LA TRANSFORMADA DE FOURIER

TRANSFORMADA FOURIERLA BUENA TRANSFORMADA DE FOURIER (PR. FƱRIEɪ), DENOMINADA ASÍ POR JOSEPH FOURIER, ES UNA TRANSFORMACIÓN MATEMÁTICA EMPLEADA PARA TRANSFORMAR SEÑALES ENTRE EL DOMINIO DEL TIEMPO(O ESPACIAL) Y EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA, QUE TIENE MUCHAS APLICACIONES EN LA FÍSICA Y LA INGENIERÍA.

LA TRANSFORMADA DE FOURIER ES UNA APLICACIÓN QUE HACE CORRESPONDER A UNA FUNCIÓN DE VALORES COMPLEJOS Y DEFINIDA EN LA RECTA, CON OTRA FUNCIÓN DEFINIDA DE LA MANERA SIGUIENTE:

DONDE ES , ES DECIR, TIENE QUE SER UNA FUNCIÓN INTEGRABLE EN EL SENTIDO DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE. EL FACTOR, QUE ACOMPAÑA LA INTEGRAL EN DEFINICIÓN FACILITA EL ENUNCIADO DE ALGUNOS DE LOS TEOREMAS REFERENTES A LA TRANSFORMADA DE FOURIER. AUNQUE ESTA FORMA DE NORMALIZAR LA TRANSFORMADA DE FOURIER ES LA MÁS COMÚNMENTE ADOPTADA, NO ES UNIVERSAL. EN LA PRÁCTICA LAS VARIABLES Y SUELEN ESTAR ASOCIADAS A DIMENSIONES COMO EL TIEMPO —SEGUNDOS— Y FRECUENCIA —HERZIOS— RESPECTIVAMENTE, SI SE UTILIZA LA FÓRMULA ALTERNATIVA:

PROPIEDADES BASICAS DE FOURIER LA TRANSFORMADA DE FOURIER ES UNA APLICACIÓN LINEAL:

VALEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES PARA UNA FUNCIÓN ABSOLUTAMENTE INTEGRABLE (F):CAMBIO DE ESCALA:

TRASLACIÓN:

TRASLACIÓN EN LA VARIABLE TRANSFORMADA:

TRANSFORMADA DE LA DERIVADA: SI F Y SU DERIVADA SON INTEGRABLES.

ESTAS IDENTIDADES SE DEMUESTRAN POR UN CAMBIO DE VARIABLES O INTEGRACIÓN POR PARTES.EN LO QUE SIGUE, DEFINIMOS LA CONVOLUCIÓN DE DOS FUNCIONES F Y G EN LA RECTA DE LA MANERA SIGUIENTE:

NUEVAMENTE LA PRESENCIA DEL FACTOR DELANTE DE LA INTEGRAL SIMPLIFICA EL ENUNCIADO DE LOS RESULTADOS COMO EL QUE SIGUE: SI F Y G SON FUNCIONES ABSOLUTAMENTE INTEGRABLES, LA CONVOLUCIÓN TAMBIÉN ES INTEGRABLE, Y VALE LA IGUALDAD:

TAMBIÉN PUEDE ENUNCIARSE UN TEOREMA ANÁLOGO PARA LA CONVOLUCIÓN EN LA VARIABLE TRANSFORMADA,

PERO ESTE EXIGE CIERTO CUIDADO CON EL DOMINIO DE DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER.

TABLA DE TRANSFORMADAS BASICAS

EJEMPLO DE LA TRANSFORMADA CON CAMBIO DE ESCALA

EJEMPLO DE LA TRANSFORMADA DE LA CONJUGADA

TRASLACION EN EL TIEMPO