Distribuciones de tiempos_de_residencia_en_reactores_quimicos

Dra. Lorena Farías Cepeda

1

Distribuciones de tiempos de residencia

en reactores químicos. Estudiaremos reactores no ideales, es decir, reactores que no siguen los modelos

desarrollados para los CSTR, PFR y reactores empacados ideales.

Aprenderemos a caracterizar dichos reactores con el tiempo de residencia.

Caracterizar y diagnosticar.

Se caracteriza a partir de la distribución de residencia y construir modelos que

caracterizan la operación del reactor.

Aplicaciones de la DTR son:

1. Diagnosticar problemas de reactores en operación.

2. Predicción de la conversión o la concentración de efluente en reactores existentes

o disponibles, cuando se realiza una nueva reacción en el reactor.

Sistema 1.

Reactor continuo tanque de agitación gas – líquido.


2

Las burbujas no son del mismo tamaño por lo que unas escapan del reactor y las otras

permanecen mucho en el que se consumen con totalidad.

El tiempo que pasa la burbuja dentro del reactor se conoce como tiempo de residencia de

la burbuja, lo importante aquí es el análisis del tiempo que pasa cada burbuja dentro del

reactor, por lo tanto sería la distribución de tiempos de residencia y la velocidad de

reacción se encontró sumando todas las burbujas en el reactor.

Sistema 2.

Reactor empacado.

El flujo reaccionante por lo general no pasa por el reactor de manera uniforme.

No todas las moléculas pasan el mismo tiempo en el reactor.

Sistema 3.

Reactor continuo.

A la hora de hacer escalamientos de planta piloto a industria.


3

Es preciso encontrar formas para determinar el volumen muerto y el grado de

cortocircuito.

Los tres conceptos.

Los métodos para explicar la falta de idealidad usaremos el siguiente nivel de

aproximación más alto, el que incluye el uso de información de macromezclado (DTR) y el

micromezclado, esto es a microescala para realizar predicciones sobre la conversión en

reactores no ideales.

Función de distribución de tiempos de residencia (DTR).

En un reactor ideal de flujo tapón, todos los átomos del material que salen del reacotr han

estado exactamente el mismo tiempo. El tiempo que los átomos pasan en el reactor se

conoce como tiempos de residencia.

En los reactores no ideales el tiempo que pasan los átomos en el reactor no es el mismo

tiempo de residencia, por lo que hay una distribución de tiempos.

La distribución de tiempos de residencia (DTR) de un reactor es una característica del

mezclado que ocurre dicho reactor químico.

La DTR es distintas para un CSTR que para un PFR:

Las DTR que presenta un reactor dado proporcionan señales distintivas en cuanto al tipo

de mezclado que ocurre en su interior y es una de las caracterizaciones más informativas

del reactor.

¿Cómo medimos la DTR?

Se inyecta una sustancia “trazador” @ t=0, y se mide la concentración del trazador C en la

corriente del efluente en función del tiempo.

Característica

del mezclado

de reactores

no ideales.

Distribución de tiempos de residencia (DTR).

Mezclado.

Modelo.


4

Experimento de alimentación por pulso.

Inyección por pulso.

Entrada y salida únicos Δ𝑡 → Suficientemente pequeño.

Δ𝑁 = 𝐶(𝑡)𝑣Δ𝑡

Δ𝑁

𝑁0=𝑣𝐶(𝑡)Δ𝑡

𝑁0

Para inyección por pulsos

𝐸(𝑡) =𝑣𝐶(𝑡)

𝑁0

Trazador

Sustancia no reactiva con propiedades

similares a la de la mezcla de reacción.

Se completamente solubles en la mezcla.

No se debe adsorber en las paredes o en las

superficies del reactor.

Ejemplos

Materiales coloridos.

Sustancias radioactivas.

Gases inertes.

Alimentación

Por pulso.

Por escalón.


5

Tenemos que

Δ𝑁

𝑁0= 𝐸(𝑡)Δ𝑡

Donde 𝐸(𝑡) se conoce como la función de la distribución de tiempos de residencia.

Esta función describe de manera cuantitativa cuanto tiempo han pasado diferentes

elementos del fluido dentro del reactor.

Si desconozco 𝑁0 la puede determinar sumando todas las cantidades del material Δ𝑁 a la

salida del reactor entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = ∞

𝑑𝑁 = 𝑣𝐶(𝑡)𝑑𝑡

Integrando tenemos que:

𝑁0 = ∫ 𝑣(𝐶(𝑡))𝑑𝑡∞

0

Como 𝑣 suele ser constante entonces podemos definir 𝐸(𝑡) como sigue

𝐸(𝑡) =𝐶(𝑡)

∫ 𝐶(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Curva C Integramos

Área= ∫ 𝐶(𝑡)𝑑𝑡∞

0


6

Encontramos

Otra manera:

Como todo lo que entra sale:

1 = ∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Ejemplo:

Se inyectó una muestra de trazador hytane a 320K en forma de pulso a un reactor y midió

su concentración en el efluente en función del tiempo, obteniéndose los datos que se

muestran en la tabla.

a) Construya figuras mostrando 𝐶(𝑡) y 𝐸(𝑡) en función del tiempo.

b) Determine tanto la fracción del material que sale del reactor y que ha pasado entre

3 y 6 minutos dentro de él, así como la fracción del material que sale y que ha

pasado 7.75 y 8.85 minutos dentro del reactor.

Curva E t

Fracción del material que sale del reactor

y ha residido en el entre los tiempos 𝑡1 y

𝑡2.

= ∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡𝑡2

𝑡1


7

c) Determine la fracción de material que sale del reactor que ha pasado tres o menos

minutos dentro del mismo.


0= ∫ 𝐶(𝑡)𝑑𝑡

10

0+∫ 𝐶(𝑡)𝑑𝑡

14

10

Con el método N+1

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑁

𝑥0

=ℎ

3(𝑓0 +4𝑓1 +2𝑓2 +4𝑓3 +2𝑓4 + ⋯+4𝑓𝑛−1 +𝑓𝑛)

ℎ =(𝑥𝑁−𝑥0)

𝑁 N es par

ℎ =(10−0)

10= 1 ℎ =

14−10

2=4

2= 2

∫ 𝐶(𝑡)𝑑𝑡10

0=1

3((0) + 4(1) + 2(5) + 4(8) + 2(10) + 4(8) + 2(6) + 4(4) + 2(3) + 4(2.2)

+ (1.5)) = 47.5𝑔 𝑚𝑖𝑛

𝑚3

Calculamos el área bajo la

curva para construir 𝐸(𝑡)


8

∫ 𝐶14

10

(𝑡) =2

3(1.5 + 4(1.6) + 0) = 2.6

𝑔 𝑚𝑖𝑛

𝑚3


0= 50

𝑔 𝑚𝑖𝑛

𝑚3

Creamos la curva 𝐸(𝑡) min-1

Para calcular la fracción del material de 0-3, 3-6 y 7.75-8.25.

Los de 0 a 3: (3−0)

3 Usando la regla de Simpson

3

8

Regla de Simpson 3

8 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

3

8Δ𝑥(𝑓1 +3𝑓2 + 3𝑓3+ 𝑓4)

∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡3

0=3

8(1)(0+ 3(0.02) + 3(0.1) + (0.16)) = 0.195

=20%

De 3 a 6:

∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡6

3=3

8(1)(0.16+ 3(0.2) + 3(0.16) + 0.12) = 0.51

Δ𝑡 =6−3

3= 1 51% del material ha pasado de 3 a 6 minutos en el reactor.


9

Experimento de alimentación por escalón.

Inyección del trazador en tiempos variable y la concentración correspondientes en el

efluente.

𝐶𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎(𝑡) = ∫𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎(𝑡− 𝑡′)𝐸(𝑡′)𝑑𝑡

𝑡

En una alimentación por escalón obtenemos la distribución acumulativa 𝐹(𝑡)

𝐶0(𝑡) = {0

(𝐶0) 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑡<0𝑡≥0

𝐶𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎= 𝐶0∫ 𝐸(𝑡′)𝑑𝑡′

𝑡

0= 𝐹′(𝑡)

𝐹(𝑡) = [𝐶𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝐶0

]𝑝𝑎𝑠𝑜

Diferenciando

𝐸(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡[𝐶(𝑡)

𝐶0]𝑝𝑎𝑠𝑜

Ventajas e inconvenientes del escalón.

No se necesita conocer la cantidad total del trazador en la alimentación.

Difícil de mantener una C constante de alimentación.

Hay que diferenciar los datos lo cual puede llevar a errores.

Costo más alto que la prueba de pulso.

Relaciones integrales.

Función acumulativa de la DTR.

∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡𝑡

0= [Fracción del efluente que ha estado en el reactor un tiempo menor que a t]

= 𝐹(𝑡) Función de distribución acumulativa


10

∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

𝑡= [Fracción del efluente que ha estado en el reactor un tiempo mayor que t]

= 1−𝐹(𝑡)


11

80% de las moléculas pasa 40 min o menos en el reactor y el 20% pasa más de 40 min.

Tiempo de residencia medio.

Utilizando el método de los momentos:

𝑡𝑚 =∫ 𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡𝑡

0

= ∫ 𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Donde 𝑡𝑚 es el primer momento.

𝜏 =𝑉

𝑣 es igual al tiempo de residencia.

𝑡𝑚 es independiente del tipo de reactor, ideal o no.

Para conocer el volumen del reactor utilizando la función acumulativa:

Comenzamos a inyectar moléculas azules para sustituir a las amarillas. En el instante 𝑡 =

0 comenzamos a inyectar las moléculas azules para sustituir a las amarillas que

actualmente llenan al reactor.

Es decir, el volumen del reactor 𝑉 es igual al volumen ocupado por las moléculas

amarillas,

Ahora en el tiempo 𝑑𝑡, el volumen de moléculas que sale del reactor es 𝑣𝑑𝑡. La fracción

de estas moléculas que ha estado en el reactor en tiempo 𝑡0 mayor es [1 − 𝐹(𝑡)].


12

Puesto que solo las moléculas amarillas han estado en el reactor un tiempo 𝑡 o mayor, el

volumen de las moléculas amarillas, 𝑑𝑉, que sale del reactor en un tiempo 𝑑𝑡 es:

𝑑𝑉 = (𝑣𝑑𝑡)[1− 𝐹(𝑡)]

Si obtenemos la sumatoria de todas las moléculas amarillas que han salido del reactor en

un tiempo 0 < 𝑡 < ∞ tenemos

𝑉 = ∫ 𝑣[1− 𝐹(𝑡)]𝑑𝑡∞

0

Como el flujo volumétrico v es constante

𝑉 = 𝑣∫ [1 −𝐹(𝑡)]𝑑𝑡∞

0

Integrando por partes, tenemos que:

𝑉

𝑣= 𝑡[1 − 𝐹(𝑡)]|0

∞− ∫ 𝑡𝑑𝐹1

0

En

𝑡 = 0

𝑡 → ∞

𝐹(𝑡) = 0

[1− 𝐹(𝑡)] = 0

El primer término del miembro derecho es cero y el segundo término se convierte en:

𝑉

𝑣= 𝜏 = ∫ 𝑡𝑑𝐹

1

0

Sin embargo 𝑑𝐹 = 𝐸(𝑡)𝑑𝑡

𝜏 = ∫ 𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Por lo tanto

𝜏 = 𝑡𝑚 Sólo se cumple en el caso de un sistema cerrado.

𝑉 = 𝑡𝑚𝑣

Otros momentos de la DTR.

El segundo momento alrededor de la media es la varianza


13

𝑧 = ∫ (𝑡 − 𝑡𝑚)2𝐸(𝑡)𝑑𝑡

∞

0

Donde 𝑧 indica que tan “amplio” es la distribución, entre más grande el valor más amplia

es la DTR.

El tercer momento también se toma alrededor de la media y está relacionado con la

asimetría de la distribución.

𝑠3 =1

𝜎3/2∫ (𝑡 − 𝑡𝑚)

3𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Donde 𝑠3 mide el grado de asimetría de una distribución en una dirección o en la otra, con

respecto a la media.

Ejemplo:

Calcule el tiempo de residencia medio y la varianza para el reactor que caracterizamos en

el ejemplo anterior con la DTR obtenida de una inyección de pulso a 320K.

Primero calculamos el tiempo de residencia medio con la ecuación

𝑡𝑚 = ∫ 𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

El área bajo la curva de 𝑡𝐸(𝑡) nos da 𝑡𝑚. Después calculamos la varianza:

𝜎2 = ∫ (𝑡 − 𝑡𝑚)2𝐸(𝑡)𝑑𝑡

∞

0

Hay que construir un cuadro para obtener dichos resultados


0= ∫ 𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡

10

0+ ∫ 𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡

14

10


14

𝑡𝑚 = 𝜏 = ∫ 𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

𝑡𝑚 =1

3[1(0) + 4(0.02) + 2(0.02) + 4(0.48) + 2(0.8) + 4(0.8) + 2(0.72) + 4(0.56) + 2(0.48)

+ 4(0.40) + 1(0.3)] +2

3[0.3+ 4(0.14) + 0]

𝑡𝑚 = 5.15 min


15

Conociendo 𝑡𝑚 calculamos la varianza 𝜎2.

𝜎2 = ∫ (𝑡 − 𝑡𝑚)2𝐸(𝑡)𝑑𝑡

∞

0

Integrando numéricamente:

𝜎2 =1

3[1(0) + 4(0.34) + 2(0.992) + 4(0.74) + 2(0.265) + 4(0.004) + 2(0.087) + 4(0.274) +

2(0.487) +4(0.675) + 1(0.076)] +2

3[0.706 + 4(0.563) + 0]

𝜎2 = 6.1 min

La desviación estándar es 𝜎 = 2.4 min

Todo esto es más fácil con Excel y Polymath.


16

Función de la DTR normalizada.

Es común utilizar la DTR normalizada en lugar de la función 𝐸(𝑡) si 𝜃 lo definimos como:

𝜃 =𝑡

𝜏 podemos definir una función adimensional 𝐸(𝜃) como: 𝐸(𝜃) = 𝜏𝐸(𝑡) y graficarla en

función de 𝜃. La cantidad 𝜃 representa el número de volúmenes de reactor de flujo (con

base en las condiciones de entrada) que ha pasado a través del reactor en un tiempo 𝑡.

Explicar el propósito, hacer analogía con mis DTP.

Esto es para poder comparar directamente el desempeño de flujo dentro de reactores de

diferentes tamaños.

La 𝐸(𝑡) para un CSTR es

𝐸(𝑡) =1

𝜏𝑒−𝑡𝜏

O

𝐸(𝜃) = 𝜏𝐸(𝑡) = 𝑒−𝜃

Distribución de la edad interna.

𝛼 Edad de una molécula dentro del reactor

𝐼(𝛼) es una función de distribución de edades internas.

𝐼(𝛼)Δ𝛼 es la función del material dentro del reactor durante un periodo entre 𝛼 y Δ𝛼.

Esto contrasta con 𝐸(𝛼) que es material que sale del reactor en la zona de reacción.

𝐼(𝛼) caracteriza el tiempo que el material ha estado y sigue estando en el reactor en un

instante dado.

La relación entre la distribución de edades y la de edades externas se puede demostrar

analizando un reactor continuo que opera en estado estacionario y está lleno de volumen

V.

Suponemos que el reactor está llenos de moléculas amarillas y que en el instante 𝑡 = 0

comenzaremos a inyectar moléculas azules para sustituir a las moléculas amarillas. Por la


17

definición de 𝐼(𝛼), el volumen de moléculas dentro del reactor que han estado entre el

tiempo 𝛼 +Δ𝛼 es

𝑑𝑉 = 𝑉[𝐼(𝛼)]𝑑𝛼

En 𝑡 = 0 haremos que 𝑣𝑜𝑑𝛼 sea el primer volumen de moléculas azules que entre en el

reactor. Queremos considerar que ha sucedido con las moléculas de este volumen en un

tiempo 𝛼 después de que se inyectaron. Algunas de las moléculas ya habrán salido del

sistema en el tiempo 𝛼, mientras que otras permanecerán.

Fracción de moléculas que siguen en el sistema 1 −𝐹(𝛼), por tanto, el volumen de

moléculas que entraron en el sistema entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 𝑑𝛼 y todavía están en el sistema

𝑑𝑉 = 𝑣0𝑑𝛼[1− 𝐹(𝛼)] moléculas con edades entre 𝛼 y 𝛼+Δ𝛼.

Igualando las ecuaciones:

𝑉[𝐼(𝛼)]𝑑𝛼 = 𝑣0𝑑𝛼[1− 𝐹(𝛼)]

Dividimos entre 𝑉𝑑𝛼

𝐼(𝛼) =𝑣0𝑉[1 − 𝐹(𝛼)]

𝐼(𝛼) =1

𝜏[1 − 𝐹(𝛼)] =

1

𝜏[1−∫ 𝐸(𝛼)𝑑𝛼

𝛼

0

]

Diferenciando la ecuación:

𝑑

𝑑𝛼[1− 𝐹(𝛼)] = −𝐸(𝛼)

Obtenemos que

𝐸(𝛼) = −𝑑

𝑑𝛼[𝜏𝐼(𝛼)]

Como ejercicio corto calcularemos las distribuciones de edades internas de un CSTR

perfectamente mezclado.

𝐼(𝛼) =1

𝜏[1− ∫

1

𝑡𝑒−𝑡𝜏𝑑𝛼

∞

0

]

𝐼(𝛼) =1

𝜏1+ 𝑒−

𝛼𝜏 |0

𝛼


18

𝐼(𝛼) =1

𝜏𝑒(−𝛼𝜏)→ Igual a las edades de salida de un CSTR perfectamente mezclado

Ejemplo:

Cuando un catalizador se desactiva, es necesario alimentar catalizador nuevo al reactor

para mantener un nivel de actividad constante. La relación entre el peso del catalizador, la

conversión y la actividad del catalizador es:

𝑊=𝐹𝐴0𝑋

−𝑟𝐴=

𝐹𝐴𝑋

𝑎𝑘0𝐶𝐴𝑛

𝑎 = actividad en el reactor

Determine la actividad media del CSTR en el que la desactivación del catalizador es de

primer orden.

𝑎 = ∫ 𝑎(𝛼)𝐼(𝛼)𝑑𝛼∞

0

La desactivación es de primer orden 𝑎 = 𝑒−𝑘𝛼

En un CSTR

𝐼(𝛼) =1

𝜏𝑒(−𝛼𝜏)

𝑎 = ∫ 𝑒−𝑘𝛼(1

𝜏𝑒−𝛼𝜏 ) 𝑑𝛼

∞

0

𝑘𝑑 → K desactivación

𝜏𝑐 → tiempo de contacto medio

𝑎 = ∫𝑒−𝑘𝑑𝛼𝑒

−𝛼𝑡𝑐

𝜏𝑐𝑑𝛼

∞

0

𝑡𝑐 =𝑊

𝐹𝑐=

(Peso del catalizador (𝑘𝑔))

Velocidad de alimentación del catalizador


19

Integrando

𝑎 =1

𝜏𝑐𝑘𝑑+ 1

DTR en reactores ideales.

Por lotes y flujo tapón.

Son los casos más sencillos de estudiar la función de distribución, es un pico de altura

infinito y anchura cero cuya área es igual a 1, el pico ocurre en 𝑡 =𝑉

𝑉𝑜, o sea, 𝜃 = 1.

Matemáticamente se representa con la función delta de Dirac.

𝐸(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 𝜏)

Y tiene las siguientes propiedades

𝛿(𝑥) = {0 cuando 𝑥 ≠ 0∞ cuando 𝑥 = 0

∫ 𝛿(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞= 1

∫ 𝑔(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝜏)𝑑𝑥∞

−∞= 𝑔(𝑡)


20

DTR en un solo CSTR.

Para un trazador inerte inyectado t=0 por pulso en su CSTR el balance en t>0 da:

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠− 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 = 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

0− 𝑣𝑐 = 𝑉𝑑𝐶

𝑑𝑡 trazador

Suponiendo mezclado perfecto.

𝑐 = 𝑐0 𝑒𝑛 𝑡 = 0

−𝑣𝑐 = 𝑉𝑑𝐶

𝑑𝑡

−𝑣

𝑉𝑑𝑡 =

𝑑𝐶

𝐶

−1

𝜏∫ 𝑑𝑡 = ∫

𝑑𝐶

𝐶

−𝑡

𝜏|0

𝑡

= ln𝐶|𝐶0𝐶

−𝑡

𝜏+0

𝜏= ln𝐶 − ln 𝐶0

−𝑡

𝜏= ln

𝐶

𝐶0

𝑒−𝑡𝜏 =

𝐶

𝐶0

𝐶(𝑡) = 𝐶0𝑒−𝑡𝜏

𝐸(𝑡) =𝐶(𝑡)


0

=𝐶0𝑒

−𝑡𝜏

∫ 𝐶0𝑒−𝑡𝜏

∞

0

=𝑒−𝑡𝜏

𝜏

𝐸(𝑡) = 𝑒−𝑡/𝜏

𝐸(𝜃) = 𝑒−𝜃

𝜃 =𝑡

𝜏


21

𝐸(𝜃) = 𝑒−𝜃

𝐹(𝜃) = 1− 𝑒−𝜃

𝐹(𝜃) = ∫ 𝐸(𝜃)𝑑𝜃𝜃

0= 1− 𝑒−𝜃

Se sigue aplicando que 𝑡𝑚 = 𝜏 y 𝜎2 = ∫(𝑡−𝜏)2

𝜏𝑒−𝑡/𝜏𝑑𝑡

∞

0


22

= 𝜏2∫ (𝑥 − 1)2𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0= 𝜏2

𝜎 = 𝜏

Moraleja: para un CSTR perfectamente mezclado 𝒕𝒎 = 𝝉 y 𝝈 = 𝝉

Para un reactor de flujo laminar (RFL).

Perfil parabólico, las partículas del centro pasan un tiempo más breve en el reactor.

Perfil de velocidad.

𝑢 = 𝑢𝑚á𝑥 [1− (𝑟

𝑅)2

] = 2𝑢𝑝𝑟𝑜𝑚 [1− (𝑟

𝑅)2

] =2𝑣0𝜋𝑅2

[1− (𝑟

𝑅)2

]

𝑢𝑝𝑟𝑜𝑚 =𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜

á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓

𝑡(𝑟) =𝐿

𝑉(𝑟)=𝜋𝑅2𝐿

𝑣0

1

2 [1− (𝑟𝑅)2]

Es el tiempo que tarda en pasar un elemento del fluido que está en el radio r es

𝑑𝑣 = 𝑢(𝑟)2𝜋𝑟𝑑𝑟


23

𝑑𝑣

𝑣0=𝑢(𝑟)2(𝜋𝑟𝑑𝑟)

𝑣0

𝐸(𝑡)𝑑𝑡 =𝑑𝑣

𝑣0

𝑑𝑡 =4

𝜏𝑅2{

(𝜏2)

1− (𝑟𝑅)2}

2

𝑑𝑟

𝑑𝑡 =4𝑡2

𝜏𝑅2𝑟𝑑𝑟

𝐸(𝑡)𝑑𝑡 =𝑑𝑣

𝑣0=𝐿

𝜏(2𝜋𝑟𝑑𝑟

𝑣0) =

𝐿

𝑡(2𝜋

𝑣0)𝜏𝑅2

4𝑡2= 𝑑𝑡

𝐸(𝑡) =𝜏2

2𝑡3

El tiempo mínimo

𝑡 =𝐿

𝑢𝑚á𝑥=

𝐿

2𝑢𝑝𝑟𝑜𝑚 (𝜋𝑅2

𝜋𝑅2)

𝑡 =𝑉

2𝑣0=𝜏

2

𝐸(𝑡) = {0 𝑡 < 𝜏/2𝜏

2𝑡3 𝑡 ≥ 𝜏/2

La 𝐹(𝑡) para 𝑡 ≥ 𝜏/2 es

𝐹(𝑡) = ∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡𝑡

0= 0 +∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡

𝑡

𝜏/2= ∫

𝜏2

2𝑡3𝑑𝑡

𝑡

𝜏/2=𝜏2

2∫

𝑑𝑡

𝑡3

𝑡

𝜏/2 = 1 −

𝜏2

4𝑡2


𝜏/2=𝜏2

2∫

𝑑𝑡

𝑡2

∞

𝜏/2=𝜏2

2[−1

𝑡]|𝜏2

∞

= 𝜏

𝐸(𝜃) = {0 𝜃 < 0.51

2𝜃3 𝜃 ≥ 0.5

𝐹(𝜃) = {0 𝜃 < 0.5

1 −1

4𝜃2 𝜃 ≥ 0.5


24

Diagnóstico.


25

Resolución de problemas usando la DTR.


26

Diagnóstico simple y resolución de problemas usando la DTR para

reactores ideales.

*Para un CSTR

A) Operación perfecta

Concentración: 𝐶(𝑡) = 𝐶𝑇0𝑒−𝑡

𝜏

Función de la DTR: 𝐸(𝑡) =1

𝜏𝑒−𝑡/𝜏

Función acumulativa: 𝐹(𝑡) = 1−1

𝜏𝑒−𝑡/𝜏

𝜏 =𝑉

𝑣0

B) Operación con derivación o bypass.

𝑣0 = 𝑣𝑆𝐵⏟𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

+ 𝑣𝑏⏟𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑞𝑢𝑒

𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑣𝑆𝐵 < 𝑣0 ∴ 𝜏𝑆𝐵 < 𝜏

Ejemplo: Digamos que el flujo volumétrico que experimenta una derivación del reactor 𝑣𝐵,

es 25% del total.

𝑣𝐵 = 0.25𝑣0

𝑣𝑆𝐵 = 0.75𝑣0

𝜏 =𝑉

𝑣𝑆𝐵=

𝑉

0.75𝑣0= 1.33𝜏

𝐸(𝑡) =𝑣𝑏𝑣0𝛿(𝑡 − 0) +

𝑣𝑆𝐵2

𝑉𝑣0𝑒−𝑡𝜏𝑆𝐵


27

C) Volumen muerto.

𝑉𝑆𝐷 < 𝑉 por lo que 𝜏𝑆𝐷 < 𝜏

Si 𝑉𝐷 = 0.2𝑉 y 𝑉𝑆𝐷 = 0.8𝑉 entonces 𝜏𝑆𝐷 =0.8𝑉

𝑣0= 0.8𝑉

Resumen.

*Para un reactor tubular.

A) Operación perfecta.

𝜏 =𝑉

𝑣0


28

B) Operación con canalización (derivación, D).

𝜏𝑆𝐵 > 𝜏

C) Volumen muerto.

𝜏𝑆𝐷 =𝑉𝑆𝐷𝑣0

𝜏𝑆𝐷 < 𝜏


29

Resumen.

*Para un PFR y un CSTR en serie.

𝐶 = 𝐶0𝑒−𝑡/𝜏

𝐸(𝑡) = {

0 𝑡 < 𝜏𝑝

𝑒−1−𝜏𝑝𝜏𝑠

𝜏𝑠 𝑡 ≥ 𝜏𝑝


30

Ejemplo.

Consideremos una reacción de segundo orden que se efectúa en un CSTR ideal seguido

por un PFR ideal: en el segundo sistema, el PFR precede al CSTR. Sean 𝜏𝑝 y 𝜏𝑝 cada

una igual a 1 min, la constante de velocidad de reacción igual a 1𝑚3

𝐾𝑚𝑜𝑙 𝑚𝑖𝑛 y la

concentración inicial del reactivo líquido, 𝐶𝐴0, igual a 1 𝐾𝑚𝑜𝑙/𝑚3. Encuentre la conversión

en cada sistema.

*Solución.

Consideraremos un CSTR seguido del PFR.

Balance del CSTR

𝑣0(𝐶𝐴0− 𝐶𝐴𝑖) = 𝑘𝐶𝐴𝑖2 𝑉

𝐶𝐴0 −𝐶𝐴𝑖−𝑘𝐶𝐴𝑖2 𝜏 = 0

𝑘𝐶𝐴𝑖2 𝜏𝑠+𝐶𝐴𝑖− 𝐶𝐴0 = 0

𝐶𝐴𝑖 =(−1±√1 − 4𝑘𝜏𝑠(−1))

2𝜏𝑠𝑘

𝐶𝐴𝑖 =−1 +√1+ 4

2= 0.618

𝐾𝑚𝑜𝑙

𝑚3

Esta concentración alimentar al PFR y el balance da:

𝑑𝐹𝐴𝑑𝑉

= 𝑣0𝑑𝐶𝐴𝑑𝑉

=𝑑𝐶𝐴𝑑𝜏𝑝

= 𝑟𝐴 = −𝑘𝐶𝐴2

Integrando


31

1

𝐶𝐴−1

𝐶𝐴𝑖= 𝜏𝑝𝑘

Si 𝜏𝑝 = 1, 𝐶𝐴𝑖 = 0.618, y 𝑘 = 1

1

𝐶𝐴−

1

0.618= 1

𝐶𝐴 = 0.382𝐾𝑚𝑜𝑙

𝑚3

La conversión sería

𝐶𝐴0 −𝐶𝐴𝐶𝐴0

= 𝑋𝐴

𝑋𝐴 =1 −0.382

1= 0.618

61.8%

Si cambiamos la configuración, es decir, primero el PFR y luego el CSTR tenemos:

1

𝐶𝐴𝑖−1

𝐶𝐴0= −𝑘𝜏𝑝

1

𝐶𝐴𝑖−1 = 1

1

𝐶𝐴𝑖= 2

𝐶𝐴𝑖 = 0.5𝐾𝑚𝑜𝑙

𝑚3

Y el CSTR

𝜏𝑠𝑘𝐶𝐴2 +𝐶𝐴−𝐶𝐴0 = 0

𝐶𝐴 =−1+√1 − 4𝐶𝐴0𝜏𝑠𝑘

2𝜏𝑠𝑘

𝐶𝐴 =−1+√1 − 4(−0.5)(1)

2

𝐶𝐴 =−1 +√1+ 2

2= 0.366

𝐾𝑚𝑜𝑙

𝑚3

𝑋 =1 − 0.366

1= 0.634


32

63.4%

“Moraleja: Si hay diferencia”

La DTR no describe de manera completa la estructura de un reactor o sistema de

reactores específicos.

Modelos para predecir la conversión a partir de datos de la DTR.

1) Cero parámetros ajustables.

a) Modelo de segregación,

b) Modelo de mezclado máximo.

2) Un parámetro ajustable.

a) Modelo de tanques en serie.

b) Modelo de dispersión.

3) Dos parámetros ajustables.

a) Modelo de reactores reales como combinación de reactores ideales.

¿Cómo usar la DTR para predecir la conversión de

un reactor real?

DTR Modelo Datos cinéticos

Conv ersión de salida y

concentraciones de salida.


33

La DTR nos indica nada sobre el intercambio de materia entre los elementos del fluido. La

mezcla de las especies reaccionantes es uno de los principales factores que controlan el

comportamiento de los reactores químicos.

Los modelos más complejos de reacciones no ideales, necesarios para describir

reacciones que no sean de primer orden, deben de tener información sobre

micromezclado además de macromezclado.

El macromezclado produce una DTR pero sin especificar, no obstante, como se

encuentran unas a otras moléculas de distintas edades dentro del reactor.

El micromezclado, describe como se encuentran moléculas de distintas edades, unas a

otras dentro del reactor. Hay dos extremos del micromezclado.

1) Todas las moléculas del mismo grupo de edades permanecen juntas a medida que

viajan por el reactor y no se mezclan con ninguna otra edad hasta salir del mismo

(segregación total).

2) Las moléculas de distintos grupos de edades se mezclan completamente a nivel

molecular tan pronto entran al reactor (una DTR dada).

Estos dos extremos otorgan los límites superior e inferior de conversión en un reactor no

ideal.


34

Para calcular la conversión es necesario sacar el

promedio de las conversiones de los diversos glóbulos en la corriente de salida.

Tota

lmen

te s

egre

gad

o

No hay intercambio de materia entre glóbulos.

Cada glóbulo contiene moléculas de la misma

edad.

Cada glóbulo pasa un tiempo distinto en el

reactor.

Cada glóbulo funciona como un reactor

intermitente.

Conversión alcanzada en un

glóbulo tras pasar un tiempo t en el reactor.

Fracción de glóbulos que

pasan un tiempo entre t y t+dt dentro del

reactor

Conversión media de los glóbulos que

pasan un tiempo entre t y t+dt dentro del

reactor.


35

𝑑�̅� = 𝑋(𝑡)𝐸(𝑡)𝑑𝑡

𝑑�̅�

𝑑𝑇= 𝑋(𝑡)𝐸(𝑡)

�̅� = ∫ 𝑋(𝑡)𝐸(𝑡)∞

0

Ejemplo.

Deduzca la ecuación para una reacción de primer orden empleando el modelo de

segregación cuando la DTR equivale:

a) Un PFR ideal.

b) Un CSTR ideal.

c) Un RFL.

Compare dichas conversiones con las que obtiene con la ecuación de diseño.

a) Para un PFR.

La DTR es 𝐸(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 𝜏)

Para una reacción de primer orden.

−𝑑𝑁𝐴𝑑𝑡

= −𝑟𝐴𝑉

Para 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒, 𝑁𝐴 = 𝑁𝐴0(1−𝑋)

𝑁𝐴0𝑑𝑋

𝑑𝑡= −𝑟𝐴𝑉 = 𝑘𝐶𝐴𝑉 = 𝑘𝑁𝐴0(1−𝑋)

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑘(1−𝑋)

𝑋 = 1 − 𝑒−𝑘𝑡

�̅� = 1 −∫ 𝑒−𝑘𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Sustituyendo 𝐸(𝑡)

�̅� = 1−∫ 𝑒−𝑘𝑡𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡∞

0

Utilizando las propiedades de la función delta de dirac.


36

�̅� = 1 − 𝑒𝑘𝑡 = 1 − 𝑒−𝐷𝑎

𝐷𝑎⏟𝐷𝑎𝑚𝑘öℎ𝑙𝑒𝑟

= 𝑘𝜏

Para un PFR el balance molar da

𝑑𝑋

𝑑𝜏= 𝑘(1−𝑋)

𝑋 = 1 − 𝑒−𝑘𝑡 = 1− 𝑒𝐷𝑎

Da lo mismo para un PFR ideal.

b) Para un CSTR.

𝐸(𝑡) =1

𝜏𝑒−𝑡𝜏

�̅� = 1 −∫ 𝑒−𝑡𝑘𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0= 1 −∫

1

𝜏𝑒−(1𝜏+𝑘)𝑑𝑡

∞

0

�̅� = 1+1

𝑘+1𝜏

1

𝜏𝑒−(1𝜏+𝑘)𝑡

|

0

∞

�̅� =𝜏𝑘

1+ 𝜏𝑘=

𝐷𝑎

1+𝐷𝑎

Con el balance de moles.

𝐹𝐴0𝑋 = −𝑟𝐴𝑉

𝑣0𝐶𝐴0𝑋= 𝑘𝐶𝐴0(1− 𝑋)𝑉

𝑋 =𝜏𝑘

1+ 𝜏𝑘

Da lo mismo para un CSTR ideal.

c) Para un RFL.

𝐸(𝑡) = {

0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 <𝜏

2𝜏2

2𝑡2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤

𝜏

2

𝐸(𝜃) = {0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃 < 0.51

2𝜃3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃 ≥ 0.5


37

Tenemos que

�̅� = 1 −∫ 𝑒−𝑘𝑡𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0= 1 −∫ 𝑒−𝜏𝑘𝜃𝐸(𝜃)𝑑𝜃

∞

0

�̅� = 1−∫𝑒−𝑘𝜏𝜃

2𝜃3𝑑𝜃

∞

0.5

Integrando por partes obtenemos:

�̅� = 1− (1 − 0.5𝜏𝑘)𝑒−0.5𝑘𝜏 − (0.5𝜏𝑘)2 ∫𝑒−𝑘𝜏𝜃

𝜃𝑑𝜃

∞

0.5⏟ integral exponencial

�̅� =(4 +𝐷𝑎)𝑒0.5𝐷𝑎 +𝐷𝑎 − 4

(4+ 𝐷𝑎)𝑒0.5𝐷𝑎+ 𝐷𝑎

Ejemplo.

Calcule la conversión media en el reactor que caracterizamos por las mediciones de la

DTR en algunos ejemplos anteriores para una reacción irreversible de primer orden en

fase líquida y fluido totalmente segregado.

𝐴 → 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑐𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑘 = 0.1𝑚𝑖𝑛−1 𝑎 320 𝐾


38

Cada glóbulo actúa como un reactor intermitente de volumen constante, por lo que

utilizaremos la ecuación de diseño de un reactor intermitente para obtener la ecuación

que proporciona la conversión en función del tiempo.

𝑋 = 1− 𝑒−𝑘𝑡 = 1− 𝑒−0.1𝑡

�̅� = ∫ 𝑋(𝑡)𝐸(𝑡)∞

0


39

t (min) E(t) min^-1 X(t) X(t)E(t)

0 0 0 0

1 0.02 0.095 0.0019

2 0.1 0.181 0.0019

3 0.16 0.259 0.0414

4 0.2 0.33 0.066

5 0.16 0.393 0.0629

6 0.12 0.451 0.0541

7 0.08 0.503 0.0402

8 0.06 0.551 0.0331

9 0.049 0.593 0.0261

10 0.03 0.632 0.01896

12 0.012 0.699 0.0084

14 0 0.75 0

�̅� = ∫ 𝑋(𝑡)𝐸(𝑡)∞

0= ∫ 𝑋(𝑡)𝐸(𝑡)

10

0+∫ 𝑋(𝑡)𝐸(𝑡)

14

10

=1

3[0 + 4(0.0019) + 2(0.018) + 4(0.0414) + 2(0.066)

+4(0.629) + 2(0.0541) + 4(0.0402) + 2(0.0331)

+4(0.0261) + 0.01896] +2

3[0.01896 + 4(0.0084) + 0]

= (0.350) + (0.035) = 0.385

�̅� = 38.5%


40

Modelo de mezclado máximo.

Consideraciones.

Tan pronto entra el flujo en el reactor, este se mezcla en forma radial (pero no

longitudinal).

La DTR del reactor de flujo tapón con aberturas laterales es idéntica a la DTR del

reactor ideal.

En el reactor con aperturas laterales, el mezclado ocurre en el momento más

temprano posible y es congruente con la DTR. A esto se le conoce como

mezclado máximo.

Estrategias para calcular la conversión en un reactor con mezclado máximo.

Las moléculas que

entran al final del

reactor están poco

tiempo en él. Moléculas que

pasaron mucho

tiempo en el reactor.


41

𝜆 es el tiempo que el fluido tarda en desplazarse desde un punto dado hasta el final del

reactor.

La velocidad de flujo volumétrico dentro del reactor es 𝜆 es:

𝑣(𝜆) = 𝑣0∫ 𝐸(𝜆)𝑑𝜆∞

0= 𝑣0(1− 𝐹(𝜆))

El volumen que tiene una esperanza de vida entre 𝜆 y 𝜆 + Δ𝜆 es:

Δ𝑉 = 𝑣0[1− 𝐹(𝜆)]Δ𝜆

La rapidez de generación de sustancia:

𝑟𝐴Δ𝑉 = 𝑟𝐴𝑣0[1 − 𝐹(𝜆)]Δ𝜆

Haciendo un balance de sustancia A entre 𝜆 y 𝜆 + Δ𝜆

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛 𝜆 + Δ𝜆

+𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜+𝑠𝑎𝑙𝑒𝑒𝑛 𝜆

+𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑝𝑜𝑟 𝑟𝑥𝑛

= 0

𝑣0(1− 𝐹(𝜆))𝐶𝐴|𝜆+Δ𝜆 +𝑣0𝐶𝐴0𝐸(𝜆)Δ𝜆− 𝑣0(1− 𝐹(𝜆))𝐶𝐴|𝜆+ 𝑟𝐴𝑣0(1− 𝐹(𝜆))Δ𝜆 = 0

Si dividimos entre 𝑣0Δ𝜆 y obtenemos el límite cuando Δ𝜆 → 0

𝐸(𝜆)𝐶𝐴0+𝑑

𝑑𝜆{[1− 𝐹(𝜆)]𝐶𝑎(𝜆)} + 𝑟𝐴 [1− 𝐹(𝜆)] = 0


42

O bien:

𝑑𝐶𝐴𝑑𝜆

= −𝑟𝐴 + (𝐶𝐴−𝐶𝐴0)𝐸(𝜆)

1−𝐹(𝜆)(𝑋)

𝑑𝑋

𝑑𝜆=

𝑟

𝐶𝐴0+

𝐸(𝜆)

1− 𝐹(𝜆)(𝑋)

Para obtener la solución integramos numéricamente hacia atrás, comenzando con un

valor muy grande de 𝜆 y terminando con 𝜆 = 0. Para una DTR y órdenes de reacción

mayores de 1, el modelo de mezclado máximo da el límite inferior de la conversión.

Límites de conversión para un reactor no ideal.

La dimerización de segundo orden en fase líquida.

2𝐴 → 𝐵

𝑟𝐴 = −𝑘𝐶𝐴2

Para la cual 𝑘 = 0.01𝑑𝑚3

𝑚𝑜𝑙 𝑚𝑖𝑛 se efectúa a una temperatura de 320°K. La alimentación es A

puro con 𝐶𝐴0 = 8𝑚𝑜𝑙

𝑑𝑚3. El reactor es no ideal y tal vez podría modelarse como un CSTR con

intercambio. El volumen del reactor es de 1000 𝑑𝑚3 y la velocidad de alimentación para

esta dimerización va a ser de 25 𝑑𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Hemos efectuado una prueba con trazador en

este reactor y los resultados se dan en las columnas 1 y 2 de la tabla.

Queremos conocer los límites de la conversión con diferentes grados posibles de

micromezclados para la DTR de este reactor.

Calcule los límites.

Prueba del trazador en el reactor de tanque 𝑁0 = 100𝑔 y 𝑣0 = 25 𝑑𝑚3/𝑚𝑖𝑛

𝜏 =1000

25


43

t (min) C (mg/dm^3)

0 112.00

5 95.80

10 82.20

15 70.60

20 60.90

30 45.60

40 34.50

50 26.30

70 15.70

100 7.67

150 2.55

200 0.90

Si grafico los datos de C vs t tengo un ajuste exponencial.

𝐶(𝑡) = 98.17𝑒−0.024𝑡


0= ∫ 98.17𝑒−0.024𝑡𝑑𝑡

200

0= 98.17∫ 𝑒−0.024𝑡𝑑𝑡

200

0

= 98.171

−0.024𝑒−0.024(200) −

98.17

−0.024

= −98.17

0.024(𝑒−0.024(200) −1)

La ∫ 𝐸(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡)∞

0

𝐸(𝑡) = 0.0242𝑒−0.024𝑡

−0.0242∫ 𝑒−0.024𝑡200

0𝑑𝑡 = −0.0242𝑒−0.0242𝑡|0

200

−0.0242(𝑒−0.0242(200) − 𝑒0)

Ver Excel.

−𝑑𝑁𝐴𝑑𝑡

= −𝑟𝐴𝑉

𝑁𝐴0(1−𝑋) = 𝑁𝐴

𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0(1−𝑋)

𝑑𝑁𝐴 = −𝑁𝐴0𝑑𝑋


44

𝑁𝐴0𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑘𝐶𝐴

2𝑉

𝐶𝐴0𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑘𝐶𝐴0

2 (1−𝑋)2

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑘𝐶𝐴0(1− 𝑋)

2

∫𝑑𝑋

(1 −𝑋)2

𝑋

0= 𝑘𝐶𝐴0∫ 𝑑𝑡

𝑡

0

𝑢 = 1−𝑋𝑑𝑢 = −𝑑𝑋

−(1 −𝑋)−1

−1|0

𝑋

= 𝑘𝐶𝐴0𝑡|0𝑡

1

1− 𝑋−

1

1− 0= 𝑘𝐶𝐴0𝑡

1

1−𝑋− 1 = 𝑘𝐶𝐴0𝑡

1

1−𝑋= 𝑘𝐶𝐴0𝑡+ 1

(𝑘𝐶𝐴0𝑡+ 1)(1− 𝑋) = 1

(1−𝑋) =1

𝑘𝐶𝐴0𝑡+ 1

1−1

𝑘𝐶𝐴0𝑡+ 1= 𝑋

𝑘𝐶𝐴0𝑡 + 1− 1

𝑘𝐶𝐴0𝑡+ 1= 𝑋

𝑋 =𝑘𝐶𝐴0𝑡

𝑘𝐶𝐴0𝑡+ 1

El de segregación dice:

�̅� = ∫ 𝑋(𝑡)𝐸(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Para una reacción de segundo orden para el método de mezclado máximo.

𝑑𝑋

𝑑𝜆=𝑟𝐴𝐶𝐴0

+𝐸(𝜆)

1− 𝐹(𝜆)(𝑋)


45

𝑑𝑋

𝑑𝜆= −𝑘𝐶𝐴0(1− 𝑋)

2+𝐸(𝜆)

1− 𝐹(𝜆)(𝑋)

Para integrar esta ecuación utilizaremos el método de Euler.

𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖+ ∆𝜆 [−𝑘𝐶𝐴0(1−𝑋𝑖)2+

𝐸(𝜆)

1 + 𝐹(𝜆)(𝑋𝑖)]

OJO: Hay que integrar al revés !!!

Y utilizando Excel.

DTR y reacciones múltiples.

Modelo de segregación.

𝐶𝐴̅̅ ̅ = ∫ 𝐶𝐴(𝑡)𝐸(𝑡)∞

0𝑑𝑡

𝐶𝐵̅̅ ̅ = ∫ 𝐶𝐵(𝑡)𝐸(𝑡)∞

0𝑑𝑡

𝑑𝐶𝐴𝑑𝑡

= 𝑟𝐴 =∑𝑟𝑖𝐴

𝑖=𝑞

𝑖=1

𝑑𝐶𝐵𝑑𝑡

= 𝑟𝐵 =∑𝑟𝑖𝐵

𝑖=𝑞

𝑖=1

Se resuelven simultáneamente con:

𝑑𝐶𝐴̅̅ ̅̅ ̅

𝑑𝑡= 𝐶𝐴(𝑡)𝐸(𝑡)

𝑑𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ̅

𝑑𝑡= 𝐶𝐵(𝑡)𝐸(𝑡)

Mezclado máximo.

𝑑𝐶𝐴𝑑𝜆

= −∑𝑟𝑖𝐴 + (𝐶𝐴 −𝐶𝐴0)𝐸(𝜆)

1 − 𝐹(𝜆)

𝑑𝐶𝐵𝑑𝜆

= −∑𝑟𝑖𝐵 + (𝐶𝐵− 𝐶𝐵0)𝐸(𝜆)

1− 𝐹(𝜆)

Ojo: Integrando hacia atrás.

Ver ejemplo 13.9


46

Engineering

Distribuciones de tiempos_de_residencia_en_reactores_quimicos