DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL ESTADISTICA INFERENCIAL I Presentan.JAVIER GUERRERO RAMOSCatedrático.M.C. MOISES MUÑOZ DIAZ  Aguascalientes, Ags., 26 de Noviembre de 2015

UNIDAD 4PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS

4.1 BONDA DE AJUSTELa bondad de ajuste de  un modelo  estadístico describe  lo  bien  que  se  ajusta  un  conjunto  de observaciones.  Las  medidas  de  bondad  en  general,  resumen  la  discrepancia  entre  los  valores observados y los k valores esperados en el modelo de estudio. 

4.1.1 ANALISIS Ji CUADRADA Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.

La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.

El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).

El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).

Supongamos que tenemos un número k de clases en las cuales se han ido registrado un total de n observaciones (n será pues el  tamaño muestral). Denotaremos  las  frecuencias observadas en cada clase por O1, O2, ..., O k (Oi es el número de valores en la clase Ai ). Se cumplirá: O1 + O2 +  ...  +  O  k  =  n  Lo  que  queremos  es  comparar  las  frecuencias  observadas  con  las  frecuencias esperadas (teóricas), a las que denotaremos por E1, E2, ..., E k . Se cumplirá: E1 + E2 + ... + E k = n FRECUENCIA OBSERVADA FRECUENCIA ESPERADA CLASE 1 O1 E1 CLASE 2 O2 E2 ... ... ... CLASE K OK EK Total n;N .

Se tratará ahora de decidir si las frecuencias observadas están o no en concordancia con las frecuencias esperadas (es decir, si el número de resultados observados en cada clase corresponde  aproximadamente  al  número  esperado).  Para  comprobarlo,  haremos uso de un contraste de hipótesis usando la distribución Chi-cuadrado: 

El estadístico de contraste será 

Observar que este valor será la suma de k números no negativos. El numerador de cada término  es  la  diferencia  entre  la  frecuencia  observada  y  la  frecuencia  esperada.  Por tanto, cuanto más cerca estén entre sí ambos valores más pequeño será el numerador, y viceversa. El denominador permite relativizar el tamaño del numerador. 

k

1ii

2

ii2

EEO

(1)El  valor del  estadístico    χ2  se podrá aproximar por una distribución Chi-cuadrado cuando el tamaño muestral n sea grande (n > 30), y todas las frecuencias esperadas sean iguales o mayores a 5 (en ocasiones deberemos agrupar varias categorías a fin de que se cumpla este requisito).

(2)Las  observaciones  son  obtenidas  mediante  muestreo  aleatorio  a  partir  de  una población particionada en categorías. 

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

4.1.2 PRUEBA DE INDEPENDENCIA

El  objetivo  es verificar si  existe  una  dependencia  entre  las  variables cualitativas  que definen filas y columnas, es decir, si para todo i = 1,  ..., k  y  j = 1,  .., m se verifica que  la probabilidad  del  resultado  correspondiente  a  la  combinación Ai ∩ Bj  es  el producto de las  probabilidades marginales  correspondientes. P(Ai) es  la  probabilidad  del  resultado  i para la variable fila y P(Bj) la del resultado j para la variable columna.

Cuando  cada individuo de  la  población  a  estudio  se  puede  clasificar  según  dos  criterios  A  y  B, admitiendo  el  primero  a  posibilidades  diferentes  y  b  el  segundo,  la  representación  de  las frecuencias observadas en forma de una matriz a x b recibe el nombre de Tabla de contingencia. Los datos se disponen de la forma

La hipótesis nula  a  contrastar  admite  que  ambos  caracteres,  A  y  B,  se  presentan  de  forma independiente  en  los  individuos  de  la  población  de  la  cual  se  extrae  la  muestra;  siendo  la alternativa  la  dependencia  estocástica  entre  ambos  caracteres.  La  realización  de  esta  prueba requiere el cálculo del estadístico

Ejemplo de AplicaciónEn un estudio para determinar si existe relación entre el sexo y el propósito de elegir una carrera técnica se entrevistaron a 120 aspirantes a la universidad. Los resultados se observan en la siguiente tabla de contingencia:

SexoAspira a Carrera Técnica

TotalSi No

Masculino 40 30 70Femenino 10 40 50

Total 50 50 120

Se aplicará la fórmula para encontrar χ2χ2 = (120(40x40 – 10x30)2)/70x50x50x70 = 16,56

4.1.3 PRUEBA DE LA BONDAD DE AJUSTE

Prueba de Bondad de Ajuste, consiste en determinar si los datos de cierta muestra corresponden a  cierta distribución poblacional.  En este  caso es necesario que  los valores de  la variable en  la muestra y sobre  la cual queremos realizar  la  inferencia esté dividida en clases de ocurrencia, o equivalentemente, sea cual sea la variable de estudio, deberemos categorizar los datos asignado sus valores a diferentes clases o grupos. 

Metodología  útil  para  validar  las  hipótesis  sobre  la  distribución  teórica  en  la  población  que  se realiza  en  la  estadística  paramétrica,  i.e.,  contrastes  de  hipótesis,  intervalos  de  confianza, regresión lineal, etc. 

La prueba Ji cuadrada hace uso de la distribución del mismo nombre para probar la bondad del ajuste al comparar el estadístico de prueba Xo2 con el valor en tablas de la mencionada distribución Ji cuadrada con v grados de libertad y un nivel de significancia alfa. 

8.223 0.836 2.634 4.778 0.406 0.517 2.330 2.563 0.511 6.4262.230 3.810 1.624 1.507 2.343 1.458 0.774 0.023 0.225 3.2142.920 0.968 0.333 4.025 0.538 0.234 3.323 3.334 2.325 7.5140.761 4.490 1.514 1.064 5.088 1.401 0.294 3.491 2.921 0.3341.064 0.186 2.782 3.246 5.587 0.685 1.725 1.267 1.702 1.849

La siguiente muestra de tamaño 50 ha sido obtenida de una población que registra la vida útil (en unidades de tiempo) de baterías alcalinas tipo AAA. Pruébese la hipótesis nula de que la variable aleatoria vida útil de las baterías sigue una distribución exponencial negativa. Considérese un nivel de significancia alfa de 5%.

k Clase FO absoluta FO relativa1 0.0 - 1.15 21 0.422 1.15 - 3.0 15 0.303 3.0 - 4.5 8 0.164 4.5 - 6.0 3 0.065 6.0 - 7.5 1 0.026 7.5 - 9.0 2 0.04

SOLUCIÓN. Calculamos los valores min = 0.023 y max = 8.223. Resultando ser el rango o recorrido igual a 8.2. El valor promedio es de 2.3. A continuación ordenamos los valores de manera ascendente y construimos el histograma de frecuencias relativas con seis clases cada una de longitud 1.5. (esto es debido a que 8.2 / 6 = 1.3) 

k Clase FO absoluta FO relativa1 0.0 - 1.15 21 0.422 1.15 - 3.0 15 0.303 3.0 - 4.5 8 0.164 4.5 - 9.0 6 0.12

Re – agrupamos las clases de modo que la FO sea de al menos 5 

k Clase FO relativa FE teórica (FO-FE)2FE1 0.0 - 1.5 0.42 0.528 0.0222 1.5 - 3.0 0.30 0.249 0.0103 3.0 - 4.5 0.16 0.118 0.0154 4.5 - 9.0 0.12 0.105 0.002

Como nuestra hipótesis nula es que los datos se ajustan a la función de probabilidad exponencial negativa, emplearemos tal función para calcular mediante integración el porcentaje de probabilidad esperado para cada subintervalo.

Ya vimos que el valor promedio es de 2.3, sin embargo para fines prácticos lo consideraremos como 2.0. El cálculo de la integral para la primer clase es:

Entonces se tiene el valor

Como vemos el valor calculado es menor que el valor tabulado, por tanto la conclusión es que no se puede rechazar la hipótesis nula de que la muestra proviene de una distribución exponencial con media 2.0.

Ahora compararemos este valor calculado contra el valor tabulado de la distribución Ji – cuadrada con un nivel de significancia alfa de 5% y el número de grados de libertad

V = (k –1) – 1 = (4 –1) –1 = 2. Entonces

4.1.4 TABLAS DE CONTINGENCIA

Diestro Zurdo TOTALHombre 43 9 52Mujer 44 4 48TOTAL 87 13 100

En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la asociación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales).

Suponga que se dispone de dos variables, la primera el genero(hombre o mujer) y la segunda recoge si el individuo es zurdo o diestro. Se ha observado esta pareja de variables en una muestra aleatoria de 100 individuos. Se puede emplear una tabla de contingencia para expresar la relación entre estas dos variables: Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total. La tabla nos permite ver de un vistazo que la proporción de hombres diestros es aproximadamente igual a la proporción de mujeres diestras. Sin embargo, ambas proporciones no son idénticas y la significación estadística de la diferencia entre ellas puede ser evaluada con la prueba χ² de Pearson, supuesto que las cifras de la tabla son una muestra aleatoria de una población. Si la proporción de individuos en cada columna varía entre las diversas filas y viceversa, se dice que existe asociación entre las dos variables. Si no existe asociación se dice que ambas variables son independientes.

φ =  ,

4.1.5 USO DEL SOFTWARE ESTADISTICOUn paquete  estadístico es  un programa  informático que  está  especialmente  diseñado  para resolver problemas en el área de la estadística, o bien está programado para resolver problemas de esta área. Existen muchos programas que no son especialmente estadísticos pero que pueden hacer  algunos  cálculos  aplicables  en estadística  aplicada.  Estos  programas  han  impulsado  y siguen impulsando enormemente la labor de los investigadores que desean utilizar la estadística como apoyo en su trabajo.

Los  paquetes  más  sencillos  tienen interfaz  por  ventanas,  lo  que  implica  facilidad  de  uso  y aprendizaje  pero  un  mayor  encorsetamiento  a  la  hora  de  hacer  cálculos  que  el  programa  no tenga  predefinidos.  Los  programas  más  complejos  suelen  tener  la  necesidad  de  conocer su lenguaje  de  programación,  pero  suelen  ser mucho más  flexibles  al  poderse  incluir  en  ellos funciones, tests o contrastes que no traen instalados por definición.

VENTAJAS

La potencia de cálculo de un ordenador puede ayudar a un investigador a realizar cientos o miles de contrastes  de  hipótesis en  un  tiempo  muy  reducido.  Asimismo  puede  calcular  decenas  de modelos  de  regresión  en  un  tiempo muy  corto  y  después  quedarse  con  el más  apropiado  de ellos. En problemas de investigación de operaciones un programa estadístico es capaz de realizar miles de iteraciones por segundo de un algoritmo en el que una persona tardaría varios minutos en  cada  una  de  ellas.  Asimismo,  es  capaz  de  elegir  entre miles  de  resultados  posibles  cuál  de todos  ellos  es  el  óptimo.  Básicamente,  lo  que  permiten  es  resolver  problemas  de estadística aplicada por fuerza bruta o por probar miles de combinaciones para quedarse finalmente con la que se crea que es la mejor para el uso

INCONVENIENTES

En  los  programas más  complejos  se  necesita  tener  conocimientos  de programación,  así  como para realizar  los cálculos más  laboriosos. Por ejemplo si se desea realizar una operación dada a una columna concreta, lo más frecuente es que se pueda hacer esto por ventanas, sin embargo, si deseamos hacer esto mismo para todas las columnas de nuestro documento, que pueden ser centenares, es posible que necesitemos programar un bucle en la sintaxis del programa.

Otro  inconveniente  está  en  que  en  estadística  a  menudo  nos  pueden  salir  resultados contradictorios  entre  tests  distintos.  Un  programa  informático  se  dará  cuenta  de  ello  y  nos avisará de algún modo, pero tendrá que ser el usuario el que decida a cuál de los test hacer caso, y esto en ocasiones es complejo, sobre todo si no se está familiarizado a fondo con la estadística o se tiene poca experiencia.

PAQUETES ESTADISTICOS MAS COMUNES  R  SAS  SPSS  Epi Info 7  SPAD  Stata  Statgraphics  Redatam  Minitab  Matlab  S-PLUS  LISREL  WinQSB  Excel  PSPP

4.2 PRUEBAS NO PARAMETRICASCuando  se  analizan  datos  medidos  por  una  variable  cuantitativa  continua,  las  pruebas estadísticas de estimación y contraste frecuentemente empleadas se basan en suponer que se ha obtenido una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad de tipo normal o de Gauss. Pero en muchas ocasiones esta suposición no resulta válida, y en otras la sospecha de que no sea adecuada  no  resulta  fácil  de  comprobar,  por  tratarse  de  muestras  pequeñas.  En  estos  casos disponemos  de  dos  posibles mecanismos:  los  datos  se  pueden transformar de  tal manera  que sigan una distribución normal, o bien se puede acudir a pruebas estadísticas que no se basan en ninguna  suposición  en  cuanto  a  la  distribución  de  probabilidad  a  partir  de  la  que  fueron obtenidos los datos, y por ello se denominan pruebas no paramétricas, mientras que las pruebas que  suponen  una  distribución  de  probabilidad  determinada  para  los  datos  se  denominan pruebas paramétricas.

4.2.1 ESCALA DE MEDICIONEl nivel  de  medida de  una variable en matemáticas y estadísticas,  también  llamado escala  de medición,  es  una  clasificación  acordada  con  el  fin  de  describir  la  naturaleza  de  la  información contenida dentro de los números asignados a los objetos y, por lo tanto, dentro de una variable. Según la teoría de las escalas de medida, varias operaciones matemáticas diferentes son posibles dependiendo del nivel en el cual la variable se mide.

son una sucesión de medidas que permiten organizar datos en orden jerárquico. Las escalas de medición,  pueden  ser  clasificadas  de  acuerdo  a  una  degradación  de  las  características  de  las variables.  Estas  escalas  son:  nominales,  ordinales,  intervalares  (continua)  o  racionales.  Según pasa  de  una  escala  a  otra  el  atributo  o  la  cualidad  aumenta.  Las  escalas  de medición  ofrecen información  sobre  la  clasificación  de  variables  discretas  o  continuas,  también  más  conocidas como  escalas  grandes  o  pequeñas.  Toda  vez  que  dicha  clasificación  determina  la  selección  de la gráfica adecuada.

ESCALA NOMINAL

No poseen propiedades cuantitativas y sirven únicamente para identificar las clases. Los datos empleados con las escalas nominales constan generalmente de la frecuencia de los valores o de la tabulación de número de casos en cada clase, según la variable que se está estudiando. El nivel nominal permite mencionar similitudes y diferencias entre los casos particulares. Los datos evaluados en una escala nominal se llaman también "observaciones cualitativas", debido a que describen la calidad de una persona o cosa estudiada, u "observaciones categóricas" porque los valores se agrupan en categorías. 

ESCALA ORDINAL

Las clases en las escalas ordinales no solo se diferencian unas de otras (característica que define a las escalas nominales) sino que mantiene una especie de relación entre sí. También permite asignar un lugar específico a cada objeto de un mismo conjunto, de acuerdo con la intensidad, fuerza, etc.; presentes en el momento de la medición. Una característica importante de la escala ordinal es el hecho de que, aunque hay orden entre las categorías, la diferencia entre dos categorías adyacentes no es la misma en toda la extensión de la escala. Algunas escalas consisten en calificaciones de múltiples factores que se agregan después para llegar a un índice general.

ESCALA DE INTERVALO

Refleja distancias equivalentes entre los objetos y en la propia escala. Es decir, el uso de ésta escala permite indicar exactamente la separación entre 2 puntos, lo cual, de acuerdo al principio de isomorfismos, se traduce en la certeza de que los objetos así medidos están igualmente separados a la distancia o magnitud expresada en la escala.

ESCALA DE RAZÓN

Constituye el nivel óptimo de medición, posee un cero verdadero como origen, también denominada escala de proporciones. La existencia de un cero, natural y absoluto, significa la posibilidad de que el objeto estudiado carezca de propiedad medida, además de permitir todas las operaciones aritméticas y el uso de números representada cantidades reales de la propiedad medida.

4.2.2 METODOS ESTADISTICOS CONTRA NO PARAMETRICOSLa estadística  no  paramétrica es  una  rama  de  la estadística que  estudia  las  pruebas  y modelos estadísticos cuya distribución subyacente no se ajusta a  los  llamados criterios paramétricos. Su distribución no puede ser definida a priori, pues son los datos observados los que la determinan. La utilización de estos métodos se hace recomendable cuando no se puede asumir que los datos se  ajusten  a  una  distribución  conocida,  cuando  el  nivel  de medida empleado  no  sea,  como mínimo, de intervalo.

  Prueba χ² de Pearson  Prueba binomial  Prueba de Anderson-Darling  Prueba de Cochran  Prueba de Cohen kappa  Prueba de Fisher  Prueba de Friedman  Prueba de Kendall  Prueba de Kolmogórov-Smirnov  Prueba de Kruskal-Wallis  Prueba de Kuiper  Prueba de Mann-Whitney o prueba de Wilcoxon  Prueba de McNemar  Prueba de la mediana  Prueba de Siegel-Tukey  Prueba de los signos  Coeficiente de correlación de Spearman  Tablas de contingencia  Prueba de Wald-Wolfowitz  Prueba de los rangos con signo de Wilcoxon

La mayoría de estos test estadísticos están programados en los paquetes estadísticos más frecuentes, quedando para el investigador, simplemente, la tarea de decidir por cuál de todos ellos guiarse o qué hacer en caso de que dos test nos den resultados opuestos. Hay que decir que, para poder aplicar cada uno existen diversas hipótesis nulas y condiciones que deben cumplir nuestros datos para que los resultados de aplicar el test sean fiables

4.2.3 PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOVEn estadística,  la  prueba  de Kolmogórov-Smirnov (también  prueba K-S)  es  una prueba no paramétrica que  se  utiliza  para  determinar  la  bondad  de  ajuste  de  dos distribuciones  de probabilidad entre sí.

Mediante la prueba se compara la distribución acumulada de las frecuencias teóricas (ft) con la distribución  acumulada  de  las  frecuencias  observadas    (fobs),  se  encuentra  el  punto  de divergencia  máxima  y  se  determina  qué  probabilidad  existe  de  que  una  diferencia  de  esa magnitud se deba al azar.

Pasos:1.Calcular las frecuencias esperadas de la distribución teórica específica por considerar para determinado número de clases, en un arreglo de rangos de menor a mayor.2.Arreglar estos valores teóricos en frecuencias acumuladas.3.Arreglar acumulativamente las frecuencias observadas.4.Aplicar la ecuación D = ft - f obs, donde D es la máxima discrepancia de ambas.5.Comparar el valor estadístico D de Kolmogorov-Smirnov en la tabla de valores críticos de D.6.Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.Ecuación:D = ft - fobsEn esta ecuación se aprecia que el procedimiento es muy simple y quizá lo que parezca más complicado corresponde al cálculo de la frecuencia esperada de cada tipo de distribución teórica. Por lo tanto, en la marcha de los ejercicios se presentará cada uno de ellos y la manera de aplicar la prueba estadística. 

Ejemplo:En una investigación, consistente en medir la talla de 100 niños de 5 años de edad, se desea saber si las observaciones provienen de una población normal.

Planteamiento de la hipótesis.

Hipótesis alterna (Ha). Los valores observados de las frecuencias para cada clase son diferentes de las frecuencias teóricas de una distribución normal.

Hipótesis nula (Ho). Las diferencias entre los valores observados y los teóricos de la distribución normal se deben al azar.

Nivel de significanciaPara todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Zona de rechazo.Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Tabla de 100 niños. Los valores X + s son 99.2 ± 2.85.

Para cada valor Z, se localiza el área de la curva tipificada de la tabla de números aleatorios. A partir de estos valores, se obtiene la diferencia entre los límites de clases entre el superior y el inferior, por ejemplo: 0.4997 - 0.4793 = 0.020, 0.4793 - 0.2357 = 0.2436, 0.2357 - (-0.2794) = 0.5151, -0.2794 - (-0.4854) = 0.206 y -0.4854 - (-0.4994) = 0.014.

Estos resultados de diferencias se multiplican por el tamaño de la muestra (100 niños), luego se obtienen las frecuencias teóricas y después se arreglan en frecuencias acumuladas.

Aplicación de la prueba estadística.Primero se elaboran los cálculos de los valores teóricos esperados para la distribución normal.Inicialmente se determina el valor Z de los límites de cada clase en la serie, por ejemplo: en la primera clase se determinan el límite inferior y el superior (90 y 93), y en las subsecuentes sólo los límites superiores (97, 101, 105 y 109). Para cada valor de Z, se localiza el área bajo la curva norma tipificada. Los cálculos de valores Z, son de la forma siguiente:

Y así sucesivamente.

Las frecuencias acumuladas teóricas y las observadas se arreglan en los rangos correspondientes, como se muestra en la siguiente tabla, y posteriormente se aplica la fórmula de Kolmogorov-Smirnov.

Cálculo estadístico D de Kolmogorov-Smirnov.

Cálculos de los valores teóricos.

D = ft - fobs = - 0.036

La diferencia máxima D es igual a -0.049, valor que se compara con los valores críticos de D en la prueba muestral de Kolmogorov-Smirnov y se obtiene la probabilidad de la existencia de esa magnitud de acuerdo con la prueba de Kolmogorov-Smirnov. El valor N es 100 y el mayor número de N en la tabla es 35, por lo cual se aplica la fórmula al pie de la tabla:

Lo anterior quiere decir que para todo valor menor que el crítico para una probabilidad de 0.05, la probabilidad correspondiente es mayor que 0.05, y todo valor mayor que D al calculado tinen una probabilidad menor que 0.05, o sea, es inversamente proporcional al crítico determinado o localizado en la tabla.

Decisión.En virtud de lo anterior, el estadístico de Kolmogorov-Smirnov obtendo es menor que el crítico y su probabilidad mayor que 0.05, por lo tanto, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretación.Las frecuencias observadas y las teóricas calculadas no difieren significativamente. Por lo tanto, las observaciones tienen una distribución normal.

 

4.2.4 PRUEBA DE ANDERSON- DARLING

La prueba de Anderson-Darling es una prueba no paramétrica sobre si los datos de una muestra provienen de una distribución específica. La fórmula para el estadístico A determina si los datos                                     vienen de una distribución con función acumulativa F.

La prueba de Anderson-Darling es una prueba estadística que permite determinar si una  muestra  de  datos  se  extrae  de  una  distribución  de  probabilidad.  En  su  forma básica, la prueba asume que no existen parámetros a estimar en la distribución que se está probando, en  cuyo  caso  la prueba y  su  conjunto de valores  críticos  siguen una distribución libre. 

El estadístico de Anderson-Darling mide qué tan bien siguen los datos una distribución específica. Para un conjunto de datos y una distribución específicos, mientras mejor se ajuste la distribución a los datos, menor será este estadístico. Por ejemplo, puede utilizar el estadístico de Anderson-Darling para determinar si los datos cumplen el supuesto de normalidad para una prueba t.

Las hipótesis para la prueba de Anderson-Darling son:

H0: Los datos siguen una distribución especificada

H1: Los datos no siguen una distribución especificada

Utilice  el  valor  p  correspondiente  (si  está  disponible)  para  probar  si  los  datos  provienen  de  la distribución elegida. Si el valor p es menor que un nivel de significancia elegido (por  lo general 0.05 ó 0.10), entonces rechace la hipótesis nula de que los datos provienen de esa distribución. Minitab  no  siempre  muestra  un  valor  p  para  la  prueba  de  Anderson-Darling,  porque  éste  no existe matemáticamente para ciertos casos.

También  puede  utilizar  el  estadístico  de  Anderson-Darling  para  comparar  el  ajuste  de  varias distribuciones  con  el  fin  de  determinar  cuál  es  la  mejor.  Sin  embargo,  para  concluir  que  una distribución es la mejor, el estadístico de Anderson-Darling debe ser sustancialmente menor que los demás. Cuando  los estadísticos están cercanos entre sí,  se deben usar criterios adicionales, como gráficas de probabilidad, para elegir entre ellos.

Distribución Anderson-Darling Valor pExponencial 9.599 p < 0.003Normal 0.641 p < 0.089Weibull de 3 parámetros

0.376 p < 0.432

Exponencial                              Normal  Weibull de 3 parámetros

Ejemplo de comparación de distribuciones

Estas gráficas de probabilidad son para  los mismos datos. Tanto  la distribución normal como  la distribución de Weibull de 3 parámetros ofrecen un ajuste adecuado a los datos.

Minitab  calcula  el  estadístico  de  Anderson-Darling  usando  la  distancia  al  cuadrado  ponderada entre  la  línea  de  ajustada  de  la  gráfica  de  probabilidad  (con  base  en  la  distribución  elegida  y usando  el  método  de  estimación  de  máxima  verosimilitud  o  las  estimaciones  de  mínimos cuadrados) y la función escalonada no paramétrica. El cálculo se pondera más fuertemente en las colas de la distribución.

4.2.5 PRUEBA DE RYAN-JOINER

Esta prueba evalúa la normalidad calculando la correlación entre los datos y las puntuaciones normales de los datos. Si el coeficiente de correlación se encuentra cerca de 1, es probable que la población sea normal. El estadístico de Ryan-Joiner evalúa la fuerza de esta correlación; si se encuentra por debajo del valor crítico apropiado, usted rechazará la hipótesis nula de normalidad en la población. Esta prueba es similar a la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk.

Ejemplo:

En el método de Anderson Darling o Ryan Joiner, si el valor de probabilidad Pde la prueba es mayor a 0.05, se considera que los datos son normales. Seguir los siguientes pasos:Generar 100 datos aleatorios en

Minitab

con Media = 264.6 y Desviaciónestándar S = 32.02 con:1. Calc > Random data > Normal2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estandar deviation 32.02OK.Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba deAnderson Darling o Ryanjoiner como sigue.1.Stat > Basic statistics > Normality Test2.Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK .El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyannormalmente

4.2.6 PRUEBA DE SHAPIRO-WILKEn estadística,  la prueba de  Shapiro–Wilk se usa para contrastar  la normalidad de un conjunto de  datos.  Se  plantea  como hipótesis  nula que  una muestra x1,  ..., xn proviene  de  una población normalmente distribuida. Fue publicado en 1965 por Samuel Shapiro y Martin Wilk. Se considera uno  de  los  test  más  potentes  para  el  contraste  de  normalidad,  sobre  todo  para  muestras pequeñas (n<30).

Con los datos correspondientes a la variable Trans de la encuesta  y con referencia a los encuestados que viven en Barcelona, se quiere comprobar si su distribución en cuanto al tipo de transporte utilizado se adapta a los resultados de un estudio realizado por el Ayuntamiento de Barcelona, que son los siguientes: el 40% de los desplazamientos al trabajo se realizan en metro; el 30% en autobús; el 20% en transporte privado y 10% otros medios.La distribución de frecuencias de la variable Trans es:

En este caso para realizar el contraste Chi-cuadrado es necesario definir las cuatro categorías contempladas en la hipótesis nula. Para ello, se crea una nueva variable, Trans2, a partir de Trans con las siguientes categorías: Metro, Bus, Privado (que resultará de agregar Coche y Moto) y Otros (que agrupará Tren y Otros).Una vez creada la nueva variable, con la secuencia Analizar > Pruebas no paramétricas > Chi-cuadrado se llega al cuadro de diálogo en donde se selecciona la variable Trans2 y se introduce en Valores esperados las frecuencias relativas de cada categoría según la hipótesis nula correctamente ordenadas: 0,4 para la categoría 1; 0,3 para la 2; 0,2 para la 3 y 0,10 para la 4. Al aceptar se obtienen los siguientes resultados:

Como todas las categorías presentan frecuencia esperada mayor que 5 se puede aplicar el contraste Chi-cuadrado sin modificar el número de categorías. El valor del estadístico Chi-cuadrado permite rechazar la hipótesis nula para niveles de significación superiores al 2,7%. Así pues, al 5% de significación se llega a la conclusión de que la distribución del tipo de transporte que utilizan los alumnos no se adapta a la publicada por el ayuntamiento.

 

4.2.7 APLICACIONES DEL PAQUETE COMPUTACIONALUn Paquete Estadístico es un conjunto de programas y subprogramas conectados de manera que funcionan de manera conjunta; es decir, para pasar de uno a otro no se necesita salir del programa y volver a él. Un paquete estadístico permite aplicar a un mismo fichero de datos un conjunto ilimitado de procedimientos estadísticos de manera sincronizada, sin salir del programa. 

La simulación es un ejemplo de cómo utilizar el computador en la estadística aplicada. Existen software que simulan sistemas físicos, sociales o empresariales. Uno de las más sencillos y conocidos trata de simular la toma de decisiones en diversos escenarios y analizar sus resultados en un entorno competitivo. 

Paradójicamente, el uso de la computadora ha generado nuevos problemas. Uno de ellos es que se corre el riesgo de desarrollar análisis que constituyen sólo un ejercicio de uso de software, sin dedicar el suficiente tiempo a analizar la coherencia y lógica detrás de los mismos.

Algunos ejemplos son:

Determinar medias y desviaciones estándar de variables con escala nominal, debido a que en la tabla de datos figuran códigos numéricos de las distintas categorías.

Calcular la media y el desvío estándar de los números que identifican cada formulario.

Asignar un número a cada individuo según el orden que ocupa, y concluir que su distribución es simétrica.

Podemos decir que los Paquetes Estadísticos son muy útiles al momento de hacer cálculos estadísticos pero, los usuarios que sólo se aproximan circunstancialmente a problemas de tipo estadístico y que sólo buscan soluciones poco sofisticadas y puntuales deben reexaminar las rutinas estadísticas de cualquier hoja de cálculo.