’ utilizzare il semiconduttore in esame sotto forma di diodo a giunzione p − n, in cui i due componenti p ed n siano fortemente drogati ( 10∼ 18 atomi/cm3 di donatori o accettori). In questo caso il pompaggio viene realizzato polarizzando direttamente il diodo, ovvero facendolo attraversare da una opportuna corrente (di densità superiore ad un valore di soglia, Jc ) che circoli dal lato p verso il lato n della giunzione

Rm n 1

n 1

2

Giunzione p-nEssendo il drogaggio molto forte, il livello di Fermi Fp del semiconduttore p cade nella banda di valenza ed il livello di Fermi Fn del semiconduttore n cade nella banda di conduzione.

Se il diodo non fosse polarizzato, si dimostra che i due livelli di Fermi si portano alla stessa altezza,

Essendo il diodo polarizzato con una tensione V, si dimostra che i livelli di Fermi si separano di una quantità F = eV

Essenzialmente una tensione di polarizzazione diretta inietta in tale strato elettroni nella banda di conduzione (dalla zona n) e sottrae elettroni (ovvero inietta lacune) nella banda di valenza (dalla zona p).

Come conseguenza della polarizzazione si ottiene una inversione di popolazione nel cosiddetta Regione di svuotamento della giunzione p − n.

Generico Diodo LASER

Regione Attiva = Regione di svuotamento della giunzione pn

25

Soglia laser si raggiunge quando le Perdite = Guadagno cioè :

I= Ith gp(Nth)

Supponiamo che nella cavità lunga L si propaga un’onda piana

la cui ampiezza viene amplificata di una quantità pari a exp{(1/2)g2L}.In condizioni stazionarie alla soglia l’onda si conserva:

Uguagliando le ampiezze e la fase si ottengono la condizione di soglia laser:

2kL=2mp m = numero intero

Soglia laser

E0 exp i kz t

k nc

E0 exp1

2g2L

R1R2 exp 1

2 int 2L

exp 2ikL E0

gL int L ln1

R1 R2

0

g th int 1

2Lln

1

R1R2

int sp cav

Fattore di confinamento ottico

Il fattore di confinamento ottico , è il rapporto tra l’intensità della luce all’interno dello strato attivo e l’intensità luminosa complessiva.Si ha confinamento ottico nello strato attivo in quanto si costruisce il dispositivo in modo che lo strato attivo abbia un indice di rifrazione più elevato. La condizione di soglia si modifica come segue:

1

2

22

1

dzzE

dzzEz

z

z1 z2

g th int 1

2Lln

1

R1R2

int mir cav

Fattore di confinamento ottico

Se z2 - z1 = d, vale la relazione approssimata:

con C costante di proporzionalità (C 1), d spessore dello strato attivo, n differenza tra gli indici di rifrazione dello strato attivo ed il valore medio degli indici di rifrazione delle regioni circostanti.Si vede che aumenta al crescere di d e di n.

Fattore di confinamento ottico in funzione del rapporto tra lo spessore dello strato attivo d e la lunghezza d’onda , per diversi valori della differenza n tra l’indice di rifrazione dello strato attivo e quello delle regioni circostanti.

dnC exp1

Laser ad eterogiunzionesi usano eterogiunzioni per raggiungere un più efficiente confinamento di portatori e quindi del processo di generazione e ricombinazione. La riduzione della corrente di pilotaggio si può ottenere attraverso il confinamento dei portatori e il confinamento ottico con l’impiego di eterostrutture.In figura vengono confrontate le caratteristiche di:

(a) un laser ad omogiunzione(b) un laser a singola eterogiunzione (SH) (c) un laser a doppia eterogiunzione (DH).

Laser con geometria a strisciaUlteriori miglioramenti delle prestazioni del dispositivo possono essere ottenuti riducendo la dimensione trasversale della regione attiva a 2÷10 m.Vantaggi della geometria a striscia sono:

ridotta area della zona attiva che permette una corrente di pilotaggio più bassa limitato allargamento laterale dei portatori iniettati nello strato attivo maggiore affidabilità in quanto viene eliminato la maggior parte del perimetro

della giunzione migliori tempi di risposta legati a minori capacità di giunzione facilità di accoppiamento del fascio in uscita a fibre e guide d’onda.

I laser a geometria a striscia possono essere1. Laser guidati con il guadagno:

la variazione laterale del guadagno ottico confina il modo ottico sotto una striscia.

2. Laser guidati con l’indice:il confinamento laterale è ottenuto attraverso variazioni dell’indice di rifrazione.

Struttura laser: guidati dal guadagnoPunto di luce ellittico ≈15 µm2

Svantaggio:Instabilità della dimensione del modo con la potenza ottica emessa

Struttura laser: guidati dall’indice

Due configurazioni sono le più diffuse:• Laser con guida a costa DnL≈ 0.01• Laser con eterostruttura sepolta (BH= Buried Heterostructure) DnL≈ 0.1Vantaggio dei laser BH:• Stabilità del modo e della sua distribuzione spazialeSvantaggio dei laser BH:• Costo più elevato

nL nactive nInP

Laser a retroazione distribuita (DFB e DBR)

Nei laser DFB (distributed feedback) la retroazione ottica è distribuita lungo la cavità mediante un reticolo determinato da una variazione periodica dell’indice di rifrazione indotto da una corrugazione periodica dello strato sovrastante lo strato attivo.

Il reticolo può anche sposto sulle estremità della cavità a formare dei rifletttori alla Bragg. In questo caso si hanno i laser DBR (distributed Bragg reflector).

Laser a diodo ad emissione superficiale: VCSEL

Vantaggi: singolo modo (cavità corta); emissione isotropa; possibilità di integrazione.

Affidabilità

• I laser a semiconduttore sono generalmente affidabili

• Tempi di vita tipici sono dell’ordine delle 25000 ore

• La degradazione laser è causata da:

• Elevata potenza

• Elevate correnti di pilotaggio

• Elevate temperature di operazione

• Scariche elettrostatiche

Sicurezza • I laser possono essere dannosi per l’elevata irradianza e intensità emessa

• Fasci collimati possono essere dannosi per l’occhio umano anche a basse potenze di pochi mW.

•Classe 1 : Innocuo•Classe 2 : Laser che emettono nel visibile provocando piccoli fastidi all’occhio ma non sono pericolosiEsempi di laser Classe 1 sono i lettori di codice a barre, puntatori, telemetri, interferometri•Classe 3° : sono ancora non dannosi•Classe 3B :pericolosi per la potenza emessa e richiedono una chiave di accensione e segnalazioni dei locali contenenti il laser•Classe 4 : P> 0.5 W (laser CO2)