1. www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net ANALISIS MATEMATICOI PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERA (1ER EDICIN) SOLUCIONARIO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA -PER www.solucionarios.net zm m m m

2. www.solucionarlos.net IMPRESO EN EL PER 01 -01 -2012 DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total parcialmente por ningn mtodo grfico, electrnico o mecnico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnticos o de alimentacin de datos, sin expreso consentimiento ^ del autor y Editor._____________________________ ___ _____________________ RUC N 20520372122 Ley del Libro N 28086 Ley de Derechos del Autor N 13714 Registro comercial , N 10716 Escritura Publica N 448 4 solucionadoanlisisMfffltftfolucionarios.net www.eduhperu.com www.solucionarlos.net PRLOGO Habindose adaptado a nivel universitario, en el curso de anlisis matemtico, el texto de Anlisis Matemtico para Estudiantes de Ciencias e Ingeniera por su acertado desarrollo terico, siendo necesario como consecuencia de la concepcin terica, ahondar en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la prctica; por eso el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Anlisis Matemtico para estudiantes de Ciencias e Ingeniera de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intencin de ser complemento terico-prctico para el estudiante universitario. Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solucin de los problemas estn detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los grficos, pues pensamos que un "buen dibujo" por sealar en forma natural, es el camino a seguir en el bus que da la solucin de un problema. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su avance y desarrollo intelectual EDUARDO ESPINOZA RAMOS . . . t SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 3. www.solucionarlos,net ,www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net INDICE 1. CAPITULO 1 1.1. SISTEMAS DE NMEROS REALES.............................................................. 1 1.2. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCGNITA................43 1.3. INECUACIONES FRACCIONARIAS.........................................................Al, 1.4. INECUACIONES EXPONENCIALES........................................................ 113 1.5. INECUACIONES CON RADICALES..........................................................120 1.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO..................... 141 1.7. RELACIONES V FUNCIONES..................................................................188 1.8. FUNCIONES......................................................................................... 221 1.9. ALGEBRA DE FUNCIONES.................................................................... 264 1.10. FUNCIONES INYECT1VAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS...............319 2. CAPITULO 2 2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD.....................................................................337 3. CAPITULO 3 3.1. LIMITES................................................................................................387 3.2. LIMITES LATERALES.............................................................................454 3.3. LIMITES AL INFINITO.............................................................................481 3.4. LIMITES INFINITOS.............................................................................. 516 3.5. LIMITES TRIGONOMTRICOS................................................................520 3.6. LIMITES TIPO ex....................................................................................554 3.7. ASNTOTAS......................................................................................... 577 3.8. CONTINUIDAD.................................................................................... 597 4. CAPITULO 4 4.1. DEFINICIN DE DERIVADA.................................................................. 615 4.2. DIFERENCIABILIDAD............................................................................639 i 4 (a-b) >0 => a"-2ab +b2>0 => a2-2ab +b2+4ab>4ab => a2+2ab+b2>4ab ( a+b^i (a +b) >4ab => (a +b)>4 => |^-+^-j(a +b)>4 Si a, b y c son nmeros reales positivos, Demostrar que: gUSEMUM (a-b) >0 => c(a-b)' >0 (a-c)? >0 => b(a-c) >0 (b-c) >0 => a(b-c)2>0 ...0 ) ... (2) ... (3), sumando c(a-b)2+b(a-c)2+a(b-c)' >0, efectuando los binomios a2c - 2abc+b2c +a2b- 2abc+c2b +b2a- 2abc+c2a >0 a2c +abe +b2c +a2b+abe+c?b+b2a+abe+c2a >9abc a2c +abe +a2b+b2c +abe+b2a+c2a+abe +c2b >9abc agrupando adecuadamente (ac +be +ab) +b(bc +ac +ab) +c(ac +ab +be) >9abc, dividiendo entre abe www.solucionarios.fiet K 5. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) J b a b ) (a +b+c)9 ^ J i +l +l J +(a+b+c)9 jjfl Si a, b, c y d, son nmeros reales positivos, Demostrar que: - +- +- +-1 +(a +b+c +d)> 16 a b c ' CAPITULO I ...O ) ... (2) ... (3) ... (4) ... (5) ... (6), sumando (a-b )> 0 => cd(a-b)2>0 (a-c)' >0 => b d (a-cf >0 (a-d) >0 => bc(a-df> 0 (b - c )'>0 => ad(b-c) >0 (b-d) >0 => ac(b-d)2>0 (c-d)~>0 => ab(c-d)2>0 cd(a-b)' +bd(a-c)~ +bc(a-d) +ad(b-c) +ac(b-d) +ab(d-c) >0 cd(a2-2ab +b2) +bd(a2-2ac +c2)+bc(a2-2ad +d2) +ad(b? -2bc +c2) + +ac(b2-2bd +d2) +ab(c2-2cd +d2)>0 -2abcd +a2cd +a2bd +a2bc +b2cd - 2abcd +ab2d +ab2c - 2abcd +bc2d +ac2d - 2abcd +abc2+bed" - 2abcd+acd2+abd2- 2abcd >0 abed +a2cd +a2bd +a2be +b2cd +abed +ab2d +ab2c + +bc2d+ac2d +abed +abc2+bed2+acd2+abd2+abed >16abcd SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICISIS MATEMATICO I . www.so ucionarios.net wwv ed'Jkpeuvcpm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS a(bed +acd +abd +abc) +b( bed +acd +abd +abc) +c(bed +acd +abd +abc)+ +d(bed +acd +abd +abc) >16abcd , sacando factor comun bed +acd +abd +abc abed (a +b +c +d)> 16 -l +- +l +- l +(a +b+c +d)>16 a b c d J a , a 3b b2 . Si a y b dos nmeros reales positivos tal que a >b. Demostrar que: + > ^ (a-b)3^0 => a3- 3a2b +3ab2- b3>0 => a +3ab2>3a2b+b3 Diviendiendo entre a2b se tiene: a 3b b2 . =* r + > +3 b a a 9 Va e % a* 0, demostrar que a + >6 (a2-3)~>0 => a4-6a2+9^0 => a' +9>6a2 a4+9 s 9 >6 => a + >6 Si a,b,C'JT, , demostrar que (b +c)(a +c)(a +b)>8abc jQa22SC2S3HF (a - c)2>0, (a - b)2>0, a(b - c)* >0 ~ ~ SOLUCJONARIO ANLISIS MATEMTICO I ? [ www.solucionarlos,net 6. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUK b(a - c)2>0, c (a - b)2>0, a(b - c)2>0 , sumando se tiene: b(a-c)2+c(a-b)2+a(b-c)2>0 , desarrollando los binomios b(a2-2ac +c2)+e(a'?-2ab +b2) +a(b2-2bc +c2)>0 a2b- 2abc +be2+a2c - 2abc +b2c +ab~ - 2abc +ac2>0 a2b +c2b+a2c +b2c +b2a +2abc +c2a >6abc +2abc ab(a +b)+c2b+abe+a2c +b2c +abe +c2a >8abc ab(a +b)+c2(a +b)+abe +a2c +b2c +abe 8abc ab(a +b)+c2(a +b)+ac(a +b) +bc(b+a) >8abc , sacando factor comn (a +b).(ab +c2+ac +bc)>8abc => (a +b).[b+(a+c) +c(a +c)]>8abc (a +bXa +cXb +c) >8abc & Si a,b,ce K4, demostrar que ab +ab30 => a4-2a2b2+b4>0 =* a4+b4>2a2b2 ...(1) (a - b)2>0 => a2- 2ab +b2>0 => a2+b2>2ab ab(a2+b2)2 a2b2 ...(2) a4+b4-ab(a2+b2) 2 a2b2-2a2b2 => a4+b4-ab(a2+b2) >0 a3b +ab3^ a4+b4 a4+b42(a +b+c) -" M t.S to n s n b s . net www edukperu corr- www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS (a l)2>0 => aJ -2a +l>0 ...(1) (b-1)2>0 => b2-2b+1>0 ...(2) (c I)2>0 => c2-2a +1>0 ... (3) sumando(l), (2)y (3) a" +b2+c2+3-2a-2b-2c>0 => a2+b2+c2+3:2a+2b+2c transponiendo trminos se tiene: a2+b2+c2+3 2(a +b+c) Si 0 a >0 a a < 1, multiplico por a a.a < 1.a => a2 < a < => db - < - a ec9abc (a-b)2ab; (b -c)2>bc; (a-c)">ac c(a-b)2^abc; a(b-c) >abe; b(a-c)2>abe , sumando c(a-b)2+a(b-c)J +b(a-c)2>3abc a3+b3+c3>0, sumando a3+b3+c3+c(a-b)2+a(b-c)2+b(a-c)2>3abc a3+b3+c3 +aJ c-2abc +b"c +bra-2abc +ac2+a2b-2abc +bc >3abc a3+b3+c3+a2c +b2c +b2a+ac2+a2b +bc2>9abc a2(a +b +c) +b2(a +b +c) +c2(a +b+c) >9abc , sacando factor comn (a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc Si a,b,c son nmeros positivos y no iguales entre si, demuestre que: (a +b +c)(a 1+b"' +c"')>9 capitu' 11 (2) SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS (a-b)2>0 => a2+bL'>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)2 >0 => a2+c2 >2ac => a2b +c2b>2abc (b-c)'> 0 => b +c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b+c2b +ab~ +ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) ^ / . w . i i ^ --------- >9 (a +b+c)(a +b +c )>9 abe ^ Si a y b son nmeros reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 8a 32b r ? + +24 - n r+ b a b a (a-2b)~ >0 =s>a2-4ab +4b2>0, elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab) >0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2) +16a2b2>0 => (a2+4b2f +16a2b2 8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16aV ab(8a' +32b*) a4+16b4.+24a2b2 ^ 8a2+32b2 a2b2 ^ a2b2 ^ a2b2 ab a2 16b2 8a 32b --+ 2-+24> +--- b a b a i www.solucionarlos,net 8. EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITUI O I (a - b)~ >0 =>a2+b2>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)~ >0 => a2+c2 >2ac => a2b+c2b>2abc (b-c)"> 0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b +c2b +ab2+ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+c)(bc +ab +ac)> 9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' +b " +c > 9 Si a y b son nmeros reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 n . . 8a 32b 7T + r-+24> +--- b a b a (a - 2bf >0 => a2- 4ab +4b2 0 , elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab)2>0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2)+16a2b2>0 => (a2+4b2) +16a2b2>8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16a2b2 ^ ab(8a2 +32b2) _ a9abc de donde: a3+b3+c3>3abc Si c >0, d >0, 2d * 3c. Demostrar que: >1- w 3c 4d (2d - 3c)2>0 =>4d" - 12dc+9c2>0 => 4d2+9c2>12dc 4d2+9c2 12dc Dividimos la expresin entre 12dc: ----------------- > 12dc 12c d 3c d 3c + >1 => >1--- 3c 4d 3c 4d r /h Si a >0, b >0, a * b, demostrar que L += >2 Vb Va j222q223I3F SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I.slALISIS MATEMATICO I. . . www.solucionarlos,net CAPITULO I ...O ) wvvw.edukperu com www.solucionarlos,net (Va-Vbj >0 => a-Va>/b +b >0 u o r rz a+b oVaVa VbVb Va Vb ~ a+b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => = += >2 VaVb vavb Va Vb Vb Va Si a, b, c R, Demostrar que: b2c2+c2a2+a2b2>abc(a +b+c) J222u222!l2f (be - ac)2>0 => b2c2+a2c2>2abc2 (ca - ab)2 0 => a2c* +a2b2>2a2bc (bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2>2ab2c sumando 2(b2c2+a2c2+a2b2)^2abc(a +b+c) b2c2+a2c2+a2b2abc(a +b+c) ^ || a +b =2, donde a y b son nmeros reales, Demostrar que a4+b4>2 J S (a-b)20 => a2+b2>2ab pero(a +b) =4 => a2+b2=4-2ab 4-2ab>2ab => ab2ab =s> (a2+b2)2 4a2b2 => a4+b4>4a2b2- 2a2b2 a4+b4>2a2b2 pero ab< 1 de donde a4+b4>2 Si a2+b2+c2=1 y x2+y2+z2=1, demostrar que: ax +by +cz < 1 CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS I. ^ ^ ^ S^LQIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarlos. 10. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (a - x)2>0 => a2+x2>2ax (b-y)2>0 => b2+y2>2by (c - z)2>0 => c2+z2>2cz sumando a2+b2+c2+x2+y2+z2>2(ax +by +cz) 1 + 1 >2(ax +by +cz) 2 >2(ax +by +cz) ax +by +cz 0, b >0, Demostrar qu: + +^ b a a b a - b e R => (a-b)2>0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab a2-ab +b2>ab, multiplicando por a +b (a +b)(a2-ab +b2)^ab(a-+-b), dividiendo entre a2b2 (a+b)( f -ab+bg) ^ ab(a+b) ^ a ^ b ^ a + b _ separando a2b2 a2b a2b ab a b 1 1 ba +a2 ~ a +b o Si 0 a >0 y a < 1 Multiplicando a < 1 por a >0 entonces a.acl.a, de donde a20, b >0, a *b, demostrar Vab > a+b (Va-Vb)2>0 => a-2>/aVb +b>0 i- i / v 2>/ab a+b>2VaVb dividiendo entre(a +b)=>1 >--- v ' a+b i -'J www.solucionarlos,net 11. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITIMOI $ . O Multiplicando por Vab se tiene: Vab>---- a+b c- n , s i a3+b3 f a+b Si a >0, b >0, demostrar que ----- > O (a-b)2>0 => a'J -2ab +b2>0 multiplicando por 3 se tiene: 3a1 - 6ab+3b* >0 Sumando a2+b* en ambos miembros: 4a2-6ab +4b2>a2+b2 Ahora sumando 2ab se tiene: 4aJ -4ab +4b2>a2+2ab+b2=> 4(a2-ab +b2)>(a +b) 4(a +b)(a -ab +4b" )>(a +b ) => 4(a3+bJ )>(a +b)3 dividiendo entre 4 a3+b3> (a +b)' de donde a3+b( a +b demostrado. Si a >0, a * 1. Demostrar que: a3+4r >a2+4- a a* Como a * 1 => (a-1) >0, como a4+a3+a2+a+l >0 para a>0 Multiplicando: (a - 1)2(a4+a3+a2+a+1) >0.(a4+a3+a2+a +1) (a-l).[(a-l)(a4+a4+a2+a +l)]> 0 => (a-1)(a5- l) >0 a(a-1 )-(a-l)> 0 => a5(a-1)>a-1 => a6-a5>a-1 a6+1 >a' +a , dividiendo entre a1 SOLUCIOMARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPSULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS a +1 a: +a a 1 a5 a ~ > ~ =* T +~ >T + a a a a a a 3 1 o 1 a + T > a ^ + aJ a* a Si a>0, b>0, demostrar que 4(aJ +b3) > (a +b) (a +b)2 0 => a2- 2ab+b2 0 multiplicando por 3se tiene: 3a* -6'tb +3b2>0 sumando a2+b2 4a2-6ab +4b2a2+b2 ahora sumamos 2ab 4a2-4ab +4b2>a2+2ab +b2 => 4(a2-ab +4b2)>(a +b)J 4(a2-ab +4b2).(a +b)>(a +b )3 => 4(a3+b3)>(a +b )! Si a y b son nmeros reales, demostrar que: x/(a+c)2+(b +d)2 /a2+b2Vc2+d2, multiplicando por 2 2ac +2bd /a2+b2Vcs +d2 sumando a2+b2+c2+d2 a2+2ac +c? +b2+2bd +d2/as+bVe2+d2+(c2+d2) (a +c)2+(b +d)^ /c2+d2j yj(a +c f +(b +d)2 0 (a-c)2>0 (b-c)2>0 a +b >2ab a c +bc >2abc a2+c2>2ac a2b +bc? >2abc b2+c2>2bc ab" +ac2 2abc a2c +b2c +a2b+be2+ab2+ac >abe Luego 3(a2c +b2c +a2b +bc2+ab2+ac2)>18abc ..-(2) (2) en (1) se tiene: (a +b+c)3>a*+ b3+c3+18abc +6abc ..-(3) Pero a3+b^+c3>3abc ... (4) Reemplazando (4) en (3) se tiene: (a +b+c ) >3abc +24abc =27abc (a +b +c)3>27abc O Si a, b, c y d son nmeros reales cualquiera. Demostrar: (ab +cd)~ 0 => a2d2+b2ca>2abcd SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO iANLISIS MATEMTICO i ., www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I Sumando ambos miembros a V +c2d2 a2b2+c2d2+a2d2+b2c2a2b2+2abcd +c2d2 a2(b2+cs) +c2(b +d2)>(ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) >(ab +cdf Si a, b e R, Demostrar que: a4+b4>-(a +b)4g f EDUARDO ESPINOZA RAMOS (ab +cd) ^(a2+cs)(b2+d2) (a2-br) >0 => a4+b4>2a2b2 . Sumando a4+b4 a ambos miembros 2a4+2b4>a4+2a2b2+b4 => 2(a4+b4) >(a2+b2) a4+b* >^(a! +b2)* (a-b) >0 => a2+b2>2ab, sumando a2+b2 se tiene: 2a2+2b2>a2+2ab+b2 => a2+b2>i( a +b)2 (a2+b2)2>-^(a +b)4 . (a+b)4 a4+b4>---- L (1) (2) Colocando (2) en (1) se tiene; Si a >0 y b >0. Demostrar que: 1 a+- v ay 8 -Y (a +b) +4 a+b wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 13. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI " o | (a +a-')! +(b +b-')! =a2+b! +^ - + 4 (a-b) 0 => a2+b2^2ab => 2(a2+b2)>a2+2ab+b a2+b2> >(a +b f (2) (a-b)2>0 => a2+b2>2ab => a2+2ab+b2>4ab => (a +b) >4ab (a +b)4>16a2b2 => >a~V v 1 16 Multiplicando miembro a miembro (2) y (3) a2+b2 > 8 a!b2 (a +b)2 Sumando miembro a miembro (2) y (4) ...(3) ...(4) a2+b2+- +b* (a+b)s 8 2.2 ab (a +b) de donde 2 , o a a +b + 2+b2 , (a +b)2 8 +4 > --+------+4 a b (a +b) ...(5) Reemplazando (1) en el primer miembro de (5) y operando en el segundo miembro de (5) tenemos. r ir l p2b+- b >1 2 (a +b)2+4^ a +b i SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.sdukparu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS Si a >0, b >0 tal que a +b - 1. Demostrar que: 25 Utilizando el ejercicio (33) 0a+- s+b+iT ii '(a +b) +4 ' l a, l b j 2l a+b J ; Como a +b =1, lo reemplazamos =2(5)! f t2 f a+- | + k a b+i >?5 bj 2 Si a, b, c, d e R, demostrar que: ac +bd 2abxy (cx-azf>0 => c2x2+a2z2>2acxz sumando (bz-cy)* 20 b V +c V 2 b c y z b V +a V +c V +aJz" +b 'V + c V >2abxy +2acxz +2bcyz Sumando a2x2+b2y2+c2z2 a ambos miembros a2x2+b2y2+c2z2+b2x2+a2y2+c2x2+a2z2+b2z2+c2y2> a2x2+b2y2+c2z2+2abxy +2acxz+2bcyz a2(x2+vs +z2) +b2(x2+y2+z2) +c2(x2+y2+z2) >(ax +by +cxf (a2+b2+c2)(x 2+y2+z2)>(ax +by +czf c3 d3 Demostrar que: 0 > d'(c-d) 0 0 0 0 0 => (c +d) +d >0 Multiplicando por c - d >0 se tiene: (c +dXc - d) +d(c - d) >0 => c2-d2+cd-d? >0 c2+cd>2dL sumando d~ c2+cd +d2>3d2 (multiplicando por c - d) (c-d )(c2+cd +d2) (c-d)(c2+cd +d2)>3d2(c-d) => ------- -------- >d2(c-d) i * i www.solucionarlos,netg W 20. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........................................................................ L ^ l> d (c-d) f >*(*- ^ Si 0 d3(c-d )< ^ --y< c2(c-d) Seguir el mismo desarrollo del ejercicio (62) que esta^ en detalle y agrupando convenientemente para obtener el resultado d ( c - d ) < ~ ^ 0, y>0, z >0, demostrar que: a) xyz =1 => x +y +z >3 b) xyz=1 a x +y +z =3 o x =y =z=l a) Aplicando el ejercicio (30): (a +b+c) 27abc Para nuestro caso se tiene: (x +y +z) 27xyz para xyz =1 (x +y +z)3 >27 sacando raz cubica x+y +z>/27=3 x +y +z 3 b) Es inmediato se deja para que se entrenen. ^ Demsotrarque: x>0, y >0, z >0 => ^ +^ + - 3 (sus ^ =1 ejercici 64) Aplicando el ejercicio (50) que es: x2y! +y*2* +x2r - x+y +z) el ejercicio (64) que es: xyz =1 =>x +y +z>3 Combinando estos dos ejercicios se obtiene: x y z ++ y z x w v www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS Demostrar para todo a y b rec* >/ab a+1 ^ Si a,b,c e R* y si a2+b2+c2=8, Demostrar que: a3+b3+c3 16^| Aplicando la media potencial M, = -i n Como M3>M2 entonces evaluamos a3+b3+ 7 ^ ^ a~ +b +c~ _ ^8 ^|a +b +cT ^ ^8 eevancj0 a| cub0 www.solucionarios.net www.edukperu con www.solucionarios.net CAPITULO I c EDUARDO ESPINOZA RAMOS O a1+b'+c3 a3+b* +c3>3 =8 8 16 2 3V3 " 3 V3 16 2 _ 2 3 V3 y3 a3+b3+c3 Sia>0,b>0, demostrar que: ^ j(a* +b*) >4 Como a >0, b >0 => a2b2eR de donde (a2-b2) >0 => a4-2a2b2+b4>0 sumando 4a2b a4+2a2b2+b44 a 2b8 => (a2+b2) >4a2b2 ( 1 (a2+b2)(a2+b2) 4 a b U ! +b2 (a2+b2)>4 Demostrar que si a,b,c son nmeros reales positivos, entonces +c >Vabc 3 Aplicando el ejercicio (30) se tiene: (a +b +c)3>27abc Sacando la raz cubica se tiene: a+b+c >^27abc => a+b+c >3/abc a +b+c >yjabc Si V x R, tal que a >0 a b >0 y a2 x Va a < x 2 a x 2 < b => x 2 - a > 0 a - V b < x < V b ( X - V S ) ( x + > / a )> 0 a - 7 b < x < > / b ( x - > / a > 0 a x + V a > 0 ) v (x - - s / a < 0 a x + V a < 0 ) a (- > / b < x a x < V b ) Por la propiedad distributiva de la intersecccion jjx/a a x->/a) v (xn J 2 y S M it Aplicando el ejercicio (44) que es: x, +x2 >^x,.x2...xr Como x,.x2...xn=1 entonces se tiene. EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I x, +x +... +X. n X + X + + X 1--2 - >1 de donde x,+x2+... +xn>n n $ Si a,be R+, demostrar que: (a2+b8)(a +b)2>8a2b2 (a-b) >0 => a2+b22ab, multiplicando por (a-t-b)2 H SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMATICO L.NLISIS MATEMATICO L . t www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS (a2+b2)(a +b) ^2ab(a +b)" => (a2+bL)(a +b)2>2ab(a': +b2+2ab) ...(1) Pero a2+b2>2ab ...(2) De (1) y (2) se tiene: (a2+b2)(a +b)2>2ab(2ab +2ab) =8a2b .*. (a2+b2)(a +b)2>8a2b2 7 1 Si a + b + c = 0, demostrar que: ( - + +- | ++^a b c j a b c tfm H is w tC T 'b Como a +b +c =0 => abc(a +b +c) =0. (abe) a2bc+ab2c +abe2=0, multiplicando por 2 2a2bc +2ab*c+2abc2=0 sumando a ambos miembros a2b2+a2c2+b2c2 a2cb2+a2c2+b2c2+2a2bc +2ab2c +2abc' =a2b2+a2c2+b2c2V. y ................ (ab +ac +be)2=a2b2+a2c2+b2c2 Divididiendo entre a2b2c2se tiene: (ab +ac +be)' _ a2b2+a2c2+b2c2 ( ab +ac +beY a2b2+a2c2+b2c2 a2b2c2 a2b2c2 abe ) a b e 1 1 1 - + + - c b a) ^ 1 1 1 O 1 l Y 1 1 1J_ J_ _1_ * c ! +b! +a2 1 1 8 Si a,beR*( demostrar que: -T + >------ a (a +b)' n s n ww-w.9dukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 23. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Aplicando el ejercicio (76) se tiene: (a* +b2)(a +b) >8ab Dividiendo entre a2b2(a +b)2 (a2+b2)(a +b) 8aV . . a2+b2 8 ------ ------->--------- r, simplificando ----- >---- a2b2(a +b) a2b2(a +b) a V (a +b) a2 b2 (a +b) Sean a, b, c nmeros reales positivos tal que: a a < b a b < c a < b a b < c => ac< bc a b + b < b + c => ab + ac < ab + be a 2b < b + c 2b => a(b + c) < b(a + c) a ----< 1 b +c a b b 1 => ----- < ------ a ----- < - a +c b +c b +c 2 a b 1 0, x e R - {1}, demostrar que: x"'1+ - 1 x x x > 1 => 10 CAPITUI O I / 38 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com ---- www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS x2"'1-1 x2""1-1 2 a ac j2BES2I3II3r Como a i a c b c b2 b+c b2 0 -> 1 => +- + >3 => --- + >3 1>1ac a a ac ^ 5 - 1 + >3 i a ac a ac b +c-a b2 * --------------------+ >2 a ac C- n 1 2 3 .1 6 3 Si 0 2 7(b +c-a)(c +a-b)(a +b-c) abe >(b +c - aXc +a - b)(a +b - c) SOLUCIONARIO www.solucionarios.net www.solucionarios.net f EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I ' ---------------------------------- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA I. Resolver las siguientes inecuaciones O 5x-2 >10x +8 >2x +16 __ 5x-2 +2x, MCM =6ab => 4bx+24ab> 5ax+12abx 3a 6b 24ab> x(5a +12ab-4b) => x--- --- => xe(-o,- 24ab 5a +12ab-4b5a +12ab-4b o 6-3x 2x+---- 1+-, c>b>a >0 a b c _____ X X X +>1+, MCM =abc bcx + xac >1+abx a b c x(bc +ac - ab) >abe => x >--- --- => x e /--- ---.oo be +ac - ab be +ac - ab ' O 2x-6< 2 l-2x-3x2>0 => 3x2+2x-1 (3x-l)(x +1) 2(7-x)-3 (x-5 ) 3(x-5)-4(4-3x)>2(7-x)-3(x-5) => 3x-15-16 +12x >14-2x-3x +15 15x-31 >29-5x => 20x>60 => x>3 => x g [3 ,oc) SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA 2x2- 6x +3 x2+ +-< 0 , completando cuadrados 4 4 9Y 81 9 . (9V 63 x+- +x+- +0, Vx e R 8 J 64 La solucin es 4x2-4x +7 >0 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I 4x2-4x +7 >0 => x2- x +>0, completando cuadrados 4 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS f 1 1 7 f 1V 3 2 +>0 => x+ +>0 como se conoce V x e R , x >0 4 4 l 2 ) 2 Entonces la solucin es R. x4-2x2-8 0, completando cuadrados ( x - V 3 ) 2- 3 - 2 > 0 ( x - V 3 )2 - 5 > 0 factorizando se tiene: - , - " SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarlos,net 1 27. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPm " 91 ( x - V 3 - 7 5 ) ( x - 7 3 + V 5 ) > 0 V 7 3 -7 5 S 3 + J5 /. x e >/3->/5) ^ V 3 - V5,oo^ 3 x 2 - 8 x + l l > 4 ( x - l ) 3 x 2 - 8 x + 11 4 ( x - l ) =^> 3 x 2 - 8 x + 11 > 4 x - 4 => 3 x 2 - 1 2 x + 1 5 > 0 Simplificando se tiene: x 2 - 4 x + 5 0 completando cuadrados (x-2)2- 4 + 5 ^ 0 (x- 2)2+1 >0 la respuesta es V x e SJ? 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 => ( 3 x - l ) ( x - 3 ) < 0 x e 1,33 x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )? M S x (3 x + 2 ) < ( x + 2 ) => 3 x 2 + 2 x < x 2 + 4 x + 4 = > 2 x 2 - 2 x - 4 < 0 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS x 2 - x + 2 < 0 facto riz an d o ( x - 2 ) ( x + 1 )< 0 -1 O O (-1,2) 4x2-8x +18 +- 4 4 , K 2 33 1 y/33 1 V3 ( X - - ) > -- => X --- > ----- V X < ------- 2 2 1+V33 1-733 x> ----- V x 0 2x3+3x2 -11x -6>0, factorizando por Ruffini 2x3+3x2-llx -6 2 3 - 1 1 - 6 4 14 6 2 7 3 0 2x3+3x2- llx -6 =(x- 2X2x2+7x +3) =(x - 2)(2x + 1)(x +3) entonces (x-2)(2xe+7x +3)>0 => (x-2)(2x +1)(x +3)>0 1 2 x e - 3' - i [2,+oc > O x3-3x2-I3x +15>0 www r?d'jKDei on SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarlos,net 30. www solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) x* -3xJ -13x +l5 >0, factorizando por Ruffini x3-3x2-13x +15 CAPI7',,n i O 1 -3 -3 15 1 -2 -15 1 1 -2 -15 0 x3- 3x2-13x+15 =(x -1Xx2- 2x -15) =(x - IXx - 5Xx +3) entonces (x -1)(x2-2x -15)>0 => (x-l)(x-5)(x +3) >0 Y . -3 1 5 x e(-3,l)u(5,oo) x4-4x3-x2+I6x-12 >0 O L W m U l'M * x4-4x3- x2+16x -12>0 factorizando por Ruffinni x4-4x3-x2+16x-12 1 -4 -1 16 -12 1 -3 -4 12 1 1 -3 -4 12 0 2 -2 -12 2 2 1 -1 -6 0 x4-4x3-x2+16x-12 =(x-lXx-2Xx2-x-6) =(x-1Xx-2Xx-3Xx +2) (x-l)(x-2)(x-3)(x +2)>0 - 2 1 2 3 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net wwv,.3dukperu.com . www solucionarlos,net CAPITULO I .................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS x e(-oo,-2)u(l,2)u(3,ao) x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Tnrrrgr.i^r x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Factorizando por Ruffinni x5+3x4- 5x3-15x2+4x- 12 1 3 -5 -15 4 12 -1 -2 7 8 -12 -1 1 2 -7 -8 12 0 1 3 -4 -12 1 1 3 -4 -12 0 2 10 12 2 1 5 6 0 x5+3x4-5x3-15x2+4x-12 =(x +l)(x - l)(x - 2 )(x 2+5x +) =(x+ 1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2) ~ ^ ^ A r ~ i r r -/ ~ A A T - -3 - 2 - 1 1 2 (x +1Xx-l)(x2+5x +6)>0 => (x +1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)>0 xe u< 1,1>u2,oo> ^ x5-6x4-x3+29x2+8x-15 0 =>(x -1 - >/)(x-1 +V)(x -1 +V8)(x -1 - n/8)(x -1 - >/5Xx-1 +n/5) >0 1-22 1- V6 1-V5 1+S 1+46 1+22 x e ^-oo,l-2^2^ u ^1-yjb,1VH^U^I +>/6^u(l +2>/2,+co^ x5-2x4-15x3>0 x5-2x4-15x} >0 => x3(x2-2x-15) >0 => x3(x-5Xx +3) >0 + > 1 > + > 1 -3 0 5 x eu (x3-5x2+7x-3X2-x) >0 Factorizando por Ruffinn x3-5x2+7x-3 1 - 5 7 - 3 3 - 6 3 3 1 - 2 1 0 (x-3 )(x-l)2(x-2) l > + > 1 www ^dukperu com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 32. www.solucionarlos,net x e [2,3] ^ {1} (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)< 0 si a0 (x2+6x - IXx1- 2x2- 2x +4Xx +5)5>0, factorizando => [(x +3)2- 9 - l][(x 2(x-2)-2(x-2)](x +5)5>0 => [ ( x + 3 )2 - 1 0 ] ( x - 2 X x 2 - 2 X x + 5 )5 > 0 =>[x +3- V](x +3+VXx - 2Xx - V2Xx +>/2Xx+5)5>0 ~ v : v + v v + v - a ~ -3- VIO -5 -2 -3 +/To 2 2 x e (-x,-3-V)u(-5,-V2)u(-3+>/,V2)w ^ (6x +3)2(x2-1)3(3x -5)70 => x(x -3)3(x -1)2(x +1)2(x -1)5>0 x(x -3)3(x -1)7(x + 1)2> 0 -i x4-2x2-3x-2 >0 0 1 /. x e ( 0 , l)u (3 ,o o ) x4-2x2-3x-2>0 factorizando por Ruffinni x4-2xa-3x-2 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 -1 1 -1 -1 -2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 x4-2x2-3x-2 =(x +1Xx-2Xx2+x+1) (x-lXx-2Xx2+x+l)^ 0 , como x2+x +l>0, Vxe R, entonces. (x-lXx-2) > 0 x2+x +6 =0 => (x- lXx - 2) >0 www.edukperu.com i . S O I 1C www.solucionarlos,net 33. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS $ -i o x e < - o o >- 1 ]u [2 ,+ o o > x4-3x3+5x2- 27x-36 ^-2x4 a0 como 4x* _2x +4 >0, V x e R x2(x-2) . x (x-2) 1 > --------------- = 0 => r --- > 0 x2(x -2) 4x2-2x +4 x2(x -2) : ~ V 0 2 /. x e < 2 ,0 0 > x-2 > x x+4 x-2 = z 2 . _ _ a 0 x+4 x-2 x+4 x-2 (x-2)2-x(x +4) x2-4x +4-x2-4x ----- ----------- > 0 => -----------------------> U (x +4Xx-2) (x +4Xx-2) ~8x+4 o =. u ,2> x -4 ; x -2 x2+2 x2+1 x3-4 x3-2 < (x3-4)(x2+1)0 => x2(x +2)>0 x =0; x =-2, puntos crticos v : -2 0 x e < - 2 ,0 > ^ j< 0 ,o o > x-1 < 2x x x x +1 x-1 M K S B M M x-1 2x x x-1 2x x ^ . ---- < ------------ = > -------------- + ----- < 0 X X +1 X-1 X x +1 x-1 (x8l) ( x 1)2x 2( x - 1 )+ x 2(x +1) x(x +1)(x 1) x x x+12x +2x +x +x . 2x -x +1 . => ------------ ;-----r;-----:---------- < 0 => -----T7------ < 0 x(x +l)(x - l) x ( x + 1 )(x - 1 ) Como 2x2-x +l>0, V x e R , entonces simplificamos ^ SOLUQONARIO ANLISIS MATEMTICO Il www.solucionarlos,net 39. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...........................................................................CAPITU' O I 1 - o ^ ------1 so x(x +l)(x - l) 2x2- x+1 x(x +lX x -l) x =-1; x =1; x =0, puntos crticos A / V : i 0 1 X G < -00,-1 > U < 0,1 > x2+2 x~+1 y4+1 y4+1 ___ MmxmAwm ll simplificando x4+l se tiene: x4+1 x4+1 x2+2 >x2+1 => 2 > 1, V x e R /. La solucin es V x e R x2-2x 0, V x e R => V 4 t * www.solucionarios.net www eduKperu com www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS 1 3x+l ------------->0 => ---------- ------ ----- - > 0 x+4. 5 x+4 55(x+4) 5x* +40-5x2+8x-20x +32 _ 72-12x x+6 => ---------- ---- ---------- >0 => ---->0 => ------------- x(x + 3 ) puesto que x2+2>0, V x e R Puntos crticos: x = 3; x =72 ; x =-5; x =0 V v : v -5 72 0 72 / www.solucionarios.net wwv.'.dukperu.com www.solucionarios.net O x e ^ (x +6)2(2x +3)7 > puesto que x +1 >O, V x e R - O V V -6 3 1 5 '2 "2 3 x e < - o o ,- 6 > u ( - 6, - | W - | , c o ( 4 x + 2 )2 ( x 2 + 2 )5(2 x - 8 ) 9 ( x + 1)2 (2 x + 5 )'7 ISMUlHT (4x +2) (xa+ 2 )5 ( 2 x - 8 ) q _o ^ (4x +2)g(2x-8)g , Q ( x + 1)! (2 x + 5 )'3 ( x + 1) (2 x + 5 )'3 puesto que x +2>0, V x e R 1 5 PuntOS crticos: X =4; X =--: X =-- : X =-1 2 2 edukperucom . . SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 42. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j W (x-5) (x +3) cAPrrui o i (x +4) (x-2) (x-5) (x +3)x-5 x+3 (x +4)(x +3)-(x-2)(x-5) (x-5)(x +3) x2+7x +12-(x2-7x +10) /3)(x +1+>/3) >0; x*l x =2; x*l; x=-l>/3. Existe multiplicidad par en x =2yx =1 -1 -n/3 v/3-1 -V3-l)u(V3-1,l)w{1,2)w{2,co} 4x4-20x2+8 x4-5x2+4 4x4-20x2+8 /3)vj(2f-Hx) ( x -1)8( x 2- 1 )(x 4- 1 )_ (x4+])(x-2) m i f M l i i ' T (x-1) (x-l)(x4- l ) _ (x-1 )T (x-l)(x-l)(x^ )%n (x4+l)(x-2) (x4+l)(x-2) Simplificamos los trminos (x4+l) y (x2+l), (x-1) por ser siempre positivos x2- lf i ^____L >o => --- 0 => x >2 de donde x e x-2 * x-2 (x2+5x +6)(x4-16)(x24x 12) ^ (1-3x)3(x-1)(x! +l) ( x * +5x+6)(x4-16)(x*-4x-12) ^ (1-3x)3 (x -1)(x! +1) Factorizacin por diferencia de cuadrados y aspa simple: SOLUCIONAR! www.solucionarios.net www edukperu com www.solucionarios.net CAPTULO I JCEDUARDO ESPINOZA RAMOS (x +3)(x +2)(xJ -4)(x 4)(x-6)(x +2) (l -3x)3(x -1)(x2+1) (x2+4) y (x2-rl) son positivos V x R, entonces simplificamos (x +3)(x +2)(x-2)(x +2)(x-6)(x +2) (x +3)(x +2) (x-2)(x-6) (3x I)3(x 1) (3x l)(x 1) -3 -2 3. 1 3 xe(-oo,-3)u^-2,-^u(l,2)u(6,+oo) O 4 x-2 4 < 4-x 5 x 4 x2 4 4 x2 4 < => ------- ----- --- :--- --- >0, factonzando 5x(x-4) 1 -6 48 -80 2 .8 80 2 1 -4 40 0 _ * SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarios.net K 48. www.solucionarlos,net CAPJT-w'l EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................... (x -2 )(x2- 4 x + 40) (x -2 )[(x - 2) 4 + 40J ^ fi - (x - 4 ) >0 ~ S F * ) . (x-2)[(x-2)*+36]>0 (x-2)*+36>0, V x e R, simplificamos 5x(x-4) x~2__ >o de donde x =2; x =0; x =4 son los puntos crticos 5x(x-4) v - t a z : 3xg+7x +5 x2+3x+2 0 2 4 xe(0,2)u(4,oo) 3x2+7x +5 0 x 4(x-l) 4x +12 4(x 1) 4(x-3) x 13x(x +3) +x(x-l)-12(x-l)(x +3) 4x(x-l)(x +3) 13x* +39x+x2-x-12(x2+2x-3) -----------7----77---- r-------- 0, simplificando 4x(x l)(x +3) 14x2+38x-12x2-24x +36 ^ Q 2x2+14x+36 x2+7x +18 >Q 4x(x l)(x +3) 4x(x-1)(x +3) ~ ^ 4x(x-l)(x +3) ~ Como x2+7x +18>0, simplificamos 7---- ----- >0 x(x-l)(x +3) Los puntos crticos: x =0; x =1; x =-3 -3 0 11 www.solucionarios.net 51. www.solucionarios.net --------------- ---------------------- V CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Conjunto solucin: xe(- (!,+0 =>x >11 X I I i x e 3 X - 1 X +1 x Q + >- 3 1 3 3(x +l) +x-13 ^ n_ (4x+2) 3jx l ) ^ Q ____ >_ S ---- ------- K / o x1 x+1 X xe+2x +3 ^ 0 como x2+2x +3 >0 , V x g R, entonces simplificamos x(x2- l) 1____ >0. Los puntos crticos: x =0; x =1 x(x; - l) -i ri www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS Conjunto solucin: x e (-l,0)U(l,o) X 1 0 M a & m zbvm / >0 como x2+7>0 y x2+x+l>0 entonces simplificamos (x-V5)(x +%/5) (x-2)(x +1) >0. Los puntos crticos: x =1; x =2; x =>/5 + V = V + V 1 V ~ -S -1 2 sfS Conjunto solucin: xe^-3o,-V5ju(-1,2)uj^>y5>+oo^ 3x- > , -6 m m m m x2x6 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 52. www.solucionarlos,net _______________________________________ CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS ........................................................... 3x 3x i n _ 3x-x? +x +6 Q simpiificando -- >1=>----- 7-1> => v 2 _ * _ f c x8-x-6 ~ x2-x+6 " ' x-x-6 -x2+4x +6 x2-4x-6 ^ (X~ 2I 1 _< 0 x2- x - T * (x-3)(x+) (x-3)(x+2) (x-2->/t)(x-2h->/To) n ^ puntoscrticos: x=-2; x=3-, ^ 2 J W (x-3)(x +2) T ^ / ~ ~ r - y ~/ ------- -2 2 - M 3 Conjunto solucin: x e (-2,2 - 7 ) (3,2 +7) A x i~3x+2 y*-3xf : 2X^ +8 0 ;x * 1 ^ 7 1 7 ^ 3 (x -3)(x -1) x -3 Los puntos crticos: x =3; x =4; x * l -1 5 Conjunto solucin: xe (->,3)vj(4, 2(xs+2x-3) 2 (x 2-1) x +3 2x-25 2x+1l 1 '+;---- r > 2(x2+2x-3) 2(x2-1) x +3 2x-25 2x+11 1 . _w 0; MCM =2(x +3)(x -1)(x +1 2(x +3)(x-1) 2(x-1)(x +1) x+3 (2x -25)(x +I) +(2x +11)(x +3)-2(xs -1) 2(x +3)(x -1)(x +1) 2x2-25x +2x-25 +2x2+11x +6x +33-2x2+2 2(x +3)(x l)(x +l) >0, efectuando las operaciones >0, simplificando 2x2-6x +10 x2-3x +5_ >0 =>---- --- --- - >0 2(x +3)(x-1)(x +l) (x +3)(x -1)(x +1) como x2- 3x +5 >0, V x e R, entonces simplificamos 1 (x +3)(x-1)(x +1) >0. Los puntos crticos: x =-3; x * 1 -3 -1 Conjunto solucin: x e (-3,-l) U (l, ) x W 4 a() x - 4 x -5 4 i i i a0 => J r f >o x 4x5 (x 5)(x +1) www.edKperurcfTi SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 97 53. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Los puntos crticos: x =1; x =5 -1 5 Conjunto solucin: x e (-oo, -l) U (5,ce) 2 x - x 2 - 1 x2-2x +1 (xlD ---- * % x2+6x +5 2x**+7x+'5 x +6x+5 > 0 2x______________ ___________ _ >0 => -- : (2x +5)(x +l) (x +5)(x +1) x+1 1 2x +5 x+5 > 0 Q x 2x +10-2x-5 (2x +5)(x +5) > 0 5x (x +l)(2x +5)(x +5) > 0 -5 x e (-qo,-5 ) +co) x2+10x+16 x-1 >16 x2+10x +16 _ x2+10x+16-10x +10^n x-1 X ' 1 www.solucionarlos,netCAI i irm w ARin ANLISIS MATEMTICO I w w * ediikperu con*t www.solucionarlos,net CAPITULO I (---1~--- ------------------------- .............I EDUARDO ESPINOZA RAMOS x2+26 x - 1 > ' como x +26>0, V x R, entonces simplificamos >0 x-1 X < 1 ,+ o c > x2-3x +2 ~ r------->0 x* +3x +2 4 4 xi | > o => l - Mx - 2 ) > 0 x +3 +2 (x +l)(x +2) -2 -1 i 2 x e u < D -^ +4 > x +10 x-2 +4>x +,0 => ^ - x - 6 > 0 = M l > >0 x x-2 X^ g X+l 2 > 0 - ^ ^ > 0= Z 3 < 0 x-2 . x-2 2 3 . X 6 3x2- 4 ------< x +6 x -6 WWW *dti(..jie.r .--irn - ' ---- - ~ l~T" L ' * ~ I |- > ~ l i l WWW.SOlucinnarin.0, V x R entonces simplificando se tiene: _ u CD 1+-r-rSs0x +4x +3 6 x e 1-8x n ^ xa+4x+4+1^8x x2+4x+3 x2+4x+3 2 x24x +4 2)^a ---1 ^ < 0 r> V oW ~T- x2+4x +3 (x +3)(x +1) V Z Z Z ^ Z Z Z ^ - -3 -1 2 x e u {2} 112 www.solucionarlos,net www.edjk.per'j.ct'm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS INECUACIONES EXPONENCIALES IV. Resolver las siguientes inecuacines 4x-3 3x^2 J 0,5 2 >0,0625 5 4x-3 3x-2 4x-3 3x-2 0,5 2 >0,0625 5 3x-S 1 Y"5 v16 T 2> 4x-3 4I - => ---- 20x-151 => x > => x e (,oo 4 4 27 V ) -4x +2>2x2 +x-3x-2 =>2x5 +x-4 9~ 9 .3 => 32(-')S>93-x.x-33-I 32(x-I) > 3 ^ , . 2 2(x-1) >-4x-2 => 2x2-4x +2 >-4x-2 => 2x2+4>0, xe'.H V x e R ^ 2"2"' .(2) .(2*) -2)* > *J 12(x-2)2>9(x2-9)2+9x +3+40x2-640>4(3Xx- 12x! -48x +48>9x* -162 +729+9x+3 +40x! -640 105n/4513 37x2-105X +44 274x _ _ _ _ _ 729xz.243x 243x6.275x-* 36x.35x 35(64).- => (4! y->4-> ^ ^ ^ - ^ > 0 10-(3x +l) A _ 7-3x __ 3x-7 ^ (x-l)(x +l) ^ (x-l)(x +l) 7Puntos crticos: x =-1, x = 1; x =- -i i z 3 0 [(0.3)(",Xx !)] K"3 >[(0.09)*1 J ? * [(0.3)[(0.09),'-,>J '' => (0.3)l- '>t,-!Xx-3>>[(0.3),'-,>]"' H T 7 * 1 s o lu c io n a r io a n lis is m atem tico I w m m m p m m www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS (0.3)tx' 1Xx_2Xx_3>>(0.9)(xi' ' Xx''9) => (x-l)(x-2)(x-3)< 2(x2-4)(x2-9) 2(x-2)(x +2)(x-3)(x+3)-(x-!)(x-2)(x-3)>0 (x-2)(x-3)[2(x +2)(x +3)-x +l]> (x-2)(x-3)(2x2+I0x +12-x +l)>0 (x-2)(x-3)(2x2+9x +13)>0 => (x-2)(x-3)f x2+y +y l >0* x-2)(x-3)>0. Puntos crticos: x =2, x =3 ^ / = / ^ 2 3 x g (-oo,2)u (3,oo) $ ^ (0.00032)5x i < yj(0.2f? WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 119 64. www.solucionarios.net ft EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I x+1 (x +3)(x +2) < 0 -3 -2 -1 x e u 0.0256^ Seasabe: 0.16 f 0.0256= - 0.004096 =1- 16-2x 25(x2+5x-6)>256-64x +4x2 => 21x2+189x-406 >0 25(x2+5x-6)>256 - 64x+4x2 => 21x2+189x-406 >0 D , r v. -27-5^27 5^7-27 Puntos Crticos: x =----- - ; x = ----- A T ~ ~ V 27 - S27 5/27-27 -27-5>/27 /5n/27-27 ' x e ( -00,----:----)u ( ------ ,+00 ( j ) x-^(0.08)x"' 2:x-^(0.04)x *-fj(0.08)*~' >^(0.04 f 3 x-1 ^ 1 / 1U 25 v25, 3x-3 2x+6 3x-3 2x +6 _ -----------< 0 x - 8x+l5 x- 2 xl (x-3)(x-5) (x 2)(x 1) x- 2 x- 1 < 0 (x - 2)(x - l) =0. Los puntos crticos son: x = 1; x =2; x =3; x =5 v 1 v * v : 1 2 3 5 x e u [3,5] www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarios.net 65. www.solucionarios.net rnUARPO ESPINOZA RAMOS ) .......................................... j K i i U I i W 2x-l ' jc M f* a => (0-04)*3 2(0.2) - CAPITULO I de donde (0.2) x*3 Z (02) x+3 2 (2x - l) ' 2x- 1 U i-3 x+3 , ii21 ll ~Z => (0.2r x"2 >(0.2 ) x' 5(0.0016)x*2>(0.2) 4| D < p => 4 ^ ~ < 0 x-2J x-5 4 ( x , 3 K x - ) - ( ! ^ a < 0 ^ ^ ^ < 0 (x+2)(x - 5) (x +2 )(x ) www.solucionarios.net wwwedukperu. www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS -17X-62 . 17x+62 < 0 => ---- --- - > 0 (x +2)(x-5) (x +2)(x-5) 62 -2 *17 x e ^ , - 2 ^ ( 5 , +co) ^ >>-^22x jgEESffliEMt x-5 x+1 2 x -8 2x A (2 x - 8 )( x + 1 )- 2 x ( x +5) --------- > 0 => ---- ^ - j -----------e-- > 0 x-5 x+1 (x 5)(x +1) 2x2- 8x+2x-8-2x2+10x 4x-8x-2 (x 5)(x +1) (x 5)(x +1) ^ (x 5)(x +1) Puntos Criticos: x =-l, x =2, x =5 1 V + V 1 V + -1 2 '1 5 x g t--- 0 => -A------ ( ^ 0 ( 7 7 3 ) (x +1)(x +3) CAPITUuO I x - 3 ;>0 x+1 x+3 V 3 -1 : x e ^ 13i+co> ^ x+^(0.04)2*~^>>/(0^2)2x ' J g g i 2 jg 2 H f ________ ___________2 (2x - l) 2x-l 2 (2x ^(0.04)2^ > # - 2 ; P => " ^ J " < x x+3 x (2x-1)(x-j) , n x(x +3) x e < - 3 ,0 > u (- ,3 O j _y r if % r ir -l 250J V5J l 5J ^625 x*-3x i Y O v4x +1 y +2 n n 4(*-3k) /-!> I 1 * 1^ I I .1 UJ u ,4x*+1 / -j y ( 1 1 => x > => xe 14 14 ,+ co) < * Y 9 19 x+2 2x-2 3 x-3 < 3 _ x+2 x+2 < 2x-2 x-3 x+2 x+2 2x-2 3x2-4x +10 A -- - +---< 0 => --- --- r ^ 0 x-3 x+2 (x-3)(x +2) Como Sx'-4x +10 >0 , V x e R, simplificamos (x-3)(x +2) 0 x+1 (x +3)(x +2) (x +3)(x +2) 2 Vx2-2x -4 j M K r n r,i ? M Calculando el universo donde debe estar la solucin: x2 - 2x- 4 >O x2-2x +1>5 => (x-1)2>5 => x-l>>/5 v x-l x>l +V5 v x/5)u(l+>/5, +00^ Ahora desarrollamos 7 xg-2x-4- 2 +-=-i- 1 > 0 >/x2 -2x-4 / _________ 1 * Vx2-2x-4 . > 0 => Vx2- 9y - 4 ^> --- < >/x2 -2x-4 J Vx2-2x-4 (x2-2x-4)>1 => x2-2x-4>1 v x2 -2x-4 6 v x2-2x +1 6 v (x - lf >/6 v x11 +>/6 v x /6^ v -l< x< 3 1 - s f -1 3 1 + [6 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarios.net | 68. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) xe 1,3)u^l +>/6,+oc^, y lasolucion es: x e ^-oo,1-V5^u^1 +75,-hx>^|n^-oo, 1 -*s/6^vj(-l,3)^l +V6,+/6,+oo^ ^ 7x +5 +Vx 0 = > x > - 5 a x > 0 x e [0,+ 10>/x >/x x x e [0,4> D Vx +V2^ T + >Jx - ' J 2x-l /2 r r w w r Elevamos al cuadrado ambos miembros |Vx +>/2x-T+Vx->/2x-l j /2x-l +2^x +>/2x-lj(x-^2x-lj +x- V2x-1 - 2 X < 1 A X > - 2 xe n/x -9+118S>0 r r* / QV O yJx-9/x +118>O Completamos cuadrados:> / x - - ----- + 118>0 391 + > O a x > O = > x > O =s> x e [0 ,o o ) x+2 ( x + 2 ) 3 < x 3 + 8 = > x 3 + 6 x 2 + 1 2 x + 8 < x 3 + 8 6 x 2 + 1 2 x < 0 = > x ( x + 2 ) < 0 -2 xe (-2,0) >/x-4 ->/8 -x >1 Jx-4 -yj8-x 1 => X-4 >|l +>/8-X j A X >4 A 8 >X x- 4 > 1+ 2y/8- x + 8- x A 4 2x-13>2%/8-x a 44 (8 -x ).a 4 4x2-52x +169 >32-4x a 4^x/x2 - 1 !*.+1 >/x2 - 1 /x+l n/2x -9< 3-x . x210 x2- x - 2 0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) < 0 A x>-l A (x -l)(x +l)>0 xe[l,2) V2X-9 2x-90 a3 - x > 0 2x-99-6x +x2 => 2x>9 a x3 Pero 2x>9 a x/9x - x 2- 8 ( x 2- 8 x +12) >/x >/9x-x2- 8 (x2 - 8x+1 2) ^ 0 n x >0 n 9x-x2- 8>0 x>0 n x2-9x +8-V4x-12 3x-6>0 n 4x-12>12 => x > 2 n x>3 => x[3,oo) V5x-3 - Vx- 1 > 0 0/x1>0 => yJbx-3 Vx 1 o 5x- 3 >0 o x - U 0 5x-3> x-1 n 5x>3 n x2>1 4x>2 n x>l => x>l => xe[l,co) O VVx-4 - Vx X1 V^x-4-Vx X1 >0 o x >0 >/x-4-x x1 0 n x >0 :-(x +4)J x1 x1 x- x3- 12x2 - 48x-64 Q n x ^ 0 ^ x3 +12x +47x +64 ^ Q n x > 0 X1 X~1 /. x e [64,+ qo> y/x2 -6X->/x 8 - x >0 n x- 1 0 0 o x_- n x0 n x>0 n x0 n 6- x >0 n x+l>0 n (Vx-3 +>/6 -x) >x +l x >3 o x- 6 n x >-1 n x-3 +2>/x-3>/6-x +6 -x 36x-72-4x2 3x0 30 => 30 5 5 3 < x 0 => 3 < x 0 x e Vx-1 +>/x-3 >>/x+1 Vx-1 +>/x-3 >>/x+l x-1 >0 n x-3 >0 n x+1>0 n (>/x-l +Vx-3) l o x3 o x >-1 n x-1 +2 Vx-3Vx-l +x-33 n 2 ylx-3Jx-' 3 n (4x2-4x +3)0 n x - 625 0 Vx- 1 v ' V x- 1 v 1(X l) 9 v y 2 v ; > 0 n x 0 => f= > 0 n x > 0 = > < 0n x > 0 Vx- 1 x 1 I t xe SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 73. www.solucionarios.net y>EDUARDO ESP1N0ZA RAMOS ) CAPITULO I x +6 x +2 r r ' f c ____________ !EI0A^0V x Vx-1 X X^T X x-1 X x-l x x-1 X X-1 (x +6)(x -l)-x (x +2 ) ^ x+6 a 0 n x+2 a 0 x (x - l) X X-1 x ! 5 x o ^ X 6 i i i O = - ^ < 0 * ^ T * n 7 ^ ' x(x-l) X x-1 x(x-1) X X-1 X Vx2-3x-4 >/2T->/x2-4 _____ a m iffiw x2-3x-4 0 o x2 -4 >0 r 1. -- *0 >/21- vx -4 (x +l)(x - 4 ) > 0 o (x - 2)(x +2 ) > 0 o L - ^ ; > 0 (x +l)(x - 4 )*0 r (x -2)(x +2)>0 n ^ 7 ^ (x +l)(x - 4 )a0 o (x-2)(x +2)>0 o (x _ 5)(x +5) x e< -5,-2] v j[4,5 > i SOLUCIONARIO ANLISIS.MATEM4TICO I . www.solucionarlos,net www.edukperu. www.solucionarios.net CAPITULO l_...................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS /3 ,>/3 ^ www.edukperu.com WWW.solucionarioiffltARI0ANAL,SISMATEMTIC01 74. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITULO I Q >/x2 + 3 + V 3 x - 2 - n/2x + 5 ^ > / 3 x _ 2 2x +3>0 n 3x -2 >0 n 2x+5>0 n 3x~ 3 O (V2xT3 W 3 x - 2 )2 < (^ x + V 2x+5) 2x+3+2yj2x+37 3 ^ 2 +3x- 2/6x2 +5x+6 /6x2+15x+4 6x2 +5x+6 0 o x^O o a- x2 0>/a- x2- >/x >0 x > i n x > 2 o x> 0 n x2< a < 0 n a - x 2x x>2 o (x-V](x +V)^0 o x +x- 12x+3| =5x-4,se debe cumplir 5x>4 de donde x> Luego (2x +3 =5x-4 u 2x+3 =4-5x) n (5x-4>0) => (7 =3x kj 7x =1) n 5x>4 7 1>l 7 . * 7x =- u x =-n x =>- => x =-. La respuesta es x =- 3 7) 5 3 3 13x11=2x +5 Jtt^SSSSM/ 13x11=2x +5 => 13x11=2x+5 (3x-l=2x +5 u 3x-l=-2x-5) n 2x +5>0 |m 75. www.solucionarlos,net X>EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) X 1 =|x-4| x2 x2 . =x-4 v --- =4 - x x1 x1 x2 =(x-4Xx-1) v x2 =(4-x)(x-1) x2 =x2-5x +4 v x2 =-x2 +5x-4 5x =4 v 2x2-5x +4 =0 4 , 4 _ . _ c f4 x = v 2 xeR => x =. El C.S = ^- 5 55 x1 x1 x = u ^=4 I n x >0 X 1 X x-1 (x2=4x-4 =0 y u x2 =-4x +4 =0) n x >0 (x2-4x +4 =0 < j x2+4x-4 =0) r> x>0 (x- 2 )2 = 0 u x = n x >0 => x =2; x =2>/2 - 2 C.S.={2,2n/2-2} 0 (x 4)22 |x 4|15=0 a [ HTf i, g y (x-4)2-2|x-4|-15*0 => |x-4f-2|x-4|-1.5 =0 (| x-41-5)(| x-41+3) =0 => |x415 =0 solucionarmw^fwmarios.net CAPITULO I ______________ y * www.solucionarios.net |x41=5 => x-4 =5 u x-4 =-5 => x =9 u x =-l CAPITULO l ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS |2x +9| =x-l /. C.S. ={-1,9} |2x +9| =x-1 |2x +9| =x-1 => (2x +9 =x-1 u 2x +9 =-x +1 ) n x-1 0 =>(x =-10 u 3x =-8) n x >1 => |x23x71=3 |x23x71=3 => x2-3x-7 =3 u x*-3x-7 =-3 % => x2-3x-10 =0 u x2- 3x-4 =0 =>(x-5)(x +2)=0 vj (x-4)(x +l)=0 =>x=5 u x =-2 x =4 k j x =1 /. C.S. = {-1 -2,4,5} x+8 x+4 x+8 x+4 =3 =3 n B i i i a r x+ 8 x+ 8 _ => --- =3 u ---- =-3 x+4 x+4 => x+8 =3x+12 u x+8 =-3x-12 => 2x =-4 4x =-20 => x =-2 kj x =5 www edufcpenrcon SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net w 76. www.solucionarios.net C.S. ={-5,-2} S t |3x +l|=7-x |3x+1|=7-x => (3x+l= 7-x u 3x+1 =x-7) n 7-xaO ^ (4x =6 w 2x =-8) m X S 7 o [x =| w x =-4^ n x x =3 u x - - =-3 C.S. ={-3,3} 13x1 1=15x151 JMfcTiTnNMTHlf 13x11=15x151=> 3x-l =5x-15 o 3x-l = 15-5x => 2x =14 u 8x =16 x =7 u x =2 C.S. ={7,2} f r |5x +3| =3x-1 15x+3| =3x-l => (5x +3 =3x-l u 5x+3)-3x +1) o 3x-l >0 por definicin => (2x =-4 u 8x=-2) o x>^ => |x =-2 u x =- | | n x>^ C.S. ~4> 0 11X2 - 1 1- X |=x 11x211x| =x => (|x211x =x u IX2 11x =x) n x>0 => (| x21 1=2x u |x2- 1 1=0j n x > 0 => (x2 - 1 =2x x2 - 1 =-2x w x =l) o x > 0 =>(x2 - 2x - 1 = 0 u xs+2x-1 = 0 u x =1 ) o x^O ____________ _______________________________________ ________________________________________________________________ cf. SOLUCIONARIOANLISIS MATEMJICO I . www.eduknsRIO ANLISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net S W W f i 1. ............................................................................................ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS *-2i - *M .8s,/5 ^ 2 2 9 ~ Luego: x = {l ^ ,l} 0 |2x-3| +2 =|x-6 | o Valores crticos: x =- ; x =6 2 V.A. 2x-3 x- 6 {r*J) -2x +3 -x+ 6 [t's) m i 3 -x +6 [p/oo) 2x-3 x- 6 X e( _00' f ) ^ -2x +3 +2 =-x +6 => x =-l x e | , 6^ =s>2x-3 +2=-x +6 => 3x =7 => x =^ x e[,oo) => 2x3+2 x6 => x =5 e^6,+oc^ O El conjunto solucin: CS =j -1,1 3x-11-1x+21=1 13x1 1I x+2 1=1 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 147 78. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................................... CAPrOJLOl V.A. x+2 3x-l (-00,-2) -x- 2 -3x +1 fi____i x+2 -3x +l ii 3x+1(x2) =1 => 2x 2 => x 1(co, 2) xe x e 3x+1 -(x +2) =1 => -4x =2 => x =- e 3x - l-(x +) =1 => 2x =4 => x =2 e 1-,+00 3 Conjunto Solucin CS =- -, 2 ( Q |x-4 f-5 |x-4| +6 =0 IX 4 |2 5| x4| +6 =0 Si hacemos u=| x-41 u2- 5u+6 =0 => (u-3)(u-2) =0 => u=3 v u =2 Luego-. |x41=3 v |x41=2 => x-4 =3 v x-4 =-3 v x-4 =2 v x-4 =-2 => x =7 v x =1 v x =6 v x =2 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net www edukperu.com- www.solucionarios.net CAPITULO I El conjunto solucin: CS. ={1,2,o,7} ^ 2|x2-2|+5 =6|2x2- 3 1 2i x2-2 +5 =6 2x2-3 Si hacemos u=x2 2 u-21 +5 =6|2u-31 EDUARDO ESPINOZA RAMOS Valores crticos: u =- u =2 2 Luego: x e V.A. 2u-3 u- 2 -2u +3 -u +2 &) 2u-3 -u +2 2u-3 u- 2 0,-) => 2(-u +2) +5 =6(-2u +3) => -2u +9 =-12u+18 x e 9 L 3 ^ 3 => u = e (0,-) =>x = -= 102/ J -,2) => 2(-u +2) +5 =6(2u-3) => -2u +9 =12u-18 27 => U = -- 14 2 L V 14 xe[2,+co) => 2(u-2)+5 =6(2u-3) => 2u+l=12u-18 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 79. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...................CAP'TULO I 19 r0 r=> u = e 2,oo => x = J 10 L L V 10 3 27 9 I El conjunto solucin: CS =j -^=-y ,y ^ 0 |6x+3| =|18+x| J E T | 6 x +3| =|18+x | 6 x +3=18 +x v 6 x +3 =-18-x 5x + 15 v 7x =-21 x =3 v x =-3 C.S. ={-3,3} 0 3|| x+11-412-5|| x+11-4|=2 _____ j^ 22S2HIW Factorizando 3||x +l|-4 -5||x+l|-4|=-2 =0 (3||x +l|-4| +l)(||x +1|-4|-2) =0 => ||x +l|-4 |- 2 0 11x+11-4 |=2 o I x + 1I -4 =2 v I x +1I -4 =-2 I x +1 I =6 v lx + 1 1=2 (x +1 =6 v x +1 =-6) v (x + l= 2 v x+ l= -2) (x =5 v x =-7) v (x = 1 v x =-3) /. C.S. ={-7,-3,1,5} O |Ix|-3| |3x+2| SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net www eajKoeru.com .. www.solucionarios.net 9 * * : ........................................................................ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS ||x|-3|=|3x+2| => |x |- 3=3x +2 v|x |- 3 =-3x-2 |x| =3x+5 v |x|=13x (x =3x+5 v -x =3x+5) v (x =1-3x v -x =1-3x) a 1-3x >0 (2x =-5) v 4x=-5 a x > - | v (4x =1 v 2x =1) a x -1 II X x = < X II 1 1 A X > ----- V l 2 4J 3 L 4 2) A X < ,~ 3 x =4 v - El conjunto solucin: CS = 4 4 I 4 4 ^ 11x+2 |- l|2 -5||x+2|-1|-6 =0 m m v m M Factorizando: (| |x +2|-l| +l)(||x +2|-l|-6) =0 11 x+2 | - 1 1 =6 I x +2 I - 1 =6 v I x +2 1- 1 =-6 I x +2 I =7 v I x +2 I =-5 (x +2 =7 v x +2 =-7) v (x +2 =-5 v x +2 =5) (x =5 v x =-9) v (x =-7 v x =3) .-. C.S. =(-9,-7,3,5} ^ 12x311 =|x31 3 . Valores crticos: x =-; x =3 2 wwwedukpenj.com www.solucionariosnet0anAusisMATEMTIC0' 80. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAP'TUL0 I V.A. 12x3 x- 3 H ) -2x+3 -x +3 i h 2x-3 -x +3 [3/o) 2x-3 x-3 Luego: . xe (ao,-) =>-2x +3-l =-x +3 => x =-l x e -,3; => 2x-3-l =-x +3 => x =^ 2 / 3 xe[3,oo) => 2x-3-1 =x-3 => x =1[3,oo) El conjunto solucin: CS =-1 x2 -5x +15|-x2+ 8 =3x+9 x2-5x +15|-x2+8| =3x+9 [|x2-5x +15|-x2+8 =3x+9 n |x2-5x +15|-x2+8 =-3x-9] n 3x +90 |j x2-5x +15| =x2+3x +1 r> |x2-5x +15j =x2-3x-17j o x>-3 j[(x2-5x +15=x2+3x +l) u (x2-5x +15=-x2-3x-l)] r |[(x 2 -5x + 15 = x2- 3 x - 1 7 ) u ( x 2- 5 x +15 = - x 2+3x +17)] n x > - 3 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www edukpen.i.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ................. ............................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS | ( X = j U (x2-x +8=0) n |[(x =16) u (x2-4x-l =0)]} o x>-3 De donde x =- ; x =16; x = ^ =2>/5 4 2 CS. =| I 16,2>/5] |x+l |+2| x-2| =|x81 TTHTITITIF Los punto? crticos de cada valor absoluto x =-1; x =2; x =8 V.A. X +l x- 2 X i 00 -x +l -x +2 -x +8 [-1,2) x+l -x+ 2 -x +8 [2,8) x+l x+2 -x +8 [8,+eo) X +1 x+2 x- 8 xe(-oo,-l) => -x -l +2(-x +2)-x +8 => -3x +3 =-x +8 => x =- | xe[-l,2) => x+1+2(-x +2) =-x+8 => 5=8 => noesposible^ xe[2,8) => x+l +2(x-2) =-x +8 => x = 4 xe[8,+oo) => x+1+2(x-2) =x-8 => x =| Puesto que x e[8,+ 3(-x-l)-2(-x +2) =2x-l => 3x =6 => x =2 Puesto que este valor no pertenece a xe(-oo,-l) se descarta xe[-l,2) => 3 (x +1)- 2 (-x +2) =2x-l => x = 0 xe[2,oo) => 3(x +!)-2(x-2) =2x-l => x =8 El conjunto solucin: C.S. ={0,8} 2||x-2|+2f-ll||x-5|+2|+12 =0 * Hacemos u =11x- 51+21 3 2u2 - llu +12 =0 =o (u-4)(2u-3)=0 => u =4; u =-, dedonde: ||x-5| +2|=4 u ||x-5| +2| =| |x-51 +2 =4 u |x 51-h2 =4 u |x-5|+2 =| u |x-5|+2 =- | ____ ___________ -------------- - -S SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I . www solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS x51=2 u |x +5| =-6 u Ix-51=-- u Ix-51 = 1 2 1 1 2 II. O Puesto |x51=2 => x-5 =2 u x-5 =-2 => x =7 u x =3 Hallar el valor de las siguientes expresiones. 112+5x|-12-4x 12 +5x I12 4x si xe(!,3) m p m rn * v m si xe(l,3) Por definicin: 12+5x1 = 12l2+5x ; x>- 5 125x; x --- 10 5x101= -10-7x; x => l'0^x|-|5x-l^ 10+7x-(10-5x) 12x 2x 2x 2x SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 155 82. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j 0 I9x+8|-I2xlgjsi xe{1,2) |9x+8|= 9x +8 ; x > 9 g -9x - 8 ; x < 9 12x- 8 1= 2x- 4 ; x >4 4-2x; x - f |2x +3|=- 2 3 -2x-3; x < 2 |3-x|-| x-3 ; x >3 3-x ; x '----- !----1=---------- = =3 16x +3| +2|2-3H sxe(2j3] BEOSSMMt/ Por definicin de valor absoluto CAPITULO i SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net ----------- +www edvjkpepj.c(jr www.solucionarios.net CAPITULO l_.................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS O |6x+4 |= x +4 ; x > 2 -X-4 ; x 2-3x ; x < Luego en el intervalo dado: R=.^ ( 'f '*+2(3x 2) _ I2x _ ^ 12x 12x 16x+321- 418 - x I .. 1------L - J---- I Si x e(-3,-2) rrrmar|6x+321- 418 - x| oX Si X(-3,-2) Por definicin 16x+321= 6x+32 ; x>- r 0 3 IsxI=jXX --- 4 4x 1; X < 4 X-1 = X-1 ; X >1 1X ; x< 1 Para xe/0,1) = L4x+32HM . 4x +l - 1 +x=5x = x X X [Zx+2|-|3x+2l s x e (0,3) edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net - ^ 2 -3x-2; x - 8-3x+8; x < *3 3x+241= 3x+24 ; x >-8 -3x- 24; x ------ 2x 2x 5x+41-| 4+4x I Si xe(0,3) Por definicin de valor absoluto: 5x +4 5x +4 ; x>-- 5 4 -5x-4 ; x-l -4x-4 ; x o 2x-3 2x -3 2x-3 2x-3 / 10 X '^'"9/uHf3x nsovttie 6-3x x-3 > 0 o > 0 x- 2 x+6 9v ov - 6 > 0 o -+6 < 0 x+1 x ;5bnob i>b 8 < XC x+1 -2x-3 x+1 X 3 X 3 > 0u X + 3 X + 3x+1 x+1 0 u 3 < 0 => 2 3 1 ^ ebsm m 5=1 < - 1 00- ' >r> X wwa>edukperu.com www.solucionarios.netSOLUCIgNARIO ANLISIS MATEMTICO I I 86. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j X1- 1 > 0 u -+1 < 0 x z ll x ) 1 Ov_i T 2x - 1 A _ i > 0 u ^S: < 0 => - < 0 u ---- < 0 x - x x x xe(-flo,0)u / 0fi 414x| |x| +4 4 u 4 - x 8 de donde-, x e u - 2 Propiedad: |a|>b => a >b u a b => a >b 0 w ? ^ + l < 0 4-x 4-x 2x-5-4 +x^_ 2x-5 +4-x >0 kj -------- 0 x-4 x+3 6 - 2x > 1 Propiedad: Ia I>b =>a >b u a 5 -b x+3 1 x+3 ^ 1 x+3 ^ , x+3 > ---- >- u -----< => ----> I u ---- 6 3x2-1 x- 2 x+3-3+x x+3+3-x . 2x 6-------- > 0 u --------- < 0 =>----< 0 u ----> 0 3-x 3-x x-3 x- 3 /. xe[0,3>u jK M iM >0 >-6 ,. x * 2 Luego la solucin es V x e R- {2} www 9dukp&ru.00m SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 87. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ......................................................... ffft |x2-4| a-b _> x2 -4 2x-4 => x2 +2x- 8 0 => (x +4)(x - 2 ) < 0 n x(x-2 ) > 0 x e(-4,0) O x+3 x+2 b => a-b l ^ < 5 -x o - ^ > x - 5 => ^ i|- 5 + x < 0 n x+ 2 x + 2 x+ 2 x+ x +3-5x-10 +x2+2x n ^ X +3 +5X +10-X2 2 x ^ n ^ 2 x+2 x 2 - 2 x - 7 ^ 0 n x 2 + 4 x + _ 1 3 > q x+ 2 x + 2 H L l z Z < 0 n x 2 ~ 4^ < 0 x+ 2 x+ 2 (M L i x>- =* xe 2 x 3 fee* Como I 3x - 1 i +2x >0, V x e R , entonces simplificando, obtenemos 7--- -,--- 0 lx+ ll-3x> 0 |x+113x 3x x + 1>3x v x + 1-1 o (x > 2 a x-1 0 X 6 A x e x21 x+3 Ix+4 1 x-6 S0LUCI0NAR10 ANLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS L l- ?j dukper zpfn 12|xf| =1 => 1 -1 5 x < 1 a x e R - {0} X 6 u O |3x-5j =2x+1 MKHilWiai.l.'Hf [3x-5j =2x +1 => 2x +153x -5 l< x - 5 < 2 => 6 x =6;x = 2 VII. ResoK ix las siguientes inecuaciones www.solucionarlos,net CAPITULO I ..................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS O x +1 x+2 15--- 1 5 ^ 1 o 0 n ----- 2 < 0 x+ 2 x+ 2 x +1-x - 2 ^x +1-2x-4 . ------------->0 n --------- ------ 0 n ---------< 0 x+ 2 x+ 2 i ! (X-1/-1-3 >0 n --------------- 0 a ------------2 < 0 X+1 x+1 3x+4 x ----------> 0 a -------- > 0 x+1 x+1 A/ : V -1 A -i xe^-oo,-^u(-1,+oo) n((-co,-l)u(0,+)) xe/ 0,+oo) VIII. Resolver la inecuacin logartmica Log1/2|2x3| >3 _ _ _ _ _ Log, |2x3|>3 => Log2|2x-3| >-3 => Log2|2x- 3|>-3 Logjj|2x3| |2x-3| x < u x > n x * - 2 2 2 5 11 x e ^ 2 ' T n x * Log., (x-3>/x +1+3) /x"+T +3 )< 1 =>x - 3 ^ T T +3/x +1+3>0 => x+1/x+1 n x+3 > 3Vx +1 => x2+2x +l 9x +9 o x+1>0 => x2-7x-8-1 => (x 8)(x +1) x(x-3 )>0 n x >-1 V ~ r ~ - 1 0 3 8 ________/ V W _ Logy |x2+4x| +3 x2+|x5| >0 x ^|x2+4x| +3 x2+|x-5 L0S7 >0 x2+4x +3 x + x5 > 1 => I x2+4x I+3 >x2+| x-5| x +4x +3l>x2+x-5 3x>-8 => x > 3 Tambin: x2+4x +3>x2+5-x => x>- 5 De donde: x ! ** SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarios.net 96. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP'-M'LOI Log2 4x -11 2x" -4x-6 0 n ---- --- -r >0 (x-3)(x +1) (x-3)(x +1) X 2,j ) u (3,-kc) o Log |2x-3| x+1 >1 Log |2x-3| x+1 >1 |2x-3| x+1 0 n 2x-3*0 |2x-3|-10(x +1) !---- !-------->0 X +1 n x >-1 n x* - 2 V www.solucionarios.net ww,v.edukperi/com< www.solucionarios.net CAPITULO I o o ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS |2x-3| = 2x- 3 ; x>- 2 3-2x; x < 2 y> 3 2x-3-10x-10 3 9 =* ------- ----- >0 n x >-I n x *- x+l 2 8x+13 . 3 =* - 1 n x* x+1 2 13 * X 8 Y 3 3-2xIQx 10 3 12x+7 2 ~ x+i > 0 n x > - l n x * - = > --- ~ 23 a 3-4x * 0 => |34x|>8 a x * - (3-4x>8 v 3-4x4x v 11 - A X * - 4 4 ) 4 X(^~i)u(7_TO O LS3|3-4x| >2 ljOg3|3-4x|>2 |3-4x|>32 |3_4x| >9 => 3- 4x >9 v 3 - 4x -6>4x v 12 x < v x >3 2 O LoSt x-2 x-5 +35 >2 xe-cof--)u(3,+co) P r t SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net vw. ..edkperu ^m www.solucionarios.net 98. www.solucionarlos,net V) EDUARDO ESPINOZA RAMOS ] ....................... CAPITULOI RELACIONES Y FUNCIONES En cada caso determinar los valores de x e y (x,4) =(-2,y) - ^ ^ m i it1n i i W f (x,4) =(2,y) x =2 a y =4 (4, 2x- 10) =(x- 1, y +2) j k s titlB M Mediante identidades: 4 =x- l => x =5 2x - 10 =y +2 y =2(5)-10-2 =-2 => y =-2 (y -2, 2x + 1) =(x - 1, y +2)__________ j y Q J S B E S M f Mediante identidades: y - 2 =x - 1 => y =x+ l 2x + 1=y +2 => 2x +1=x +1+2 => x =2; y =3 (5x +2y, -4) =(-1, 2x - y) J________ Mediante identidades: 5x +2y =-1 a 2x - y =-4 5x+2y =-l _ 1 7 => 9x =9 => x =-l 4x-2y =-8 Como 2x - y =-4 => -2- y =-4 => y =2 (x +4, 6) =(10, y - x) m m m i w * Mediante identidades: x +4 = 10 x =6; y-x =6 => y= l2 (x +5,3 - y) =( 7 , 2 ) __________ M Mediante identidades: x +5 =7 => x =2; 3- y =2 => y= l HSOLUCIONARIO ANLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net wv.vv.eduKpera.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ............... .............................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS & (x +y, 3) =(5, y - x) Mediante identidades: x +y =5 a y-x =3 jx +y =5 2y =8 => y =4 [y-x =3 x+y =5 => x+4 =5 => x =1 0 (x - 7y, 2x - 6y) =(15,-10) _____________ x- 7y =15 a 2x- 6y =*10 =>x =3y-5 En la primera ecuacin: 3y - 5- 7y = 15 => y =-5 => x =-20 ^ (3x - 8x, 4x +3y) =(4 - 2x - 1Oy, 2x +4y+ 7) Mediante identidades: 3x-8y =4-2x-lOy a 4x +3y =2x +4y +7 0 (5x +2y; 4) =(-1, 2x - y) Mediante identidades: 5x +2y =4 a 2x-y =7=> 9x =21 => x =- ; y =-- 3 3 JB E M 2 E IW 5x +2y =-1 5x +2y =- 1 2x -y =4 . . =>9x =7 = > x =- 4x-2y =8 9 2x - y =4 => -y =4 => y =- 9 9 0 (x3 -19, xy-) =(y3,xy2) M T T T F i l f * Mediante identidades: x3-19 =y3 => (x-y)(x2 +xy+ y2) =19 'Www ftdukpftru com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 99. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ............................................................................................. CAfm'LO I x2y-6 =xy2 => xy(x-y) =6 Dividimos ambas ecuaciones x +xy +y _ 195x2+6xy +6y2=19xy => 6x2-13xy +6y* =0 xy 6 2x 3x (2x-3y)(3x-2y)=0 dedonde y = a y =- O O Con y = =>x3-19 =y3 => x3-19 =^ - => = 19 => x =3; y =2 3 27 27 (2x - y, x +y +3) =(x +y +1, 2x +y) Mediante identidades: 2x-y =x +y +l a x +y +3 =2x +y Simplificando x =2y+l; x =3 => y = 1 x+y 1 x - y , A ( y-x ~ y +x Mediante identidades: ^ i v _ 1=y ^ +2 a ^ y +i = ^ - 2 2 2 2 2 => x+y-2=y-x+4 a x-y+2=x+y-4 => 2x =6 a 2y =6 => x =3, y =3 En cada caso hallar los conjuntos y graficar. Dado los conjuntos: A ={xeZ/-l^x< 3}, C ={xeZ/l B x C o (a - C ) x B Desarrollaremos los conjuntos A ={x eZ^-l 4 ) ; ( 0 >, ) ( . 2 ) ( a 3 ) ;( 0 ,4 ) ; ( 1 ,1 ) ( 1 ,2 ) ( 1 ,3 ) ; ( 1 ,4 ) ; l l ( 2 . 1 ) ; ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ; ( 2 , 4 ) ; ( 3 , l ) ; ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ; ( 3 , 4 ) } b) B x c J (1'l);(,'2)(13) :(1'4^ (21)i(2'2K 2'3);(2.4);(3.1):(3,2)(3,3);(3,4);l 1(4,1);(4,2)(4,3);(4,4) | c) (A-C)xB ={-l,0} (A-C)xB= {(-1,1);(-1.2)(-1,3);(1,4);(0,1);(0,2)(0,3);(0,4)} I . . SOLUCION/ www.solucionarlos,net 100. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................................................... CAPr 0 ! __________ relaciones y funciones Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones, a) R = j x, y e R2 /y =x2- 4x; y O} JBE222IHMt y =x24x =(x 2) 4 ; Dominio: D={xeW Rango: y =(x-2)2-4 => (x-2) =4+y =>x=2Vy+4 => y +4>0 => y >-4 Luego: D={y e'.H/y 4} Para y < 0, el dominio corresponde a los reales y el rango en ye(-ac,o] Intersectamos para obtener el dominio de la relacin: Dominio: DR=[0,4] Rango: D={y e 'R/-4 0 => x 2 < 4 => -2 0, despejamos x en funcin de y: -_2y-x =0 x(y-l) =2y => x=_~ f dedonde D={yett/y*l}xy- c) R ={(x ,y )e 2/x2=y-1 m m m x w * SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I d) e) f) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS Dominio: x" =y -1 ==> y =x2+1 => D =jxe'.H Rango: Despejamos x en funcin de y: x2=y -1 => x = y-1 De donde el argumento de la raz cuadrada debe ser positivo y-l> 0= > dedonde D = {yesJ/ y >1} R={(x,y)e9?2/xy-2y-x =0 Dominio: Despejamos y en funcin de x: xy-2y-x =0 => y(x-2) =x => y = dedonde D={xe'.H/x^2j x-2 Rango: Despejamos x en funcin de y: xy-2y-x =0 => x (y- l) =2y => x = dedonde D = {y / y * l} R ={(x,y)eiR2/Vx+7y =1} f nn iwrTrm t Dominio: Despejamos y en funcin de x: Vx+Vy=1 => y =(l- 7 x ) => D={xe9/0x =(l +Vy) => D={xetf/0 x2y2+xy-5 =0 Frmula general y = _ -x>/x2+2 0 xT = - 1 n/2 1 d e d o n d e D = u 2x2 2x Rango: Despejamos x en funcin de y: x2y2+xy =5 => x2y2+xy-5 =0 Frmula general _ -yJy*+20y* _ - J de donde D , u 2y 2y 1 g ) R = | ( x , y ) V y = 2 x ! _ 3x 2x2-3x-5 =0 => (x +1)(2x-5) =0 de donde D = { x e < R / x *-1aX*5/2} Rango: Despejamos x en funcin de y: 2x2- 3x-5 = =>2x2-3x-5-y'' =0 Frmula general y x =/ ~ ~ V 40 0 ' 9 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net M.'ww.sduk' www.solucionarlos,net h) R =(x,y) e $?2/(x~-4)y =y2 Solucin Dominio D={xeiH} Rango: Despejamos x en funcin de y: CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS 2x2-3x-5 = => 2x2-3x-5-y-' =0 Frmula general y x2y +4 => x =yjy +4 => y +4>0 =>y >-4; R ={y e s.H/y >4} Si U =x f Z* /x impar a x b) R =|(x,y) e UxU/x +y =8 Para x +y =8 donde x ={1,3,5,7} en la resta: y =8-x tenemos: R ={(1,7);(3,5);(5,3);(7,1)} 9d.iKperj.coi" SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net I 102. www.solucionarlos,net c) R ={(x,y)eUxU/xy =21} Para y = de donde x ={3,7} tenemos: R ={(3,7);(7,3)} x d) R ={(x,y)eUxll/x divide a 20 Para x divide a 20, de donde x ={1,3,5,7} tenemos: R ={(1/1);(1,2);(1,3);( 1,4);(1,5);(1,6);(1,7);(1,8);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6); (5,7);(5,8)} 9 En el conjunto de los naturales N se define una relacin R de la siguiente forma R =j(x,y)e NxN/x2+x =y2-t y} Es decir si es una relacin de equivalencia, justifique su respuesta Reflexiva: (x,y) e R, x: +x =x2+x Simtrica (x,y)eR, x2+x =y2+y => y2+y =x2+x; (y,x)R Transitiva (x, y) eR, x2+x =z2+z =>(z,y)eR, z2+z =y2+y =>x2+x =y2+y; (x,y)1 |x-1| =----- ; |y-l| =| y - 1 : y a l ' ' [l-X ; X 0} Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 103. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS u CAPr toi R = {(1 ,1 );(1 ,2 );C 1 i3 ) ;(1 ,4 );(1 i5 ) ;(1 ,6 );(2 i 1 );(2 i2 );(2 ,3 );(2 ,4 );C 2 ,5 )/2 ,6 );(3 ,1 );(3 ,2 ); (3 ,3 ); (3 ,4 ); (3 ,5 );(3 ,6 );(4 ,1 );(4 ,2 );(4 ,3 );(4 ,4 ):(4 ,5 );(4 ,6 );(5 ,1 );(5 ,2 );(5 ,3 ),(5 ,4 ), (5 ,5 ); (5 ,6 );(6 ,1 );(6 .2 );(6 ,3 );(6 ,4 );(6 ,5 );(6 ,6 )} R es reflexiva: (x,y) (y,x) Res simtrica: R es transitiva: b) R ={(x,y) 6 AxA/x-y La relacin es reflexiva. (a,b) R (a,b) => La relacin es simtrica y transitiva Por tanto, R es equivalencia Definimos en el conjunto Z x (Z - 0) si la siguiente relacin: (a,b) R (c,d) o ad =be Z x (Z - 0) => (a,b) R (c,d) o ad =be => Relacin transitiva (a,b) R (c,d) relacin simtrica reflexiva R es de equivalencia (Jj) Demostrar que la relacin dad por R ={(a,a);(b,b);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} i Bww.etukperu SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarios.net 104. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) El conjunto A ={a,b,c,d} es una relacin de equivalencia Solucin R ={(a,a);(blb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Simtrica: R ={(a,a);(bfb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Reflexiva: R ={(a,a);(b,b);(c,c);(d,d)} Transitiva: R ={(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Por tanto R es de equivalencia O Discutir y graficar las relaciones siguientes: a) xy2-3y2-1=0 m e m i 1 Extensin: Dominio y2(x-3) =1 => y =-j== >/x-3 x-3 >0 D={xeiH/x>3} Rango: xy2=3y" +1 => x = => R =(y e SR/y * 0 Asntotas Asntotas Verticales; x =3 Asntotas Horizontales. x =< Simetras: Eje x: Cambiamos y por-y: x(-y)2-3 (-yf -1 =0 =>xy2-3^ Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: -xy2- 3y2-1 =0 =>xy2+3 / +1 = No hay. r r | soLucioNARio anlisis matemjico i . www.solucionarlos,net capii i => x >3 2-l= 0 0 vvww.edul'.peru www.solucionarlos,net CAPITULO I b) wwwdjfcpe; .................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y) x(Y)" 3(y)2~1 =0 => xy" +3y 1=0 No hay. y2(x2-4) =x+2 f Extensin: Dominio: y2(x2-4) =x+2 => y -X,+^ = V x2- 4 x +2 >0 => x >-2 => D ={x R /x >-2} = y/x+2 Rango: x2y2-x-4y2=0 => x 1 ^ 4 / ( 4 / ) i J 16y4+8y 2y2 2y2 1J(4y2+l) 1(4y2+1V x ----- -------=---- 2--- de donde: R ={y */ y *0} Asntotas Asntotas Verticales; x =-2 Asntotas Horizontales, y =0 Simetras _ . . SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I BW www.solucionarlos,net 105. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS J C A P P 'JL O I Eje x: Cambiamos y por-y: (- y f(x 2-4) =x+2 =o y2(x2-4) =x+1 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: y2jj-x)2-4^ =-x +2 =>y2(x2-4))-x +2 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): (-y)^(-x) -4j =-x +2 =>y2(x2-4) =-x +2 No hay. c) y2= 3-x Extensin: Dominio y2= y JE-3-x 3-x V3-x 3-x>0=>x D ={xeR/x< 3) Rango: 3y2- xy2=x2 => x2+xy2- 3y2=0 =y V 7 W =y iy V Z ]2 de donde R ={y e9?} 2 2 Asntotas Asntotas Verticales; x =3 Asntotas Horizontales. No hay. i SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net nvw.edukper.cpffi www.solucionarlos,net CAPITULO I .................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS Simetras: 2 2 Eje x: Cambiamos y por-y: (-y)~= => y2= Si hay 3-x 3-x Extensin: Dominio y = 1 1 2x2-3x-5 ( x + 1)(2x-5); * * 1; X * 2 Rango: 2x" -3x-5 - => 2x2-3x-5- =0 frmula general y y y/y4+12y2 2 3i 9+40- 8 V y de donde R ={y '.)?} de donde: 49- >0 => - >0 4 y y SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I gSfl www.solucionarios.net 106. www.solucionarlos,net R =|y e'.R/y e (- o o ,0 ]u EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ............................. CAP 0101 Asntotas Asntotas Verticales; x =-1; x =- Asintota Horizontales; y =0 Simetras: Eje x: Cambiamos y por -y: y(2x23x 5) =1 =>-y(2x2-3x-5) =1 No hay Eje y: Cambiamos x por -x: y(2x2-3x-5)= 1 => y(2x2+3x-5) =1 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); y(2x2-3x-5) =1 =>-y(2x2+3x-5) =1 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => No hay 1Eje y: x =0 => y * - 5 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net .vww eaukoer'j www.solucionarios.net CAPITULO I ........ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS e) x'V -x* +y2+1 =0 JTiTTTrer.T7l Extensin: Dominio y2(x2+1] =x2-1 x~-l>0 (x-l)(x +1)>0 D =|xe '.H/x oo,1J 00^} Rango: x2(y2- l) =-y2-1 => x = ^ )~ j 1- y2>0 => y2-1 (y-1)(y +l) x2y2-x2+y2+1 =0 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: xy2-x2+y2+1=0 => x2y: -x2+y2+1=0 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): x2y2-x2+y2+1=0 => x2y: -x: +y2+1=0 Si hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x2=1 => x =1 wvm.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 107. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAP,T,,LO I Eje y: x =0 => y; =-1 No hay f) x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0 Extensin: a r r f f li1* 4 x -1 Dominio y 2 ( x 2 - 4 ) = 4 x L> => y = ^ ^ x 2 - 4 > 0 => ( x - 2 ) ( x + 2 ) > 0 D={x H/x e (-00,- 2 ) u (2, oc)} Rango: x ( y 2 - 4 ) = 4 y 2 =>x = R ={ y e * } Asntotas -A. Verticales; x =2 ; Simetras: Eje x: Cambiamos y por -y: 4 y y2- 4 A. Horizontales, y =2 H SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net w a djkp^ru.cm www.solucionarios.net CAPITULO I .c EDUARDO ESPINOZA RAMOS (-y)2(x2-4)= 4xa =* y2(x"1-4) =4x2 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: ys[(_x)2-4j=4(-x)2 => y2(x2-4) =4x2 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); (-y2)[(-x )'-4 ] =4(-x)2 => y2(x2-4) =4x2 Si hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x2=0 => x =0 Eje y: x =0 => y2=0 => y =0 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 207 108. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITM'CH g) xy-2x-y-2 =0 2x -f 2 Extensin: Dominio y(x-1) =2x+2 => y =--- => d ={x e x =^-^- => R ={y e'J?/y * 2} y-2 v Asntotas - A. Verticales; x = 1 A. Horizontales, y =2 Simetras: Eje x: Cambiamos y por -y: -x(-y) +2x-(-y)-2 =0 => xy +2x +y-2 =0 No hay Eje y: Cambiamos x por -x: -(-x) +2(-x)-y-2 =0 => xy-2x-y-2 =0 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): - -xy-2x +y- 2 =0 Si hay Interceptos: Eje x: y =0 => x =-1 Eje y: x =0 => y =-2 208 * SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www edukoeru.conv www.solucionarlos,net h) y2(x +1) =4 Extensin: Dominio y2(x +1) =4 =>y2 =2 =>D={xeiH/x>-l} 4 Rango: x+1= R =|y e M /y * 0} Asntotas -A. Verticales; x =-1 A. Horizontales, y =0 Simetras: Eje x: Cambiamos y por -y: (-y)'(x +1) =4 => y2(x +1) =4 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: y-(-x +1) =4 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); y2(x +1) =4 => y2(-x +1) =4 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => no hay Eje y: x =0 => y =2 CAPITULO I i EDUARDO ESPINOZA RAMOS www eduKper, -.qiti SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarios.net 109. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I O Discutir y graficar las relaciones siguientes a) xy2+xy-6x-3 =0 Extensin: Dominio xy2+xy-6x -3 =0 => y = -yjx' +4x(6x +3) 2x _-x^x(25x +12) V ~ 2x De donde: D=h e / x e (- o o ,- 1 ' 25 Rango: x(y2+y-)=4 => x = (0,co) R ={yeH/y *-3, y *2} A. Horizontales, y =-3; y =2 (y +3)(y-2) Asntotas *A. Verticales; x =0 Simetras: Eje x: Cambiamos y por-y: x(y2-y-) =4 No hay Eje y: Cambiamos x por-x: -x(/2+y-6) =4 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): -x(y2-y-6 ) =4 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x =-- no hay Eje y: x =0 => No hay 3 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net wvw ed-.kperu.corp- www.solucionarios.net CAPITULO I b) EDUARDO ESPINOZA RAMOS y = 3x2-8x +4 3x2 Extensin: Dominio y = 3x2-8x +4 3x2 Rango: x2(y +3) +8x-4 =0 => x = => D={x eiR/x *0} -8>/64+16(y-3) 2(y2-3) 64+16(y-3)0 n y 2- 3 *0 => y >-1 o y^V^) R =jye'.R/y >-1 ny*> /3j Eje y =0 => 3x2-8x +4 =0 Asntotas Asntota Vertical: asntotas Asntota Horizontal: y =3 (3x-2 ) (x-2) =0 2 x =- 3 x =2 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 110. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Simetras Eje X: x =-x => y = 3x2+8+4 Eje Y: y =-y => y = 3x2+8+4 Origen y: x => -x = y =-y Eje x =x =0 =>3 3x2+8+4 d) R =ux,y)e W2/y = 1 2x -3x-5 Dominio y = i 1 2x2-3x-5 (2x-5)(x +l) D={yeiH/x^ - 5 / 2 a x ? -1} Rango: Despejamos x en funcin de y: 2x2-3x-5-=0 => x =3- 3 9+40+- y +49 >0 => 49y +8 >0 y y Se toma los intervalos positivos D={x g '.H/x e (-oo,l V '49 u 0 => (x - 2)(x +2) >0 D ={x e '.H/x e (-oo,-2) kj (2,+x>) {0} J II) Interceptores: eje X y =0 => x III) Asntotas: IV) Simtricas: ejeX: y => -y 4x2 2 4x2 (-y) = 75 r => * = d) y = x* - 4 ' x2- 4 Rango: x2y2-4y2=4x8 => x2(y8-4) =4^ 2y x = . - >/y2-4 y2-4>0 => (y-2Xy +2)>0 x2+1 2x -5x +2 I) Extensin: 2x2-5x +2 =0 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS 4x2 x2-4 .2 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 213 111. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAM OS j Dominio: (2x - 1)(x - 2) * 0 x * - : X * 2 2 Rango: 2x2y-5xy+ 2y =x2+1 x2(2y-l)-5xy+ 2y-l =0 5yj25y2- 4 (2 y - lf x = ---------- 7------------ --------------- = > 2y-1*0 a 2(2y-l) A (5y-4 +2)(5y +4- 2) 0 A (y +2)(4y-2) 0 2 1 oo > a y * - 4 2 r =y e R / y e < - o o - 2 ] e) x3+xy2- y2=0 I) Extensin _,3 Dominio y2(x-1) =-x* => y x3 x3 0 => --- 0 ={xett/xe[0,1 >} ------------ j wwvv.edufcpenj co?- www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS f) y = III) Simtricas Eje X: y => -y x3+x(-y)2-y2=0 Origen: x => -x: -x3- xy2- y2=0 y => -y IV) Interceptor Eje X: y =0 => x =0 Eje Y: x =0 => y =0 x(x +3) (x +2Xx-2) Extension Dominio D={xeR/x*2 Rango: x2y-4y =x2+3x => x2(y-l)-3 x -4 y =0 _ 3yj9 +]6y(y1) ^ 9+16y^y _ 1j ^ 0 A y#1 2(y 1) v ' 16y2-166+9>0 a y * l y2-y + > 0 a y * 1 lo f i y c y + > 0 a y * 1 = > 9 = {y e R / y *1} 2, 16 1 J II) Asntotas: AV: x =2 AH: y = 1 1 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 112. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) III) Interceptor: Eje X: y =0 => x =0 x =-3 Eje Y: x =0 => y =0 IV) Simtricas x(x +3) Eje X: y => -y =--- NO x y x(x-3) x2-4 Eje Y: x => y =^ NO Origen -x _ y = x(x-3) N0 y => -yI x -4 16- 8y(5 - 4) >0 a y * 0 8y2+10y +16>0 a y * 0 y2-5y +2>0 n y * 0 y I - +2^0 o y * 0 2 J 4 5^ y _ 2> 17 - 0 n y * 0 4 5 Vl7 V 2 2 f 5 y/l7 yT T >0 a y * 0 . . -2Vl7 5+V7 Asntotas A =ye'R; ye A.V. x =1 A.H. No hay f SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I _________________J www.edukperu.coiT www.solucionarlos,net CAPITULO i ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS i 5 5 III) Inteceptor y =0 => x = x =0 => y =- IV) Simtricas AY_5 No -4x-5 Eje Y: x =x => y = x => -x y => -y 2(1 - 1) -4x-5 ^ _y _ 2(x2-1) No No Discutir y graficar las relaciones siguientes: x2-15 a) y = x+1 Extension: Dominio D =(x S.H/x * -1} Rango: xy +y =x2-25 => x2-xy-25-y =0 x = _ yly2+4(25 +y) 2 y2+100+4y >0 (y +2)2-4 +100>0 => (y +2)2+96 >0 Asntotas A.V. x =-1 A.H. No Hay III) Interceptor EjeX =>y =0=>x =5 '.R={xer} SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 113. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I Eje Y => x =0 => y =-25 IV) Simtricas x2-25 Eje X: y =-4y => -4 = eje x =>-x=> -y = x+1 x2-25 -x +1 x=> -xI x2-25..^ ongen >- y =-----NO y => -yj -x +1 V =- /X0 5 x; x2-1 * 0 => x* 1 2(x -l) J B E 2 2 E J W D ={xc'.R/x * 1} 2x2-5x +2 Y 3x2-10x +3 I) Extension Dominio 3x2-10x +3*0 => (3x - l)(x - 3) * 0 x * ; x * 3 de donde se tiene: D=ix e W / x * l a x *3 3 1 3 Rango: 3x2y-10xy +3y =2x2-5x +2 x2(3y-2) +(5 +10y)x +3y-2 =0 10y-5V(5-10y)2-4(3y-2X3y-~2) 2(3y-2) SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www edjkperu.cotr www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS => (5 -1Oy)2- 4(3y - 2)2>0 a y * - 3 [5-10y-2(3y-2)] [5-10y +2(3y-2)] >0 Ay * | II. Asntotas A.V. x = a x =3 3 A.H. y =- 3 III. Interceptor EjeX: 2x2-5x +2 =0 => (2x-lXx-2) =0 x =; x =2 2 Eje Y: x =0 => y =| IV. Simtricas Eje Y: y => -y 2x2-5x +2 Y ~ 3x2-10x +3 d) xy2-4x2+12x-3y2=0 I) Extension Dominio: y2(x-3)= 4x2-12x => y2= x^4x x-3 . . . SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 219 114. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j 3 ) ( jg Q p j- jg s e rje n e . y=2y[ A X * 3 V X-3 D= {xe'.R/x>0} y2 Rango: y2=4x => x = R =0 (x-3)(x-l)> 0 x Finamente D={xe9?/xe(-oo,l]w[3, o)} SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 115. EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) b) f(x) =^1-|x| j K S . U H ' Determinamos los intervalos donde el argumento de la raz sea real: l-|x|^0 =>l>|x| => |x| -1 vj [0,2> Finalmente D =|xe9/xe(-oo,-2)^[0,2)j -------- _________________ M E U S S S I JB / Determinamos los intervalos donde el argumento de la raz sea real: x1 ^ . x-1 ~9------ -0 7--- w--- 7-0 x 5x+6 (x-3)(x-2) 1 2 3 CAPITULO I SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I .. www.solucionarlos,net www.ediikpru com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS e) Tomamos los intervalos positivos: x e [1,2> vj Finalmente D= jxe R/xe[l,2)u(3,+o)J 2x2- x-1 x2+3x JgEEM Determinamos los intervalos donde el argumento de la raz sea real: 2x1-x - 1 >o ^ (2x+1)(x-l) ^ 0 x2+3x x(x +3) -3 Tomamos los intervalos positivos: x e (-oo,-3) u Finalmente D=ix e R/xe(-oo,-3)u R f(x - (x t- 4)(x8- 9) 0 f( x )' l - x o (x-2)(x +2)(x-3)(x +3) -x4+17x2-16 x4- 17x2+16 0 (x-2)(x +2)(x-3)(x +3) ^ (x-2)(x +2)(x-3)(x +3 )^ n x4-17x2+16 (x-1)(x +1)(x-4)(x +4) ,V, A *dJkperu coir, SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 223 116. _ t V 1 V V 1 V * V - / / -/7 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 Tomamos los intervalos negativos: x e (-4,-3]u[-2f-l)u (l,2 ]u [3 t4) Finalmente D ={xeR / xe(-4-3]u[-2,-l)u(l,2]u[3,4)} g) f(x) =>/x2-3x +2 +-=^-1... /3+2x-x~ d B W Determinamos los intervalos donde el argumento de la raz sea real: x2-3x+2 0 => (x-2 )(x-l) 0 3+2x-x2>0 => x2-2x-3 (x-3)(x +l)0 => x - lx l =x- x =0 por lo que la funcin no puede ser definida Si x x - lx l =x +x =2x pero x 0 para cumplir con la funcin raz cuadrada. Luego x0=> Finalmente D ={} x >0 i-x ; x >0 224 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net www edukperu com www.solucionarios.net i) CAPITULO i j) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS x-2 I 1x x+2 VVx +1 ____ Determinamos los intervalos donde el argumento de la raz sea real: x-2 x+2 >0 n 1-x >0 n x+1 >0 x - 2 x +2 >0 n x 1 Como se ve, la interseccin de los tres dominios es vaco; por tanto el dominio de la funcin es nulo: D ={} f(x) =Vx 1+2>/l-x +Vx2+1 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raz sea real: 1-x^0 r x- I > 0 n x2+1 >0 =>x/x2-4 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raz sea real: x2-3x-4 >0 r>x2-4x >0 n V21-V8-4 >0 (x-4)(x +l)>0 n (x-2)(x +2)>0 n 21 >x2-4 (x-4)(x +1) >0 o (x-2)(x +2) >0 n x2-25 0 *n (x-2)(x +2 )> 0 n (x-5 )(x +5)/x2-16 Halle el dominio de la funcin: f(x) = x x+4 -x f(x)= ;->/x2-16 x-Vx2-16 x[x +4]-x x(|x +4j-2) El denominador debe ser diferente de cero y el argumento de la raz positivo. ____________________ - ------- -y wwsv edukperu c.oolj SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net _ www.solucionarlos,net CAPTULO I.......................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS x -16>0 a x*0 A |x +4fl-1*0 (x-4)(x +4)0 a x *0 a |x|+4-1 *0 (x-4)(x +4)0 a x*0 a xJ*-3 (x 4) a x *0 a [x|*-3 Puesto que [xj =-3 en -34) a x * 0 a x-2 Luego: x por lo tanto D={x e R / x e (-oo,-4]u[4,+oo)J Halle el dominio de la funcin f(x) =^|x2x2||l - x2|-|x +1|+>Jx El argumento de la raz cuadrada es siempre positivo |x2x2|11x2||x +1|>0 |x -2||x +1|-|x -1||x +1|-|x +1|^0 => |x+l|[|x-2|-|x-l|-l]>0 Simplificamos: |x2||x1|10 Simplificamos el valor absoluto Valores crticos: x =-1; x = 1 1. V.A. X-1| x -2 (co,1) -x +1 -x +2 [- 1,2) X 1 -x +2 [ 2/00) X1 x -2 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net I 118. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO} Luego xe(-oo,-l) => - x +2 -(-x +1)-1 => 0 xe(-oo,l) x e [l,2 ) => -x +2-(x-1 )-1 >0 => - 2x+2 +1-1 x > 1 => x = 1 x e [ 2 , o o ) => x - 2 - ( x - 1 ) - 1 > 0 => - 2 > 0 =>

0 => x x2* |x j Esta condicin solo se cumple si x =0; x = 1 Finalmente D= { x M / x * 0 a x * 1 } 1 b) f(x) = 2x- x Determinamos los puntos donde el denominador de la funcin sea diferente de cero: 2x-|x|^0 => 2x*|x| Esta condicin slo se cumple si x =0 Finalmente D={x eR /x *0 } SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 231 120. www.solucionarios.net 2x2 EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I c) f(x) = - [* ] Determinamos los puntos donde el denominador de la funcin sea diferente de cero: x - |x ]*0 => x*|x|] Esta condicin slo se cumple si x =z, z entero. Finalmente D={xe9 i/x *z} d) f(x) =[- I X Determinamos los puntos donde el denominador de la funcin sea diferente de cero: x-[xjvt0 => x * jx ] Esta condicin solo se cumple si x * 0 Finalmente D ={x e y? /x * 0} 1 II e) f(x) = x-3 Determinamos los puntos donde el denominador de la funcin sea diferente de cero: x - 3 *0 Esta condicin solo se cumple si x * 3 Finalmente D={xe9?/x*3} f) f(x) =Ix '| La funcin mayor entero por no tener ninguna restriccin es definida para todo x real: D ={ x e 9?} g) v Vx+1 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.edukperu.qom www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS Determinamos los intervalos donde el argumento de las races sea real: 2-x. x-2._ i V - /~0 => --- 0 por ser una raz par x -1 Si x>0 => I x I =x de donde -- >0 => -- 0 => -- >0 X1 x+1 - 1 4 x e (u [4 ,+ x > ) n de donde x e Df = {x / x e u < 1 ,4 ]} f(x) =Vx x3 La raz cuadrada debe tener un argumento positivo: SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarios.net 121. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) x-xf >0 => x(x2- l)^ 0 => x(x-1)(x +1) /8-x2-2x 8- x2-2x >0 =>x2+2x-8>0 => (x +4)(x-2)>0 xe[-4,2] => El dominio: D ={x e 9?/x e[-4,2]} x2+4x - 12>0 r x - x2+20>0 => (x +6)(x-2)0 n x: (x +6)(x-2)>0 n (x-5)(x +4)0 - x- 20 El dominio: D= x e R /x [2,5)} Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes: X2 ; X /x-2 ; x 2 x" +2x3 ; x e (-1,1) b) f(x) = d) f(x) = 3 x - 2 ; - 4 < x < 4 x ; 4 < x < 6 x2- 4 ; x 3 a) f(x)= , 3 X2 ; X 1 Dominio: x < 1 u x > 1 =>X'.R Rango: x x2>0 => y >0 x >1 => x3 y >-1 D ={x e 9?) R =|y e'.R/y (-ao,-l]^j[0,oo)| . SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarlos,net 122. www.solucionarlos,net b) f(x) =l 3x- 2 ; - 4 S X S 4 ' 'X ; 4 -4 D ={x e '.K/-4 -14 Rango: Rf =(-4,+oo> d ) f (x )= x2- 4 ; x 3 Dominio: x 3 => D ={x e V.K) x x =y +4 => x =>/y+4 y +4>0 =t> y >-4 => y e [4,+co> HSOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net w w w K fu lT e r'j in www.solucionarlos,net CAPITULO I I EDUARDO ESPINOZA RAMOS X >3 Determinar el dominio, rango y graficar la funcin a) f(x) = |x+2|-x ; Si x e (-4,0)/4 - X ; Si X (0,4) 2x-8 ; Si xe(4,oc) b ) f(x) = fx21; 4 x = >3 2 y+l>6=>y>5=s>ye [5,+oo> Rf ={x /x e [-4,+x>) 123. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................CAPITULO j a) f(x) = |x+2|-x ; Si x (-4,0) /4-x ; Si x e (0,4) 2x-8 ; Si xe(4,oo) f(x)=V4-x 2x-8 II 1K> X 1 to - 4 0 -x; x x+1 x -x +1 [2,) x+1 x X1 wvw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 245 k.-4f 127. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Luego: xe(^o,-l): f(x) =-x-1-x +1+2x =0 xe[-1,0): f(x) =X +- X +1+2x =2+2x x e [0,1) : f(x) =x+-x +l-2x =2-2x x [i,00) : f(x) =x+1+x-l-2x =0 Donde |x| = O ; x e ( - 00, - 1) 2+2x ; x e [1/0) 2-2x ; x e[0,1) 0 ; x e[l,oo) Dominio: D ={xe9) Rango: 0 7} d) f(x) =|x||x-l| =|x2-x| Valores crticos x2- x =0 => x =0 ; x =1 x2- x; x 1 La regla de correspondencia f(x)= e) f(x) =|x-2|+|x +l| Desarrollamos el valor absoluto Valores crticos: x =1; x =2 x- x2; 0 l} g) f(x )=>/2[2x+5j-4|[x] > xf ; r-x| Tnyni,w r Dominio: 2[x +5]-4[x|>0 2[2x]-4[x] +100 =>[2x]-2[xJ+5^0 => D ={xeR} Ahora determinamos la regla de corresponde para las expresiones de mayor entero WWW dukper-.i com " SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net 129. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS n0 n x:0 Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones a) f(x) =2[xj-2x =2(|xJ-x) jM CfiTrrai.irf D ={xe9t} f(x) = -2x ; 0 x j 8) f(X>=[ * - 3 H x ] lx - 311-1x1=1x1-3-1x1=-3 > X h) f(x) =Ix|+^|x|-[x] |x|-|xj> => |x|a|x| x >0 => x>|fxfl => x >0 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net www.edukperu coni- www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS * X < 0 X 2: x | => x e '.H x - [ - x D = { x e } i) Repetida j) f(x ) -xf. -x 2 - [[x {]> 0 => | x j< 2 -2 x < 3 X J- X Constnjir la grfica de las funciones siguientes a) f(x) =Sgn(|x21|1) MTfTYHlf18* Desarrollamos la funcin signo l'x )t (o (x)i (8 = 5 ii * - ( r+. n 8 = ( x ) ( i |x21|1=0 => |x21|=1 => x21=1 xs 1=1 x2=0 'u x2=2 => x =0 O 72 QrXy ~ x)(f*x)Los intervalos donde la funcin positiva, la funcin signo toma valor 1, donde es negativa toma valor -1 y en los valores crticos es cero. !f(x) = -1; X6, x *0 0 ; X = 0 a X 7 2 _ e+xd^x 1 ; X < -00, 7 2 > y j < 7 2 ,o c > ----------= .oinimoQ I X < R'3x} = ^bK )b 3 R ={y e'.R/x*-3 a x*-7} aSOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ca pitu lo i EDUARDO ESPINOZA RAMOS b) f(x) = x2-10x-l :o .. c) f(x)= |x212x1 Dominio: D ={xe'.R} Rango: D ={xelR} 4x2-9 2x +3 + 6 = d C= 0 = D + d if d 4 x ^ ,(2 x - 3 )(2 x 1 3 )= 3 v ' 2x +3 2x +3 2 Dominio: 2x+3 * 0 => x * de donde D=jx e '.K / x * - ^ Rango: y * 2 -3 *6 de donde R ={ye'J/y *-6} www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net 257 133. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I o Si f(x) =ax! + b x + c,f(-1 )+ f|^ l= j, f(-1) =0 y f(1) =8.Hallar f(5) g ' n rirn ii w En la funcin f(x) =ax2+bx +c f(-l) =0 => f(-l) = a-b+ c= 0 => b =a +c f(1) =8 => a +b +c =8 ei 15 A a b 15 f(-1) +f - = => 0+- +- +C = v ; l 2 J 4 4 2 4 (1) en (2): a +c +a +c =8 => a +c =4 (2) en (3): a +2a +2c +4c = 15 => a +2c =5 De(4)y (5): b =4; c=1; a =3 La funcin es: f(x) =3x2+4x +1 =>f(5) =3(25) +4(5) +l =96 Determinar las funciones lineales ..(1) ..(2) ..(3) ..(4) ..(5) SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.cont- www.solucionarlos,net a) f(1)= 1y f(3) =3 b) f(1) =3 y f(3) = 1 c) f(7) =Oy f(8) =9 MTTTTWlir La funcin lineal se define mediante:f (x) =ax +b a) f(1)= 1=> 1=a + b =>f(3) =3 => 3 =3a +b ,4- t f ij s=tU , Restando ambas ecuaciones: 2 =-2a; a =-1; b =2 De donde: f(x) =2 - x b) fC1) = 3 => a +b =3 f(3) = 1 => 3a +b = 1 Restando ambas ecuaciones: -2a =2; a =-1; b =4 De donde f(x) =4 - x c) f(x) =ax +b => f(7) = 7a +b =O f(8) = 8a +b =42 de donde a =42 b =-7a =-7(42) =-294 f(x) =42x - 294 Si f esuna funcin rea de variable real tal que: f(x +2) =x2+x. Calcular: f(a +3)-f(a-3) 3 2a-3 ' 2 Se determina lafuncin: u =x+2 =>x =u-2 =>f(u) =(u-2)2 +(u-2) ;'f ^ . 1 g L _ f r 19.0] 'M * f(u) =u2-4u +4+u-2 =u2-3u +2 => f(x) =x2-3x +2 Ahora: f(a +3) =(a +3)~ -(a +3) +2 =a2+3a +2 CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS f(a-3) =(a-3)2-3(a-3) +2=a2- 9a +20 SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO www.solucionarlos,net ( . ! ________ 134. www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ] CAPITULO I f(a +3)-f(a-3) a +3a +2-a2+9a-20 _ 12a-18 _ 6(2a-3) _ 2a-3 2a-3 2a-3 2a-3 =6 O Si f es una funcin real de variable real tal que: f(x +l) =x"+3. Calcular: f(a + l)- f(l) -, a^O u =x+1=> x =u-1 => f(u) =(u-1)2+3 f(u) =u2-2u +l +3 =u2-2u +4 => f(x) =x3-2x +4 Ahora: f(a +1) =(a +1) -2(a +l) +4 =a2+3; f(1)=1-2 +4 =3 2 * b2- t^3(103BUJ9 "bdlTIfe Obn6J?f. f(a +1)-f(l) a2+3-3 _ ---------- =------- a a a O Hallar el rango y graficar las funciones: ------- i; xe[-l,3] leluDl Si y = -2x-1 (x-1) -2 te- 6)-(+ s)i ,r2 2 La grfica que facilita el desarrollo de la funcin mayor entero [- 1 ; 1 - n/ 2 < x /2,3] El rango: R ={y =0, y =-1} * fW=, p 3; xe[-2,1> SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net www.edukperu. www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS Desarrollamos la funcin mayor entero en el intervalo dado V-x+1; -2 3 yjx2+4X-1 ; 03 x-2>3 v x - 2 5 v x (3,3) f +S={(l,2);(2,6);(3,3)} f- g ={(1,2 - 0);(2,5 - 1);(3,4 - 1)} ={(1,2);(2,4);(3,5)} f-g={(1,2x0);(2,5x1);(3,-1x4)} ={(l,0);(2,'5);(3,-4)} rr. Calcular fg; f.g; - donde: f ={(-3,2);(0,0);(2,4);(3,-1);(4,3)}; S g ={(2,0);(3,4);(4,7);(6,2)} Definimos los demonios Df ={-3,0,2,3,4}; Dg ={2,3,4,6} Interseccin de dominios DfnDg ={2,3,4} Operaciones con funciones SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS f +S =t(2,2 +4);(3,-1 +4);(4,3 +4)| ={(2,6);(3,3);(4,7)} f - S ={(2,2-4);(3,1 +4);(4,3-4);} ={(2,-2);(3,5)(4,-1)} f-S={(2,2x4);(3,-1x4);(4,3x4)} ={(2,8);(3,-4);(4,12)} g={ K K 3'4}(4'4)H(22)( 3,'4)(4'4 0 Si: f ={(1,3);(2,6);(4,8);(6,2)}; g ={(l,2);(2,-1);(0,1);(4,5);(7,0)}. Hallar f g; f-S; - s Definimos los demonios: Df ={1,2,4,6} ; Dg ={1,2,0,4,7} Interseccin de dominios Df nDg ={1,2,4} Operaciones con funciones f+g ={(l,3+2);(2,6-1);(4,8+5)}={(l,5);(2,5);(4,13)} f-g =((1,3-2);(2,6 +1);(4,8-5);} = {(1,1);(2,7);(4,3)} f-S={(1,3x2);(2,-1x6)(4,8x5)} ={(l,6);(2,-6);(4,40)} -K*=!>*5 - Si: f ={(1,4)(2,5);(3,6);(4,-6);(5,-5)}; g - {(0,8);(1,3);(2,0)(3,7)}. Hallar f g; f-S; - s ________________ Definimos los demonios Df ={1,2,3,4,5}; Dg ={0,l,2,3,4,5} www edukperuxom SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarios.net rfi - 137. www.solucionarlos,net EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Interseccin de dominios Df n Dg ={1,2,3,4,5} Operaciones con funciones f+g ={(1,4+3);(2,5+0);(3,6+7);(4,-6+0);(5,-5+10)} f +g ={(1,7);(2,5);(3,13);(4,-);(S,5)} f-g ={(1,4-3);(2,5-0);(3,6-7);(4,-6-0);(5,-5-10)} f- S ={(1,1);(2,5);(3,-1);(4,-6);(5,-15)} f.s ={(1,4x3);(2,5x0);(3,6x7);(4,-6x0);(5,-5x10) f.g ={(1,12);(2,0);(3,42);(4,0);(5,-50)} 0 Sean: f ={(2,8);(8.4);(6,9);(4,7);(3,6);(1,5)}; g={(7,1);(3,2);(5,5);(10,5);(1,3)} Hallar f g; f.g; - s Definimos los demonios Df ={2,8,6,4,3,1}; Dg ={7,3,5,10,1} Interseccin de dominios Df nDg ={1,3} Operaciones con funciones f+g ={(1,4 +2);(3,6+2)}={(l,6);(3,8)) f - S = {(1.5-3);(3,6-2)} = {(1,2);(3,4)} SOLUCIONARIO ANLISIS MATEMTICO I www.solucionarlos,net ___i www ediAoeru www.solucionarlos,net f.g ={(1,5x3);(3,6x2)} ={(l,l5);(3,12)} {('DNHKM 0 Sean: f ={(4,1);(6,5);(5,4);(8,3);(9,2); g