2.1 Componentes de un vector

2.2 Suma de vectores utilizando componentes

2.3 Regla del paralelogramo

2.4 Asociatividad de la suma

2.5 Conmutatividad de la suma

2.6 Sumas y restas de vectores

2.7 Vectores y traslaciones

2.8 Vectores y fuerzas. Un ejemplo: un barco en un canal

2.9 Productos por escalares y combinaciones lineales

2.10 Más sobre combinaciones lineales

2.1 COMPONENTES DE UN VECTOREn esta unidad veremos que un vector también puede venir dado por un par de números. Definamos en el plano donde tenemos los vectores un sistema de coordenadas. Es decir, un punto origen, y dos ejes perpendiculares. A todo punto P haremos corresponder un par de números que son sus coordenadas (x,y); se escribe P(x,y). Por ejemplo, A(1,2) y B(4,6).

Un vector queda identificado por los dos números siguientes:- su primera componente, que es el número que hay que sumar a la primera coordenada  de A para obtener la primera coordenada de B; en nuestro caso, un 3- su segunda componente, que es el número que hay que sumar a la segunda coordenada  de A para obtener la segunda coordenada de B; en nuestro caso, un 4

Se identifica el vector con sus componentes y se escribe =(3,4).

Podemos escribir A + = B, o bien = B - A, que es una forma muy cómoda de obtener las componentes de un vector conocidos su origen A y su extremo B.También puede verse que dos vectores son iguales (es decir, con la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo) si y sólo si tienen las mismas componentes.

Moviendo los puntos verdes haz las siguientes construcciones:

1) Dibuja un vector con origen en el punto A(-1,3) y extremo en el punto B(2,-2). ¿Qué componentes

tiene el vector ?2) Sitúa el punto A en (-3,-2), es decir, A(-3,-2).

Después intenta situar el punto B de forma que = (9,5). ¿Qué coordenadas tiene B?3) Sitúa el punto B en (-7,5), es decir, B(-7,5).

Después intenta situar el punto A de forma que = (-8,11). ¿Qué coordenadas tiene A?

Comprueba que siempre se verifica = B - A

1) Vector con origen en A(-1,3) y extremo en B(2,-2):

Componentes de = (3,-1)

Comprobación de que siempre se verifica = B - A:                      (3,-1) = (2,-2) - (-1,3)

2) Punto A en (-3,-2) y punto B de forma que = (9,5):

Coordenadas de B: (6,3)

Comprobación de que siempre se verifica = B - A:                      (9,5) = (6,3) - (-3,-2)

3) Punto B en (-7,5) y punto A de forma que = (-8,11):

Coordenadas de A: (1,-6)

Comprobación de que siempre se verifica = B - A:                      (-8,11) = (-7,5) - (1,-6)

 2.2 SUMA DE VECTORES TRABAJANDO CON COMPONENTES

La suma de vectores es una operación muy fácil de hacer cuando se trabaja con componentes; basta sumar las dos componentes, la 1ª con la 1ª y la 2ª con la 2ª.

Así, en la figura tienes las sumas siguientes:

+ =  (1 , 3) + (4 , 2)  =  (1+ 4 , 3+3)  =  (5 , 5)

  + =  (-1,-3) + (5 , 2)  =  (-1+ 5,-3+2)  =  (4 , -1)

En general, si = (u1 , u2)  y = (v1 , v2), entonces

+ = (u1 , u2) + (v1 , v2) = (u1+ v1 , u2+ v2)

Tienes dos vectores y , y su vector suma + . Puedes mover los puntos verdes para variar los vectores.

Haz gráficamente las siguientes sumas de vectores dados por sus componentes:

1)   (4,-2) + (2, 5)2)   (-3,1) + (4,-7)3)   (0,-4) + (-6,7)4)   (3,-3) + (3,-3)5)   (5, 4) + (1,-4)6)   (-5,3) + (5,-3)

Observa que siempre se verifica:   Componentes de ( + ) = Componentes de + Componentes de

1) (4,-2) + (2, 5) = (6,3)

2) (-3,1) + (4,-7) = (1,-6)

3) (0,-4) + (-6,7) = (-6,3)

4) (3,-3) + (3,-3) = (6,-6)

5) (5, 4) + (1,-4) = (6,0)

6) (-5,3) + (5,-3) =(0,0)

2.3 REGLA DEL PARALELOGRAMOSi aplicamos la regla del paralelogramo para realizar una suma de dos vectores dados por sus componentes, también llegamos a la conclusión de que se han de sumar las respectivas componentes de cada vector sumando.

Así en la figura tenemos la sumas de los mismos vectores de la actividad anterior

+ =  (1 , 3) + (4 , 2)  =  (1+ 4 , 3+3)  =  (5 , 5)

  + =  (-1,-3) + (5 , 2)  =  (-1+ 5,-3+2)  =  (4 , -1)

realizadas ahora utilizando la regla del paralelogramo.

También se comprueba que si = (u1 , u2)  y = (v1 , v2), entonces

+ = (u1 , u2) + (v1 , v2) = (u1+ v1 , u2+ v2)

Ahora tienes la suma + de dos vectores obtenida aplicando la regla del paralelogramo.

Moviendo los puntos verdes para variar los vectores, haz gráficamente las siguientes sumas de vectores dados por sus componentes:

1)   (4, -2) + ( 2, 5)2)   (-3, 1) + ( 4,-7)3)   (0, -4) + (-6, 7)4)   (3, -3) + (-3,-3)5)   (5,  4) + ( 1,-4)6)   (-5,-3) + ( 5, 3)

Observa también que siempre se verifica:   Componentes de ( + ) = Componentes de +

Componentes de

1) (4, -2) + ( 2, 5) = (6,3)

2) (-3, 1) + ( 4,-7) = (1,-6)

3) (0, -4) + (-6, 7) = (-6,3)

4) (3, -3) + (-3,-3) = (0,-6)

5) (5,  4) + ( 1,-4) = (6,0)

6) (-5,-3) + ( 5, 3) = (0,0)

2.4 ASOCIATIVIDAD DE LA SUMAEn esta actividad demostraremos la asociatividad de la suma de vectores trabajando con componentes.

Si =(a1 , a2), =(b1 , b2)  y =(c1 , c2), entonces

( + ) + = [(a1 , a2) + (b1 , b2)] + (c1 , c2)                     = (a1+b1 , a2+b2) + (c1 , c2)                     = (a1+b1+c1 , a2+b2+c2)                     = (a1 , a2) + (b1+c1 , b2+c2)                     = (a1 , a2) + [(b1 , b2) + (c1 , c2)]

                     = + ( + )

Observa que la demostración que hemos hecho se basa en la asociatividad de la suma de números.

Esta construcción pone de manifiesto que los vectores ( + ) + y + ( + ) siempre coinciden.

Puedes mover los puntos verdes y con ellos los vectores , y para convencerte.

Muévelos de muchas formas y observa que siempre se verifica

( + ) + = + ( + )

Comprueba que las componentes de los vectores , , , + , + y + + también verifican esta identidad.

Moviendo el vector

Moviendo el vector

Moviendo el vector

Moviendo todos los vectores

2.5 CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA DE TRES VECTORESEn esta actividad demostraremos la conmutatividad de la suma de vectores trabajando con componentes.

Si =(a1 , a2) y =(b1 , b2), entonces + = (a1 , a2) + (b1 , b2) = (a1+b1 , a2+b2)

          = (b1+a1 , b2+a2)  = +

Observa que la demostración que hemos hecho se basa en la conmutatividad de la suma de números.

También es fácil de ver trabajando con componentes que la conmutatividad de la suma puede aplicarse a cualquier suma de más de dos vectores:

+ + = + + = + + = + + = + + = ... etc.

Tienes una construcción que representa la suma de vectores = + + .

Puedes trasladar los tres vectores , y moviendo el correspondiente punto verde.

1) Haz una construcción que represente la suma = + + . Es decir, cambia el orden de los

sumandos y comprueba  que se obtiene el mismo vector .

2) Repite la construcción representando ahora la suma = + + .

3) Finalmente, representa como suma de los tres vectores , y en un orden diferente de los dos anteriores.

Observa que trabajando con componentes también se verifica la conmutatividad de la suma de tres vectores.

1) = + +

(24,10)+(16,-12)+(6,-8) = (46,-10)

2) = + +

(16,-12)+(6,-8)+(24,10) = (46,-10)

3) = + +

(24,10)+(6,-8)+(16,-12)=(46,-10)

2.6 SUMAS Y RESTAS DE VECTORES

Recordemos que la diferencia - entre dos vectores y se define como la suma del primero de ellos con el opuesto del segundo:                                           - = + ( - )

Como es fácil ver que las componentes de - se obtienen cambiando de signo las componentes de , es decir, si = (v1 , v2) entonces  - = (-v1 , -v2), se llega a la conclusión de que para restar dos vectores basta restar sus componentes:            - = + ( - ) = (u1 , u2) + (-v1 , -v2) = (u1- v1 , u2- v2)Resumiendo, las sumas/restas de dos vectores = (u1 , u2) y = (v1 , v2) , cuando se trabaja con componentes, se obtienen así:                                    + = ( u1+ v1 ,  u2+ v2)                                  - + = (-u1+ v1 , -u2+ v2)                                   - -  = (-u1 - v1 , -u2 - v2)                                     - = ( u1 - v1 ,  u2 - v2)

Tienes dos vectores y , y los vectores

  + - + -  -    - 

obtenidos con la regla del paralelogramo.

Puedes mover los extremos de los vectores y . Muévelos de muchas formas y observa el comportamiento de las sumas/restas de los dos vectores y .

Cada vector va junto con sus componentes. Comprueba cómo se obtienen las componentes de + , -+ ,  - - y - a partir de las componentes de y .

2.7 VECTORES Y TRASLACIONESUna de las principales aplicaciones de los vectores son las traslaciones.Hacer una traslación de un punto P según un vector consiste en mover el punto P hasta un punto P', de

forma que = .

Obsérvese que si =(v1, v2), P(p1, p2) y P'(p'1, p'2), entonces                                                       P' = P +o en componentes                   (p'1, p'2) = (p1, p2) + (v1, v2)es decir, para obtener P' basta sumar a P las componentes de

COMPOSICIÓN DE TRASLACIONESPara aplicar de forma sucesiva a un punto P(p1, p2) dos o más traslaciones dadas por los vectores =(a1,

a2) , =(b1, b2), =(c1, c2) , ... , se suman a las coordenadas de P las componentes de , , , .....

                                           P' = P + + + + ··· o en componentes       (p'1, p'2) = (p1, p2) + (a1, a2) + (b1, b2) + (c1, c2) + ···

Puesto que la suma de vectores es conmutativa, la composición de traslaciones también será conmutativa.

Esta construcción representa la suma de tres vectores + + , pero también puede representar una composición de tres traslaciones aplicadas sucesivamente al punto P, que lo llevan al punto P'.Aprovecha esta construcción para hacer gráficamente las siguientes composiciones de tres traslaciones aplicadas al punto P:

1) Tres traslaciones dadas por =(4,3), =(-2,2) y =(8,1).

2) Dadas por =(-3,4), =(5,-1) y =(9,0).

3) Dadas por =(0,-4), =(4,8) y =(6,-6).

4) Dadas por =(2,2), =(3,3) y =(4,4).

1) Tres traslaciones dadas por =(4,3), =(-2,2) y =(8,1) equivalen a una traslación dada por el vector + + = (10,6) :

2) Tres traslaciones dadas por =(-3,4), =(5,-1) y =(9,0) equivalen a una traslación dada por el vector ++ = (11,3) :

3) Tres traslaciones dadas por =(0,-4), =(4,8) y =(6,-6) equivalen a una traslación dada por el vector ++ = (10,-2) :

4) Tres traslaciones dadas por =(2,2), =(3,3) y =(4,4) equivalen a una traslación dada por el vector ++ = (9,9) :

2.8 VECTORES Y FUERZAS. UN EJEMPLO: UN BARCO EN UN CANALOtra aplicación de los vectores es representar magnitudes físicas que tienen módulo, dirección y sentido, y que se suman aplicando la regla del paralelogramo, como velocidades, aceleraciones y fuerzas. En esta unidad nos centraremos en las fuerzas y suponemos que estás algo familiarizado con ellas y con sus unidades.

A la fuerza suma de dos o más fuerzas se le llama resultante. En la próxima unidad veremos qué se ha de

hacer para calcular el módulo de una suma de vectores. No obstante, hay un par de casos en que la obtención del módulo de la resultante de una suma es muy fácil:

1) Cuando las fuerzas tienen la misma dirección. Entonces:- si las fuerzas tienen el mismo sentido, el módulo de la suma es la suma de módulos- si las fuerzas tienen sentido opuesto, el módulo de la suma es la diferencia de módulos

2) Cuando las fuerzas son perpendiculares puede aplicarse el teorema de Pitágoras. Si, como es habitual, indicamos el módulo de un vector con la notación | |, y y son perpendiculares, podemos escribir:                                                        | + |2 = | |2 + | |2

Un barco se ha de desplazar por un canal con la ayuda de dos fuerzas y de 3 kN y 4 kN respectivamente (kN son kilo Newtons = 1000 Newtons). Se trata de hallar las componentes de estas dos fuerzas para que el barco se desplace en línea recta a lo largo del canal.

Trata de conseguirlo de las tres formas siguientes:

1) Sin variar la fuerza y modificando la dirección de la fuerza . Es decir, moviendo sólo el extremo de

la fuerza .

2) Actualiza esta página WEB y repite el ejercicio, ahora sin variar la fuerza y modificando la dirección

de la fuerza .

3) Actualiza de nuevo esta página WEB y repite el ejercicio variando simultáneamente las dos fuerzas y

.

1) Sin variar la fuerza y modificando la dirección de la fuerza :

2) Sin variar la fuerza y modificando la dirección de la fuerza . En este caso, el problema no tiene solución:

3) Variando simultáneamente las dos fuerzas y . En este caso, existen muchas soluciones, y una de ellas es:

2.9 PRODUCTOS POR ESCALARES Y COMBINACIONES LINEALESEl producto de un escalar m por un vector =(u1,u2) también es muy fácil de hacer cuando se trabaja con componentes: se multiplica cada componente de por m                                            

Así, en la figura, tienes realizados los dos productos:                                        2 = 2 (-3 , 1) = (2(-3) , 2·1) = (-6 , 2)

                                        = (4 , 2) = ( 4 , 2) = (-2 , -1)

Y la combinación lineal de los vectores =(u1,u2) y =(v1,v2) construida con los escalares m y n respectivamente es el vector

= m + n = m(u1,u2)+n(v1,v2) = (mu1,mu2)+(nv1,nv2) = (mu1+nv1,mu2+nv2)

En la parte inferior de figura tienes la combinación lineal

                                    = 2 = (-6 , 2) + (2 , 1) = (-4 , 3)

Moviendo los puntos verdes dibuja los siguientes vectores fijándote en sus componentes:

1) = 4 + 3

2) = 4 -

3) = -3 +

4) = -2 - 3

5) = 1,8 + 1,75

6) = -4 - 1,5

7) = 4,5

8) = -3

1) = 4 + 3

2) = 4 -

3) = -3 +

4) = -2 - 3

5) = 1,8 + 1,75

6) = -4 - 1,5

7) = 4,5

8) = -3

2.10 MÁS SOBRE COMBINACIONES LINEALESEn esta actividad resolveremos el problema inverso al de la actividad anterior:

expresar un vector como combinación lineales de otros dos vectores y .

Es decir, encontrar dos escalares  x  e  y  tales que = x + y

Si conocemos las componentes de los tres vectores, es decir,

=(w1,w2), =(a1,a2)  y   =(b1,b2)

para expresar como combinación lineal de y deberemos resolver la ecuación vectorial

(w1,w2) = x(a1,a2) + y(b1,b2)

Esta ecuación vectorial equivale al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas                                                        x a1 + y b1 = w1

                                                        x a2 + y b2 = w2

En esta construcción tienes el vector expresado como combinación lineal de y de :

                   = x + y

Expresa los siguientes vectores como combinación lineal de y . Resuelve el problema numéricamente y luego comprueba el resultado utilizando este applet.

1) = (8,2)

2) = (-2,7)

3) = (-8,-5)

4) = (8,-4)