Pascual pascual miguel_2009

División de Ciencias Forestales

Departamento en Estadística

Matemática y Cómputo

Modelos Probabilísticos de Inventarios

T e s i s p r o f e s i o n a l

Que como requisito parcial para obtener el título de:

L I C E N C I A D O EN E S T A D Í S T I C A

P R E S E N T A:

Pascual Pascual Miguel

Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Diciembre del 2009

ii

Esta tesis fue realizada por C. Pascual Pascual Miguel, bajo la dirección del Doctor Eduardo

Gutiérrez González. Fue revisada y aprobada por el siguiente Comité Revisor y Jurado

Examinador, para obtener el título de Licenciado en Estadística.

PRESIDENTE.

Dr. Eduardo Gutiérrez González

_______________________________

SECRETARIO.

Dr. Antonio Villanueva Morales

______________________________

VOCAL.

Lic. Margarito Soriano Montero

______________________________

SUPLENTE.

M. C. Alejandro Corona Ambriz

______________________________

SUPLENTE.

M. C. Ángel Leyva Ovalle

______________________________

Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Diciembre del 2009

iii

Agradecimientos

A dios que me dio el ser.

A la Universidad Autónoma Chapingo por darme la valiosa oportunidad de formarme

profesionalmente y por ser mi hogar durante siete maravillosos años.

Al Dr. Eduardo Gutiérrez González, por su paciencia y su valioso tiempo brindado para la

elaboración del presente trabajo. Y a los profesores que conforman mi comité asesor.

A todos mis profesores de la licenciatura en Estadística que se esforzaron en mi formación

profesional.

Especialmente a mi familia por todo el desgaste físico y económico que brindaron, y por su

gran muestra de cariño y amor.

iv

Dedicatoria

A mis padres: Teresa y Alejandro, por enseñarme

a luchar hacia delante, por su gran corazón

y capacidad de entrega, pero sobre todo por

enseñarme a ser responsable, gracias a

ustedes he llegado a esta meta. Los AMO.

A mis hermanas (os): Miguel, Mariola, Juanita,

Alejandro y Ashley, que son parte importen

en mi vida y que siempre me compartieron

su apoyo y cariño, los AMO.

A mis abuelos: Pascual y Felipe,

por sus sabios consejos durante

esta etapa de mi vida.

A la memoria de mis abuelas: María † y Juana

†,

que Dios los tenga en su gloria.

A Gladis, una mujer extraordinaria

que siempre me ha brindado su cariño y amor.

A mis amigos (as), que con quienes

compartí momentos gratos e inolvidables,

desde mi infancia hasta mi formación profesional.

A todas las amistades que de alguna

forma aportaron su granito de arena

en mi formación profesional.

Con cariño

Pascual

v

Contenido

Introducción .......................................................................................................................... 1

Planteamiento ....................................................................................................................... 3

0bjetivos ................................................................................................................................ 4

CAPÍTULO 1 .......................................................................................................................... 5

MODELOS DE INVENTARIOS PROBABILÍSTICOS ............................................................................... 5

1.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 5

1.2 ANÁLISIS MARGINAL .......................................................................................................................... 5

1.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR DE

PERIÓDICOS DEMANDA DISCRETA ....................................................................................................... 6

ANÁLISIS DEL MÉTODO .................................................................................................................. 7

1.4 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR DE

PERIÓDICOS DEMANDA CONTINUA .................................................................................................... 11

1.5 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA .................................................................... 14

1.6 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS ................... 16

1.7 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS ................................................................................................. 22

1.8 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE VENTAS

PENDIENTES Y PÉRDIDAS ...................................................................................................................... 27

1.9 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO CON DEMANDA INCIERTA: MÉTODO DE NIVEL DE

SERVICIO PARA DETERMINAR EL NIVEL DE LA RESERVA DE SEGURIDAD ............................. 29

1.10 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE SEGURIDAD

PARA 1SLM .............................................................................................................................................. 31

1.11 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE SEGURIDAD

PARA 2SLM ............................................................................................................................................. 33

1.12 MODELO DE INVENTARIOS DE DOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN................ 35

1.13 MODELO DE VARIOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN ........................................... 37

CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................ 38

MODELOS DE INVENTARIOS CON DEMANDA DE DISTRIBUCIÓN CONOCIDA ........................ 38 2.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 38 2.2 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA DISCRETA ......... 38

2.2.1 DEMANDA CON DISTRIBUCION BINOMIAL ......................................................................... 38 2.2.2 DEMANDA CON DISTRIBUCION POISSON ............................................................................ 38 2.2.3 DEMANDA CON DISTRIBUCION GEOMÉTRICA ................................................................... 41

2.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA CONTINUA ........ 42 2.3.1 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN UNIFORME ............................................... 42 2.3.2 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ................................................... 43 2.3.3 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN GAMMA .................................................... 44 2.3.4 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL ........................................ 45 2.3.5 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN WEIBULL .................................................. 45

2.4 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA ................................................................... 47 1) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME ......... 48

vi

2) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ............. 48 3) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA............... 48 4) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL .. 49 5) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL ............ 49

2.5 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS ................... 50 2.5.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME ..... 51 2.5.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ........ 51 2.5.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA .......... 52 2.5.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

................................................................................................................................................................. 53 2.5.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL ........ 53

2.6 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS ................................................................................................ 56 2.6.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME ..... 57 2.6.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ........ 57 2.6.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA .......... 58 2.6.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL


2.7 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE VENTAS

PENDIENTES Y PÉRDIDAS ...................................................................................................................... 62 2.7.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME ..... 62 2.7.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ........ 63 2.7.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA .......... 64 2.7.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL


CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................ 68

MODELOS DE INVENTARIOS DINÁMICOS Y CON CADENAS DE MARKOV ............................... 68 3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 68 3.2 MODELO ESTOCÁSTICO DINÁMICO ............................................................................................. 68 3.3 PROCESOS ESTOCÁSTICOS .............................................................................................................. 78

3.3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS CADENAS DE MARKOV .................................................... 79 3.3 .2 MODELO CUANDO LA DEMANDA ES GENERADA POR UN PROCESO POISSON ......... 82

CAPÍTULO 4 ........................................................................................................................ 88

APLICACIÓN ................................................................................................................................................. 88 4.1 CASO DE ESTUDIO ............................................................................................................................. 88 4.2 METODOLOGÍA ................................................................................................................................... 89 4.3 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ............................................................................................................ 96

Conclusiones .................................................................................................................... 106

Bibliografía ........................................................................................................................ 107 Anexo………………………………………….…………………………………………………… 109

vii

Índice de tablas

Tabla 4.1. Muestra de la demanda y devoluciones…...……………..……………………….96

Tabla 4.2. Clases y frecuencias de la demanda…..…………………………………………..96

Tabla 4.3. Clases y frecuencias de las devoluciones………………………………………..97

Tabla 4.4. Análisis de ventas semanales…………………...………………………………...101

Tabla 4.5. Muestra de la demanda…………………………...………………………………...102

Tabla 4. 6. Clases y frecuencias de la demanda…..………………………………………..102

Tabla 4.7. Análisis de la demanda semanal…………………………………………….……105

Índice de figuras

Figura 1.1. Muestra el costo esperado y su valor mínimo…………………..……….…….…6

Figura 4.1. Histograma de la demanda….………………………………………………………97

Figura 4.2. Histograma de las devoluciones…………………………………………………..97

Figura 4.3. Prueba de bondad y ajuste, prueba de normalidad en R…..……………….…99

Figura 4.4. Histograma de la demanda…………………………….………………………….103

viii

RESUMEN

En la presente investigación se revisan los modelos probabilísticos de inventarios partiendo

del análisis marginal como la base teórica de los modelos probabilísticos existentes. Se

generalizan los modelos probabilísticos a partir de familias de distribuciones conocidas

obteniendo resultados importantes y algoritmos de solución que son fáciles de aplicar para la

estimación del lote económico.

De forma introductoria se ilustra la solución de ejemplos de inventarios con demanda

dinámica probabilística e inventarios generados por cadenas de Markov.

Se desarrolla una metodología para la estimación del lote económico ( q ) fundamentada

en la teoría de la inferencia estadística y se ilustra la solución de inventarios de dos productos

de forma independiente.

Palabras clave

Estadística, cadena, inventario, modelo y probabilidad.

ix

SUMMARY

In this research we review probabilistic inventory models based on the marginal analysis as

the theoretical basis of the existing probabilistic models.It generalizes the probabilistic models

from known distributions to obtain significant results and solution algorithms that are easy to

apply to estimate the efficient lot.

In an introductory we illustrate the solution of examples of probabilistic dynamic demand

inventories and inventories generated by Markov chains.

We develop a methodology for estimating the efficient lot ( q ) based on the theory of

statistical inference, and illustrate of inventories solution of two products independently.

Keywords

Statistics, chain, inventory, and probability model.

1

Introducción

Un inventario constituye la cantidad de existencias de un bien o recurso cualesquiera, un

Sistema de Inventarios es el conjunto de políticas y controles que regulan los niveles de

inventario y determinan que niveles de inventario se deben mantener [Nahmias (2007)].

Por otra parte Ballou (2004) considera a los inventarios como acumulaciones de

materias primas, provisiones, componentes, trabajo en proceso, y productos terminados que

aparecen en numerosos puntos a lo largo del canal de producción y de logística en una

empresa.

El objetivo básico de los inventarios es especificar cuando se deben ordenar los artículos

y cuál debe ser el volumen de la orden [Winston(2004)].

Mantener un nivel de inventario genera costos que se deben de tener en cuenta cuando se

toma alguna decisión [Ballou (2004)]. A continuación se mencionan:

1. Costos de ordenar o fabricar,

2. Costos de mantener o almacenar,

3. Costos de penalización por faltantes o demanda insatisfecha,

Otros costos relevantes:

4. Los ingresos,

5. Los costos de recuperación o salvamento y

6. Las tasas de descuento.

Los inventarios en general tienen una demanda probabilística. Luego, en esta

investigación se generalizan los modelos probabilísticos ya existentes de inventarios de un

solo periodo que tienen como fundamento teórico el análisis marginal. Las funciones de

distribuciones que se generalizan partiendo de la teoría son: la binomial, Poisson, geométrica,

uniforme, normal, gamma, exponencial y la weibull.

Los resultados generalizados con las funciones de distribución son tan importantes y

fáciles de aplicar para la estimación del lote económico ( q ) que está en función del costo y el

punto de reorden óptimo.

Estos resultados son aplicables a ciertos inventarios probabilísticos que presenten una

tendencia o comportamiento de cualquiera de las distribuciones mencionadas anteriormente.

La aplicación se lleva a cabo mediante la elaboración de algoritmos de solución, es decir,

2

pasos para resolver un problema de aplicación; y el algoritmo se aplica de forma iterativa para

llegar a una solución óptima.

Los inventarios probabilísticos se complementan con una introducción a inventarios

dinámicos probabilísticos y los inventarios con procesos estocásticos, en particular con

cadenas de Markov que dan solución a ciertos inventarios que presentan un comportamiento

discreto y que siguen cierto proceso, como por ejemplo el proceso Poisson.

Se propone una metodología que da solución a los inventarios que presentan una

tendencia de las distribuciones generalizadas. Esta metodología se fundamenta en la teoría de

la inferencia estadística, por lo mismo que se requiere la determinación de la distribución, la

estimación de los parámetros y pruebas de bondad de ajuste.

La metodología propuesta se ilustra mediante la solución de dos inventarios

probabilísticos de forma independiente siguiendo de forma detallada los pasos propuestos en

la metodología y utilizando los datos que provienen de la demanda en una tienda de

conveniencia.

De esta forma el trabajo se desarrolla en cuatro capítulos los cuales son los siguientes:

En el capítulo uno se revisará las bases teóricas de los modelos probabilísticos, iniciando

con el análisis marginal, como fundamento teórico para la creación de los modelos de

inventarios probabilísticos.

En el capítulo dos se desarrollarán los modelos probabilísticos de inventarios,

clasificándolos por el tipo de distribución de su demanda, se verán inventarios con funciones

de distribución conocidas.

En el capítulo tres se hace una introducción a modelos dinámicos probabilísticos

mediante la ilustración de ejemplos y la teoría de procesos estocásticos, en particular las

cadenas de Markov aplicadas a inventarios probabilísticos.

Finalmente en el capitulo cuatro se desarrolla una metodología para la solución de

problemas de inventario probabilístico para tiendas de conveniencia o a empresas similares, es

decir, que maneje este tipo de inventarios.

3

Planteamiento

La demanda siempre es incierta, es por ello que se desarrolla modelos probabilísticos para

mitigar esta incertidumbre y que conlleva a la de decisión adecuada u optima en la cantidad

del lote económico a pedir.

La obtención de los modelos probabilísticos de inventarios parte de la teoría

fundamental que es el análisis marginal. El análisis marginal se fundamenta en la

minimización del costo total del lote económico.

La generalización de los modelos probabilísticos de inventarios con funciones de

distribución más conocidas es muy importante, puesto que por medio de ellos se generan

resultados y algoritmos de solución a ciertos inventarios probabilísticos. En este caso a

inventarios de tiendas de conveniencia.

De forma introductoria se ilustra ejemplos de inventario dinámicos probabilísticos y

procesos estocásticos.

Finalmente de se desarrolla una metodología para la estimación del lote económico para

estos tipos de inventarios, misma que se ilustra con dos problemas, es decir, con dos productos

de una tienda de conveniencia.

4

0bjetivos

En el presente trabajo se siguen los siguientes objetivos:

Revisar las bases teóricas de los modelos probabilísticos.

Construir modelos de inventarios probabilísticos con funciones de distribución

desconocidas.

Construir modelos de inventarios probabilísticas con funciones de distribución

conocidas.

Revisar la teoría de modelos de inventarios estocásticos.

Desarrollar una metodología para la aplicación de los modelos de inventarios

probabilísticos.

5

Capítulo 1

MODELOS DE INVENTARIOS PROBABILÍSTICOS

1.1 INTRODUCCIÓN

En los modelos deterministas de inventarios se requiere que se conozca con certeza la

demanda durante cualquier periodo, o que se pueda aplicar la aproximación a los modelos que

cumplen con un coeficiente de variación pequeño. Pero en general las demandas son de tipo

probabilístico y dependen de cierta distribución, de esta forma el trabajo que se presenta

resume los modelos de inventarios probabilísticos más usados, llevando en cada caso una

metodología de pasos para poder generalizar a diferentes tipos de distribuciones.

Por su parte en este capítulo se revisarán las bases de los modelos probabilísticos,

iniciando con el análisis marginal, como fundamento teórico para la creación de los modelos

de inventarios probabilísticos. En los modelos probabilísticos de inventarios, se revisarán

inventarios de periodo único en los que se termina un problema una vez que se ha hecho una

decisión única de pedido.

El capítulo finaliza resumiendo los modelos de inventarios en varios periodos, estos se

desarrollan bajo la teoría para la estimación de los valores críticos **

2

*

1 ,...,, nqqq que describen

la política óptima de inventario.

1.2 ANÁLISIS MARGINAL

Supóngase que la variable aleatoria D, descrita en el modelo de periodo único, es discreta de

valor entero, donde )()( dpdDP . Sea el costo esperado )(qE tal que

d

qdcdpqE ),()()( . (1)

En la mayoría de las aplicaciones prácticas )(qE es una función convexa de q.

Modelos de Inventarios probabilísticos. 6

6

Fig. 1.1 Muestra el costo esperado y su valor mínimo.

Fuente: Elaboración propia

Sea *q el valor de q que hace mínimo a )(qE . Si )(qE es una función convexa, note

que *q es el valor mínimo de q para el cual

0)()1( ** qEqE . (2)

Esta ecuación representa el cambio de costo esperado cuando se aumenta en una unidad

el lote q.

El análisis se realiza aumentando q, a partir de cero, en una unidad y observando el signo

de la diferencia que se mantendrá negativa hasta llegar a *q , para que la diferencia se

convierta en positiva. Este método para determinar a *q al calcular en forma repetida el valor

esperado al sumar una unidad marginal el valor de q, se denomina método de análisis

marginal. El método es útil cuando es fácil determinar una expresión sencilla para

)()1( qEqE .

1.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR

DE PERIÓDICOS DEMANDA DISCRETA

Supóngase que la empresa tiene la sucesión de eventos:

La empresa decide cuántas unidades pedir o producir, *q .

La demanda es estocástica, pero se conoce su distribución de probabilidad )(dp .

Dependiendo de d y q, se incurre en el costo ),( qdc .

Los problemas que siguen la secuencia anterior se suelen llamar problemas del

vendedor de periódicos. Los cuales se caracterizan por la situación de que el vendedor de

periódicos puede pedir una mayor cantidad de la que venderá (perdiendo porque el periódico

sobrante se lo aceptan a un precio menor del que se lo vendieron, o en el caso de comprar

menos periódico gana menos de lo que pudo haber ganado, pérdida de oportunidad).

*q 1* q 1* q

● ●

)(qE

q

Capítulo 1. 7

7

ANÁLISIS DEL MÉTODO

Empleando el análisis marginal para el problema del vendedor de periódico cuando la

demanda es una variable aleatoria discreta y ),( qdc tiene la forma:

qcqdc 0),( (términos sin q) )( qd

qcqdc u),( (términos sin q) )1( qd

(3)

En donde, 0c es el costo unitario de comprar o producir demasiado, sobreabastecimiento.

Por lo tanto, 0c es el costo debido a tener una unidad de excedente, de tal manera que a 0c se le

suele llamar costo de sobreabastecimiento. Similarmente uc es el costo unitario de tener

faltantes y se le llama costo de subabastecimiento.

Para encontrar *q que minimiza el costo esperado, esto es, el valor mínimo de q para el

que

0)()1( qEqE ,

se tiene lo siguiente:

0sin términos)(

sin términos)(

)(1sin términos)(sin términos)()1(

0

0

0

qqcqDPcc

qqcqDqPcc

qDPqqcqDPqqcqEqE

uu

uu

u

Por lo tanto, resulta que )(qE será reducida al mínimo por el valor mínimo de q

(denotado *q ) que satisface 0)(0 uu cqDPcc . Es decir,

u

u

cc

cqDP

0

* )( o ucc

cqDP

0

0* )( (4)

Además, en promedio pedir 1q unidades costará

)(1)(0 qDPcqDPc u o uu cqDPcc )(0 ,

más las q unidades que se piden.

EJEMPLO 1

Supóngase que en agosto se tiene que decidir cuántos calendarios encargar para vender a

principios del próximo año. Cada calendario cuesta $4 y se vende a $9. Después del primero

de enero cualquier calendario no vendido se remata en $2. Se estima la demanda a partir de la

distribución, mostrada a continuación


8

Demanda Probabilidad

100 0.30

150 0.20

200 0.30

250 0.15

300 0.05

Si se desea maximizar la ganancia neta esperada debido a ventas de calendarios. ¿Cuántos

calendarios se deben pedir en agosto?

Solución

Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:



En donde, q es el número de calendarios que se piden en agosto y d el número de calendarios

necesitados hasta el primero de enero.

De esta forma,

Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo

negativo): Compra de q calendarios a $4 cada uno ( q4 ), venta de calendarios a

$9 cada uno ( d9 ) y devolución de dq calendarios ( )(2 dq ). Obteniendo

un costo total de dqdqdq 72)(294 . Luego, 20 c .


negativo): Compra de q calendarios a $4 cada uno ( q4 ) y venta de calendarios a

$9 cada uno ( q9 ). Obteniendo un costo total de qqq 594 . Luego, 5uc .

Finalmente el valor de *q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario

71.07

5

52

5)(

0

*

u

u

cc

cqDP .

Así, de la tabla de probabilidades

Capítulo 1. 9

9

Demanda Probabilidad Acumulada

100 0.30 0.30

150 0.20 0.50

200 0.30 0.80

250 0.15 0.95

300 0.05 1.00

De aquí se concluye que en agosto debe pedirse 200* q calendarios.

En términos del análisis marginal, la probabilidad de vender el 200vo. calendario que se

pide es 50.0)200( DP , lo cual significa que el 200vo. calendario vendido tiene

probabilidad 5.05.01 de no ser vendido. De tal forma que el 200vo. calendario aumentará

los costos esperados en

5.15.0*55.0*2)(1)(0 qDPcqDPc u (ganancia)

Por lo tanto, se deberá pedir el 200vo. calendario.

Similarmente, la probabilidad de vender el 201vo. calendario que se pide es

20.0)201( DP , lo cual significa que el 201vo. calendario vendido tiene probabilidad

8.02.01 de no ser vendido. De tal forma que el 201vo. calendario aumentará los costos

esperados en

6.02.0*58.0*2)(1)(0 qDPcqDPc u (pérdida).

Por lo tanto, no se deberá pedir el 201vo. calendario.

Costo total

200,1000

200,7400

,5

,72

d

dd

qdq

qddq

EJEMPLO 2

Supóngase que la energía en la estación de León se suministra mediante celdas solares. Una

vez al año vuela un avión y les vende celdas a $200 cada una. Se estima la demanda a partir

de la distribución de probabilidad mostrada en la tabla de abajo. Debido a la incertidumbre de

las necesidades futuras, en la planta sólo se puede adivinar el número de celdas que se

necesitarán durante el año venidero. Si se acaban las celdas, se debe hacer un pedido especial

pagando $300 por cada una.

a) Suponiendo que es relevante en este caso el problema del vendedor de periódicos,

¿cuántas celdas debe pedir al avión?

b) En el inciso (a), ¿cuál costo se está ignorando?


10

Demanda celdas Probabilidad

50 0.20

60 0.15

70 0.30

80 0.10

90 0.15

100 0.10

Solución




En donde, q es el número de celdas que se piden cuando el avión vuela y d el número de

celdas necesitadas durante el año. De esta forma,


negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ), utilización de celdas

$200 cada una ( d200 ) y no se usan las celdas dq no se tienen costo.

Obteniendo un costo total de dq 200200 . Luego, 2000 c .


negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ) y cuando la demanda

rebase la cantidad pedida a $300 cada una ( )(300 qd ). Obteniendo un costo

total de dqqdq 300100)(300200 . Luego, 100uc .

Finalmente el valor de *q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario

33.0100200

100)(

0

*

u

u

cc

cqDP .

Así, de la tabla de probabilidades se tiene que 60* q celdas.

El costo total

565.0*10035.0*200)(1)(0 qDPcqDPc u .

Capítulo 1. 11

11

1.4 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR

DE PERIÓDICOS DEMANDA CONTINUA

Se revisará el modelo de inventarios del vendedor de periódicos pero con demanda D variable

aleatoria continua y función de densidad )(df . De forma similar que en el caso discreto, se

obtiene una expresión con la que se puede calcular el valor óptimo de *q , pero a diferencia

del caso discreto en el continuo se obtiene mediante una igualdad. Es decir, )(qE será

reducido al mínimo por el valor mínimo de q (denotado *q ) que satisface a (4)

u

u

cc

cqDP

0

* )( o ucc

cqDP

0

0* )( .

De tal forma que lo óptimo es pedir unidades hasta el punto en el que la última que se

pida tenga una probabilidad

ucc

cqDP

0

0* )( de venderse.

EJEMPLO 3

Suponga que la asociación de Ingeniería Industrial efectúa un congreso anual y el año próximo

será en Baja California Sur. Para tal efecto seis meses antes de la fecha señalada para su inicio

es necesario reservar las habitaciones en el hotel sede. En este momento se puede hacer la

reservación pagando $500 por cada habitación, pero no se sabe con certeza cuánta gente

asistirá. Sin embargo, se estima que el número de habitaciones necesarias sigue una

distribución normal con una media de 500 y una desviación de 200. Si el número necesario de

habitaciones es mayor que el reservado se tendrán que alquilar habitaciones en hoteles

cercanos a un costo de $800. Para los participantes será incómodo alojarse en otros hoteles y

la distancia aumenta el costo en $100, ¿Cuántas habitaciones se recomienda reservar?

Solución



qcqdc u),( (términos sin q) )( qd

Se tiene la densidad de la demanda dada para el número de habitaciones, de donde, q es

el número de reservaciones que se piden seis meses antes y d el número de habitaciones

necesitados hasta el primero de enero.

De esta forma,


12

Si qd , entonces el costo en que se incurre es el costo de las habitaciones

reservadas con anterioridad y por lo tanto, el costo total es de q500 . Luego,

5000 c .

Si qd se incurre en los siguientes costos (la ganancia se denota por el signo

negativo): Costos de reservación de q habitaciones a $500 cada una ( q500 ),

costos de renta qd habitaciones en hoteles vecinos $800 cada uno

( )(800 qd ) y finalmente costos de incomodidad a los participantes adicionales

$100 cada uno ( )(100 qd ). Obteniendo un costo total de

dqqdqdq 900400)(100)(800500 .

Luego, 400uc .

Finalmente el valor de *q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario,

tal que

444.0400500

400)(

0

*

u

u

cc

cqDP .

En donde, )200,500(~ 2ND si estandarizamos

444.0200

500*

qZP .

Con el uso de tablas de la distribución normal 14.0200

500*

q

, despejando *q se

tiene

472* q reservaciones.

EJEMPLO 4

El precio de un boleto de avión es de $2,000. Cada aeronave tiene capacidad para transportar

hasta 100 pasajeros. Por experiencias se sabe que algunos de los pasajeros que ya han

comprado el boleto no se presentan (faltan). Por esta razón la aerolínea intenta vender más de

100 boletos para cada vuelo. Pero la ley establece que cualquier pasajero con boleto que no

puede abordar el avión debe recibir una compensación de $1,000. Los datos indican que el

número de faltas puede estimarse a partir de una distribución normal con media 20 y

desviación estándar 5. Para maximizar los ingresos esperados menos costos de

compensaciones. ¿Cuántos boletos es aconsejable vender? A quién no use boleto se le

reembolsa $1,750?

Capítulo 1. 13

13

Solución



qcqdc u),( (términos sin q) )( qd

Debido a que se da la distribución del número de faltantes, se tiene, q el número de

boletos vendidos por la aerolínea y d el número de faltas.

De esta forma, dq es el número de clientes que se presentan realmente en el vuelo.

Si 100 dq (o 100 qqd ), entonces abordarán 100 pasajeros el avión,

pagando 000,200)100(2000 a la aerolínea, y no se recibirán dq clientes.

Los cuales recibirán una compensación de )(1000 dq . Por lo tanto, si dq el

costo total para la aerolínea será de

20000075010001750200000)(1000 dqddq .

Luego, 10000 c .

Si 100 dq (o 100 qqd ), entonces todos los pasajeros que se

presenten abordarán el avión y el costo para la aerolínea será

dq 17502000002000 . Luego, 2000uc .

Finalmente el valor de *q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario,

tal que

667.020001000

2000)(

0

*

u

u

cc

cqDP .

En donde, )5,20(~ 2ND estandarizando

667.05

20*

qZP .

Con el uso de tablas de la distribución normal 43.05

20*

q

, despejando *q se tiene

10015.22 ** qq .

Se concluye que la aerolínea debe vender hasta 122 o 123 boletos y no más.


14

1.5 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA

Estos modelos se caracterizan por lo siguiente:

La demanda no se conoce con certeza, se estima una distribución de probabilidad que

describe su comportamiento.

El tiempo de entrega L es distinto de cero.

Los mayores problemas se presentan durante el tiempo de entrega, por lo que se trabaja

con la distribución de probabilidad que describe la demanda durante el tiempo de

entrega )(ufL .

Por otro lado, la probabilidad de que la demanda durante el tiempo de entrega L esté

entre a y b es b

a

L duuf )( y la probabilidad de que la demanda durante el tiempo de entrega no

exceda a la cantidad es la distribución acumulada

0

)()( duufF LL , para 0u , estas

distribuciones de probabilidad se suponen independientes del tiempo en el que se ordena y el

nivel de inventario. La demanda promedio por unidad de tiempo d , entonces la demanda

promedio durante el tiempo de entrega es

0

)( duuufdLd L. Si s es el punto de reorden,

entonces el nivel de inventario cuando se recibe la orden es de Lds , tomando en cuenta la

aleatoriedad de la demanda el nivel esperado de inventario al recibir la orden es de:

s

L duufussy

0

)()()( (5)

s

Ld duufsusy )()()( (déficit) (6)

)()(

)()()()()()()()(

0000

sysy

duufusduufusduufusduuufduufsLds

d

s

L

s

LLLL

Por lo tanto, resulta

)()( syLdssy d . (7)

Si se usa la política de inventario que consiste en llevar el inventario hasta s cada vez que

se presenta una demanda. El valor de s que minimiza el costo de inventario, sin reconocer el

costo por ordenar, se obtiene a partir de:

Capítulo 1. 15

15

s

L

s

Ld duufsuq

dpduufush

q

dsypsyhsCT )()()()()()()(

0

Para obtener un mínimo, se deriva el costo total

q

dpduuf

q

dph

duufq

dpduufh

duufq

dpduufh

duufq

dpsfss

q

dpduufhsfssh

duufsuq

dpduufush

ds

d

ds

sCTd

s

L

s

L

s

L

s

L

s

L

s

LL

s

LL

s

L

s

L

0

00

0

0

0

)(

)(1)(

)()(

)()()()()()(

)()()()()(

Se iguala a cero la primera derivada y se obtiene

q

dph

q

dp

duufsF

s

LL

0

)()( . (8)

EJEMPLO 5

Las órdenes para un artículo se reciben después de una semana que se solicitaron. La

demanda durante el tiempo de entrega es )3,8( 2N . El tamaño promedio de la orden es de una

unidad. El costo por inventario es de $10 por unidad por semana, el costo por déficit es de

$100 por unidad demanda no satisfecha. Encontrar el tamaño adecuado de s.

Solución

Datos del problema

1L semana, tiempo en recibir el inventario

10h costo por inventario por unidad

100p costo por déficit por unidad

8d demanda media

1q tamaño de la orden

Sustituyendo los valores en


16

9877.0810

800

1

810010

1

8100

)(

q

dph

q

dp

sFL

Estandarizando la demanda

9877.03

8)(

sZPsFL

De tablas porcentuales de la distribución normal

25.23

8

s.

Despejando el punto de reorden

1575.14 s artículos.

1.6 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS

Si el costo por ordenar K es significativo se usa la política ),( qs , esto es, se pide una orden de

tamaño q, cada vez que el nivel de inventario es s. Cuando la demanda no se satisface se

convierten en ventas pendientes, el nivel de inventario, ),( sqy , depende de q y s, y se estima

a partir del inventario residual )(sy más la mitad de la cantidad promedio añadida al almacén

cuando se recibe la orden )(syq d , esto es

)(2

1)(),( syqsysqy d . (9)

De las expresiones anteriores

)()( syLdssy d o Ldssysyd )()( (10)

Luego,

2222

)()(

2

1)()(

2

1)(),(

LdsqsyLdssyqsysyqsysqy d

El costo total

Capítulo 1. 17

17

22)(

22

)(

)(22

)(22

)(2222

)(

)(),(),(

2 Ldhhssy

hqh

q

LdpdpssydpdK

Ldq

dp

q

dpssy

q

dp

Ldhhssy

hqh

q

dK

Ldssyq

dp

Ldsqsyh

q

dK

syq

dpsqyh

q

dKsqCT d

Derivando parcialmente con respecto a q y s, e igualando a cero se obtiene el sistema de

ecuaciones

2

)(),(

2

2 h

q

LdpdpssydpdKsqCT

q

Igualando a cero y factorizando dp se obtiene Ldssysyd )()(

0

2

)(2

h

q

LdssydpdK

Sustituyendo Ldssysyd )()( , resulta

02

)(2

h

q

sydpdK d

Despejando a q

h

sypKdq d )(2 . (11)

Similarmente para s, se deriva el costo total parcialmente con respecto a s

2)(

2

)(

),(h

sys

h

q

dpsys

dp

sqCTs

.

Igualando a cero y resolviendo con respecto a la derivada parcial


18

02

)(2

02

)(2

)(

q

dphsy

sq

dph

hsy

s

h

q

dpsys

dp

2

2)(

h

q

dp

h

q

dp

sys

Por otro lado, se vio que

s

L duufussy

0

)()()( , luego

)()()()01()()()()()(

000

sFduufduufsfssduufuss

sys

L

s

L

s

LL

s

L

Obteniendo finalmente, al sustituir )()( sFsys

L

, en la penúltima expresión

2

2)(

h

q

dp

h

q

dp

sFL

. (12)

Algoritmo de solución

Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con (11),

h

sypKdq d )(2 .

Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (12), con su

distribución correspondiente.

Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando (6),

s

Ld duufsusy )()()(

con su distribución correspondiente.

Capítulo 1. 19

19

NOTA

En el caso de la distribución normal estándar se tienen tablas, llamadas pérdida

de la normal unitaria (ver anexo A), denotada por )(I e igual a

)(2

exp2

1)()(

2

dyduu

uI

.

En el caso de la distribución normal no estándar, primeramente se estandariza

s

d duu

susy2

2

2

)(exp

2

1)()(

con el cambio

uz , se estandariza, resultando

L

LL

s LL

Ld

sIdu

zszsy

L

L

2exp

2

1)( .

Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (11), regresar al paso 1 y calcular q.

Repetir hasta que dos valores sucesivos de q estén suficientemente cercanos de

modo que una iteración más no proporcione una mejora apreciable.

EJEMPLO 6

Las órdenes para un artículo se reciben después de una semana que se solicitaron. La

demanda durante el tiempo de entrega es )3,8(~ 2NdL . El tamaño promedio de la orden es

de una unidad. El costo por inventario es de $10 por unidad por semana, el costo por déficit es

de $100 por unidad demandada no satisfecha. Agréguese un costo por ordenar de $8.

Encontrar el tamaño adecuado de s.

Solución

Datos del problema

1L semana, tiempo en recibir el inventario, 8)3,8(~ 2 dNLdd L



8d demanda media


8K costo por ordenar


20

Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q correspondiente.

57.3

10

)8)(8(2

10

))100(08)(8(2)(2

h

sypKdq d

.

Paso 2. Con el valor más reciente de q se encuentra s.

95634.0

2

10

57.3

)8(1002

10

57.3

)8(100

2

2)(

h

q

dp

h

q

dp

sFL .

Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar

956.03

8

956.0

sZP

sDP

Resulta 71.13

8

s, de donde 13.13s .

Paso 3. Con el último valor de s encontrar

s

Ld duufsusy )()()( con su distribución

correspondiente.

sIdu

ususy

s

d 2

2

2

)(exp

2

1)()( .

Luego, el valor de )13.13()( dd ysy se encuentra del punto 2 de la nota anterior y las tablas

de las integrales de pérdida normales

0534.0)0178.0(371.133

813.133)13.13(

IIyd

Paso 4. Con 0534.0)13.13( dy se encuentra el correspondiente valor de q.

62.4

10

)34.13)(8(2

10

))0534.0(1008)(8(2)(2

h

sypKdq d


Capítulo 1. 21

21

944.0

2

10

62.4

)8(100

2

10

62.4

)8(100

2

2)(

h

q

dp

h

q

dp

sFL.

Con las tablas porcentuales de la distribución normal, y después de estandarizar resulta

589.13

8


Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6)

59.133

8767.123)767.12( IIyd

.



0714.0)0238.0(359.133

8767.123)767.12(

IIyd

Paso 7. Con 0714.0)767.12( dy y encontrar el valor de q correspondiente.

92.4

10

)14.15)(8(2

10

))0714.0(1008)(8(2)(2

h

sypKdq d


94.0

2

10

92.4

)8(100

2

10

92.4

)8(100

2

2)(

h

q

dp

h

q

dp

sFL.

Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar, resulta

555.13

8


Paso 9. Con el último valor de s encontrar su correspondiente q, empleando la expresión (6)

555.133

8665.123)665.12( IIyd

.




22

0765.0)0255.0(356.1356.13)767.12( IIyd .

Paso 10. Con 0765.0)767.12( dy se encuentra el valor correspondiente de q

00.5

10

)65.15)(8(2

10

))0765.0(1008)(8(2)(2

h

sypKdq d

Este es el valor de 5q ya que varía muy poco con respecto al anterior.

1.7 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS

En este caso el nivel esperado de existencias se estima mediante

2

)(),(q

sysqy (13)

Por consiguiente, el costo total se calcula con

q

dsycrpsqyh

q

dKsqCT d )()(),(),( (14)

donde el costo por déficit )( crp incluye la ganancia pérdida, r precio de venta y c su

costo.

Se obtendrá el lote económico q y la probabilidad de tener un nivel de inventario s.

Derivando se obtiene:

22)()(),(),(

)()(),(),(

q

dsycrpsqyh

q

dKsqCT

q

q

dsycrpsqyhsqCT

s

dq

ds

Pero de (13),

)(),(

2

1),(

sysqy

sqy

ss

q

Sustituyendo en la expresión anterior e igualando a cero

0)()(2

0)()()(

22 q

dsycrp

h

q

dK

q

dsycrpsyh

d

ds

Capítulo 1. 23

23

En la segunda ecuación se despeja a q, para esto se multiplica por 2q

0)()(2

2 dsycrpqh

dK d.

Luego,

dsycrpKqh

d )()(2

2 .

Finalmente el lote económico, se calculará como:

h

dsycrpKq d )()(2 (15)

Ahora se calcula la probabilidad del nivel de inventario s. En la ecuación

0)()()( q

dsycrpsyh ds ,

se despeja a q. Se sustituye )()( sFsys

L

,

0)()()( q

dsycrpshF dL

Por otro lado, se tenía

s

d duu

susy2

2

2

)(exp

2

1)()(

Derivando con respecto a s,

)(12

)(exp

2

1

2

)(exp

2

1)10(

2

)(exp

2

1)()(

2

2

2

2

2

2

sFduu

duuu

sssyds

d

L

s

s

d

De tal forma que


24

0)()()(

0)(1)()(

q

dcrpsFh

q

dcrp

q

dsFcrpshF

L

LL

Finalmente, la probabilidad de un nivel de inventarios s

hq

dcrp

q

dcrp

sFL

)(

)(

)( . (16)

Así, la solución al modelo con ventas pérdidas está dada por (15) y (16)

EJEMPLO 7

Resolver el ejemplo anterior en el que 1000r y 630c . Las órdenes para un artículo se

reciben después de una semana que se solicitaron. La demanda durante el tiempo de entrega

es )3,8( 2N . El tamaño promedio de la orden es de una unidad. El costo por inventario es de

$10 por unidad por semana, el costo por déficit es de $100 por unidad demandada no

satisfecha. Agréguese un costo por ordenar de $8. Encontrar el tamaño adecuado de s.

Solución

Datos del problema




8d demanda media



1000r precio de venta y

630c costo por unidad.


58.3

10

)8)(8(2

10

)0)6301000100(8)(8(2)()(2

h

sycrpKdq d


Capítulo 1. 25

25

997.0

101

8)6301000100(

1

8)6301000100(

)(

)(

)(

hq

dcrp

q

dcrp

sFL.


997.03

8

997.0

sZP

sDP

Resulta 75.23

8



s

Ld duufsusy )()()( .

sIdu

ususy

s

d 2

2

2

)(exp

2

1)()( .

Luego, el valor de )25.16()( dd ysy se encuentra de las tablas de integrales de pérdida

normales

0027.0)0009.0(375.233

825.163)25.16(

IIyd


85.3

10

)0027.0)6301000100(8)(8(2)()(2

h

sycrpKdq d

.


9899.0

1085.3

8)6301000100(

85.3

8)6301000100(

)(

)(

)(

hq

dcrp

q

dcrp

sFL.



26

9899.03

8

9899.0

sZP

sDP

Resulta 323.23

8



s

Ld duufsusy )()()( . Luego, el valor de

969.14)( dd ysy se encuentra de las tablas de integrales de pérdida normales

0105.0)0035.0(3323.23)969.14( Iyd .


5493.4

10

)0105.0)6301000100(8)(8(2)()(2

h

sycrpKdq d

.


9880.0

1055.4

8)6301000100(

55.4

8)6301000100(

)(

)(

)(

hq

dcrp

q

dcrp

sFL.


988.03

8

988.0

sZP

sDP

Resulta 26.23

8



s

Ld duufsusy )()()( . Luego, el valor de

)78.14()( dd ysy se encuentra de las tablas de integrales de pérdida normales

0123.0)0041.0(326.23)78.14( Iyd .


Capítulo 1. 27

27

70.4

10

)0123.0)6301000100(8)(8(2)()(2

h

sycrpKdq d

.

Así, como el valor de q ya no cambia significativamente, se tiene 5* q artículos.

1.8 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE

VENTAS PENDIENTES Y PÉRDIDAS

En la práctica, es frecuente que una fracción de los clientes, que aparecen cuando se ha

agotado la existencia, acepte esperar a que se surta su pedido y el resto 1 de estos clientes

prefieren buscar la satisfacción de la demanda con otro proveedor.

Usando, en este caso, el mismo razonamiento que en los anteriores se obtiene que los

parámetros correspondientes al costo mínimo sean:

h

dsycrpKq

d )())(1(2

2))(1(

2))(1(

)(h

hq

dcrp

h

q

dcrp

sFL

.

(17)

El algoritmo de solución es el mismo que de los casos que se están combinando

EJEMPLO 8

Las órdenes de un artículo se reciben una semana después de que son puestas. )3,8( 2NDL ,

8$K , 1$h por semana, 10$p , 70$r , 63$c , %80

Solución

Datos del problema




8d demanda media






28

80.0 fracción de clientes que están dispuestos a esperar a que se surta el material.


28

1

)0()6370)(80.01(108)8(2)())(1(2

h

sycrpKdq d

.


8845.0

)80.0(2

11

28

8)6370)(80.01(10

)80.0(2

1

28

8)6370)(80.01(10

)(

sFL.


8845.03

8

8845.0

sZP

sDP

Resulta 198.13

8



s


sIdu

ususy

s

d 2

2

2

)(exp

2

1)()( .

Luego, el valor de )594.11()( dd ysy se encuentra de las tablas de integrales de pérdida

normales

1683.0)05610.0(3198.13)594.11( Iyd .


60.12

1

)1683.0()6370)(80.01(108)8(2)())(1(2

h

sycrpKdq d

.


Capítulo 1. 29

29

872.0

)80.0(2

11

60.12

8)6370)(80.01(10

)80.0(2

1

60.12

8)6370)(80.01(10

)(

sFL .


872.03

8

sZP

Resulta 136.13

8



s


19.0)14.1(3136.13)41.11( IIyd .


75.12)19.0(4.11816

)())(1(2

h

sycrpKdq d

.

Así, como el valor de q ya no cambia significativamente, se tiene 13* q artículos.

1.9 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO CON DEMANDA INCIERTA: MÉTODO DE

NIVEL DE SERVICIO PARA DETERMINAR EL NIVEL DE LA RESERVA DE

SEGURIDAD

En la práctica, generalmente resulta que es difícil determinar con exactitud el costo de acrecer

de una unidad (costo de oportunidad). Por tal motivo, los gerentes frecuentemente deciden

controlar la escasez al cumplir con un nivel de servicio especificado. Por tal razón resulta tener

una importancia relativa la medición del nivel de servicio especificado. Sean dos medidas:

Medida 1 del nivel de servicio 1SLM . Fracción esperada (expresada

generalmente como porcentaje) de toda la demanda que se satisface a tiempo.

1SLM .el porcentaje de demanda que se satisface oportunamente.

Medida 2 del nivel de servicio 2SLM . Número esperado de ciclos por año

durante el cual hay escasez.

2SLM número esperado de ciclos por año con déficit.

En esta parte se supondrá que la escasez se acumula.


30

EJEMPLO 9

Considérese un sistema de inventario en el que la demanda anual promedio es de 1000

artículos, la cantidad económica de pedido es 100. La demanda durante el tiempo de entrega

es aleatoria y se describe mediante la distribución de probabilidad discreta uniforme para las

demandas 20, 30, 40, 50 y 60. Para un punto de reorden de 30 unidades, determine 1SLM y

2SLM .

Solución

100* qEOQ artículos

30r punto de reorden

1000D demanda anual de artículos

Demanda esperada en un tiempo de entrega L es

40)6050403020(5

1Ld .

Como el punto de reorden es 30, el tamaño del déficit es 0, 0, 10, 20 y 30,

respectivamente para cada una de las demandas. De tal forma que el número esperado por

faltantes por ciclo está dado por:

12))3060()3050()3040(00(5

1 .

Por otro lado, el número promedio de pedidos es

10100

1000)(

q

DE.

Luego, el número promedio de carencias que se presentan durante un año, está dado por:

Número promedio de pedidos número esperado de faltantes por ciclo

12012*10 carencias durante el año.

De tal modo que la demanda satisfecha oportunamente es de 8801201000 .

Finalmente,

%8888.01000

8801 SLM .

Con esto se puede apreciar que aún si el punto de reorden es menor que la demanda

promedio durante el tiempo de entrega, se puede tener un 1SLM relativamente alto, porque

las carencias sólo se pueden presentar durante el tiempo de entrega, que con frecuencia es una

parte pequeña de cada ciclo.

Se puede establecer la fórmula para el 1SLM

Capítulo 1. 31

31

q

y

q

yE

DE

qDEyEDESLM ddd

1

)(1

)(

)()()(1 (18)

Así, se tiene por fórmula

88.0100

121

)(11

q

yESLM d

Ahora se calcula el 2SLM para un punto de reorden de 30. Primeramente recuérdese

que con ese punto de reorden había escasez para las demandas de 40, 50 y 60. Es decir,

durante cualquier ciclo en el que la demanda en el tiempo de entrega, LD , sea mayor a 30.

Así, la probabilidad de escasez durante un ciclo está dada por:

5

3

5

1

5

1

5

1)60()50()40()( LLLd DPDPDPyP .

Luego, como se tiene un número promedio de 10 ciclos por año, el número esperado de

ciclos por año que representan carencias es de 66.0*10 . Es decir, 62 SLM .

Puede establecerse la fórmula para el 2SLM

q

yEyPSLM d

d

)()(2 . (19)

1.10 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE

SEGURIDAD PARA 1SLM

Dado un valor deseado de 1SLM , ¿cómo determinar el punto de reorden que dé el nivel de

servicio deseado? Supóngase que se pide la cantidad económica de pedido q y y que se usa un

punto de reorden r, de (18)

q

yESLM

q

yESLM dd )(

11)(

11 .

En el ejemplo anterior para calcular dd yyE )( se utilizó el hecho de que la

distribución era discreta uniforme. Cuando se trata de la distribución normal ),( 2N anual,

para el caso de un tiempo de entrega L sería

LLN

2

,

y se usa

L

LL

r LL

L

r

Ld

rIdu

zrzduufrury

LL

L

2exp

2

1)()()( .

En donde el subíndice L indica la media y desviación estándar en el tiempo de entrega.


32

Así, sustituyendo esta expresión de dd yyE )( en q

yESLM d )(

11 , se obtiene la

fórmula para el punto de reorden r.

LL

L SLMqrI

)11(

(20)

Luego de las tablas de la función de pérdida normal se puede conocer r , con

L

L

L

SLMqIr

)11(1 (20a)

EJEMPLO 10

Se venden en promedio 1000 procesadores de alimentos al año. Cada pedido cuesta $500. El

tiempo de entrega es un mes. Cuesta $100 almacenar un procesador durante un año. La

demanda anual de procesadores se distribuye normalmente con desviación estándar 69.28.

Para cada uno de los siguientes valores de 1SLM determine el punto de reorden: 80%, 90%,

95%, 99% y 99.9%.

Solución

1000)( DDE artículos

500K

100h

)240,(~ 2ND

Se requieren los valores de q, L y L , Primeramente se calcula el valor de q, con lote

económico

100100

)1000)(500(22

h

DKq .

Para L y L , se tiene que el tiempo de entrega es un mes, como los valores de la

demanda están dados en años, se tiene que dividir entre 12.

33.8312

1000L y 20

12

240L .

Ahora empleando la fórmula 20 o 20a para cada uno de los 1SLM

1. 80.01SLM

Capítulo 1. 33

33

6533.65

33.8390.02033.83120

33.8320

)80.01(10020

)11(

1

11

I

ISLMq

Ir L

L

L

2. 90.01SLM

8063.79

33.83185.02033.835.020

33.8320

)90.01(10020

)11(

1

11

I

ISLMq

Ir L

L

L

3. 95.01SLM

9023.90

33.83345.02033.8325.020

33.8320

)95.01(10020

)11(

1

11

I

ISLMq

Ir L

L

L

4. 99.01SLM

10843.10833.83255.12033.8305.020

33.8320

)99.01(10020

)11(

1

11

I

ISLMq

Ir L

L

L

5. 999.01SLM

12723.12733.83195.22033.83005.020

33.8320

)999.01(10020

)11(

1

11

I

ISLMq

Ir L

L

L

1.11 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE

SEGURIDAD PARA 2SLM

Suponga que un gerente desea tener suficiente reserva de seguridad como para asegurar que 0s

ciclos por año en promedio se tenga escasez. Sea LD la demanda durante el tiempo de reorden

y y r un punto de reorden, una fracción )( rDP L de todos los ciclos conducirá a escasez.

Como se tendrá un promedio de qDE )( ciclos por año (recuérdese que se supone

acumulación de pedidos), un promedio de

0

)()(s

q

DErDP L

o bien )(

)( 0

DE

qsrDP L .


34

Así, se obtiene el punto de reorden r de 2SLM , para la demanda durante el tiempo de

entrega. Sólo falta determinar la distribución de la demanda,

Discreta )(

)( 0

DE

qsrDP L .

Continua )(

)( 0

DE

qsrDP L .

(21)

EJEMPLO 11

En ejemplo anterior determine 2SLM , cuando se desea asegurar que la escasez ocurra durante

un promedio de dos tiempos de entrega por año.

Solución

1000)( DDE artículos,

500K ,

100h ,

20 s

Se cálculo 100q , 33.8312

1000L y 20

12

240L . Luego, si

)240,(~ 2ND , entonces )20,33.83(~ 2NDL . Por la fórmula (21)

20.01000

)100(2

)()( 0

DE

qsrDP L .

De las tablas porcentuales de la normal estándar, resultará

8416.020

33.8380.0)

20

33.83(

rrZP .

Finalmente, 10016.100)8416.0(2033.83 r . Así, el nivel de reserva de

seguridad que produce un promedio de dos agotamientos por año sería:

1783.1633.8316.100)( LDEr .

1.12 MODELO DE INVENTARIOS DE DOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN

Los supuestos del modelo son los siguientes:

1. La planeación se hace para dos periodos, en donde la demanda insatisfecha en el

periodo 1 se acarrea para satisfacerla en el periodo 2, pero no se permite acarrear

faltantes del periodo 2.

Capítulo 1. 35

35

2. Las demandad 1D y 2D para los periodos 1 y 2 son variables aleatorias independientes

e idénticamente distribuidas. Su distribución de probabilidad común tiene la función de

densidad de probabilidad )(D y la función de distribución )(D .

3. El nivel de inventario inicial al principio del periodo 1 es 01 x .

4. El objetivo es minimizar el costo total esperado para ambos periodos, en donde los

componentes del costo para cada periodo son:

c = costo unitario de comprar o producir cada unidad.

h = costo de mantener inventario por unidad que queda al final del periodo.

p = costo por faltantes por unidad de demanda no satisfecha al final del cada

periodo.

Para comenzar el análisis, sea

*

iq valor óptimo de 2,1iparaqi .

)( 11 xC costo total esperado para ambos periodos cuando se sigue la política optima

dado que 1x es el nivel de inventario (antes de reabastecer) al principio del periodo 1.

)( 22 xC costo total esperado solo para el periodo 2 cuando se sigue la política optima

dado que 2x es el nivel de inventario (antes de reabastecer) al principio del periodo 2.

Para usar el enfoque de programación dinámica, primero se obtiene *

222 )( qyxC , donde

se tiene solo un periodo por analizar. Después se utilizan estos resultados para encontrar

*

111 )( qyxC . De los resultados del modelo de un solo periodo, *

2q se encuentra resolviendo

hp

cpq

*

2

Dado 2x , entonces la política óptima resultante es

ordena seno q

q hasta inventario de nivel el elevar para xq ordena seqxSi

*

2

*

22

*

2

*

2

2

)( (22)

El costo óptimo se puede expresar como

*

22

*

22

*

2

*

222

22),()(

),()(

qxsiqLxqc

qxsixLxC (23)

En donde )(zL es el costo esperado de almacenaje y faltantes para un solo periodo cuando

existe z unidades en inventario (después de reabastecer). Ahora )(zL se puede expresar como


36

dzpdzhzL D

z

D

q

)(()()()(0

Cuando se consideran ambos periodos, los costos consisten en el costo de compra

)( 11 xqc , el costo esperado de almacenaje y faltantes )( 1qL y los costos asociados a seguir

una política durante el segundo periodo. Así, el costo esperado si se sigue una política optima

en los dos periodos está dado por

)()()(min)( 221111111

xCEqLxqcxCxq

.

En donde )( 22 xCE se obtiene de la siguiente manera. Observe que 112 Dqx de manera

que 2x es una variable aleatoria al principio del periodo 1. Entonces

*

211

*

211

*

2

*

21111

11222),()(

),()()(

qDqsiqLDqqc

qDqsiDqLDqCxC

Así, )( 22 xC es una variable aleatoria y su valor esperado está dada por

dqLqqcdqLdqCxCE D

qq

D

qq

D )()()()()()()()(*21

*21

*

21

*

2

0

1

0

1222

Entonces

dqLqqc

dqLqLxqc

xC

D

qq

D

qq

xq

)()()(

)()()()(

min)(

*21

*21

11*

21

*

2

0

1111

11 (24)

Se puede demostrar que )( 11 xC tiene un valor mínimo único y que el valor optimo de

1q , denotado por *

1q , satisface la ecuación

0)()()()()(

*21

0

*

1

*

2

*

1

*

1

dqhpqqpcqhpp D

qq

Entonces, la política óptima que resulta para el periodo 1 es la siguiente

ordena seno q


*

1

*

11

*

1

*

1

1

)( (25)

Capítulo 1. 37

37

1.13 MODELO DE VARIOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN

Ahora, se considera la extensión del problema anterior de dos periodos a n periodos, donde

2n , con suposiciones idénticas. La única diferencia es que se usa un factor de descuento

)1,0( , para calcular el costo total esperado para n periodos. El problema sigue siendo

encontrar números críticos **

2

*

1 ,...,, nqqq que describan la política óptima de inventario. Al igual

que el modelo de dos periodos, es difícil obtener estos valores numéricos, pero se puede

demostrar que la política óptima tiene la siguiente forma.

Para cada periodo i, (i=1, 2,…, n) con ix como nivel de inventario al iniciar este periodo

(antes de reabastecer) se hace lo siguiente:

i periodo el en ordenar no q


i

iiii

i *

*** )( (26)

Lo que es más

*

1

*

2

*

1

* ... qqqq nn

Para el caso de un número finito de periodos, todos estos números críticos ,..., *

2

*

1 qq son

iguales. Sea *q este valor constante. Se puede demostrar que

*q satisface la ecuación

hp

cpq

)1(* (27)

38

Capítulo 2

MODELOS DE INVENTARIOS CON DEMANDA DE DISTRIBUCIÓN

CONOCIDA

2.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se desarrollarán los modelos de inventarios revisados en el capítulo previo,

pero con base a funciones de distribución probabilísticas más comunes, como son la binomial,

geométrica, poisson, exponencial, gama y beta. Además se desarrollarán algunos ejemplos con

dichos modelos.

Es muy importante el desarrollo teórico de los inventarios con función de distribución

conocida para facilitar la aplicación de los resultados que se obtendrán en el cálculo del costo

mínimo y el punto de reorden óptimo a ciertos inventarios que muestren un comportamiento

como los mencionados en el párrafo anterior.

2.2 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA DISCRETA

En esta sección se desarrollarán los modelos de inventarios de artículos perecederos con

distribución de la demanda conocida, cuando la distribución de la demanda es discreta. Para

esto se tomará como base de estudio el análisis marginal desarrollado en el capítulo anterior.

El problema es el siguiente, supóngase que en el departamento de compras, el encargado

de tomar las decisiones de la empresa tiene que decidir cuántas unidades pedir o producir, es

decir encontrar el lote económico *q . Para esto se analizarán diferentes casos de la demanda

y su costo.

La demanda es estocástica, pero se conoce su distribución de probabilidad )(dp .

El costo incurrido, ),( qdc , es una función de d y q.

Empleando el análisis marginal para el modelo de inventarios discretos, se obtuvo en el

capítulo anterior el resultado general:

Capítulo 2. 39

39

u

u

cc

cqDP

0

* )( . (1)

En donde,

0c : El costo de sobreabastecimiento, es decir, el costo unitario de comprar o producir

demasiado.

uc : El costo de subabastecimiento, es decir, el costo unitario de tener faltantes.

Ahora se analizarán los diferentes tipos de demanda discreta más conocidas para este

tipo de modelo de inventario.

2.2.1 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En el caso de artículos perecederos suponga una demanda aleatoria, D, con distribución

binomial y parámetros (n, p), entonces se tiene que el lote económico que minimiza los costos

se obtiene de la fórmula (1)

u

uq

i

ini

cc

cpp

i

nqDP

00

*

*

1)( , (2)

para estimar la *q que minimiza los costos, se obtiene por tablas de la distribución binomial,

donde * 1,2,...,q n .

EJEMPLO 12

Una agencia de autos en un área metropolitana está intentando cuantos autos comprar cada

semana. Es posible aproximar la demanda de auto mediante una distribución geométrica con

parámetros n=10 p=0.4. El auto cuesta 35 mil dólares a la agencia y los vende a 50 mil

dólares el ejemplar. La agencia de autos no obtiene ningún beneficio de autos sobrantes y se

regresan al proveedor. ¿Cuántos autos debe comprar cada semana?

Solución



negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ), venta de autos a 50 cada uno

( d50 ). Obteniendo un costo total de dq 5035 . Luego, 350 c .


negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ) y venta de autos a 50 cada

uno ( q50 ). Obteniendo un costo total de qqq 155035 . Luego, 15uc .

Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 40

40

3.01535

1538.3)3(

1)(00

*

*

DP

cc

cpp

i

nqDP

u

uq

i

ini

Por lo tanto, la agencia debe hacer un pedido de 3 autos por semana.

2.2.2 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN POISSON

En el caso de artículos perecederos con demanda D y distribución de probabilidad Poisson con

parámetro 0 , se tiene que de la fórmula 1

*

*

0 0

( )!

iq

u

i u

cP D q e

i c c

, (3)

para estimar la *q que minimiza los costos, se obtiene por tablas de la distribución Poisson,

donde * 0,1,2,...q .

EJEMPLO 13

Supóngase que la energía en la estación de León se suministra mediante celdas solares. Una

vez al año vuela un avión y les vende celdas a $200 cada una. Se estima la demanda a partir

de una distribución de probabilidad poisson con parámetro 30 . Debido a la incertidumbre

de las necesidades futuras, en la planta sólo se puede adivinar el número de celdas que se

necesitarán durante el año venidero. Si se acaban las celdas, se debe hacer un pedido especial

pagando $300 por cada una.

Solución



negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ), utilización de celdas

$200 cada una ( d200 ) y no se usan las celdas dq no se tienen costo.

Obteniendo un costo total de dq 200200 . Luego, 2000 c .


negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ) y cuando la demanda

rebase la cantidad pedida a $300 cada una ( )(300 qd ). Obteniendo un costo

total de dqqdq 300100)(300200 . Luego, 100uc .

Finalmente el valor de *q se obtiene con la fórmula (3)

Capítulo 2. 41

41

33.033.0)27(

!)(

0

00

*

*

u

u

u

uq

i

i

cc

cDP

cc

c

ieqDP

Así, de la tabla de probabilidades se tiene que 27* q celdas.

2.2.3 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

En el caso de artículos perecederos con demanda D y distribución de probabilidad geométrica

con parámetro p, se tiene de la fórmula 1

*

***

1111

1111)(

1

1

1

1* qqq

i

iq

i

ip

p

ppppppqDP

Ahora, sea 0

u

u

ck

c c

, entonces despejando a *q de la expresión anterior se obtiene el

siguiente resultado:

p

kq

kpq

kp

kp

kpqDP

q

q

q

1ln

)1ln(

)1ln(1ln

)1ln(1ln

11

11)(

*

*

*

*

*

*

Por lo tanto, sustituyendo el valor de k para determinar el tamaño de lote económico que

minimice los costos en un inventario con distribución de probabilidades geométrica con

parámetro p la siguiente expresión:

p

cc

c

qu

1ln

ln0

0

* . (4)

EJEMPLO 14

Una agencia de autos en un área metropolitana está intentando calcular cuantos autos comprar

cada semana. Es posible aproximar la demanda de auto mediante una distribución geométrica

con parámetro p=0.1 El auto cuesta 35 mil dólares a la agencia y los vende a 50 mil dólares el

ejemplar. La agencia de autos no obtiene ningún beneficio de autos sobrantes y se regresan al

proveedor. ¿Cuántos autos debe comprar cada semana la agencia?

Solución



42


negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ), venta de autos a 50 cada uno

( d50 ). Obteniendo un costo total de dqdq 50355035 . Luego, 350 c .


negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ) y venta de autos a 50 cada

uno ( q50 ). Obteniendo un costo total de qqq 155035 . Luego, 15uc .

Ahora, aplicando el resultado (3) se obtiene *q .

38.3

1.01ln

1535

35ln

*

q

Por lo tanto, se debe hacer un pedido de 3 autos a la semana.

2.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS DEMANDA

CONTINUA

Se revisará el modelo de inventarios del vendedor de periódicos pero con demanda D variable

aleatoria continua y función de densidad )(df . De forma similar que en el caso discreto, se

obtiene una expresión con la que se puede calcular el valor óptimo de *q , pero a diferencia del

caso discreto en el continuo se obtiene mediante una igualdad. Es decir, )(qE será reducido

al mínimo por el valor mínimo de q (denotado *q ) que satisface a u

u

cc

cqDP

0

* )( .

Luego, el pedido óptimo será solicitar *q unidades hasta el punto en el que la última que se

pida tenga probabilidad

u

u

cc

cqDP

0

* )( de venderse. (5)

A continuación se desarrollarán los modelos de inventarios con función de densidad

conocida.

2.3.1 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Sea D una variable aleatoria continúa distribuida uniforme sobre el intervalo ),( ba y la

función de densidad de probabilidades está dada por

d.o.f,0

,1

)(

bxaabxf

Capítulo 2. 43

43

Entonces

bq

aq

bqaab

aq

qDP

*

*

**

*

si,1

si,0

si,

Ahora, se procede a despejar a *q de la expresión anterior igualando a (5), por lo que se

tiene:

u

u

cc

c

ab

aqqDP

0

** )( .

Finalmente, el valor de *q que minimiza los costos es:

aabcc

cq

u

u

0

*. (6)

En donde, a se refiere a la demanda mínima posible y b a la demanda máxima posible, según

la distribución de la demanda.

2.3.2 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

Sea D una variable aleatoria continua distribuida normalmente con parámetros 2y , y

función de densidad

xexf x 222

2

1

.

Entonces,

dxeqDP x

q22

*

2*

2

1

.

Para calcular *q se debe estandarizar la expresión anterior. Como D

Z

una

variable aleatoria normal estándar cuando D es normalmente distribuido con parámetros 2y , implica que la función de distribución de D puede ser expresada como

*** qq

ZPqDP .

Ahora, se despeja *q de la expresión anterior igualando a (5)


44

.

0

1*

0

**

u

u

u

u

cc

cq

cc

cqqDP

Por lo tanto, la cantidad de lote económico en el caso de una demanda con distribución

normal estará dada por:

u

u

cc

cq

0

1* . (7)

2.3.3 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN GAMMA

Sea D una variable aleatoria continua que tiene una distribución tipo gamma con parámetros

, , >0 >0y . Para determinar el tamaño del lote económico, se tiene de la expresión (5)

que kqFqDP D ** , despejando en forma general a la cantidad de lote económico

u

u

Dcc

cFq

0

1* . (8)

Ahora si se cuenta con tablas estadísticas de cuantiles para la distribución gamma o se

dispone de algún paquete matemático, por medio de los métodos numéricos se puede

encontrar el valor del lote económico *q .

En el caso de que Zm , entonces si se denota xy

dyeym

xdexm

qDP

q

ym

q

xm

**

0

1

0

)(1*

!1

1)()(

!1

1

,

denotando dyeyqI

q

ym

m

*

0

1*

1 )(

e integrando por partes, 1 myu , dyymdu m 2)1( y

dyedv y , yev , se tendrá

.)()1()(

!1

1

)()1(!1

1)(

!1

1

*

2

)(1*

*

20

1*

1

*

*

*

qImeqm

qImeym

qIm

qDP

m

qm

m

qy

y

ym

m

Se obtuvo una fórmula recursiva, que se aplica hasta llegar a )( *

0 qI

Capítulo 2. 45

45

)1(1

)!0(

)(

)!1(

)(

)!2(

)(

)!1(

)(1

1)!1())(1()(!1

)()!1())(1()(!1

0*1*2*1*)(

)(*2*1*)(

*

0

*2*1*)(

*

*

*

*

*

mF

qq

m

q

m

qe

eqmqmqm

e

qIqmqmqm

eqDP

mmq

qmmq

mmq

Donde *Poisson~ qv . Por otro lado, para despejar a *q de la expresión anterior, se tiene

kmFkmFqDP VV 1111* .

En donde, 0

u

u

ck

c c

, luego de las tablas de la distribución de poisson se encuentra el valor

de que hace que se cumpla la desigualdad

u

m

i

i

cc

c

i

e

0

01

0 !

y *q . (9)

2.3.4 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Cuando la demanda tiene una distribución exponencial, como se sabe se trata de un caso

especial de la distribución gamma con 1 , luego utilizando cualquiera de las expresiones

(8) o (9) , por ejemplo esta última

0

0

0

0

0

00

0

ln! c

cc

cc

ce

cc

c

i

e u

uui

i

.

Finalmente, el lote económico, *q , para esta distribución

0

0* ln1

c

ccq u

. (10)

2.3.5 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Sea D una variable aleatoria continua con función de densidad Weibull con parámetros

, ,v y , es decir su función de densidad estará dada por:

vx

vxvxvx

xf

si,0

si,exp

)(

1

Entonces, para determinar el lote económico se tiene que resolver


46

vq

vqvv

vx

dxvxvx

qDP

q

v

q

v

*

*

1

*

exp1

expexp

exp

exp)(

*

*

Ahora, se sabe que debe cumplirse *P D q k , de donde se despeja *q , luego

kvq

k

vq

kvq

kvq

kvq

1

1ln

1

1ln

1ln

1lnexp ln

exp1

*

*

*

*

*

Por lo tanto, para 0

u

u

ck

c c

la expresión que minimiza los costos para el lote

económico en una distribución Weibull, estará dada por

0

* 1lnc

cvq u (11)

EJEMPLO 15

Un puesto de periódicos en un área metropolitana está intentando determinar cuántos

ejemplares de un periódico dominical debe comprar cada semana. Es posible aproximar la

demanda del periódico mediante una distribución gamma con parámetros 29 y .

El periódico cuesta 0.35 dólares al puesto y los vende a 0.50 dólares el ejemplar. El puesto de

Capítulo 2. 47

47

periódico no obtiene ningún beneficio de los periódicos sobrantes y, por ello, absorbe el 100%

de la pérdida de los que no se venden. ¿Cuántos ejemplares debe comprar cada semana del

periódico dominical?

Solución

7.00 c

15.0uc .

Como es entero entonces se aplica la ecuación (9). Utilizando la tabla de función de

distribución Poisson:

8235.0

15.07.0

7.0

! 0

01

0

u

m

i

i

cc

c

i

e

Para que se cumpla la desigualdad anterior 5.29 y 25.142

5.29*

q . Por lo tanto, al

empleado del puesto de periódico se le aconseja hacer un pedido de 14 o 15 periódicos.

2.4 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA

Estos modelos se desarrollaron y se explicaron en el capítulo 1, obteniendo la fórmula para el

punto de reorden cuando se utiliza la política de inventario que consiste en llevar el inventario

hasta s cada vez que se presenta una demanda. El valor de s que minimiza el costo de

inventario, sin reconocer el costo por ordenar, se obtiene a partir de:

dpqh

dp

q

dph

q

dp

duufsF

s

LL

0

)()( . (12)

En donde,

El tiempo de entrega L es distinto de cero.

)(ufL la demanda durante el tiempo de entrega.

0

)( duuufdLd L la demanda promedio por unidad de tiempo durante el tiempo de

entrega.

s es el punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin el costo por ordenar.


48

A partir de la fórmula (12) se pueden obtener expresiones similares al caso de artículos

perecederos con demanda continua, para el lote económico, si se realiza dpqh

dpk

en lugar

de 0

u

u

ck

c c

ahorrando los desarrollos.

1) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Sea D una variable aleatoria continúa distribuida uniforme sobre el intervalo ),( ba que

representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto de reorden que

minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará dado por

aabdpqh

dps

. (13)

2) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Sea D una variable aleatoria continúa distribuida normal con parámetros 2y , que

representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto de reorden con el que

se minimiza el costo de inventario, sin costo por ordenar, estará dado por

dpqh

dps 1 . (14)

3) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA

Sea D una variable aleatoria continúa distribuida tipo gamma con parámetros

, , >0 >0y que representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto

de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará dado por

dpqh

dpFs T

1 . (15)

Para la distribución gamma con parámetros , , >0 >0y .

En el caso de que Zm , se obtuvo kmFkmFqDP VV 1111* .

En donde, dpqh

dpk

, luego de las tablas de la distribución de poisson se encuentra el valor

de que hace que se cumpla la desigualdad

dpqh

qh

i

em

i

i

1

0 !

y s . (16)

Capítulo 2. 49

49

4) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Cuando D tiene una distribución exponencial, como se sabe trata de un caso especial de la

distribución gamma con 1 , luego utilizando (16), para la demanda durante el tiempo de

entrega, su punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará

dado por

qh

dpqhs ln

1

. (17)

5) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Cuando D tiene una distribución Weibull con parámetros , ,v y , para la demanda durante

el tiempo de entrega, su punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por

ordenar, estará dado por

qh

dpvs 1ln . (18)

EJEMPLOS 16

Un impresor que en la actualidad está haciendo una compra mensual, estudió el

comportamiento del papel libro de 70 gr. en los últimos doce meses. Encontró que su demanda

fue de: 10, 11, 10, 9, 10, 11, 9, 10.5, 10, 9, 9 y 11.5 toneladas por mes. Esta obedece a una

función de distribución uniforme en el intervalo 12,5.8 , y la orden se recibe después de una

semana que se solicitaron. El tamaño promedio de la orden es 10 unidades. El costo por

inventario es de $345.00 por unidad por semana y el costo por déficit es $200.00 por unidad.

¿Calcule el punto de reorden?

Solución




25.10d demanda media


Utilizando la ecuación (13)

69.95.85.812)25.10(200)400(10

)25.10(200

s .

Por lo tanto, el punto de reorden es de 9 ó 10 toneladas.


50

2.5 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS

La parte teórica de estos modelos se desarrolló a detalle en el capítulo anterior obteniendo los

siguientes resultados y algoritmos de solución:

a)

)(2

h

sypKdq d .

b) qhdp

qhdpsFL

2

2)( .

En donde,

K costo por ordenar,

q tamaño de la orden,

s nivel de inventario,

s

Ld duufsusy )()()( ,

d demanda media durante el tiempo de entrega,

p costo por déficit por unidad y

h costo por inventario por unidad


Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).

Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (b).


s


Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.

Repetir hasta que dos valores sucesivos de q estén suficientemente cercanos de modo

que una iteración más no proporcione una mejora apreciable.

Ahora se desarrollarán las fórmulas para aplicar el algoritmo de solución en cada una de

las distribuciones vistas. Para esto nótese que en realidad sólo interesan las fórmulas para los

pasos 2 y 3, ya que 1 y 4 son los mismos para cualquier distribución. El paso dos se puede

Capítulo 2. 51

51

hacer simplificando cálculos si se emplea la sección anterior con qhdp

qhdpk

2

2 en lugar de

dpqh

dpk

. De esta forma se iniciarán siempre con los cálculos del paso 3.

2.5.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución uniforme entre

a y b.

Para encontrar el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.

abqhdp

qhdps

2

2

(19a)

Para el paso 3 se requiere calcular

)(2

)(

2

)(11)()()()(

22

ab

sbsu

abdu

absuduufsusy

b

s

b

ss

Ld

.

En caso de que bs vale cero. Es decir,

0)(,)(2

)()(

2

sy

ab

sbsy dd cuando bs (19b)

Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de

una distribución uniforme de la demanda.



Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (19a).

Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (19b).


2.5.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución normal con

parámetros ),( 2 .


qhdp

qhdps

2

21

(20a)

Para el paso 3 se requiere calcular )(syd .


52

sDPdxxfsF

s

LL 0)()(0

Para el caso de de la normal estándar el valor de sIsyd )( se obtiene de la tabla de

la pérdida normal unitaria.

Para la normal no estándar se tiene el siguiente resultado

L

LL

s LL

Ld

sIdu

zszsy

L

L

2exp

2

1)(

I se obtiene de la tabla de la pérdida normal unitaria. Es decir,

0)(,)(

sy

sIsy d

L

LLd

cuando bs (20b)

Finalmente se tiene el siguiente algoritmo de solución para la distribución normal.






2.5.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA

Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución gamma con

parámetros , , >0 >0y .

Para encontrar el valor de s utilizamos el desarrollo de la sección anterior.

)2(

2

qhdp

qhs

(21a)


s

u

s

u

s

Ld dueu

sdueu

uduufsusy

11

)()()( .

Aplicando el resultado de 3.3.3 se tiene el siguiente resultado

21!1

)(

VVs

d FFes

sy (21b)

El valor de la función VF se obtiene de la tabla de distribución poisson.

Capítulo 2. 53

53


una distribución gamma de la demanda.






2.5.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN

EXPONENCIAL

Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución exponencial,

para alguna 0 .


qh

qhdps

2

2ln

1

(22a)


s

b

s

u

s

Ld eduesuduufsusy

1

)()()()( .

En caso de que 0 vale cero. Es decir,

0)(,1

)( syesy ds

d

cuando 0 (22b)


una distribución exponencial de la demanda.






2.5.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución weibull con

parámetros yv, .


54


qh

dpvs

2

1ln

(23a)


sss

Ld duvu

duvuvu

suduufsusy

expexp)()()()(

1

s

d duvu

sy

exp)( (23b)

Para encontrar el valor de )(syd se obtiene mediante aproximaciones numéricas. Ahora

se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de una

distribución weibull de la demanda.



Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (23b).

Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (23a).


EJEMPLOS 17

Una empresa determinada, vende a turistas diversos artículos de calidad hechos a mano. La

entrega se hace en promedio en una semana. Esta empresa vende miniaturas talladas a mano

de un soldado colonial, cada año, pero el patrón de demanda anual es incierto, el tiempo de

entrega obedece a una distribución gamma con parámetros 315 y

. Las réplicas se

venden a $40.00 cada una, el costo anual de mantenimiento de inventario representa el 25 %

del precio de venta por unidad, el costo por pedido es de $2.00. Y el costo por déficit es de

$15.00 por unidad. ¿Calcular el tamaño de la orden?

Solución

Datos del problema




5d demanda media



Capítulo 2. 55

55


41.1

10

))15(02)(5(2)(2

h

sypKdq d

Paso 2. Con el valor más reciente de q y con las tablas porcentuales de la distribución normal

se encuentra s.

06.0

)10)(41.1()5)(15(23

)10)(41.1(2

2

2

qhdp

qhs


s


correspondiente.

84.1615184.0

131514!1153

09.0(321

!1)06.0( )09.0(3

15

VVVV

s

d FFeFFes

y


95.15

10

))15(84.162)(5(2)(2

h

sypKdq d


34.0

)10)(95.15()5)(15(23

)10)(95.15(2

2

2

qhdp

qhs

Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6)

36.1615136.0

131514!1153

34.0(321

!1)34.0( )34.0(3

15

VVVV

s

d FFeFFes

y


73.15

10

))15(36.162)(5(2)(2

h

sypKdq d


34.0

)10)(73.15()5)(15(23

)10)(73.15(2

2

2

qhdp

qhs

Paso 9. Con el último valor de s encontrar su correspondiente q, empleando la expresión (6)


56

36.1615136.0

131514!1153

34.0(321

!1)34.0( )34.0(3

15

VVVV

s

d FFeFFes

y

Paso 10. Con 0765.0)767.12( dy se encuentra el valor correspondiente de q.

73.15

10

))15(36.162)(5(2)(2

h

sypKdq d

Este es el valor de 73.15q ya que no varía con respecto al anterior. Por lo tanto, se

recomienda hacer un pedido de 16 unidades.

2.6 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS

Los resultados que se muestran a continuación se obtuvieron en el capítulo uno de forma

detallada.

h

dsycrpKq d )()(2 (a)

La probabilidad de un nivel de inventarios s

hqdcrp

dcrp

hq

dcrp

q

dcrp

sFL

)(

)(

)(

)(

)( . (b)

En donde,




s



p costo por déficit por unidad,

h costo por inventario por unidad,

c costo por unidad y

r precio de venta.

Así, la solución al modelo con ventas perdidas está dada por las dos expresiones

anteriores. Utilizando los resultados obtenidos en la sección 3.5 y el algoritmo de solución

para obtener los resultados de las siguientes funciones de distribución acumulada.

Capítulo 2. 57

57

Para el paso dos se nota que se puede hacer simplificando cálculos basándonos en la

sección anterior con

hqdcrp

dcrpk

en lugar de

qhdp

qhdpk

2

2. Así se inicia siempre

con los cálculos del paso 3.



a y b.

Para encontrar el valor de s es:

ab

qhdcrp

dcrps

(24a)

Para el paso 3 se requiere calcular )(syd considerando el resultado de la sección 3.5.1.

0)(,)(2

)()(

2

sy

ab


Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente forma.








parámetros ),( 2 .

Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.

qhdcrp

dcrps 1

(25a)

Para el paso 3 se requiere calcular )(syd .

Para el caso de de la normal estándar el valor de sIsyd )( se obtiene de la tabla de

pérdida normal unitaria (ver anexo A).

Para la normal no estándar se tiene el siguiente resultado

L

LLd

sIsy

)(


58

Es decir,

0)(,)(

sy

sIsy d

L

LLd

cuando bs (25b)

Finalmente se tiene el siguiente algoritmo de solución para la distribución normal.










qhdcrp

qhs

(26a)

Para el paso 3 se requiere calcular )(syd , pero como ya se calculó en la sección 2.5.3 se tiene

que

21!1

)(

VVs

d FFes

sy (26b)

Ahora, se resume el algoritmo de solución de la siguiente forma.






Capítulo 2. 59

59


EXPONENCIAL


para alguna 0 .


qhdcrp

qhs

1ln

1

(27a)

Para el paso 3 )(syd se calculo en la sección 3.5.4.

0)(,1

)( syesy ds

d

cuando 0 (27b)


una distribución exponencial de la demanda.







Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución weibull

, ,v y .


qh

dcrpvs 1ln

(28a)

Para el paso 3 se usa el resultado obtenido en la sección 3.5.5.

s

d duvu

sy

exp)( (28b)

Para encontrar el valor de )(syd se obtiene mediante aproximaciones numéricas.

Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente forma.


60






EJEMPLOS 18

Una empresa determinada, vende a turistas diversos artículos de calidad hechos a mano. La

entrega se hace en promedio en una semana. Esta empresa vende miniaturas talladas a mano

de un soldado colonial, cada año, pero el patrón de demanda anual es incierto, el tiempo de

entrega obedece a una distribución exponencial con parámetro 5.0

. Las réplicas tienen un

costo de $25.00 y se venden a $40.00 cada una, el costo anual de mantenimiento de inventario

representa el 25 % del precio de venta por unidad, el costo por pedido es de $2.00. Y el costo

por déficit es de $15.00 por unidad. ¿Calcular el tamaño de la orden?

Solución

Datos del problema




5d demanda media






89.0

10

2)0)304015(2(2)()(2

h

dsycrpKq d


se encuentra s.

78.3)10(89.02304015)10(89.0

1ln

5.0

11ln

1

qhdcrp

qhs

Capítulo 2. 61

61


s


correspondiente.

3.05.0

11)78.3( )78.3(5.0 eey s

d


96.1

10

23.0)304015(22)()(2

h

dsycrpKq d


53.2)10(96.1230401596.1

1ln

5.0

11ln

1

qhdcrp

qhs

Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6).

56.05.0

11)53.2( )53.2(5.0 eey s

d


54.2

10

256.0)304015(22)()(2

h

dsycrpKq d


18.2)10(54.22304015)10(54.2

1ln

5.0

11ln

1

qhdcrp

qhs


67.05.0

11)18.2( )18.2(5.0 eey s

d

Paso 10. Con 67.0)18.2( dy se encuentra el valor correspondiente de q.

75.2

10

267.0)304015(22)()(2

h

dsycrpKq d

Este es el valor de 75.2q ya que no varía mucho con respecto al anterior. Por lo tanto, se

recomienda hacer un pedido de 3 unidades.


62

2.7 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE

VENTAS PENDIENTES Y PÉRDIDAS

Usando el mismo razonamiento como en casos anteriores, y usado los siguiente resultados que

se exponen a continuación.

a)

h

dsycrpKq d )())(1(2

b)

2))(1(

2))(1(

)(h

hq

dcrp

h

q

dcrp

sFL

En donde,




s



p costo por déficit por unidad,

h costo por inventario por unidad,

c costo por unidad,

r precio de venta y

fracción de clientes que están dispuestos a esperar a que se surta el material.

Los pasos del algoritmo de solución son los mismos como en la sección 3.5 y 3.7.

Ahora con

hhq

dcrp

hq

dcrp

k

2

11

2

11

en lugar de

hqdcrp

dcrpk

. Así, se

inicia siempre con los cálculos del paso 3.



a y b.

Para calcular el valor de s es:

Capítulo 2. 63

63

ab

hhq

dcrp

hq

dcrp

s

2

11

2

11

(29a)

Para el paso 3 se considera resultados de la sección 3.5.1.

0)(,)(2

)()(

2

sy

ab


Finalmente, se resume el algoritmo de solución para esta función distribución.








parámetros ),( 2 .


hhq

dcrp

hq

dcrp

s

2

11

2

11

1

(30a)

Para el caso de la normal estándar el valor de sIsyd )( se obtiene de la tabla de la

pérdida normal unitaria. En el caso de la normal no estándar

L

LLd

sIsy

)(

Es decir,

0)(,)(

sy

sIsy d

L

LLd

cuando bs (30b)

Finalmente, se resume el algoritmo de solución para esta función distribución.


64










hhq

dcrp

hs

2

11

(31a)

Para el paso 3 se utiliza resultados de la sección 3.5.3.

21!1

)(

VVs

d FFes

sy (31b)

Ahora, se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente forma.







EXPONENCIAL


para alguna 0 .


hh

q

dcrp

hs

2

11

1ln

1

(32a)

Para el paso 3 )(syd se calculó en la sección 3.5.4.

Capítulo 2. 65

65

0)(,1

)( syesy ds

d

cuando 0 (32b)

Ahora, se puede resumir el algoritmo de solución para esta función de distribución.







Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución weibull

, ,v y .


2

11ln

qh

dcrpvs

(33a)

Para el paso 3 se usa el resultado obtenido en la sección 3.5.5.

s

d duvu

sy

exp)( (33b)

Para encontrar el valor de )(syd se obtiene mediante aproximaciones numéricas. Ahora,

se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente forma.






EJEMPLOS 19

Un productor de microcomputadoras compra una unidad de procesamiento central de un solo

chip por $5.00 y el precio de de venta es de $12.00 cada uno. Según los planes de producción,

se necesitarán 10,000 unidades durante el próximo año, pero esto dependerá de las ventas. En

realidad, la empresa piensa que la demanda durante el tiempo de entrega estará distribuida por


66

una weibull con parámetros 202,0 yv . El gerente de abastecimiento hace planes

basándose en un tiempo de entrega promedio de una semana. El costo de cada pedido son de

$10.00, mientras que los costos de inventario es de $ 1.00 por unidad por semana y el costo

por déficit es de $15.00. Y una fracción de 0.7 de clientes esta dispuesto a esperar el producto.

¿Calcule el tamaño óptimo del pedido?

Solución

Datos del problema




45.35d demanda media



12r precio de venta

5c costo por unidad y

70.0 fracción de clientes que están dispuestos a esperar a que se surta el material.


63.26

1

34.35)0))512)(7.01(15(10(2)())(1(2

h

dsycrpKq d


se encuentra s.

12.2

2

7.0

69.26

45.355127.01151ln20

2

11ln 20

qh

dcrpvs


s


correspondiente.

001.02

exp)12.2(12.2

20

duu

yd


65.26

1

34.35)001.0))512)(7.01(15(10(2)())(1(2

h

dsycrpKq d


Capítulo 2. 67

67

12.2

2

7.0

65.26

45.355127.01151ln20

2

11ln 20

qh

dcrpvs


001.02

exp)12.2(12.2

20

duu

yd


65.26

1

34.35)01.0))512)(7.01(15(10(2)())(1(2

h

dsycrpKq d

Este es el valor de 65.26q ya que no varía con respecto al anterior. Por lo tanto, se

recomienda hacer un pedido de26 ó 27 unidades.

68

Capítulo 3

MODELOS DE INVENTARIOS DINÁMICOS Y CON CADENAS DE

MARKOV

3.1 INTRODUCCIÓN

En los capítulos previos se revisaron los inventarios en un sólo periodo y generalizaron para

dos o más periodos, analizando los casos más comunes y sus generalizaciones a diferentes

familias de distribuciones, ahora en el presente capítulo se escribe brevemente sobre otros dos

tipos de inventarios probabilísticos que hacen falta de analizar, los inventarios dinámico-

probabilísticos y finalmente los inventarios obtenidos mediante cadenas de Markov.

Los inventarios dinámico-probabilísticos como es característico partirán de una demanda

incierta y una función recursiva que determine el costo en cada etapa del inventario para la

toma de la mejor decisión y avanzar a la siguiente etapa.

En el caso de los inventarios obtenidos mediante cadenas de Markov se parte de la

definición de un proceso estocástico, los conceptos básicos de las cadenas de markov, y las

condiciones que debe cumplir una cadena de markov. Finalmente, para la parte de inventarios

se ilustran éstos con un proceso de Poisson.

3.2 MODELO ESTOCÁSTICO DINÁMICO

En el modelo dinámico probabilístico la demanda es incierta. Por lo tanto, se siguen los

siguientes pasos para encontrar el modelo.

El problema se divide en etapas,

A cada etapa se le asocian varios estados (número de artículos en el almacén, iy ),

Se toma una decisión en cada etapa (número de artículos por ordenar, iq ),

Con la decisión tomada se transforma el estado actual en un nuevo estado en la etapa

siguiente (función de transición)

Capítulo 3. 69

69

)(1 iiii DEqyy

Observar que dado el estado actual, la decisión óptima para cada una de las etapas

restantes no depende de estados o decisiones previas.

Se obtiene la función recursiva que determina, en la etapa t , el costo correspondiente a

Tttt ,,2,1,

)(min)( *11 iiiiii

qii yJEyhqcKyJ

i (1)

En donde, )(*1 ii yJE es el costo esperado mínimo para el almacenamiento de iy en la

siguiente etapa.

EJEMPLO 20

Se considera el siguiente sistema de inventario durante tres periodos. Al principio de cada

periodo es necesario determinar cuántas unidades producir durante dicho periodo. El costo de

producción es )(qc , donde 0)0( c y para qqc 2030)( . La capacidad de producción está

limitada a 4 unidades durante cada periodo. Después de tener la producción se observa la

demanda aleatoria del periodo que puede ser de 1 o 2 unidades con la misma probabilidad.

Después de satisfacer la demanda se observa la existencia en el almacén a la que se carga un

costo de almacenamiento de $10 por unidad. La capacidad del almacén está limitada a tres

artículos. Se necesita satisfacer a tiempo toda la demanda. La existencia al final del tercer

periodo se remata a $20 la unidad. Al inicio se cuenta con una unidad en la bodega. Use la

programación dinámica para determinar una política de producción que minimice el costo neto

esperado incurrido durante los tres periodos.

Solución

Se determinará la función de transición )(1 iiii DEqyy , para esto se requiere la

demanda esperada. Del enunciado la demanda aleatoria del periodo puede ser de 1 o 2

unidades con la misma probabilidad. Luego, 23)5.0(2)5.0(1)( DE . Así,

231 iii qyy .

Ahora la función recursiva, )(min)( *11 iiiiii

qii yJEyhqcKyJ

i . Para esto

)2()1(2

1

2

1)2(

2

1)1()( 1

*11

*11

*11

*1

*1 iiiiiiiiiiiiii qyJqyJqyJqyJyJE

De tal forma que la función recursiva está dada por:

Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 70

70

2

1)2(

2

1)1(min)( 1

*11

*11 iiiiiiiiii

qii qyJqyJyhqcKyJ

i

Etapa 3

En particular la fórmula recursiva en la tercera etapa se debe contemplar que la

existencia al final del tercer periodo se remata a $20 la unidad, pero )(*1 ii yJE se

considera costo, y el remate es ganancia, luego se analiza

)2()1()20(2

11

*11

*1 iiiiii qyJqyJ

151010))(1(30min

21)20(2

1)23(1020))(1(30min

)2()1()20(2

1))(1(min)(

233

32323233

32323333323

3

3

3

yqq

qyqyqyqq

qyqyyhqcqKyJ

q

q

q

En donde, )(x es la función delta de Dirac. La función de transición 23323 qyy .

21 yyi

Costo esperado de

almacenamiento

23323 qyy

Cantidad de

artículos por

ordenar en la

etapa actual

3q

Costos esperado total

151010))(1(30)( 23323 yqqyJ

3 23 0 1515)3(10)0(10)11(30)3(3 J

3 25 1 2515)3(10)1(10)01(30)3(3 J

2 21 0 515)2(10)0(10)11(30)2(3 J

2 23 1 3515)2(10)1(10)01(30)2(3 J

2 25 2 4515)2(10)2(10)01(30)2(3 J

1 21 1 4515)1(10)1(10)01(30)1(3 J

1 23 2 5515)1(10)2(10)01(30)1(3 J

1 25 3 6515)1(10)3(10)01(30)1(3 J

0 21 2 6515)0(10)2(10)01(30)0(3 J

0 23 3 7515)0(10)3(10)01(30)0(3 J

0 25 4 8515)0(10)4(10)01(30)0(3 J

Etapa 2

La función de transición 23212 qyy .

Capítulo 3. 71

71

2

)2()1())(1(min)( 213213

22222122

qyJqyJyhqcqKyJ

q

o sustituyendo 23212 qyy

2

)2()1(151030))(1(30min

2

)2()1()23(1020))(1(30min

2

)2()1())(1(min)(

213213122

2132132122

2132132222212

2

2

2

qyJqyJyqq

qyJqyJqyqq

qyJqyJyhqcqKyJ

q

q

q

Los mejores costos en la etapa 3: 15)3(3 J , 5)2(3 J , 45)1(3 J y 65)0(3 J .

11 yyi

Costo esperado de

almacenamiento

23212 qyy 2q

Costo esperado total periodos del 2 al 3

2

)2()1(

151030))(1(30)(

213213

12212

qyJqyJ

yqqyJ

3 23 0

352

)1()2(15)3(10)0(30)11(30)3( 33

2

JJ

J

3 25 1

652

)2()3(15)3(10)1(30)01(30)3( 33

2

JJ

J

2 21 0

602

)0()1(15)2(10)0(30)11(30)2( 33

2

JJ

J

2 23 1

852

)1()2(15)2(10)1(30)01(30)2( 33

2

JJ

J

2 25 2

852

)2()3(15)2(10)2(30)01(30)2( 33

2

JJ

J

1 21 1

1102

)0()1(15)1(10)1(30)01(30)1( 33

2

JJ

J

1 23 2

1052

)1()2(15)1(10)2(30)01(30)1( 33

2

JJ

J

1 25 3

1052

)2()3(15)1(10)3(30)01(30)1( 33

2

JJ

J

0 21 2

1302

)0()1(15)0(10)2(30)01(30)0( 33

2

JJ

J

0 23 3

1252

)1()2(15)0(10)3(30)01(30)0( 33

2

JJ

J

0 25 4

1252

)2()3(15)0(10)4(30)01(30)0( 33

2

JJ

J


72

Etapa 1

Por condiciones del problema, 10 y . Luego, la función de transición.

2123 1101 qqyy .

De esta forma la función recursiva de costos

2

)1()(1020))(1(30

2

)2()1(1020))(1(30)(

1212111

10210211101

qJqJyqq

qyJqyJyqqyJ

Se puede hacer sustituyendo la función de transición

2

)1()(530))(1(30

2

)1()()21(1020))(1(30)(

121211

121211101

qJqJqq

qJqJqqqyJ

En donde, los mejores costos en la etapa 2, son: 35)3(2 J , 60)2(2 J , 105)1(2 J y

125)0(2 J .

01 yyi

Costo esperado

de

almacenamiento

1y

Cantidad de artículos

por ordenar en la

etapa actual (1 )

1q


2

)1()(102030)( 1212

1101

qJqJyqyJ

1 21 1

1702

)0()1(

2

110)1(2030)1( 22

1

JJ

J

1 23 2

5.1672

)1()2(

2

310)2(2030)1( 21

1

JJ

J

1 25 3

5.1622

)2()3(

2

510)3(2030)1( 21

1

JJ

J

La solución óptima corresponde al costo esperado de $162.50 que alcanza cuando en la

primera etapa se producen 31 q unidades. Para conocer con cuántas unidades se iniciará en la

etapa 2, se tiene que la demanda por etapa puede ser de 1 o 2 unidades, así es necesario

analizar las dos situaciones. Por ejemplo, si 11 d , entonces la etapa 2 inicia con

3131110 dqy .

Eligiendo el menor costo en la segunda etapa cuando se inicia con 3 unidades, resulta un

costo de 35)3(2 J y se obtiene cuando en la segunda etapa se producen 02 q unidades.

Similarmente se analizan las diferentes opciones de la demanda en la segunda etapa, para ver

con cuántas unidades se deberá iniciar la tercera etapa. En la siguiente tabla se resumen las

diferentes opciones.

Capítulo 3. 73

73

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3

Pro

ducció

n

1q

Dem

anda

1d

Inicio etapa 2

1101 dqyy

Pro

ducció

n

2q

Dem

anda

2d

Inicio etapa 3

2212 dqyy

Pro

ducció

n

3q

Dem

anda

3d

Final etapa 3

3323 dqyy

(remate)

3 1 3

0 1 2 0 1 1

0 2 0

0 2 1 1 1 1

1 2 0

3 2 2

0 1 1 1 1 1

1 2 0

0 2 0 2 1 1

2 2 0

EJEMPLO 21

Chip Milton vende sudaderas en los juegos de fútbol. Con igual probabilidad puede vender

200 o 400 en cada juego. Cada vez que Chip hace un pedido, paga $5000.00 más $5.00 por

cada sudadera pedida. Cada sudadera se vende a $80.00. Se carga un costo de almacenamiento

de $20.00 por sudadera que sobra al final del juego, debido al costo de oportunidad del capital

ligado a las sudaderas, y a sus costos de almacenamiento. Chip puede almacenar 400

sudaderas cuando mucho después de cada juego. Suponiendo que el número de sudaderas

pedidas por Chip debe ser múltiplo de 100, determine una política de pedidos que maximice

las ganancias netas que se obtengan durante los tres primeros juegos de la temporada. Suponga

que cualquier sobrante tiene un valor de $60.00 por sudadera.

Solución

Se va a determinar la función de transición )(1 iiii DEqyy , para esto se requiere la

demanda esperada. Del enunciado la demanda aleatoria del periodo puede ser de 200 o 400

unidades con la misma probabilidad. Entonces, 300)5.0(400)5.0(200)( DE . Así,

3001 iii qyy .

Ahora la función recursiva, )(min)( *11 iiiiii

qii yJEyhqcKyJ

i . Para esto


74

)400()200(2

1

2

1)400(

2

1)200()(

1

*

11

*

1

1

*

11

*

1

*

1

iiiiii

iiiiiiii

qyJqyJ

qyJqyJyJE

De tal forma que la función recursiva está dada por:

2

1)400(

2

1)200(min)( 1

*

11

*

11 iiiiiiiiiiq

ii qyJqyJyhqcKyJi

Partido 3

En particular la fórmula recursiva en la tercera etapa se debe contemplar que la existencia al

final del tercer periodo se remata a $60 la unidad, pero )(*1 ii yJE se considera costo, y el

remate es ganancia, luego se considerará )400()200()60(2

11

*

11

*

1 iiiiii qyJqyJ

120004010))(1(5000min

400200)60(2

1

)300(2050))(1(5000

min

)400()200()60(2

1))(1(min)(

233

3232

3233

32323333323

3

3

3

yqq

qyqy

qyqq

qyqyyhqcqKyJ

q

q

q

En donde, )(x es la función delta de Dirac. La función de transición 300323 qyy .

21 yyi

Costo esperado de

almacenamiento

300323 qyy

Cantidad de

artículos por

ordenar en la

etapa actual

3q

Costos esperado total

120004010))(1(5000)( 23323 yqqyJ

400 100 0 4000)400(3 J

300 0 0 0)300(3 J

300 100 100 4000)300(3 J

200 0 100 8000)200(3 J

200 100 200 7000)200(3 J

100 0 200 11000)100(3 J

100 100 300 10000)100(3 J

0 0 300 14000)0(3 J

0 100 400 13000)0(3 J

Capítulo 3. 75

75

Partido 2

La función de transición 300212 qyy .

2

)400()200())(1(min)( 213213

22222122

qyJqyJyhqcqKyJ

q

o sustituyendo 300212 qyy

2

)400()200(60002070))(1(5000min

2

)400()200(

)300(2050))(1(5000

min

2

)400()200())(1(min)(

213213

122

213213

2122

213213

2222212

2

2

2

qyJqyJyqq

qyJqyJ

qyqq

qyJqyJyhqcqKyJ

q

q

q

Los mejores costos en la etapa 3: 4000)400(3 J , 0)300(3 J , 7000)200(3 J ,

10000)100(3 J y 13000)0(3 J .

11 yyi

Costo esperado de

almacenamiento

300212 qyy 2q


2

)400()200(

60002070))(1(5000)(

213213

12212

qyJqyJ

yqqyJ

400 100 0 12000)400(2 J

300 0 100 22000)300(2 J

200 100 200 27000)200(2 J

100 100 300 32000)100(2 J

0 25 400 37000)0(2 J

Partido 1

Por condiciones del problema, 00 y . Luego, la función de transición.

300300 1101 qqyy .

De esta forma la función recursiva de costos

2

)400()200(2050))(1(5000)( 1212

11101

qJqJyqqyJ

Se puede hacer sustituyendo la función de transición


76

2

)400()200(600070))(1(5000

2

)400()200()300(2050))(1(5000)(

121211

121211101

qJqJqq

qJqJqqqyJ

01 yyi

Costo esperado

de

almacenamiento

30011 qy

Cantidad de artículos

por ordenar en la

etapa actual (1 )

1q


2

)400()200(

6000705000)(

1212

101

qJqJ

qyJ

0 0 400 59000)0(1 J

La solución óptima corresponde al costo esperado de $59000.00 que alcanza cuando en

la primera etapa se hace un pedido de 4001 q unidades. Para conocer con cuántas unidades

se iniciará en la etapa 2, se tiene que la demanda por etapa puede ser de 200 o 400 unidades,

así es necesario analizar las dos situaciones. Por ejemplo, si 2001 d , entonces la etapa 2

inicia con 2002004000110 dqy .

Eligiendo el menor costo en la segunda etapa cuando se inicia con 200 unidades, resulta

un costo de 27000)200(2 J y se obtiene cuando en la segunda etapa se un pedido de

2002 q unidades. Similarmente se analizan las diferentes opciones de la demanda en la

segunda etapa, para ver con cuántas unidades se deberá iniciar la tercera etapa. En la siguiente

tabla se resumen las diferentes opciones.

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3

Ped

ido

1q

Dem

anda

1d

Inicio etapa 2

1101 dqyy

Ped

ido

2q

Dem

anda

2d

Inicio etapa 3

2212 dqyy

Ped

ido

3q

Dem

anda

3d

Final etapa 3

3323 dqyy

(remate)

400 200 200

200 200 200 200 200 200

200 400 0

200 400 0 400 200 200

400 400 0

400 400 0

400 200 200 200 200 200

200 400 0

400 400 0 400 200 200

400 400 0

Capítulo 3. 77

77

GENERALIZACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO DINÁMICO

Generalizando el razonamiento que condujo a la ecuación (1) se tiene lo siguiente: supóngase

que los estados posibles durante el periodo 1t son nsss ,...,, 21 y que la probabilidad de que

el estado del periodo 1t sea ii Pess . Entonces el costo mínimo esperado en que se incurre

durante los periodos ,...,2,1 tt al término del problema, es

n

i

iti sJp1

1 )(

donde )(1 it sJ el costo mínimo esperado en que se incurre desde el periodo 1t hasta el final

del problema, dado que el estado durante el periodo 1t es is .

Figura 3.1 Diagrama de flujo para las etapas de un modelo estocástico dinámico.

Fuente: Elaboración propia

En lo que se refiere este diagrama sea S el numero de estados posibles en la etapa 1n

y etiquete estos estados al lado derecho por S,...,2,1 . El sistema cambia al estado i con

probabilidad ip S,...,2,1 dado el estado ns y la decisión nx en la etapa n . Si el estado

cambia al estado i , iC es la contribución de la etapa n a la función objetivo.

Debido a la estructura probabilística, la relación entre )(),( 1

*

1 nnnnn sJyxsJ

necesariamente es mas complicada que para el caso determinístico. La forma exacta de esta

relación dependerá de la forma global de la función objetivo.

Política Ss,

Para la política de inventario se siguen los siguientes pasos.

Probabilidad Contribución Etapa n+1

de la etapa n

1

1C

)1(*

1nJ

1p

nS nx 2p 1C 2

sp )2(*

1nJ

1C

S

)(*

1 SJ n


78

1. El costo de producir 0x unidades durante un periodo consta de un costo fijo K y un

costo variable de producción c por unidad.

2. La demanda durante un periodo dado será x con probabilidad )(xp .

3. Se carga un costo de almacenamiento de h por unidad a cada inventario al término del

periodo. Si hace falta, se incurre en un costo d de escasez por unidad. El costo donde

no se permite escasez se puede obtener al hacer muy grande.

4. La meta es reducir al mínimo el costo total incurrido durante los periodos T,...,2,1 .

5. Se debe de satisfacer todas las demandas al final del periodo t .

Scarf (1060) para un problema de inventario así, uso la programación dinámica para demostrar

que: para cada Ttt ,...,2,1 , existe un par de números ),( tt Ss tales que si 1ti , la entrada

inventada por el periodo t , es menor que tS , entonces una unidad 1 tt iS se produce

tt si 1 , entonces es optimo no producir durante el periodo t a esta política se llama política

Ss, .

3.3 PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Un proceso estocástico se puede definir de la siguiente forma:

Sea PF,, un espacio de probabilidad y E un conjunto no vacío. Un proceso estocástico es

una colección de variables aleatorias TtX t : , indexadas por algún conjunto T.

usualmente,

continuotiempoaoestocásticproceso

discretotiempoaoestocásticprocesoT

R

,...2,1,0,

El conjunto E es el espacio de estados si E es numerable se dice que el proceso tiene un

espacio de estado discreto mientras que si E continuo entonces se dice que tiene espacio de

estados continuo.

Por ejemplo, el proceso estocástico ,...,, 321 XXX , puede representar la colección de

niveles semanarios (o mensuales) de inventario de un producto dado, o bien, puede representar

la colección de demandas semanales (o mensuales) de ese producto.

El conjunto T es el conjunto índice del proceso estocástico. Si T es contable, entonces

el proceso es un proceso en tiempo discreto. Si T es un intervalo abierto o cerrado de la recta

real, entonces el proceso es de tiempo continuo. El conjunto de los posibles valores de las

variables aleatorias tX , Tt , es el espacio de estados del proceso. Este espacio de estados

puede ser, también, continuo o discreto.

Capítulo 3. 79

79

3.3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS CADENAS DE MARKOV

Un modelo de Markov consiste en un conjunto de estados discretos. Este conjunto es

exhaustivo y describe todos los posibles estados donde el sistema puede estar. La transición

del estado i a j ocurre con una probabilidad ijP .

PROPIEDAD DE LA CADENA MARKOV

Una cadena discreta de markov en un Proceso Estocástico con 0 ZT y que cumple:

SiijiiXjXPiXiXjXP ttttt 101001 ,...,;,,,..., la Probabilidad de

transición.

En palabras, esta propiedad markoviana establece que la probabilidad condicional de

cualquier “evento” futuro dados cualquier “evento” pasado y el estado actual iX t , es

independiente del evento pasado y sólo depende del estado actual del proceso.

Definición. Se dirá que una CM (que cumple con la propiedad marcovina) tiene probabilidad

de transición si1, tt

ijP no dependa de t.

Definición. Si la CM ,...2,,1,0, nPt “es estacionaria” a la matriz SjiijPP

,

1101

1,

tt

tt

ijij XjXPiXjXPPP

Se le conoce como Matriz Transición de Probabilidades a la matriz

nnnn

n

n

PPP

PPP

PPP

P

10

11110

00100

Además, cumplen las filas con la siguiente condición:

iPSj

ij

1 .

Para calcular el tiempo de espera de primera pasada del estado i al estado j . Denote

esta esperanza por ij , que se define por las expresiones.

1,

,

0

)(

0

)(

0

)(

n

n

ij

n

n

ij

n

n

ij

ij

fsinf

fsi

Siempre que


80

10

)(

n

n

ijf

Entonces ij satisface de manera única, la ecuación

jk

kjikij p 1

Donde )(n

ijf denota la probabilidad de que el tiempo de primera pasada del estado i al j sea

igual a n .

ECUACIONES DE CHAPMAN – KOLMOGÓROV

Las ecuaciones de Chapman – Kolmogórov proporcionan un método para calcular

probabilidades de transición de n pasos.

nmconnyjitodaparaPPPM

k

mn

kj

m

ik

n

ij

0,0

)()()(

Estas ecuaciones señalan que al ir del estado i al estado j en n pasos, el proceso estará

en algún estado k después de exactamente )( nmm pasos.

Así, )()( mn

kj

m

ik PP es sólo la probabilidad condicional de que si se comienza en el estado i ,

el proceso vaya al estado k después de m pasos y después al estado j en nm pasos.

Proposición. La matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de nn PP .

CLASIFICACIÓN DE ESTADOS DE UNA CADENA DE MARKOV

Definición. Se dice que el estado j es accesible desde el estado i si 0)( n

ijp para alguna

0n .

En general, una condición suficiente para que todos los estados sean accesibles es que exista

un valor de n para el que 0)( n

ijp para toda jyi .

Definición. Si el estado j es accesible desde el estado i y el estado i es accesible desde el

estado j , entonces se dice que los estados jyi se comunican.

En general:

1) Cualquier estado se comunica consigo mismo,

2) Si el estado i se comunica con el estado j , entonces el estado j se comunica con el

estado i y

Capítulo 3. 81

81

3) Si el estado i se comunica con el estado j y el estado j se comunica con el estado k ,

entonces el estado i se comunica con el estado k .

Definición. Se dice que una cadena de Markov es irreducible si existe solo una clase, es decir,

si todos los estados se comunican.

Definición. Sea iif la probabilidad de que el proceso regrese al estado i dado que comienza

en el estado i . El estado i se llama estado recurrente si 1iif y es transitorio si 1iif .

Definición. Se dice que un estado i es absorbente si la probabilidad de transición iip sea

igual a 1.

PROPIEDADES DE LAS CADENAS DE MARKOV A LARGO PLAZO

Distribución límite

La distribución límite es un vector t ,...,, 21 , es la única solución del sistema.

TjPT

k

ijkj ,...,2,1,0,0

.

10

T

k

k

El límite de una matriz de transición es:

jtt

jXP

lim

Justificación

jj

T

k

T

k

t

kjtt

T

k

t

kj

T

k

tt

kXPkXPPjXP

kXPPkXPkXjXPjXP

0

0

0

00

0

0

0

00

limlim

,

Esto es, de forma matricial:

n

n

n

n

nnt

n

nt

n

nt

n

nt

n

t

n

t

n

nt

n

t

n

t

n

t

PPP

PPP

PPP

P

10

10

10

10

11110

00100

limlimlim

limlimlim

limlimlim

lim

Este resultado es importante cuando se calcula un costo promedio a largo plazo asociado a una

cadena de Markov.


82

El costo promedio esperado en el que se incurre a lo largo de los primeros n periodos está

dado por la expresión

n

t

tXCn

E1

)(1

Sabiendo que

j

n

k

k

ijn

pn

0

1lim

Entonces, el costo promedio esperado por unidad de tiempo (a largo plazo), está dado por

j

M

j

n

t

tn

jCxCn

E

11

)()(1

lim

Las cadenas de Markov estudiadas en este capítulo tienen las siguientes propiedades:

1. Un número finito de estados,

2. Probabilidades de transición estacionarias.

También se supondrá que se conocen las probabilidades iníciales iXP 0 para toda i .

3.3 .2 MODELO CUANDO LA DEMANDA ES GENERADA POR UN PROCESO POISSON

El proceso de conteo 0),( ttN es un Proceso de Poisson con tasa 0 si

i. 0)( tN ,

ii. El proceso tiene incrementos independientes,

iii. En número de eventos en cualquier intervalo de magnitud t tiene una distribución de

Poisson con media t , es decir,

,...1,0,!

)()( nn

tnsNstNP

n

,

De la condición (iii) se deduce que un proceso de Poisson tiene incrementos

estacionarios y que ttNE )( de donde es llamada la tasa del proceso.

EJEMPLO 22

Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar

cada semana. Sean ,..., 21 DD las demandas respectivas de esta cámara durante la primera,

segunda,…, semanas. Se supone que las iD son variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas que tienen una distribución Poisson con media de uno. Sea 0X el

Capítulo 3. 83

83

número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, 1X el número de

cámaras que se tienen al final de la semana uno, 2X el número de cámaras que se tienen al

final de la semana dos, etc. Suponga que 30 X . El sábado en la noche la tienda hace un

pedido que le entregan en el momento de abrir la tienda el lunes. La tienda usa la siguiente

política para ordenar: si no hay cámaras en el inventario, ordena tres cámaras. De otra manera,

si se cuenta con cámaras en el almacén, no se hace el pedido. Se supone que las ventas se

pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, tX para ,...,1,0t es un proceso

estocástico de la forma de que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los

enteros 3,2,1,0 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la

semana. Las variables aleatorias tX son dependientes y se pueden evaluar en forma iterativa

por medio de la expresión

,...2,1,0,

00,

00,3

1

1

1

tparaXsiDXmáx

XsiDmáxX

ttt

tt

t

Solución

tX representa el estado del sistema en el tiempo t dado que el estado actual es iX t . 1tX

depende solo de 1tD (la demanda en la semana 1t ) y 1tX . Como 1tX es independiente de

la historia del sistema de inventarios, el proceso estocástico ,...1,0tX t tiene la propiedad

markoviana y por lo tanto es una cadena de Markov.

Ahora, se obtienen las probabilidades de transición, es decir, los elementos de la matriz

de transición.

3323130

23222120

13121110

03020100

3

2

1

0

3210

pppp

pppp

pppp

pppp

P

estado

Dado que 1tD tiene una distribución Poisson con media uno. Entonces,

,...,1,0,!

1 1

1

nparan

enDP

n

t

Así,


84

080.0184.0368.0368.01213

184.02

2

368.01

368.00

11

1

1

1

1

1

1

tt

t

t

t

DPDP

eDP

eDP

eDP

Para el primer renglón de P , se trata de la transición del estado 0tX a algún estado

1tX . Como se finió 00,3 11 ttt XsiDmáxX

Por lo tanto, para la transición a ,12,3 111 ttt XoXX

184.02

368.01

368.00

101

102

103

t

t

t

DPp

DPp

DPp

Una transición de 00 1 tt XaX implica que la demanda de cámaras en la semana

1t es 3 o más, después que se agreguen tres cámaras al inventario agotado al principio de la

semana, de manera que 080.03100 tDPp .

Para los otros dos renglones de P, la fórmula que se ocupa para los siguientes estados es

10,11 tttt XsiDXmáxX

Esto implica que tt XX 1 entonces, 0,0,0 231312 ppp . Para las otras

transiciones,

264.0368.0368.01112

368.01

368.00

632.0011

368.00

1120

121

122

1110

111

tt

t

t

tt

t

DPDPp

DPp

DPp

DPDPp

DPp

Para el último renglón de P, la semana 1t comienza con tres cámaras en inventario y

los cálculos de las probabilidades de transición son junto las mismas que para el primer

renglón. En consecuencia, la matriz de transición completa es

368.0368.0184.0080.0

0368.0368.0264.0

00368.0632.0

368.0368.0184.0080.0

3

2

1

0

3210

P

estado

Capítulo 3. 85

85

Ahora, analizando la matriz de transición de probabilidades a dos etapas se tiene que:

165.0300.0286.0249.0

097.0233.0319.0351.0

233.0233.0252.0283.0

165.0300.0286.0249.0

368.0368.0184.0080.0

0368.0368.0264.0

00368.0632.0

368.0368.0184.0080.0

368.0368.0184.0080.0

0368.0368.0264.0

00368.0632.0

368.0368.0184.0080.0

2)2( PP

Por lo tanto, dado que queda una cámara en existencia al final de una semana, la

probabilidad de que no se tenga cámara alguna en existencia 2 semanas más tarde es de

283.0)2(

10 p

Análogamente, dado que quedan 2 cámaras en existencia al final de una semana, la

probabilidad de que se tengan 3 cámaras en existencia 2 semanas más tarde es de

097.0)2(

23 p

Ahora, se obtiene la matriz de transición en 4 pasos.

164.0261.0286.0289.0

171.0263.0283.0284.0

166.0268.0285.0282.0

164.0261.0286.0289.0

165.0300.0286.0249.0

097.0233.0319.0351.0

233.0233.0252.0283.0

165.0300.0286.0249.0

165.0300.0286.0249.0

097.0233.0319.0351.0

233.0233.0252.0283.0

165.0300.0286.0249.0

22)2()2()4( PPPPP

Por lo tanto, dado que resulta en existencia una cámara al final de una semana, la

probabilidad de que no se tengan cámaras en existencias 4 semanas más tarde es de

282.0)4(

10 p

De manera análoga dado que quedan 2 cámaras en existencia al final de una semana, la

probabilidad de que se tengan 3 cámaras 4 semanas más tarde es de

71.1.0)4(

23 p


86

Finalmente, se calcula el tiempo esperado hasta que ya no se tenga cámaras en el

almacén, suponiendo que el proceso inicia cuando se tienen tres cámaras; es decir, se puede

obtener el tiempo esperado de primera pasada 30 .

Si se considera que todos los estados son recurrentes, el sistema de ecuaciones conduce

al sistema de ecuaciones.

30132012101110

30232022102120

30332032103130

1

1

1

ppp

ppp

ppp

Esto es

1010

201020

30201030

368.01

368.0368.01

368.0368.0184.01

La solución es 50.351.2,58.1 302010 y .

Por lo tanto, el tiempo esperado hasta que la tienda se quede sin cámaras es de 3.5

semanas.

Luego, después de muchas semanas, la probabilidad de encontrar cero, uno, dos y tres

cámaras en el almacén tiende a 166.0263.0,286.0 320 y , respectivamente. Estos

resultados se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

3210

303

3202

32101

32100

1

368.0368.0

368.0368.0368.0

184.0368.0368.0184.0

080.0264.0632.0080.0

y los tiempos de recurrencia correspondientes son

semanas

semanas

semanas

semanas

02.61

79.31

51.31

51.31

3

33

2

22

1

11

0

00

Capítulo 3. 87

87

Por último, supóngase que en el almacén de cámaras se asigna los siguientes costos por

almacenamiento al final de semana:

Si 0tX , entonces 0)0( C .

Si 2tX , entonces 2)1( C .

Si 2tX , entonces 8)2( C y 3tX , 18)3( C .

Finalmente, el costo promedio esperado por semana, a largo plazo, por mantener el

inventario se calcula de la siguiente forma.

67.5)166.0(18)264.0(8)285.0(2)285.0(0)(1

lim1

n

t

tn

xCn

E

88

Capítulo 4

APLICACIÓN

4.1 CASO DE ESTUDIO

Los datos presentados en el caso de estudio pertenecen a una tienda de conveniencia de la cual

no se mencionará su marca comercial ni su ubicación por razones de privacidad comercial. Sin

embargo, es importante mencionar que la tienda en donde se realizó el estudio se encuentra en

una zona mixta, es decir, su demanda es variable ya que en su ubicación se encuentran casas

habitación y oficinas.

Las tiendas de conveniencia son aquellas que basan su éxito en el amplio catálogo que

manejan; alrededor de tres mil artículos, de los cuáles el treinta por ciento es de alta

frecuencia. Estas tiendas están situadas en lugares estratégicos que permiten al cliente tener

casi cualquier producto a su alcance las 24 hrs del día. Esta ventaja en servicio al cliente

representa también un problema en el momento del cálculo de la cantidad de artículos a pedir.

Por esta razón toma importancia la estadística en la teoría de inventarios para el cálculo

de lote económico al mínimo costo. Para ilustrar la aplicación se analiza dos productos de

forma independiente, uno con comportamiento continuo y el otro discreto.

Capítulo 4. 89

89

4.2 METODOLOGÍA

Para la aplicación de los modelos de inventarios revisados en los capítulos previos se propone

la siguiente metodología (mostrada en el diagrama de abajo) que ayude al decisor en un

problema práctico a tomar decisiones sobre la mejor elección del mejor modelo de inventarios.

Posteriormente, se describe cada una de las etapas de la metodología y resolverán dos

problemas.

Inicio

Ordenar la información

Estimación

distribución de la demanda

Prueba de bondad y ajuste

Estimación de los parámetros

Elección del modelo

Estimación

Lote económico q

Selección de la información

Comprobación del modelo

Aplicación. 90

90

4.2.1 inicio

En esta etapa se determinan los tipos de datos que se va a utilizar y su origen.

4.2.2 ORDENAR LA INFORMACIÓN

Se organiza la información para facilitar el manejo, el análisis y la interpretación de los datos.

Generalmente la información se obtiene de bases de datos que no están ordenados para el

análisis que se pretende hacer con éstos, es por ello, que se le da un tratamiento de reorden. En

particular, para los datos procedentes de un inventario se considera lo siguiente.

Los campos más indispensables que se pueden tomar en cuenta en el manejo de la

información para su control y diseños de los modelos son los siguientes:

1. Nombre del artículo.

2. Descripción del artículo.

3. Número de artículo.

4. Código de proveedor.

5. Nombre del proveedor.

6. Costo del artículo.

7. Precio del artículo.

8. Número de movimiento en inventario.

9. Tipo de movimiento en inventario.

I. Entradas.

II. Salidas.

III. Otros movimientos.

10. Descripción de movimiento

11. Número de unidades en existencia

4.2.3 SELECCIÓN DE LA INFORMACIÓN

Se toman los datas de interés para su análisis estadístico, previamente ordenados y los que

pueden ser de utilidad para hacer estimaciones sobre la cantidad de lote económico que se

pretende pedir.

4.2.4 DETERMINACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA DEMANDA

Mediante los métodos estadísticos se estima la distribución que siguen las demandas,

partiendo intuitivamente de un histograma para tener una idea del comportamiento de los

datos. Una vez teniendo una distribución inicial de los datos se buscan los estimadores de los

parámetros de dicha distribución. Finalmente se realiza una prueba de bondad de ajuste para

determinar la distribución de la demanda.

Capítulo 4. 91

91

4.2.4.1 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Para la estimación de los parámetros de una distribución, en estadística existen varios

métodos, como el de momentos y máxima verosimilitud (descritos más abajo), que

dependiendo de los tipos de parámetros que se pretende estimar el método puede tomar un

grado de complejidad elevado que no sea posible encontrarlo explícitamente, sino únicamente

por simulación y la solución se determina mediante paquetes estadísticos.

Un estimador es un estadístico (esto es, una función de la muestra) usado para estimar

un parámetro desconocido de la población. Por ejemplo, si se desea conocer el precio medio

de un artículo (el parámetro desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho

artículo en diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las observaciones

puede utilizarse como estimador del precio medio.

Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general, se

escogerá el estimador que posea mejores propiedades que los restantes, como insesgamiento,

eficiencia, convergencia y consistencia.

El valor de un estimador proporciona lo que se denomina en estadística una estimación

puntual del valor del parámetro en estudio. En general, se suele preferir realizar una

estimación mediante un intervalo, esto es, obtener un intervalo [a,b] dentro del cual se espera

esté el valor real del parámetro con un cierto nivel de confianza. Utilizar un intervalo resulta

más informativo, al proporcionar información sobre el posible error de estimación, asociado

con la amplitud de dicho intervalo. El nivel de confianza es la probabilidad de que a priori el

verdadero valor del parámetro quede contenido en el intervalo.

Los métodos más utilizados para encontrar estimadores:

a) Método de los Momentos

Este método fue propuesto por Pearson (1857-1936) y consiste en igualar un determinado

número de momentos teóricos de la distribución de la población con los correspondientes

momentos muéstrales, para obtener una o varias ecuaciones que, resueltas, permitan estimar

los parámetros desconocidos de la distribución poblacional.

Por ejemplo, sea nXXX ,...,, 11 una m.a.s. de una distribución con función de densidad

),;( 21 xf . Como se tienen 2 parámetros, se consideran los dos primeros momentos respecto

al origen,

dxxfxXn

dxxxfXn

n

i

i

n

i

i

),(1

,),(1

21;2

1

221;

1

b) Máxima Verosimilitud

El método de Máxima Verosimilitud tiene la propiedad de seleccionar como estimación, el

valor del parámetro que maximiza el valor de la probabilidad de la muestra aleatoria

Aplicación. 92

92

observada. El método consiste en encontrar el valor del parámetro que maximiza el valor de la

función de verosimilitud.

Por ejemplo, para una muestra aleatoria nXXX ,...,, 11 de una distribución con función

de probabilidad o de densidad )( ;xf , la función L, se denomina Función de Verosimilitud de

la Muestra:

n

i

iXn xfxxxLi

1

11 );(,...,,;

El Estimador de Maxima Verosímil, ̂ , debe satisfacer la ecuacion

nn xxxLxxxL ,...,,;max,...,,; 1111

,

siendo θ ∈ Θ el Espacio Paramétrico.

El Método de Máxima Verosimilitud tiene la propiedad de proporcionar estimadores que

son funciones de estadísticos suficientes, si y sólo si el Estimador de Máxima Verosimilitud es

único. Debido a la naturaleza de la función L, suele ser más fácil maximizar )ln(L .

4.2.4.2 PRUEBA DE BONDAD Y AJUSTE

Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una

determinada distribución, esta distribución puede estar completamente especificada (hipótesis

simple) o perteneciente a una clase paramétrica (hipótesis compuesta).Con mucha frecuencia

no se conoce la distribución de probabilidad de la variable aleatoria en estudio, digamos X, y

se desea probar la hipótesis de que X sigue una distribución de probabilidad particular. Por

ejemplo, podría ser de interés probar la hipótesis de que X sigue una distribución normal, una

exponencial, etc.

Las pruebas de bondad de ajuste más conocidas son:

La ji – cuadrada,

Kolmogórov – Smirnov,

Shapiro – Wilk.

a) Pruebas 2

Las pruebas 2 , están diseñados para variables aleatorias discretas y continuas con un

número finito de valores, si esto no ocurriese los valores de la variable se agrupan en un

número finito de clases.

Hipótesis nula 00 : FXH

Se puede hacer mediante el estadístico de Pearson.

Capítulo 4. 93

93

Estadístico de Pearson

2

),1(

1

2

2 ~)(

mk

k

i i

iic

np

npn.

En donde, m cantidad de parámetros a estimar.

k - número de clases en la tabla de distribución de frecuencias.

in - el número de datos en la clase i,

n - tamaño de la muestra,

ip - es la probabilidad de que la variable aleatoria X (poblacional) tome valores en

el intervalo i.

En ocasiones se simboliza

esperada frecuencia

observada frecuencia

ii

ii

Fenp

Fon

Regla de decisión:

Rechazar 0H al nivel de significancia , si:2

),1(

2

mkc .

b) Prueba de Kolmogorov -Smirnov

Se basa en el concepto de la función de distribución empírica y sus propiedades como

aproximación de la función de distribución teórica. Dada una muestra aleatoria de una variable

aleatoria continua nXXX ,...,, 21 y una hipótesis simple sobre el comportamiento de esa

variable 00 : FXH considera el estadístico

)()(sup 0 xFxFD nx

n

y rechaza la hipótesis nula cuando el valor de este estadístico es grande. Para estudiar el

comportamiento de nD , cuyos valores están en el intervalo (0,1), y que a medida que el

tamaño de muestra aumenta tiende a tomar valores más próximos a cero (Teorema de

Glivenko-Canteli), se utilizan los estadísticos

)()(sup)()(sup 00 xFxFDxFxFD nx

nnx

n

que permite comprobar que

ni

n

ixFxF

n

iD iin ,...,1

1)(),(max )(0)(0 .

La distribución de nD es independiente de la distribución formulada en la hipótesis

nula, ya que la transformación de los estadísticos ordenados de una variable continúa por su

Aplicación. 94

94

función de distribución da lugar a los estadísticos ordenados de una )1,0(U . En consecuencia

nD está tabulado para muestras de tamaño pequeño y para muestras de tamaño grande se

utiliza la aproximación asintótica

1

21 22

11limi

zii

nrn

en

zDP

La distribución nD sirve para buscar bandas de confianza para la función de distribución

teórica de una variable.

c) Pruebas de normalidad

Comprueban la hipótesis compuesta NormalXH :0

1. Pruebas gráficas basadas en los P-P plots y Q-Q plots.

2. Lillefors: )(ˆ)(sup , xFxFD sxnx

n

| es una modificación de la prueba de Kolmogórov

- Smirnov, de cómo busca los parámetros de la normal a partir de la muestra ya se está

ajustando a la muestra. Por tanto este estadístico toma valores en general menores que

el de K-S y posee unas tablas propias para este caso. Existen tablas especiales para el

caso exponencial.

3. Shapiro – Wilk: ),...,1),(( )()(

2 niEXRW ii , con )(iE Esperanza del estadístico

ordenado de orden i de una muestra aleatoria de tamaño n de N(0,1). Otras expresiones

para este estadístico son:

2

2

)(

2/

1

)(

2

2

)()1(

2/

1

)(

1 )()(

ns

xxa

ns

xxa

W

i

n

i

n

iiin

n

i

n

in

donde los coeficientes )(

1

)( n

in

n

i aa dependen del tamaño de muestra y se buscan en

las tablas de Shapiro – Wilk.

La región crítica de esta prueba es cWRC , donde el valor se obtiene buscando

el comportamiento de W en el caso de que la distribución sea normal.

4. Agostino: se basa en el estadístico

sn

xxin

sn

xn

i

sn

xxi

Diin

n

i

i

n

i

i

n

i

2

)()1(

2/

1

2

)(

1

2

)(

1

)(2

1

2

1)(

se puede utilizar para n>50 y tiene como región crítica 21 cWocWRC ,

donde los límites de la región crítica se encuentran tabulados bajo la hipótesis de

Capítulo 4. 95

95

normalidad. Para tamaños de muestra muy grandes mayores de 250 se utiliza una

aproximación asintótica del estadístico D a una normal.

4.2.5 ELECCIÓN DEL MODELO

En los modelos clásicos sólo se contemplan las demandas, pero en los inventarios de las

tiendas de conveniencia a parte de la demanda se tiene que tomar en consideración que el

reabastecimiento de productos en muchas ocasiones ocurre por devoluciones por parte del

centro de abastecimiento a las tiendas. Dichas devoluciones también son aleatorias y esto

dificulta el problema del inventario, porque se debe tener una demanda real que sería:

devoluciónclientes demanda si;0,

devoluciónclientes demanda si;,devoluciónclientes demandareal Demanda

Es decir, para conocer la distribución de la demanda real se requiere conocer la

distribución de la demanda de los clientes y la distribución de las devoluciones.

Posteriormente, por medio de alguna técnica de transformación de distribuciones encontrar la

distribución deseada.

4.2.6 ESTIMACIÓN DEL LOTE ECONÓMICO (q)

Una vez obtenido la distribución de la demanda se procede a estimar el tamaño del lote

económico, de acuerdo al tipo de demanda se ajustan los modelos propuestos o se deduce otro

modelo.

4.2.7 COMPROBACIÓN DEL MODELO (q)

Con el valor obtenido en la etapa de la sección 4.2.6 se realiza la comprobación de que bajo

este resultado durante los periodos establecidos y tiempos de reorden de inventario no se tenga

un nivel de inventario excesivo, ni tampoco varios días con déficit. Además de que los costos

de inventario sean bajos.

Aplicación. 96

96

4.3 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

En la solución de los problemas se omiten los pasos uno a tres, porque los datos se obtuvieron

previamente ordenados por parte de la tienda de conveniencia. Los datos utilizados para el

análisis aparecerán en cada problema.

4.3.1 PROBLEMA UNO (Conchita Encanto 200G)

Salidas Entradas Salidas Entradas Salidas Entradas

20 0 16 6 15 0

10 2 7 3 12 0

19 1 3 4 9 0

17 5 8 0 16 0

12 3 14 1 10 0

14 2 12 3 14 0

4 1 9 0 4 0

11 0 24 0 10 10

20 0 9 0 8 0

21 2 7 2 13 0

11 4

Tabla 4.1. Muestra de la demanda y devoluciones. Salida: ventas diarias del artículo y

Entradas: devoluciones por parte del consumidor.

Fuente. Elaboración propia.

Paso 4.

Se analizan los datos para encontrar una distribución conocida a partir de un histograma de

forma independiente de los datos que se tiene.

Para los datos de la demanda.

Clases Frecuencia

3 6.5 3

6.5 10 7

10 13.5 9

13.5 17 6

17 21.5 5

21.5 24 1

Tabla 4.2. Clases y frecuencias de la demanda.

Fuente. Elaboracion propia.

Capítulo 4. 97

97

Figura 4.1. Histograma de la demanda.


Para los datos de las devoluciones.

Clases Frecuencia

0 2 19

2 4 7

4 6 3

6 8 1

8 10 1

Tabla 4.3. Clases y frecuencias de las devoluciones.


Grafica 4.2. Histograma de las devoluciones.


0123456789

10

6.5 10 13.5 17 21.5 24

Cla

se

Frecuencia

Histograma

Demanda

0

5

10

15

20

2 4 6 8 10

Cla

se

Frecuencia

Histograma

Devoluciones

Aplicación. 98

98

Paso 4.1.

Para estimar los parámetros se utiliza el método de máxima verosimilitud.

Para la distribución normal

05.27)(1

1

23.121

1

22

1

n

i

i

n

i

i

xxn

S

xn

X

Para la distribución gamma

El logaritmo natural de la función de verosimilitud es

)(ln)ln()1()ln()ln(11

nxxnLn

i

i

n

i

i

de la anterior ecuación se obtiene un sistema de ecuaciones no lineales, donde )( es la

función digamma que se define como

)()(ln

d

d.

0

0)ln()()ln(

1

1

n

i

i

n

i

i

xn

xnn

por lo que nos lleva a utilizar un paquete estadístico (Proyecto R) para encontrar los

estimadores

8.0ˆ

27.1ˆ

Paso 4.2.

Para corroborar la distribución de los datos se procede a realizar una prueba de normalidad

mediante la prueba Shapiro – Wilk.

Hipótesis

)05.27,23.12(~:)05.27,23.12(~: 00 normalDHvsnormalDH

La estadística de prueba es 976.0W 1 y el valor crítico a un nivel de confianza del 5% es

929.005.0,31 W . Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula.

También se hace la prueba de Kolmogorov – Smirnov.

La estadística de prueba es 098.0D 1 y el valor crítico a un nivel de confianza del 5%

es 278.005.0,31 D . Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula.

Capítulo 4. 99

99

De acuerdo a la prueba de normalidad, los datos presentan indicios de una distribución

normal con parámetros, media 23.12 . y varianza 05.272 .

Por otro lado, se realiza la prueba de bondad de ajuste sobre los datos de las

devoluciones y .se aplica la prueba de la ji – cuadrada Pearson.

Figura 4.3. Prueba de bondad y ajuste, prueba de normalidad en R.


Hipótesis

)0.0,27.1(~:)0.0,27.1(~: 00 gammanesdevolucicoHvsgammaesdevolucionH

El estadístico de prueba es

23.39

12

2

2

n

i

ic

xx

donde 56.1x y 97.12 , parámetros poblacionales estimados de la población que tiene

una distribución gamma.

Regla de decisión:

Rechazar :0H la distribución es );( θxf , al nivel de significancia , si: )),1((22 kntc .

Aplicación. 100

100

donde

n: número de observaciones.

k: número de parámetros a estimar.

Ahora se calcula el valor crítico que es

34.412

05.0,28

2

)1( kn

Por lo tanto, la hipótesis nula no se rechaza a un nivel de significancia de %5, esto indica

que las devoluciones tienen una distribución )8.0,27.1(gamma .

Paso 5.

Se determina la forma del modelo que se pretende aplicar para la estimación de la demanda. El

modelo a utilizar es:



Paso 6.

De acuerdo a la gráfica anterior, las entradas por devolución tienen un comportamiento de una

distribución gamma con parámetros 8.0,27.1 . Por lo tanto, el promedio de

devoluciones por día es de 1.58 artículos.

Ahora, se estima *q con las dos demandas estimadas, es decir, las diferencia entre la

demanda (normal) y las devoluciones (gamma).

Partiendo de la teoría básica

u

u

cc

cqDP

0

* )(

donde

)8.0,27.1()05.27,23.12(~ gammanormalD

Con la distribución resultante de la suma de una normal y una gamma no se puede

calcular analíticamente la función de densidad, es por esto que se utiliza un método de

aproximación implementado en R (paquete estadístico).

Primeramente se calcula los valores de ucyc0 . Partiendo de los siguientes precios: el

costo por unidad es de $3.22 y el precio de venta es de $4.5.

De esta forma,


negativo): Compra de q unidades a $3.22 cada uno ( q22.3 ), venta de unidades a

Capítulo 4. 101

101

$4.5 cada uno ( d5.4 ) y devolución de dq unidades ( )(5.4 dq ).

Obteniendo un costo total de dqdqdq 028.1)(5.45.422.3 . Luego,

28.10 c .


negativo): Compra de q unidades a $3.22 cada uno ( q22.3 ) y venta de unidades a

$4.5 cada uno ( q5.4 ). Obteniendo un costo total de qqq 28.15.422.3 .

Luego, 28.1uc .

Finalmente,

23.115.028.128.1

28.1)( **

qqDP

Por lo tanto, es aconsejable pedir un lote económico de 79 artículos semanales.

Paso 7.

En esta etapa se comprueba el modelo como se muestra en la siguiente tabla.

demanda

efectiva

Unidades

calculadas

Cantidad a

pedir q/semanal

demanda

efectiva

Unidades

calculadas

Cantidad a

pedir q/semanal

20 59 79 8 71 79

8 51 13 58

18 33 9 49

12 21 9 40

9 12 24 16

12 0 9 7

3 -3 5 2

11 68 79 15 64 79

20 48 12 52

19 29 9 43

7 22 16 27

10 12 10 17

4 8 14 3

-1 9 4 -1

Tabla 4.4. Análisis de ventas semanales.


De acuerdo a la tabla anterior, se concluye que el modelo es adecuado para la estimación de

lote económico semanal, ya que existen pocas unidades de sobre abastecimiento y sólo se

tienen dos días de déficit al mes, que representa un 7% de desabasto.

Aplicación. 102

102

4.3.2 PROBLEMA DOS (Activia bebfres 250G )

Se muestran los datos abajo en la siguiente tabla.

No Salidas No Salidas No Salidas

1 6 12 1 22 1

2 5 13 12 23 0

3 2 14 2 24 3

4 4 15 2 25 8

5 3 16 7 26 5

6 4 17 7 27 3

7 1 18 7 28 3

8 7 19 4 29 3

9 6 20 4 30 4

10 9 21 5 31 1

11 4

Tabla 4.5. Muestra de la demanda.


Paso 4.

Se analiza los datos para encontrar una distribución conocida a partir de un histograma.

Clases Frecuencia

0 2 5

2.4 4 8

4.8 6 9

7.2 8 6

9.6 10 2

12 1

Tabla 4.6. Clases y frecuencias de la demanda.


De la gráfica siguiente se observa que los datos de la demanda tienen una distribución que se

asemeja a una Poisson. Para verificar esto último se realizará una prueba de bondad de ajuste.

Capítulo 4. 103

103

Grafica 4.4. Histograma de la demanda.


Paso 4.1.

Para estimar los parámetros se utiliza el método de máxima verosimilitud determinando.

Estimador

3.41ˆ

1

n

i

ixn

Paso 4.2.

Para corroborar la distribución de los datos se realiza una prueba de Ji – cuadrada.

Hipótesis

)3.4(~:)3.4(~: 00 PoissonDHvsPoissonDH

El estadístico de prueba es

)1(~)( 2

1

22

mknp

npnk

i i

iic

en donde, m cantidad de parámetros a estimar.

k - número de clases en la tabla de distribución de frecuencias.

in - el número de datos en la clase i,

n - tamaño de la muestra,

ip - es la probabilidad de que la variable aleatoria X (poblacional) tome valores en el

intervalo i.

Ahora se calcula el estadístico y el valor crítico

35.42 c

0239.52

025.0,1

2

)1( mk

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12

Cla

se

Frecuencia

Histograma

Demanda

Aplicación. 104

104

Por lo tanto, la hipótesis nula no se rechaza a un nivel de significancia de %2.5, esto

indica que la demanda tiene una distribución )3.4(Poisson

Paso 5.

Se determina la forma del modelo que se pretende aplicar para la estimación de la demanda. El

modelo a utilizar es:



Paso 6.

Como las devoluciones son ceros, entonces el problema se haces más simple.

Ahora, se estimará *q con la distribución obtenida previamente.

Partiendo de la teoría básica

u

u

cc

cqDP

0

* )(

donde

)3.4(~ PoissonD

Se calcula los valores de ucyc0 . Partiendo de los siguientes precios: el costo por

unidad es de $4 y el precio de venta es de $7.

De esta forma,


negativo): Compra de q unidades a $4 cada uno ( q4 ), venta de unidades a $7

cada uno ( d7 ). Obteniendo dq 74 . Luego, 40 c .


negativo): Compra de q unidades a $4 cada uno ( q4 ) y venta de unidades a $7

cada uno ( q7 ). Obteniendo un costo total de qqq 374 . Luego, 3uc .

Finalmente,

527.067.223.7

67.2)( **

qqDP

Por lo tanto, es aconsejable pedir un lote económico de 35 artículos semanales. Pero el

producto se vende por paquete de 10 unidades, entonces se debe comprar 3 paquetes.

Paso 7.

En esta etapa se comprueba el modelo como se muestra en la siguiente tabla.

Capítulo 4. 105

105

Demanda Unidades

calculadas

Cantidad a pedir

q/semanal Demanda

Unidades

calculadas

Cantidad a pedir

q/semanal

6 24 30 2 28 30

5 19 7 21

2 17 7 14

4 13 7 7

3 10 4 3

4 6 4 -1

1 5 5 -6

7 23 30 1 29 30

6 17 0 29

9 8 3 26

4 4 8 18

1 3 5 13

12 -9 3 10

2 -11 3 7

Tabla 4.7. Análisis de la demanda semanal.


Analizando la tabla anterior es aceptable el modelo para la estimación del lote

económico. Con déficit de cuatro días, es decir, 14% de desabasto al mes.

106

Conclusiones

Después de realizar el trabajo, se obtiene como punto final que la aplicación de la teoría básica

o clásica de inventarios para estimación del lote económico sin herramientas estadísticas tiene

una alta probabilidad de hacer malas estimaciones del lote económico, esto es, debido a que se

tiene el elemento aleatorio en la demanda de los artículos mismo que está en función de las

necesidades de los clientes.

Por esta razón, la estadística toma importancia en los inventarios, en particular los

modelos probabilísticos clásicos que se generalizan al aplicarse a familias de distribución

conocida, como por ejemplo: Poisson, uniforme, exponencial, normal, entre otras. Con las que

se proporcionan las formulas, resultados y algoritmos para la aplicación de una manera

sumamente sencilla, para la persona que esté interesada en utilizar un tipo de estos modelos,

en la obtención del lote económico.

Los modelos desarrollados son aplicables a inventarios que maneja una tienda de

conveniencia o empresa con características similares en donde se trabaja todos los días y se

tiene demanda constantes y poco espacio de almacenamiento, también se caracterizan por la

ubicación estratégica que poseen y los tipos de consumidores a acuden a estas tiendas.

Por esta razón, se propuso una metodología para la estimación de lote económico en

tiendas de conveniencia. La metodología se probó en dos productos de una tienda de

conveniencia, dando resultados bastantes satisfactorios, comparados con los que ellos obtienen

en la práctica.

Con lo anterior se cumple los objetivos propuestos al inicio de este trabajo ya que se

generalizaron los modelos probabilísticos existentes y que se complementa con la introducción

de otras dos formas de inventarios probabilísticos los cuales son: inventarios dinámicos

probabilísticos y los inventarios que se obtienen por cadenas de Markov.

Finalmente se genera nueva información que no figura en la literatura, en particular lo

desarrollado en el capítulo 2.

107

Bibliografía

[1] Bieman Harold, Bonini Charles y Hausman Warren. (1.999) Análisis cuantitativo para

los negocios. 9ª Ed. Bogota: Mc Graw Hill.

[2] Brito, Jose A. (1999). Contabilidad Básica e Intermedia (Contabilidad I y II).

Ediciones Centro de Contadores, 5ª Ed.

[3] Bundich, Frank S. Matemáticas Aplicadas para la Administración, Economía y

Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill, 2000.

[4] Feller, William. Introducción a la Teoria de Probabilidades y sus Aplicaciones. Mc

Graw Hill, 2001.

[5] Gallagher Charles A. Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en

Administración. Mc. Graw Hill, 2004.

[6] Guajardo C. Gerardo. Contabilidad Financiera. México, 2ª Ed. Editorial McGraw-Hill,

1995.

[7] H. Ballou Ronald, “Logística. Administración de la cadena de suministro”, Editorial

Prentice Hall, 5ª Ed. México 2004. Decisiones sobre Políticas de Inventarios. Cap. 9.

[8] Hiller, Frederick S. y G. J. Lieberman. Investigación de Operaciones, 7ª Ed. México

Editorial McGraw-Hill, 2002, ISBN 970-10-3486-4.

[9] J. Aquilano Richard, “Administración de la Producción y Operaciones para una

Ventaja Competitiva”, Editorial MacGraw Hill, 10ª Ed. México 2005. Control de

Inventarios sujetos a demanda incierta. Cap. 5.

[10] Meyer L., Paul. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Mc Graw Hill, 1995.

[11] Mood, Alexander M., Graybill, Franklin A., y Boes, Duane C. Introduction to the

Theory of Statistics, Singapore 1986. ISBN 0-07-042864-6 Editorial Mc Graw-Hill.

[12] Nahmias Steven, “Análisis de la Producción y Operaciones”, Editorial MacGraw Hill,

5ª Ed. México 2007. Control de Inventarios Cap. 14.

[13] Shamblin James. Investigación de Operaciones un Enfoque Fundamental. Mc. Graw

Hill, 1993.

108

[14] Ross, Sheldon M. A First Course in Probability. ISBN 0-13-185662-6 Editorial.

Pearson Prentice Hall. 7ª Ed. New Yersey 2006.

[15] Taha Hamdy. (2004) Investigación de operaciones, una introducción. 7ª Ed. México:

Prentice Hall.

[16] Winston, Wayne L. Investigación de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos,

México Editorial Grupo Editorial Iberoamerica 2005. 4ª Ed. ISBN 970-625-029-8.

[17] W. Fogarty Donald, H. Blackstone John & R.Hoffman Thomas, “Administración de la

producción e Inventarios”, Compañía Editorial Continental, 2ª Ed. México 2000.

Health & Medicine

Pascual pascual miguel_2009