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CONOCIENDO ALGO MÁS ACERCA DE LA YUPANA

¿EL QUIPU ERA ANÁLOGO A UN SISTEMA DE CÁLCULO? El quipu no fue utilizado como un instrumento de

cálculo. Años de estudio demuestran que los valores

numéricos identificados en los quipus eran anotaciones

de cálculos realizados a través de otro sistema. Los

investigadores piensan que uno de los métodos que

tuvieron los incas para efectuar cuentas fue utilizando

pequeñas piedras para operaciones matemáticas más

complejas por medio de una suerte de "ábaco", llamado

yupana. Los resultados de dichos cálculos habrían sido

después anotados por medio de nudos en los quipus

El Quipucamayoc del Tahuantinsuyo era el administrador

de los bienes del imperio por encargo del Inca, tal como

podemos ver en la imagen del lado derecho donde se

le ve junto a la representación de un tablero de cálculo

andino llamado Yupana. Dibujo del cronista Guamán Poma de Ayala[1615].

¿QUÉ ES LA YUPANA? La Yupana es un ábaco que fue utilizado por los contadores del imperio incaico

(quipucamayoc). Yupana es un vocablo quechua que significa "lo que sirve para contar". El

diseño genérico de la yupana como material educativo se basa en la tabla presentada por

GUAMAN POMA DE AYALA a los niños de esa zona: Donde U, D, C, UM y DM significa

Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil, Decenas

de Mil, respectivamente.

¿CÓMO SE USABA LA YUPANA? La YUPANA se usaba de la siguiente manera; cada

piedrecita en la columna de las Unidades significa una

unidad, igual en la decena, centena, entre otros tenemos:

UNO = HUK.

DOS = ISKAY.

TRES = KIMSA.

CUATRO = TAWA.

CINCO = PISQA.

SEIS = SUQTA.

SIETE = QANCHIS.

OCHO = PUSAQ.

NUEVE = USQUN.

Si nada se coloca en la columna de las unidades equivale a CERO = CH'USA.

Una vez que ha completado con piedrecitas la columna de las Unidades DIEZ = CHUNKA, Se pide que en su reemplazo, se coloque una piedra en la columna de las Decenas. Así, se

continúa agregando piedrecitas en la columna de las Unidades, una más formará el ONCE =

CHUNKA HUKNIYUQ y así sucesivamente.

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Noción de división y fracción.

NIVEL INICIAL Motivación.

Realizamos la dinámica “La ensalada de frutas”, la cual consiste en formar tres o más grupos

de 6 integrantes aproximadamente; cada grupo será los platos de frutas (naranjas, plántanos,

manzanas, etc.) Así mismo del grupo de participantes se escogen entre 4 a 5 personas que

simularán ser los cocineros que prepararán la ensalada de frutas.

La dinámica consiste en que las frutas en grupo deberán cambiar de plato (un círculo dibujado

en el patio) al escuchar el sonido del silbato; durante el trayecto los cocineros deberán atrapar

la mayor cantidad de frutas que pasen de un lugar a otro. Cuando se detenga la dinámica se

pedirá a los integrantes de cada grupo que cuenten a sus compañeros y conjuntamente con

ellos veremos cuantas partes del total (UNIDAD) se han ido quitando mientras se desplazaban

de un lugar a otro.

Ejemplo: Éramos 6 naranjas; nos quitaron 2 ahora quedamos 4 de 6 naranjas (4/6)

Plátanos Manzanas

Plato de ensalada

Naranjas

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 2

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Con material concreto

Los grupos vuelven al salón y dialogamos acerca de la actividad realizada en el patio; logrando

establecer que la noción de fracción se da partiendo de la UNIDAD que eran todos los

integrantes del grupo (6) y la fracción que son aquellas partes que fueron tomadas de la

unidad. 2 de 6 = 2/6

Se entrega a los participantes en la clase una barra de plastilina y luego se les pregunta ¿Qué

cantidad representa la barrita de plastilina? tienen como unidad una barrita de plastilina;

¿pueden compartir la plastilina con su compañero? ¿cómo lo harían?, sugerimos que sean en

partes iguales. Repartido volvemos a preguntar ¿Podemos seguir compartiendo con los demás

compañeros? ¿Cómo lo hacemos? ¿Puedes darle la mitad?. Sugerimos que siga partiéndolo

por la mitad reforzar la idea de dividir.

Nivel Primario

Motivación.

Se realiza un juego “El reparto del botín” en el cual los integrantes de cada grupo deberán

repartirse el botín que consta de mandarinas; estas representarán al botín incautado durante la

travesía de los piratas y luego tras un naufragio las mandarinas es lo único que queda, el

capitán noblemente desea repartir el botín equitativamente con su marinos.

Se pide a los niños que repartan las mandarina; el jefe de grupo simulará ser el capitán,

mientras lo hacen damos consignas como que sean equitativos y que lo hagan con todos los

miembros de su grupo. Una vez repartido preguntamos ¿Cómo hicieron para repartir las

mandarinas? ¿Qué consideraron para realizar la repartición?.

Respondidas las preguntas los niños degustan las mandarinas. Hay que tener en cuenta que

se menciona la palabra repartir, compartir o algún similar, evitando mencionar las palabras

dividir, fraccionar o similar.

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 3

Page 5: Yupana fraccionaria   pdf

Los niños posteriormente grafican en papelotes lo realizado con el juego de las mandarinas,

posteriormente en la pizarra el docente pregunta por grupo la cantidad de gajos de mandarina

que había inicialmente; escribe la cantidad que representa el denominador y luego que

cantidad le toco a cada uno, que representaría el numerador.

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2 12 Se reparte un papel con divisiones de diferentes colores con el cual se trabajaremos la noción

de equivalencia con los niños.

SI ME LLEVO 2 PEDACITOS DE LOS 12 SON…

Se pedirá que miren un color en particular inicialmente el verde, se pedirá que lo dividan a la

mitad y le escriban el número equivalente en fracción por ejemplo: Uno de las dos partes es

igual a ½ un medio; posteriormente se pedirá que lo vuelvan a doblar en las líneas del color

celeste; preguntamos ¿cuántas partes hay? ¿Cuánto representa una sola parte?, entonces una

de cuatro partes es igual a ¼ un cuarto, por lo tanto 2/4 dos cuartos es igual a ½ un medio;

luego pedimos que continúen doblando por la parte amarilla, así sucesivamente haciendo notar

que la suma de dos fracciones menores ubicadas en la parte inferior es igual a una fracción

mayor ubicada en la parte superior. Ejemplo: 2/8 es igual a 1/4 y así mismo 2/4 es igual a 1/2.

(1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16) (1/16)

(1/32) (1/32)(1/32) (1/32)

UN MEDIO( 1/2) UN MEDIO(1/2)

UN CUARTO(1/4) UN CUARTO(1/4) UN CUARTO(1/4) UN CUARTO(1/4)

UN OCTAVO(1/8) UN OCTAVO(1/8) UN OCTAVO(1/8) UN OCTAVO(1/8) UN OCTAVO(1/8) UN OCTAVO(1/8) UN OCTAVO(1/8) UN OCTAVO(1/8)

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LA YUPANA FRACCIONARIA Como anteriormente se había mencionado la Yupana era usada como una calculadora por

nuestros antepasados los incas para realizar sus cálculos acerca de conteo de diferentes

actividades ganado, comercio, tributo, etc. Actualmente se usan algunos modelos como se

veremos en la foto 1, pero para nuestro presente trabajo se realizaron algunas variantes desde

el cambio de posición a horizontal, la división de nuevas columnas Numerador, Denominador y

Entero con otras sub columnas interiores con U, D, C vemos foto 2.

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 5

Foto 1 Podemos apreciar 2 modelos de yupana; las cuales están en su posición original (vertical) tal como se usaban en el incanato

Foto 2 Apreciamos la Yupana Fraccinaria; la cual cambio su posición a horizontal así mismo se adicionaron 3 columnas Numerador, Denominador y Entero

Los niños de IV y V ciclo pueden trabajar con la yupana fraccionaria; ya que ellos tienen

noción de fracción, se puede trabajar con esta estrategia las cuatro operaciones básicas con

fracciones. Para ello empleamos el siguiente tablero; así como también debemos emplear

algunas fichas de color para poder señalar la ubicación en donde estamos operando en el

tablero posicional.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Page 7: Yupana fraccionaria   pdf

Las fichas representan a una fracción las cuales se ubican dentro del cuadro que a diferencia

de otros modelos de Yupana tiene tres columnas principales que son: Enteros, Denominador y Numerador, dentro de las cuales también esta dividido en tres columnas: U = Unidades; D = Decenas y C = Centenas; obviamente se puede agregar algunas columnas como Millar ,

Decena de Millar, etc., pero para aprender la utilidad inicial de la Yupana Fraccionaria es mas

fácil hasta las centenas.

Por ejemplo para representar la fracción 2/5 utilizamos una ficha que será ubicada en la

columna del numerador en la fila 2, posteriormente ubicaremos en la columna del

denominador en la fila 5; tal como detalla el siguiente gráfico.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Ahora representaremos 2 fracciones y para diferenciarlas utilizaremos fichas de diferente color.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

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5

= 3/5 = 4 / 7

Como vemos en la tabla anterior para representar números mayores que 5 se debe emplear

dos dichas; podemos hacer cualquier combinación de números en cada columna pero no se puede colocar dos fichas de un mismo color en un solo casillero y tampoco podemos hacer un número mayor de 9; en tal caso empleamos la columna de las decenas y así

Page 8: Yupana fraccionaria   pdf

sucesivamente para representar números mayores; como veremos más adelante en la

simplificación de fracciones usaremos una mayor cantidad de fichas para trabajar hasta las

centenas.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

En esta ocasión emplearemos un mayor número de fichas para representar una fracción que

incluya las centenas luego haremos el proceso de simplificación, lo importante en el trabajo con

los niños y niñas es que vean que durante el proceso de simplificar el número de fichas va

disminuyendo así como el número tanto en el numerador como en el denominador; por ejemplo

colocaremos la fracción 128 / 192

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Como vemos empleamos 8 fichas de un mismo color las cuales están distribuidas de la

siguiente forma:

NUMERADOR 128 = 1 C = 100

2 D = 20 3 U + 5 U = 8

DENOMINADOR 192 = 1 C = 100

1 D + 3 D + 5 D = 90 2 U = 2

Podemos reforzar los ejercicios de cálculo mental mientras usamos la yupana fraccionaria; por

ejemplo: Sabemos que la simplificación en las fracciones es tanto para el numerador como

para el denominador, entonces debemos de buscar mentalmente un número que pueda dividir

a los y realizamos la operación en nuestra yupana.

Mitad (÷2) Mitad (÷2) …

128 = 64 32 16 8 4 2

192 96 48 24 12 6 3

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Page 9: Yupana fraccionaria   pdf

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

128

192

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

64 96

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

32 48

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

16

24

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

8 12

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 8

Page 10: Yupana fraccionaria   pdf

En las yupanas anteriores vemos que el número de fichas va disminuyendo mientras se va

simplificando, mientras realizamos la acción de simplificar en la yupana se hace notar a los

niños y niñas la reducción del número de fichas inicialmente empleadas.

SUMA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

En la suma de fracciones necesariamente debemos utilizar 2 fichas de colores distintas las

cuales representarán dos fracciones diferentes las cuales sumaremos, en caso de ser una

fracción impropia o mixta necesitaremos de una tercera ficha de color para convertirlo a

fracción propia.

Veremos un ejemplo de la manera más simple: = 3/8 = 4/8

3 / 8 + 4 / 8 = 7 / 8 ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 9

Como sabemos en las fracciones homogéneas iguales denominadores se escribe el mismo

denominador en nuestro caso solamente debemos de escoger un color de ficha que se

quedará en la columna del denominador y con ese mismo color dejaremos finalmente nuestra

fracción. Luego se suma en la columna del numerador los números de las fracciones que

quedaron eliminando la ficha de la fracción (color ) sobrante.

El resultado de la suma es 7 / 8

5

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

7 8

Page 11: Yupana fraccionaria   pdf

RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Tal como trabajamos anteriormente la suma de fracciones homogéneas de la misma manera

se trabaja a resta de fracciones.

Veremos un ejemplo de la manera más simple: = 9/8 = 4/8

9 / 8 + 4 / 8 = 7 / 8 ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 10

Como ya vimos anteriormente en las fracciones homogéneas iguales denominadores se

escribe el mismo denominador nosotros debemos escoger un color de ficha que se quedará

en la columna del denominador luego restamos los números del numerador y con ese

mismo color dejaremos finalmente nuestra fracción.

El resultado de nuestra resta es 5 / 8

SUMA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Para el caso de las fracciones heterogéneas cabe resaltar que se debe sacar el mínimo común

múltiplo, para lo cual debemos de contar con una tercera ficha de otro color que nos ayudará

en estos casos. En la suma de heterogéneas distribuimos las fichas sobre la yupana tal igual

como anteriormente se mostró en los ejemplos de la suma de fracciones homogéneas.

Veremos un ejemplo simple: = 2 / 3 = 7 / 5

2 / 3 + 7 / 5 = 31 / 15

2

3

5

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

5 8

Page 12: Yupana fraccionaria   pdf

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 11

Como sabemos en las fracciones heterogéneas lo primero que hay que sacar es el mínimo

común múltiplo de los denominadores; el cual será representado en la Yupana Fraccionaria

con una ficha diferente o de otro color. En el ejemplo que estamos representando los

denominadores son 3 y 5 mediante, por lo tanto su mínimo común múltiplo sería 15.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Veremos el M.C.M representado con la siguiente ficha: = 15

Después de colocar el denominador realizamos la operación de división y multiplicación entre

los números que conforman la columna DENOMINADOR, empezamos por el M.C.M entre 3

luego se multiplica por la columna NUMERADOR en el número 2 dando como respuesta 10

que irá colocado en la columna de las decenas en el NUMERADOR; luego se realiza la

segunda operación 15 entre 5, luego el resultado se multiplica por el DENOMINADOR dando

como respuesta 21. Veremos a continuación la Yupana resuelta.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

2

3

5

Page 13: Yupana fraccionaria   pdf

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Como podemos apreciar en la Yupana de la parte superior las fichas de los denominadores

han sido eliminadas debido a que ya se realizó la operación (división y se multiplico por su

respectivo color de ficha) dando como resultado el producto de ambas fracciones en el

numerador = 10 + = 21 la cual posteriormente se tiene que sumar.

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 12

3115

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Como vemos la fracción es irreducible y nos queda 31/15 caso contrario deberíamos

simplificar hasta reducirlo a su mínima expresión; tal como lo vimos en un principio

RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Tal como se realizó en la suma de fracciones, en este caso se debe sacar también el mínimo

común múltiplo, (M. C. M.) para lo cual debemos de contar con una tercera ficha de otro color.

Para la resta de heterogéneas distribuimos las fichas sobre la yupana tal igual como

anteriormente se mostró en el ejemplo de suma de fracciones heterogéneas; procedemos a

resolver.

Veremos un ejemplo: = 9 / 12 = 5 / 4

9 / 12 - 5 / 4 = 24 / 12

Page 14: Yupana fraccionaria   pdf

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 13

6 12

3

5

El mínimo común múltiplo de 9/12 y 5/4 es 12; por lo cual colocaremos una nueva ficha en la

yupana fraccionaria en la columna de los denominadores la que se verá así = 12

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Se divide el M.C.M. con los denominadores que en este caso son 12 y 4, posteriormente se

multiplica con en numerador correspondiente; en el caso de la yupana fraccionaria el

denominador con su respectivo color en el numerador; que nos da como resultado la siguiente

tabla. En el numerador nos queda 15 - 9 y en el denominador 12 que fue el M.C.M,

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Page 15: Yupana fraccionaria   pdf

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

En este caso sabemos que los numeradores de dos fracciones se multiplican entre si y los

denominadores también se multiplican entre si; por lo que tendrá mucha similitud con la suma

de fracciones homogéneas; con la salvedad de que los números inicialmente se multiplican.

Como sabemos empleando otra estrategia se puede simplificar el numerador del primer factor

con el denominador del segundo factor y viceversa si se pudiera; luego se multiplican

numeradores entre si y luego denominadores entre si. Para ilustrar lo antes mencionado lo

emplearemos en la yupana fraccionaria.

Veremos un ejemplo: = 1 / 4 = 2 / 5

1 / 4 de 2 / 5 es lo mismo que decir 1 / 4 x 2 / 5

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Realizamos las operaciones de multiplicación entre los numeradores y denominadores de

ambos factores: 1 (Numerador 1ra fracción) x 2 (Numerador 2da fracción)

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Como podemos apreciar en la columna numerador solamente queda el valor de 2 ya que como

sabemos 2 x 1 = 2. Ahora trabajaremos con la columna del denominador multiplicando 4 x 5, como sabemos nos da como resultado 20 para lo cual escogemos la ficha del mismo color.

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 14

Page 16: Yupana fraccionaria   pdf

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

2 20

Tal como podemos ver en la Yupana Fraccionaria nos quedamos con la siguiente fracción 2/20

Y como apreciamos son números pares los cuales se pueden simplificar como a continuación

lo haremos.

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 15

1 10

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Tanto al numerador como en denominador se les saca la mitad y nos da como resultado 1/10

de la misma manera se realiza la multiplicación con otras fracciones.

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Primero como sabemos en la división de fracciones, inicialmente trabajamos con la segunda

fracción donde se invierten los factores, es decir lo que inicialmente fue el numerador y

denominador cambian de posición, según nuestro ejemplo si tenemos la siguiente división de

fracciones 2/4 ÷ 5/6 luego de trabajar con la segunda fracción debe quedar 2/4 ÷ 6/5. Ahora veremos como se trabaja en la Yupana Fraccionaria.

Veremos un ejemplo: = 1 / 4 = 5 / 6 la división es 2/4 ÷ 5/6

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Page 17: Yupana fraccionaria   pdf

Ahora invertimos la segunda fracción en la Yupana Fraccionaria y deberá quedar 2/4 ÷ 6/5

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Una vez hecho el cambio se trabaja igual que en la multiplicación de fracciones, entonces

realizamos las operaciones de multiplicación entre los numeradores y denominadores de

ambos factores: 2 (Numerador 1ra fracción) x 6 (Numerador 2da fracción) y el 4 (Denominador

1ra fracción) x 5 (Denominador 2da fracción), la operación será entonces 2 x 6 y 4 x 5.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

1220

Como resultado nos da la siguiente fracción 12/20;se puede simplificar a su mínima expresión.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

6 10

3 5

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 16

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Page 18: Yupana fraccionaria   pdf

Tal como apreciamos después de simplificar nos da como fracción final 3/5 el cual ya no se

puede reducir.

OPERACIONES CON NÚMEROS MIXTOS

En las operaciones de fracciones con números mixtos en las fracciones se puede trabajar con

una fracción mixta, homogéneos ó heterogéneos junto a otra fracción mixta (parte entera y

fracción), veremos ahora como en la yupana fraccionaria podemos resolverlo con facilidad.

Veremos un ejemplo: = 2 / 3 = 1 3 / 5

La operación será una división es 1 3 / 5 ÷ 2 / 3

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Primero debemos transformar la fracción mixta en heterogénea, como recordaremos para

convertirlo se multiplica el denominador por la parte entera y luego se suma con el

numerador ( 5 x 1 + 3 ) nos dará 8/5. Resolvemos en la Yupana Fraccionaria.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Invertimos la segunda fracción porque estamos realizando una división de fracciones. ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 17

5

Page 19: Yupana fraccionaria   pdf

Posteriormente trabajamos como en la multiplicación de fracciones, numeradores entre si y

denominadores entre si.

Posteriormente trabajamos como en la multiplicación de fracciones, numeradores entre si y

denominadores entre si.

ENTERO ENTERO DENOMINADOR DENOMINADOR NUMERADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

24

Prof. Angel Bernabé Palli Salas Pág. 18

10

125

2 2 255

1

2

3

5

Da como resultado de la multiplicación 24/10 el cual se puede simplificar como se hará a

continuación.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

La fracción podría quedar en 12/5 o en caso contrario podríamos convertirlo en fracción mixta

la y quedaría de la siguiente manera 2 2/5.

ENTERO DENOMINADOR NUMERADOR

C D U C D U C D U

1

2

3

5

Como vemos el uso de la Yupana Fraccionaria es muy versátil para poder trabajar de manera

lúdica las fracciones de una manera diferente, contribuyendo fuertemente al cálculo mental de

los estudiantes mientras juegan y resuelven ejercicios.