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20 de Septiembre de 2010 3er examen parcial de Matem´ aticas Aplicadas CEAN 2010 (Soluci ´ on) 1. (5p) Calcule la transformada de Laplace de: f (t) = ( cos 2 t , 0 t < π 2 te t , π 2 t , f (t) = f (t + π) - Calcule f (2010) Respuesta: El primer periodo de la funci ´ on peri ´ odica se puede expresar como f 1 (t) = cos 2 t[u(t) - u(t - π 2 )] + te t [u(t - π 2 ) - u(t - π)] = cos 2 tu(t) + (te t - cos 2 t)u(t - π 2 ) - te t u(t - π)] La transformada de f (t) se obtiene a partir de F(s) = 1 1 - e -πs F 1 (s) 2. (3p) Obtenga y grafique la transformada de Laplace inversa de F(s) = 1 s 2 (2 - 3e -s + 2e -2s - 3e -3s + 2e -4s ) Respuesta: f (t) = 2t - 3(t - 1)u(t - 1) + 2(t - 2)u(t - 2) - 3(t - 3)u(t - 3) + 2(t - 4)u(t - 4) La descripci ´ on de f (t) a trozos viene dada por f (t) = 2t , 0 t < 1 -t + 3 , 1 t < 2 t - 1 , 2 t < 3 -2t + 8 , 3 t < 4 0 , 4 t A partir de aqu´ ı es muy sencillo realizar la gr´ afica.

Solucion ma 3p cean 2010 JPAEZ

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Page 1: Solucion ma 3p cean 2010 JPAEZ

20 de Septiembre de 2010

3er examen parcial de Matematicas Aplicadas CEAN 2010 (Solucion)

1. (5p) Calcule la transformada de Laplace de:

f (t) ={

cos2t , 0 ≤ t < π2

tet , π2 ≤ t < π , f (t) = f (t + π)

- Calcule f (2010)

Respuesta:

El primer periodo de la funcion periodica se puede expresar como

f1(t) = cos2 t[u(t) − u(t −π2

)] + tet[u(t −π2

) − u(t − π)]

= cos2 tu(t) + (tet− cos2 t)u(t −

π2

) − tetu(t − π)]

La transformada de f (t) se obtiene a partir de

F(s) =1

1 − e−πs F1(s)

2. (3p) Obtenga y grafique la transformada de Laplace inversa de

F(s) =1s2 (2 − 3e−s + 2e−2s

− 3e−3s + 2e−4s)

Respuesta:

f (t) = 2t− 3(t− 1)u(t− 1)+ 2(t− 2)u(t− 2)− 3(t− 3)u(t− 3)+ 2(t− 4)u(t− 4)

La descripcion de f (t) a trozos viene dada por

f (t) =

2t , 0 ≤ t < 1−t + 3 , 1 ≤ t < 2t − 1 , 2 ≤ t < 3−2t + 8 , 3 ≤ t < 40 , 4 ≤ t

A partir de aquı es muy sencillo realizar la grafica.

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3. (5p) Resuelva la ecuacion:

y′′(t) + 2y′(t) + 2y(t) = |2t − 2| − |t − 2| , t ≥ 0

Con y(0) = y′(0) = 0

Respuesta:

La funcion forzante se puede reescribir como

f (t) =

−t , 0 ≤ t < 13t − 4 , 1 ≤ t < 2t , 2 ≤ t

Expresandola con escalones unitarios se tiene

f (t) = −t[u(t) − u(t − 1)] + (3t − 4)[u(t − 1) − u(t − 2)] + tu(t − 2)= −tu(t) + (4t − 4)u(t − 1) − (2t − 4)u(t − 2)

La trnsformada de f (t) sera

F(s) = −1s2 +

4s2 e−s

−2s2 e−2s

Ahora tomando transformada de Laplace a la ecuacion diferencial y de-spejando Y(s) se obtiene

Y(s) =F(s)

s2 + 2s + 2= −

1s2(s2 + 2s + 2)

+4

s2(s2 + 2s + 2)e−s−

2s2(s2 + 2s + 2)

e−2s

Si denominamos g(t) = L−1{

1s2(s2+2s+2) } entonces y(t) sera

Y(s) = −g(t) + 4g(t − 1)u(t − 1) − 2g(t − 2)u(t − 2)

4. (4p) Obtenga una serie de Fourier en cosenos para:

f (t) = (2 − t)u(t) + (t − 1)u(t − 1) − u(t − 2)

La funcion f (t) se describe a trozos como

f (t) =

2 − t , 0 ≤ t < 11 , 1 ≤ t < 20 , 2 ≤ t

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Por lo tanto la duracion de la funcion es a = 2. El periodo de la extensionperiodica par sera T = 4 y w0 = π/2.

Los coeficientes de la serie seran

a0

2=

54

an =

1∫0

(2 − t) cos(nπ2

t)dt +

2∫1

cos(nπ2

t)dt

bn = 0 n = 1, 2, · · ·

La serie tendra la forma

f (t) =54+ a1 cos

π2

t + a2 cosπt + a3 cos3π2

t · · · , 0 ≤ 2

5. (3p) Calculecosh t ∗ sin 2t ∗ 1

Respuesta:

Sea f (t) = cosh t ∗ sin 2t ∗ 1

f (t) se puede obtener como

f (t) = L−1{

ss2 − 1

2s2 + 4

1s} = L−1

{2

(s2 − 1)(s2 + 4)}

Descomponiendo en fracciones parciales se tiene:

2(s2 − 1)(s2 + 4)

=A

s + 1+

Bs − 1

+Cs +Ds2 + 4

por lo tanto

f (t) = Ae−t + Bet + C cos 2t +D2

sin 2t