MATEMATIKA DISKRIT

Kelompok I :

1. Ayu Ariyanti2. Heppi Gustia3. Popi Junita4. Septi Pravita Sari

Matematikav.c

LOGIKA PROPOSISI

Proposisi ialah kalimat logika yang merupakan pernyataan tentang

hubungan antara dua atau beberapa hal yang dapat dinilai benar atau salah.

KOMBINASI PROPORSISI

1.Konjungsi

Gabungan  dua  pernyataan  tunggal  yang  menggunakan  kata

penghubung  “dan”  sehingga  terbentuk  pernyataan majemuk  disebut konjungsi.

Konjungsi mempunyai kemiripan dengan operasi irisan () pada  himpunan.

•P : Manusia memiliki dua mata

•q : Manusia memiliki dua telinga

Konjungsi : Manusia memiliki dua mata dan manusia

memiliki dua telinga 

2. Disjungsi

Disjungsi adalah proposisi majemuk yang menggunakan perangkai “atau”.

Poposisi  “p  atau  q”  dinotasikan q ᵛ  p. Tidak  seperti  pernyataan  berperangkai “dan” 

yang  mempersyaratkan  terpenuhinya  kebenaran  semua  unsurnya,  pernyataan 

berperangkai  “atau” menawarkan  suatu  pilihan,  artinya  jika  paling tidak salah satu dari

kedua unsur proposisinya terpenuhi maka hal ini sudah cukup untuk pernyataan tersebut

dikatakan benar.

• p : ikan memiliki sirip

• q : ikan hidup di darat

Disjungsi : Ikan memiliki sirip atau ikan hidup di darat

Tabel Kebenaran :

3. Ingkaran atau Negasi

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “” atau “”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.

contoh:p : joko berambut keritingIngkaran : tidak benar joko berambut keriting

Disjungsi Eksklusif

Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara. Cara

pertama, “atau” digunakan secara inklusif (inclusive or) yaitu dalam bentuk “p

atau q atau keduanya”. Artinya, disjungsi dengan operator “atau” bernilai benar

jika salah satu dari proposisi atomiknya benar atau keduanya benar.

Misalkan p dan q adalah proposisi. Exclusive or p dan q, dinyatakan

dengan notasi p Å q, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu

dari p dan q benar, selain itu nilainya salah.

Tabel kebenaran exclusive or p q p Å qT T FT F TF T TF F F

Hukum-hukum Logika Proposisi

1. Hukum identitas: (i) pv F= p (ii) p^T=p

2. Hukum null/dominasi:

(i) p^ F= F (ii) pv T= T

3. Hukum negasi: (i) p v~p =T (ii) p^ ~p= F

4. Hukum idempoten: (i) pv p= p (ii) p^p= p

5. Hukum involusi (negasi ganda): ~(~p) Û p

6. Hukum penyerapan (absorpsi): (i) p Ú (p Ù q) Û p (ii) p Ù (p Ú q) Û p

7. Hukum komutatif: (i) p Ú q Û q Ú p (ii) p Ù q Û q Ù p

8. Hukum asosiatif: (i) p Ú (q Ú r) Û (p Ú q) Ú r (ii) p Ù (q Ù r) Û (p Ù q) Ù r

9. Hukum distributif: (ii p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r)(ii) p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)

10. Hukum De Morgan: (i) ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q (ii) ~(p Ú q) Û ~p Ù ~q

Proposisi Bersyarat (Implikasi)

Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga

dapat muncul berbentuk “jika p, maka q”, seperti pada contoh-contoh berikut:

a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.

b. Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.

c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri.

Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat

atau kondisional atau implikasi.

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut

proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan p ®q

Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q

disebut konklusi (atau konsekuen).

Tabel kebenaran implikasi :  

p q p ® qT T TT F FF T TF F T

Varian Proposisi Bersyarat

Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p ® q, yaitu proposisi sederhana yang

merupakan varian dari implikasi. Ketiga variasi proposisi bersyarat tersebut adalah konvers, invers, dan

kontraposisi dari proposisi asal p ® q.

Konvers (kebalikan) : q ® p

Invers : ~ p ® ~ q

Kontraposisi : ~ q ® ~ p

Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi

Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

p q ∼p ∼q p→q q→p ∼p → ∼q ∼q → ∼p

T T F F T T T TT F F T F T T FF T T F T F F TF F T T T T T T

Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional ialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk

”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”. Biimplikasi

sering disebut juga sebagai implikasi dua arah. Pernyataan “p jika dan hanya jika q”

dilambangkan dengan “p⇔q”.

Pernyataan biimplikasi “p⇔q” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai

kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah), sedangkan jika nilai kebenaran p

dan q tidak sama maka p ⇔ q merupakan pernyataan yang salah.

Tabel kebenaran :

INFERENSI : adalah tindakan atau proses yang berasal kesimpulan logis dari premis-premis yang

diketahui atau dianggap benar.

ARGUMEN : adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-

pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan

dari argumen.

AKSIOMA : yaitu suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa

memerlukan pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri

sendiri, dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten,

dapat membangun sistem tersebut , dan tidak saling bertentangan.

TEOREMA : Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika dan

dibuktikan.

 LEMMA : adalah teorema sederhana yang dipergunakan sebagai hasil

dalam pembuktian teorema lain.

COROLLARY : suatu proporsisi yang secara langsung diperoleh dari

teorema yang sudah dibuktikan.

Terima Kasih