20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5 ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 (lần2)

Môn : Toán ; Thời gian làm bài:180 phút.

Câu1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2( 1)

1

xy

x

(1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua điểm A(0;-1). Câu2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin2x – cos2x = 2 sinx – 1

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển 2 21( )(1 2 )

4nx x x thành đa thức biết

n là số tự nhiên thoả mãn hệ thức 3 23 7n nC C Câu 4 (1,0 điểm). a) Giải phương trình 2

3 3log ( 1) log (2 1) 2x x

b) Một hôp đựng chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên bi. Tính xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất. Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1: 2 3 0x y và d2: 2 1 0x y cắt nhau tại điểm I. Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với d3:

3

4y x . Viết phương trình đường thẳng d đi qua O cắt d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho

2IA=IB. Câu 6(1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông canh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Goi I là giao điểm của HC và BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD). Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm

H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm 9( ;3)2

M là trung điểm của cạnh BC,

phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là d: 4 4 0x y . Viết phương trình cạnh BC.

Câu 8(1,0 điểm). Giải hệ phương trình

2 4 3

91 ( 1)

2

x x y y x x x

x y x y x

(x,y R )

Câu 9(1,0 điểm). Cho , ,a b c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn 1 1 1( 1)( 1)( 1) 1a b c . Tìm GTNN

của biểu thức P = 2 2 2a b c ----Hết----- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh………………………..Số báo danh………… Lớp ……

ĐỀ CHÍNH THỨC (gồm 1 trang)

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

1

Hướng dẫn chấm môn Toán (lần 1) Câu Nội dung Điểm Câu1 (2,0 điểm).

Cho hàm số 2( 1)

1

xy

x

(1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

Tự giải

1

b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua điểm A(0;-1).

G ọi M( 2 2;

1

aa

a

) thuộc (C ) pttt của (C ) tại M là

2

4 2 2( )

( 1) 1

ay x a

a a

Vì tt đi qua A(0;-1) nên 2

4 2 21 (0 )

( 1) 1

aa

a a

Gi ải ra 2 2

1( 1) 4 (2 2)( 1) 3 2 1 0 1

3

aa a a a a a

a

M(1;0) ho ặc M( 1; 4)

3

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu2 (1,0 điểm).

Giải phương trình sin2x – cos2x = 2 sinx – 1 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

2

2s inx cosx+(1-cos2x) = 2sinx 2s inx(cosx+sinx-1)=0

sinx=02

4 42 sin( ) 1 24 23

24 4

x kx k

x kx x k

x k

0,25 0,25 0,25

Câu 3 (1,0 điểm).

Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển 2 21( )(1 2 )

4nx x x thành đa thức

biết n là số tự nhiên thoả mãn hệ thức 3 23 7n nC C

3,n n N

! ! ( 2)( 1) ( 1)3 7 7

3! 3 ! 2! 2 ! 2 2

n n n n n n n

n n

giải ra 9n

Khai triển 20

20 2020

0

1 1(2 1) (2 )

4 4k k

k

x C x

hệ số chứa x8 ứng với 20-k=8 12k . Do đó hệ số cần tìm là 12 820

1.2

4C =8062080

0,25 0,25 0,25 0,25


a) Giải phương trình 23 3

log ( 1) log (2 1) 2x x

đk: 1

1 01

2 1 02

xx

x x

2 23 3

2 2

2

2

log ( 1) log (2 1) 2

( 1)(2 1) 3( 1) (2 1) 9

( 1)(2 1) 3

12 3 2 0 ( )

22 3 4 0 2

pt x x

x xx x

x x

x x x loai

x x x

Đáp số x=2

0,25 0,25

b) Một hôp đựng chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên bi. Tính xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất. Gọi A là biến cố “4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất” Số phần tử của không gian mẫu là n( )= 4

15 1365C . Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: 2 1 1

5 4 6( ) 240n A C C C

Do đó P(A)= 240 16

1365 91

0,25 0,25

Câu 5 (1,0

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1:

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

3

điểm). 2 3 0x y và d2: 2 1 0x y cắt nhau tại điểm I. Viết phương trình

đường tròn tâm I và tiếp xúc với d3: 3

4y x . Viết phương trình

đường thẳng d đi qua O cắt d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho 2IA=IB.

Toạ độ I l à nghiệm của 2 3 0 1

2 1 0 1

x y x

x y y

d3:3x-4y=0

d(I; d3)=1

5

đường tròn tâm I và tiếp xúc với d3 c ó pt:

(x-1)2+(y-1)2= 1

25

pt đt qua d’ qua O ,song song v ới d1là x+2y=0

Gọi M = 2 'd d =( 2 1;

5 5

)

AI IB

OM BM Gọi B(a; 2a-1) thuộc d2

BM2=( 2 2

02 4 4

( ) ( 2 ) 45 5 5

5

aa a

a

B(0;-1)(loại) B(4/5;3/5) Pt d: 3x - 4y=0

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 6 (1,0 điểm

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

4

.

1.

3S ABCD ABCDV SH S

Ta có SH2=HA.HB=2a2/9 23

aSH

32

.

22.

9 9S ABCD

a aV a (đvtt)

( , ( ))

( , ( ))

d I SCD IC

d H SCD HC và 3

2

IC CD

IH BH

3

5

IC

CH và

CH2=BH2+BC2= 213

9a

2 2 2 2

1 1 1 11 22

2 11

aHM

HM SH HK a

3 22( , ( ))

55

ad I SCD

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 7 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có

điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm 9( ;3)2

M là

trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là d: 4 4 0x y . Viết phương trình cạnh BC.

Gọi K là trung điểm của HD. chứng minh AN vuông góc với MN. Gọi P là trung điểm của AH.Ta có AB vuông góc với KP, Do đó P là trực tâm của tam giác ABK. Suy ra BP AK AK KM Phương trình KM: đi qua M(9/2;3) và vuông góc với AN có pt:

0,25 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

5

MK: 154 0

2x y Toạ độ K(1/2;2)

Do K là trung điểm của HD nên D(0;2),suy ra pt (BD): y-2=0 AH: x-1=0 và A(1;0); AD có pt: 2x+y-2=0 BC qua M và song song với AD nên BC: 2x+y-12=0

0,25 0,25

Câu8 (1,0 điểm).

Giải hệ phương trình

2 4 3 (1)

91 ( 1) (2)

2

x x y y x x x

x y x y x

(x,y R )

Đk: 1

0

x

y

2 2

2 2

2 2

(1) ( ) ( ) 0

0 ( )( ) 0

x x y x x x y

y xx x y x y x y x x x

x y x x

Do đ ó x=y thay v ào pt (2) : 91 ( 1)

2x x x x x

Đ ặt 21( 0) 2 1 2 ( 1)t x x t t x x x

Pt trở thành t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 chỉ lấy t=2 1 2x x

2 2

525

2 ( 1) 5 2 216

4 4 25 20 4

xx x x x

x x x x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất( 25 25;

16 16)

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 9(1,0 điểm)

Cho , ,a b c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn 1 1 1( 1)( 1)( 1) 1a b c . Tìm

GTNN của biểu thức P = 2 2 2a b c 1 1 1

( 1)( 1)( 1) 1 1 2ab bc ca a b c abca b c

P= 2 2( ) 2( ) ( ) 2( 1) 4a b c ab bc ca a b c a b c abc

Theo Cô si 3( )3

a b cabc

2 342 2

27P t t t v ới t a b c (0<t<3)

Khảo sát hàm số tr ên tìm ra minP =3/4 khi t=3/2 hay a=b=c=1/2

0,25 0,25 0,25 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

6

Câu 1 (4,0 điểm).Cho hàm số 2x 1y

x 1

, gọi đồ thị là (C).

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số. b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): 3 2 0x y .

Câu 2 (2,0 điểm). Giải phương trình: 2 x2sin cos5x 1

2

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 3( ) . (5 )f x x x trên đoạn 0;5

Câu 4 (2,0 điểm). a) Giải phương trình sau : 2 3

332 log (2 1) 2log (2 1) 2 0x x

b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ, .Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn.

Câu 5 (2,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có 4;8 , 8;2A B , 2; 10C . Chứng tỏ ABC vuông và viết phương trình đường cao còn

lại. Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a .Góc 060BAC ,hình chiếu của S trên mặt ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC .

Mặt phẳng SAC hợp với mặt phẳng ABCD góc 060 . Tính thể tích khối chóp

.S ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD theo a .

Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 3 5 8 0, 4 0x y x y . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là 4; 2D . Viết

phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.

Câu8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình: 3

2 2 2

2 2 1 3 1 ( , )

9 4 2 6 7

y y x x xx y

y x y

Câu 9 (2,0 điểm). Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a b c và 2 2 2a b c 5 . Chứng

minh rằng: (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4 ---------HẾT-------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu .Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên:………………………………………………..SBD:……………………

SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

7

SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014 – 2015Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM

(Gồm 04 trang) Câu 1. (4 điểm)

Nội dung Điểm

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2đ +Tập xác định \ 1D 0.25

+Sự biến thiên

Chiều biến thiên: 2

3'

1y

x

0 1x .

Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;

Cực trị : Hàm số không có cực trị.

0.25

Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

2 1lim lim 2

1x x

xy

x

,đường thẳng 2y là tiệm cận ngang

1 1

2 1 2 1lim ; lim

1 1x x

x x

x x

, đường thẳng 1x là tiệm cận đứng

0.5

Bảng biến thiên :

x - - 1 + y' + || + y 2

|| 2

0.5

+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 1;0

2A

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm 0; 1B

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là 1;2I làm tâm đối xứng

( Đồ thị )

0.5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

8

2, Viết phương trình tiếp tuyến 2đ

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm 0 0( ; )M x y ta có : '0 2

0

3( )

( 1)k f x

x

0.5

Lại có 1. 1 3

3k k

0.5

hay 0

200

033

2( 1)

x

xx

0.5

Với 0 00 1x y Vậy phương trình tiếp tuyến là : 3 1y x Với 0 02 5x y Vậy phương trình tiếp tuyến là : 3 11y x

0.5

Câu 2. (2 điểm)

Nội dung Điểm

2 x2sin 1 cos5x cosx cos5x

2

0.5

cos x cos 5x 0.5

5 2 6 35 2

4 2

kx

x x k

x x k kx

là nghiệm của phương trình. 1.0

Câu 3. (2 điểm)

Nội dung Điểm

f(x) = 3x (5 x) hàm số liên tục trên đoạn [0; 5] f(x) 3/ 2x(5 x) x (0;5) 0,5

f ’(x) = 5

5 x(5 x)2

0,5

f’(x) = 0 x 5; x 2 . Ta có : f(2) = 6 3 , f(0) = f(5) = 0 0,5

Vậy x [0;5]Max

f(x)= f(2) = 6 3 , x [0;5]Min

f(x) = f(0) = 0 0,5

Câu 4. (2 điểm)

Nội dung Điểm

a) 2 333

2 log (2 1) 2log (2 1) 2 0x x

Điều kiện : 1

2x 0,25

PT 23 38log (2 1) 6log (2 1) 2 0x x 0,25

323 3

3

log (2 1) 14log (2 1) 3log (2 1) 1 0 1

log (2 1)4

xx x

x

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

9

4

3

2

3 1

2 3

x

x

là nghiệm của phương trình đã cho. 0,25

b) Tính xác suất Ta có : 4

16 1820C 0.25 Gọi A= “ 2nam toán ,1 lý nữ, 1 hóa nữ” B= “ 1 nam toán , 2 lý nữ , 1 hóa nữ “ C= “ 1 nam toán , 1 lý nữ , 2 hóa nữ “ Thì H= A B C = ” Có nữ và đủ ba bộ môn “

0.5

2 1 1 1 2 1 1 1 28 5 3 8 5 3 8 5 3 3

( )7

C C C C C C C C CP H

0.25

Câu 5. (2 điểm)

Nội dung Điểm

Ta có : 12; 6 ; 6; 12AB BA

0,5

Từ đó . 0AB BC

Vậy tam giác ABC vuông tại B 0,5

* Viết phương trình đường cao BH: Ta có đường cao BH đi qua 8;2B và

nhận 6; 18 6 1;3AC

làm vecto pháp tuyến 0,5

Phương trình BH : 3 2 0x y 0,5

Câu 6. (2 điểm)

O

S

A

D

CB

H

E

Nội dung Điểm

* Gọi O AC BD Ta có : 0, 60OB AC SO AC SOB

0.25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

10

Xét tam giác SOH vuông tại H : 0 0 3tan 60 .tan 60 . 3

6 2

SH a aSH OH

HO 0.25

Ta có : tam giác ABC đều : 2 3

2.2ABCD ABC

aS S 0.25

Vậy 2 31 1 3 3

. . . .3 3 2 2 12SABCD ABCD

a a aV SH S (đvtt) 0.25

* Tính khỏang cách Trong ( )SBD kẻ OE SH khi đó ta có : ; ;OC OD OE đôi một vuông góc Và :

3 3; ;

2 2 8

a a aOC OD OE

0.5

Áp dụng công thức : 2 2 2 2

1 1 1 1

( , )d O SCD OC OD OE

3

112

ad

Mà 6, 2 ,

112

ad B SCD d O SCD

0.5

Câu 7. (2,0 điểm)

MK

H

D

CB

A

Nội dung Điểm

Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Ta kí hiệu ,d dn u

lần lượt là vtpt,

vtcp của đường thẳng d. Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

74 0 7 12 ;

3 5 8 0 1 2 2

2

xx yM

x yy

0,5

AD vuông góc với BC nên 1;1AD BCn u

, mà AD đi qua điểm D suy ra

phương trình của :1 4 1 2 0 2 0AD x y x y . Do A là giao điểm

của AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

3 5 8 0 1

1;12 0 1

x y xA

x y y

0,5

Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình: 0,25

E

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

11

4 0 3

3; 12 0 1

x y xK

x y y

Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK KCE , mà KCE BDA (nội tiếp chắn cung AB ) Suy ra BHK BDK , vậy K là trung điểm của HD nên 2;4H .

(Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, trừ 0.25 điểm)

0,25

Do B thuộc BC ; 4B t t , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra

7 ;3C t t .

( 2; 8); (6 ;2 )HB t t AC t t

. Do H là trực tâm của tam giác ABC nên

2

. 0 2 6 8 2 0 2 14 2 07

tHB AC t t t t t t

t

0,25

Do 3 2 2; 2 , 5;1t t B C . Ta có

1; 3 , 4;0 3;1 , 0;1AB ACAB AC n n

Suy ra : 3 4 0; : 1 0.AB x y AC y

0,25


Nội dung Điểm

Điều kiện: 3 31; ;

2 2x y

. Ta có 0.25

3

3

(1) 2 2 1 2 1 1

2 2(1 ) 1 1

y y x x x x

y y x x x

0.25

Xét hàm số 3( ) 2 ,f t t t ta có 2'( ) 6 1 0, ( )f t t t f t đồng biến trên .

Vậy 2

0(1) ( ) ( 1 ) 1

1

yf y f x y x

y x

0.25

Thế vào (2) ta được : 24 5 2 6 1x x x 0.25

Pt 22 4 5 4 12 2x x x 2 2

4 5 1 2 2x x 0.5

4 5 2 3( )

4 5 1 2

x x vn

x x

1

2

1 2( )

1 2

x

x l

x

Với 4

4

21 2

2

yx

y

Vậy hệ có hai nghiệm.

0.5


WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

12

Nội dung Điểm

Ta có (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4 (a b)(b c)(a c)(ab bc ca) 4 (*). Đặt vế trái của (*) là P Nếu ab + bc + ca < 0 thì P 0 suy ra BĐT được chứng minh

0.25

Nếu ab + bc + ca 0 , đặt ab + bc + ca = x 0 0.25

(a-b)(b-c) 2 2a b b c (a c)

2 4

(a - b)(b - c)(a - c) 3(a c)

4

(1) 0.25

Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2 2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2

Suy ra 4(5 - x) 3(a - c)2 ,từ đây ta có x 5 và 4

a c (5 x)3

(2) .

0.25

Từ (1) , (2) suy ra P 3

1 4x. (5 x)

4 3

= 32 3x (5 x)

9 (3)

Theo câu a ta có: f(x) = 3x (5 x) 6 3 với x thuộc đoạn [0; 5]

nên suy ra P 2 3

.6 3 P 49

. Vậy (*) được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0

1.0

………. Hết……….

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

13

Trường THPT Lam Kinh

THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA - LẦN I - NĂM 2015

Môn: Toán

Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian phát đề).

Câu 1 (4.0 điểm). Cho hàm số 2 1

2

xy

x

(1).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B.

Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Câu 2 (2.0 điểm).

a. Giải phương trình cos x cos3x 1 2 sin 2x4

.

b. Giải phương trình 1 2 1

log 1 log 6x x

Câu 3 (1.0 điểm). Giải bất phương trình 2.14 3.49 4 0x x x

Câu 4 (4.0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, 120oACB . Đường thẳng A’C

tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối lăng trụ

ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a.

Câu 5 (1.0 điểm). Tìm hệ số của 7x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n

xx

22 , biết rằng n là số

nguyên dương thỏa mãn 3231 24 nnn ACC .

Câu6 (2.0 điểm). Tính nguyên hàm xdxe x )2015(

Câu 7 (2.0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I

của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.

Câu 8 (2.0 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2

2 2

1 4

( ) 2 7 2

x y xy y

y x y x y

( , )x y .

Câu 9 (2.0 điểm). Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

1 1 2

23 3 2 3 3

b ca

a b a c a b c a c a b

...HẾT…

Họ tên thí sinh:.............................................................................................SBD:......................................

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

14

2

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN

(KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN ĐH - CĐ LẦN I NĂM 2015)

Câu Đáp án Điểm

a.(2.0đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1

2

xy

x

.

i/ TXĐ: D = R\-2 ii/ Sự biến thiên + Giới hạn- tiệm cận Ta có:

22

lim;lim;2limlimxxxx

yyyy

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y= 2.

0,5

+ Chiều biến thiên. Có Dxx

y

0)2(

3'

2

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )2;( và );2(

0,5

+ Bảng biến thiên x -2 y’ + + 2 y 2

0,5

iii/ Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 2

1) và cắt trục Ox tại điểm(

2

1 ;0)

Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng

2

1

0,5

b. (2.0 đ) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình

)1(021)4(

2

2

122 mxmx

xmx

x

x

0.5

Do (1) có mmmvam 0321)2).(4()2(01 22 nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B.

0.5

Câu 1 (4.0đ)

Ta có: yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12)

mà AB ngắn nhất khi AB2 nhỏ nhất, đạt được khi m = 0 ( khi đó 24AB ).

1.0

x

y

O

2

-2

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

15

3

a. (1.0đ) Giải phương trình cos x cos3x 1 2 sin 2x4

.

cos x cos3x 1 2 sin 2x4

2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x

22cos x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 0

0.25

cos x cos x sinx 1 sinx cosx 0

0.25

cos x 0

cos x sinx 0

1 sinx cosx 0

0.25

x k2

x k4

x k2

3x k2

2

k

Vậy, phương trình có nghiệm:

x k2

x k4

x k2

k

0.25

b. (1.0 đ) Giải phương trình 1 2 1

log 1 log 6x x

ĐK: x > 0 và x 1; x10

1

0.25

Đặt t = logx, được phương trình theo ẩn t là:

t2 - 5t + 6 = 0 (với t 0 và t -1) 2

3

t

t

0.5

Câu2 (2.0đ)

Với t = 2 thì ta có x = 100 (t/m) Với t= 3 thì ta có x = 1000 (t/m) Vậy phương trình có hai nghiệm là x =100 và x = 1000

0.25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

16

4

Câu3 (1.0đ)

Giải bất phương trình sau 2.14 3.49 4 0x x x

Chia cả hai vế của bpt cho 4x được bpt2

7 72 3 1 0

2 2

x x

0.25

Đặt 7

2

x

t

(với t > 0 )

Bpt trở thành 3t2 + 2t – 1 0 1

11

33

tt

t

0.5

7 1

2 3

x 7

2

log 3x

KL: BPT có tập nghiệm

;3log

2

7S

0.25

0.5

Kẻ đường cao CH của tam giác ABC.Có CHAB ;CHAA’ suy ra

CH (ABB’A’),Do đó góc giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc 0' 30CA H

0,5

Ta có 2

01 3. .sin120

2 2ABC

aS CACB

Trong tam giác ABC : 2 2 2 0 22 . . os120 7 7AB AC BC AC BC c a AB a

0,5

Câu 4 (4.0đ)

+)2 3 1 3

.2 2 7ABC

aS AB CH CH a

0,5

300

M

H

C/

B/

A/

C

B

A 1200

2a

a

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

17

5

+) 0 3' .sin 30 ' 2

7CH A C A C a

+) 2 2 5' '

7AA A C AC a

0,5

+)3

' ' '

15'.

2 7ABCA B C ABC

aV AA S

0,5

+)d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))=3

7a

1.0

Tìm hệ số của 7x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n

xx

22 , biết rằng n là

số nguyên dương thỏa mãn 3231 24 nnn ACC .

Ta có 3),2)(1()1(6

)1(()1(.424 323

1

nnnnnnnnn

ACC nnn

0,25

11

)2(33)1(2

n

nn

0,25

Câu 5 (1.0đ)

Khi đó ..)2.(2

.)(2 11

0

32211

11

0

11211

112

k

kkk

k

kkk xC

xxC

xx

Số hạng chứa 7x là số hạng ứng với k thỏa mãn .57322 kk

Suy ra hệ số của 7x là .14784)2.( 5511 C

0,5

Câu 6 (2.0đ)

Tính nguyên hàm xdxe x )2015(

Đặt

dxedv

xux )2015(

xev

dxdux 2015

0,5

Khi đó

xdxe x )2015( = dxxexex xx )2015()2015(

0,5

)2

.2015(20152

2 xexxe xx + C

0,5

Cxexe xx 2

2

2015

0,5 WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

18

6

Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.

Ta có: 1;2 5AB AB

. Phương

trình của AB là: 2 2 0x y .

0,5

: ;I d y x I t t . I là trung điểm của AC và BD nên ta có:

2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t .

Gọi CH là đường cao kẻ từ đỉnh C của hình bình hành

Theo giả thiết D . 4ABCS AB CH 4

5CH .

0,5

Câu 7 (2.0đ)

Ta có:

4 5 8 8 2; , ;| 6 4 | 4

3 3 3 3 3;5 5

0 1;0 , 0; 2

t C Dtd C AB CH

t C D

Vậy tọa độ của C và D là 5 8 8 2

; , ;3 3 3 3

C D

hoặc 1;0 , 0; 2C D

1.0

Giải hệ phương trình: 2 2

2 2

1 4

( ) 2 7 2

x y xy y

y x y x y

, ( , )x y .

NX: hệ không có nghiệm dạng (x0 ;0)

Với 0y , ta có:

2

2 2

2 2 22

14

1 4.

( ) 2 7 2 1( ) 2 7

xx y

yx y xy y

y x y x y xx y

y

0.5

Đặt 2 1

,x

u v x yy

ta có hệ:

2 2

4 4 3, 1

2 7 2 15 0 5, 9

u v u v v u

v u v v v u

0,5

+) Với 3, 1v u ta có

hệ:2 2 2 1, 21 1 2 0

2, 53 3 3

x yx y x y x x

x yx y y x y x

.

KL: Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5).

0,5

Câu8

(2.0đ)

+) Với 5, 9v u ta có hệ: 2 2 21 9 1 9 9 46 0

5 5 5

x y x y x x

x y y x y x

, hệ này

VN. KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) (1; 2), ( 2; 5).x y

0,5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

19

7

Câu 9 (2.0đ)

Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

1 1 2

23 3 2 3 3

b ca


Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:

a b c

b c a

c a b

.

Đặt , , , , 0 , ,2 2

a b c ax y a z x y z x y z y z x z x y

.

Viết lại vế trái: 2

3 3 2

a b a c aVT

a c a b a b cx y z

y z z x x y

0,5

Ta có: 22

z zx y z z x y z z x y

x y z x y

.

Tương tự: 2 2

; .x x y y

y z x y z z x x y z

Do đó: 2

2x y zx y z

y z z x x y x y z

.

Tức là: 1 1 2

23 3 2 3 3

b ca


0,5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

20

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I

NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề .

Câu 1 (4điêm):Cho hàm số )1(1

12

x

xy

a.Khảo sat sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của hàm số (1)

b.Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x+y+3=0

Câu 2 (1điêm): Giải phương trình 02cos2sin22sin xxx

Cầu 3 (1điêm): Giải bất phương trình xx 1

2

4

4 31log33log

Câu 4 (2 điêm): Tính I =

1

0

2

2

4

)4ln(dx

x

xx

Câu 5 (2điêm):Từ tập hợp A=0,1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số đôi

một khac nhau bé hơn 3045

Câu 6 (2điêm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(-1; 2; 1); B(2; -2; 4); C(0; -4; 1).

Chứng minh ba điêm A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điêm A,

B và có tâm I nằm trên trục Oy.

Câu 7 (2điêm): Cho hình hộp ABCD DCBA có hình chóp A'ABD là hình chóp đều,

AB=AA'=a. Tính theo a thê tích khối hộp ABCD DCBA và khoảng cach giữa

hai đường thẳng BA và CA

Câu 8 (2điêm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giac ABC cân tại B nội tiếp

đường tròn (C) có phương trình 0251022 yyx . I là tâm đường tròn (C). Đường thẳng BI

cắt đường tròn (C) tại M (5;0) .Đường cao kẻ từ C cắt đường tròn (C) tại N

5

6;

5

17. Tìm tọa

độ A,B,C biết hoành độ điêm A dương.

Câu 9 (2điêm): Giải hệ phương trình

323

323

)1(1)73(

3463

xyx

yyxxxvới yx,( R)

Câu 10 (2điêm): Cho cac số dương a,b,c thoả mãn a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)3

4

Tìm gia trị nhỏ nhất của 1

1

1

1

1

1

cbaP

--- Hết---

Thí sinh không được sử dụng tài liệu ,cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh.................................................. Số báo danh…………..

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

21

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I NĂM HỌC 2014 - 2015.

(Đap an - thang điêm gôm 05 trang)

Câu 1 Đáp án Điểm

1a

(2đ)

- Tập xac định D = R\ 1

- Sự biến thiên

giới hạn y

x 1lim ;

yx 1

lim đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

2lim

yx

; 2lim

yx

đường thẳng y = -2 là tiện cận ngang

0,5

Chiều biến thiên 2)1(

12)1(2

x

xxy

=

2)1(

1

x > 0 x 1

hàm số đông biến trên ( )1; và );1(

0,5

Bảng biến thiên

0,5

Đô thị:

cắt Ox tại ( 0 ; -1); cắt Oy tại ( )0;2

1

và nhận giao điêm hai tiệm cận

I (1; -2) làm tâm đối xứng

0,5

Câu 1 Đáp án Điêm

1b

(2đ)

Gọi )()1

12;(

0

0

0 Cx

xxM

Tiếp tuyến của (C) tại M: 2

0 )1(

1

xy

)( 0xx

0

0

1

12

x

x

0,25

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên hệ số góc của tiếp tuyến là 4

1k

0,25

2

0 )1(

1

x =

4

1

21

21

0

0

x

x

3

1

0

0

x

x

0,5

Với 10 x PTTT: 4

5

4

1

2

3)1(

4

1 xyxy 0,5

Với 30 x PTTT: 4

13

4

1

2

5)3(

4

10 xyxy 0,5

x

y

y'

-2

+ -

+

-

1

+ +

-2

O

y

x 2

1

I

-2

1

-1

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

22

Câu 2

(1đ) 0)1(cos2)1(cossin2

02cos2sin22sin

xxx

xxx0)2sin2)(1(cos xx

0,5

1sin

1cos

x

x

0,25

cosx = 1 x= 2k

sinx = 1 x=

22

k . Nghiệm của phương trình là

22

2

kx

kx

0,25

Câu 3

(1đ) 2

4

4 log)33(log x ( )31 1 x (1)

điều kiện xac định

031

033

1 x

x

x>1

0,25

(1) 33log2 2 x )31(log2 1

2

x

)33(log2 x )31(log 1

2

x 33 x x3

31

0,25

033.432 xx

33

13

x

x

0,25

1

0

x

x

Kết hợp điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là: );1( S

0,25

Câu 4

(2đ)

dxx

xxI

1

0

2

2

4

)4ln( đặt u = ln )4( 2 x du = dx

x

x

4

.22

0,5

0x 4lnu

1x 5lnu 0,5

I =

5ln

4ln

2

4ln

5ln

42

1 uudu 0,5

= 4ln5ln4

1 22 0,5

Câu 5

(2đ)

Gọi số cần lập là abcd

Do abcd <3045 và abcd là số chẵn nên d0,2,4,6 và a3 Nếu a=1 thì d có 4 cach chọn và mỗi cach chọn bc là một chỉnh hợp chập 2 của 6

Có 120.4 2

6 A số

0,5

Nếu a=2 thì d có 3 cach chọn và mỗi cach chọn bc là một chỉnh hợp chập 2 của 6

Có 90.3 2

6 A số 0,5

Nếu a=3,b=0,c=4 thì d có một cach chọn có 1 số 0,25

Nếu a=3,b=0,c=1 thì d có 3 cach chọn có 3 số 0,25

nếu a=3,b=0,c=2 thì d có 2 cach chon có 2 số 0,25

Vậy tất cả có 120+90+1+3+2 = 216 số cần lập

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

23

Câu 6

(2đ)

AB = (3; -4; 3); AC = ( 1; -6; 0)

Giả sử tôn tại số k sao cho AB = k AC (1)

k

k

k

03

64

3

Vô nghiệm

Không tôn tại k thõa mãn (1) A, B, C không thẳng hàng

0,5

Do I Oy nên I(0;a;0)

Mặt cầu đi qua A,B nên IA=IB. 1+(a-2) 2 +1= 4+(a+2) 2 +16 0,5

a 2 -4a+6 = a 2 +4a+24 8a = -18 a = 4

9 0,25

I(0;4

9;0). Ban kính của mặt cầu R=IA= 1)2

4

9(1 2

=4

321 0,5

Vậy phương trình mặt cầu là 16

321

4

9 2

2

2

zxx 0,25

Câu 7

(2đ)

Do ABDA/ là hình chóp đều nên với G

là tâm ABD GA / (ABD)

A'G là chiều cao của lăng trụ. Gọi

O là giao điêm của BD và AC.Ta có

AG = 3

2.AO=

2

3a.

3

2=

3

3a

Trong tam giac vuông AGA / ta có

GA / =

3

6

3

2222 aa

aAGAA

0,5

ABCDS = 2 ABDS = 2.2

1. AO.BD =

2

32a

DCBAABCDV

= GA / . ABCDS =

3

6a.

2

32a=

2

23a

0,5

Gọi H là giao điêm của A'C' và B'D'. Do A'C'// AC nên

),( CABAd = ))(,( BACCAd = ))(,( BACHd

Từ H kẻ HE // GA /

)//()(

)(

ABCDDCBA

ABCDGAHE DCBA ( ) HE A'C' (1)

Do DCBA là hình thoi nên CA DB (2)

0,5

Từ (1) (2) CA (E DB ) AC (E DB ) (3)

Từ H kẻ HK EB

HK ( BAC )

Từ (3) HK AC

HK = d (H, ( BAC )

0.25

Trong tam giac HEB ta có :

2

1

HK=

2

1

HB+

2

1

HE =

2

4

a+

26

9

a=

22

11

a HK =

11

2a

0.25

O A

B C

D

D’

G E

A’

B’ C’

H

K

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

24

Câu 8

(2đ)

Ta có I (0;5).

Do I là trung điêm BM B(-5;10)

0,25

Ta có: ABM ACN (cùng phụ với BAC ) nên A là trung điêm cung MN 0,25

IA MN ,

5

6;

5

42MN

Do IA MN nên đường thẳng AI nhận n =(7;1) làm véc tơ phap tuyến

0.25

Phương trình đường thẳng AI là 7x + y - 5 = 0

Tọa độ A là nghiệm hệ :

02510

057

22 yyx

yx

0,25

50)5(

75

22 yx

xyx 492 2x =50 2x =1

)(1

1

loaix

x

x=1y=-2 A(1;-2)

0,25

Đường thẳng BI nhận véc tơ BI = (5;-5) làm véc tơ chỉ phương nên nhận

1n =(1;1) làm véc tơ phap tuyến.phương trình đường thẳng BI là x +y - 5 = 0 0,25

Do tam giac ABC cân tại B nên C đối xứng với A qua BI

AC BI nên đường thẳng AC nhận BIn5

12 = (1;-1) làm véc tơ phap tuyến

phương trình đường thẳng AC là x-1-(y+2) = 0 x-y-3 = 0

0,25

Gọi H là giao điêm của BI và AC Tọa độ H là nghiệm hệ

05

03

yx

yx

1

4

y

xH(4;1)

Do H là trung điêm AC nên C(7;4). Vậy A(1;-2) ,B(-5;10) ,C(7;4)

0,25

Câu 9

(2đ)

)2()1(1)73(

)1(3463

323

323

xyx

yyxxx

Từ (1) yyxx 3)1(3)1( 33 . Xét hàm số )(tf = 3t + 3 t trên R

0,25

)(' tf = 3 2t + 3 > 0 t R hàm số y = f(t) đông biến trên R

(1) )1( xf = f ( y ) x +1= y

0,25

Thay y = x + 1 vào (2) ta có 3x ( x3 - 4) = 1- 32 )1( x

3x ( x3 - 4) =

2

222

11

)111(

x

xxx

x 2 011

1243

2

222

x

xxxx

0,5

)3(011

1243

0

2

222

x

xxxx

x

0,5

A

C

B

I

N

M

H

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

25

(3)

3

4

3

23

2

x 011

12

2

22

x

xx

2

3

23 x

0116

2511

2

22

2

x

xx (vô nghiệm)

Với x = 1 y = 1

Vậy hệ có nghiệm ( x ; y) = ( 0;1)

0,5

Câu10

(2đ)

Ta có 3.1

11

1

11

1

119

2

cbaP

cc

bb

aa

3

9

cbaP

0,5

giả thiết 222 cba - (a+b+c)3

4 (1)

Mặt khac 222 cba 23

1cba nên nếu đặt t = a+b+c thì

3

4

3

1 2 tt 0 < t 4 (do a,b,c dương)

0,5

Xét hàm số f(t)=3

9

ttrên 4,0 ta có 0

)3(

9)(

2

ttf

=> hàm số f(t) nghịch biến trên 4,0 . 0,4

9( ) (4)7

minf t f

0,5

GTNN của P là 7

9 khi

cba

cba

cba

111

4

3

4

0,5

----Hết----

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

26

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 23 3 1y mx mx m có đồ thị là mC .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 1m . b) Chứng minh rằng với mọi 0m đồ thị mC luôn có hai điểm cực trị A và B, khi đó tìm

các giá trị của tham số m để 2 2 22 ( ) 20AB OA OB ( trong đó O là gốc tọa độ).

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: sin sin cos cosx x x x 2 3 2 3 2 3

Câu 3(1 điểm): Giải hệ phương trình: 2 2

2 1 2 4( 1)

4 2 7

x y x y

x y xy

.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền

bằng 3a, G là trọng tâm tam giác ABC, 14

( ),2

aSG ABC SB . Tính thể tích khối chóp

S.ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( )SAC theo a.

Câu 5 (1 điểm): Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1

P 2xyzx y z

Câu 6(1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng

:2 1 0AB x y , phương trình đường thẳng : 3 4 6 0AC x y và điểm (1; 3)M nằm trên

đường thẳng BC thỏa mãn 3 2MB MC . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Câu 7 (1điểm):Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho ®−êng trßn 2 2: 1 2 13C x y

vμ ®−êng th¼ng : 5 2 0x y . Gäi giao ®iÓm cña (C) víi ®−êng th¼ng lμ A, B. X¸c ®Þnh

to¹ ®é ®iÓm C sao cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B vμ néi tiÕp ®−êng trßn (C).

Câu 8 (1,0 điểm). Tìm hệ số của 2x trong khai triển thành đa thức của biểu thức

62 1P x x .

Câu 9 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị m để bất phương trình 2 1m x m x có

nghiệm trên đoạn 0;2 .

-----------Hết-----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh………………

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

27

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

ĐÁP ÁN KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN; Khối A

II. ĐÁP ÁN:

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm

1 a 1,0 điểm

Với 1m , hàm số đã cho có dạng: 3 23y x x TXĐ:

Giới hạn: 3 2 3 3lim ( 3 ) lim 1x x

x x xx

; 3 2 3 3lim ( 3 ) lim 1x x

x x xx

0,25

Sự biến thiên của hàm số.

Ta có: 2' 3 6y x x ; 0

' 02

xy

x

BBT: x 0 2 y’ 0 0 y

0 4

0,25

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;0 và 2; , nghịch biến trên khoảng 0;2 .

Hàm số đạt cực đại tại điểm 0x ; giá trị cực đại của hàm số là 0 0y

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x ; giá trị cực tiểu của hàm số là 2 4y .

0,25

Đồ thị: Giao điểm với trục tung là điểm 0;0 .

0

03

xy

x

Nhận xét: Điểm 1; 2I là tâm đối xứng của đồ

thị hàm số. 0,25

b 1,0 điểm

Ta có: 2' 3 6y mx mx 0

' 02

xy

x

( Với mọi m khác 0).

Do 'y đổi dấu qua 0x và 2x nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ( đpcm)

0,25

Với 0 3 1x y m ; 2 3x y m .

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

28

Do vai trò của A,B như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử 0;3 3 , 2; 3A m B m

Ta có: 2 2 22 20OA OB AB 2 2 29 1 4 3 2 4 16 20m m m 0,25

211 6 17 0m m 1

17

11

m

m

KL: Với 1

17

11

m

m

thì ycbt được thỏa mãn.

0,25

2 1,0 điểm

Phương trình đã cho tương đương với:

3 1 3 1

1 .sin 2 cos 2 3 sin cos 02 2 2 2

x x x x

0,25

cos sinx x

1 2 3 0

3 6 0,25

sin

sin sin

sin (loai)

x

x x

x

2

06

2 3 06 6 3

6 2

0,25

Với sin 0 , .6 6

x x k k

0,25

3 1,0 điểm

HPT

724

)1(0612)12(222 xyyx

yxyx

Điều kiện: x+2y 1 0

Đặt t = 2 1 (t 0)x y

0,25

Phương trình (1) trở thành : 2t2 – t – 6 = 0

2 /

3t/m

2

t t m

t k

0,25

Khi đó hpt đã cho2 2

1

12 3

24 2 7

1

2

x

yx y

xx y xy

y

(t/m đk)

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

29

Vậy nghiệm (x,y) của hệ đã cho là: (1,1) và )2

1,2( .

0,25

4 1,0 điểm

H

MI

G

S

C

BA

Vì tam giác ABC vuông cân tại C, 3

32

aAB a CA CB

Gọi M là trung điểm AC3

2 2

aMC

3 5

2 2

aMB

0,25

2 22 5

3 2

aBG BM SG SB BG a

3

.

1 3.

3 4S ABC ABC

aV SG S (đvtt) 0.25

Kẻ ( ) ( )GI AC I AC AC SGI

Ta có 1

3 2

aGI BC . Kẻ ( ) ( ) ( , ( ))GH SI H SI GH SAC d G SAC GH

0,25

Ta có 2 2 2

1 1 1

3

aGH

GH GS GI ( , ( )) 3 ( , ( )) 3 3d B SAC d G SAC GH a

0.25

5 1,0 điểm

Áp dụng BĐT Cauchy: 3

1 1 1 3

x y z xyz

Nên P ≥ 3

32xyz

xyz . Đẳng thức khi: x = y = z. 0.25

Đặt t = 3 xyz

Cũng theo Cauchy: 1 = x2 + y2 +z2 ≥ 2 2 233 x y z . Đẳng thức khi x = y = z.

Nên có: 0 < t ≤ 3

3 0.25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

30

Xét hàm số: f(t) = 332t

t với 0 < t ≤

3

3

Tính f’(t) = 4

22 2

3 3(2t 1)6t

t t

Lập bảng biến thiên của f(t) rồi chỉ ra : f(t) ≥ 29 3

9 t

30;

3

. 0.25

Từ đó: P ≥ 29 3

9. GTNN của P là

29 3

9 đạt khi x = y = z =

3

3 0.25

6 1,0 điểm

Vì B thuộc đường thẳng (AB) nên ;1 2B a a ,

Tương tự: 2 4 ;3C b b

Ta có: 1;4 2MB a a

, 3 4 ;3 3MC b b

0.25

Ta có 2; 3AB AC A A .

Vì B, M, C thẳng hàng, 3 2MB MC nên ta có: 3 2MB MC

hoặc 3 2MB MC

0.25

TH1: 3 2MB MC

3 1 2 3 4

3 4 2 2 3 3

a b

a b

11

56

5

a

b

11 17;

5 5B

, 14 18

;5 5

C

7 10;

3 3G

0.25

TH2: 3 2MB MC

3 1 2 3 4

3 4 2 2 3 3

a b

a b

3

0

a

b

3; 5 , 2;0B C 8

1;3

G

Vậy có hai điểm 7 10

;3 3

G

và 8

1;3

G

thỏa mãn đề bài.

0.25

7 1,0 điểm

-Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình:

1

3

0

2

25

02626

025

1321 222

y

x

y

x

yx

yy

yx

yx

0,25

2;0 , 3; 1A B hoặc 3; 1 , 2;0A B

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

31

-Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường kính của đường tròn (C). Hay tâm 21;I là trung điểm của AC.

0,25

Khi đó: 2;0 , 3; 1 4;4A B C

3; 1 , 2;0 1;5A B C

Vậy: 44;C hoặc 51;C

0,25

8 1,0 điểm

Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có: 0 6 1 2 5 2 6 5 10 6 126 6 6 6 6( 1) ( 1) ( 1) ( 1)k k kP C x C x x C x x C x x C x

0.25

Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, 2x chỉ xuất hiện khi khai triển 0 66 ( 1)C x và

1 2 56 ( 1)C x x .

0.25

Hệ số của 2x trong khai triển 0 66 ( 1)C x là : 0 2

6 6.C C

Hệ số của 2x trong khai triển 1 2 56 ( 1)C x x là : 1 0

6 5.C C 0.25

Vì vậy hệ số của 2x trong khai triển P thành đa thức là : 0 26 6.C C 1 0

6 5.C C = 9. 0.25

9 1,0 điểm

Ta có 22 1 2 2 1m x m x m x m x x

2 4 1

1

x xm

x

(vì 0;2x )

0.25

Xét hàm số 2 4 1

1

x xf x

x

trên đoạn 0;2 , ta có

2

2

2 5; 0 1 6

1

x xf x f x x

x

0.25

Bảng biến thiên

0 1; 2 1;

1 6 2 6 6

f f

f

0.25

Vậy : bất phương trình đã cho có nghiệm thì

0;2

min 1 6 2 6 6m f x f . 0.25

+_ 0

- 1

1

2 6 - 6

f(x)

f'(x)

x 2-1+ 60

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

32

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1

NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 1

(1)1

xy

x

và đường thẳng d: .y x m


b) Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời các tiếp tuyến

của (C) tại A và B song song với nhau.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: sin 2 2sin 1 cos2x x x ( )x

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 1

1( ) ln

e

I x xdxx


a) Một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi.

Tính xác suất để 3 viên được chọn có cả ba màu.

b) Giải phương trình: 2

3 3log 4log (3 ) 7 0x x trên tập hợp số thực.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): 2 2 1 0P x y z và điểm (3;0; 2)A . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa

độ tiếp điểm của (S) và (P).

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A và 2AB a , 2 3AC a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( )ABC là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa

hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABC bằng 030 . Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng

cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng ( )SAC .

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

tâm (3;5)I và ngoại tiếp đường tròn tâm (1; 4)K . Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC và các cạnh

AB, AC kéo dài (đường tròn bàng tiếp cạnh BC) có tâm là (11; 14)F . Viết phương trình đường

thẳng BC và đường cao qua đỉnh A của tam giác ABC.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2

2

( 2 2 1)( 1) 1

9 2014 2 4 2015

x x x y y

y xy y y x

( , )x y

Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2

1 2 2.

c a b Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 2 2 2

.a b c

Pb c a c a b c

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………………, Số báo danh:………………………..

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

33

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1

NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: TOÁN

Đáp án gồm 5 trang

ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM


1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1

(1)1

xy

x

1,0

Tập xác định: \ 1 .D

Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: 2

2' 0 .

( 1)y x D

x

hàm số nghịch biến trên từng khoảng xá định và không có cực trị.

0,25

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1x x

y y

; tiệm cận ngang là: y=1.

1 1

lim ; lim ,x x

y y

tiệm cận đứng là: x= -1.

0,25

- Bảng biến thiên:

x 1

y’

y

1

1

0,25

Đồ thị

Nhận xét: Đồ thị C nhận điểm uốn 1;1I làm tâm đối xứng.

0,25

b)Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời các tiếp

tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. 1,0

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

34

PT hoành độ giao điểm của ĐT hs 1 với đường thẳng d:

2

11

( ) (2 ) 1 0 (2).1

xxx m

g x x m x mx

0,25

ĐT (C) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có 2 nghiệm phân biệt

khác -1 20 8 0

( 1) 0 2 0

m

g

đúng với mọi m.

0,25

Khi đó ,A Bx x là nghiệm của phương trình (2). Do tiếp tuyên tại A và B song với nhau nên ta có:

2 2

( )2 2'( ) '( )

2( 1) ( 1)

A B

A A

A BA B

x x lf x f x

x xx x

Theo định lý Viet ta có: 2A Bx x m . Do đó 2 2 0.m m

0,25

0.25

2 Giải phương trình: sin 2 2sin 1 cos2x x x ( )x 1,0

2sin 2 2sin 1 cos2 sin 2 2sin 1 cos2 0 2sin cos 2sin 2sin 0x x x x x x x x x x 0,25

sinx 02sin (cos sin 1) 0

sinx+cosx= -1x x x

0,25

sin 0x x k 0,25

23

cos sin 1 cos( ) cos4 4 2

2

x k

x x xx k

Vậy nghiệm của phương trình là : 2 ; .2

x k x k k

0,25

3 Tính tích phân

1

1( ) ln

e

I x xdxx

1,0

1 1 1

1 1( ) ln ln ln

e e e

I x xdx x xdx xdxx x

0,25

Ta có: 2

1

1 1

1 ln 1ln ln (ln ) .

12 2

e e exI xdx xd x

x 0,25

Tính 2

1

ln

e

I x xdx , đặt

2 2 2 2 2

22

1

ln 1 3. ln .

1 12 2 2 4 4 4

2

e

dxdu

u x e ex x e x e exI x dx I

dv xdx xv

0,5

4 a) Một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi.

Tính xác suất để 3 viên được chọn có cả ba màu.

b) Giải phương trình: 2

3 3log 4log (3 ) 7 0x x trên tập hợp số thực.

1,0

a) Số phần tử của không gian mẫu là: 3

12 220.C 0,25

Số cách chọn 3 viên bi có đủ 3 màu là 3.4.5=60. Do đó xác suất cần tính là 60 3

220 11p 0,25

b) Điều kiện x>0.

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với 2

3 3log 4log 3 0x x 0,25

3

3

log 1 3

log 3 27

x x

x x

Vậy nghiệm của phương trình là x=3, x=27.

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

35

5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): 2 2 1 0P x y z và điểm

(3;0; 2)A . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ

tiếp điểm của (S) và (P).

1,0

Bán kính mặt cầu (S) là ( ;( )) 3.R d A P 0,25

Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2( 3) ( 2) 9.x y z 0,25

Gọi H là tiếp điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P), suy ra ( )AH P do đó vectơ pháp tuyến

của (P) cũng là vectơ chỉ phương của AH. Phương trình đường thẳng AH là:

3 2

2 2

x t

y t

z t

0.25

( )H AH P do đó tọa độ tiếp điểm H(1; -1; 0) 0,25

6 Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A và 2AB a , 2 3AC a . Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng ( )ABC là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa hai mặt

phẳng ( )SBC và ( )ABC bằng 030 . Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng

cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng ( )SAC .

1,0

Diện tích ABC là:

21. 2 3

2dt ABC AB AC a

Trong mp ABC kẻ HK BC tại K

BC SHK

Từ giả thiết ta có: 𝑆𝐾𝐻 = 300

0,25

Có 2 2 4BC AB AC a

sinABC =AC

BC=

HK

HB=

3

2⇒ HK =

a 3

2 . Trong tam giác SHK có:

SH = HKtanSKH =a

2

Thể tích của khối chóp là: 31 3

.3 3

aV SH dt ABC (đvtt)

0,25

Do M là trung điểm của cạnh BC nên MH song song với AC, do đó MH song song với mặt

phẳng (SAC), suy ra khoảng cách từ M đến mặt (SAC) bằng khoảng cách từ H đến mặt (SAC).

Trong mp SAB kẻ HD SA tại D . Ta có: AC SAB AC DH DH SAC

0,25

2 2 2

1 1 1 5

5

aHD

DH HA HS . Vậy 𝑑 𝑀; 𝑆𝐴𝐶 = 𝑑 𝐻; 𝑆𝐴𝐶 = 𝐻𝐷 =

𝑎 5

5

0,25

A C

B

S

H

K

M

D

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

36

7 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (3;5)I và

ngoại tiếp đường tròn tâm (1; 4)K . Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC và các cạnh AB, AC

kéo dài (đường tròn bàng tiếp cạnh BC) có tâm là (11; 14)F . Viết phương trình đường thẳng

BC và đường cao qua đỉnh A của tam giác ABC.

1,0

Ta có F là giao điểm của đường phân giác trong góc A với các đường phân giác ngoài của

các góc B và C, suy ra 𝐶𝐹⟘𝐶𝐾, 𝐵𝐹⟘𝐵𝐾, do đó tứ giác BKCF nội tiếp đường tròn đường kính

FK.

0,25

Gọi D là giao điểm của AK với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có:

𝐷𝐾𝐶 =𝐵𝐴𝐶

2+

𝐴𝐶𝐵

2= 𝐷𝐶𝐾 , suy ra tam giác DCK cân tại D, do đó DK= DC = DB nên D là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BKCF, do vậy

D là trung điểm của FK, suy ra D(6; 9).

0,25

Tính được ID=5, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

(x − 3)2 + (y − 5)2 = 25 (C1).

𝐷𝐾 = 50, phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BKCF là:

(x − 6)2 + (y − 9)2 = 50 (C2). Tọa độ B, C là nghiệm của hệ

(x − 3)2 + (y − 5)2 = 25

(x − 6)2 + (y − 9)2 = 50 ⇔

x2 + y2 − 6x − 10y + 9 = 0

x2 + y2 − 12x − 18y + 67 = 0 ⇒

⇒6𝑥 + 8𝑦−58=0 ⇔3𝑥+4𝑦−29=0(1) .

Tọa độ B, C thỏa mãn phương trình (1), mà (1) là phương trình của một đường thẳng, mặt khác C1 , (C2) cắt nhau do đó phương trình (1) là phương trình đường thẳng BC. Vậy BC có phương

trình là: 3𝑥 + 4𝑦 − 29 = 0(1)

( có thể giải hệ ta được B(-1; 8), C(7; 2) và viết được phương trình BC)

0,25

Phương trình FK: x-y+3=0.

A, D là giao của FK với (C1) , suy ra A(-1; 2),

do đó phương trình đường cao AH là:

4x -3y+10=0.

0,25

8

Giải hệ phương trình:

2 2

2

2 2 1 1 1 1

9 2014 2 4 2015 2

x x x y y

y xy y y x

( , )x y 1,0

Đk: 9 0y xy

Ta có: 2 2 21 1 0y y y y y y , nhân 2 vế PT (1) với 2 1 0.y y

PT 2 2

1 1 1 1 1 (3)x x y y

0,25

CB

I

A

K

D

F

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

37

Xét hàm số: 2 1f t t t trên , có 2

2 2

1' 0,

1 1

t tt tf t t f t

t t

đồng

biến trên (3) ( 1) ( ) 1f x f y x y

0,25

Pt 2 trở thành: 2 28 3 2015 2014x x x 3

2 2

2 2

1 18 3 3 2 2015 1 0 1 2015 0(4)

8 3 3 2

x xx x x x

x x

0,25

Đặt:

2 2

1 12015

8 3 3 2

x xT

x x

x có 2 28 3 2015 2014 0 0x x x x

Do 2 2

2 2

1 10, 8 3 3 2 0 0 0.

8 3 3 2

x xx x x T

x x

nên

(4) 1 0 1x x (thỏa mãn)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm: 1; 2

0,25

9

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

2 2 2

1 2 2.

c a b Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 2 2

.a b c

Pb c a c a b c

1,0

Ta có: 2 2

2 2 2 2 2

1 2 2 1(1)

2

c c

c a b a b , và

2 2

1.

1 1 ( ) ( ) 1

a b

c cPb a a a

c c c c

Đặt :

2 2

1, ; , 0 .

1 1 1

a a x yx y x y P

c c y x x y

2 2 2 2

2 2

1 1 1(1) 2( ) .

2x y x y

x y

0,25

Mặt khác 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) 2( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2( ) 1

11 ( 1) .

1 1 1

x y x y x y x y xy x y x y xy x y x y

x yx y x y P

y x x y

Lại có: 2 1( ) 4 4( ) 4 1 0

1 1 1

x yx y xy x y x y x y P

y x x y

0,25

1 1 1 1 11 1 2 ( 1)( ) 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 4 1( 1)( ) 2 2

2 1 2 1

x y x yx y

y x x y y x x y y x x y

x yx y x y x y x y

0,25

Đặt: 4 1

4 ( ) 2 .2 1

t x y P f tt t

2 2 2 2

4 1 3 ( 4)'( ) 0, [4; )

( 2) ( 1) ( 1) ( 2)

t tf t t

t t t t

, suy ra ( )f t đồng biến trên [4; )

Vậy 5

( ) (4)3

P f t f hay min

454 2 2 .

3

x yP t x y a b c

x y

0,25

…………………Hết……………….

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

38

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN ĐỀ THI THỬ KÌ THI QUỐC GIA NĂM 2015 TỔ TOÁN Môn TOÁN (Lần 1) Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số x 1

y2x 1

(1)


b) Chứng minh rằng đường thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

Tìm m để độ dài đoạn AB = 2 .

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: sin2x sinx 2 4cosx


0

xI ln x 1 dx

x 1

Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: 24 2

4log 3 log 6 10 2 0 x x

Câu 5 (1,0 điểm). Một tổ học sinh gồm có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ.

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh đi chăm sóc bồn hoa. Tính xác suất để 2 học sinh

được chọn đi chăm sóc bồn hoa có cả nam và nữ.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

góc 0BAD 60 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là

trọng tâm ABC. Góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB) bằng 600.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

trung điểm cạnh BC là M(3;1). Điểm E(1;3) nằm trên đường thẳng chứa

đường cao qua đỉnh B. Đường thẳng AC qua F(1;3). Tìm tọa độ các đỉnh của

ABC biết đường tròn ngoại tiếp ABC có đường kính AD với D(4;2)

Câu 8: Giải phương trình: 2 2x 2 ( x 4x 7 1) x x 3 1 0

Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 2 2

x y zP

y z x z x y.

_________ Hết _________


Họ và tên thí sinh: ………………………………………; Số báo danh: ……………….

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

39

SỞ GDĐT HÀ TĨNH THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN

TỔ TOÁN

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ KÌ THI QUỐC GIA NĂM 2015 Môn TOÁN (Lần 1) Đáp án gồm 03 trang

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

a) (1 điểm)

Tập xác định:1

\2

D

.

Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: 2

1'

(2 1)y

x

; ' 0,y x D .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng1

;2

và 1

;2

.

0.25

- Giới hạn, tiệm cận: 1

lim lim2x x

y y

; tiệm cận ngang 1

2y .

1

2

limx

y

;1

2

limx

y

; tiệm cận đứng 1

2x .

0.25

- Bảng biến thiên:

x 1

2

'y

y

1

2

1

2

`

0.25

Đồ thị:

0.25

b) (1 điểm)

Số giao điểm của đường thẳng y x m và đồ thị (C) bằng số nghiệm của pt:1

2 1

xx m

x

.(1)

(1) 2

1

2 2 1 0.2

1 (2 1)( )

xx mx m

x x x m

(2) 0.25

1 (2,0đ)

Phương trình (2) có biệt thức 2 2' 2 2 ( 1) 1 0,m m m m (2) có nghiệm phân biệt

nên y x m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B m . 0.25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

40

Gọi 1 1 2 2( ; ); ( ; )A x y B x y thì 1 2,x x là nghiệm của pt(2) và 1 1 2 2,y x m y x m

2 2

2 1 2 1AB x x y y 21 2 1 22 ( ) 4x x x x . Mặt khác: 1 2x x m , 1 2

1

2

mx x

.

0.25

Từ đó ta có: 2

1 2 1 22 4 1AB x x x x 2 2( 1) 1 1m m m . Vậy 1m . 0.25

sin 2 sin 2 4cosx x x 2sin cos sin 2 4cosx x x x 0.25

sin (2cos 1) 2(1 2cos ) (sin 2)(2cos 1) 0x x x x x 0.25

1cos 2

2 3x x k

. 0.25

2 (1,0đ)

Phương trình có các nghiệm là: 2 ,3

x k k

. 0.25

Đặt:

ln( 1) 1

1

ln( 1).1

u xdu dx

xxdv dx

v x xx

0.25

1

0

1 ln( 1)ln 1 ln 1

0 1 1

x xI x x x dx

x x

0.25

= 2 1ln ( 1)

1 ln 2 ln 2 ln 102

xx x

0.25

3 (1,0đ)

=2 2

2 ln 2 ln 2ln 2 ln 2 1 ln 2 2ln 2 1

2 2

0.25

24 2

4 log 3 log 6 10 2 0 ( )x x . Điều kiện: 3x .

22 2( ) 2 log ( 3) 2 log (6 10) 2 0x x

0.25

22 2log 3 .2 log 6 10x x 0.25

2 12( 3) 6 10

2.

xx x

x

0.25

4 (1,0đ)

Đối chiếu điều kiện thì phương trình có một nghiệm 2x . 0.25

Gọi là không gian mẫu: A là biến cố “2 học sinh được chọn gồm cả nam và nữ”. 0.25

Số phần tử không gian mẫu: 212( ) 66n C . 0.25

Số trường hợp thuận lợi cho A là 1 15 7( ) . 35n A C C . 0.25

5 (1,0đ)

Xác suất của biến cố A là( ) 35

( ) 53,03%( ) 66

n AP A

n

. 0.25

Gọi H là trọng tâm ABC , K là hình chiếu của H

lên AB suy ra: 060SKH ; H BD ; 1

3BH BD .

DM là đường cao tam giác ABD, HK // DM

1 3

3 6

aHK MD 0. tan 60

2

aSH KH .

0.25

6 (1,0đ)

Diện tích ABCD: 2 3

22

ABCD ABD

aS S .

Thể tích 31 3

.3 12

SABCD ABCD

aV SH S .

0.25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

41

Kéo dài KH cắt DC tại N 3 2 3

2 3 3

a aKN DM HN KN .

Gọi IH là đường cao của , ( )SHN d H SCD HI . Ta có:2 2

.

7

SH HN aHI

SH HN

.

0.25

Vậy 3 3 3 7

,( ) , ( )2 2 14

ad B SCD d H SCD HI . 0.25

Gọi H là trực tâm ABC BDCH là hình bình

hànhM là trung điểm của DH 2;0H . 0.25

Đường thẳng AC đi qua 1;3F và nhận 3; 3HE

làm véctơ pháp tuyến nên phương trình của AC là: 4 0x y . Đường cao BH qua H và E nên phương

trình của BH là: 2 0x y .

0.25

Gọi toạ độ của B, C là: ; 2B b b , ;4C c c .

Do M là trung điểm BC nên ta có hệ:

6 1

2 2 5.

b c b

b c c

Vậy 1; 1B ; 5; 1C .

0.25

7 (1,0đ)

Đường cao AH đi qua H và vuông góc với BC nên AH có phương trình: 2x . Toạ độ A thoả mãn hệ:

2 2

4 0 2.

x x

x y y

Vậy 2;2A .

0.25

Phương trình biến đổi thành: 2 22 2 3 1 3 1x x x x 0.25

Đặt 2u x , v x . Xét hàm số 2 3 1f t t t , phương trình trở thành f u f v . 0.25

Vì 2

2

2' 1 3 0

3

tf t t

t

, t . Hàm f t luôn đồng biến nên f u f v u v . 0.25

8 (1,0đ)

Phương trình tương đương 2 1x x x . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1x . 0.25

Từ giả thiết suy ra: 0 , , 3x y z . Ta có: 2 2 2 22 2 3y z y z x ,

2 22 3

x x

xy z

. Mặt khác

2

2

1

42 3

xx

x

.

0.25

Thật vậy:

2

2

1

42 3

xx

x

22 3x x

21 2 0x x luôn đúng,

2

2

1

4

xx

y z

. 0.25

Tương tự:

2

2

1

4

yy

z x

,

2

2

1

4

zz

x y

.

2 2 2

2 2 2

1

4

x y zx y x

y z z x x y

. 0.25

9 (1,0đ)

3

4P . Khi 1x y z thì

3

4P . Vậy min

3

4P . 0.25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

42

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 1 KÌ THI KSCL TRƯỚC TUYỂN SINH NĂM 2015 (LẦN 1) Môn Thi: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). Cho hàm số mmxmmxxy 3223 )1(33 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía của đường thẳng 1y (không nằm trên đường thẳng).


a) Giải phương trình 2)10(loglog 44 xx .

b) Giải phương trình 0)cos)(sincos21(2cos xxxx


a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số )1( 2 xxey x trên đoạn [0;2].

b) Tính giới hạn )1ln(

12lim

sin

0 x

xL

x

x

.


a) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 32632 22

2 nn AC . Tìm hệ số của 6x trong khai triển nhị thức

Niutơn của 0,3

2 2

x

xx

n

.

b) Có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ được chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.

Câu 5 (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với )2;1;1( A , B(-1; 1; 3), C(0; 2; 1). Tính diện tích tam giác ABC và tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp ABCS. có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC

sao cho SMMC 2 . Biết AB a , 3BC a . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM.

Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có phương trình 25)2()1( 22 yx . Các điểm K(-1 ; 1), H(2; 5) lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh C có hoành độ dương.

Câu 8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình

yxyxxyy

xyyx

3121

73322

22

Câu 9 (2,0 điểm). Cho zyx ,, là các số thực thỏa mãn 9222 zyx , 0xyz . Chứng minh rằng

10)(2 xyzzyx .

----------------***Hết***----------------

Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

43

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I KÌ THI KSCL TRƯỚC TUYỂN SINH NĂM 2015(LẦN 1) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM MÔN TOÁN

Câu Nội dung Điểm 1a Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số... 2,00

Khi m = 1, ta có hàm số 23 3xxy 1) Tập xác định : D . 2) Sự biến thiên: * Giới hạn :

)3(limlim,)3(limlim 2323 xxyxxy

xxxx

0,5

* Đạo hàm y’= - 3x2 + 6x , y’ = 0 x = 0, x = 2. * Bảng biến thiên:

x - 0 2 + y' - 0 + 0 -

y

+ 4 0 -

0,5

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; 0) và (2; + ), đồng biến trên khoảng (0; 2) - Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 0, yCT =0.

0,5

3. Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại O(0; 0), giao với trục hoành tại O(0; 0); A(3; 0), nhận điểm uốn I(1;2) làm tâm đối xứng * Điểm uốn: y’’ = - 6x + 6 , y’’ = 0 x =1 Đồ thị hàm số có 1 điểm uốn I(1;2)

0,5

1b Tìm m để đồ thị có 2 cực trị ... 2,00 )1(363' 22 mmxxy 0,25

0)1(3630' 22 mmxxy , 'y có 09)1(99' 22 mm

Suy ra 'y luôn có hai nghiệm phân biệt 11 mx , 12 mx 0,5

Khi đó hàm số có hai cực trị là )1(2)( 11 mxyy , )1(2)( 22 mxyy 0,5

Theo bài ra ta có 1 2

3 1( 1)( 1) 0 (2 3)(2 1) 0 ,

2 2y y m m m m 0,5

Vậy

;

2

3

2

1;m . 0,25

2a Giải phương trình logarit... 1,00 Điều kiện: 100 x .Ta có 2)10(log2)10(loglog 2

444 xxxx 0,5

2,81610 2 xxxx . Vậy phương trình có nghiệm 2x , 8x 0,5 2b Giải phương trình lượng giác... 1,00

0)1sin(coscossin0)cos)(sincos21(2cos xxxxxxxx 0,25

2,22

4

14

sin2

04

sin2

01sincos

0cossin

kxkx

kx

x

x

xx

xx 0,5

VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm: , 2 , 24 2

x k x k x k k 0,25

x

y

3 2 O

4

2

1 A

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

44

3a Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất..... 1,00

Ta có: )2(' 2 xxey x nên 2;10)2(0' 2 xxxxey x 2;0 0,5

1)0( y , ey )1( , 2)2( ey . Từ đó ta có ,)2(max 2

]2;0[eyy eyy )1(min

]2;0[

. 0,5

3b Tính giới hạn... 1,00

x

xx

x

xL

x

x )1ln(

1112

lim

sin

0

. Ta có 2ln2ln.sin

.2ln)(sin

1lim

12lim

2ln)(sin

0

sin

0

x

x

x

e

x

x

x

x

x 0,5

2

1

11

1lim

)11(

11lim

11lim

000

xxx

x

x

xxxx

,0

ln(1 )lim 1.x

x

x

Nên

2

12ln L 0,5

4a Tính hệ số trong khai triển... 1,00 326)1)(2(3)1(32632 2

22 nnnnAC nn 0,25

08022 nn 10,8 nn (loại). 0,25

Ta có khai triển

8

0

2

5328

8

8

0

828

8

2 .)3.(23

)2(3

2k

kkkk

k

k

kk xCx

xCx

x 0,25

Số hạng chứa 6x ứng với k thỏa mãn 462

532

k

k

Vậy hệ số của 6x là 90720)3.(2. 4448 C

0,25

4b Tính xác suất... 1,00 Số phần tử của không gian mẫu là 10

40C 0,25

Có 20 tấm thẻ mang số lẻ, 4 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, 16 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 10.

0,25

Gọi A là biến cố đã cho, suy ra 14

416

520. CCCA 0,25

Vậy xác suất của biến cố A là 126171680.

)(1040

14

416

520

C

CCCAP A 0,25

5 Tính diện tích, tìm tọa độ điểm......... 2,00

)1;2;2(AB , )1;3;1( AC )4;3;5(],[ ACAB 0,5

Diện tích tam giác ABC : 2

25435

2

1],[

2

1 222 ACABSABC 0,5

Gọi );;( cbaH là chân đường cao của tam giác kẻ từ A.

Ta có

kc

kb

ka

kc

kb

ka

BCkBH

23

1

1

)31(3

)12(1

)10(1

)21;2;2( kkkAH 0,5

Do BCAH nên 3

10)21(2220. kkkkBCAH . Vậy

3

7;

3

4;

3

2H 0,5

6 Tính thể tích, khoảng cách... 2,00 Gọi H là trung điểm của AB ABSH .Do )()( ABCSAB nên )(ABCSH 0,25

Do SAB là tam giác đều cạnh a nên 2

3aSH . 222 aABBCAC 0,5

Thể tích khối chóp S.ABC là 12

6..

6

1.

3

1 3

.

aACABSHSSHV ABCABCS 0,25

Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại N )//(// BMNACMNAC Ta có )(SABACABAC mà )()()(// BMNSABSABMNACMN

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

45

Từ A kẻ ( )AK BN K BN ( )AK BMN

( , ( )) ( , )AK d A BMN d AC BM 0,25

Do 2 2

3 3

MC AN

SC SA

2 22 2 3 3

3 3 4 6ABN SAB

a aS S

0,25

22 2 2 0 7

2 . cos 609

aBN AN AB AN AB

7

3

aBN ,

2 21

7 ABNS a

AKBN

.

Vậy 21

( , )7

a

d AC BM

0,25

7 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác... 2,00 (T) có tâm )2;1(I . Gọi Cx là tiếp tuyến của (T) tại

C. Ta có 1

2HCx ABC SđAC (1)

0,25

Do 090AHB AKB nên AHKB là tứ giác nội

tiếp ABC KHC (cùng bù với gócAHK ) (2)

Từ (1) và (2) ta có // HCx KHC HK Cx . Mà HKICCxIC .

0,25

Do đó IC có vectơ pháp tuyến là )4;3(KH , IC có phương trình 01143 yx

0,25

Do C là giao của IC và (T) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ

25)2()1(

0114322 yx

yx

5

3;

1

5

y

x

y

x. Do 0Cx nên )1;5( C 0,25

Đường thẳng AC đi qua C và có vectơ chỉ phương là )6;3(CH nên AC có phương trình 092 yx .

0,25

Do A là giao của AC và (T) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

25)2()1(

09222 yx

yx

1

5;

7

1

y

x

y

x(loại). Do đó )7;1(A 0,25

Đường thẳng BC đi qua C và có vectơ chỉ phương là )2;6(CK nên BC có phương trình 023 yx .

0,25

Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

25)2()1(

02322 yx

yx

1

5,

2

4

y

x

y

x(loại). Do đó )2;4(B

Vậy )7;1(A ; )2;4(B ; )1;5( C .

0,25

8 Giải hệ phương trình... 2,00

Ta có hệ phương trình

)2(3121

)1(73322

22

yxyxxyy

xyyx

Điều kiện: xyxy 3,0,1 2 .

0)()12(1)2( 222 yxyyxyyxy

0,25

A

B C

H

K

I

x

S

M

C

N

A

H

B

K

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

46

0)1()1(1

1 22

xyyxyxy

xy

0121

1)1(

xy

xyxy

1 xy

0,1,012

1

1 Do xyxy

xy

0,5

+) Thế y vào (1) ta được 3711 22 xxxx (3)

Xét 11)( 22 xxxxxf ,

3)12(

12

3)12(

12

12

12

12

12)('

2222

x

x

x

x

xx

x

xx

xxf

0,5

Xét 2 2 3

3( ) , '( ) 0,

3 ( 3)

t

g t g t tt t

suy ra g(t) đồng biến trên

Do 1212 xx nên )12()12( xgxg suy ra

'( ) (2 1) (2 1) 0,f x g x g x x .

0,5

Do đó )(xf đồng biến trên , nên 32)2()()3( yxfxf

Vậy hệ đã cho có nghiệm )3;2();( yx 0,25

9 Chứng minh bất đẳng thức... 2,00 Giả sử zyx , do 0xyz nên 0x .

Do 2 2 2 29 9 [ 3;0].x y z x x Ta có 22

222zyzy

yz

, do đó 0,25

2.)(222)(2

2222 zy

xzyxxyzzyx

)9(222

522

)9()9(222 2

322 x

xxxxxx

0,5

Xét )9(222

52

)( 23

xxx

xf với x ]0;3[2

2

9

22

2

5

2

3)('

x

xxxf

xxxx

xxxf 24)35(90

9

22

2

5

2

30)(' 22

2

2

2222 32)35)(9( xxx (Điều kiện 035 2 x )

3

25,3,102253271119 222246 xxxxxx

Do 3

52 x nên 1,112 xxx (loại).

0,5

26)0(,10)1(,6)3( fff suy ra 10)1()(max]0;3[

fxf 0,25

Như vậy 10)()(2 xfxyzzyx

Dấu bằng xảy ra khi

2 2

11

22( ) 4

xx

y zy z

y z y z

Vậy 10)(2 xyzzyx . Đẳng thức xảy ra khi (x; y; z) là một hoán vị của (-1; 2; 2)

0,5

----------------***Hết***----------------

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

47

SỞ GD - ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KSCL THEO TỔ HỢP CÁC MÔN TUYỂN SINH ĐH,CĐ LẦN 1, NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x (m )x (m m)x 3 2 23 2 2 ( )1 , với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 khi m 0 .

b) Tìm m để hàm số ( )1 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x x (x x ) 1 2 1 26 4 0 .

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x sin x sin2x 0 . Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình log x log x log x 3

1 822

1 3 1 .

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Trong một hộp đựng 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp trên. Tìm

xác suất để 4 viên bi được lấy ra có cả bi xanh và bi đỏ.

b) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức x x x x 5 1021 2 1 3 .

Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, aSD 17

2, hình

chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung

điểm của đoạn AD.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo a.

Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D( ; )4 5 .

Điểm M là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình x y8 10 0 . Điểm B

nằm trên đường thẳng x y2 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C, biết rằng điểm C có tung độ

y 2 .

Câu 7 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình xy y y x y x

(x, y )( y) x y (x ) ( x y ) y

2 3 1 3 5

1 2 2 1 2 1 .

Câu 8 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Pa b ca b bc b (a c)

2 2

3 8 12 8 2 2 3

.

----------- Hết ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:..............................

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

48

SỞ GD - ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ KSCL THEO TỔ HỢP CÁC MÔN TUYỂN SINH ĐH, CĐ

LẦN 1, NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) Khi m 0 ta có y x x 3 23 2 * Tập xác định D * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' x x 23 6 , y ' x 0 0 hoặc x 2

0,25

- Khoảng đồng biến: ( ; )0 2 ; các khoảng nghịch biến ( ; ) 0 và ( ; )2 - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại CTx ; y 0 2 ; đạt cực đại tại CDx ; y 2 2 - Giới hạn:

x xlim y ; lim y

0,25

- Bảng biến thiên: x 0 2 y’ - 0 + 0 - y

2 -2

.

0,25

* Đồ thị:

0,25

b. (1,0 điểm) Ta có y ' x (m )x (m m) 2 23 2 3 2 . Hàm số có hai điểm cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt

0,25

m m 2 3 2 3 20 9 2 0

2 2 (*)

0,25

Ta có m m (m )x x ; x x

2

1 2 1 22 2 3

3 3; x x (x x ) m m 2

1 2 1 26 4 0 10 24 0 0,25

1

m 2 hoặc m 12 (loại). Vậy m 2 0,25

x

y

2

2

-2

O 1

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

49

(1,0 điểm) Pt đã cho 2cos2x.sinx 2sin x.cosx 0 0,25 22sinx(2cos x cosx 1)=0

0,25 s inx 0 x k cos x x k 1 2

0,25

2

cos x x k

1 22 3

Vậy, phương trình có các nghiệm là: x k ; x k2 (k )

3 .

0,25

(1,0 điểm) Điều kiện: x 1 3 0,25 Pt đã cho log (x ) log ( x) log (x ) 2 2 21 3 1 0,25 (x )( x) x 1 3 1 x x 2 4 0 0,25

3

x

1 172

hoặc x

1 172

(loại)

Vậy, phương trình có nghiệm là x

1 172

0,25

(1,0 điểm) a) Số cách lấy ra 4 viên bi từ hộp là: C 4

14 1001 4 viên bi lấy ra có cả xanh và đỏ, có 3 khả năng: 1viên đỏ + 3viên xanh; 2 viên đỏ + 2 viên xanh; 3 viên đỏ + 1viên xanh

0,25

Số cách lấy ra 4 viên bi có cả xanh và đỏ là: C .C C .C C .C 1 3 2 2 3 18 6 8 6 8 6 916

Vậy, xác suất cần tính P 916

1001.

0,25

b) Hệ số của 5x trong khai triển của 5x(1 2x) là 4 45( 2) .C

Hệ số của 5x trong khai triển của 2 10x (1 3x) là 3 3103 .C

0,25

4

Hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của 5 2 10x(1 2x) x (1 3x) là 4 45( 2) .C + 3 3

103 .C

Vậy hệ số của 5x trong khai triển là 4 45( 2) .C + 3 3

103 .C 3320 .

0,25

(2,0 điểm) 5 a)SH (ABCD) SH HD . Ta có SH SD HD SD (AH AD ) 2 2 2 2 2

SH a 3

S.ABCD ABCDaV SH.S

31 33 3

b) HK//BD HK//(SBD) d(HK,SD) d(HK,(SBD)) d(H,(SBD)) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên BD và F là hình chiếu vuông góc của H trên SE. Ta có BD HE và BD SH nên BD (SHE) BD HF mà HF SE

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

K

H

CB

A D

S

E

F

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

50

do đó HF (SBD) . Suy ra d(H,(SBD)) HF

Ta có aHE HB.sin EBH 2

4

HS.HE aHFHS HE

2 2

35

. Vậy, ad(HK,SD) 35

0,25 0,25

(1,0 điểm) 6 Gọ H, K là hình chiếu vuông góc của B, D lên CM

.

DK( )

2 2

4 8 5 10 26651 8

Gọi I, G là giao điểm của BD với AC và CM G là trọng

tâm ACD ; BH BGDG GI BG DGDK DG

2 2 2

BH 5265

; b

B(b; b ) BH b

17 18 522 1 17 18 52

65 65

b

b (loai)

27017

(loại vì điểm B và D cùng phía với đường thẳng CM). Do đó ta có B( ; ) I( ; ) 2 5 3 0 C( c ; c)8 10 CD.CB ( c).( c) ( c)( c) 14 8 12 8 5 5 0

c c 265 208 143 0

c

c (loaido c )

1143 265

C( ; ) A( ; ) 2 1 8 1 .

Vậy A( ; ); B( ; ); C( ; ) 8 1 2 5 2 1

0,25 0,25 0,25 0,25

(1,0 điểm)

Điều kiện:

yx y x

y x yy x

02 1 5

1 2 103 5

(*)

0,25

Ta có phương trình (2) ( y)( x y ) ( x y )( y) 1 2 1 2 1 1 0

( y)( x y )( )x y y

1 11 2 1 0

2 1 1 (3)

Do x y y

1 1 0

2 1 1và y 1 0 nên phương trình (3) y x 2 1

0,25

Với y x 2 1. Phương trình (1) trở thành x x x x 22 4 2 5 1 (đk: x 2 4 ) Pt ( x ) ( x ) ( x x ) 22 1 4 1 2 5 3 0

(x )( x )x x

1 13 2 1 02 1 4 1

x

x ( )x x

31 1 2 1 42 1 4 1

0,25

7

Xét f (x)x x

1 12 1 4 1

và g(x) x 2 1 với x ; 2 4 , ta có g(x) g( ) 2 5

M

C

A

HD

B

K

G

I

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

51

f '(x) , x ;x ( x ) x ( x )

2 2

1 1 0 2 42 2 2 1 2 4 4 1

f(x) nghịch biến

f (x) f ( )

12 12 1

. Do đó f (x) g(x), x ; 2 4 hay phương trình (4) vô nghiệm

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là ( ; )3 5 .

0,25

(1,0 điểm)

Ta có bc b. c b c 8 2 2 2 . Suy ra (a b c)a b bc

3 322 8

0,25

Mặt khác (a c) b (a c) b 2 22 2 . Suy ra a b c(a c) b

2 2

8 833 2 2

0,25

Do đó P(a b c) a b c a b c (a b c) a b c

3 8 1 1 8

2 3 2 3 (1)

Đặt a b c t, t 0 . Xét hàm số f (t)t t

1 82 3

với t 0 .

Ta có (t )( t )f '(t)t ( t) t ( t)

2 2 2 2

1 8 3 1 5 32 3 2 3

, suy ra f '(t) t 0 1

Bảng biến thiên: t 0 1 f’(t) - 0 + f(t)

32

0,25

8

Từ bảng biến thiên suy ra f (t) f ( ) 312

với mọi t 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có P 32

. Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c a cb c

bb a c

1142

12

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 32

, đạt được khi a c , b 1 14 2

.

0,25

----------- Hết -----------

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

52

1

Câu 1 ( 2 điểm ) Cho hàm số y = x3 −3x2 + 2 1( )

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1( )

b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1( ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d( ) : x + 9y−1= 0 .

Câu 2 ( 1 điểm ) Giải phương trình: log32 x − log 3 9x2( )−1= 0

Câu 3 ( 1 điểm ) Tìm nguyên hàm sau: F x( ) = sin x1+ cos x∫ dx

Câu 4 ( 1 điểm ) a. Tìm n ∈ N biết Cn+1

1 +3Cn+22 =Cn+1

3

b. Cho 100 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 100, chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 2.

Câu 5 ( 1 điểm ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A 0;1;2( ) , B 0;2;1( ) , C −2;2;3( ) . Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác và tính đường cao AH của nó. Câu 6 ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD , góc giữa SBvà mặt phẳng đáy ABCD( ) là 450 .

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a Câu 7 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn C( ) tâm I xI > 0( ) , C( ) đi qua điểm A −2;3( ) và tiếp xúc với đường thẳng d1( ) : x + y+ 4 = 0 tại điểm B . C( ) cắt d2( ) : 3x + 4y−16 = 0 tại C và D sao cho ABCD là hình thang có hai đáy là AD và BC , hai đường chéo AC , BD vuông góc với nhau. Tìm toạ độ các điểm B , C , D

Câu 8 ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình: x2 + xy+ 2y2 + y2 + xy+ 2x2 = 2 x + y( )8y− 6( ) x −1 = 2+ y− 2( ) y+ 4 x − 2 +3( )

"#$

%$

Câu 9 ( 1 điểm ) Cho x , y là các số thực không âm thoả mãn:

2x2 +3xy+ 4y2 + 2y2 +3xy+ 4x2 −3 x + y( )2 ≤ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P = 2 x3 + y3( )+ 2 x2 + y2( )− xy+ x2 +1+ y2 +1

---------------- Hết ---------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh: .....................................

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I TỔ TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 MÔN THI: TOÁN 12

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

53

2

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I TỔ TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề


1 2 điểm

a. Khảo sát đủ các bước, đồ thị vẽ dễ nhìn chấm điểm tối đa 1,0

b. Gọi M a;a3 −3a2 + 2( ) là tiếp điểm, do tiếp tuyến vuông góc với d( ) . Nên

có: y ' a( ) = 9

0,25

Hay 3a2 − 6a− 9 = 0 ⇔ a = −1 hoặc a = 3 0,25 Với a = −1 PTTT là: y = 9x + 7 0,25 Vớia = 3 PTTT là: y = 9x − 25 0,25

2 1 điểm

ĐK: x > 0 0,25 PT đã cho tương đương với: log3

2 x − 4 log3 x − 5= 0 0,25

Hay: log3 x = −1log3 x = 5"

#$ 0,25

Vậy PT có nghiệm: x = 13

hoặc x = 35 0,25

3 1 điểm

Ta có F x( ) = sin x1+ cos x∫ dx = −

d 1+ cos x( )1+ cos x∫ = − ln 1+ cos x( )+C 1,00

4 1 điểm

a. 0.5 điểm ĐK: n ∈ N,n ≥ 2 0,25

Từ đề ra ta có: n+1+3n+ 2( )!2!n!

=n+1( )!

3! n− 2( )! ⇔ n2 −10n− 24 = 0 0,25

Giải ra ta được: n =12 hoặc n = −2 0,25 Đối chiếu ĐK ta được n =12 0,25 b. 0.5 điểm Số phần tử của không gian mẫu là: C100

3 . Do tổng 3 số được chọn chia hết cho 2 nên ta có các trường hợp sau:

0,25

+ Cả 3 số đều chẵn, số cách chọn là: C503 0,25

+ Trong 3 số có một số chẵn, hai số lẽ số cách chọn là: C501 C50

2 0,25

Vậy xác suất tính được là: C503 +C50

1 C502

C1003 =

12

0,25

5 1 điểm Ta có AB

! "!!0;1;−1( ) , AC

! "!!−2;1;1( ) . Do AB

! "!!≠ kAC! "!!

nên ABC là một tam giác 0,5

Nhận thấy AB! "!!.AC! "!!

= 0 nên ΔABC vuông tại A .

Vậy 1AH 2 =

1AB2

+1AC2 =

23

. Hay AH =32

0,5

6 2 điểm

a. 0.5 điểm Do SH ⊥ ABCD( ) nên góc giữa SB và mặt phẳng đáy ABCD( ) là góc

∠SBH = 450 . Ta có ΔSBH vuông cân tại H vậy SH = BH = a 2 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

54

3

Ta có VS.ABCD =13SH.dt ABCD( ) = 2a

3 23

(đvtt) 0,25

a. 0.5 điểm Gọi K là trung điểm cử BC , ta có BH / /DK⇒ BH / / SDK( ) suy ra

d BH;SD( ) = d BH; SDK( )( ) = d H; SDK( )( ) 0,25

Tứ diện SHDK vuông tại H nên 1d 2 H; SDK( )( )

=1HS2

+1

HK 2 +1

HD2 =52a2

Vậyd BH;SD( ) = d H; SDK( )( ) = a 25

0,25

7 1 điểm Do ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn nên ABCD là hình thang cân. Do

hai đường chéo vuông góc với nhau tại K nên ΔBKC vuông cân tại K, suy ra ∠ACB = 450 ⇒ ∠AIB = 900 (góc ở tâm cùng chắn cung AB) hay IB ⊥ AI (1)

Lại do d1( ) tiếp xúc C( ) tại B nên IB ⊥ d1( ) (2). Từ (1), (2) suy ta

IB = d A / d1( ) = 52

, ( AI / / d1( ) )

0,25

Ta có PT AI : x + y−1= 0 , do I ∈ AI⇒ I a;1− a( ) , IA = 52⇔

a = 12

a = − 92

#

$

%%%%

Vậy I 12; 12

!

"#

$

%& do xI > 0( )

0,25

PT đường tròn C( ) : x − 12

"

#$

%

&'2

+ y− 12

"

#$

%

&'2

=252

Xét hệ x − 12

"

#$

%

&'2

+ y− 12

"

#$

%

&'2

=252

3x + 4y−16 = 0

(

)*

+*

⇔ x; y( ) = 0;4( ) hoặc x; y( ) = 4;1( )

B là hình chiếu của I lên d1( ) tính được B −2;−2( )

0,25

Do AD / /BC nên B −2;−2( ) , C 4;1( ) , D 0;4( ) 0,25 8

1 điểm ĐK: x; y ≥ 2 0,25

PT(1) ⇔ xy!

"#$

%&

2

+xy+ 2 + 2 x

y!

"#$

%&

2

+xy+1 = 2 x

y+1

!

"#

$

%& , đặt x

y= t;t > 0 ta được

PT t2 + t + 2 + 2t2 + t +1 = 2 t +1( ) (3) với t > 0

0,25

Bình phương hai vế của (3) giải ra ta được x = y 0,25 Thay x = y vào (2) ta được 8x − 6( ) x −1 = 2+ x − 2( ) x + 4 x − 2 +3( ) ⇔

4x − 4 4x − 4( )2+1"

#$%&'= 2+ x − 2( ) 2+ x − 2( )

2+1"

#$%&'

(4);

Xét hàm số f t( ) = t3 + t luôn đồng biến trên R nên

(4) ⇔ 4x − 4 = 2+ x − 2 (5)

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

55

4

Giải (5) ta được x = 2 hoặc x = 349

. Vậy hệ có 2 nghiệm

x; y( ) = 2;2( ) hoặc 349; 349

!

"#

$

%&

0,25

9

1 điểm

Ta có 2x2 +3xy+ 4y2 + 2y2 +3xy+ 4x2 =

2 x + 34y

!

"#

$

%&

!

"#

$

%&

2

+238y

!

"#

$

%&

2

+ 2 y+ 34x

!

"#

$

%&

!

"#

$

%&

2

+238x

!

"#

$

%&

2

≥ 3 x + y = 3 x + y( )

dấu bằng xảy ra khi x = y ≥ 0 . Đặt x + y = t ta có t2 − t ≥ 0t ≥ 0

#$%

⇔t = 0t ≥1'

() (*)

0,25

Ta có P = 2t3 + 2t2 − xy 6t + 5( )+ x2 +1+ y2 +1 ,

P ≥ 2t3 + 2t2 − t2

46t + 5( )+ t2 + 4⇔ 4P ≥ 2t3 +3t2 + 4 t2 + 4 = f t( )

0,25

Xét hàm số f t( ) = 2t3 +3t2 + 4 t2 + 4 trên (*), f ' t( ) = 6t2 + 6t + 4tt2 + 4

≥ 0

với mọi t thoả mãn (*). Suy ra f t( ) ≥ f 0( ); f 1( ) = f 0( ) = 8 0,25

Vậy 4P ≥ f t( ) ≥ f 0( ) = 8 . Hay minP = 2 đạt được khi x = y ≥ 0x + y = 0"#$

⇔ x = y = 0 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

56

1

Së gi¸o dôc - ®μo t¹o h¶I phßng ®Ò thi thö THPT QuỐC GIA Tr−êng thpt trÇn nguyªn h·n M«n to¸n líp 12 - n¨m häc 2014 - 2015

Thêi gian lμm bμi : 180phót (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm)

Cho hàm số 4 22 1y x mx m (1) , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m . 2) Tìm những giá trị của m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm

số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Câu 2 (2.0điểm) Giải phương trình: sin2x + cosx- 2 sin x4

-1= 0.

Câu 3 (2.0 điểm) Giải bất phương trình 3 3 2 28 5x x x

Câu 4(2.0 điểm) Giải phương trình: 9 27

2 12 0

log (9 ) logx x

Câu 5(2.0 điểm) 1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn

n

3

4

2x

x

, ( 0)x

Biết số nguyên dương n thỏa mãn 3 2 18 49n n nA C C

2) Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc Câu 6 (2.0điểm) Cho hình lăng trụ đứng ' ' '.ABC A B C có tam giác ABC vuông tại C .

Biết AC a , BC 3a ; mặt phẳng 'ABC hợp với mặt phẳng ABC góc 060 .

1) Tính thể tích khối lăng trụ ' ' '.ABC A B C theo a . 2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C’.ABC Câu 7 (2.0điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết điểm

8;4B ,điểm 82 6

;13 13

M

thuộc đường thẳng AC , 2CD AB và phương trình : 2 0AD x y . Tìm

tọa độ các điểm A, C, D.

Câu 8: (2 .0 điểm) Giải hệ phương trình : 2 21 . 1 1

6 2 1 4 6 1

x x y y

x x xy xy x

( , )x y R .

Câu 9 (2.0 điểm) Cho các số dương ,a ,b c thỏa mãn điều kiện 3.ab bc ca

Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1 1.

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc

-------------------HÕt ------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh ............................................................ ; Số báo danh................................................

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

57

2

®¸p ¸n vμ biÓu ®iÓm Thi thö ®¹i häc lÇn 2

M«n to¸n líp 12- 2014-2015

Câu H−íng dÉn gi¶i chi tiÕt §iÓm

Câu 1 2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1.(2 điểm). Khi 1m hàm số trở thành: 4 22y x x

TXĐ: D= CBT. Giới hạn

xlim , lim

x

Sự biến thiên: ' 3 2 04 4 0 4 1 0

1

xy x x x x

x

BBT

x 1 0 1 y’ 0 + 0 0 +

y

-1

0

-1

Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1;

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 .

Điểm cực đại 0;0 , cực tiểu 1; 1 , 1; 1 .

Đồ thị: Giao với Oy tại 0;0 , đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

Đồ thị

0.25

0.25

0.25

0.5

0.25

0.5

2. (2 điểm) ' 3 2

2

04 4 4 0

xy x mx x x m

x m

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị pt ' 0y có ba nghiệm phân biệt và 'y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó 0m

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

2 20; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m

0.25

0.25 0.25

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

0 -5 5 10

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

58

3

21.

2ABC B A C BS y y x x m m ;

4 , 2AB AC m m BC m

4

2

3

2. .1 1

4 4

1

2 1 0 5 1

2

ABC

m m mAB AC BCR

S m m

m

m mm

Kl : m = 1 hoặc m = 5 1

2

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

Câu 2(2 điểm ) Pt đã cho tương đương:

sin2 cos (sin cos ) 1 0

2cos (sin 1) sin 1 0

x x x x

x x x

sin 1 2cos 1 0x x

sin 1x hoặc 2

1cos x

0.25

0.25

0.25

0.25

Câu 2

sin 1 2 .2

x x k

1os 2

2 3 c x x k

.

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là: 22

x k ;

23

x k ( k Z )

0.25 0.25 0.25 0.25

Câu 3 1 Câu 3 (2điểm )

3 3 2 28 5x x x

(I)2

13 3 5 2 28

( 3 3 5) 2 28

xx x x

x x x

2

1

3 12 15 13

x

x x x

0.25 0.25

0.25 0.25

TH 1 1

1313 0

xx

x

TH 22 2

1 134 13

3 12 15 (13 )

xx

x x x

Kết luận bpt có nghiệm 4x

0.25 0.25 0.25 0.25

Câu 4 (2điểm)

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

59

4

Điều kiện: .9

1,1,0 xxx Khi đó

9 27

2 12 0

log 9 logx x

3 3

2 12 0

1 1log 2 log

2 6x x

3 3

2 31 0

log 2 logx x

0.25

0.25

0.25

0.25

Câu 4

Đặt 3t = log x , ta được 2 3

1 02t t

2

22

03

6 0

tt

tt

t t

* 32 log 2 9t x x

* 3

13 log 3

27t x x . Vậy nghiệm của phương trình là 9x và

1

27x .

0.25 0.25

0.25

0.25

Câu 5

Câu 5 (2điểm)3 2 18 49, ( , 3)n n nA C C n N n

2

3 2

! !(1) 8 49

( 3)! 2!.( 2)!

7 7 49 0

7 (tm)

n nn

n n

n n n

n

Xét khai triển

7

3

4

2x

x

Số hạng tổng quát là 28 77

3 127 74

22

k kk kk kC x C xx

Vì cần tìm số hạng không chứa x nên 4k

Vậy số hạng không chứa x là 4 472 C =560

0.25 0.25 0.25 0.25

Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi có 4845420 C đề thi.

Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc, có 2025. 210

210 CC trường

hợp. Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc, có 1200. 1

10310 CC trường

hợp. Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc, có 2104

10 C trường hợp.

Do đó, thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc, có 343521012002025 trường hợp

Vậy xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc là 3435 229

4845 323 .

0.25 0.25 0.25 0.25

Câu 6 1

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

60

5

ABCS =21 a 3

CA.CB2 2

Từ giả thiết có ' ' '.ABC A B CV = ABCS .CC';

Gọi H là hình chiếu của D trên AB

0

AB (CC'H)

((ABC'), (ABC)) (CH, HC') CHC' 60

Xét tam giác vuông ABC có CH là chiều cao

nên 2 2 2 2 2 2CH CA CB 3a a 3a

1 1 1 1 1 4 a 3CH

2

Xét tam giác vuông CHC’ có

' ' '

2 30

ABC.A BC

3a a 3 3a a 3 3CC' HC tan 60 V .

2 2 2 4 ( đvtt)

0.25

0.25

0.25

0.25

Gọi M là trung điểm của AB I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C’.ABC Ta có IA =IB = IC = IC’ I thuộc d với d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( d đi qua O và vuông góc với (ABC) Và I thuộc mặt trung trực của CC’

Tam giác IMC có MC = a , CC ' 3a

IM2 4

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C’.ABC là 2 2 5aR IC IM CM

4

0.25

0.25

0.25

0.25

Câu 7 1

+ Tìm tọa độ đỉnh A, C, D +) Phương trình trình AB: 12 0x y , vì A là giao điểm của AB và AD nên tọa độ

A thỏa mãn hệ phương trình 12 5

5;72 7

x y xA

x y y

0.25

0.25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

61

6

+) Có

( )

17 85AM ;

13 13 AM : 5x y 32 0

A 5;7

ì æ öï ÷ï ç= - ÷ï çï ÷çè ø + - =íïïïïî

+) C thuộc AM ta có C( a, 32- 5a ) +) Lại có

( , ) 2 6 2

5 32 26 2

2

7

3

d C AD AB

a a

a

a

với a = 3 loại vì B, C nằm về cùng phía đối với đường thẳng AD +) Từ đó ta được : C(7;-3)

+) Ta lại có D thuộc AD và 2DC AB

suy ra D(1;3) +) Vậy A(5;7), C(7; -3), D(1; 3)

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

Câu 8

1 1

221 1 1x x y y (3)

+ Xét 2 1 ,f t t t t R

Khi đó : 2

2 2

1' 0

1 1

t tt tf t t R

t t

. Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R

Suy ra : 3 x y

0.25

0.25

0.25

0.25

Thế x = - y vào (2) 2 22

2

2

2 6 1 325... 2 6 1

2 4 2 6 1 2

x x xx xx x

x x x

Với 22 6 1 3 ... 1; 1x x x x y

+ 2 3 11 3 112 6 1 2 ... ;

2 2x x x x y

Kết luận pt có nghiệm 1

1

x

y

hoặc

3 11

2

3 11

2

x

y

0.25

0.25

0.25

0.25

2 1

Câu 9

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 233 3 ( ) 1ab bc ca abc abc .

Suy ra:

2

2

21 ( ) ( ) (

1 1

1 ( )

3

(1 .3

)

)

a b c abc a b c a ab bc c

a

a

a b c

a

0.25

0.25

0.25

x

y

M

H

D

B

C

A

O

1

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

62

7

Tương tự ta có: 2

2

1 1(2)

1 ( ) 3

1 1, (3).1 ( ) 3

b c a b

c a b c

0.25

0.25

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1( )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3

ab bc ca

a b c b c a c a b c b c abc abc

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1, 3 1, ( , , 0).abc ab bc ca a b c a b c

0.5 0.25

Chó ý : - Häc sinh lμm c¸ch kh¸c ®óng cho ®iÓm tèi ®a tõng phÇn

- Cã g× ch−a ®óng xin c¸c thÇy c« söa dïm - Xin c¶m ¬n Ng−êi ra ®Ò : Mai ThÞ Th×n

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

63

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………… Số báo danh: ………….

SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số 푦 = −푥 + 3푥 − 2. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng

푑:푦 = −푥 − 2. Câu 2 (1 điểm).

1. Giải phương trình: sin 2푥 + 2cos 푥 − sin 푥 − 1 = 0 2. Giải phương trình: 3 − 4.3 + 27 = 0

Câu 3 (1 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 3 3 2y x x và 2y x

Câu 4 (1 điểm). 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa

mãn: |2푖푧 − 1| = √5. 2. Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm

thẻ trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết cho 3.

Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp 푆.퐴퐵퐶 có đáy là tam giác 퐴퐵퐶 đều cạnh bằng 3푎. Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mp(퐴퐵퐶) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 퐴퐵 = 3.퐴퐻; góc tạo bởi đường thẳng 푆퐶 và mp(퐴퐵퐶) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp 푆.퐴퐵퐶 và khoảng cách giữa hai đường thẳng 푆퐴 và 퐵퐶.

Câu 6 (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ 푂푥푦 cho hình thang cân 퐴퐵퐶퐷 có hai đáy là 퐴퐷 và BC; biết 퐴퐵 = 퐵퐶, 퐴퐷 = 7. Đường chéo AC có phương trình 푥 − 3푦 − 3 = 0; điểm 푀(−2;−5) thuộc đường thẳng 퐴퐷. Viết phương trình đường thẳng 퐶퐷 biết rằng đỉnh 퐵(1; 1).

Câu 7 (1 điểm). Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (푃):푥 − 푦 + 푧 + 2 = 0 và điểm 퐴(1;−1; 2). Tìm tọa độ điểm 퐴′ đối xứng với điểm 퐴 qua mặt phẳng (푃). Viết phương trình mặt cầu đường kính 퐴퐴′. Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình:

22 2

2 2 3 2

1( 1) 2 1

4 ( 3 2)( 2 1)

yx yx

y y x x x

Câu 9 (1 điểm). Cho các số thực dương 푥, 푦, 푧 thỏa mãn 푥푦 ≥ 1, 푧 ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: 3 2

1 1 3( 1)x y zP

y x xy

.

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 - NĂM HỌC 2014-2015

MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút

HẾT

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

- Thí sinh không được dùng tài liệu

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

64

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm 1.1 (1đ)

- Khảo sát và vẽ đồ thị 1/ TXĐ : 퐷 = ℝ 2/ Sự biến thiên:

Giới hạn: lim→±

푦 = lim→±

(−푥 + 3푥 − 2) = ∓∞

Chiều biến thiên: 푦 = −3푥 + 3⟹푦 = 0 ⟺푥 = ±1 Bảng biến thiên

x -1 1 y’ − 0 + 0 −

y 0 -4 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (1; +∞) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1) Hàm số đạt cực tiểu tại 푥 = −1,푦 = −4

Hàm số đạt cực đại tại 푥 = 1, 푦 Đ = 0

3/ Đồ thị: - Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;−2), cắt trục Ox tại các điểm (−2; 0) và (1; 0). - Đồ thị hàm số nhận điểm uốn

(0;−2) làm tâm đối xứng.

0,25đ

0,5đ

\

0,25đ

1.1 (1đ)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng 풅:풚 = −풙 − ퟐ. - Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

−푥 + 3푥 − 2 = −푥 − 2 ⟺푥 − 4푥 = 0 ⟺ 푥 = 0푥 = ±2

Suy ra các tiếp điểm là: 퐴(0;−2),퐵(2;−4),퐶(−2; 0) Ta có: 푦 = −3푥 + 3 Suy ra các tiếp tuyến là: 푦 = 3푥 − 2 푦 = −9푥 + 14 푦 = −9푥 + 18

0,25đ

0,25đ

0,5đ

2.1 (0,5đ)

Giải phương trình: 퐬퐢퐧 ퟐ풙 + ퟐ퐜퐨퐬 풙 − 퐬퐢퐧풙 − ퟏ = ퟎ sin 2푥 + 2cos푥 − sin 푥 − 1 = 0 ⟺ 2 sin 푥. cos 푥 + 2 cos푥 − sin 푥 − 1 = 0 ⟺ 2 cos푥 . (sin 푥 + 1)− (sin 푥 + 1) = 0 ⟺ (sin 푥 + 1)(2 cos 푥 − 1) = 0

⟺sin 푥 = −1cos 푥 = ⟺

푥 = − + 푘2휋

푥 = ± + 푘2휋 (푘 ∈ ℤ)

0,25đ

0,25đ

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

65

2.2 (0,5đ)

Giải phương trình: ퟑퟒ풙 ퟖ − ퟒ.ퟑퟐ풙 ퟓ + ퟐퟕ = ퟎ 3 − 4.3 + 27 = 0 ⟺ 3 ( ) − 12.3 + 27 = 0 Đặt 푡 = 3 , (푡 > 0),tađượcphươngtrình: 푡 − 12푡 + 27 = 0

⟺ 푡 = 3푡 = 9 ⟺

3 = 33 = 9

⟺ 2푥 + 4 = 12푥 + 4 = 2 ⟺

푥 = −32

푥 = −1

Vậyphươngtrình có 2 nghiệm là:

푥 = −32 ; 푥 = −1

0,25đ

0,25đ

3. (1đ)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 3 3 2y x x và 2y x

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số đã cho:

−푥 + 3푥 − 2 = −푥 − 2 ⟺푥 − 4푥 = 0 ⟺ 푥 = 0푥 = ±2

Suy ra diện tích của hình phẳng cần tính là:

푆 = |(−푥 + 3푥 − 2)— (−푥 − 2)| .푑푥

+ |(−푥 + 3푥 − 2)— (−푥 − 2)| . 푑푥

= |푥 − 4푥|푑푥 + |−푥 + 4푥|푑푥

= (푥 − 4푥)푑푥 + (−푥 + 4푥)푑푥

=푥4 − 2푥 +

−푥4 + 2푥

= 4 + 4 = 8 Vậy 푆 = 8(đ푣푑푡)

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

4.1 (0,5đ)

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: |ퟐ풊풛 − ퟏ| = √ퟓ. Giả sử 푧 = 푥 + 푦푖 , (푥, 푦 ∈ ℝ) Suy ra:

|2푖푧 − 1| = √5 ⟺ |2푖(푥 + 푦푖)− 1| = √5 ⟺ |−2푦 − 1− 2푥푖| = √5 ⟺ (−2푦 − 1) + (−2푥) = √5 ⟺ 4푥 + 4푦 + 4푦 + 1 = √5 ⟺ 푥 + 푦 + 푦 − 1 = 0

⟺ 푥 + 푦 +12 =

54

Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức đã cho là một

đường tròn có tâm 퐼 0;− và bán kính 푅 = √.

0,25đ

0,25đ

4.2 (0,5đ)

Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết cho 3.

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

66

Giải:

- Số cách lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp là: 퐶 . - Trong 40 tấm thẻ đó có :

+ 1 = 13 tấm thẻ mang số chia hết cho 3

+ 1 = 14 tấm thẻ mang số chia 3 dư 1

+ 1 = 13 tấm thẻ mang số chia 3 dư 2 - Để tổng 3 số ghi trên 3 tấm thẻ là số chia hết cho 3 thì phải xảy ra các trường hợp sau:

i. Cả 3 số đều chia hết cho 3: có 퐶 cách lấy ii. Cả 3 số đều chia 3 dư 1: có 퐶 cách lấy

iii. Cả 3 số đều chia 3 dư 2: có 퐶 cách lấy iv. Có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2:

có 퐶 .퐶 .퐶 cách lấy. - Suy ra xác suất cần tính là:

푃 =퐶 + 퐶 + 퐶 + 퐶 퐶 퐶

퐶=

127380 ≈ 0,33

0,25đ

0,25đ

5. (1đ)

Cho hình chóp 푺.푨푩푪 có đáy là tam giác 푨푩푪 đều cạnh bằng ퟑ풂. Chân đường cao hạ từ đỉnh 푺lên mp(푨푩푪) là điểm 푯thuộc cạnh 푨푩sao cho 푨푩 = ퟑ.푨푯; góc tạo bởi đường thẳng 푺푪và mp(푨푩푪) bằng ퟔퟎퟎ. Tính theo 풂thể tích của khối chóp 푺.푨푩푪 và khoảng cách giữa hai đường thẳng 푺푨 và 푩푪.

+ Nhận thấy 푆퐻 ⊥ (퐴퐵퐶) ⇒ 퐻퐶 là hình chiếu của 푆퐶 trên mặt phẳng (ABC)

⇒ 푆퐶퐻 = 60 là góc giữa SC và mp(ABC).

Ta có: 퐻퐶 = 퐴퐶 + 퐴퐻 − 2.퐴퐶.퐴퐻. cos 60 = 9푎 + 푎 − 2.3푎. 푎. = 7푎 ⇒ 퐻퐶 = 푎√7 ⇒ 푆퐻 = 퐻퐶 . tan 60 = 푎.√21

Lại có: 푆 = √

Nên: 푉 . = 푆퐻. 푆 = .푎√21. √ = √

0,25đ

0,25đ

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

67

+ Dựng 퐴퐷 = 퐶퐵⇒ 퐴퐷//퐵퐶 ⇒ 퐵퐶//푚푝(푆퐴퐷)

⟹ 푑(푆퐴;퐵퐶) = 푑 퐵퐶; (푆퐴퐷) = 푑 퐵; (푆퐴퐷) = 3.푑(퐻; (푆퐴퐷))

+ Dựng 퐻퐸 ⊥ 퐴퐷 tại E ⇒ 퐴퐷 ⊥ (푆퐻퐸) ⇒ (푆퐴퐷) ⊥ (푆퐻퐸) (theo giao tuyến 푆퐸)

+ Dựng 퐻퐹 ⊥ 푆퐸 tại 퐹 ⇒ 퐻퐹 ⊥ (푆퐴퐷) ⇒ 퐻퐹 = 푑(퐻; (푆퐴퐷))

Ta có: 퐻퐸 = 퐴퐻. sin 60 = √ 1

퐻퐹 =1

퐻퐸 +1푆퐻 =

43푎 +

121푎 =

2921푎 ⟹ 퐻퐹 =

푎√21√29

⟹ 푑 퐵; (푆퐴퐷) =3푎√21√29

Vậy 푑(푆퐴;퐵퐶) = √√

0,25đ

0,25đ

6. (1đ)

Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚 cho hình thang cân 푨푩푪푫 có hai đáy là 푨푫 và BC; biết 푨푩 = 푩푪, 푨푫 = ퟕ. Đường chéo AC có phương trình 풙 − ퟑ풚 − ퟑ = ퟎ; điểm 푴(−ퟐ;−ퟓ) thuộc đường thẳng 푨푫. Viết phương trình đường thẳng 푪푫 biết rằng đỉnh 푩(ퟏ;ퟏ). Giải + Do ABCD là hình thang cân nên ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn.

Do 퐴퐵 = 퐵퐶 = 퐶퐷 nên AC là đường phân giác trong góc 퐵퐴퐷. + Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC ⟹ 퐸 ∈ 퐴퐷.

Ta có phương trình 퐵퐸 là: 3푥 + 푦 − 4 = 0.

Gọi 퐹 = 퐴퐶 ∩ 퐵퐸 ⟹ tọa độ F là nghiệm của hệ:

푥 − 3푦 − 3 = 03푥 + 푦 − 4 = 0 ⟺

푥 =32

푦 = −12

⟹ 퐹 =32 ;−

12

Do F là trung điểm của BE nên 퐸 = (2;−2)

Lại do 푀 ∈ 퐴퐷 nên phương trình AD là: 3푥 − 4푦 − 14 = 0

+ Điểm 퐴 = 퐴퐷 ∩ 퐴퐶 ⟹tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 3푥 − 4푦 − 14 = 0푥 − 3푦 − 3 = 0 ⟺ 푥 = 6

푦 = 1 ⟹ 퐴 = (6; 1)

+ Gọi 퐷 = (2 + 4푡;−2 + 3푡) ∈ 퐴퐷

Do 퐴퐷 = 7 ⟹ 퐴퐷 = 49 ⟺ (4푡 − 4) + (3푡 − 3) = 49 ⟺ 25(푡 − 1) = 49

⟺ (푡 − 1) =4925 ⟺

푡 − 1 =75

푡 − 1 = −75

⟺푡 =

125

푡 = −25

⟹퐷 =

585 ;

265

퐷 =25 ;−

165

Tuy nhiên, điểm B và điểm D luôn nằm về 2 phía của đường thẳng AC do đó kiểm tra vị trí tương đối của điểm B và 2 điểm D đó ta thấy chỉ có điểm 퐷 thỏa mãn.

0,25đ

0,25đ

0,25đ

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

68

Do đó 퐷 = ;− .

+ Do BC//AD nên phương trình đường thẳng BC là: 3푥 − 4푦 + 1 = 0

Điểm 퐶 = 퐵퐶 ∩ 퐴퐶 ⟹tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 3푥 − 4푦 + 1 = 0푥 − 3푦 − 3 = 0 ⟺ 푥 = −3

푦 = −2 ⟹ 퐶 = (−3;−2)

Tuy nhiên ta tính được 퐴퐵 = 5,퐶퐷 = √13 ⇒ 퐴퐵퐶퐷 không phải là hính thang cân, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy bài toán vô nghiệm.

0,25đ

7. (1đ)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (푷):풙 − 풚 + 풛 + ퟐ = ퟎ và điểm 푨(ퟏ;−ퟏ;ퟐ). Tìm tọa độ điểm 푨′ đối xứng với điểm 푨 qua mặt phẳng (푷). Viết phương trình mặt cầu đường kính 푨푨′. + Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó Δ nhận vectơ pháp tuyến 푛 = (1;−1; 1) của mp(P) là vec tơ chỉ phương. Do đó phương trình tham số của Δlà:

푥 = 1 + 푡푦 = −1 − 푡푧 = 2 + 푡

+ Gọi 퐼 = Δ ∩ (푃) ⟹ tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: 푥 = 1 + 푡푦 = −1 − 푡푧 = 2 + 푡

푥 − 푦 + 푧 + 2 = 0

⟺

푡 = −2푥 = −1푦 = 1푧 = 0

⟹ 퐼 = (−1; 1; 0)

+ Gọi 퐴 là điểm đối xứng của A qua mp(P) khi đó I là trung điểm của 퐴퐴′ ⟹ 퐴 = (−1; 3;−2)

+ Mặt cầu đường kính 퐴퐴′ có tâm là 퐼 = (−1; 1; 0) và bán kính 푅 = 퐼퐴 = √12 Suy ra phương trình mặt cầu đường kính 퐴퐴′ là:

(푥 + 1) + (푦 − 1) + 푧 = 12

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ 8.

(1đ) Giải hệ phương trình:

22 2

2 2 3 2

1( 1) 2 1 (1)

4 ( 3 2)( 2 1) (2)

yx yx

y y x x x

+ ĐK: 푥 ≠ 0,−√2 ≤ 푥 ≤ √2

PT(1) ⟺ 푥(푥 + 1) + 푥푦 = 2(푥 + 1− 푦 )

⟺ (푥 + 1)(푥 + 푥 − 2) + 푦 (푥 + 2) = 0 ⟺(푥 + 2)(푥 + 1)(푥 − 1) + 푦 (푥 + 2) = 0 ⟺(푥 + 2)(푥 + 푦 − 1) = 0

⟺푥 + 2 = 0(푙표ạ푖)푥 + 푦 = 1

+ Với 푥 + 푦 = 1 ⟹ 푥 = 1 − 푦 , thay vào PT(2) ta được PT:

4푦 = (푦 − 푥 + 3푥 − 2) 푦 + 1 + 1

⟺ 4(푦 + 1 − 1) = (푦 − 푥 + 3푥 − 2) 푦 + 1 + 1

⟺ 4 푦 + 1 + 1 푦 + 1− 1 = (푦 − 푥 + 3푥 − 2) 푦 + 1 + 1

⟺ 4 푦 + 1− 1 = 푦 − 푥 + 3푥 − 2

⟺ 푥 − 3푥 − 2 = 푦 − 4 푦 + 1 (3)

0,25đ

0,25đ

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

69

+ Do 푥 + 푦 = 1 ⟹ 0 ≤ 푥 ≤ 10 ≤ 푦 ≤ 1 ⟹

−1 ≤ 푥 ≤ 1−1 ≤ 푦 ≤ 1

+ Xét hàm số: 푓(푥) = 푥 − 3푥 − 2 trên đoạn [−1; 1]

Có 푓 (푥) = 3푥 − 3 ⟹ 푓 (푥) = 0 ⟺ 푥 = ±1

Do hàm số 푓(푥) liên tục trên đoạn [−1; 1] và 푓(−1) = 0, 푓(1) = −4

Suy ra min∈[ ; ]

푓(푥) = −4, max∈[ ; ]

푓(푥) = 0

Hay 푓(푥) ≥ −4,∀푥 ∈ [−1; 1] (a)

+ Xét hàm số: 푔(푦) = 푦 − 4 푦 + 1 trên đoạn [−1; 1]

Có 푔 (푦) = 2푦 − ⟹ 푔 (푦) = 0 ⟺푦 = 0 ∈ (−1; 1)

푦 = ±√3 ∉ [−1; 1]

Do hàm số 푔(푦) liên tục trên đoạn [−1; 1] và

푔(−1) = 푔(1) = 1 − 4√2,푔(0) = −4 Suy ra

max∈[ ; ]

푔(푦) = −4, min∈[ ; ]

푔(푦) = 1 − 4√2

Hay 푔(푦) ≤ −4,∀푦 ∈ [−1; 1] (b)

+ Từ (a) và (b) suy ra PT(3) ⟺ 푓(푥) = 푔(푦) = −4 ⟺ 푥 = 1푦 = 0 (thỏa mãn PT(1))

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất (푥;푦) = (1; 0)

0,25đ

0,25đ

9. (1đ)

Cho các số thực dương 풙,풚,풛 thỏa mãn 풙풚 ≥ ퟏ, 풛 ≥ ퟏ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 3 2

1 1 3( 1)x y zP

y x xy

.

+ Trước hết ta chứng minh kết quả sau: Với 푥, 푦 > 0 thỏa mãn: 푥푦 ≥ 1 ta có: + ≥

√ (1)

Thật vậy: (1) ⟺ (푥 + 푦 + 2) 1 + 푥푦 ≥ 2(푥푦 + 푥 + 푦) ⟺ (푥 + 푦) 푥푦 + 푥 + 푦 + 2 푥푦 + 2 ≥ 2푥푦 + 2(푥 + 푦) + 2 ⟺ (푥 + 푦) 푥푦 − 1 ≥ 2 푥푦 푥푦 − 1 ⟺ 푥푦 − 1 푥 + 푦 − 2 푥푦 ≥ 0 ⟺ 푥푦 − 1 √푥 − 푦 ≥ 0 luôn đúng do 푥푦 ≥ 1 (đpcm) + Mặt khác, theo BĐT AM-GM ta có: 푧 + 2 = 푧 + 1 + 1 ≥ 3푧 ≥ 3

⟹ 푃 ≥푥

푦 + 1 + 1 +푦

푥 + 1 + 1 +1

푥푦 + 1− 2

= (푥 + 푦 + 1) + + − 2 ≥ 2 푥푦 + 1√

+ − 2 (do (1))

+ Đặt 푡 = 푥푦,(푡 ≥ 1) ta được:

푃 ≥ 푃(푡) = (2푡 + 1).2

푡 + 1 +1

푡 + 1 − 2 =2푡푡 + 1 +

1푡 + 1

Ta có:푃 (푡) =( )

−( )

= ( ) ( )( ) ( )

≥ 0,∀푡 ≥ 1

⟹ 푓(푡) đồng biến trên [1; +∞] ⟹ 푃(푡) ≥ 푃(1) = ,∀푡 ≥ 1 ⟹ 푃 ≥

Vậy 푃 = ⟺ 푥 = 푦 = 푧 = 1.

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Câu 5 nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm.

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

70

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT CHÍ LINH

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2014

Môn Thi : TOÁN

Lần thứ 1

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề gồm 01 trang

Câu I ( 4,0 điểm). Cho hàm số 3

23 16

2 4 2

xy x mx .

1) Với 1

2m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 2) Tìm các số thực m để hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu trên [-1;1].

Câu II (2,0 điểm). Giải các phương trình sau

1) s inx-cos3 2cos 2 cos

2 sin 2tan tan

4 4

x x xx

x x

. 2) (5 2 6) (5 2 6) 10x x .

Câu III (2,0 điểm). Giải các bất phương trình sau 1 2

3 1

3

1) log (2 8) log (24 2 ) 0.x x

2) 22( 3 3 2 ) 2 3 7 0x x x x .

Câu IV (2,0 điểm). Tính các tích phân

1) 2

0

( 2) cosx xdx

. 2) 0

4 21 1

xdx

x x .

Câu V (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 3 3 2 2

2 2

3( ) 4( ) 4 0( , )

2( ) 18

x y x y x yx y

x y x y

.

Câu VI (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 060 ,ABC cạnh bên SA

vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 060 . 1) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. 2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD. 3) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD theo a.

Câu VII (2,0 điểm). Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(4;2), B(-3;1), C là điểm có hoành độ dương nằm trên đường thẳng (d):x+y=0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC bằng 25. Câu VIII (1,0 điểm). Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập được tổ công tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân tổ viên. Câu IX (1,0 điểm). Giữa hai nông trường chăn nuôi bò sữa có một con đường quốc lộ. Người ta xây dựng một nhà máy sản xuất sữa bên cạnh đường quốc lộ và con đường nối hai nông trường tới nhà máy. Hỏi phải xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy như thế nào để cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất.

Câu X (1,0 điểm). Cho các số thực ,a b thoả mãn 5

3

a b

a

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2a bP a b . ………….…………………………………Hết………………………………………


Họ và tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh:………………….

Chữ kí giám thị 1:…………………….………… Chữ kí giám thị 2:…………………………………

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

71

2

H−íng dÉn chÊm

Câu Nội dung Điểm

I:(4,0 đ)

1.a)2,0đ a)khi

321 3 1

32 2 4 2

xm y x x

1. Tập xác định: D

2. Sự biến thiên của hàm số

* Giới hạn tại vô cực của hàm số.

32 3

2 3

3 1 1 3 3 1lim lim ( 3 ) lim ( ) ; lim

2 4 2 2 4 2x xx x

xy x x x y

x x x

0,25

* Lập bảng biến thiên 2

91 ( 1)

3 3 4' 3; ' 092 2

2 (2)2

x yy x x y

x y

0,25

bảng biến thiên

9

4

y'

-1

+ +- 00

-

-9

2

+

+2-

y

x

0,5

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 1 ) và (2;+ );

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;2);

0.25

Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 =>yct= , Hàm số đạt cực đại tại x=0=>ycđ= 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

72

3

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2)

ĐTHS đi qua (-1; 9/4), (-5/2;-9/2)

0,5

1.b)1,0đ Tập xác đinh : D 3

23 13

2 4 2

xy x x

23 3 11' 3; '(1) 3; (1)

2 2 4

xy x y y

0,5

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1

là '(1)( 1) (1)y y x y

0,25

=-3(x-1)-

11

4=-3x

1

4

0,25

2.(1,0 đ) Tập xác đinh : D ;

23 3' 6

2 2

xy x m

Do y’ là tam thức bậc hai nên hàm số có cực đại, cực tiểu trên [-1;1]

0,25

23 36 0

2 2

xx m có hai nghiệm phân biệt

,2

4 4

x xm

có hai nghiệm phân biệt , đường thẳng y=m cắt đồ

thị hàm số 2

( )4 4

x xf x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ,

0,25

Lập bảng biến thiên ta được - 0,5

4

2

-2

-4

5

I-9

8

1

2

-5

2

-9

2

9

4

y

x7

2

2O

-1

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

73

4

II.(2,0đ)

1.(1,0đ) Giải phương trình s inx-cos3 2cos 2 cos

2 sin 2tan tan

4 4

x x xx

x x

. (1)

Điều kiện:

4 4tan tan 04 4

( )4 4 4 2

os os 014 4 (cos 2 os ) 02 2 4 2

x k x kx x

x k x k x k k

c x c xx c x k

1sin sin ( os2 os )4 4 2 2tan tan 1

14 4 ( os2 os )os os2 24 4

x x c x cx x

c x cc x c x

0,25

(1) 2 sin 2 s inx-cos3 2cos 2 cos

2 sin 2 s inx-cos3 cos os3

x x x x

x x x c x

0,25

2 sin 2 2 s in

4x x

22 244sin 2 s in

242 ( ) 2

4 34

x kx x kx x

x kx x k

0,25

Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là

11 52 , 2 ( )

12 12x k x k k

0,25

2.(1,0đ) (2)

Đặt .

Thay vào (2) ta có

0,25

(thỏa mãn)

0,25

Với 0,25

Với 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

74

5

II.(2,0đ)

1.(1,0đ) Giải các bất phương trình sau 1 2

3 1

3

1) log (2 8) log (24 2 ) 0 (1)x x

Điều kiện :

(1)

0,25

0,25

0,25

0,25

2.(1,0đ)

Điều kiên :

0,25

(3)

0,25

Do

0,25

Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương

trình là T=[1;

0,25

IV.(2,0đ)

1.(1,0đ) Đặt

2

os dx s inx

U x dU dx

dV c x V

0,25

2

2 2

0 0

0

( 2) cos ( 2)sin sin xx xdx x x xd

0,25

20

( 2) os2

c x

0,25

3

2

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

75

6

2.(1,0đ)

0,25

Đặt ; =

Nếu x=-1 thì t=

Nếu x=0 thì t=

0,25

0,25

0,25

V.(1,0đ) Giải hệ phương trình

..

3 2 3 2

3 3

(1) 3 4 4 3 4

( 1) 1 ( 1) 1 (3)

x x x y y y

x x y y

0,25

Xét mà (3) có

0,25

Thay y=x+2 vào (2) ta có

Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là (-3;-1), (3;5).

0,5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

76

7

VI.(4,0đ)

O

M

H600

600

a

D

CB

A

S

1.(1,0đ) SA (ABCD) =>AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên 0( , ( )) ( , ) 60SC ABCD SC AC SCA

0,25

tam giác ABC có AB=BC=a, 060 ,ABC nên tam giác ABC đều => AC=a

trong tam giác SAC vuông tại A nên 0. tan 60 3SA AC a

0,25

Diện tích ABCD là

201 3

2 2. . sin 602 2ABCD ABC

aS S AB BC

0,25

Thể tích S.ABCD là

3

.

1.

3 2S ABCD ABCD

aV SA S

0,25

2.(1,5đ) Kẻ AH CD(H , đường cao AH=

Trong tam giác vuông SAH có 2 2 15

2

aSH SA HA

0,25

Do SA (ABCD) ,SA CD CD AH CD SH

Diện tích tam giác SAD là 21 15

.2 4SCD

aS SH CD

0,25

2 3

.

( , ( )). 1 1 3 3 15. 3. ( , ( ))

3 3 3 4 4S 5SCD

S ACD ACDSAD

d A SCD S a a aV SA S a d A SCD

0,5

Do AB//(SCD) nên d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=

15

5

a

0,5

3.(1,5đ) Do CA=CB=CD=a nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

77

8

Kẻ Cx//SA, trong (SAC) kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD.

0,25

Thật vậy Cx//SA Cx (ABD) OC (ABD) mà CA=CB=CD nên OA=OB=OD mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA=OS

OA=OB=OD=OS O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r=OA

0,5

dẽ thấy MACO là hình chữ nhật nên 2 2 2 23 7

( )2 2

a ar AC AM a

0,5

VII.(2,0đ) AB

=(-7;-1) là véc tơ chỉ phương của AB nên véc tơ pháp tuyến là (1; 7)n

phương trình AB: 1 x 4 7 y 2 0 7 10 0x y

BA

C

I

2 2

( ) ( ; ) ( 0)

| 7 10 | | 8 10 |( , ) ; 50

501 7

C d C c c c

c c cd C AB AB

0,5

diện tích tam giác ABC bằng 25 nên ta có

51 | 8 10 |

( , ). . 50 25 (5; 5)152 02 50

2ABC

cc

S d C AB AB Cc

0,5

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

2 2 2 2( ) : 2ax 2 0 ( 0)C x y by c a b c

Do A, B, C nằm trên (C) nên ta có hệ

2 2

2 2

2 2

4 2 8 4 0 8 4 20

( 3) 1 6 2 0 6 2 10

10 10 505 ( 5) 10 10 0

a b c a b c

a b c a b c

a b ca b c

0,5

1

2

20

a

b

c

Phương trình đường tròn (C): 2 2 2 4 20 0x y x y

0,5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

78

9

VIII.(1,0đ) Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng trong 3 kĩ sư số cách chọn là 3. Được 1 tổ trưởng 0,25

Chọn 1 công nhân làm tổ phó trong 7 công nhân số cách chọn là 7. Được 1 tổ trưởng, 1 tổ phó

0,25

Chọn 3 công nhân làm tổ viên trong 6 công nhân số cách chọn là số tổ hợp chập

3 của 6 là 36C

0,25

số cách lập tổ công tác thỏa mãn đề bài là 363.7. 420C 0,25

IX.(1,0đ) Giả sử A, B là hai địa điểm tập trung nguyên liệu của hai nông trường chăn nuôi bò sữa, đường quốc lộ là đường thẳng d, M là vị trí xây dựng nhà máy trên đường quốc lộ . Xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy để cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất là ta phải tìm điểm M và đường MA, MB sao cho MA+MB ngắn nhất

0,5

Do A, B nằm về hai phía với d nên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng

0,25

Vậy phải xây dựng con đường nối hai địa điểm tập trung nguyên liệu A, B của hai nông trường và địa điểm xây dựng nhà máy sản xuất sữa M bên đường quốc lộ sao cho A, M, B thẳng hàng.

0,25

X.(1,0đ) Xét

( ) 2 (2 ln 2 1)( ) , 0x mf x x x m m '( ) 2 ln 2 1 (2 ln 2 1); '( ) 0x mf x f x x m

Lập bảng biến thiên ta được

( ) 2 2 (2 ln 2 1)( ) 2 , 0(*)m x m mf x m x x x m m x m

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=m

0,5

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

3 2

2 2

2 (2 ln 2 1)( 3) 2 3 (1)

2 (2 ln 2 1)( 2) 2 2 (2)

a

b

a a a

b b b

Cộng các vế của (1)(2) ta được

3 2 32 3 2 2 (2 ln 2 1)( 3) (4 ln 2 1)( 2) ,P a b a b

0,25

7 (4 ln 2 1)( 5) 4( 3) ln 2 7P a b a

Khi a=3,b=2 thì P=7 nên giá trị nhỏ nhất của P bằng 7

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

79

SƠ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT GANG THÉP ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1

Môn : Toán

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1(2 điểm): Cho hàm số 1 2 1 x y x +

= −

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số cắt đường thẳng : 2 y x m ∆ = − + tại hai điểm A, B phân biệt sao

cho 2 AB =

Câu 2(1 điểm): Giải phương trình: cos s inx sin 2 cos 2 1 x x x + − − =

Câu 3(1 điểm):

a. Giải bất phương trình : ( ) ( ) 2 2 2 log 2 1 log 2 0 x x x − − − ≥

b. Một đồn cảnh sát có 9 người trong đó có hai trung tá An và Bình. Trong một nhiệm vụ cần huy

động 3 đồng chí thực hiện ở địa điểm C, 2 đồng chí thực hiện ở địa điểm D và 4 đồng chí còn lại

trực ở đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công sao cho hai trung tá An và Bình không ở cùng khu

vực làm nhiệm vụ?

Câu 4(1 điểm): Tìm nguyên hàm : ( ) 2. 2 1 . I x x dx = − − ∫ Câu 5(1 điểm): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Điểm A’ cách đều ba điểm A, B,

C. Góc giữa AA’ và mặt phẳng (ABC) là 0 60 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng

cách giữa hai đường thẳng A’B và CC’.

Câu 6(1 điểm): Cho n là số tự nhiên thỏa mãn: 2 4 6 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ... 2046 n n n n n n n C C C C C − − + + + + + = . Tìm số hạng

chứa 4 x trong khai triển nhị thức Newton: 5 3

2 n

P x x

= −

với 0 x > .

Câu 7(1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 C x y x + = . Tam giác ABC

vuông tại A có AC là tiếp tuyến của đường tròn ( ) C tại A, chân đường cao từ A của tam giác ABC là điểm

H(2;0). Tìm tọa độ đỉnh B của tam giác biết B có tung độ dương và diện tích tam giác ABC là 2 3

Câu 8(1 điểm): Giải hệ phương trình sau: ( )

( )

3 3 2 3 2 4 2 3

3 4 3 2

2 2 1

1 1 1

x y y x x y y x x

x x x x y

+ − + + = − + + − + = − +

Câu 9(1 điểm): Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa

mãn: ( ) ( )( ) 1 a b c a b c b c a + − − + + − = Chứng minh rằng 5 2 2 2

3 3 a b c a b c + + + + ≥

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

80

mailto:[email protected])%C4%91%C3%A3

http://www.laisac.page.tl/

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM

Câu Sơ lược đáp án Thang

điểm

1a Học sinh tự thực hiện các bước khảo sát đúng:

TXĐ

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên và cực trị

Giới hạn và tiệm cận

Lập BBT

Vẽ đồ thị hàm số

1

1b Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và ∆ là:

( ) 2

1 2 2 1

1 2

2 4 2 1 0 *

x x m x

x

x mx m

+ = − +

− ≠ ⇔ − + + =

Để (C) và ∆ cắt nhau tại A, B phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 2

1 3 1 3 ; ; 2 2

m − +

⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

Giả sử ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 , ; 2 A x x m B x x m − + − + . Khi đó ta có : 1 2

1 2

2 2 1 . 2

x x m m x x

+ = +

=

Từ giả thiết ta có:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2

1 2 2 4 1 4 2 2 1 1 ( / ) 2

x x x x x x m m m t m − = ⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ =

0,5

0,5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

81

2 ( ) ( ) ( )

( )

sin 2 cos 2 s inx cos 1 0

2cos 1 s inx cos 0

1 cos 2

2 sin 0 4

2 3

4

x x x

x x

x

x

x k k

x k

π

π π

π π

+ − + + =

⇔ − + =

= ⇔

+ =

= ± + ⇔ ∈

= − +

Z

0,5

0,5

3a TXĐ: ( ) 2; D = +∞

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

2

log 2 1 log 2 0 log 2 1 log 2

4 1 0 2 3;2 3

x x x x x x

x x x

− − − ≥ ⇔ − ≥ −

⇔ − + ≤ ⇔ ∈ − +

Kết hợp với TXĐ bất phương trình có nghiệm (2;2 3 x ∈ +

0,25

0,25

3b Để sắp xếp bất kỳ 9 đồng chí vào các vị trí như yêu cầu có 3 2 4 9 6 4 . . 1260 C C C = cách

Nếu hai trung tá cùng ở một vị trí C có 1 2 7 6 . C C cách, hai trung tá ở cùng vị trí D có 3

7 C

cách, hai trung tá cùng ở lại đồn có 2 3 7 5 . C C cách. Như vậy có tổng số 350 cách xếp hai

trung tá ở cùng vị trí.

Do đó có 1260 350 910 − = cách phân công sao cho hai trung tá An và Bình không

cùng vị trí làm việc.

0,25

0,25

4 Đặt 2 2 2 2 t x t x tdt dx = − ⇒ = − ⇒ =

( ) ( )

( ) ( )

2 4 2 5 3

2

8 4 3 .2 8 6 2 5

8 2 2 2 2 2 5

I t t tdt t t dt t t c

x x x x c

= + = + = + +

= − − + − − +

∫ ∫

0,25

0,5

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

82

5

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,M là trung điểm AB. Khi đó ta có A’.ABC là hình

chóp đều nên ( ) ' A G ABC ⊥

Góc giữa AA’ và (ABC) là góc · 0 ' 60 A AG =

Ta có : . ' ' ' ' . ABC A B C ABC V A G S =

2 3 0

. ' ' ' 3 3 3 ' . tan 60 ,

3 4 4 ABC ABC A B C a a a AG A G AG a S V = ⇒ = = = ⇒ =

Dựng ' , ' GH A M H A M ⊥ ∈ . Ta có

( ) ( ' ) ' '

' AB A GM AB GH

GH ABB A GH A M

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥

Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , ' ', ' ' , ' ' 3 , ' ' 3 d A B CC d CC ABB A d C ABB A d G ABB A GH = = = =

Do 2 2

3 ' . 13 ' , 6 13 ' a A G GM a A G a GM GH

A G GM = = ⇒ = =

+

Vì vậy ( ) 3 13 ' , ' 13 a d A B CC =

0,5

0,5

6 2 4 6 2 4 2 2 2 2 2 2 2

0 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2

... 2046

... 2048

n n n n n n n

n n n n n n n

C C C C C C C C C C

− −

−

+ + + + + =

⇔ + + + + + =

Do 0 2 4 2 2 2 1 3 5 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... ... n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C − − − + + + + + = + + + + +

Nên ta có 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ... 4096 2 4096 6 n n n n n n n n C C C C C n − + + + + + = ⇔ = ⇔ =

6 6 5 11 6 6 18 5 6 2 2 6 6 3 3

0 0

2 2 . 2 . k k k

k k k

k k

P x C x C x x x

− − −

= =

= − = =

∑ ∑

0,25

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

83

Số hạng tổng quát trong khai triển là 11 18 6 2

1 6 .2 k

k k k T C x

− − + =

11 18 6 2 1 6 .2

k k k

k T C x − −

+ = chứa 4 x thì 11 18 4 4 2 k k − = ⇔ =

Số hạng chứa 4 x cần tìm là 4 2 4 5 6 .2 T C x =

0,5

7

Đường tròn (C) có tâm I(1;0) và bán kính R = 1. Dễ thấy H nằm trên đường tròn nên

AB là đường kính của đường tròn.

Ta có AB = 2 nên dựa vào công thức diện tích ta có 2 3

AC =

B nằm trên đường tròn và có tung độ dương nên tọa độ của B là ( ) 2 , 2 B x x x −

Ta có · 1 tan 3

AC ABC AB

= = nên 3 BH = . Ta có ( ) ( ) 2 2 1 2 2 3 2

x x x x − + − = ⇔ =

Vậy 1 3 ;2 2

B

0,25

0,25

0,5

8 ( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 3 2 4 2 3

3 4 3 2

2 2 1 1

1 1 1 2

x y y x x y y x x

x x x x y

+ − + + = − + + − + = − +

Điều kiện : 3 2

1 1 0

y x x

≥

− + ≥

Từ (1) ta có

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

84

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 3 2 3 2 4 2 3

2 2 3 3

2 3 3

2 2 1

2 1 1 0

1 0 1

x y y x x y y x x

x x y y x x y y

x x y y x x y y

+ − + + = − +

⇔ + − − + + − =

⇔ + − − = ⇔ + = −

Đặt 3 , 1 a x b y = = − ta có 3 3 a a b b + = + . Do b không âm nên a cũng phải không

âm. Hàm số ( ) 3 f t t t = + đồng biến trên [ ) 0;+∞ nên ta có a = b hay ta có

3 0, 1 x y x ≥ − =

Thay vào (2) ta có phương trình:

( )

( ) ( )

4 3 2 3 3 3 2

2 3 3 2

3 2 3 2

3 2

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1 1

0 1

1 0( 0) 1 1

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x

x vn do x x x

+ − + = + ⇔ − = − − +

− ⇔ − = ⇔ − + =

+ − + + − + =

⇔ = + = ≥ + − +

x=0 ta có y=1, x=1 ta có y = 2 (thỏa mãn điều kiện)

vậy hệ có hai nghiệm (0 ;1) và (1 ;2)

0,25

0,25

0,25

9 Đặt , , , , 0; 1 x a b c y b c a z c a b x y z xyz = + − = + − = + − ⇒ ≥ =

Ta có , , 2 2 2 x z x y y z a b c + + +

= = =

Bất đăng thức cần chứng minh trở thành

( ) ( ) 2 5 5 2 2 2

3 6 3 6 x y z xy yz xz x y z x y z xy yz xz x y z + + − + + + + + + + + + + + ≥ ⇔ ≥

Theo Cô si ta có :

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3

3 3 3

6 6 x y z xy yz xz x y z

xy yz xz x y z + + − + + + + −

+ + ≥ = ⇒ ≤

Ta cần chứng minh

( ) ( ) 2 2 5 5 1 1 0 3 6 2 3 6 2

x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + ≥ − ⇔ − − ≥

Đặt 3 , 3 3 1 3

x y z t do x y z xyz t + + = + + ≥ = ⇒ ≥

Xét hàm số

0,25

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

85

( ) [ )

( ) [ )

( ) ( )

5 2

4

5 2

3 1 , 1; 2 2

' 5 3 0 1; 3 1 1 0 2 2

f t t t t

f t t t t

f t f hay t t

= − + ∈ +∞

= − > ∀ ∈ +∞

⇒ ≥ − + ≥

Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra nếu x=y=z=1 nên a=b=c=1

0,5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

86

mailto:[email protected])%C4%91%C3%A3

http://www.laisac.page.tl/

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

87

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

88

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

89

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

90

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

91

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

92

ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: 1)1(3 23 xmxxy (1) có đồ thị mC( ), với m là tham số .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 1m .

b) Tìm m để đường thẳng (d): y = x + 1 cắt đồ thị mC( ) tại 3 điểm phân biệt P(0;1), M, N sao cho bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng 2

25 với O(0;0).

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: xxxxxx cos3sin3414cos6sin42cos22cos2 2 .

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân:

0

2

1223)1( xxx

dxI


a) Giải phương trình: 02.8136.7939.16 1

26

11

13

x

x

x

x

x

x

.

b) Trong một hộp kín đựng 2 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 7 viên bi vàng ( các viên bi chỉ khác nhau về màu

sắc). Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, tìm xác suất để 4 viên bi lấy ra không có đủ cả ba màu.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(4;-4;3), B(1;3;-1), C(-2;0;-1). Viết phương trình

mặt cầu (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt phẳng ( ) : 2 0x y z và 04:)( zyx

theo hai giao tuyến là hai đường tròn có bán kính bằng nhau .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy A’B’C’ là tam giác đều

cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của đỉnh B lên (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh A’B’. Gọi E là trung

điểm của cạnh AC. Tính thể tích của khối tứ diện EHB’C’và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

(ACC’A’).

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Hai điểm B và C thuộc trục tung.

Phương trình đường chéo AC: 3x + 4y – 16 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đã cho, biết

rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:

2223

2223

213

213

yxyxyyxy

xxyyxxyx ( Ryx , ).

Câu 9 (1,0 điểm). Xét hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện 24)( 3 xyyx .

Tìm GTNN của biếu thức 2015)43()(2)(3 2222 xyxyyxyxP .

HẾT

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

93

ĐÁP ÁN

Câu 1. b. Phương trình hoành độ giao điểm của mC( ) và (d): 11)1(3 23 xxmxx

)2(03

)1;0(100)3(

2

2

mxx

Pyxmxxx

Để mC( ) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

4

9

0

m

m

Giả sử )1;( 11 xxM , )1;( 22 xxN khi đó 21; xx là nghiệm của pt (2)

Ta có R

MNONOMdOdMNSOMN 4

..))(;(.

2

1 với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN

))(;(25))(;(.2.4

..))(;(.

2

1dOddOdRONOM

R

MNONOMdOdMN (3)

)122)(122(. 12

112

1 xxxxONOM

Với 25124.3;3 22

221

21 mmONOMmxxmxx

2

2

2

1))(;( dOd

Khi đó thế vào (3) ta được:

3

05

2

22525124 2

m

mmm thỏa đề chỉ có 3m

Câu 2. Pt xxxxxx cos3sin342sin26sin42cos22cos2 22

xxxxxx cos3sin322sin6sin22cos2cos 22

xxxxxx cos3sin326sin22cos2sin2cos 22

xxxxx cos3sin326sin22cos4cos

xxxxxx cos3sin323cos3sin4sin3sin2

xxx

xxxxx

3cos2cos3sin

03sin0)cos33cos2(sin3sin2

* )(3

03sin kkxx

*

224

123cos6

cos3cos2cos3sin

kx

kxxxxxx )( k

Vậy nghiệm của phương trình là: kx

12,

224

kx ,

3

kx )( k .

Câu 3.

0

2

1223)1( xxx

dxI dx

xxx

0

2

1 )3)(1()1(

1= dx

x

xx

0

2

1 2

1

3)1(

1

Đặt 1

3

1

3 2

x

xt

x

xt dx

xtdt

2)1(

42

)37(2

1

2

1 3

7

dtI .

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

94

Câu 4. a) Điều kiện 1x . Đưa phương trình về dạng

0812

3

6

793

4

916

1

13

1

13

x

x

x

x

, rồi đặt 1

13

2

3

x

x

t

Đáp số : 2;2

1 xx .

b) Số cách lấy 4 viên bi bất kỳ là 1001414 C cách .

Ta đếm số cách lấy 4 viên bi có đủ cả màu : + TH1: 1Đ, 1T, 2V có 2

715

12 .. CCC cách

+ TH2: 1Đ, 2T, 1V có 17

25

12 .. CCC cách

+ TH3: 2Đ, 1T, 1V có 17

15

22 .. CCC cách

Vậy số cách lấy 4 viên bi có đủ 3 màu là 27

15

12 .. CCC + 1

725

12 .. CCC + 1

715

22 .. CCC = 385 cách .

Xác suất lấy 4 viên bi không đủ 3 màu là 13

8

1001

616

1001

3851001

P .

Câu 5. Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu (S) . Vì (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt phẳng 02:)( zyx và 04:)( zyx theo hai giao tuyến là hai đường tròn có bán kính bằng nhau nên ta có hệ :

42

9223

15473

))(,())(,( cbacba

cba

cba

IdId

ICIA

IBIA

Giải hệ ta được :

3

0

1

c

b

a

hoặc

79

712

719

c

b

a

Với

3

0

1

c

b

a

, viết được phương trình mặt cầu : 25)3()1( 222 zyx .

Với

79

712

719

c

b

a

, mặt cầu có phương trình : 49

1237

7

9

7

12

7

19222

zyx

Câu 6. )'''//( CBABE nên d(E,(A’B’C’) = B’H

Tam giác B’HC’vuông tại H nên B’H = 2

3'' 22 aHBBB

2''

20''' 8

3

4

360sin'.''.'

2

1aSaCBBAS CHBCBA

168

3

2

3.

3

1.'

3

1 32

''''

aaaSHBV CHBCEHB

''

''.3))''(,(

AACC

AACCB

S

VAACCBd ;

488

3 333

'''.'''.''.

aaaVVV CBABCBAABCAACCB

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

95

ACJASACJAACIJABIA AACC .',',' ''

5

15

.4

154

3))''(,(

4

15''

3

22 a

aa

a

AACCBda

IJAAJA .

Câu 7. Ta có C là giao điểm của trục tung và đường thẳng AC nên C(0;4) .

Vì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1 nên bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng bằng 1 . Vì B nằm trên trục tung nên B(0;b). Đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với BC 0: xOy nên AB : y = b .

Vì A là giao điểm của AB và AC nên

bb

A ;3

416.

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có

43

54

3

44

43

4

3

416)4(

3

4164

3

416.4

22

22

bbb

b

bb

bb

bb

CABCAB

Sr ABC 4

3

1 b .

Theo giả thiết r = 1 nên ta có b = 1 hoặc b = 7 . Với b = 1 ta có A(4;1), B(0;1). Suy ra D(4;4) . Với b = 7 ta có A(-4;7), B(0;-7). Suy ra D(-4;4) .

Câu 8. Giải hệ phương trình

)2(213

)1(2132223

2223

yxyxyyxy

xxyyxxyx

Từ (1) và (2) ta có iyxyxxxyyiyyxyxxyx )2(2)13(13 22222323

)1()1(2)1(1)(33 22332223 ixixyyiiyixiyixyyixx

)2)(1(1)()( 2223 xixyiyiiyixyix 23 ))(1(1)()( ixyiiyixyix 0)1()1( 23 izziz

izzz 1;1;1 . Do đó (x;y) = (1;0); (-1;0); (-1;-1) . Câu 9. Với mọi số thực x, y ta luôn có xyyx 4)( 2 , nên từ điều kiện suy ra

102)()(24)()()( 23323 yxyxyxxyyxyxyx .

Ta biến đổi P như sau 2015)43()2(2)(2

3)(

2

3 22222222 xyxyxyyxyxyxP

2015)(2)(2

3)(

2

3 2244222 yxyxyx (3)

Do 2

)( 22244 yx

yx

nên từ (3) suy ra 2015)(2)(4

9 22222 yxyxP .

Đặt tyx 22 thì 2

1t (do )1 yx .

Xét hàm số 201524

9)( 2 tttf với

2

1t , có 02

2

9)(' ttf , với

2

1t nên hàm số f(t) đồng biến

trên

;2

1. Suy ra

16

32233

2

1)(min

;2

1

ftft

.

Do đó GTNN của P bằng 16

32233, đạt được khi và chỉ khi

2

1 yx .

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

96

ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN – ĐỀ SỐ 2 (Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 22y x mx (m là tham số) có đồ thị .mC

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số khi 1.m

b) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị mC là đỉnh của một tam giác vuông.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 3 sin 2 sin4 4

x x x

.


30 1 1

dxI

x

.


a) Cho số phức z thỏa điều kiện 3 1 2 2 3 4z i z i i . Tính mô đun của .z

b) Tìm hệ số của số hạng chứa 20x trong khai triển 12

2

3

2.x

x

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng :3 5 2 0P x y z

và đường thẳng 12 9 1: .

4 3 1

x y zd

Tìm tọa độ giao điểm của d và P . Viết phương

trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , đi qua giao điểm của d và P , đồng thời vuông

góc với .d

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

,B2

ADAB BC a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SC và

mặt phẳng ABCD bằng 045 . Gọi M là trung điểm của AB và G là trọng tâm ABC . Tính

thể tích khối chóp .S AMCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng SCD theo a.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho ABC có trọng tâm ,G biết

2;1 ,G hai đường thẳng ,AB AC có phương trình lần lượt là 2 3 0x y và 0.x y Tìm

tọa độ hai điểm , .B C

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

2 2

3 3

2

14 2 2, .

92 2

xy y x y x y x y

x yx y x y

Câu 9 (1,0 điểm). Cho , ,x y z là các số dương thỏa 3.x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức .x y z

Py z x

…HẾT…

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

97

CÂU ĐÁP ÁN a) (1,0 điểm) Khi 4 20 : 2m y x x C

TXĐ: D Sự biến thiên

3 2' 4 4 4 ( 1)y x x x x

Hs ĐB trên 1;0 ; 1; , NB trên ; 1 ; 0;1

Hs đạt CĐ tại 0, 0CDx y và đạt CT tại 1, 1CTx y

Giới hạn:

xlim y và

xlim y

BBT x 1 0 1 y 0 0 0 0 y 1 1

Đồ thị

b) (1,0 điểm) Hs đạt CĐ, CT 24 0y x x m có 3 nghiệm phân biệt

0m

mC có điểm CĐ 0;0A , hai điểm CT 2 2; , ;B m m C m m

mC đối xứng qua trục tung nên ABC vuông tại 2 22A BC AB

44 2m m m

1 (2,0đ)

0m hoặc 1.m So điều kiện nhận 1.m

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

98

2 (1,0đ) sin 3 sin 2 sin

4 4x x x

sin3 cos3 sin 2 sin cosx x x x x

sin cos 2sin 2 1 sin 2 sin cos 0x x x x x x

sin cos sin 2 1 0x x x

tan 1

sin 2 1

x

x

44 2

4

x kk

x k

x k

3 (1,0đ) Đặt

3

3

2

11

3

t xt x

dx t dt

Đổi cận 7 2

0 1

x t

x t

22

1

3

1

t dtI

t

222

1 1

13 1 3 ln 1

1 2

tt dt t t

t

3 3

3ln2 2

4 (1,0đ) a) Đặt ( , )z x yi x y . Từ đề bài ta có hệ

2 1

3 4 9

x y

x y

Giải ra 13 21

,5 5

x y nên 13 21

5 5z i

610

5z

b) Số hạng tổng quát là 12

512 3

2k

kkC xx

12 8 3612 2k k kC x

8 36 20 7k k Hệ số của 20x là 7 5

12 2 25344C

5 (1,0đ)

Gọi M là giao điểm của d và P 12 4 ; 9 3 ; 1M t t t

M P 3 12 4 5 9 3 1 2 0t t t

Suy ra 3.t Do đó 0;0; 2M

d có VTCP 4;3;1 ,u P có VTPT 3;5; 1n

đường thẳng cần tìm có

VTCP , 8; 7; 11v n u

2

:8 7 11

x y z

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

99

6 (1,0đ)

AD

B C

S

M

N

I

G

H

2 2 23 5

2 4 4AMCD ABCD MBC

a a aS S S

Góc giữa SC và ABCD là

045SCA

SAC vuông cân tại 2A SA AC a 2

.

3

1 1 5. . 2

3 3 4

5 2

12

S AMCD AMCD

aV S SA a

a

Kẻ AH SC . Suy ra ,d A SCD AH a

Kéo dài AG cắt đường thẳng CD tại I. G là trung điểm AI.

1, ,

2 2

ad G SCD d A SCD

7 (1,0đ)

A AB AC tọa độ điểm 1;1A

Gọi

; ;3 2

; ;

B a b AB B a a

C c d AC C c c

G là trọng tâm ABC 3 6 1

3 3 1 3 2G A B C

G A B C

x x x x a c

y y y y a c

44 1 11 113 ; , ;

11 3 3 3 3

3

aB C

c

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

100

…HẾT…

8 (1,0đ)

Đặt 2 2 2

2 2 2

02

20

x yu

u x y u v xz

v x y u v yx yv

z

Thay vào hệ pt ta được:

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3

2 4

9

0, 0

u v u v u v u v u v

u v

u v

3 3

3 3

7 0

9

0, 0

u v u v

u v

u v

3 3

0

9

0, 0

u v

u v

u v

hoặc

3 3

3 3

7 0

9

0, 0

u v

u v

u v

3 3

0

0

9

u

v

u v

hoặc

3 3

3 3

7 0

9

0, 0

u v

u v

u v

3

3

82

11

0, 0

uu

vv

u v

Với 2

1

u

v

thì 2

8 5

2 31

x yx y xzx y yx y

z

9 (1,0đ)

2

2 2 2 4x y z y

z x x x xy z y z

2

2 4 1x y

x x zy z

Cm tương tự: 2

2 4 2y z

y y xz x

2

2 4 3z x

z z yx y

Cộng (1), (2), (3) ta được: 2

3 9x y z

x y zy z x

3x y z

Py z x

Đẳng thức xảy ra khi 1x y z Vậy 3minP khi 1x y z

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

101

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – ĐỀ SỐ 3

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 23 3 2y x x x có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm tất cả giá trị của tham số k để đường thẳng 2y k x cắt (C) tại ba điểm phân biệt.

Câu 2. (1,0 điểm). Giải phương trình 3 sin 2 os2 4 3(cos 3 s inx)x c x x .

Câu 3. (1,0 điểm). Khai triển và rút gọn biểu thức nxnxx )1(...)1(21 2 thu được đa thức n

n xaxaaxP ...)( 10 . Tính hệ số 8a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn: nCC nn

17132 .

Câu 4. (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA = a. Tam giác SAC

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA,

BC; biết góc giữa MN với mp(ABC) bằng 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa

hai đường thẳng chéo nhau AC, MN theo a.

Câu 5. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 . Tâm I là giao điểm của hai đường thẳng 1 :d 3 0x y và đường thẳng 2 :d 6 0x y . Trung

điểm của cạnh AD là giao điểm của 1d với trục hoành. Xác định tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật.

Câu 6. (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 2 22 3 2 3 9x x x x x x

Câu 7. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

21 2 17 0

4 32

x xy y

x y xy

Câu 8. (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số thực dương và 3a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3

2

3 1 1 1

abcP

ab bc ca a b c

………… Hết …………

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

102

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 3 – toanphothong.com Câu Đáp án Điểm

1.1 (1,0 điểm) 3 23 3 2y x x x

* TXĐ: D * Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: 2 2' 3 6 3 3( 2 1) 0,y x x x x x ;

2' 0 2 1 0 1y x x x

Hàm số đồng biến trên khoảng ; .

0,25

+ ) Giới hạn: 3 2lim ( 3 3 2)x

x x x

3 2lim ( 3 3 2)x

x x x

0,25

+) Bảng biến thiên:

x 1 y + 0 +

y

* Đồ thị:

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-6 -4 -2 2 4 6

0,25

1.2 (1,0 điểm)

Ta có PT hoành độ giao điểm

3 2 23 3 2 2 2 1 0 1x x x k x x x x k 0,25

2

2

1 0 2

x

x x k

0,25

1 (2,0 điểm)

Để đường thẳng : 2d y k x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1)

phải có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 2.

4 3 0

4 2 1 0

k

k

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

103

3

43

k

k

0,25

Câu

Nội dung Điểm

Giải phương trình: 3sin 2 os2 4 3(cos 3sinx)x c x x

(1) 1,00

Đặt t = cosx + 3 sinx

2 2 2

2

1 os2 1 os2os 3sin 3 sin 2 3 3 sin 2 2 os2 3 sin 2

2 2

3 sin 2 os2 2

c x c xt c x x x x c x x

x c x t

0,25

Khi đó, (1) trở thành: t2 – 2 + 4 = 3t 2 13 2 0

2

tt t

t

0,25

+) t = 1 thì: 2

2cos 3 s inx 1 os os 3

3 32

x kx c x c

x k

+) t = 2 thì: cos 3 s inx=2 cos( ) 1 23 3

x x x k

0,25

2

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: 2

2 ; 2 ; 23 3

x k x k x k 0,25

Khai triển và rút gọn biểu thức nxnxx )1(...)1(21 2 1,00

Ta có

nnnnnn

n

nCC nn

1

)2)(1(

!3.7

)1(

2

3171

32

0,25

.90365

32

n

nn

n 0,25

Suy ra 8a là hệ số của 8x trong khai triển .)1(9)1(8 98 xx 0,25

3

Vậy 8a = .89.9.8 89

88 CC 0,25

Tính thể tích ... 2,00

*) Gọi I là trung điểm AC, do SAC cân tại S nên ( )SI ABC . Gọi H là trung điểm AI suy

ra MH//SI ( )MH ABC , do đó góc (MN,(ABC)) = MNH = 60 0 . 0,25

Ta có2

2ABC

aS . 0,25

Xét HCN có:

2

2 2 2 03 2 5; ; 2 . . os45

2 4 8

a a aNC HC NH HC NC HC NC c ;

10

4

aNH

0,25

Vậy 3.

1 30.

3 12S ABC ABCV SI S a 0,25

*) Goi J là trung điểm AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên MJ tức là HK MJ (1). 0,25

4

Ta có

, à / / 2

/ / , à (3)

JN BI m BI HJ JN HJ

SI MH m SI JN JN MH

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

104

Từ 2 , 3 4

1 , 4

JN MHJ HK HK JN

HK MNJ

0,25

Do đó ( , ) ( , ) ( , ( ))d AC MN d H AC MN d H MJN HK S

= 2 2

.MH HJ

MH HJ =

2 2

30 2. 304 4

1630 216 16

a aa

a a

M K A H I C J N B

0,25

Tìm tọa độ đỉnh của hình chữ nhật 1,00

Tọa độ I là nghiệm của hệ: 3 0

6 0

x y

x y

9 3

( ; )2 2

I . Gọi M là trung điểm của AD, Tọa độ

của M là nghiệm của hệ 0

(3;0)3 0

yM

x y

0,25

Suy ra AB = 2 IM = 3 2 . Mặt khác 12

. 2 23 2

ABCDABCD

SS AB AD AD

AB . Vì M, I

cùng thuộc 1d suy ra AD 1d . Vậy AD đi qua điểm M và nhận (1;1)n

làm véc tơ pháp

tuyến có phương trình: 3 0 3 0x y x y .

0,25

Lại có MA = MD = 22

AD . Tọa độ điểm A, D là nghiệm của hệ

2 2

3 0 2 4

1 13 2

x y x x

y yx y

. Chọn (2;1); (4; 1)A D

0,25

5

Các điểm C, B lần lượt đối xứng với A, B qua I. Suy ra tọa độ điểm C(7; 2); B(5;4) 0,25

Giải phương trình: 2 2 22 3 2 3 9x x x x x 1,00

Đặt 2 3t x x , phương trình đã cho trở thành: 2 12 0t t 0,25

2 312 0

4

tt t

t

0,25

Với 3t thì 2

2 2

33 3 1

3 6 9

xx x x

x x x

0,25 6

Với 4t thì 2

2 2

43 4

3 8 16

xx x x

x x x

Vậy, phương trình có nghiệm là: 1x .

0,25

Giải hệ phương trình

21 2 17 0

4 32

x xy y

x y xy

1,00 7

Hệ đã cho tương đương với: ( ) 2( ) 16

( )( 4) 32

x x y x y

x y xy

16 ( )( 2) (1)

( )( 4) 2.16 (2)

x y x

x y xy

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

105

Thế (1) vào (2) được: x y xy 4 2 x y x 2 2 0x x y y

0; 0; 2.x x y y 0,25

+) x = 0 thay vào (1) được: y = 8 +) x + y = 0 thay vào (1) được: 0x = 16 (VN) +) y = 2 thay vào (1) được: x = 2 hoặc x = -6

0,25

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: (0; 8); (2; 2); (-6; 2) 0,25 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .................. 1,00

áp dụng Bất đẳng thức: 2( ) 3( )x y z xy yz zx , , ,x y z ta có: 2( ) 3 ( ) 9 0ab bc ca abc a b c abc 3ab bc ca abc

Ta có: 33(1 )(1 )(1 ) (1 ) , , , 0a b c abc a b c . Thật vậy:

2 33 33

1 1 1 1 ( ) ( )

1 3 3 ( ) (1 )

a b c a b c ab bc ca abc

abc abc abc abc

0,25

Khi đó: 3

3

2

3(1 ) 1

abcP Q

abc abc

(1).

Đặt 6 abc t ; vì a, b, c > 0 nên 3

0 13

a b cabc

0,25

Xét hàm số 2

3 2

2, 0;1

3(1 ) 1

tQ t

t t

5

2 23 2

2 1 1( ) 0, 0;1

1 1

t t tQ t t

t t

.

Do đó hàm số đồng biến trên 0;1 11

6Q Q t Q (2). Từ (1) và (2):

1

6P .

0,25

8

Vậy maxP = 1

6, đạt được khi và và chi khi : 1a b c . 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

106

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT CHÍ LINH

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2014

Môn Thi : TOÁN

Lần thứ 1

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề gồm 01 trang

Câu I ( 4,0 điểm). Cho hàm số 3

23 16

2 4 2

xy x mx .

1) Với 1

2m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 2) Tìm các số thực m để hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu trên [-1;1].

Câu II (2,0 điểm). Giải các phương trình sau

1) s inx-cos3 2cos 2 cos

2 sin 2tan tan

4 4

x x xx

x x

. 2) (5 2 6) (5 2 6) 10x x .

Câu III (2,0 điểm). Giải các bất phương trình sau 1 2

3 1

3

1) log (2 8) log (24 2 ) 0.x x

2) 22( 3 3 2 ) 2 3 7 0x x x x .

Câu IV (2,0 điểm). Tính các tích phân

1) 2

0

( 2) cosx xdx

. 2) 0

4 21 1

xdx

x x .

Câu V (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 3 3 2 2

2 2

3( ) 4( ) 4 0( , )

2( ) 18

x y x y x yx y

x y x y

.

Câu VI (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 060 ,ABC cạnh bên SA

vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 060 . 1) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. 2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD. 3) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD theo a.

Câu VII (2,0 điểm). Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(4;2), B(-3;1), C là điểm có hoành độ dương nằm trên đường thẳng (d):x+y=0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC bằng 25. Câu VIII (1,0 điểm). Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập được tổ công tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân tổ viên. Câu IX (1,0 điểm). Giữa hai nông trường chăn nuôi bò sữa có một con đường quốc lộ. Người ta xây dựng một nhà máy sản xuất sữa bên cạnh đường quốc lộ và con đường nối hai nông trường tới nhà máy. Hỏi phải xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy như thế nào để cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất.

Câu X (1,0 điểm). Cho các số thực ,a b thoả mãn 5

3

a b

a

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2a bP a b . ………….…………………………………Hết………………………………………


Họ và tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh:………………….

Chữ kí giám thị 1:…………………….………… Chữ kí giám thị 2:…………………………………

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

107

2

H−íng dÉn chÊm

Câu Nội dung Điểm

I:(4,0 đ)

1.a)2,0đ a)khi

321 3 1

32 2 4 2

xm y x x

1. Tập xác định: D

2. Sự biến thiên của hàm số

* Giới hạn tại vô cực của hàm số.

32 3

2 3

3 1 1 3 3 1lim lim ( 3 ) lim ( ) ; lim

2 4 2 2 4 2x xx x

xy x x x y

x x x

0,25

* Lập bảng biến thiên 2

91 ( 1)

3 3 4' 3; ' 092 2

2 (2)2

x yy x x y

x y

0,25

bảng biến thiên

9

4

y'

-1

+ +- 00

-

-9

2

+

+2-

y

x

0,5

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 1 ) và (2;+ );

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;2);

0.25

Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 =>yct= , Hàm số đạt cực đại tại x=0=>ycđ= 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

108

3

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2)

ĐTHS đi qua (-1; 9/4), (-5/2;-9/2)

0,5

1.b)1,0đ Tập xác đinh : D 3

23 13

2 4 2

xy x x

23 3 11' 3; '(1) 3; (1)

2 2 4

xy x y y

0,5

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1

là '(1)( 1) (1)y y x y

0,25

=-3(x-1)-

11

4=-3x

1

4

0,25

2.(1,0 đ) Tập xác đinh : D ;

23 3' 6

2 2

xy x m

Do y’ là tam thức bậc hai nên hàm số có cực đại, cực tiểu trên [-1;1]

0,25

23 36 0

2 2

xx m có hai nghiệm phân biệt

,2

4 4

x xm

có hai nghiệm phân biệt , đường thẳng y=m cắt đồ

thị hàm số 2

( )4 4

x xf x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ,

0,25

Lập bảng biến thiên ta được - 0,5

4

2

-2

-4

5

I-9

8

1

2

-5

2

-9

2

9

4

y

x7

2

2O

-1

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

109

4

II.(2,0đ)

1.(1,0đ) Giải phương trình s inx-cos3 2cos 2 cos

2 sin 2tan tan

4 4

x x xx

x x

. (1)

Điều kiện:

4 4tan tan 04 4

( )4 4 4 2

os os 014 4 (cos 2 os ) 02 2 4 2

x k x kx x

x k x k x k k

c x c xx c x k

1sin sin ( os2 os )4 4 2 2tan tan 1

14 4 ( os2 os )os os2 24 4

x x c x cx x

c x cc x c x

0,25

(1) 2 sin 2 s inx-cos3 2cos 2 cos

2 sin 2 s inx-cos3 cos os3

x x x x

x x x c x

0,25

2 sin 2 2 s in

4x x

22 244sin 2 s in

242 ( ) 2

4 34

x kx x kx x

x kx x k

0,25

Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là

11 52 , 2 ( )

12 12x k x k k

0,25

2.(1,0đ) (2)

Đặt .

Thay vào (2) ta có

0,25

(thỏa mãn)

0,25

Với 0,25

Với 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

110

5

II.(2,0đ)

1.(1,0đ) Giải các bất phương trình sau 1 2

3 1

3

1) log (2 8) log (24 2 ) 0 (1)x x

Điều kiện :

(1)

0,25

0,25

0,25

0,25

2.(1,0đ)

Điều kiên :

0,25

(3)

0,25

Do

0,25

Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương

trình là T=[1;

0,25

IV.(2,0đ)

1.(1,0đ) Đặt

2

os dx s inx

U x dU dx

dV c x V

0,25

2

2 2

0 0

0

( 2) cos ( 2)sin sin xx xdx x x xd

0,25

20

( 2) os2

c x

0,25

3

2

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

111

6

2.(1,0đ)

0,25

Đặt ; =

Nếu x=-1 thì t=

Nếu x=0 thì t=

0,25

0,25

0,25

V.(1,0đ) Giải hệ phương trình

..

3 2 3 2

3 3

(1) 3 4 4 3 4

( 1) 1 ( 1) 1 (3)

x x x y y y

x x y y

0,25

Xét mà (3) có

0,25

Thay y=x+2 vào (2) ta có

Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là (-3;-1), (3;5).

0,5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

112

7

VI.(4,0đ)

O

M

H600

600

a

D

CB

A

S

1.(1,0đ) SA (ABCD) =>AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên 0( , ( )) ( , ) 60SC ABCD SC AC SCA

0,25

tam giác ABC có AB=BC=a, 060 ,ABC nên tam giác ABC đều => AC=a

trong tam giác SAC vuông tại A nên 0. tan 60 3SA AC a

0,25

Diện tích ABCD là

201 3

2 2. . sin 602 2ABCD ABC

aS S AB BC

0,25

Thể tích S.ABCD là

3

.

1.

3 2S ABCD ABCD

aV SA S

0,25

2.(1,5đ) Kẻ AH CD(H , đường cao AH=

Trong tam giác vuông SAH có 2 2 15

2

aSH SA HA

0,25

Do SA (ABCD) ,SA CD CD AH CD SH

Diện tích tam giác SAD là 21 15

.2 4SCD

aS SH CD

0,25

2 3

.

( , ( )). 1 1 3 3 15. 3. ( , ( ))

3 3 3 4 4S 5SCD

S ACD ACDSAD

d A SCD S a a aV SA S a d A SCD

0,5

Do AB//(SCD) nên d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=

15

5

a

0,5

3.(1,5đ) Do CA=CB=CD=a nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

113

8

Kẻ Cx//SA, trong (SAC) kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD.

0,25

Thật vậy Cx//SA Cx (ABD) OC (ABD) mà CA=CB=CD nên OA=OB=OD mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA=OS

OA=OB=OD=OS O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r=OA

0,5

dẽ thấy MACO là hình chữ nhật nên 2 2 2 23 7

( )2 2

a ar AC AM a

0,5

VII.(2,0đ) AB

=(-7;-1) là véc tơ chỉ phương của AB nên véc tơ pháp tuyến là (1; 7)n

phương trình AB: 1 x 4 7 y 2 0 7 10 0x y

BA

C

I

2 2

( ) ( ; ) ( 0)

| 7 10 | | 8 10 |( , ) ; 50

501 7

C d C c c c

c c cd C AB AB

0,5

diện tích tam giác ABC bằng 25 nên ta có

51 | 8 10 |

( , ). . 50 25 (5; 5)152 02 50

2ABC

cc

S d C AB AB Cc

0,5

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

2 2 2 2( ) : 2ax 2 0 ( 0)C x y by c a b c

Do A, B, C nằm trên (C) nên ta có hệ

2 2

2 2

2 2

4 2 8 4 0 8 4 20

( 3) 1 6 2 0 6 2 10

10 10 505 ( 5) 10 10 0

a b c a b c

a b c a b c

a b ca b c

0,5

1

2

20

a

b

c

Phương trình đường tròn (C): 2 2 2 4 20 0x y x y

0,5

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

114

9

VIII.(1,0đ) Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng trong 3 kĩ sư số cách chọn là 3. Được 1 tổ trưởng 0,25

Chọn 1 công nhân làm tổ phó trong 7 công nhân số cách chọn là 7. Được 1 tổ trưởng, 1 tổ phó

0,25

Chọn 3 công nhân làm tổ viên trong 6 công nhân số cách chọn là số tổ hợp chập

3 của 6 là 36C

0,25

số cách lập tổ công tác thỏa mãn đề bài là 363.7. 420C 0,25

IX.(1,0đ) Giả sử A, B là hai địa điểm tập trung nguyên liệu của hai nông trường chăn nuôi bò sữa, đường quốc lộ là đường thẳng d, M là vị trí xây dựng nhà máy trên đường quốc lộ . Xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy để cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất là ta phải tìm điểm M và đường MA, MB sao cho MA+MB ngắn nhất

0,5

Do A, B nằm về hai phía với d nên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng

0,25

Vậy phải xây dựng con đường nối hai địa điểm tập trung nguyên liệu A, B của hai nông trường và địa điểm xây dựng nhà máy sản xuất sữa M bên đường quốc lộ sao cho A, M, B thẳng hàng.

0,25

X.(1,0đ) Xét

( ) 2 (2 ln 2 1)( ) , 0x mf x x x m m '( ) 2 ln 2 1 (2 ln 2 1); '( ) 0x mf x f x x m

Lập bảng biến thiên ta được

( ) 2 2 (2 ln 2 1)( ) 2 , 0(*)m x m mf x m x x x m m x m

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=m

0,5

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

3 2

2 2

2 (2 ln 2 1)( 3) 2 3 (1)

2 (2 ln 2 1)( 2) 2 2 (2)

a

b

a a a

b b b

Cộng các vế của (1)(2) ta được

3 2 32 3 2 2 (2 ln 2 1)( 3) (4 ln 2 1)( 2) ,P a b a b

0,25

7 (4 ln 2 1)( 5) 4( 3) ln 2 7P a b a

Khi a=3,b=2 thì P=7 nên giá trị nhỏ nhất của P bằng 7

0,25

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

115

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 3 23 2y x x có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 9 2014y x

Câu 2.(1,0 điểm) Giải phương trình: 1 sin 2 os2 cos 0x c x x Câu 3. (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 13 4.3 1 0.x x Câu 4. (1,0 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2( ) ( 5)xf x e x x trên đoạn [1; 3]

b) Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất hai bút cùng màu. Câu 5. (1,0 điểm) Tìm nguyên hàm 2( 1)xI e x x x dx .

Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh

bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối chóp

S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN).

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường

tròn tâm I, các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại

các điểm 1; 5 ,M 7 5; ,

2 2N

13 5;

2 2P

(M, N, P không trùng với A, B, C). Tìm tọa độ của A,

B, C biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua 1;1Q và điểm A có hoành độ dương.

Câu 8. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình


Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 0a b c và 2 2 2 2a b c ab bc ca .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1

( ) 1 ( )( 2 )

a c a bP

a b c a b a c a b c

.

---------- HẾT ----------

TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG C

TỔ TOÁN - TIN

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ 1 NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

3

2 2 3

8 13 1 3 2 7 , .

1 8 7 12 1 3 2

x y x y xx y

y x y x y y x y

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

116

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 2 2

2 1

xy C

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của(C) biết tung độ tiếp điểm bằng 2 c) Tìm m để đường thẳng : 2 1d y mx m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao

cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất ( với O là gốc tọa độ).

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình: 82

1log ( 1) 3log (3 2) 2

2x x

Câu 3. (1,0 điểm) Giải phương trình: 2cos 2 cos sin sin 4 0x x x x

Câu 4. (1,0 điểm) Cho khai triển 8

2 x tìm hệ số của số hạng chứa 6x trong khai triển đó

Câu 5. (1,0 điểm) Tính nguyên hàm 3 cos lnx x x x

I dxx

.

Câu 6. (1,0 điểm) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2( ) 8lnf x x x trên [1; e] Câu 7. (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có ( ),SC ABCD đáy ABCD là hình thoi có cạnh

bằng 3a và 0120 .ABC Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và ( )ABCD bằng 045 . Tính

theo a thể tích của khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD. Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm trên đường thẳng : 1 0d x y . Điểm 9;4E nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm

2; 5F nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, 2 2AC . Xác định tọa độ các đỉnh hình

thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm.

Câu 9. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2

4 2 2

4 1 1 2 2 1 , .

1

y x y xx y

x x y y

……………………………………….Hết…………………………………………….


Môn thi: Toán


Môn thi: Toán

WW

W.T

oanC

apBa

.Net

WWW.ToanCapBa.Net

117

Technology

20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án