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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2018-III

TRIGONOMETRÍA “IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS TRIPLES’’

Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez

ÁNGULOS TRIPLES

Sen3x = 3Senx − 4Sen3x

Cos3x = 4Cos3x − 3Cosx

Tan3x =3Tanx − Tan3x

1 − 3Tan2x

APLICACIÓN 1

1. Simplificar la expresión:

E =Cos3θ − cos3θ

Cosθ

a) 2Sen2θ b) 3Sen2θ c) 2Senθ

d) 4 e) Cos2θ

Formulas especiales: Sen3x = Senx(2Cos2x + 1)

Cos3x = Cosx(2Cos2x − 1)

Tan3x = Tanx (2Cos2x + 1

2Cos2x − 1)

APLICACIÓN 2

2. Calcular ‘‘k’’ en: Sen9°

Sen3°+

Cos9°

Cos3°= 2kCos3k°

a)-1 b) √2 c) 2

d) √2

2 e) ½

Degradación:

4Sen3x = 3Senx − Sen3x

4Cos3x = 3Cosx + Cos3x Propiedades: 4Senx. Sen(60° − x). Sen(60° + x) = Sen3x

4Cosx. Cos(60° − x). Cos(60° + x) = Cos3x

Tanx. Tan(60° − x). Tan(60° + x) = Tan3x

Tanx + Tan(60° − x) + Tan(60° + x) = 3Tan3x

APLICACIÓN 3

3. Calcular el valor de:

E = sen10°sen50°sen70°

a) 1 b) 1/3 c)1/8 d)1/5 e) -1

Observación:

4

1536Cos

4

1518Sen

Triángulo Notable de 18º y 72º

Triángulo Notable de 36º y 54º

4

72º

18º

5 – 1

10+ 2 5

4

36º

5 + 1

10 – 2 5

Semana Nª 10

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

2

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Simplifique la expresión

7𝑠𝑒𝑛3𝜃 + 𝑠𝑒𝑛3𝜃

𝑠𝑒𝑐𝜃(1 − 𝑠𝑒𝑛4𝜃 )

A) 3tan 𝜃 B) 3cot 𝜃 C) – 2tan 𝜃

D)1

3cot 𝜃 E) 3sen 𝜃

2. Simplifique la expresión

𝑠𝑒𝑛23𝐴𝑐𝑠𝑐2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠23𝐴𝑠𝑒𝑐2𝐴 + 2𝑐𝑜𝑠4𝐴 A) 6𝑐𝑜𝑠22𝐴 B) 6cos2A C) 8𝑠𝑒𝑛2𝐴

D) 12senA E) 12𝑐𝑜𝑠22A

3. Calcule el valor de (2𝑠𝑒𝑛

𝜋

18+1

2𝑠𝑒𝑛𝜋

18−1

) 𝑐𝑜𝑡𝜋

18

A) −√3

2 B) −√3 C) 1 D)

√3

2 E) √3

NIVEL INTERMEDIO

4. Si 𝑡𝑎𝑛 (𝛼 +7𝜋

12) = 2 , calcule el valor de

cot3𝛼.

A) 13

11 B)

13

9 C)

11

13 D)

9

13 E)

8

13

5. Determine el equivalente de 12𝑐𝑜𝑠220º𝑠𝑒𝑛20º – 4𝑠𝑒𝑛320º A) 4cos30º B) 4cos40º

C) 2sen20ºcos40º D) √3

2 E) 2

6. Determine el equivalente

de( 1−2𝑐𝑜𝑠12º )( 1−2𝑐𝑜𝑠36º )

( 1+2𝑐𝑜𝑠12º )( 1+2𝑐𝑜𝑠36º )

A) tan12ºcot18º B) cot6ºtan54º C) tan54º D) tan18ºcot12º E) tan6ºcot54º 7. Calcule el valor de la expresión

4(𝑐𝑜𝑠310º + √3𝑠𝑒𝑛310º)

𝑐𝑜𝑠10º + √3𝑠𝑒𝑛10º

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 8. Simplifique la expresión

𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛4𝜃𝑠𝑒𝑛2𝜃

4𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 3

A)1

2𝑐𝑜𝑠2𝜃 B) sen2𝜃 C) cos𝜃

D) sen𝜃 E)1

2𝑠𝑒𝑛2𝜃

9. Simplifique la expresión √√3−6𝑠𝑒𝑛20º

√3+6𝑐𝑜𝑠10º

3

A) 2cos10º B) sen10º C) – cos10º D) – 2sen10º E) cos20º 10. Si 2𝑡𝑎𝑛3𝛼 – 3𝑡𝑎𝑛2𝛼 – 6𝑡𝑎𝑛𝛼 + 1 = 0 calcule el valor de 𝑡𝑎𝑛9𝛼. A) 4,5 B) 5,5 C) 6,5 D) 7,5 E) 8,5 11. Calcule el valor de

√3𝑐𝑜𝑡110º (𝑐𝑜𝑠60º + 2𝑐𝑜𝑠20º) A) – 3/2 B) – 2/3 C) 2/3 D) 3/2 E) 5/3 12. Calcule el valor de csc27º – sec27º

A) 3 − √5 B) √2(3 − √5) C) 3+√5

2

D) 3 + √5 E) 5 + √5 13. Calcule el valor de

𝑠𝑒𝑐80º + 8𝑐𝑜𝑠280º A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 14. Simplifique la expresión (3𝑠𝑒𝑐18º – 4𝑐𝑜𝑠18º)(1 + 𝑐𝑜𝑠36º) A) 2cos36º B) – sen54º C) cos54º D) – 2sen36º E) – 2cos18º 15. Simplifique la expresión 𝑐𝑜𝑠198º𝑡𝑎𝑛(– 66º) – 2𝑠𝑒𝑛66º A) sen66º B) – sen18º C) – sen66º D) sen18º E) cos22º 16. Calcule el valor de la expresión

√3

2+ 3𝑐𝑜𝑠10º

√3

2− 3𝑠𝑒𝑛20º

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

3

A) −𝑐𝑠𝑐340º

8 B) −

𝑐𝑠𝑐310º

8 C) −

𝑐𝑠𝑐320º

8

D) −𝑠𝑒𝑐310º

8 E) −

𝑠𝑒𝑐340º

8

17. Reducir:

sen

3sensen

cos

3coscosk

33

A) 1 B) 2 C) 3

D) 1/3 E) 1/2

18. Reducir:

xcossenx

x3cosx3sen

senxxcos

x3cosx3senR

A) -1 B) -2 C) 1

D) 2 E) 0

19. Si: 20cos420ctg3tg ,

calcular , siendo agudo.

A) /3 B) /6 C) /4

D) /12 E) 5/12

20. Calcular:

13

9cos

13

3cos

13cos

13

9cos

13

3cos

13cos 333

A) 3/4 B) 4/3 C) 1/3

D) 1/4 E) 5/3

21. De la ecuación:

01tg6tg3tg2 23

Calcular: tg6

A) 1/3 B) 2/3 C) 1

D) 4/3 E) 5/3

22. Calcular el valor del cos 111º

A)25

22 B)

125

44 C)

125

22

D) 250

44 E) 125

33

23. Siendo:

3(senx – cosx) – 4(sen3x – cos3x) = n Calcular sen 3x + cos 3x

A)-n B) 2n C) n

D)2

n E)

2

n

24. Dada la siguiente igualdad:

2𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥

Calcular: a + b

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

25. Calcular el valor de la expresión:

𝑀 = 𝑠𝑒𝑛 70º. (4𝑐𝑜𝑠220º − 3)

A) 2

1 B) 3

1 C) 4

1

D) 2

1 E)

4

1

26. Simplificar la expresión:

1xcossenx

x3cosx3senE

A) –sen2x B) sen2x

C) 2sen2x D) –2sen2x E) 3sen2x

27. Si: 4

3tgx ; x es agudo

Calcular: cos3x

A) 25

44 B) 125

44 C) 125

44

D) 25

44 E)

11

44

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

4

28. Simplificar la expresión:

)1x18cos2)(1x6cos2)(1x2cos2(

)1x18cos2)(1x6cos2)(1x2cos2(M

A) 𝑡𝑔 6𝑥

𝑡𝑔𝑥 B)

𝑡𝑔 30𝑥

𝑡𝑔𝑥

C) 𝑡𝑔 27𝑥

𝑡𝑔𝑥 D)

𝑡𝑔 9𝑥

𝑡𝑔𝑥 E)

𝑡𝑔 18𝑥

𝑡𝑔𝑥

29. Si para un ángulo agudo " " se

cumple:

Calcular: " ".

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

30. Si: .

Calcular: "sen3x".

A) B) C)

D) E) 31. Calcular el máximo valor de:

K = Senx (3 - 4sen2x) A) ¼ B) ½ C) 1

D) E) 32. Calcular el mínimo valor de:

L = Cosx(4Cos2x - 3)

A) -½ B) C) -¼

D) E) -1 33. Reduzca la expresión

𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥

sen2x

A) −3

2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 B)

3

2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 C)

3

2 𝐶𝑜𝑠 𝑥

D) −3

2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 E) −𝑠𝑒𝑛 3𝑥

34. Si 9𝑠𝑒𝑛2𝑥 – 24𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 16𝑠𝑒𝑛6𝑥 = 𝑛,

Calcule 𝑐𝑜𝑠23𝑥 A) 1 – 𝑛2 B) 1+n C) 𝑛2 – 1 D) 1 – n E) – 𝑛2 35. De la siguiente identidad

𝐶𝑜𝑠3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝐴 − 𝐵senBx

calcule A+B. A) 1 B) 0 C) – 1 D) 2 E) 3

36. Si 𝑡𝑎𝑛(60º − 𝑥) =1

3 ,

Calcule tan3x.

A) −13

9 B)

13

9 C)

9

13 D) –

9

13 E)

5

13

37. De la igualdad

4𝑡𝑎𝑛3𝑥 – 3𝑡𝑎𝑛2𝑥 – 12𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1 = 0, Calcule 4sen3x – cos3x A) 3 B) – 3 C) 2 D) 1 E) 0

38. Reduzca la expresión

3 − (tan20º +tan40º )

A) cot80º B) tan80º C) √3 tan80º

D) 3cot80º E) √3

39. Tenemos un triángulo con ángulos

interiores α; 2α; 2α y lados b; a; a.

Entonces el valor de a/b es:

A) √5 B) 2(√5 −1) C) 1+ √5

2 D) √2 E) √2 +1

40. Simplifique la siguiente expresión

𝑆𝑒𝑛3𝑥

𝑠𝑒𝑛3𝑥−

𝐶𝑜𝑠3𝑥

𝐶𝑜𝑠3𝑥+

1

2

A) 3sen2x · csc6x B) – 3sen2x · csc6x

C) 3

2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ⋅ 𝑐𝑠𝑐6𝑥

D) −3

2𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑠𝑐6𝑥

E) – sen2x · csc6x

316cos 3sen 4cos3

tg

2senx 3cosx

3

15

19

12

13

23

27

19

25

9

14

2

2

3

2

2

2

3

2