ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función incógnita. Ejemplo: ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

∂ x∂ y

+3 x ∂x∂ y

=4

Hallar dydx de y=e0.3 x2

en el intervalo]−∞ ,+∞[

dydx

=0.6 xe0.3 x2

=0.6 xy

Esta expresión nos lleva a cuestionarnos si lo que presentamos es claro o no para otra persona: es decir existen parámetros en esta simbología que nos explican problemas básicos como los tratados al resolver ecuaciones simples (Ecuaciones Diferenciales)

Definición.- Una ecuación que contiene de una o varias variables dependientes con respecto a uno o más variables independientes se denomina ecuación diferencial, las mismas que las clasificaremos de acuerdo al tipo y al orden.

CLASIFICACION SEGÚN EL TIPO Si una ecuación diferencial contiene solo derivadas ordinarias de uno o más variables dependientes respecto a una o varias variables independientes entonces estas se denominan ecuaciones diferenciales ordinarias. Ejemplo:

dydx

+ dxdz

=3 x+ y

En cambio una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables se denominara ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Ejemplo:

∂2 u∂x2 +

∂u∂ x

+3=0

Las derivadas ordinarias lo notaremos con la representación de Leibniz o con las notaciones primas, así:

dydx

, d2 y

d x2 , d3 y

d x3 ,…, dn y

d xn o también

y ' , y ' ' , y ' ' ' ,…, y(n)

En fenómenos físicos o en ingeniería se utiliza la notación de Newton o de puntos para indicar derivadas respecto al tiempo.

Para la derivada parcial se utiliza los subíndices:

d2 sd t 2 =32→S̈=32

∂2 u∂x2 =

∂2u∂ t 2 −2 ∂u

∂ x→uxx=u tt−2ut

CLASIFICACION SEGÚN EL ORDEN (ordinarias o en derivadas parciales)

Manifestaremos que se indica por el mayor orden dela ecuación así por ejemplo:

d2 yd x2 +4 ( dy

dx )3

=4

M (x , y ) dy+N ( x , y )dx=0

En algunas ocasiones las ecuaciones diferenciales de primer orden se denota así:

M (x , y ) dy+N ( x , y )dx=0

De otra manera si consideramos la variable dependiente en la ecuación ( y−x ) dx+4 xdy=0

entonces y '=dydx se pudiese escribir de la forma 4 xy '+ y=x

En forma de símbolos la ecuación diferencial de orden n en una variable dependiente se denota como:

F (x , y ' , y ' ' , y ' ' ' ,…, y(n ))=0

Soluciones de una ecuación diferencial ordinariaCualquier función ∅ definida en una intervalo que posee al menor n derivadas en ∅ que al sustituir en una ecuación diferencial de n se reduce a una identidad, es solución de la ecuación en un intervalo.

El intervalo I, se denomina intervalo de existencia de dominio o validez, de la solución y este puede ser intervalo cerrado, abierto o infinito, etc.

1) y= x4

16; dydx

=x y12 enel intervalo ¿−∞,+∞¿

dydx

=4 x3

16dydx

=x x2

4

dydx

= x3

4dydx

= x3

4

2) y=x ex ; sol : y ' '−2 y '+ y=0 enelintervalo ¿−∞ ,+∞¿

y '=e x+x ex2ex+x ex−2 (ex+xex )+x ex=0y ' '=2ex+xe x2ex+2x ex−2ex−2 x ex=0

0=0

DOMINIO CONTRA INTERVALO DEFINIDO

Consideramos la función y=1 /x (hipérbola equilátera) en donde el límite es el punto de acumulación.Función: ∀ xϵA∃ ! yϵB / f (x )= y

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:

y=C1 cos (x+C2 )dydx

=−C1sen (x+C2 )

Verificar

y=x∫0

x sen( t)t

dt satisface laecuacion xy '= y+xsenx(2)

dydx

=∫0

x sen( t)t

dt+ xsen(x)x

Simplificando

dydx

=∫0

x sen( t)t

dt+senx (1)

(1) en (2)

x (∫0

x sen (t )t

dt+senx)= y+ xsen x Distribuimos

x∫0

x sen ( t )t

dt+xsenx= y+xsen x

Comotenemos que y=x∫0

x sen(t)t

dt entonces :

y+xsenx= y+ xsenx

y=ex∫0

x

e t2

dt+cex satisface dydx

=ex+ x2

+ y

y '=ex∫0

x

e t2

dt+ex (ex2

−1 (0 ) )+cex

Comotenemos que y=e x∫0

x

e t2

dt+cexentonces :

y '= y+e x+x2

Ejemplo de algunas ecuaciones diferenciales importantes:

1) Llamada la ecuación diferencial de la corriente eléctrica donde q = carga, r = resistencia, L= la inductancia y la c = capacitancia.

L d2 qd t 2 +R dq

dt+ 1

cq=0

2) Ecuación del movimiento armónico simple.

md2 nd t 2 =−kx ;dondem'= k

w2 es la magnitud positiva

3) Ecuación diferencial de Lagrange

(1−x2 ) d2 y

d x2 −2 x dydx

+ p ( p−1 ) y=0

4) Ecuación diferencial de Besel

x2 d2 yd x2 +x dy

dx+ (x2−p2 ) y=0

5) Ecuación diferencial de Gauss

(1−x2 ) d2 y

d x2 + [ y−(α+β+1)x ] dydx

−αβy=0

Ejemplo de ecuaciones diferenciales parciales:

1¿ ∂2 w∂ x2 + ∂2 w

∂ y2 + ∂2 w∂z2 =0donde w=f ( x , y , z ) ECUACION DEℒ

2¿ ∂2 y∂t 2 =a2 ∂2 y

∂ x2 ECUACION DIFERENCIAL DEONDA UNIDIMENSIONAL

3¿ ∂u∂ t

=h2 ∂2 u∂ x2 ECUACION DIFERENCIALTERMICA UNIDIMENSIONAL

4 ¿a¿2(∂2 w∂x2 + ∂2 w

∂ y2 + ∂2 w∂ z2 )=∂w

∂ tECUACION DIFERENCIAL DELCALOR

5¿a¿2( ∂2 w∂x2 + ∂2 w

∂ y2 + ∂2w∂ z2 )=∂2 w

∂ t 2 ECUACION DIFERENCIAL DE LAONDA

6¿ ∂2 u∂x2 +

∂2 u∂ y2 =f ( x , y ) E . D .BIDIMENSIONALDE POISSON

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Las ecuaciones diferenciales de primer orden o primer grado se representan de la forma:

F (x , y , dydx )=0

Esta ecuación nos indica la relación de la variable independiente y la variable dependiente y naturalmente con su derivada.

Si de la ecuación despejamos la derivada obtenemos una nueva función G

dydx

=G (x , y )=g(x , y)

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARADAS

Si de la ecuación diferencial ordinaria y de primer grado despejamos la derivada entonces a esta la podemos expresar:

M (x ) dx+N ( y )dy=0

Donde M es una función solo de x y N es una función solo de y, entonces la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria de variables separadas, notando que su solución general se le puede obtener por integración directa.

∫M (x )dx+∫N ( y)dy=C dondeCes la constante de integracion

Ejemplos:( y2+x y2 ) y '+x2−x2 y=0

y2 (1+x ) y '+x2 (1− y )=0Sacamos factor comun

(1+x)dyx2 dx

=−(1− y )

y2 Ordenamos los terminos

(1+x)x2 dy=−(1− y)

y2 d x

y2

(1− y)dy= −x2

(1+x )d x Luego Integrandoobtenemos

∫ y2

(1− y )dy=∫ x2

(1−x)dx

y2

2+ y+ ln (1− y )= x2

2−x+ln ( x+1 )+C

( x+ y ) ( y−x+2 )+2 ln( 1− yx+1 )=C

ex sec ( y ) dx+ (1+ex ) sec ( y ) tg ( y ) dy=0con y=60o si x=3

ex sec ( y ) dx=−(1+ex) sec ( y )tg ( y )d y Despejamos terminao dx edy .

∫ ex sec ( y ) dx=−∫ ( 1+ex ) sec ( y )tg ( y ) dy Integramos a los dosmiembros .

ln (1+e x)=ln (cos y )+C

ln ( 1+ex

cos y )=ln (C ) Aplicamos propiedad de los logaritmos .

1+e x

cos y=K

y=6 0o ; x=3

K= 1+e3

cos 60=2 (1+e3 ) Reemplazamoslos valosdados en laecuacion .

2 (1+e3 )=1+ex

cos y

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINALES REDUCIDAS A VARIABLES SEPARADAS

Las ecuaciones diferenciales de la forma con a, b, c constantes no son de variables separables por lo que para resolver estas ecuaciones se transforma a una ecuación deferencial de variables separables sustituyendo z = ax+ by +c en donde la derivada es igual a:

dydx

=1b ( dz

dx−a)

Dicha ecuación al ser reemplazada se obtiene una ecuación diferencial en variables separables así:

dydx

=f (ax+by+c ) cona ,b , c ϵ R

z=ax+by+C ; dydx

=1b ( dz

dx−a)

f (z)=1b ( dz

dx−a)

dzdx

=a+b f (z )

dza+b f (z )

=d x

RESOLVER:

( x+ y )2 y '=a2

z2 y '=a2 z= x+ y ; dzdx

−1=dydx

z2( dzdx−1)=a2 reemplazamosel cambiode variable

dzdx

=a2+ z2

z2 ∫ dx=∫ a2+ z2

z2 dz Integramos aambosmiembros .

z−arctg( za )=x+C

y−arctg( x+ ya )=C

( x+ y )2¿ y '

x+ y=z ; dzdx

−1=dydx

z2+1=dzdx

Reemplazamos elcambio devariable .

∫ dx=∫ dzz2+1

Integramos aambosmiembros .

x−arctg ( x+ y )=C

dy ( xy−2 x+4 y−8 )−dx ( xy+3 x− y−3 )=0

dy (x ( y−2 )+4 ( y−2 ) )−dx (x ( y+3 )−( y+3 ) )=0

dy [ ( y−2 ) ( x+4 ) ]−dx [ ( y+3 )+ ( x−1 ) ]=0

dy [ ( y−2 ) ( x+4 ) ]=dx [ ( y+3 )+ ( x−1 ) ]

∫ ( y−2 )( y+3 )

dy=∫ ( x−1 )(x+4 )

dx

y−5 ln ( y+3 )=x−5 ln ( x+4 )+C

y=x−5 ln( x+4y+3 )+C

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria:

a1 ( x ) dydx

+a2 ( x ) y=f ( x )

Donde a1 , a2 y f son funciones solamente de x o constantes.Suponiendo que a1(x )≠0 , entonces, dividiendo a la ecuación anterior por a1(x ) se tiene:

dydx

+a2 ( x )a1 ( x )

y= f ( x )a1 ( x )

, dedonde se tiene : dydx

+P(x) y=Q( x)(2)

A la ecuación (2) llamaremos ecuación diferencial de primer orden en y.

Si Q(x)=0, la ecuación (2) toma la forma:

dydx

+P ( x ) y=0(3)

A la ecuación (3) llamaremos ecuación diferencial lineal homogénea y es una ecuación diferencial de variable separable y su solución es:

y=K e−∫ P (x)dx

Si Q(x)≠0 entonces la ecuación (2) es una ecuación diferencial lineal no homogénea, por lo tanto no es exacta.

La solución general de una ecuación diferencial lineal es:

y=e−∫P (x)dx [∫ e∫P (x )dx Q(x)dx+C ]

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

dydx

+2 y=x2+2 x

Donde P ( x )=2;Q ( x )=x2+2x

Como la solución general es: y=e−∫P (x)dx [∫ e∫P (x )dx Q(x)dx+C ]

y=e−∫2dx [∫ e∫2dx (x2+2x )dx+C ] ; resolviendo

y=e−2 x [∫ e2 x(x2+2 x)dx+C ] integrando por partes seobtiene

y=2 x2+2 x−14

+ce−2 x

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

Las Ecuaciones diferenciales de la forma:

dydx

+P ( x ) y=Q (x ) yn; n≠0,1

Se conoce con el nombre de Ecuación Diferencial de Bernoulli, en donde esta ecuación no es una ecuación diferencial lineal.

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se aplica el siguiente proceso:

1) A la ecuación de Bernoulli se multiplica por y−n, es decir

y−n dydx

+P ( x ) y1−n=Q ( x )

2) Luego se multiplica por (1 - n) es decir:

(1−n) y−n dydx

+(1−n)P ( x ) y1−n=(1−n)Q ( x )

3) Sea z= y1−n luego derivamos

dzdx

=(1−n) y−n dydx

4) Reemplazamos el 3 paso en el 2 paso entonces:

dydx

+ (1−n ) P ( x ) z=(1−n )Q ( x )

Esta ecuación es una ecuación diferencial lineal en z de primer orden y la solución está dada por la solución general de una ecuación diferencial de primer orden, la cual es:

y=e−∫P (x)dx [∫ e∫P (x )dx Q(x)dx+C ]

Ejemplos:

2 x dydx

+2 y=x y3

A la ecuación diferencial despejamos el término dydx y posteriormente multiplicaremos por

y−n que es y−3 entonces:

y−3 dydx

+ 1x

y−2

=12

;multiplicando por (1−n ) esdecir por−2 entonces:

−2 y−3 dydx

−2x

y−2

=−1(1)

Sea z= y−2derivando se obtiene dzdx

=−2 y−3 dydx

reemplazando enla ecuacion(1)

dzdx

=−2x

z=−1

Donde esta ecuación es una ecuación diferencial lineal en z, y la solución general es:

z=e−∫−2

x dx[∫ e∫−2

x dx(−1)dx+C ]

Resolviendo se obtiene:

z=e2 ln ( x)[−∫ e−2 ln (x)dx+C ]Integrando obtenemos:

y−2= x+c x2

dydx

= xy x2+ y3

Si invertimos la ecuación entonces:

dxdy

= y x2+ y3

x

Si dividimos “x” a cada miembro y ordenamos tenemos:

dxdy

−xy= y3 x−1

Luego multiplicamos por “x”:

x dxdy

− y x2= y3 multiplicamos por (1−n ) osea 2

2 x dxdy

−2 y x2=2 y3(1)

Sea z=x2 ; dzdy

=2x dxdy

Reemplazando en (1) tenemos:

dzdy

−2 yz=2 y3

Es una ecuación diferencia lineal en z, cuya solución general es:

z=e−∫−2 ydy [∫ e∫−2 ydy 2 y3 dy+C ]=ey2 [∫e− y2

2 y3 dy+C ]

Integrando por partes

z=ey2 [− y2 e− y2

−e− y2

+C ]

Simplificando hallamos nuestra solución:

∴ (x2+ y2+1 )e− y2

=C

y2 ( y6−x2 ) y '=2x

y2 ( y6−x2 ) y '=2x

Despejando tenemos:

y2 ( y6−x2 )=2 x dxdy

dedonde dxdy

+ y2

2x= y8

2x−1

Multiplicando por x tenemos:

x dxdy

+ y2

2x2= y8

2

Multiplicando por (1−n )o sea por 2

2 x dxdy

+ y2 x2= y8(1)

Sea z=x2 → dzdy

=2 x dxdy

Reemplazando en (1)

dzdy

+ y2 z= y8 , ecuaciondiferenciallineal en z , y lasolucion general es :

z=e−∫ y2dy [∫e∫ y2dy y8dy+C ]

Integrando se tiene:

z=e− y3

3 [9( y6

9−2 y3

3+2)e

y3

3 +C ]Simplificando tenemos como resultado:

∴ x2= y6−6 y3+18+c e− y3

3

ydx+( x− x3 y2 )dy=0

A la ecuación diferencial podemos expresarla así:

dxdy

+ 1y

x= x3

2,multiplicando por x−3

x−3 dxdy

+ 1y

x−2=12

,multiplicando por (1−n )osea 2tenemos

2 x−3 dxdy

+ 2y

x−2=1

Seaz=x−2 y dzdy

=−2x−3 dxdy

reemplazando tenemos :

−dzdy

+ 2y

z=1

dzd y

− 2y

z=−1 ecuacion linealen z

Luego la solución es:

z=e−∫ −2

y dy [∫e∫−2

y dy(−1)dy+C ]

Integrando

z=e2 ln ( y) [−∫ e−2 ln ( y)dy+C ]

Simplificando

z= y2[−∫ dyy2 +C ]

Integrando

∴ x−2= y+c y2

3 xdy= y (1+xsenx−3 y3 senx)dx

A la ecuación 3 xdy= y (1+xsenx−3 y3 senx )dx

La podemos expresar así:

3 x dydx

= y (1+xsenx−3 y3 senx ) , de donde

dydx

−1+xsen x3 x

y=− y4 senxx

Multiplicamos por y−4 entonces:

y−4 dydx

−1+ xsenx3 x

y−3=−senxx

Seaz= y−3→− dz3 dx

= y−4 dydx

Reemplazando tenemos

−dz3dx

−1+xsenx3 x

z=−se nxx

dzdx

+ 1+xsenxx

z=3 senxx

Esta ecuación es una ecuación diferencial lineal en z, cuya solución general es:

z=e−∫ 1+xsenx

xd x [∫ e

∫ 1+xsenxx

d x3 senx

xd x+C ]Integrando t enemos:

z=elnx+cosx [∫e lnx−cosx 3 senxx

d x+C ] , simplificando

z= ecosx

x [ 3∫ e−cosx senxdx+C ]

z= ecosx

x[3 e−cosx+C ]∴ y−3=3

x+ cecosx

xECUACION DIFERENCIAL DE RICCATI

Consideremos la ecuación diferencial de la forma:

dydx

=P (x ) y+Q (x ) y2+R (x )(1)

Donde P(x), Q(x) y R(x) son funciones solo de x.

A la ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuaciones diferenciales de RICCATI, se puede hallar la solución de la ecuación diferencial suponiendo que y=ψ ( x) sea una solución particular entonces se puede hallar la solución de la ecuación diferencial, haciendo y=ψ ( x )+z donde z es una función incógnita, que se va a determinar con la ayuda de la ecuación diferencial.

Es decir: y=ψ ( x )+z en donde dydx

=ψ ' ( x )+ dzdx reemplazando en la ecuación (1) se tiene:

ψ ' ( x )+ dzdx

=P ( x ) (ψ ( x )+z )+Q ( x ) (ψ ( x )+z )2+R(x )

Agrupando términos se obtiene:

dzdx

−P ( x )+2Q ( x ) ψ ( x ) z−Q (x ) z2+(ψ '( x )−P ( x ) ψ ( x )−Q ( x )ψ2 ( x )−R ( x ))=0

Como y=ψ ( x ) es una solución de la ecuación diferencial de RICCATI entonces se obtiene:

ψ ' (x )−P ( x ) ψ (x )−Q ( x ) ψ2 ( x )−R ( x )=0

Luego de las dos últimas ecuaciones se obtiene:

dzdx

−(P (x )+2Q (x ) ψ ( x ) ) z=Q(x )z2

Esta ecuación es una ecuación diferencial de BERNOULLI y la solución de esta ecuación ya es conocida.

dzdx

=1x

y+ 1x2 y2−1 , dondeuna soluciones y=ψ ( x )=x

Sea y=ψ (x )+z=x+z

La solución de la ecuación diferencial dada, donde z es una función por determinarse, entonces:

dydx

=1+ dzdx

Reemplazando en la ecuación diferencial dada:

1+ dzdx

=1x

( x+z )2−1

Simplificando

dzdx

−3x

z= 1x2 z2 , ecuacion diferencial deBernoulli

dzdx

−3x

z= 1x2 z2 ,multiplicando por z−2

z−2 dzdx

−3x

z−1= 1x2 multiplicando por (1−n ) o sea por−1

−z−2 dzdx

+ 3x

z−1=−1x2 (1)

Seaw=z−1entonces dwdx

=−z−2 dzdx

(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

dwdx

+ 3x

z=−1x2

Ecuación Lineal en w cuya solución general es:

w=e−∫ 3

xd x [∫e

∫ 3xd x −dx

x2 +C ]Calculando la integral

w=e−3 lnx [−∫e3 lnx dxx2 +C ]

w=1x3 [−x2

2+C]

1z=−1

2 x+C

x3 =2C−x2

2 x3

z= 2 x3

2C−x2 donde y=x+zentonces :

∴ y=2cx+x3

2C− x2

dydx

=x+( 1x−x2) y+ y2 , dondeunasoluciones y=ψ ( x )=x2

Sea y=x2+z , la solución de la ecuación diferencial dada, donde z es una función por determinarse, entonces

dydx

=2 x+ dzdx

Reemplazando en la ecuación diferencial dada tenemos:

2 x+ dzdx

=x+( 1x−x2) (x2+z )+(x2+z )2

Simplificando

dzdx

−( 1x+x2) z=z2 Ecuacion deBernoulli

Multiplicando a la ecuación diferencial por z−2

z−2 dzdx

−( 1x+ x2)z−1=1dondew=z−1

También se tiene que:

dwdx

=z−2 dzdx

Reemplazando obtenemos:

−dwdx

−( 1x+x2)w=1multiplicamos por−1

dwdx

+( 1x+x2)w=−1

Es una ecuación diferencial lineal en w cuya solución es:

w=e−∫−( 1

x +x2) dx [∫e∫−( 1

x + x2)d x(−dx)+C ]

Integrando tenemos:

1z=e

lnx− x3

3 [−∫ elnx− x3

3 dx+C ]Simplificando

1z= xe

− x3

3 [−∫e− x3

3 xdx+C ]

ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE Y CLAIROUTS

Las ecuaciones diferenciales de Lagrange son de la siguiente forma:

y=xf ( y ' )+g ( y ' )(1)

Para resolver la ecuación diferencial de Lagrange se transforma en otra ecuación diferencial

lineal en x como función de P, haciendo dydx

=P de donde dy=Pdx .

Luego se sustituye dzdx

=P en la ecuación (1).

y=x f ( P )+g ( P )(2)

Diferenciando la ecuación (2) se obtiene:

dy=f ( P ) dx+ x f ' ( P ) dp+g' (P )dp (3)

Reemplazando dy=Pdx se tiene:

Pdx=f ( P ) dx+x f ' ( P ) dp+g' ( P ) dp(4)

La ecuación (4) se puede expresar en la forma:

dydp

+ f (P)f ( P )−P

x=−g ' (P)f ( P )−P

Que es una ecuación diferencial lineal en x, cuya solución general es x=ψ ( P ,c ) donde Pds es un parámetro y la solución general de la ecuación (1) se da en forma paramétrica.

x=ψ ( P ,c ) Pesun parametroy=ψ ( P , c ) f (P )+g ( P )

Las ecuaciones diferenciales de Clairouts son de la siguiente forma:

y=x y '+g ( y ' )

La solución de la ecuación diferencial de Clairouts se obtiene siguiendo el mismo procedimiento del caso de la ecuación diferencial de Lagrange.2 y=x y'+ y ' ln ( y ')

A la ecuación diferencial expresaremos en la forma:

y=x y '2

+ y ' ln ( y ')2

(1)

Sea y '=dydx

=P→dy=Pdx , reemplazandoen(1)

y=x P2

+PlnP2

, diferenciando se tiene :

d y= P2

dx+ x2

dp+ lnP2

dp+ dp2

Reemplazando dy=pdx simplificando

dxdp

− 1P

x= lnP+1P

,queesunaecuacion diferenciallineal .

La solución de esta ecuación es:

x=e−∫−dp

P [∫ e∫−dp

P ln ( P )+1P

dp+C]=−ln ( P )−2+PC

x=−ln (P )−2+PC

La solución general de la ecuación diferencial es:

x=PC−ln ( P )−2

y=C2

P2−P

Donde P es un parámetro.

y=2x y'+sen( y ' )

Sea y '=dydx

=P→dp=pdx

Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

y=2xP+sen(P)

Diferenciando se tiene:

d y=2 xdp+2 pdx+cos (P)dp

Reemplazando d y=pdx , pdx=2 xdp+2 pdx+cos (P)dp , simplificando

dydx

+ 2P

x=−cos (P)P

Esta ecuación es una ecuación diferencial lineal cuya solución de esta ecuación es:

x=e−∫ 2dp

P [∫e∫ 2dp

P (−cos (P)P )dp+C ]=−cos ( P )

P−sen (P )+ C

P2

La solución general de la ecuación diferencial es:

x=−cos ( P )P

−sen ( P )+ CP2

y=2CP

−sen ( P )−2cos (P)P

Donde P es un parámetro.

y=x y '+ y '2

Sea y '=dydx

=P;dy=Pdx Reemplazando en la ecuación dada y=xP+P2 diferenciando

dy=xdp+Pdx+2 Pdp al sustituir dy=Pdx se tiene:Pdx=xdp+Pdx+2Pdp ; ( x+2P ) dp=0de donde tenemos la respuesta de la ecuación diferencial.

x+2P=0→x=−2P Donde x=−2Cdp=0→P=C y=xe+C2

y=x y '+ ay ' 2

Sea y '=dydx

=P→dy=Pdx

Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

y=xP+ aP2

Diferenciando ambos miembros tenemos:

dy=xdp+Pdx−2aP3 dp ,reemplazando dy=Pdx

Pd x=xdp+Pdx−2aP3 dp

(x− 2aP3 )dp=0

De donde

x=2aP3 ∨dp=0

P=C

Luego tenemos la solución general de la ecuación diferencial.

x=2aP3

y=xC+ aC2

Donde P es un parámetro.