MEKANIKA LAGRANGE

SISTEM KONSTRAIN DALAM KOORDINAT UMUM

Posisi dari masing-masing N partikel

Koordinat umum posisi

Artinya, posisi dari masing-masing partikel dalam koordinat umum kita ganti dengan

Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel Ketika jumlah derajat kebebasan untuk partikel bebas < 3N , maka sIstem tersebut disebut KONSTRAIN

Dimana dalam koordinat umum, jumlah derajat kebebasan = jumlah koordinat umum

Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat umum lebih mudah diungkapkan dengan menggunakan Koordinat Kartesius :

1 Derajat Kebebasan

Gerak Pada Kurva 𝑥=𝑥 (𝑞)

2 Derajat Kebebasan

Gerak Pada

Permukaan

𝑥=𝑥 (𝑞1 ,𝑞2)3 Derajat

KebebasanGerak Pada

Ruang 𝑥=𝑥 (𝑞1 ,𝑞2 ,𝑞3)

𝑚1

𝑚2

𝑥1 , 𝑦1∅ 1

∅ 2

𝑥2, 𝑦 2

Perhatikan sistem bandul dengan dua massa dibawah ini.

Kita memiliki dua partikel dengan empat koordinat (), tetapi memiliki dua koordinat umum dan

Koordinat umum dan tidak saling bergantung atau bebas yang disebut HOLONOMIK.

4 koordinat

2 koordinat umum

PENURUNANPERSAMAAN LAGRANGE (L)

LKoordinat

umumKoordinatkecepatan

dapat ditulis menjadi L Dengan : =

L= T - V

PENURUNANPERSAMAAN LAGRANGE (L)

Untuk dapat menurunkan fungsi lagrange, perhatikan ilustrasi berikut

𝑡 2

𝑡1

∫𝑡 1

𝑡 2

𝐿𝑑𝑡 𝛿∫𝑡1

𝑡2

𝐿𝑑𝑡=0

∫𝑡 1

𝑡 2

(𝜕𝐿𝜕𝑞 𝛿𝑞+𝜕𝐿𝜕�̇� 𝛿 �̇�)𝑑𝑡=0

∫𝑡 1

𝑡 2

(𝜕𝐿𝜕𝑞 𝛿𝑞+𝜕𝐿𝜕�̇� ( 𝑑𝑑𝑡 𝛿𝑞))𝑑𝑡=0 = maka

∫𝑡 1

𝑡 2

(𝜕𝐿𝜕𝑞 𝛿𝑞+𝜕𝐿𝜕�̇� ( 𝑑𝑑𝑡 𝛿𝑞))𝑑𝑡=0

Ruas sebelah kanan dapat diubah menjadi

∫𝑡 1

𝑡 2

(𝜕𝐿𝜕𝑞 𝛿𝑞+𝑑𝑑𝑡 (𝜕𝐿𝜕�̇� 𝛿𝑞)− 𝛿𝑞 𝑑

𝑑𝑡 (𝜕𝐿𝜕�̇� ))𝑑𝑡=0∫𝑡 1

𝑡 2

([𝜕𝐿𝜕𝑞 − 𝑑𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿𝜕�̇� )]𝛿𝑞)𝑑𝑡+∫𝑡1

𝑡2 𝑑𝑑𝑡 (𝜕𝐿𝜕�̇� 𝛿𝑞)𝑑𝑡=0

Integral sebelah kanan dapat diselesaikan

∫𝑡 1

𝑡 2 𝑑𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿𝜕�̇� 𝛿𝑞)𝑑𝑡=𝜕𝐿

𝜕�̇� 𝛿𝑞𝑡 2𝑡1

=0 ,𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎𝑡 1≠ 𝑡2

∫𝑡 1

𝑡 2

([𝜕𝐿𝜕𝑞 − 𝑑𝑑𝑡 (𝜕𝐿𝜕�̇� )]𝛿𝑞)𝑑𝑡=0

Jika = Persamaan EULER LAGRANGE

Untuk sistem n banyak partikel,Maka persamaan Euler Lagrage dinyatakan

= Untuk 1 ≤ k ≤ n

FUNGSI LAGRANGE

Fungsi lagrange merupakan selisih antara energi kinetik dengan energi potesial

L= T - VProsedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem menggunakan Persamaan Lagrange adalah sebagai berikut :

• Pilih koordinat yang sesuai untuk menyatakan konfigurasi sistem.• Cari energy kinetik T sesuai fungsi waktu.• Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinat umum.• Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan Lagrange.

CONTOH SOAL

m1

m2

𝑥1𝑥2

Dengan,

Energi Kinetik

T = ½

Karena

T = ½

Energi Potensial

V = -m1.g.x1 m2.g.x2

= -m1.g.x1 – m2.g.( - x1)

= -m1.g.x1 + m2.g.x1 – m2.g.

Persamaan Lagrange

L = T - V = ½ - (-m1.g.x1 + m2.g.x1 – m2.g.)

𝑑𝐿𝑑𝑞=

𝑑𝐿𝑑𝑥1

= (m1 – m2) g

=

= (m1 + m2)

(m1- m2)g = (m1+m2)

g

Bagaimanakah persamaan differensial

Gerak pegas ?

Bagaimanakah persamaan differensial

Gerak bandul ?

Bagaimanakah persamaan differensial

Gerak pegas ?

Massa A = Massa B

TERIMA KASIH

DISUSUN OLEH :

Diana Astuti Kismaningrung 1510631140033

Erma Sari 1510631140045

Farras Hilmy A.P1510631140054

Fitri Fazri Suswati 1510631140056

Hengky 1510631140067