ANGULOS EN POSICION NORMAL I

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL I

Trigonometría – 5º de Secundaria

1. Sistemas de Coordenadas

Rectangulares

Donde:x : Eje de Abscisasy : Eje de OrdenadasIC : Primer CuadranteIIC : Segundo CuadranteIIIC : Tercer CuadranteIVC : Cuarto CuadranteO : Origen del Sistema

Ubicación de un Punto

Donde:

P : Punto del Sistema Bidimensionala : Abscisa del Punto Pb : Ordenada del Punto P(a; b): Coordenadas del Punto P

2. Radio Vector (r)

Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto

cualquier del sistema; su longitud o módulo esta representado por “r”.

Donde: r : Longitud del Radio Vector

r

3.3. Ángulo en posición normal

Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal.

Donde:

α, β ∧ θ son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados.

L.I.: Lado InicialL.F.: Lado Final

PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ1

y

xa

bP(a; b)

+

+

–

– IVCIIIC

ICIIC y

xO

r2 = a2 + b2

+

y

x

| b |

| a |

(a; b)

r

x

y

αβ

θ

Ejercicios ResueltosEjercicios Resueltos


Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.

4. Regla de Signos

01. Del siguiente gráfico calcular:

θ−θ= cot12sen10E

Solución:

a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:

r2 = 12 + (-3)2 ⇒ r = 10b) Reemplazamos las definiciones:

−−

−=

3112

103.10E

E = -3 + 4 ⇒ E = 1

02. Indicar el signo resultante de la siguiente

operación.

E = sen130º . cos230º . tg330º

Solución

E = sen130º . cos230º . tg330º

E = + . – . – ⇒ E = +


También son llamados ∢s en

posición canónica o estándar.

y

x

(x; y)

r θ

ry

.V.R.MOrdenadasen ==θ

yr

Ordenada.V.T.Mcsc ==θ

rx

.V.R.MAbscisacos ==θ

xr

Abscisa.V.R.Msec ==θ

xy

AbscisaOrdenadatg ==θ

yx

OrdenadaAbscisacot ==θ

S P

T C

encsc

ositivasTodas

gcot

ossec

+

+ +

C

R.T.

IC IIC IIIC IVC

sen + + - -cos + - - +tg + - + -cot + - + -sec + - - +csc + + - -

x

y

θ

(1; -3)

IIC IIIC IVC

Práctica Dirigida Práctica Dirigida


03. Si θ ∈ III ¿En qué cuadrante está 2θ/3?

Solución

Si θ ∈ III ⇒ 180º < θ < 270º

60º < 3θ

< 90º

120º < 32θ

< 180º

∴ Como .2θ/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al:

.II Cuadrante.

04. Indicar el cuadrante al que pertenece la

medida angular “θ” si:

tgθ < 0 ∧ cscθ > 0

Solución

tg θ = - { IIC ∧ IVC }

csc θ = + { IC ∧ IIC }

1. Del siguiente gráfico calcular: θ−θ= cot12sen10E

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2. Del gráfico calcular: θ−θ= tg26cos11E

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

3. Calcular: cscα + cosβ

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4. Del gráfico calcular: β+β= cot4sec5E

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

5. Por el punto )5;2(P − pasa el lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es “θ”. Calcular: “Sec θ”

a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4d) -4/3 e) -3/2

6. Por el punto )7;2(Q −− pasa el lado final de un ángulo en posición canónica

cuya medida es “α”. Calcular: “ αcsc7 ”.

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

7. Si: IIIC32sen ∈α∧−=α

Calcular: )sectg(5E α+α=

a) -1 b) -2 c) -3d) 2 e) 3

8. Si: IVC23cot ∈θ∧−=θ

Calcular: θ+θ= sen7sec21E

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


x

y

θ

(1; -3)

x

y

β

(1; -2)

x

y

)2;3(−

θ

θ ∈ IIC

Tarea Tarea


1. Si el punto P(-2; 1) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya

medida es “α” calcular: E = 5Senα . Cosα

a) – 5 b) – 3 c) – 4 d) – 2 e) – 1

2. Del gráfico calcular E = 25senα + tgθ

a) 1b) 3c) 5d) 7e) 9

3. Del gráfico calcular “tgθ”

a) -1

b) -2

c) -3

d) -4

e) -5

4. Del gráfico calcular: M = senφ - 2cosφ +

3tgφ

a) -1

b) -2

c) -3

d) -4

e) -5

5. Del gráfico calcular: )cossen(5M β+β=

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

6. Si el punto )3;1(P − pertenece al lado

final de un ángulo en posición canónica

cuya medida es “α” calcular: E = cotα +

cscα

a) 23

b) 33

c) 43

d) 53

e) 63

7. Si el punto A(3; -4) pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar cuya

medida es “α” calcular: M = 6tgα + 5cosα.

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

8. Si: cosφ = 0,3 ∧ φ ∈ IIC

Calcular: E = tg2φ + secφ

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Indicar el signo de cada expresión:I. sen100º cos200ºII. tg190º cot320ºIII. sec200º csc350º

a) +, +, + b) -, -, - c) +, +, -d) -, -, + e) +, -, -


x

y

(-4; -8)

(24; 7)

θ

α

x

y(1-x; 2x)

θ17

x

y4

-3 φ

x

y

(2; -1)

β

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